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Recursos/Recursos didácticos en Internet
Autor:Fernando Fouz Rodríguez
En los últimos años los recursos para la enseñanza de las Matemáticas han tenido un desarrollo espectacular, tanto en la aparición de nuevos tipos de materiales como en la mejora de los ya existentes. Los libros con contenidos referidos a puzzles, construcciones, juegos, acertijos,.. etc, han pasado desde una casi clandestinidad en las librerías, ya que se compraban como divertimento, a ocupar un lugar destacado en la enseñanza de las Matemáticas en muchas aulas. No me equivoco si señalo que, en este cambio, el profesor Miguel de Guzmán tuvo un papel importante, tanto por los libros de divulgación que escribió, Cuentas con cuentos p. e., Aventuras matemáticas. etc, como en su defensa del juego como elemento didáctico válido e importante y, también, como por sus libros referidos a la introducción de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las Matemáticas. En mi caso concreto, Miguel fue la primera persona que me enseñó lo que era el programa Derive, y sus potencialidades, allá por los primeros noventa. Ya en los años setenta, cuando aparecieron las calculadoras electrónicas, se vio que el futuro iba a deparar cambios profundos en el uso y aprendizaje de las Matemáticas. El siguiente salto se dio cuando estas calculadoras tenían una pantalla en la que no solamente se escribían números sino que permitía muchas más cosas: escribir los cálculos a realizar, tablas, gráficos, etc. La autonomía, precio, prestaciones y comodidad que aportaron ha significado su implantación en numerosas aulas aunque, esto es lo triste, con una lentitud que, probablemente, haya provocado que muchos alumnos se hayan quedado cortos en el aprendizaje de las Matemáticas al seguir perdiéndose en cálculos que, con una calculadora y actividades adecuadas, no les habrían entorpecido su avance en el área. Simultáneamente con el desarrollo de las calculadoras han aparecido los asistentes matemáticos, software para ordenadores que permite cálculos más avanzados, dibujar figuras, curvas y superficies más complejas, tablas más extensas, desarrollos y cálculos prácticamente ilimitados, .. etc. Es por este tipo de materiales por el que voy a iniciar la relación de recursos. Entre los asistentes matemáticos dos son los más utilizados en niveles tanto universitarios como de enseñanzas medias. Se trata de los programas Derive y Mathematica. Cada cierto tiempo presentan una versión nueva, ampliación de la anterior. El programa Mathematica que conocemos para uso de alumnos, es una versión simplificada del programa Mathematica que utilizan los matemáticos profesionales en sus investigaciones más complejas. Sus características las podemos encontrar en la web oficial: http://www.wolfram.com/products/student/mathforstudents/index.html. Es un programa muy bueno pero muy exigente en el aspecto de su uso, pues requiere que los comandos se introduzcan con unas reglas que hay cumplir escrupulosamente para no generar errores. Ya sabemos que en programación esto también pasa con cualquier programa pero, quizás, en este caso se acentúa un poco más. El segundo programa es el Derive: http://www.derive-europe.com/main.asp, que quizás se popularizó antes, entre otras cosas y como anteriormente he señalado, por la difusión y el trabajo de matemáticos profesionales de mucho prestigio, como es el caso de nuestro querido Miguel de Guzmán. Existen muchos grupos de trabajo con este programa por lo que, navegando un poco por Internet, nos encontraremos con mucha información. En esta misma web si buscamos en el apartado de enlaces podemos encontrar esa información. Existen otros programas en esta línea y con prestaciones parecidas a los anteriores, como es Maple, que ya está en la versión Maple 10 y que encontramos en, http://www.maplesoft.com/products/maple/. Ahora, sin embargo, me quiero centrar en otro software que es el programa Cabri para trabajar la Geometría. Recientemente ha salido la versión para trabajar con figuras tridimensionales pero, en un primer nivel, con la versión bidimensional es suficiente. Aunque el artículo de José Antonio Mora en esta web explica maravillosamente en qué consiste el programa, debo señalar y destacar su importancia en el aula para recuperar una geometría sintética completamente abandonada en muchas aulas. La posibilidad de analizar o comprobar propiedades, teoremas, figuras,.. etc, es ilimitada con el programa Cabri, que visualiza propiedades de una forma maravillosa, ya que pueden ser modificadas las figuras comprobando la validez de hipótesis formuladas. Por ejemplo, podemos dibujar la recta de Euler, y, deformando el triángulo, comprobar como los tres puntos (ortocentro, baricentro y el circuncentro) que la determinan siempre son colineales. Un alumno que haya visto esta figura es difícil que olvide lo qué es esa recta y sus propiedades. De acuerdo que no es la demostración pero eso no le quita importancia y validez al aprendizaje. Sería necesario que el profesorado de Primaria también apostase por este programa ya que, su implantación en esta etapa se está produciendo a un ritmo muy lento. Este es el programa más conocido y más utilizado, sin duda, pero existen otros software para trabajar la Geometría como: The Geometer’s Sketchpad, http://www.keypress.com/sketchpad/, que está popularizado por el profesor Michael Serra. Este autor es conocido en España por su “libro-carpeta-fichas” titulado Discovering Geometry. GEOGEBRA, es otro programa para la construcción de gráficas, figuras, etc. Que podemos encontrar en la dirección http://www.geogebra.at/. Así mismo en la página, http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/%7Emsadaall/geogebra/index.htm del profesor Manuel Sada, podemos encontrar una serie de interesante de ejercicios sobre este programa. Otro programa que se puede bajar de la red es Graphmatica, que permite hacer gráficos, derivadas, integrales,...etc, que lo podemos encontrar en la dirección http://www8.pair.com/ksoft/espanol/grmat16n.html. El programa Winplot, que también se puede bajar de Internet, permite hacer gráficas y dibujos. En el número 26 de la revista SIGMA, publicamos un excelente artículo de Antonio Pérez, utilizando este programa. Al igual que con los otros programas podemos dibujar distintas curvas, en coordenadas polares, tanto en el plano como en el espacio. Para terminar este apartado conviene señalar un programa que permite dentro de las web crear animaciones, cuadros interactivos, calculadoras, etc. Se trata del programa javascrip, que lo encontramos en sus páginas oficiales, http://javascript.internet.com/ o en http://www.desarrolloweb.com/manuales/20/. El programa general es Java, y Javascrip, es una parte de él. Es, quizás, un programa más para que los profesores puedan crear actividades que un objeto de estudio con los alumnos.     Respecto a las calculadoras los avances son extraordinarios. Algún modelo incluye hasta el programa Cabri que antes se ha citado. Eligiendo el modelo adecuado, con unas actividades conformes a la edad y momento, la calculadora debe ser introducida desde los primeros inicios del aprendizaje de las Matemáticas. En Internet existen multitud de páginas para trabajar distintas actividades con distintos tipos de calculadoras. Así, http://www.enciga.org/enlaces/calculadoras.htm es la web que dispone de un gran número de enlaces con las páginas oficiales de las distintas marcas y con grupos de trabajo que presentan colecciones de actividades. Uno de los trabajos más completos que se han desarrollado es el del grupoT3. En la web de José A. Mora, que más tarde citaré, se puede encontrar información completa. Un ámbito interesante de recursos para secundaria son las páginas que contienen currículos completos para una etapa educativa. Entre estos trabajos destaca el programa Descartes, http://descartes.cnice.mec.es/, elaborado en MEC y que es un excelente trabajo para incorporar directamente al aula. En esta misma web hay un trabajo de Alberto Bagazgoitia explicando el proyecto. En esta línea de trabajo están varias páginas de profesores de instituto en las que cuelgan distintos “apuntes para la clase de Matemáticas”, junto con otras actividades, para que puedan ser estudiados por sus alumnos. Entre las muchas páginas que cabe destacar la de J. Escudero que fue de las primeras en aparecer, http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/frames_1.htm, que siempre se caracterizó por su gran número de contenidos. La página de Antonio Pérez, http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/, es otra de las clásicas, por su variedad de contenidos y su calidad. No podemos olvidar a José Antonio Mora que tiene una de las páginas más completas, http://www.terra.es/personal/joseantm/, entre las actividades cabe destacar las referidas al uso de la calculadora y del programa Cabri, aunque es muy difícil destacar algo concreto ya que es excelente en todos sus contenidos. Otro ejemplo interesante puede ser, http://www.terra.es/personal/jariasca/, del profesor José Mª Arias muy completa por su gran variedad de temas. En el apartado de enlaces de esta página (divulgamat.net) se pueden consultar otras páginas en esta línea. Un tema que raramente se lleva al aula es el de Historia de las Matemáticas y, sin embargo, creo que es interesante e importante como recurso didáctico. A nivel de libros la variedad es grande aunque traducidos al español el número se reduce considerablemente, sin embargo, debido al precio que tienen resulta más práctico Internet aunque se tenga que pasar muchas veces por la necesidad de conocer el inglés. Quien quiera recurrir a libros los de Carl Boyer o Morris Kline, traducidos al español son suficientes para resolver cualquier duda. En la red la página más conocida es la de la Universidad de Saint-Andrews; http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/. Es casi imposible encontrarse una página de igual calidad que ésta. En español existen páginas de algunas universidades, especialmente sudamericanas, pero adolecen de biografías muy cortas que no sitúan completamente ni al personaje ni a su obra. Otros recursos didácticos interesantes son los puzzles, mosaicos, acertijos, juegos de lógica, juegos de estrategia, etc. Normalmente suelen ser secciones de webs más generales. En el apartado de enlaces aparece una relación interesante de estas webs, referidas a esos contenidos que se pueden consultar aunque, como norma general, casi todas las páginas referidas a actividades suelen contener estos elementos. Dejo para el final dos apartados importantes dentro de las Matemáticas: la Geometría y la Resolución de Problema. En el primer apartado, el recurso más importante ya está citado con anterioridad (programa Cabri). Respecto a la Geometría y su didáctica es muy conocido, y recogido en muchos trabajos sobre el currículo geométrico, el trabajo del matrimonio Van Hiele y su modelo didáctico. De esta forma, buscando a partir de esta referencia encontramos muchas páginas que nos permiten su estudio. En particular los trabajos de Ángel Gutiérrez y Adela Jaime en la universidad de Valencia, http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/, son los más extensos en el estudio del modelo. La web http://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_97.html es otro ejemplo en la que se presenta un test referido al modelo. Referido a puzzles, mosaicos, ilusiones ópticas existen multitud de páginas, muchas de ellas recogidas en el apartado de enlaces, http://www.sandlotscience.com/ y http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/kali.html pueden ser dos ejemplos. Esta misma página recoge un trabajo interesante sobre los sólidos platónicos. En general, casi todas las páginas de Matemáticas tienen su apartado referido a estos contenidos. La relación de la Geometría con el Arte da lugar a interesantes contenidos que pueden ser llevados al aula. Por ejemplo, dentro de la Geometría un apartado que algunas veces es introducido en los currículos de Geometría son los Fractales. En la popularización de este contenido también tuvo mucho que ver Miguel de Guzmán. Es un contenido muy unido al arte y por ello encontramos muchas páginas en las que se casan ambos contenidos, http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/General_Interest/, puede ser un ejemplo de ello. En relación al Arte, encontramos configuraciones tridimensionales en: http://alem3d.obidos.org/en/ y también en la web http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/. Para terminar he dejado le tema más importante que es la resolución de problemas. Partiendo de nombres claves como Polya, Schoenfeld ó Miguel de Guzmán entramos en un espacio casi ilimitado de información sobre la Resolución de Problemas. En ellos encontramos todas las bases teóricas y prácticas para la Resolución de Problemas. Para encontrar listados de problemas el mayor banco de recursos son las páginas referidas a las olimpiadas matemáticas de los distintos países. Entre todas las webs, la OMA, Olimpiada Matemática Argentina, http://www.oma.org.ar/, es especialmente destacable por su extensión, organización y calidad. Quien quiera tener variedad de problemas tiene oportunidad en esta web de colmar todas sus aspiraciones. Otras páginas como: la inglesa, http://www.nrich.maths.org.uk/publicindex.php, la húngara http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml, o la canadiense, http://www.stfx.ca/special/mathproblems/welcome.html, con problemas para todos los niveles, o la famosa página francesa, http://www.kangmath.org/club/index.html. En general, el tema de plantear problemas desde la páginas web en Internet está muy extendido. Es clásico que aparezcan el problema de la semana, del mes, etc, en páginas personales, de asociaciones o universidades. Una de las web que presenta un problema mensual interesante para poder llevar al aula, quizás con alumnos más motivados, es la francesa, http://orochoir.club.fr/Probleme/index.htm. Es, desde luego, una página que merece una visita. Ha sido un recorrido orientativo que se debe completar consultando el listado de enlaces de esta misma página web de divulgamat.net, donde cada página tiene un pequeño comentario que puede ayudar a la búsqueda de información.
