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17. (Septiembre 2010) Conjuntos de área máxima y la armonía
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Escrito por David Rapapport (Queen's University)   
Viernes 10 de Septiembre de 2010

David RapapportEs un gran placer para mí presentar un artículo de David Rapapport (fotografía de la izquierda), geométra interesado en la música y músico interesado en la geometría. Su artículo que presentamos en esta sección, Conjuntos de área máxima y la armonía, es una exploración deliciosa de la armonía a través de conjuntos de área máxima inscritos en un círculo. El autor caracteriza escalas fundamentales en la improvisación en la música del jazz.

Francisco Gómez Martín

BIOGRAFÍA: David Rapapport es profesor en la School of Computing y Vicedecano en la School of Graduate Studies en Queen's University, en Canadá. Obtuvo un grado en Matemáticas por la Universidad de Concordia y un tesis de maestría y de doctorado por la Universidad de McGill, ambas en Canadá. Su investigación se centra en geometría discreta y computacional con especial énfasis en algoritmos y optimización. También está interesado en las conexiones entre matemáticas y música.

ARTÍCULO:

1. Introducción

La Geometría y la Música están relacionadas entre sí de varias maneras. La notación musical usa la forma y el espacio para transmitir la información sobre la altura y la duración. Los guitarristas visualizan las estructuras armónicas, así escalas, arpegios y acordes, como formas geométricas en el traste. Los orígenes de nuestro sistema musical de siete notas extraídas de un conjunto de doce alturas se puede describir en términos de cuerdas vibrantes de varias longitudes. Dimitri Tymocko, en un reciente artículo suyo [17], ha usado la geometría para analizar la conducción de voces en música. La Combinatoria es otra rama de las Matemáticas que se utiliza en el análisis de la música. Inevitablemente, la visión combinatoria se apoya en una imagen, esto es, en una representación geométrica.

Considérese un círculo con doce puntos equidistantes distribuidos en su circunferencia. Los doce puntos representan las doce alturas del universo cromático dado por el temperamento igual. De estos doce puntos elegimos un subconjunto de al menos cinco puntos, porque musicalmente se llama una escala a un subconjunto de cinco o más alturas. Algunos de estos conjuntos, o escalas, son elementos esenciales de la armonía occidental.

En los ejemplos que se muestran en la figura 1 un subconjunto de puntos se conecta en orden para construir un polígono convexo. Consideraremos polígonos distintos salvo rotaciones. Esto equivale a considerar que los distintos modos musicales provenientes de una misma escala no son escalas distintas.

Ya que hay 12 puntos equiespaciados sobre la circunferencia, es razonable llamar a estos diagramas diagramas de reloj. La representación de las notas de una escala por un polígono aparece en un artículo publicado en 1937 por E. Krenek [8], de modo que algunas veces estos diagramas se llaman diagramas de Krenek, como por ejemplo en el artículo de McCartin [10]. Sin embargo, en una recensión de Nolan [11], Heinrich Vincent ya usaba esta misma representación en un artículo suyo publicado en 1862 [18]. El uso de los diagramas de reloj es omnipresente en la teoría matemática de la música. Cuando se considera la escala diatónica usual, se observa que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre las doce notas cromáticas. La distancia entre dos notas puede medirse como el número de notas de la escala entre ellas, o bien como el número total de notas cromáticas entre ellas. De este modo, distinguimos entre la distancia de la escala y la distancia cromática de un par de notas. Clough and Douthett [1] definen un conjunto de regularidad máxima cuando la distancia cromática entre un par de notas difiere de su distancia de escala en una unidad como máximo. Los conjuntos de regularidad máxima (conjuntos RM de aquí en adelante) son únicos (salvo rotaciones) como se prueba en [1] y también en [4]. Los conjuntos RM incluyen algunas de las escalas más ampliamente usadas en la música occidental, a saber, la escala diatónica, la escala pentatónica anhemitónica común, la escala de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica (véase la figura 1).

figura 1

Figura 1. Los subconjuntos en a) y b) representan dos modos de la escala diatónica, el jónico y el eólico, también conocidos como modo mayor y modo menor natural, respectivamente. Para nuestros propósitos estas dos escalas se consideran equivalentes. El diagrama de la parte c) representa la escala menor melódica ascendente y ésta es distinta de las de a) y b).

