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Juegos matemáticos

Los juegos, como se mostrará en esta sección, pueden ser un buen material didáctico para el aula de matemáticas. Esta sección está dirigida por el grupo Alquerque de Sevilla:

(Juan Antonio Hans Martín, José Muñoz Santoja, Antonio Fernández-Aliseda Redondo, José Blanco García), a quien agradecemos sinceramente su colaboración con DivulgaMAT.

Así mismo, queremos expresar nuestro agradecimiento a la dirección de la revista SUMA, la revista de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, por permitirnos reproducir los artículos del grupo Alquerque que han sido publicados en dicha revista.

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Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Este juego fue creado por Edward de Bono, medico, psicólogo y pensador maltés, con la intención de producir el juego más simple posible, que pudiera, sin embargo, jugarse con un alto grado de habilidad donde no hubiera estrategia ganadora y con un mínimo de piezas y reglas. El resultado fue el juego de la “L”, que a continuación se describe: Normas del juego de la “L”: Es un juego de estrategia y reflexión, para dos jugadores, a partir de los siete años. Elementos que lo componen: Un tablero de 4 x 4 cuadrados, dos piezas en forma de ele de diferente color (cada una de las cuales cubre una superficie de cuatro cuadrados), y dos fichas redondas de igual color, que se denominan fichas neutras. La posición de inicio es la que aparece en la figura 1 Figura 1 El objetivo del juego es inmovilizar la ele del contrario. Por ejemplo, en la figura 2 el jugador con la “L” gris está bloqueado y pierde la partida. Figura 2 Una vez que cada jugador elige una pieza “ele” de diferente color y se asigna el orden de comienzo cada jugador puede realizar en cada turno dos movimientos: 1º Mover su pieza “L” a cualquiera de las posiciones no ocupadas del tablero. Su nueva posición tiene que diferir de la anterior por lo menos en un cuadrado. La pieza “L” se puede girar antes de colocarla en el tablero. No se permiten pruebas sobre el tablero ni rectificaciones. 2º Después de colocar la pieza “L”, el mismo jugador si lo desea, pude mover una sola de las piezas neutras a cualquier cuadro vacío. El juego finaliza cuando uno de los dos jugadores no puede hacer un movimiento reglamentario. Se puede llegar a empate por acuerdo o cuando cada jugador repite el mismo movimiento tres veces seguidas (como en el ajedrez). Es sorprendente que con tan pocos elementos y en un tablero relativamente pequeño el número de posiciones distintas se eleve a 18368. Si consideramos idénticas las posiciones simétricas y las que son equivalentes por rotación del tablero, nos quedan 2296 posiciones realmente diferentes. Sólo quince de ellas son posiciones ganadoras para uno de los jugadores. A continuación se muestran algunas de las que existen, correspondientes a la “L” negra ganadora con tres cuadrados horizontales (se deja para el lector buscar las posiciones que faltan). Se tata de un juego de aprendizaje rápido que potencia la percepción visual y la orientación espacial. Favorece la búsqueda de estrategias de resolución de problemas y el razonamiento concreto. Como ejemplos de actividades al margen del uso del juego como tal se pueden proponer: a) Diseñar la partida más corta posible (contando con la inexperiencia de alguno de los jugadores) En la siguiente partida el jugador de la pieza gris realiza un comienzo tan malo que en el primer movimiento del negro queda inmovilizado y pierde. b) Buscar partidas que terminen al 2º movimiento del 1º jugador, al 2º del 2º, etc. o que tengan una duración de movimientos determinada. c) Problemas de selección de mejor jugada, del tipo “negra mueve y gana”. Finalmente, planteamos una serie de propuestas para investigar en el aula: En lugar de usar una “L” formada por cuatro cuadrados se puede utilizar otro tipo de letra , como la “T” formada por 5 cuadrados, en un tablero de 5 ? 5, y usando dos, tres o más fichas neutras. Si se ve que es difícil realizar bloqueos, se puede aumentar el número de fichas neutras o variar el tamaño del tablero. También se puede pasar a un juego de tres o más jugadores usando tres o más “L” o tres o más “T” ajustando las fichas neutrales necesarias y el tamaño del tablero. Lo dicho antes para la “L” y la “T” se puede aplicar a otras configuraciones, como la “H”, compuesta de 7 cuadrados, la “C” compuesta de 5 cuadrados, etc... e incluso se podría diseñar un juego tridimensional, donde las fichas neutrales serían columnas que imponen restricciones a los movimientos y las fichas cuatro cubos pegados en forma de L. Bibliografía: BRIAN BOLT (1981 ). Aún más actividades matemáticas. Labor, Barcelona. CESAR DE/SA, Antonio J. (1995). A aprendizagem da Matemática eo Jogo. Associaçao de Professorea de Matemática. Portugal. DE BONO, EDWARD (1983 ). “Potaje para dos. El juego L” en la revista Cacumen. Año 1 nº 3. Zugarto ediciones S.A.