Miércoles, 01 de Marzo de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Recursos didácticos en Internet
Autor:José Ignacio Royo Prieto
Recursos en Internet a) Páginas web de matemáticas y papiroflexia Origami Mathematics, Tom Hull. http://kahuna.merrimack.edu/~thull/origamimath.html DivulgaMAT. http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp Belén Garrido. http://www.geocities.com/micadesa/ Helena Verrill. http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami Robert J. Lang. http://www.langorigami.com Origami & Math http://www.paperfolding.com/math/ b) Páginas web con instrucciones para modulares y poliedros Meenakshi Mukerji http://www.origamee.net Roberto Gretter. http://ditelo.itc.it/people/gretter/origami.html Silvana Mamino. http://digilander.libero.it/modulandia/modelli.htm Michael Kolsmulski. http://hektor.umcs.lublin.pl/~mikosmul/origami Página de Tokhi Yenn. http://www.britishorigami.info/academic/thok/origami.html c) Galerías de fotos de modelos de todo tipo Erika Knopper http://bgp.nu/~mak/origami/origami.html Satoshi Kamiya. http://www.folders.jp/ Hideo Komatsu. http://origami.gr.jp/~komatsu/index.html Hojyo Takashi. http://www11.ocn.ne.jp/~origami/index.htm Brian Chan. http://chosetec.darkclan.net/origami/ d) Páginas web de papiroflexia en general Asociación Española de Papiroflexia http://www.pajarita.org Joseph Wu. http://www.origami.vancouver.bc.ca/ Nicolas Terry. http://www.passionorigami.com British Origami Society. http://www.britishorigami.info/ e) Artículos de matemáticas y papiroflexia Antonio M. Oller Marcén, Origami constructions Libros a) Libros de matemáticas y papiroflexia T. Hull, Project Origami, AK Peters, 2006. Se proponen muchos proyectos de papiroflexia y matemáticas, orientados a usar en el aula. Los contenidos son de nivel de secundaria e incluso universitario. R. Lang, Origami Design Secrets, AK Peters, 2003. R. Lang describe sus métodos para la creación de figuras de papiroflexia, que incluye métodos matemáticos de diseño. T. Sundara Row, Geometric Exercises in Paper Folding, Dover, 1966. Curioso libro escrito en 1905 en el que se resuelven ejercicios de geometría plana elemental doblando papel. b) Libros de papiroflexia con algo de matemáticas K. Kasahara, T. Takahama, Origami para Expertos, EDAF, 1993,2000. K. Kasahara, Origami Omnibus, Japan Publications, 1988. c) Libros con modulares y poliedros B. Arnstein, R. Gurkewitz, L. Simon, Modular Origami Polyhedra, Dover 1999. B. Arnstein, R. Gurkewitz, 3D Geometric Origami: Modular Polyhedra, Dover, 1996. T. Fuse, Unit Origami: multidimensional transformations, Japan Publications, 1990. D. Mitchell, Mathematical Origami, Tarquin, 1997. M. Kawamura, Polyhedron Origami for beginners, Japan Publications, 2002. d) Libros de modelos de papiroflexia de todo tipo Grupo Riglos, El libro de las pajaritas de papel, Alianza, 1990. Grupo Riglos, El libro de las máscaras de papel plegado, Alianza, 1997. E. Clemente, Papiroflexia, Plaza & Janés, 1990. D. Brill, Brilliant Origami, Japan Publications, 1996. M. Lafosse, Advanced Origami, Tuttle Publishing, 2005. R. Díaz, Origami para intérpretes, N.Terry Ed., 2006.
Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Recursos didácticos en Internet
Autor:Antonio Pérez Sanz
La Geometría ha sido durante siglos uno de los pilares de la formación académica de los jóvenes desde edades muy tempranas. Relacionarse con el espacio físico que nos rodea es una necesidad imperiosa del ser humano desde su nacimiento. Por otra parte, nadie cuestiona la importancia de la geometría como formadora del razonamiento lógico. Pocos son quienes discuten su trascendencia tanto en estudios posteriores de cualquier ciencia como en el desarrollo de habilidades cotidianas. Durante la segunda mitad del siglo pasado,la geometría perdió paulatinamente presencia en los planes de estudio. Afortunadamente, los actuales currículos de matemáticas de todos los niveles educativos confieren a esta rama de las matemáticas la importancia que nunca debió perder. Pero a pesar de esta “recuperación” curricular de la geometría, una serie de interrogantes planean sobre el profesorado de secundaria: ¿Estamos enseñando a nuestros alumnos una geometría adecuada? ¿Es suficiente que nuestros alumnos calculen longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas a partir de unos datos, despejando la magnitud desconocida de una expresión algebraica que relaciona objetos geométricos? ¿Es más importante calcular el área de un triángulo rectángulo o construir el triángulo rectángulo a partir de una circunferencia? ¿Pueden nuestros alumnos estudiar geometría analítica en segundo ciclo de educación secundaria sin conocimientos sólidos de geometría sintética? En definitiva:¿Qué geometría debemos enseñar?, ¿con qué herramientas metodológicas y tecnológicas?, ¿podemos seguir enseñando geometría como hace cincuenta años? Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación  del alumno sea más completa. Los programas de geometría dinámica han demostrado en las dos últimas décadas su capacidad de ayuda al usuario para adquirir destrezas en uno de los campos más creativos de las matemáticas. Los ejemplos más importantes para la ayuda de la enseñanza de la geometría mediante medios informáticos son los llamados programas de Geometría Dinámica. Proporcionan, sin duda una ayuda extraordinaria para la experimentación, es decir, para la construcción de conceptos y la visualización de resultados y propiedades geométricas a través de la práctica experimental. Un programa de la categoría de Sistemas de Geometría Dinámica (DGS) permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos que se construyen se definen fundamentalmente por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque ésta esté detrás, en el funcionamiento interno del programa y en algunos casos como Geogebra también delante y en pantalla (Rafael Losada, LA GACETA 10, nº 1, pp. 223-239) . Una vez definida la construcción ésta se puede "mover" y deformar pero las condiciones que definen cada elemento permanecen invariables. Normalmente al abrir un programa de Geometría Dinámica aparece una ventana con un área de trabajo que desempeña el papel de pizarra donde se dibujan las construcciones geométricas. Además hay una barra con botones de herramientas y menús que permiten la definición y características de cada elemento. Catálogo de programas Existen varios programas de Geometría Dinámica, algunos de ellos ya presentados en números anteriores de LA GACETA, que son similares aunque cada uno tiene características especiales que le hacen mejor para algunas cosas. Una primera aproximación a un catálogo mínimo de este tipo de software no puede dejar de incluir los sigiuientes : Cabri-Geometre, es el más antiguo y por ello tiene la ventaja de tener el mayor número de desarrollos efectuados por usuarios, está incluso incluido en algunas calculadoras gráficas de Texas Instruments. Es sin duda el más utilizado aunque tiene algunos fallos de continuidad debidos a su codificación interna. Desarrollado por Jean- Marie Laborde y Franck Bellemain. http://www.cabri.com Geogebra. Programa muy similar a Cabri en cuanto a instrumentos y posibilidades pero incorporando elementos algebraicos y de cálculo. La gran ventaja sobre otros programas de geometría dinámica es la dualidad en pantalla: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa. Desarrollado por Markus Hohenwarter, http://www.geogebra.at. Es un programa libre y gratuito, GNU General Public License. (Rafael Losada, LA GACETA 10, nº 1, pp. 223-239) The Geometer´s Sketchpad, es tan antiguo como Cabri y con gran difusión en Estados Unidos. Tiene todas las cualidades de Cabri y además tiene posibilidades de tratamiento y estudio de funciones, lo que permite ser utilizado también en temas distintos de los estrictamente geométricos. El inconveniente es que está en inglés. Desarrollado por Nicholas Jackiw. http://www.dynamicgeometry.com Cinderella, tiene la ventaja de estar programado en Java, posee potentes algoritmos utilizando geometría proyectiva compleja, un comprobador automático de resultados y la posibilidad de realizar construcciones y visualizar en geometría esférica e hiperbólica. Por el lado negativo no admite "macros", pequeñas construcciones auxiliares que son de utilidad. (Antonio F. Costa, LA GACETA V. 4, nº 1, pp. 273-278) R y C (Regla y Compás), está también programado en Java, está traducido al castellano y tiene la ventaja de ser de libre uso y gratuito. Permite la exportación de ficheros a formato html para visualizarlos con cualquier navegador. Tiene prestaciones similares a Cinderella o Cabri aunque es menos versátil. Desarrollado por R. Grothmann. http://matematicas.uis.edu.co/~marsan/geometria/RyC/Demos/index_es.html     GEUP, está también en castellano y programado por un español: Ramón Álvarez Galván. De características similares a Cabri. Se puede descargar una versión de prueba desde la página www.geup.net. WinGeom, Otro excelente programa geométrico que no tiene nada que envidiar a los programas comerciales. Permite trabajar con herramientas de construcción y medida tanto en el plano como en el espacio. Incorpora la posibilidad de trabajar con geometría esférica e hiperbólica. Forma parte de un conjunto de distintos programas conocido con el nombre de "Peanut Software" desarrollado por Rick Parris de la Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/ Seguramente lo mejor para estudiar cuerpos geométricos sea el modelo sólido real, es decir, el propio cuerpo. Pero a veces no es tan fácil disponer de todos los cuerpos geométricos y en cantidad y tamaño suficiente. Por eso viene bien disponer de programas que permiten visualizar estos cuerpos de forma dinámica. Existen muchos programas de características similares, reseñaremos uno de ellos. Poly Pro es un programa para visualizar, analizar, desarrollar y estudiar las formas poliédricas. Puede mostrar poliedros en tres modos principales: como imagen tridimensional, como una red bidimensional aplanada, como un desarrollo plano como una incrustación topológica en el plano. Las imágenes tridimensionales pueden girarse y plegarse/desplegarse en forma interactiva. Los modelos físicos se pueden construir imprimiendo la red bidimensional aplastada, recortando luego el perímetro, plegando las aristas y finalmente pegando las caras vecinas. Poly Pro agrega la posibilidad de exportar los modelos tridimensionales usando formatos estándar para datos tridimensionales. El modelo exportado puede importarse en otros programas de modelado. Los poliedros que presentan son: Poliedros regulares. Sólidos platónicos Poliedros arquimedianos Prismas y antiprismas Sólidos de Jonson Deltaedros Sólidos de Catalán Dipirámides y deltoedros: duales de prismas y antiprismas Esferas y domos geodésicos Es un programa shareware que se puewde obtener en castellano en esta web:  http://www.peda.com/ Puede servir tanto en secundaria como en primaria para “presentar” poliedros virtuales. Valoración didáctica Como las características y aplicaciones de casi todos los programas reseñados son muy similares y en vista del excelente estudio sobre Geogebra realizado en esta misma sección en el número anterior por Rafael Losada, presentaré una valoración del potencial didáctico de uno de ellos, quizás el más popular y conocido hasta ahora entre el profesorado de secundaria. Cabri II Plus. Cabriweb El programa cabri-géométre II fue diseñado por Jean Marie Laborde y Franck Bellemain en la Universidad Joseph Fourier de Grenoble (Francia) y experimentado en sus aulas. Web:   http://www.cabri.com/ Descripción Se trata de un excelente programa diseñado para construir Geometría. Permite construir objetos geométricos, visualizarlos de forma dinámica, manipularlos, transformarlos y realizar medidas sobre ellos.  