Cuando los conjuntos RM se representan por un diagrama de reloj, entonces esos puntos son subconjuntos que maximizan de modo único la suma de las distancias entre puntos [2-4]. Fejes Tóth [14] describe un caso continuo similar al considerado aquí. En ese artículo se prueba que un conjunto finito de N puntos que maximizan la suma de las distancia entre puntos se encuentra en los vértices de un polígono regular convexo de N lados. Dicho de otro modo, los puntos están distribuidos tan regularmente como sea posible sobre la circunferencia del círculo.

En su libro sobre armonía el músico Levine [9] describe cuatro escalas fundamentales que son útiles para la improvisación en jazz. Estas cuatro escalas son la escala mayor de siete notas, la escala menor melódica de siete notas, la escala simétrica de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica. En la terminología jazzística el término "menor melódica" se refiere a la escala ascendente melódica menor y aquí seguiremos esa convención.

Tres de estas escalas son de máxima regularidad, siendo la excepción la escala menor melódica, que no lo es. Así, dados los pares (12, 8), (12, 6) y (12, 7) podemos preguntarnos si hay una caracterización matemática que describa exactamente las cuatro escalas fundamentales de Levine. En estas notas llegamos a una caracterización llamada los conjuntos complementarios de área máxima.

Este artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección entablaremos una discusión matemática sobre una clase de subconjuntos de K elementos tomados entre N posibles. Esta caracterización es a la vez combinatoria y geométrica. Empezaremos por describir los llamados conjuntos de área máxima, de los cuales probaremos algunas propiedades suyas. Los conjuntos de área máxima son interesantes por derecho propio, pero no satisfacen las condiciones mencionadas anteriormente, ya que esta caracterización, como veremos, incluye subconjuntos de (12, 8) y (12, 7) que no son de las cuatro escalas fundamentales. En la sección 3 definiremos y analizaremos entonces los conjuntos complementarios de área máxima y mostraremos que esa caracterización sí satisface las condiciones impuestas antes. El artículo acaba con una sección de conclusiones.

2. Conjuntos de área máxima

Un concepto erróneo bastante común es el de pensar que el prefijo di- en la palabra diatónico se refiere al número dos, queriendo significar que la característica es que hay dos tipos de intervalos en el conjunto diatónico habitual. Sin embargo, la verdad es que el prefijo dia- se refiere a la distancia desde la tónica [12]. No obstante, esta definición nos proporciona el trampolín ideal desde el cual lanzar una exploración de las escalas que satisfacen esta propiedad, esto es, colecciones de subconjuntos de siete alturas tomadas de entre las doce del universo cromático de modo que el espacio entre alturas consecutivas es o bien un tono o un semitono. Resultan tres escalas distintas. Usando diagramas de reloj podemos ver las tres escalas en la figura 2 más abajo. En (a) podemos reconocer la escala diatónica estándar; (b) representa la escala menor melódica; y en (c) tenemos la escala simétrica de tonos enteros más una nota, escala que también se llama escala mayor napolitana.

No es difícil comprobar que los polígonos que representan cada escala tienen todos la misma área y que esa área se maximiza para cualquier elección de siete puntos sobre doce. Así pues, llamaremos a estas escalas escalas de área máxima, o más generalmente subconjuntos de área máxima (lo abreviaremos como conjuntos AM).

figura 2

Figura 2. Diagramas de reloj de las tres escalas AM. La estructura de los intervalos de esta escala es a) la escala diatónica; b) la escala menor melódica ascendente; c) la escala mayor napolitana.