Viernes, 01 de Octubre de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
En el número 49 de la revista SUMA, de Junio de 2005, publicamos en esta sección el artículo Problemas para manipular donde partiendo del interés y dificultad que tiene la introducción de la Resolución de Problemas en clase, planteábamos una selección de problemas en los que la presencia de objetos y su manipulación facilitaba la implicación y resolución por parte del alumnado y que considerábamos interesantes por: Aspectos motivacionales: Atracción, porque permiten acercarse al problema desprovisto de la carga negativa y rechazo que para muchos alumnos supone la propia palabra problema. Exploración, porque facilitan analizar las distintas posibilidades y elegir una y no otras, sin tener que anotar ni borrar nada. Variedad. Adaptabilidad: A diversidad de edades. A diversos niveles de dificultad, desde Primaria a Secundaria, donde el profesor, en virtud de los alumnos con los que vaya a trabajar, puede modificar adecuadamente los enunciados. De tamaño proporcionado. Viabilidad de su realización: Facilidad de diseño sin más que un procesador de textos y un programa de tratamiento de imágenes. El enunciado del problema debe figurar en el propio tablero pues facilita un libre descubrimientopor parte de los estudiantes, que interactuarán libremente con el material. En todo caso se pueden dar pequeñas indicaciones generales. Permiten una presentación cuidada de los mismos, con buena impresión de los textos e imágenes en color, que los hacen más atractivos. Facilidad de construcción, al utilizar fotocopias o impresiones (en blanco y negro o color) plastificadas y materiales de buena calidad, durables (objetos cotidianos: tapones, botones, cubitos, piedrecitas…), seguros (no tener elementos punzantes, no tóxicos). Asequibilidad en su precio. Con estas características creemos que se promueve una actitud positiva y una buena disposición por parte de los alumnos. Por ello seguimos enriqueciendo la selección de problemas susceptibles de esta presentación y hoy traemos una nueva entrega de Problemas para manipular. Hemos estructurado la selección en tres bloques: Contactar, Ordenar y Colocar, pero se hubiese podido clasificar de otras maneras. Además hemos indicado, cuando ha sido posible, la fuente de donde están extraídos los enunciados, algunos son pasatiempos clásicos y otros más modernos. A. Contactar En estos problemas hay que buscar el contacto entre los objetos, ya sean lápices, cubos o fichas. Los seis lápices. Autor Henry E. Dudeney Vamos a jugar con seis lápices. El primer reto consiste en colocar seis lápices de forma que cada uno de ellos toque a otros dos. Es fácil, como se ve en el dibujo. ¿Encuentras una solución diferente? ¿Puedes colocar los mismos seis lápices en la mesa de modo que cada lápiz toque: a)          … solamente a tres? b)          … solamente a cuatro? c)          … a los otros cinco? Seis Cubos Y ahora con seis cubos. Tienes seis cubos idénticos. Colócalos de forma que cada cubo toque, con una cierta parte de una de sus caras (el contacto a lo largo de las aristas o en los vértices no cuenta) a)          Únicamente a otros dos. b)          Solamente a otros tres. c)          A otros cuatro. d)          A cada uno de los cinco cubos restantes. En blanco y negro Coloca en el siguiente tablero tres fichas negras y seis fichas blancas, para que cada una, sea de un color o de otro, toque exactamente a dos fichas blancas (puede tocar a las fichas negras que sean). Ocho dados. Tomado de Acertijos enigmáticos (1998) de Alan Maley y Francoise Grellet. Sobre un tablero se han dejado ocho dados ocupando las casillas del dibujo. Colócalos sabiendo que de los números que se ven: a)           Cada dado es un 1, un 2, un 3 o un 5. b)           Hay por lo menos un 2. c)            Cada 2 está entre dos 3. d)           Hay por lo menos un 3 entre dos 5. e)           Ningún 5 está en contacto con un 2. f)             Hay exactamente un 1. g)           Ningún 3 está en contacto con el 1. h)            Por lo menos un 3 está en contacto con un 3.                           