Permite estudiar en el plano y ahora con Cabri 3D también en el espacio todo tipo de propiedades geométricas y lugares geométricos de forma sencilla e intuitiva. Muy fácil de utilizar para los alumnos. El programa permite realizar con el ordenador todas las construcciones que se pueden realizar con regla, compás y las herramientas habituales de dibujo, pero con este programa se pueden manipular directamente las figuras construidas en la pantalla mediante el arrastre con el ratón de ciertas partes de ellas. De hecho, una vez elaborada una figura geométrica, Cabri reconoce cuáles son las partes (de dicha figura) que pueden ser arrastradas. Es fundamental señalar que esto ocurre, sin alterar las relaciones estructurales entre las partes constitutivas de la figura, lo que le convierte en una herramienta muy valiosa para el estudio de invariantes y propiedades geométricas de carácter general de los objetos geométricos. En concreto es un instrumento de primer orden para el estudio dinámico de lugares geométricos.     Características principales Es un programa fundamentalmente gráfico que funciona a través de un menú basado en botones para acceder a las distintas funciones. Permite construir: Puntos: aislados, sobre un objeto, como intersección. Figuras rectilíneas: rectas, semirrectas, segmentos, vectores, triángulos, polígonos y polígonos regulares Figuras curvilíneas: circunferencias, arcos de circunferencia, cónicas Construcciones y herramientas: punto medio, recta perpendicular, recta paralela, mediatriz, bisectriz, suma de vectores, construcciones con compás, transferir medidas, lugares geométricos. Movimientos en el plano: simetría central y axial, traslación, rotación, homotecia e inversión Determinación de posiciones relativas: pertenece un punto a un objeto, están alineados tres puntos, es equidistante, son paralelas dos rectas, son perpendiculares Medidas: coordenada, distancia, longitud, área, ángulo, pendiente, ecuación, valores numéricos de expresiones algebraicas, crear tablas Elementos de edición: texto sobre objetos, números, expresiones Marcas sobre objetos: ángulos, hacer trazas, animar objetos... Elementos de diseño gráfico: color, espesor, llenado, ocultar, mostrar, aspecto, punteado, ejes, cuadrícula... CABRI tiene un problema nada desdeñable, su dificultad de exportar sus gráficos y sus animaciones a otras aplicaciones más familiares para el usuario. Hace unos años los creadores de CABRI han lanzado el Proyecto Cabriweb, que permite disfrutar de las aplicaciones con animaciones y la posibilidad de manipulación de los objetos geométricos a través de cualquier navegador de Internet mediante applets de Java.  Ahora Cabri puede traducir sus aplicaciones al lenguaje Java y permite verlas en ficheros html sin necesidad de tener el programa cargado en el ordenador. La idea es simple: una aplicación llamada Cabri Web que traduce directamente un fichero de Cabri a un fichero HTML con un applet de Java incluido. La aplicación está disponible en la red en esta dirección: http://www.cabri.net/cabrijava/, con manual incluido. Aplicaciones en clase El programa permite estudiar figuras geométricas en movimiento. Esta facultad nos permitirá: Estudio de la rigidez y deformabilidad de una figura Movimientos que conservan algunas propiedades Definición apropiada de figuras en el Cabri con el fin de que tengan propiedades invariantes si son sometidas a movimientos de sus componentes. La definición de una figura a través de elementos distintos permite comprobar de forma aproximada algunas propiedades de simetría e igualdad: Definición de una figura mediante movimientos y simetrías y posterior estudio métrico. Comprobación de teoremas (Pitágoras, Tales, etc.) en figuras con elementos móviles. La facilidad de definición de movimientos, semejanzas y simetrías y la posibilidad de ocultar líneas auxiliares nos permiten la búsqueda de elementos notables entre figuras homólogas: Búsqueda por tanteo del centro y ángulo de giro o de ejes de simetría Construcción de vectores de traslación Construcción de figuras mediante movimientos Es muy interesante la combinación de elementos fijos y móviles para estudiar cómo cambian algunas relaciones según la distinta posición de algunos elementos: Diferencias entre altura, bisectriz y mediana en un triángulo. Relaciones métricas Tangentes, cuerdas y secantes a una circunferencia. Cuerda común a dos circunferencias. La posibilidad de definir macros permitirá a los alumnos mayores sintetizar en pocos elementos la definición de una figura: Construcción de paralelogramos mediante traslaciones, ángulos o puntos. Dibujo de polígonos regulares mediante giros y simetrías Construcción de figuras nuevas mediante movimientos de otras conocidas. En concreto en el segundo ciclo de la ESO el programa se puede utilizar para estudiar los siguientes contenidos: Figuras semejantes Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Relación entre las áreas de figuras semejantes. Teorema del cateto y Teorema de la altura Ángulos y Areas Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Vectores. Operaciones. Vector que une dos puntos. Ecuación de la recta. Ecuación de la circunferencia Valoración didáctica El programa es de fácil manejo y no requiere de mucho tiempo y esfuerzo para su aprendizaje. Al tratarse de un programa de dibujo se pueden comprobar los aciertos y errores de la construcción de forma automática. La manipulación directa de los objetos geométricos hace posible la experimentación en dominios que anteriormente eran inaccesibles para el alumno. Además, su conocimiento queda marcado por relación directa entre percepción y conceptualización durante la interacción con el programa y la socialización en el marco de la clase. Cabri incorpora herramientas de medida directa de los objetos construidos lo que permite desarrollar no sólo un enfoque sintético de la geometría sino que hace posible abordar problemas métricos sobre objetos geométricos reales, algo poco trabajado en clase hasta ahora. Dado el control formal del entorno, las experiencias desarrolladas pueden considerarse como genuinas investigaciones geométricas. La visualización y las representaciones externas permiten atender otro problema medular del aprendizaje y de la enseñanza de las matemáticas: el problema de la validación de los enunciados matemáticos y de la comprobación de los resultados. Metodología de uso Cabri  facilita una metodología activa en la que los alumnos además de construir figuras, pueden experimentar con ellas, comprobar conjeturas, descubrir propiedades y, en definitiva, hacer Geometría. El papel del profesor será fundamentalmente, el de preparar el material impreso de apoyo, observar y ayudar para resolver las dudas particulares de cada equipo, el de motivar para la actividad y promover la reflexión, el intercambio de conjeturas y conclusiones, etc. Se puede plantear dos posibilidades de uso del programa: El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas y desarrollando auténticas investigaciones geométricas y de descubrimiento de propiedades de los objetos estudiados. En este caso, las actividades han de ser auto-explicativas para que los alumnos vayan teniendo cada vez más autonomía. También serán necesarias explicaciones al grupo (sobre todo al comienzo de cada sesión en que conviene aclarar el sentido de lo que se va hacer y puede que también cómo transcurrió la sesión anterior). El uso como pizarra digital en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto propiedades de las figuras y cuerpos, relaciones entre los elementos de las figuras, resultados métricos, para mostrar situaciones y realizar comprobaciones. Mediante la aplicación Cabriweb se pueden pasar los modelos a formato html lo que hace posible verlos con un navegador en ordenadores que no tienen el programa Cabri cargado. Existen muchas y muy buenas direcciones de Internet con aplicaciones didácticas desarolladas con estos programas. Entre ellas hay que destacar: Curso de Geometría. 2º Premio materiales CNICE 2005. De José Manuel Arranz http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/2eso.htm Geometría con Cabri. http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/ Modelos de máquinas y mosaicos con Cabri, de José Antonio Mora http://teleline.terra.es/personal/joseantm/ Más modelos de Carmen Arriero e Isabel García http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/ Colección de aplicaciones de Carlos Fleitas en la web del IES Marqués de Santillana de Colmenar Viejo http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/inddep.htm Algunos ejemplos en la página del IES Salvador Dalí http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/index.html   Conclusión Al fin parece posible, si la estabilización de los currículos lo permite de manera definitiva o al menos durante unos pocos años, que la geometría recupere el sitio que nunca debía haber perdido en las aulas de primaria y de secundaria. Y no nos referimos exclusivamente a la geometría analítica. La geometría sintética, la geometría descriptiva, la que estudia además de medidas, relaciones y propiedades de las formas y figuras, desaparecida durante muchos años de las aulas, debe volver a ellas por el bien de todos. Es por otra parte la rama de las matemáticas más facilmente visualizable y manipulable. Apuntaba Miguel de Guzmán, hace diez años, (El Rincón de la pizarra, Pirámide 1996), que era muy razonable pensar que el reforzamiento de la visualización que se percibe en la actualidad en el quehacer matemático en general y en los procesos de transmisión de las formas consagradas de proceder ha de conducir a una mayor facilidad de los futuros matemáticos y usuarios de las matemáticas; y añado yo que también de los profesores y sobre todo de los estudiantes de matemáticas en cualquier nivel educativo. En la actualidad las tecnologías de la información y de la comunicación y el software propio de matemáticas hace posible, e incluso necesario, reivindicar no sólo un rincón de la pizarra para visualizar las ideas matemáticas, sino en el caso de la geometría la pizarra completa; y mejor si es digital. Hoy en día la dotación de los centros de secundaria con aulas de informática, proyectores, pizarras digitales... y la existencia y accesibilidad de un software potente y atractivo hacen posible que la aproximación de los jóvenes a la geometría se produzca como una verdadera actividad matemática: como una actividad de auténtica investigación. Los programas estudiados nos permiten convertir nuestras aulas en auténticos laboratorios de geometría. No los desaprovechemos.   