Generalizamos esta noción a cualquier colección de K alturas seleccionadas de entre un universo cromático de N alturas. Será más conveniente definir los subconjuntos en términos de particiones de números enteros.

Una partición entera de un número natural N es una forma de escribir N como una suma no ordenada de numeros naturales. En [7] Keith señala la conexión entre las particiones de enteros y las escalas musicales.

Definición. Un conjunto de K alturas tomadas de entre un universo cromático de N alturas numeradas de 1,...,N es un conjunto AM si satisface las siguientes dos condiciones:

  • Hay una partición entera de N que usa exactamente K sumandos enteros positivos, esto es, .
  • Los sumandos difieren como máximo en 1, esto es, , para todo i, j.

La siguiente proposición proporciona fundamento matemático para construir y analizar los conjuntos AM.

Proposición 1. Dados dos enteros N, K con K <N, existen dos únicos enteros u y m tales que N=mu+(K-m)(u+1).

Obsérvese que para N, K, u, m, definidos así, tenemos una partición entera con , para i=1,...,m y , para i=m+1,...,K. Aquí se sobreentiende que i=m+1,...,K es el conjunto vacío en el caso en que m=K, esto es, cuando K divide a N.

Demostración: Sean los siguientes números:

Nótese que si K divide a N, entonces v=u; en otro caso, v=u+1.

Para el caso en que v=u, tenemos que N=Ku. Considerando ahora el caso en que v=u+1, tenemos la igualdad (N-Ku)v+(Kv-N)u=N(v-u)=N. Por lo tanto, m=Kv-N=K(u+1)-N. Ya que u determina m, basta mostrar que u es el único valor que satisface las condiciones requeridas. Cuando K divide a N, la unicidad se sigue del algoritmo de la división [6]. Cuando K no divide a N, examinamos los casos en que se usa un número mayor o menor que el valor de u. Sea, pues, w un entero mayor que . Esto implica, sin embargo, que Kw >N, lo cual lleva a una contradicción y w no puede ser mayor que u. Un argumento simétrico similar al anterior muestra que tomar w < lleva a una contradicción.

Por tanto, queda demostrado que u es único, y esto completa la demostración. QED.

Recuérdese que en los conjuntos MR según fueron definidos por Clough y Douthett [2, 3] cuando la distancia cromática entre dos pares denotas difieren como máximo en una unidad de la distancia de escala. Esto lleva inmediatamente a la proposición siguiente.

Proposición 2. Si un conjunto es MR, entonces también es un conjunto AM.

Como se ilustró en el ejemplo de la figura 2, aunque para cualquier N, K, hay dos valores únicos de u y m, uno puede obtener más de una escala con intervalos u y u+1 sencillamente reordenando las posiciones de dichos intervalos. Dados los números (N, K, u, m), podemos enumerar las distintas escalas (salvo rotaciones) que son escalas AM. Este valor depende solo de K y m, y es el número de collares (necklaces) binarios de longitud K usando dos tipos de cuentas, m cuentas blancas y K-m cuentas negras. En general, un collar p-ario se define como la clase de equivalencia de cadenas p-arias bajo rotaciones; véase [13]. Los distintos collares se pueden enumerar en tiempo constante por collar usando un algoritmo de Sawada y Ruskey [13].

Volvemos ahora a la cuestión del área de los polígonos que representan a las escalas. Haciendo referencia a la figura 3, es claro que el área del heptágono se obtiene sumando las áreas de los triángulos.

Suponiendo que el heptágono que representa estas escalas está circunscrito a un círculo de radio la unidad, una fórmula que da el área del polígono es: .

figura 3

Figura 3. Uno puede obtener el área de un heptágono sumando las áreas de los triángulos en la partición en triángulos que sugiere la figura. El area del triángulo a, b, c está dado por sen . El perímetro del polígono inscrito es también una función de los ángulos centrales. Por ejemplo, la longitud de la arista bc es .