B. Ordenar Personajes Disney. Tomado de Problemas de ingenio 1 (1980) de Pedro Ocón de Oro Seis conocidos personajes de Walt Disney están sentados en el suelo formando un círculo. Minnie no está al lado de Donald ni de Tío Rico*. Margarita no está al lado de Mickey ni de Tío Rico. Donald no está al lado de Mickey ni de Margarita, y Tribilín está a la izquierda de Donald. ¿Cuál es la ubicación de cada uno de estos personajes? (*) Los nombres de los personajes se mantienen textualmente, pero su equivalencia a los utilizados hoy en día sería: Tío Rico es Tío Gilito, Margarita es Daisy y Tribilín es Goofy. Espectadores. Tomado de Mensa. Rompecabezas lógicos (2000), de Philip Carter y Ken Russell Cuatro parejas de marido y mujer van a ver una obra teatral. Todos se sientan en la misma fila, pero ningún marido se sienta junto a su mujer, y en los extremos opuestos de la fila hay un hombre y una mujer. Se apellidan Andrews, Barker, Collins y Dunlop. La señora Dunlop o el señor Andrews ocupan el asiento del extremo. El señor Andrews se sienta entre el señor y la señora Collins. El señor Collins está a dos asientos de la señora Dunlop. La señora Collins se sienta entre el señor y la señora Barker. La señora Andrews se sienta junto al asiento del final de la fila. El señor Dunlop está a dos asientos del señor Andrews. La señora Collins está más cerca del extremo derecho que del izquierdo. Averigua cómo se han dispuesto en la fila. Tarjetas. Tomado del Campeonato Argentino de Juegos de Ingenio (2000). Prueba final. Autor Ivan Skvarca Las tarjetas 1, 2, 3, y 4 son amarillas; las tarjetas 5, 6, 7 y 8 son verdes. Ordénalas una detrás de otra para que todas las frases resulten verdaderas. (Los números del margen superior izquierdo solo sirven para controlar la exactitud del resultado) C. Colocar Diez sillas. Tomado de Problemas de ingenio 1 (1980), de Pedro Ocón de Oro Un camarero, al llegar a su trabajo, recibe el encargo de colocar en un salón cuadrado diez sillas que están desordenadas de la noche anterior, de modo que en cada una de las paredes queden situadas tres sillas. ¿Cómo resolverá el problema? Formando cuadrados   Formar un cuadrado con ocho galletas no es muy difícil. Una vez conseguido, ¿eres capaz, con las mismas ocho galletas, de formar un cuadrado con cuatro en cada lado?   Completar cuadritos Rellena las casillas de estos cuadrados de tres colores (rojo, amarillo y verde) sabiendo que: a) Dos casillas vecinas (en horizontal o vertical) no pueden tener el mismo color. b) No es necesario que en cada fila y en cada columna estén los tres colores. c) Debe haber tres casillas ocupadas por cada color. d) Hay que respetar las dos casillas ya pintadas. Hay seis posibilidades distintas (salvo giro, en cuyo caso no se consideran diferentes). Este problema se puede plantear más abierto dando solo una plantilla con las dos casillas pintadas y pedir primeramente una solución, y después todas la posibles, sin indicar que son seis. La condición b) se puede omitir para que los alumnos lleguen a esa conclusión ya que no está indicada en el enunciado, y a veces nosotros mismos nos ponemos restricciones que no son tales. Una variante del problema es buscar todas las soluciones (salvo giro) en las que la única casilla que se da pintada es la central, por ejemplo de amarillo. De la A la H. Tomado de Jeux Mathématiques 2006. Fédération française des jeux mathématiques Completa el dibujo con las letras B, C, D, E, F y G de forma que dos círculos unidos por un segmento no contengan dos letras consecutivas en el alfabeto. Béticos y sevillistas. Adaptado del Campeonato Argentino de Juegos de Ingenio (2000). Prueba final. Autor Jaime Poniachik. Descubre en cada tablero lugares habitados por aficionados béticos y sevillistas. Donde hay un número hay un seguidor bético o bien uno sevillista. Donde no hay número, no vive nadie. En cada casilla donde hay un bético, el número indica cuántos sevillistas tiene a su alrededor, y en cada casilla donde hay un sevillista, el número indica cuántos béticos tiene a su alrededor. Los alrededores de una casilla son sus vecinas inmediatas en horizontal, vertical y diagonal. En el tablero está ubicado en verde un aficionado bético. Es un juego muy adaptable y el diseño es bien sencillo, utilizando la técnica de empezar por el final. Una vez elegido el tamaño que deseamos para la cuadrícula, en nuestro ejemplo 4x4 escribimos la solución que queremos y, después, los números que indican cuántos aficionados del equipo contrario viven a su alrededor (diferenciamos las preferencias futbolísticas utilizando los colores verde y rojo de los equipos mencionados). Ya solo falta indicar la ubicación de uno de los seguidores. Para su resolución podemos utilizar fichas de parchís o tapones de plástico. Ocultos. Tomados de Cacumen, nº 46 y nº 47 Dos problemas de la añorada revista de ingenio, juegos y pasatiempos de los años 80 Cacumen, en un tablero 3x3 y en uno 5x5. Sitúa sobre el tablero las fichas necesarias para que en cada fila, columna y diagonal haya la cantidad que se indica. En cada casilla solo puede ir una ficha. Camino