REFERENCIAS J. M. Arranz. Análisis de estructuras geométricas con CABRI II. El lenguaje de las matemáticas en sus aplicaciones. MEC. Madrid 2002. pp.11-45 M. de Guzmán La experiencia de descubrir en Geometría. Ed Nivola 2002. M. de Guzmán. El rincón de la pizarra. Pirámide 1996 MEC. La Enseñanza de las Matemáticas a Debate: Referentes Europeos. Madrid 2001 MEC. Marcos teóricos de PISA 2003. INECSE. Madrid 2004 MEC.  Metodología y aplicaciones de las matemáticas en la ESO. . Madrid 2004 NTCM. Principios y estándares para la Educación Matemática del NCTM. (National Council of Teachers of Mathematics). SAEM Thales. Granada 2003 NTCM. Principles for School Mathematics, The Technology Principle.  Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) http://standards.nctm.org/document/chapter2/techn.htm A. Pérez Sanz  El lenguaje de las matemáticas en sus aplicaciones. MEC. Madrid 2002. Pp. 201-221 A. Pérez Sanz .Integración de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en las clases de Matemáticas. Proyecto de investigación CAM. 2006 A. Pérez Sanz . Lenguajes gráficos en Matemáticas. Revista de Didáctica de las Matemáticas, UNO. Ed. GRAÓ Educación. nº 4. 1995. A. Pérez Sanz .Matemáticas en Internet. Cuadernos de Pedagogía. Nº 288. Febrero 2000 A. Pérez Sanz. Internet en el aula de secundaria, Unaventana al mundo matemático. Usos matemáticos de Internet. MEC. Madrid 2005 Secretarías de Comercio y Educación de los Estados Unidos. Informe “2020 Visions, Transforming Education and Training Through Advanced Technologies”, 2002. http://www.ta.doc.gov/reports/TechPolicy/2020Visions.pdf. Visiones 2020: Los Sistemas de Aprendizaje de Próxima Generación http://www.ta.doc.gov/reports/TechPolicy/2020Visions.pdf. Visiones 2020: Viñetas sobre las Futuras Tecnologías de Aprendizaje http://www.ta.doc.gov/reports/TechPolicy/2020Visions.pdf. VV.AA  Matemáticas para el siglo XXI.. Universitat Jaume I. Valencia 2006. VV.AA. El currículo de matemáticas en los inicios del siglo XXI. GRAÓ. Barcelona. 2000 VV.AA Enseñar matemáticas. GRAÓ. Barcelona. 1996 Páginas de Internet José Manuel Arranz: http://roble.pntic.mec.es/%7Ejarran2/ Página de aplicaciones educativas de Cabri-Geometre II y Cabri-java Curso de Geometría. 2º Premio materiales CNICE 2005. http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/2eso.htm Página de aplicaciones educativas de Cabri-Geometre II y Cabri-java José Antonio Mora http://www.terra.es/personal/joseantm/ Página de aplicaciones educativos de Cabri-Geometre II y Cabri-java y propuestas didácticas completas de aplicación de estos programas Carmen Arriero e Isabel García http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/ . Modelos de Cabri Antonio Pérez. Matemáticas: http://platea.pntic.mec.es/aperez4/ IES Marqués de Santillana, Colmenar:  http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/inddep.htm Excelente página con unas cuantas propuestas de temas de geometría dinámica tratados con programas informáticos IES Salvador Dalí, Madrid:  http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1 Página del departamento de matemáticas.Incluye materiales para el aula y los materiales elaborados en el proyecto Más allá de la tiza y la pizarra, premio de la CAM en 2001 IES Pravia.  http://www.iespravia.com/mates/prog/programacion/indice.htm Programación y recursos de matemáticas por niveles (Artículo de la sección "Matemáticas en las Aulas de Secundaria" de La Gaceta de la RSME, Vol. 10.2, 2007)
Sábado, 01 de Septiembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Recursos didácticos en Internet
Autor:Rafael Losada Liste
¿Desea usted crear una serie de aplicaciones didácticas personalizadas que sirvan de recurso para la comprensión profunda de axiomas, propiedades y teoremas geométricos en la educación secundaria? ¿Que puedan usarse vía Internet? ¿Operativas en cualquier sistema? ¿Que incluyan capacidades de cálculo numérico y simbólico? ¿Donde se pueda trabajar con ecuaciones? ¿Desea usted, también, que permitan el estudio de las funciones elementales, el uso de parámetros y la representación de derivadas e integrales? ¿Y, ya puestos, dotadas de un entorno amigable que permita una interacción inmediata con ellas? ¿Con una estética depurada? ¿Sin problemas de accesibilidad, pues hay que pensar en todos? No lo dude: estudie a fondo algún lenguaje de programación orientada a objetos como Java o ActionScript, algo de XHTML para su implantación en la web, condiméntelo con un poco de JavaScript y XML si es preciso, y... dedíquele miles de horas. Le deseamos mucha suerte. Aunque, si no es usted persona chinchorrera o quisquillosa, existe otra posibilidad. Afortunadamente para usted y para mí, y para muchos más como nosotros, hace ya algunos años que de la parte pesada, la programación, se vienen ocupando los expertos. Markus Hohenwarter, desde el departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Salzburgo, es uno de estos desarrolladores que pone a nuestra libre disposición un entorno sencillo, amigable y potente con el que podemos realizar fácilmente construcciones geométricas y analíticas. Este entorno se llama Geogebra, es extremadamente fácil de manejar, se gestó en el año 2001 y se encuentra disponible en la dirección www.geogebra.at. Antes de nada, hay que señalar que este software se encuentra actualmente en fase de ampliación, por lo que están previstas mejoras y complementos, como añadir macros o animaciones, para las próximas versiones. Realizado en Java (geogebra.jar), guarda cada una de nuestras construcciones en un archivo XML de extensión ggb. La versión 2.7.1.0, la última en este momento, es la que se analiza en este artículo. Nada menos que siete facetas muy interesantes saltan a la vista al aproximamos a Geogebra, sin adentrarnos todavía en su funcionalidad: Es gratuito y de código abierto (GNU GPL). Está disponible en español, incluido el manual de ayuda. Presenta foros en varios idiomas, el castellano entre ellos. Ofrece una wiki en donde compartir las propias realizaciones con los demás. Usa la multiplataforma de Java, lo que garantiza su portabilidad a sistemas de Windows, Linux, Solaris o MacOS X. Las realizaciones son fácilmente exportables a páginas web, por lo que podemos crear páginas dinámicas en pocos segundos. En su corta historia ya ha obtenido una serie de prestigiosos premios, el último este mismo año 2006. En su excelente informe El profesorado de matemáticas ante las Tecnologías de la Información y la Comunicación (La Gaceta de la RSME, vol. 9, nº 2), Antonio Pérez Sanz clasifica el software para Matemáticas en dos categorías, según la funcionalidad: la general (en donde entraría Derive) y la específica (en donde entraría Cabri, para la geometría). Seamos ahora más precisos. Existe una categoría de programas conocida como Sistemas de Álgebra Computacional (CAS, en inglés), que permiten cálculos simbólicos y numéricos, y también representaciones simbólicas. Aquí entrarían Derive (Tecnología para el realismo en la enseñanza del Cálculo Integral, La Gaceta de la RSME, vol. 5, nº 2), Mapple (La Gaceta de la RSME, vol. 1, nº 1), Mathematica (La Gaceta de la RSME, vol. 1, nº 3) y MathLab (La Gaceta de la RSME, vol. 3, nº 2), entre otros. Los comandos se introducen, esencialmente, con el teclado. Otra categoría se conoce como Sistemas de Geometría Dinámica (DGS).Estos entornos permiten la introducción directa en la ventana gráfica de objetos geométricos y la representación dinámica de los mismos. Aquí estarían Cabri, Cinderella (La Gaceta de la RSME, vol. 4, nº 1) y otros. Los comandos se introducen, fundamentalmente, con el ratón. Geogebra tiene algo de las dos categorías, pero no de forma separada, y esto es lo más interesante. Combina las representaciones gráficas y simbólicas ofreciendo ambas al mismo tiempo, lo que genera un gran valor añadido. En los siguientes apartados, la palabra “objeto” se refiere a cualquier tipo de dato o resultado, no necesariamente geométrico, que el usuario puede introducir en escena: números, puntos, ecuaciones, funciones, etc. Geogebra como Sistema de Geometría Dinámica (Geogebra Geometry) Veamos primero a Geogebra como un ejemplo de DGS. Estos programas de ordenador permiten la creación y manipulación de construcciones geométricas. Dentro de este amplio grupo, la mayoría, como Geogebra (al menos de momento), se limita a la geometría en el plano (2D). El modus operandi es común a todos ellos y consiste en situar unos cuantos objetos geométricos (puntos, rectas, círculos, polígonos...) en la ventana gráfica. Estos objetos iniciales, a los cuales podemos añadir más en el proceso de construcción, son libres, es decir, independientes. Basándonos en ellos, podemos agregar nuevos objetos geométricos dependientes, como puntos medios, mediatrices y lugares geométricos en general. También podemos realizar mediciones sobre los objetos construidos e incluso usar estas mediciones para la creación de nuevos objetos. En cualquier momento, basta resituar los puntos de partida, es decir, modificar las condiciones iniciales, para visualizar los cambios que produce esta nueva ubicación en toda la construcción. Como ya se ha mencionado, todos estos procesos se realizan, fundamentalmente, con pulsaciones y arrastres del ratón. Geogebra permite el estudio de construcciones con regla y compás, geometría analítica y vectores. Es indudable que el núcleo principal de Geogebra está diseñado para estos cometidos. Incluso podemos usar una versión exclusivamente geométrica de Geogebra, llamada Geogebra Geometry, que reduce el programa a estos procesos con el ratón, eliminando la parte algebraica. Esta aplicación reducida puede resultar especialmente práctica en los primeros niveles del aprendizaje de la geometría (educación primaria). Los DGS pueden ser divididos en dos categorías: determinísticos y continuos (ambas categorías son excluyentes). Cabri es determinístico, mientras que Geogebra es continuo. En los programas determinísticos, como Cabri, todas las construcciones quedan totalmente determinadas por los puntos o números iniciales, pero algunas construcciones puede comportarse de forma inesperada cuando se mueven esos puntos. Por el contrario, en los programas continuos, como Geogebra, muchas construcciones dependen de una serie de parámetros ocultos, predefinidos por el programador, por lo que la construcción adquiere mayor libertad y consistencia. En este tipo de programas existe el riesgo de que una serie de pasos que teóricamente nos debería devolver a la misma posición inicial no lo consiga, pero este problema parece estar resuelto en Geogebra. La estética es muy importante en geometría, en donde la belleza de las formas y sus propiedades han llamado la atención del mundo intelectual desde hace siglos. Sin llegar a la calidad excepcional de los mejores programas de representación de gráficos vectoriales, Geogebra ofrece una estética digna. Dispone de varios tipos de estilos aplicables a los objetos, como grosor, color y transparencia. En las siguientes imágenes, en donde los píxeles han sido aumentados varias veces, podemos comparar el suavizado de las líneas (antialiasing) de Geogebra, a la izquierda, con la misma línea dibujada en Cabri, a la derecha.. Además, Geogebra puede exportar la zona gráfica como una imagen vectorial (eps).   