En general, el área de los polígonos se puede obtener sumando el área de los triángulos que forman la partición del polígono. Para nuestros propósitos es más conveniente tomar la partición del polígono con triángulos que comparten un vértice común en el centro del círculo que circunscribe y cuyos lados son los radios. De ahora en adelante nos referiremos a esta partición como la partición en triángulos del polígono. La suma de las áreas de cualquier representación poligonal (N, K, u, m) está dada por la fórmula:

Nótese que el área es una función que depende solo de los valores de los ángulos de los triángulos del centro del círculo. Llamaremos a estos ángulos ángulos centrales.

Afirmamos que todos esos heptágonos maximizan el área. Es fácil verlo en el ejemplo dado. Probaremos el resultado para el caso general en el siguiente lema. Además, probaremos que estos polígonos maximizan también el perímetro. El hecho de que el perímetro se maximice queda claro cuando uno se percata de que el perímetro es también una función de los ángulos centrales. La fórmula para el perímetro de una representación poligonal (N, K , u, m) está dada por la fórmula:

Lema 1. Dada (N, K , u, m), la representación poligonal de estos conjuntos AM tiene área máxima y perímetro máximo.

Prueba: Considérese un polígono X de K lados que no es una representación de un conjunto AM. Entonces, hay dos triángulos en la partición triangular de X con ángulos centrales y y tales que la diferencia . Supongamos que, por ejemplo, . Si ponemos , tenemos la fórmula (1):

Ya que el orden de los triángulos no tiene efecto en el cálculo del área o del perímetro del polígono, podemos reordenarlos de manera que esos dos triángulos estén adyacentes. Podemos escribir la suma del área de esos dos triángulos como . Si tomamos la primera derivada del área con respecto a , esto es, , e igualamos a cero, vemos que el valor es el valor máximo. La derivada es positiva para todos los valores .

Sean y . Por la ecuación (1), vemos que . Por tanto, la suma de la nueva área es mayor y X no puede tener área máxima.

Para el perímetro usamos un argumento similar. La suma de las aristas del polígono está dada por la ecuación , y su primera derivada es . Vemos de nuevo que la suma se maximiza para , y su derivada es positiva . De nuevo, ponemos y . Por la ecuación 1, vemos que y X no puede tener perímetro máximo. QED.

3. Conjuntos complementarios de área máxima

Las cuatro escalas que distingue Levine en su libro [9] en el capítulo Acordes/Escalas en su libro sobre armonía en el jazz son la escala de tonos enteros simétrica, la escala mayor, la escala menor melódica y la escala octotónica. Definimos una clase de escalas, las escalas complementarias de área máxima de manera que las escalas dadas por (12, 6), (12, 7) y (12,8) corresponden idénticamente a las escalas dadas por Levine.

Definición: Un conjunto de K alturas tomadas de un universo cromático de N alturas numeradas de 1 a N es un conjunto complementario de área máxima (conjunto CAM) si cumple las siguientes propiedades:

  • El conjunto es AM.
  • Las N-K notas del conjunto complementario forman un conjunto AM también.

Probamos en su momento que los conjuntos RM son también AM. Los conjuntos RM son también CAM porque el complemento de un conjunto RM es también un conjunto RM; véase [1]. Así pues, las escalas CAM constituyen una clase estrictamente mayor que la de las escalas RM.

Hay una única escala, la escala simétrica de tono enteros (12, 6), que es un conjunto AM, como muestra la figura 4. Claramente esta escala es autocomplementaria y es, por tanto, un conjunto CAM. De los tres conjuntos AM dados por (12, 7), dos tienen complementarios que son conjuntos AM. Estas escalas (12, 5) AM se muestran en la figura 4.

figura 4

Figura 4. Los conjuntos de área máxima de cinco y seis notas.

Hay diez conjuntos (12, 8) AM, como se describe en la página 31 de [7]; los reproducimos en la figura 5.

figura 5

Figura 5. Los diez conjuntos de área máxima con ocho notas.