de dominós. Tomado del Campeonato Argentino de Juegos de Ingenio (2000). Prueba final. Autor Marcelo Iglesias Sobre el tablero se han colocado ocho fichas de dominó (0-0, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 3-4, 5-6, 6-6), formando un camino cerrado y respetando la regla de contacto (dos fichas sólo pueden unirse por el mismo número incluso lateralmente formando un escalón). En el tablero vacío hay, como pistas, dos series de números. La primera, con números más finos, indica cuántas casillas están ocupadas en cada fila o columna. La segunda, con números más gruesos, indica la suma de los valores de cada fila o columna. Descubre cómo están ubicadas las fichas. El juego de ABCD   Hay que colocar las letras A, B, C y D en el dibujo. Las cuatro letras aparecen exactamente una vez en cada fila y cada columna, en total seis veces cada una. Doce cuadritos permanecen vacíos. En algunas filas y columnas se indica la primera letra que se colocará en ese lado. Puzzle numérico bidireccional. Tomado del XIII Open Matemático (2001) Compón un cuadrado con estas baldosas numéricas, formando números de cinco cifras. El cuadrado estará bien hecho si los cinco números de cinco cifras se pueden leer, de igual forma, tanto en horizontal como en vertical, es decir, el número de la primera fila sea el de la primera columna, el número de la segunda fila sea el de la segunda columna, etc. Ocho estrellas. Tomado de Acertijos, desafíos y tableros mágicos (2007), de Henry Dudeney Coloca ocho estrellas sobre el tablero de modo que ninguna quede alineada con otra, ni en horizontal, ni en vertical ni en diagonal. Una estrella ya está puesta, y no debe ser movida, de modo que solo queda por poner 7. No se deben poner estrellas en ninguna de las casillas grises.   Se trata de una variante del clásico problema de las ocho reinas propuesto por el ajedrecista alemán Max Bezzel en 1848. A partir del problema de las ocho reinas el número de problemas que se han estudiado relacionados con la colocación de piezas en tableros de ajedrez es amplísimo. Si consideramos iguales las soluciones que se pueden obtener a partir de simetrías, rotaciones y traslaciones tenemos una única solución. Si no hubiésemos fijado una estrella de inicio habría dos soluciones esencialmente distintas. Para familiarizarse con el problema en caso de no encontrar ningún camino para abordarlo o bien para graduar su dificultad, es aconsejable empezar por casos más sencillos; por ejemplo, con cuatro objetos en un tablero 4x4 o con cinco en uno de 5x5. En el primer caso hay una solución esencialmente distinta (dos aceptando reflexiones y/o rotaciones); en el tablero 5x5 hay dos soluciones esencialmente distintas (10 si admitimos reflexiones y/o rotaciones). Treinta y seis. Del libro Problemas y experimentos recreativos de Yakov I. Perelman En las casillas de esta cuadrícula se colocan 36 fichas. Hay que quitar 12 fichas, de tal modo que, después de esto, en cada fila y en cada columna quede el mismo número de fichas. ¿Qué fichas hay que quitar? Una versión es la siguiente: Quitar seis fichas de la cuadrícula, de modo que en cada una de las filas, columnas y las dos diagonales siga quedando un número par de fichas. Cuatro casas de campo. Este rompecabezas se inspira en Las seis casas de campo del libro 536 puzzles y problemas curiosos de Henry E. Dudeney. En el dibujo se muestra un mapa de un camino circular. La distancia entre dos puntos consecutivos es de 1 km. Hay dos casas construidas ya en el camino, y se quieren construir dos más. El Ayuntamiento quiere saber dónde se han de colocar teniendo en cuenta que se den todas las distancias posibles de 1 a 12. Las dos casas que ya están colocadas están separados por 1 ó 12 km, dependiendo de la dirección del itinerario, por lo que el objetivo es colocar las dos nuevas casas para obtener las distancias de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Parejas de números Coloca los números 1, 1, 2, 2, 3, 3 en fila de manera que entre los dos unos haya un número, entre los dos doses haya dos números y entre los dos treses haya tres números. ¿Y con cuatro: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4? Es imposible para cinco y seis, pero es nuevamente posible para siete y para ocho parejas. Halla las soluciones. Es una variante, con números, del Puzzle o Problema de Langford, denominado así por el matemático escocés Dudley Langford que lo propuso en 1958 al observar como su hijo pequeño jugaba con parejas de bloques de colores. Los emparejamientos Langford existen sólo cuando el número de parejas n es congruente con 0 ó 3 módulo 4; por