Geogebra también permite importar imágenes (gif, jpg, tif o png) y tratarlas como mapas de bits. Esto significa que podemos usar fotos, patrones visuales o dibujos no sólo para integrarlos en el escenario (como imagen de fondo, por ejemplo) sino como propios objetos geométricos susceptibles de transformaciones (traslación, homotecia, reflexión, rotación o distorsión). Las imágenes importadas también disponen de índice de transparencia. La práctica opción del menú Captación de puntos a la cuadrícula permite situar fácilmente puntos en coordenadas precisas con un solo clic.     Geogebra como Sistema de Álgebra Computacional Veamos ahora a Geogebra como un ejemplo de CAS. Estos programas de ordenador permiten el cálculo numérico y simbólico. En este sentido, Geogebra es modesto, pues no hay que olvidar que la finalidad de este programa es facilitar el aprendizaje escolar. Geogebra permite introducir directamente expresiones numéricas, puntos, vectores, ecuaciones de rectas y cónicas, y funciones. A partir de ellas, puede resolver sistemas, hallar las raíces de una función, o representar la función derivada y una primitiva. La entrada (input) de los comandos se realiza en una ventana de una sola línea, situada en la parte inferior de la pantalla. Casi todos los comandos están en español. La salida (output) se presenta en la ventana algebraica, situada en la parte izquierda de la pantalla. Esta ventana algebraica no sólo es de salida, sino también de reentrada, de forma que se puede volver a editar cualquiera de los objetos (si conserva algún grado de libertad). Geogebra no ofrece una representación simbólica de los resultados numéricos, sino una aproximación de los mismos. Las expresiones con fracciones, raíces, y operadores en general, están permitidas en la introducción de datos numéricos, pero desaparecen en la salida (salvo en las funciones), quedando reducidas a una aproximación decimal. Geogebra tampoco permite el tratamiento indefinido de variables (salvo x e y, que están reservadas). Una letra no puede representar, por ejemplo, un número real cualquiera. Así, aunque podemos calcular la derivada de f(x) = 2x, no podemos generalizar el cálculo a la derivada de f(x) = kx. La constante k debe poseer en todo momento algún valor concreto. De igual modo, tampoco podemos discutir un sistema lineal según los valores de un parámetro indefinido. En el siguiente apartado veremos el motivo de estas carencias. Geogebra como combinación de DGS y CAS Podemos considerar todo lo anterior como una mera introducción a la idea principal en la que se basa Geogebra. La potencia didáctica que posee este programa se fundamenta en la visualización simultánea de dos tipos diferentes de representación: la gráfica y la simbólica. La pantalla de Geogebra se divide en cinco zonas: el menú y los botones, en la parte superior, la entrada de comandos en la inferior, la gran zona gráfica a la derecha y la zona algebraica a la izquierda. Se observa el esfuerzo que se ha realizado para que la introducción de los objetos sea lo más sencilla posible. En la imagen de la izquierda vemos con más detalle la zona algebraica. Los puntos A, B, C, D, E y P pudieron ser creados con el ratón o bien ser definidos en la entrada de comandos. En cualquiera de los dos casos la representación simbólica y gráfica será la misma. Es decir, Geogebra muestra una identificación visual permanente entre las coordenadas de un punto y su representación en el plano. Lo mismo sucede con los objetos dependientes que vemos. No sabemos si la cónica c, o las tangentes t1 y t2, o los ángulos α, β y γ, fueron construidos con el ratón directamente sobre la pantalla gráfica o usando el teclado en la línea de entrada de comandos (en realidad, yo sí lo sé, puesto que fueron mis acciones, pero usted no puede saberlo). Analicemos ahora las carencias observadas en Geogebra como CAS: falta de exactitud en la representación numérica e imposibilidad de manejar variables indefinidas. Para ello nos serviremos de una sencilla construcción que realizaremos paso a paso. Empezamos introduciendo en la línea de comandos el número 1, y pulsando la tecla Intro, sin más. Observamos que Geogebra ha asignado un nombre automáticamente a este número (Geogebra sigue normalmente el orden alfabético, añadiendo un subíndice en caso de repetición). Pero ¡la ventana gráfica permanece vacía! Si hacemos clic derecho sobre el ítem de la ventana algebraica, surge un menú contextual en donde vemos que la opción “Expone objeto” se encuentra desactivada. Cuando la activamos, aparece un deslizador, representando el valor del número, en la ventana gráfica. Si lo deseamos, podemos modificar los extremos del intervalo en el que se mueve el deslizador, así como el incremento de paso. Volvamos a la línea de entrada de comandos y escribamos (a, a/3). Inmediatamente se modifican las dos ventanas, algebraica y gráfica: Observamos de nuevo la letra automática, mayúscula al tratarse de un punto, y la aproximación de 1/3 a 0.33 (la precisión varía, a nuestra elección, entre 0 y 5 decimales). El punto A es un objeto dependiente, pues sus coordenadas dependen del valor del número a. Ahora elegimos la opción de “Activa Trazo” en el punto A y variamos de forma continua el valor de a (entre –5 y 5, en este caso) arrastrando el deslizador: Si se hubiese respetado la expresión fraccionaria a/3, la variación continua no nos permitiría observar los cambios en el valor de la ordenada del punto A. Al convertir las expresiones numéricas en aproximaciones decimales, se consigue que la observación de las variaciones se realice al mismo tiempo en las dos ventanas, permitiendo una correspondencia visual entre ambas representaciones, numérica y gráfica, de alto valor pedagógico. Usando un símil ajedrecístico, es como un jaque mate con sacrificio previo de dama. La otra carencia observada, la imposibilidad de trabajar con variables indefinidas, es de nuevo consecuencia del objetivo prioritario de mantener esta correspondencia visual entre las dos ventanas. Una variable indefinida no puede ser representada gráficamente, a menos que adquiera un valor concreto. Así, la función f(x) = kx corresponde en realidad a toda la familia de funciones lineales, cuya representación eclipsaría totalmente la ventana gráfica. Algo nada deseable. Con Geogebra se pueden usar coordenadas cartesianas o polares. Las ecuaciones de las rectas pueden ser vectoriales, paramétricas, generales o explícitas. También se ofrecen distintas alternativas a las ecuaciones de las cónicas. Todo ello con el propósito de insistir en la dualidad de las representaciones, simbólica y gráfica.     Los modos Veamos algunos ejemplos de la correspondencia entre acciones de botones (Geogebra las llama “modos”), ejecutables con el ratón, y comandos. Justo encima de la línea de comandos, la barra de estado nos recuerda en todo momento el modo seleccionado y la razón entre las escalas de los ejes. Geogebra denota, por defecto, a los puntos y polígonos con mayúsculas y a los demás objetos (números, vectores, lugares geométricos, ecuaciones y funciones) con minúsculas. Así, si escribimos A = (2, 3), Geogebra entiende que el objeto es un punto, mientras que si escribimos a = (2, 3) interpreta que es un vector libre. Para los ángulos usa el alfabeto griego. También se pueden añadir subíndices, sean números o letras. Objetos libres (en sentido estricto) k = 2 A = (2, 3) Objetos geométricos básicos y puntos sobre objetos u = Vector [A, B] (libre por ingreso directo) r = Recta [A, B] (libre por ingreso directo) c = Circunferencia [O, A] (libre por ingreso directo) c = Cónica [A, B, C, E, D] (libre por ingreso directo) A = Punto [c] (subordinado al objeto c)   Objetos de creación directa situando puntos libres (aunque dependientes, libres en sentido amplio) r = Semirrecta [A, B] r = Segmento [A, B] c = Semicircunferencia [A, B] c = Circunferencia [A, B, C] P = Polígono [A, B, C, D] c = ArcoCircular [O, A, B] a = SectorCircular [O, A, B] c = ArcoCircunferencia [A, B, C] a = SectorCircunferencia [A, B, C] Objetos calculados a partir de otros r’ = Perpendicular [A, r] u’ = Vector [A, u] r’ = Recta [A, r] A = Intersección [r, s] r = Mediatriz [A, B] C = PuntoMedio [A, B] r = Bisectriz [A, O, B] A’ = Reflexión [A, O] A’ = Reflexión [A, r] A’ = Translación [A, u] r = Tangente [A, c] r = Polar [A, c] Objetos resultados de mediciones k = Distancia [A, B] α = Angulo [A, O, B]   Objetos a partir de una distancia o un ángulo dado r = Segmento [A, k] (compás) c = Circunferencia [O, k] α’ = Angulo [A, B, α] A’ = Rotación [A, α, O] A’ = Dilatación [A, k, O]   Modos que no crean nuevos objetos LugarGeométrico [A’, A] Relación [a, b] Borra [a] Objetos libres por ingreso directo De la misma forma que podemos ejecutar todas las acciones anteriores directamente en la ventana gráfica con ayuda del ratón, también podemos ingresar directamente en la línea de entrada los objetos básicos (números, ángulos, puntos, vectores, rectas, cónicas y funciones) escribiendo sus coordenadas, ecuaciones,  expresiones numéricas o expresiones algebraicas. Todos los objetos así ingresados son libres. Geogebra está especialmente diseñado para que el máximo rendimiento se obtenga combinando los dos medios de creación de objetos: el ratón y el teclado. La siguiente tabla recoge las constantes, operadores y funciones elementales que podemos usar. Las operaciones aritméticas básicas se aplican