Hay solo uno de estos conjuntos cuyo complementario es también un conjunto AM. En la figura 6 mostramos este conjunto y su complementario de cuatro notas.

figura 6

Figura 6. La única escala complementaria de área máxima de ocho notas (una escala disminuida) con su complementario (el acorde de séptima disminuida).

Así pues, hemos sido capaces de captura una propiedad matemática que caracteriza las cuatro escalas fundamentales de Levine.

4. Conclusiones

Hemos probado que una partición entera particular de N en K partes conduce a los polígonos de área máxima cuando éstos se representan con un diagrama de reloj. Estos conjuntos llamados de área máxima son fáciles de calcular computacionalmente. Sin embargo, una clasificación que parece más interesante usa los conjuntos complementarios de área máxima. Hemos demostrado que los conjuntos complementarios de área máxima para (12, 6), (12, 7) y (12,8) contienen las cuatro escalas fundamentales definidas por Levine en su libro sobre improvisación en jazz. Estas escalas fundamentales no agotan en modo alguno el gran número de escalas que los músicos de jazz usan regularmente.

En un capítulo aparte Levine discute las escalas pentatónicas y el papel que desempeñan en la improvisación jazzística. Con mucho la escala pentatónica más importante es la anhemitónica, que ya sabemos que es una escala CAM. Hay una colección más de escalas pentatónicas que son CAM, las cuales se muestran en la figura 4 b). Esta escala se puede llamar escala pentatónica dominante, ya que contiene un acorde de dominante; sin embargo, esta escala parece algo desconocida y Levine no la menciona en absoluto en su libro.

Si consideramos el análogo rítmico de los diagramas de reloj, esto es, los puntos seleccionados representan ataques, entonces los conjuntos CAM de cinco elementos representan los patrones rítmicos de palmas que se usan en la soleá, la bulería y el fandango [5].

Bibliografía

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2. J. Clough and G. Myerson: Musical scales and the generalized circle of fifths. American Mathematical Monthly 93:9 (1985) 695–701.

3. J. Clough and G. Myerson: Variety and multiplicity in diatonic systems. Journal of Music Theory 29 (1985) 249–270.

4. Erik D. Demaine, Francisco Gómez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood: The distance geometry of music. submitted to Computational Geometry: Theory and Applications, (2006).

5. Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint: El compás flamenco: a phylogenetic analysis. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Winfield, Kansas (2004) 61–70.

6. Ralph Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley (1998).

7. Michael Keith: From Polychords to Polya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton (1991).

8. E. Krenek: Über Neue Musik. chapter Musik und mathematik. Verlag der Ringbuchhandlung, Vienna (1937) 71–89.

9. Mark Levine: The Jazz Theory Book. Sher Music Co. (1995).

10. Brian J. McCartin: Prelude to musical geometry. The College Mathematics Journal, 29:5 (1998) 354–370.

11. Catherine Nolan: Combinatorial space in nineteenth- and early twentieth-century music. Music Theory Spectrum, 25:2 (2003) 205–241.

12. D. Randel (editor): The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press (1986).

13. J. Sawada and F. Ruskey: An efficient algorithm for generating necklaces with fixed density SIAM Journal on Computing 29:2 (1999) 671–684.

14. L. Fejes T´oth: On the sum of distances determined by a pointset. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 7:3 (1956) 97–101.

15. Godfried T. Toussaint: A mathematical analysis of African, Brazilian and Cuban clave rhythms. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Towson, Maryland (2002) 157–168.

16. Godfried T. Toussaint: Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Granada, Spain (2003) 25–36.

17. Dmitri Tymoczko: The Geometry of Musical Chords. Science 313 (2006) 72–74.

18. Heinrich Vincent: Die Einheit in der Tonwelt. Verlag von Heinrich Matthes, Leipzig (1862).

 

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