ejemplo, no hay emparejamiento Langford cuando n = 1, 2 ó 5. Los números de los distintos emparejamientos Langford para n = 1, 2,..., considerando iguales una secuencia y su inversa, son (según Wikipedia): Nº de parejas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... Nº emparejamientos 0 0 1 1 0 0 26 150 0 0 17792 … Simultáneamente el matemático y lógico noruego Thoralf Skolem (1887-1963) trabajaba una variante del problema de Langford que nosotros podemos aprovechar para nuestro juego. Coloca los números 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 en fila de manera que entre los dos unos no haya separación, entre los dos doses haya un número, entre los dos treses haya dos números y entre los dos cuatros haya tres números. Este problema tiene solución siempre que el número de parejas n sea congruente con 0 ó 1 módulo 4. Los números de los distintos emparejamientos Skolen para n = 1, 2,..., considerando iguales una secuencia y su inversa, son: Nº de parejas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Nº emparejamientos 1 0 0 3 5 0 0 252 1318 … Como vemos un problema teórico reducido a pasatiempo en sus casos más sencillos y que aún está abierto para generalizaciones a ternas, cuaternas… Para finalizar La manipulación es especialmente atractiva en muchas edades, sobre todo en Primaria y ESO. Por ello, abordar este tipo de acertijos crea una motivación especial para introducirse en la resolución de problemas, ya que se realiza como un juego. Como se ha podido apreciar la base de algunos de ellos son problemas con un hondo sentido matemático e incluso hay algunos problemas abiertos que no son nada elementales. Además el conseguir el material es fácil y barato, y puede ser creado por los propios alumnos, lo que añade un elemento más de atracción. Pensamos que este tipo de retos es un buen recurso para animar a toda persona a acercarse de una manera lúdica y crítica a las matemáticas, desarrollando una serie de estrategias que podrá aplicar en muchas situaciones cotidianas. Nosotros los usamos con bastante aceptación en las clases cuando abordamos la resolución de problemas, en semanas culturales y en actividades en la calle. Pequeños y mayores se acercan sin tanto miedo a las matemáticas.
Sábado, 01 de Noviembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Introducción. En la década larga que lleva esta sección “castigando” a los lectores de SUMA hemos intentado abordar la mayor diversidad de temas posible dentro de nuestros limitados conocimientos. Hemos procurado mezclar juegos de distinto tipo: estrategia, conocimiento, procedimiento conocido, con el deseo de abarcar todos los bloques temáticos de la materia de matemáticas. También nos hemos esforzado por presentar juegos que abarquen distintos niveles educativos, aunque reconocemos que mayoritariamente nos hemos sesgado hacia la etapa de Secundaria. Por eso, en esta ocasión vamos a mostrar una serie de actividades centradas en el nivel de Primaria, aunque nuestra intención es presentarlas de forma que lo interesante no sea el contenido que exponemos, sino el juego en si, pues son fácilmente adaptables a contenidos distintos y a niveles superiores que los que vamos a tratar en esta ocasión. En nuestra opinión, uno de los bloques temáticos más importantes en Primaria es el de Medidas. Es importante en esas edades que los alumnos aprendan las unidades usuales en longitud, peso, capacidad, volumen y también las medidas horarias y no digamos monetarias. Si hay un apartado en el que alumno debe desarrollar las competencias básicas para poder desenvolverse en la vida cotidiana es el de las medidas. Podemos recordar la pifia cometida por la NASA cuando estrellaron una sonda espacial por no ponerse de acuerdo fabricante y agencia aeroespacial en las medidas utilizadas. El bloque de Medidas tiene la característica de su facilidad para trabajarlas en un entorno cercano al alumnado y por consiguiente dentro de contextos reales donde desarrollar las competencias. Las actividades que vamos a incluir aquí sirven, por otra parte, para repasar los conceptos de medidas y evaluar, de una forma más lúdica, cuáles son los conocimientos que el alumno posee, pues es bastante fácil localizar los errores cometidos al desarrollar el juego. Las tres primeras actividades que presentamos son para realizarlas individualmente, aunque a veces en nuestras clases las resuelvan en grupo para que se tarde menos en completar el juego y puedan ayudarse unos a otros trabajando de forma colaborativa, estando de esa forma pendientes de los posibles fallos de los compañeros y pudiendo aprender unos de