también a puntos y vectores. Así, podemos introducir el objeto G, baricentro del triángulo ABC, simplemente escribiendo G = (A+B+C)/3. O bien, si llamamos a, b y c a los vectores de posición de A, B y C, podemos obtener el vector de posición de G escribiendo g = (a+b+c)/3. Constantes lógicas: verdadero, falso true     false     Constantes numéricas: e, π exp(1)     pi   Constante π/180 (conversión grados a radianes) º Operadores de relación (devuelve true o false) <          <=          >         >=          ==          Operadores lógicos Y, O (devuelve true o false) &&          || Paréntesis, suma, resta, división, factorial ( )           +           -          /           ! Multiplicación y producto escalar, potencia * o espacio     ^ o superíndice Cualquier expresión en x (función) Por ejemplo,   x^3 - 2 x Cualquier ecuación de 1º ó 2º grado en x, y Por ejemplo,   c: x2 + 2 x y + 2 y2 + 2 x + 2 y = 5 Valor absoluto, signo, raíz cuadrada abs( )    sgn( )     sqrt( ) Parte entera, redondeo, entero por exceso floor( )     round( )     ceil( ) Exponencial, logaritmo natural, gamma exp( )     log( )     gamma( ) Trigonométricas directas e inversas sin( )    cos( )    tan( )    asin( )    acos( )    atan( ) Hiperbólicas directas e inversas sinh( )    cosh( )    tanh( )    asinh( )    acosh( )    atanh( ) Por ejemplo, basta escribir x^2/25 + y^2/16 = 1 para que en la ventana gráfica aparezca la elipse correspondiente. Referencias a ejes y coordenadas El sistema de coordenadas está fuertemente implantado en Geogebra. De hecho, es la clave entre las relaciones existentes entre las dos ventanas, algebraica y gráfica. Eje de abscisas, eje de ordenadas ejeX     ejeY Abscisa de un punto, ordenada de un punto x( )        y( ) Comandos exclusivos a través del teclado Además de los modos y sus comandos asociados, y del ingreso directo, Geogebra ofrece otros comandos, en donde podemos observar el especial interés que se muestra en el estudio de los elementos principales de cónicas y funciones. Geogebra ayuda a la introducción de comandos de cuatro formas: Mostrando una lista con todos los comandos, donde podemos elegir el deseado con un simple clic. Autocompletando los nombres de los comandos al introducir las primeras letras, bastando pulsar Intro para pasar a escribir los argumentos. Pulsando en el botón Entrada, lo que activa el modo del mismo nombre, que otorga la posibilidad de introducir el nombre de un objeto en la línea de comandos simplemente haciendo clic sobre él en cualquiera de las dos ventanas, algebraica o gráfica. Ofreciendo listas de símbolos frecuentes, como exponentes, factor de conversión a radianes o letras griegas. Comandos de geometría Dirección[recta], VectorPerpendicular[recta], Longitud[vector], Versor[recta], VersorPerpendicular[recta] Area[vértice, vértice, vértice…], Centroide[polígono], Radio[círculo] Vértice[cónica], Centro[cónica], Foco[cónica], Ejes[cónica], PrimerEje[cónica], EjeSecundario[cónica], LongitudPrimerEje[cónica], LongitudEjeSecundario[cónica], Excentricidad[cónica], Parábola[foco, directriz], Directriz[parábola], Parámetro[parábola], Elipse[foco, foco, eje], Hipérbola[foco, foco, eje], Asíntota[hipérbola] Comandos de análisis Función[f, a, b], PolinomioTaylor[f, a, n] Raíz[f, valor inicial] (método de Newton), Raíz[f, a, b] (método de regula falsi) Pendiente[recta], Derivada[f, n], Tangente[abscisa, f], Integral[f] Polinomial[polinomio factorizado], Raíz[polinomio], Extremos[polinomio], PuntoInflexión[polinomio] SumaInferior[f, a, b, n], SumaSuperior[f, a, b, n], Integral[f, a, b], Integral[f, g, a, b] En los comandos de análisis que ofrece Geogebra se observa un cuidadoso interés por las representaciones que ayuden a la comprensión de los conceptos básicos. Es el caso, por ejemplo, del comando Pendiente, que anexa a una recta un triángulo rectángulo de cateto horizontal unidad con hipotenusa yaciente sobre la misma, representación extremadamente útil para comprender los conceptos de pendiente, derivada y función derivada. O el caso de SumaInferior y SumaSuperior que dibuja rectángulos por debajo y por encima de la gráfica de la función. O el comando Integral[f, g, a, b], que sombrea la región comprendida entre las gráficas de dos funciones.   Comando condicional If [condición, devolver si se cumple, devolver si no se cumple] Este último comando es muy útil para crear nuestros propios botones, para hacer aparecer o desaparecer objetos en la ventana gráfica arrastrando un deslizador, por ejemplo, y para definir objetos complejos, como pueda ser una función definida a trozos. La siguiente imagen recoge una función definida en dos tramos (como un único objeto). El valor del deslizador b marca la frontera entre ambos. Completa la imagen la construcción punto a punto de la función derivada, introduciendo un punto, con el trazo activado, cuya ordenada es el valor de la derivada. La combinación de todo ello permite la discusión de la continuidad y la derivabilidad de la función, según los valores de b, de forma profunda y dinámica. Herramientas de edición y visualización El menú contextual (arriba, a la izquierda) es muy útil para acceder rápidamente al estado de cada objeto. Basta pulsar el botón derecho del ratón sobre un objeto en cualquiera de las dos ventanas. Aquí se encuentran disponibles varias opciones muy interesantes. La opción Activa Trazo permite visualizar el rastro de un objeto al moverse. La opción Objeto Auxiliar permite liberar las carpetas de objetos libres y dependientes que no son esenciales en la construcción. Las opciones de Edita y Entrada nos permiten modificar la definición del objeto, aunque normalmente para editar un objeto basta hacer doble clic sobre él. La opción Redefine permite liberar o subordinar el objeto a otros, lo que conlleva un enorme potencial pedagógico en muchas construcciones geométricas. La ventana protocolo de construcción (arriba, a la derecha) muestra todas las etapas de la construcción, y permite intercalar o modificar la secuencia. También podemos mostrar la barra de navegación, que se ve en la imagen de arriba, sin necesidad de abrir el protocolo. Todo ello a través del menú Visualiza, en donde también podemos elegir qué ventanas deseamos mostrar u ocultar. El botón Copia estilo visual facilita la rápida mejora de la estética de los objetos. Además de usar el botón Borra objetos, se pueden eliminar objetos pulsando la tecla Suprimir.   Los conocidos y muy útiles botones para deshacer y rehacer las últimas acciones. El menú contextual de la zona gráfica facilita la modificación rápida del entorno gráfico. Accesible al hacer clic derecho sobre la zona gráfica. Los ejes y la cuadrícula se pueden mostrar u ocultar en cualquier momento. Es particularmente interesante la opción que nos permite establecer la razón entre las escalas de los ejes X e Y.      Los botones de Zoom nos permiten acercar o alejar zonas de la construcción.      Los botones Expone/Oculta objetos y Expone/Oculta rótulos nos permiten mostrar sólo los objetos y nombres esenciales en la construcción. Herramientas de inserción El botón Inserta texto permite añadir comentarios, etiquetas y fórmulas. Admite LaTeX, y dispone de una lista predefinida para introducir fácilmente los símbolos más usuales. El botón Intercala imagen permite añadir una imagen de fondo (estática) e insertar imágenes cuyos vértices son puntos libres o dependientes (dinámicas). Estos puntos se asocian en las propiedades de la imagen o bien con el comando Esquina [imagen, nº de esquina]. Herramientas de desplazamiento El botón Desplaza nos permite trasladar y seleccionar objetos (incluso varios a la vez, manteniendo presionada la tecla de Control). El botón Rotación alrededor de un punto permite establecer un centro de giro para los puntos. El botón Desplaza la zona gráfica permite desplazar toda la construcción. Herramientas de animación Como ya se ha comentado, están previstas herramientas de animación desatendida en futuras versiones. Por el momento, existen cuatro métodos que pueden provocar la animación de una construcción: Arrastrar un objeto con el ratón. Por ejemplo, toda la construcción puede realizarse a escala a partir de la distancia entre dos puntos. Moviendo uno de ellos automáticamente la construcción se amplía o reduce. Seleccionar un punto y pulsar de forma continua las teclas de flecha o las teclas + y -. Usar los números como parámetros en un intervalo y arrastrar los deslizadores correspondientes. Seleccionar un número en la ventana algebraica y pulsar de forma continua las teclas de flecha o las teclas + y -. Pueden combinarse con las teclas Control o Alt para aumentar el incremento de paso. Creación de macros Las “macros” son listas ordenadas de acciones que se graban en paquetes con un nombre. Al ser ejecutadas, se comportan como un comando más. Por ejemplo, podemos crear las acciones para construir un triángulo equilátero a partir de una altura dada y grabar todo el proceso en un nuevo comando llamado “TriánguloEquiláteroDeAltura”. Todavía no se cuenta con este interesante y práctico recurso en la actual versión de Geogebra, aunque está prevista su disponibilidad en futuras versiones. Creación de páginas web interactivas Cualquiera de nuestras construcciones puede exportarse como una aplicación interactiva (applet de Java) embebida en una página web con un simple clic. Para los usuarios avanzados, Geogebra también dispone de una lista de parámetros ajustables en el código html del applet incrustado. Si usted es de los exigentes y todavía pide más versatilidad, Geogebra le ofrece todo un repertorio de métodos de JavaScript que le permitirán comunicar los objetos y propiedades de la aplicación con comandos html u otras aplicaciones. Conclusión Geogebra es un programa pensado para el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, intuitivo, fácil de usar, de estética cuidada, con grandes posibilidades pedagógicas y en continuo desarrollo. Para el profesorado y el alumnado de educación secundaria puede ser más que un recurso. Puede ser una gozada. (Artículo de la sección "Matemáticas en las Aulas de Secundaria" de La Gaceta de la RSME, Vol. 10.1, 2007)
Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
INTRODUCCIÓN. Desde su aparición, la calculadora, ha ido incorporándose sin pausa en el mundo en el que nos desenvolvemos, sobretodo con el abaratamiento de sus modelos más básicos. Aunque actualmente en algunas actividades está siendo desplazada por los ordenadores, siguen encontrándose como ayuda para la realización de cálculos por personas, que aunque es seguro que en su momento aprendieron los algoritmos clásicos de lápiz y papel, en la actualidad, en su vida cotidiana, por rapidez y seguridad, no recurren a ellos sino a la calculadora. No es extraño ir a comprar a algún pequeño comercio y ver que el quiosquero, el panadero o el vendedor de ultramarinos echan mano de ese artilugio para realizar las cuentas de nuestras compras. A pesar de esa cotidianidad el uso de la calculadora (o máquinas que la superen) sigue sin llegar en gran medida al mundo educativo. Hay muchos profesores de matemáticas que siguen siendo enemigos acérrimos de su utilización en el aula. Así se da el contrasentido de que nuestros alumnos la usan para hacer cálculos en muchas asignaturas (Ciencias de la Naturaleza, Ciencias Sociales, Física y Química, Tecnología, etc.) y no en aquella donde deben aprender a calcular. Esto conlleva que los alumnos no saben aprovechar realmente las posibilidades de ese aparato, pues nadie suele entretenerse en explicarles cómo sacar provecho real de él. Porque si hay una cosa evidente es que nuestros alumnos utilizan la calculadora para realizar sus cálculos cotidianos, ya que la mayoría cuenta con dicho aparato a su alcance, muchos de ellos ya operan directamente con los teléfonos móviles (igual que hubo una época en que proliferaron los relojes de pulsera con calculadora incorporada). No es pretensión de este artículo hablar sobre las ventajas o más bien necesidades del uso de la calculadora en las clases de matemáticas. Para todo aquel que no esté convencido de este hecho aconsejamos la lectura de los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática del National Council of Teachers of Mathematics (versión española por la S.A.E.M. THALES) donde se aclarará la importancia de utilizar la calculadora dentro de la asignatura de matemáticas. Existen muchas actividades atractivas (especialmente juegos de los que hablaremos aquí) que permiten trabajar contenidos de forma que los alumnos utilicen la calculadora de una manera racional, aprendan a manejarla y potencien las capacidades lógicas y de cálculo mental. En este artículo queremos presentar algunas de ellas y en los libros señalados en la bibliografía se pueden encontrar muchas más.   ENCONTRAR LA FRACCIÓN. Esta actividad es individual, aunque puede ser resuelta en pequeños grupos de trabajo. El planteamiento es muy simple, pero el proceso de resolución puede ser muy rico. Se presenta el número 0,7307692, indicando que es el resultado que hemos obtenido en nuestra calculadora básica al dividir dos números enteros menores o iguales que 30. El objetivo es encontrar la fracción de números enteros cuya expresión decimal (truncada porque no cabe completa en la pantalla, es decir, eliminando el resto de decimales) corresponde con ese número. Muchos alumnos suelen comenzar a probar indiscriminadamente divisiones entre enteros menores que 30. Es conveniente insistirles en que antes de comenzar a probar las 900 divisiones posibles, se debe planificar el trabajo y sobre todo estudiar cómo debe ser la fracción que da lugar a ese decimal. A los alumnos se les debe pedir que escriban en sus cuadernos el razonamiento que han seguido en la búsqueda de la solución. En el desarrollo de esta actividad aparece la dificultad de relacionar unas operaciones numéricas con otras. Por más que insistimos en clase, los alumnos no tienen asimilado que la división es la operación contraria al producto, y que si a/b = c eso quiere decir que a=b·c (algo sobre lo que hay que insistir incluso unas en bachillerato cuando aparecen los límites indeterminados). ATRAVIESA EL PANAL. Es un juego para dos jugadores. Se necesitan un tablero como el que aparece a continuación, una calculadora y un puñado de fichas de dos colores, uno para cada uno de los jugadores. Como puede apreciarse el tablero hexagonal tiene dos extremos en negro (izquierda y derecha) y otros dos en blanco (arriba y abajo). Cada jugador elige una de esas parejas y su objetivo es unir mediante una línea poligonal de fichas (no necesariamente recta) los dos extremos que ha elegido. La forma de jugar es la siguiente: Por turno un jugador elige dos números (distintos) del recuadro superior y una operación, producto o división. A continuación realiza la operación (con la calculadora si es necesario) y coloca la ficha en una casilla del panal donde aparezca el resultado de esa operación. Si el resultado obtenido no aparece en el panal o está ya esa casilla ocupada, el jugador pierde el turno. Gana la partida el primero que consigue unir los dos extremos que ha elegido (ambos blancos o ambos negros) mediante una línea continua de fichas de su color. Si ninguno de los jugadores puede unir sus extremos, la partida se considera en tablas. Para jugar a este juego es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: a) Hay resultados de operaciones que no figuran en el panal. b) No es obligatorio colocar las fichas en una casilla adjunta a la que se ha colocado la anterior, ni es necesario comenzar a colocar fichas junto a uno de los extremos. Las fichas pueden situarse en el tablero de forma arbitraria. c) La calculadora no puede utilizarse para realizar pruebas, es decir, sólo puede usarse después de haberse elegido los números y la operación a realizar, con el objetivo de comprobar la solución. d) Aunque en la primera partida, los números suelen elegirse al azar y por su facilidad, tras varias partidas es usual que muchos alumnos realicen las operaciones mentalmente antes de elegir su tirada, con lo que se está potenciando este tipo de cálculo. e) El tablero está preparado de forma que todos los números se obtienen con alguna operación de los cinco números elegidos, sin necesidad de repetir los números. Si se quieren simplificar los cálculos se puede permitir que los números que se eligen para realizar la operación sean repetidos. Este juego está basado en un juego de tablero llamado HEX, que se juega sobre un tablero hexagonal (con las casillas vacías) y donde se colocan las fichas de dos colores con el objetivo ya indicado de unir los dos extremos que hayan correspondido a cada jugador. Ambos juegos tienen una estrategia ganadora, es decir, es posible jugar de forma que siempre se gane. Dejamos para la investigación de los lectores la búsqueda de esa estrategia ganadora. La estructura de juego puede mantenerse modificando las operaciones y los números que figuran, tanto en el tablero como en la regleta rectangular. Así podemos adaptarlo para trabajar en Primaria, colocando sólo números naturales en la regleta y utilizando la suma y la resta para encontrar las soluciones que estarán sobre el tablero (como es lógico en este caso no se permitiría la calculadora). También podríamos colocar números convenientes de forma que su máximo común divisor o mínimo común múltiplo estuviesen en las casillas del tablero. O una regleta con polinomios y otra con números y, en las casillas, los valores numéricos de esas expresiones. La forma de jugar se mantiene en todos los casos, sólo se cambian los términos que aparecen en la regleta y las operaciones a realizar. LABERINTO DECIMAL. El siguiente es un juego para realizar con toda la clase. Cada jugador dispondrá de una calculadora y un tablero como el de la figura. El modo de jugar es el siguiente: Se parte de la SALIDA tecleando el número 100 en la calculadora. Cada jugador recorre el tablero hasta llegar a la META con las siguientes reglas: a) En cada segmento que se recorre se realiza la operación indicada sobre el número que en ese momento se tenga en la calculadora. El alumno tiene que anotar la operación correspondiente y el número obtenido. b) No puede pasarse dos veces por el mismo segmento. c) La dirección es siempre desde la SALIDA a la META y no se puede retroceder. Gana el jugador que consigue llegar a la META con el valor más alto. Una vez encontrado el camino, el alumno debe escribir en su cuaderno la expresión completa de las operaciones que ha realizado para llegar a su resultado, atendiendo especialmente al buen uso de la jerarquía de operaciones. Después de las primeras partidas se puede modificar el objetivo del juego cambiándolo por los siguientes: Gana el jugador que consigue llegar al final con el menor valor. Gana el jugador que llega al final a un resultado lo más cercano posible al número original (100). Gana el jugador que obtiene el mayor valor al final después de haber pasado por todas las casillas. Después de realizar dos o tres recorridos distintos se les puede pedir que intenten encontrar qué segmentos (es decir que operaciones) han influido en que los resultados sean mayores o menores. Esta actividad es especialmente interesante porque rompe algunos esquemas erróneos que poseen los alumnos. En concreto nos referimos a la idea de que siempre que se multiplica se aumenta, y que al dividir disminuye el resultado. Si se trabaja con alumnos con dificultades, puede plantearse un objetivo más simple. Bastaría que el alumno hiciera un recorrido por el tablero, siguiendo las condiciones propuestas y que escribiera correctamente la lista de operaciones que dan lugar al resultado obtenido. BIBLIOGRAFÍA: ÁLVAREZ ÁLVAREZ, A.(1995): Uso de la calculadora en el aula. M.E.C. y Narcea S.A., Madrid. FERNÁNDEZ, S. y COLERA, J.(1995): Calculadoras I y II. Proyecto Sur, Granada. N.C.T.M.(1993): ADDENDA SERIES nº 2. Edición en español de la S.A.E.M. THALES. Revista Suma, nº 44, noviembre, Zaragoza, pp. 87-90.  
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Recursos/Recursos para el aula de matemáticas
Autor:Carme Alemany y Andreu Cardo
TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Las sombras a lo largo del día y del año. OBJETIVOS: Motivar a los alumnos en la observación de los fenómenos naturales de forma constante, adecuada y correcta. Realizar observaciones sistemáticas que ayuden a comprender mejor la realidad. Cuantificar las observaciones y sacar conclusiones adecuadas y correctas. Poner las bases para posteriores estudios de fenómenos astronómicos. NIVELES EDUCATIVOS: Dirigida principalmente a alumnos de ciclo inicial de educación primaria pero si no lo han hecho antes también es adecuado para alumnos de ciclo medio o superior de primaria. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD: Observación de las sombras de objetos situados en los alrededores de la escuela para empezar a comprender la relación entre la posición del Sol y las distintas posiciones de las sombras a lo largo del día. Observación de las sombras del propio cuerpo a lo largo del día. Intentar comprender porque aumenta y disminuye la longitud de las sombras y que relación tiene con la posición del Sol. Observaciones más precisas y sistemáticas de las sombras de un gnómon a lo largo de un día del mes de Marzo y otro del mes de Mayo. Comparación de los resultados obtenidos en las dos observaciones y conclusiones generales de los alumnos sobre las causas y efectos de los fenómenos observados Para descargar el POWER POINT de la actividad pincha aquí.