otros. Cada oveja con su pareja. Imagen 1 Esta actividad está basada en un pasatiempo llamado Marcarrutas, muy frecuente hace unos años en el cuadernillo de pasatiempos que acompañaba al suplemento dominical del periódico El País. El tablero simula una ciudad formada por calles paralelas y perpendiculares en las que hay unas plazas donde se incluyen los conceptos que queremos relacionar. La forma de jugar consiste en unir mediante líneas los conceptos que son equivalentes con las siguientes condiciones: Las líneas tienen que pasar por las calles del enrejado. Las líneas no pueden atravesar las plazas donde están los conceptos. No pueden coincidir dos líneas en la misma calle. No pueden coincidir dos líneas en un mismo cruce y, por consiguiente, dos líneas no pueden cruzarse. El grado de dificultad para encontrar la solución dependerá de cómo situemos los conceptos en los cuadros dedicados a ello. El pasatiempo suele ser atractivo para los alumnos aunque nuestro interés es que unan adecuadamente cada valor con su correspondiente medida. En las imágenes 2 y 3 vemos otras posibilidades en las que el nivel de dificultad varía al modificar los lugares donde se colocan. Imagen 2 Imagen 3 Como vemos en la imagen 1 tenemos una rejilla con medidas de longitud, en la 2 de capacidad y en la 3 una mezcla con unidades de tiempo, longitud y superficie. Es fácil imaginar que este tipo de laberinto puede adaptarse a cualquier contenido pues el juego se basa en unir parejas que son equivalentes. Podrían por tanto colocarse ecuaciones de primer grado y sus soluciones, polígonos regulares y sus nombres o ángulos interiores, sucesos de un experimento aleatorio y sus probabilidades, etc. A continuación tenemos un ejemplo en el que trabajamos las unidades monetarias y otro con números romanos. Cuando presentamos ejemplos de esto último solemos llamar a los laberintos Calzadas romanas. Imagen 4 Imagen 5 Puzzles de medidas. Otro de los juegos que se puede utilizar con los alumnos en esta parte de la matemática es el puzzle. Ya hemos incluido puzzles en alguna otra entrega de la sección por lo que debe quedar evidente que éste es un recurso que se puede adaptar sin dificultad a cualquier contenido. Imagen 6 En la imagen 6 aparece uno de los puzzles que hemos utilizado en clase. Su dinámica es recortar las nueve piezas y reconstruir el puzzle de forma que los elementos que quedan en contacto correspondan a la misma medida. El puzzle está construido de forma que las piezas deben colocarse en el mismo sentido en que se ven, es decir, no se puede colocar ninguna al revés. A la hora de crear un nuevo puzzle el proceso debe ser el inverso al que se sigue al jugar con él. En una plantilla vacía comenzamos a escribir elementos emparejados y, una vez completa, se recorta y se reconstruye de otro modo antes de fotocopiar. Hay que tener presente que siempre hay 12 elementos que no están emparejados, los que quedan en el borde del puzzle una vez construido. Con ellos podemos jugar para hacer más o menos complicado el puzzle. Basta que en el borde escribamos un dato que va en el mismo lugar de la ficha dentro del puzzle para que la dificultad en encontrar la solución del puzzle aumente y se tarde más tiempo en resolverlo. Matgram. Para todos nuestros lectores será de sobra conocido el Tangram chino, un puzzle con el que se pueden trabajar muchos conceptos numéricos y geométricos. Hay una forma distinta de trabajar con él y es complementándolo mediante contenidos de cualquier bloque. El objetivo es similar a los dos anteriores recursos, hay que formar parejas de elementos que se deben unir para resolver el puzzle. Aunque hoy día es posible encontrar muchos Matgram en Internet, la primera persona que los creó y comenzó a trabajar con ellos fue la profesora Lucía Puchalt1 que ya en el año 1999 publicó cuatro cuadernillos, uno por curso de la ESO, en la editorial Editex. En los Matgram se sigue el mismo proceso que en el Tangram chino a la hora de hacer una figura. Partimos del cuadrado, del que se recortan las piezas y tenemos que unirlas de otra manera. La diferencia es que ahora no vamos buscando una figura en concreto, sino que el objetivo es unir las piezas de forma que los conceptos que queden juntos sean equivalentes, como hemos visto en los anteriores juegos. Si el proceso que se ha seguido es correcto nos encontramos al final con una figura reconocible. Esta es la ventaja principal de este juego pues el profesor, que conoce qué figura debe quedar al final, con un simple vistazo puede saber si el juego ha terminado en una solución correcta o no. En la imagen 7 aparece uno