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Recursos/Recursos para el aula de matemáticas
Autor:José J. Escribano Benito, Mª Pilar Jiménez Pomar, Mª Teresa Pérez Álvarez y José A. Virto Virto
El recurso que presentamos aquí, está extraído del CD "Problemas Clásicos de Geometría desde un punto de vista actual". Sistema Multimedia para el estudio de la geometría en la ESO y el Bachillerato en las áreas de Matemáticas y Educación Plástica y Visual. Periódicamente, iremos subiendo más secciones a DivulgaMAT. CONTENIDOS de TEOREMA DE VARIGNON: Teorema de Varignon Actividades REQUISITOS: – Internet Explorer. Se recomienda 6.0 o superior. – Instalar tres programas de libre distribución: El visor de Macromedia Flash http://www.macromedia.com La máquina virtual Microsoft http://msdn.microsoft.com La máquina virtual de Java http://java.sun.com/getjava/es/ NAVEGAR POR EL SISTEMA: Situada en la esquina inferior derecha de cada página. Pasa a la página anterior o posterior del Sistema. Nuestro más sincero agradecimiento a los autores del CD por permitirnos incluirlo dentro de los Recursos de DivulgaMAT, y que todos podamos disfrutar de su contenido.
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Recursos/Recursos para el aula de matemáticas
Autor:José J. Escribano Benito, Mª Pilar Jiménez Pomar, Mª Teresa Pérez Álvarez y José A. Virto Virto
El recurso que presentamos aquí, está extraído del CD "Problemas Clásicos de Geometría desde un punto de vista actual". Sistema Multimedia para el estudio de la geometría en la ESO y el Bachillerato en las áreas de Matemáticas y Educación Plástica y Visual. Periódicamente, iremos subiendo más secciones a DivulgaMAT. CONTENIDOS de TRIÁNGULO ÓRTICO: Problema de Fagnano Triángulo Órtico Actividades REQUISITOS: – Internet Explorer. Se recomienda 6.0 o superior. – Instalar tres programas de libre distribución: El visor de Macromedia Flash http://www.macromedia.com La máquina virtual Microsoft http://msdn.microsoft.com La máquina virtual de Java http://java.sun.com/getjava/es/ NAVEGAR POR EL SISTEMA: Situada en la esquina inferior derecha de cada página. Pasa a la página anterior o posterior del Sistema. Nuestro más sincero agradecimiento a los autores del CD por permitirnos incluirlo dentro de los Recursos de DivulgaMAT, y que todos podamos disfrutar de su contenido.
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Recursos/Recursos para el aula de matemáticas
Autor:Carme Alemany
TÍTULO DE LA ACTIVIDAD: Un gigante visita la escuela. OBJETIVOS: Motivar a los alumnos en la utilización de los números. Reforzar la noción de medida de longitud. Utilizar las distintas unidades de la medida de longitud. Trabajar la proporcionalidad. NIVELES EDUCATIVOS: Dirigida principalmente a alumnos de ciclo medio de educación primaria y por extensión a toda la escuela. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD: Como empezó todo: Por la mañana llegamos a la escuela y por el suelo encontramos huellas de pisadas muy grandes. Las habíamos realizado la noche anterior dos de las maestras del centro, sin que nadie lo supiera, ni compañeros ni alumnos, para que la sorpresa fuera real. Las hicimos con la forma de un pie muy grande hecho de porexpan, que manchábamos con barro bastante diluido en agua. Para simular los pasos intercalamos las huellas del pie derecho y el izquierdo. Las huellas empezaban en una puerta y terminaban en una ventana (las abrimos antes de llegar los niños por la mañana). Estábamos desconcertados. En varias ocasiones habían entrado en la escuela pero aquella vez no era una persona como nosotros, tenía que ser mucho más grande… mucho más alta… ¿Cuánto mas alta? ¿Quizás sería un gigante? Empezamos a investigar. ¿Cuánto mide nuestro pié? ¿Cuántas veces cabe la huella de nuestro pie en nuestra altura?. A todos los niños les cabía entre 6 y 7 veces la longitud del pie en su altura. Dos veces del pie a la rodilla, dos de la rodilla a la cintura, dos de la cintura a la espalda y una de la espalda a la cabeza. Quisieron probar qué pasaba con los maestros y con los niños pequeños y los mayores… ¿Era una casualidad que en todos la altura fuera entre 6 y 7 veces la longitud del pie? Si el gigante guardaba nuestras proporciones, ¿Qué altura debía tener? Para descargar el PDF de la actividad pincha aquí.
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Recursos/Recursos para el aula de matemáticas
Autor:Faviola Lorena Morales Morales (Durango, Dgo. México)
Estrategia I: La alcancía Mágica Sesión I Propósito: Que los niños resuelvan problemas que impliquen descomponer una cantidad en dos sumandos, a través de la comparación del número de objetos en colecciones y la representación numérica convencional. Descripción: El grupo se organiza en equipos. A cada equipo se le otorgan monedas de peso y dos pesos, las cuales,  manipulan, cuentan y  establecen números mayores y menores que la cantidad que poseen. En seguida los equipos resuelven el siguiente problema: Descubre cuántas monedas de peso y de dos pesos tengo en esta alcancía, sí en total guardó  16 pesos. Se confrontan resultados grupalmente y  se comprueban las respuestas obtenidas abriendo la caja. Después los niños juegan dentro de sus equipos con un tablero grande, el cual consta de 30 casillas numeradas, en las cuales por turnos un niño lanza un dado, avanza las casillas que  marca este, toma una tarjeta y trata de   adivinar la cantidad a  sumar o restar al número que obtuvo al tirar el  dado, para  llegar a la casilla que marca la tarjeta. Gana quien acierte el mayor número de veces. Por último grupalmente se  discute qué estrategias utilizaron para tratar de ganar el juego. Contenido: Expresión de cantidades utilizando los símbolos numéricos convencionales. Actividades Recursos Evaluación Los niños se reúnen por equipos   de cinco integrantes, se asignan un nombre que los distinga. A cada pequeño grupo se le reparten monedas de peso y de dos pesos, las cuentan entre todos y comunican la cantidad que posee cada equipo de manera oral y escrita. Tiempo: 20 minutos. Materiales: Monedas de papel de peso  y de dos pesos. Instrumentos: Guión de observación Registro de evaluación: Conceptos Expresión de cantidades de manera convencional. Procedimientos Utilización del conteo como estrategia para adquirir los números. Actitudes Trabajo en equipo. Contenido:  Comparación de cantidades. Actividades Recursos Evaluación Los niños responden si el  dinero que poseen es más, o menos de 70, de 83, de 60 y ellos mencionan  qué cantidades son más chicas de las que ellos poseen. Por equipo escriben en su cuaderno  números mayores y menores que la cifra que poseen y los comentan al grupo. Tiempo: 15 minutos. Materiales: Monedas de papel de peso  y de dos pesos, cuadernos. Instrumentos: Guión de observación Registro de evaluación: Conceptos Identificar números mayores y menores que una cantidad establecida. Procedimientos - Utilización de estrategias para identificar números mayores y menores que cierta cantidad. - Comparación de las magnitudes de los números. Actitudes Trabajo en equipo. Evidencias: Cuaderno de los niños. Estrategia I: La alcancía Mágica Sesión II Contenido:  Resolución de problemas que implican averiguar  el valor  de un sumando o descomponer una cantidad en dos sumandos. Actividades Recursos Evaluación Se  muestra una alcancía  al grupo y  se propone a los niños que descubran cuantas monedas de peso y dos pesos puede tener, si hay  16 pesos en total dentro de ella. Los niños agrupan las monedas de ambas denominaciones y en una hoja de máquina anotan  las posibles soluciones  al problema, se alienta a los equipos a  plantear por lo menos dos respuestas. Después cada equipo expone ante sus compañeros la posible solución al problema planteado. Cuando un equipo logre adivinar el resultado, la caja se abrirá y un niño pasa a cerciorarse del resultado contando el dinero de la caja. Se premia al equipo que logró adivinar la cantidad. Se plantea la siguiente pregunta al grupo: ¿De qué otras maneras se puede  representar la monedas utilizadas para tener 16 pesos?. -Entonces se pide a cada equipo que escriba una nueva forma de representar el dinero, y se exponen la más novedosa y la más rustica  al grupo. Los cuales hacen comentarios sobre la misma. En seguida se pide que se repartan el dinero   de manera que cada integrante tenga $8.Por equipo salen al patio cívico y se les propone el siguiente juego: 1.- Se reparte un tablero grande a  cada equipo con la serie numérica hasta el  30, y tarjetas con los números del uno al 16 y  un dado. 2.-Antes de iniciar el juego, los niños revuelven las tarjetas  y el niño que  sea elegido como el ultimó   en jugar, se hace responsable de ellas. 3.- El iniciador del juego toma un peso  de su dinero. 4.- El mismo niño levanta una tarjeta y al ver el número rápidamente dice cuantos sumar o restar al número en donde está para caer en la casilla que marca la tarjeta. Sí dice más se mueve a la derecha tantos lugares como el número que dijo. Sí dice menos, se mueve hacia la izquierda. 5.- Sí el niño logra caer en el número  que le salió en la tarjeta se queda con su peso si no lo ponen en una bolsa. 6.- Para continuar el juego otro niño lanza el dado, avanza las casillas que indique y levanta otra tarjeta. 7.- El tablero contiene algunos desafíos  en algunas de las casillas si los niños logran resolver ganan puntos extras que marque cada uno de estos. 8.- El juego  se repite hasta completar tres rondas, después se agrega un dado y tarjetas. 9.- Gana el niño que logre quedarse con más monedas después de tres rondas. Finalmente los niños pasan al salón y comentan que estrategias les sirvieron para poder atinar correctamente  el número de casillas a sumar o restar con el fin de llegar a la que les indicaba la tarjeta. Tiempo: 2 horas. Materiales: - Alcancía con  16 pesos. - 6 tableros de 30 casillas. - 6 juegos de 30 tarjetas. - 12 dados y monedas de papel de $1 y $2. Instrumentos: Guión de observación Registro de evaluación: Conceptos Problemas de descomposición de un número en dos sumandos. Procedimientos Utilización de estrategias para resolver problemas de descomposición de números. Actitudes - Trabajo en equipo. - Confrontación de resultados. Evidencias: Hojas de máquina con las respuestas de cada equipo.
Viernes, 24 de Abril de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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