de estos Matgram particularizado a los contenidos de Medidas. Imagen 7 Antes de terminar el artículo con el siguiente juego convendría comentar, para aquellos compañeros de Primaria que no conociesen los juegos anteriores, que tienen la ventaja de que pueden utilizarse, con la misma estructura, en cualquier otra materia que no sea las matemáticas. Es decir, en todo aquel caso que queramos relacionar dos elementos se pueden aplicar cualquiera de ellos. Por ejemplo, para relacionar un país con su capital, el infinitivo de un verbo con la primera persona del presente, sea en inglés o en castellano, un animal con su nombre, etc. Dominó. Para terminar queremos añadir un dominó de medidas, que hemos extraído de algún lugar que en este momento lamentablemente no recordamos, en el que se trabajan las medidas de capacidad y volumen. Suponemos que la dinámica del dominó es de todos conocida, pero el procedimiento que seguimos nosotros es el siguiente: Antes de jugar siguiendo las reglas clásicas, los alumnos manipulan las fichas para comprobar que están todas las familias que componen el dominó. Se aprovecha en este caso para repasar las medidas y sus equivalencias. Se hace una partida de prueba con las fichas visibles, de forma que todos puedan ayudar al compañero, si tiene dudas, a escoger cuál es la que tiene que colocar en cada momento. Por último su juega ya siguiendo las normas básicas y cada uno con sus fichas ocultas. En una futura entrega tenemos la intención de tratar más extensamente el tema del dominó, explicando en concreto cómo se puede construir uno adaptado a nuestros alumnos y a los contenidos que nos interesen en ese momento. Para terminar añadimos el dominó de medidas para que podáis trabajarlo en clase.   Nota: [1] En la siguiente dirección se puede encontrar una intervención en las IV Jornadas Regionales de la Comunidad Valenciana en la que explica en qué consiste este material: http://www.ua.es/personal/SEMCV/Actas/IVJornadas/pdf/Part89.PDF
Viernes, 01 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
1. Kirigami Rara es la persona que en algún momento de su vida no se ha entretenido jugando con papel. A casi todos nos han enseñado de pequeños a hacer pajaritas o aviones de papel para que estuviésemos un rato sin dar la lata. La papiroflexia o arte de crear figuras doblando papel, también conocida por su palabra japonesa de origami que proviene de las palabras oru (doblar) y kami (papel), es un pasatiempo atrayente y relajante que nos permite pasar el tiempo entretenidos, bien en la espera sin límite en la consulta médica, en los repetitivos claustros, en la vigilancia de soporíferos exámenes o en algunas kafkianas sesiones de evaluación. Ya en esta sección hemos hablado anteriormente de este arte y de las posibilidades didácticas que tiene dentro de la asignatura de matemáticas, y aunque más adelante volveremos sobre el tema vamos a cambiar de registro. Hoy queremos hablar del kirigami que es el arte de crear figuras recortando papel con tijeras. Para practicar este arte debemos partir de un papel que no tenga ninguna marca (es decir no vale dibujar previamente los cortes) y, cortando, dejar la silueta o el esquema a desplegar de la figura que queramos crear. Ejemplos básicos de este arte hemos hecho seguramente casi todos. Muchos recordaremos haber tomado una hoja varias veces dobladas, recortar un monigote y al abrir el papel encontrarnos con un friso de monigotes unidos unos a otros. En otras ocasiones habremos hecho o visto hacer cortes en un papel doblado y al desplegar encontrarnos con un bello calado para adornar cualquier mesa. La palabra kirigami procede de la composición de las palabras japonesas kiru (cortar) y kami (papel). Existen muchas personas que han trabajado el kirigami desde el punto de vista educativo. En concreto podemos destacar al profesor peruano José Luis Castillo Córdova, que tiene varios vídeos colgados en YouTube donde muestra su maestría creando figuras muy diversas. Este profesor utiliza además otro término llamado maquigami (mezcla del término quechua maki que significa mano y de kami) que sería el arte de crear figuras rasgando el papel con las manos. En la dirección http://mx.geocities.com/directores2004/kirigami.doc hay un archivo de texto donde este profesor explica el uso educativo del kirigami y del maquigami. 2. Posibilidades educativas del kirigami geométrico Vamos a tratar un caso particular que mezclaría papiroflexia y kirigami. La idea es doblar un papel en las partes que necesitemos (no necesariamente iguales) y tras dar un corte recto abrir el papel y encontrarnos con algún patrón geométrico que hayamos propuesto previamente. Por ejemplo, podemos plantear partir de un cuadrado y doblarlo convenientemente para que al dar un corte al papel doblado y desplegar el resultado nos encontremos con la figura 1. Figura 1 Con este tipo de actividad se pueden desarrollar y potenciar los siguientes aspectos educativos: Atención y observación Discriminación Percepción visual Imaginación y creatividad Paciencia y constancia Y permite el trabajo en diferentes niveles de dificultad. Para realizar una tarea de kirigami geométrico es imprescindible utilizar la percepción visual y realizar mentalmente el proceso a seguir para llegar al resultado, el corte en sí se utiliza al final para ver si el resultado del reto que se nos ha planteado es correcto. El desafío es fácil y rápido de comprender, la ejecución y la comprobación también; no así la fase de planificación que presenta algo más de dificultad. Pero es cómodo de repetir en busca de la solución correcta. Además se usa el heurístico típico de resolución de problemas de considerar el problema resuelto y recorrer el proceso al revés. Uno de los aspectos que se trabaja en todo momento es la simetría del dibujo, ya que los ejes de simetría van a coincidir con los lugares donde deberemos hacer los dobleces. En algunos casos hay que tener en cuenta que la línea por la que se dobla el papel no divide a la pieza en dos partes iguales, lo que complica la resolución del problema. 3. Metodología En primer lugar debemos proveernos de gran cantidad de cuadrados. Nosotros solemos reciclar el papel, en concreto cortamos toda la publicidad que llega a los buzones, periódicos atrasados y folletos de todo tipo pues no se requiere de un papel especial. Entregamos a los alumnos, junto con el papel y las tijeras, unas tarjetas-enunciado en las que se encuentran las figuras que deben conseguir. El alumno elige una figura e intenta conseguir el doblez para que al cortar aparezca el patrón geométrico elegido. Si lo consigue se anota un punto y pasa a otro, si no, tiene la posibilidad de intentarlo nuevamente. Hay que tener en cuenta que en los más casos complicados es posible que se tengan que probar varios cortes antes de dar con el resultado. Las siluetas-problemas las tenemos agrupadas en tres niveles de dificultad, según la cantidad de dobleces que haya que realizar antes del dar el corte. En cada tarjeta aparecen tres o cuatro figuras de idéntico nivel de dificultad. 4. Kirigami geométrico A continuación vamos a presentar las imágenes que hay que conseguir. Recuerden que el juego consiste en tomar una hoja cuadrada de papel (podría ser rectangular pues el objetivo es que queden los cortes que se ven al desdoblar) doblarla y dar un solo corte recto de forma que se obtenga una de las siguientes imágenes. 4.1. Figuras de nivel fácil 4.2. Figuras de nivel medio 4.3. Figuras de nivel difícil 5. Estudio y construcción de las piezas Esta actividad la conocíamos desde hace tiempo pues algunos amigos ya la habían utilizado en concursos de resolución de problemas, como el Open Matemático que se organiza desde Requena (Valencia), y hay incluso pasatiempos de revistas en los que había aparecido. Pero como nos parecía que daba bastante juego para trabajar la geometría hicimos un estudio sistemático con nuestros alumnos en los talleres de matemáticas. Partiendo de una hoja cuadrada realizamos el estudio de todos los dobleces que era posible realizar y de todas las figuras que podíamos obtener. En las imágenes siguientes aparecen algunos de esos patrones con las imágenes que quedan. 5.1. Utilizando solo dos dobleces 5.2. Utilizando tres dobleces El resto de las figuras necesitan realizar, al menos, cuatro dobleces antes de llegar a la solución. Para acabar mostramos uno de los estudios y así dejamos los demás para que nuestros lectores se entretengan.
Martes, 01 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Ya en el número 46 de la revista SUMA apareció en esta sección un artículo dedicado a papiroflexia. En aquel momento hablamos sobre lo interesante y atractivo que resulta trabajar con papel en clase con los alumnos. Existen muchas posibilidades de ver elementos del curriculum doblando papel y repasar bastantes conceptos de una forma amena y entretenida. Retomando la idea que planteó nuestro amigo Antonio Ledesma en el número 24 de la revista Epsilon, hoy queremos presentar la construcción de un polígono estrellado de seis puntas. Hemos de partir de un triángulo equilátero, pero como normalmente no tenemos ya preparado ese polígono, vamos a ver cómo conseguirlo a partir de una hoja en un papel cualquiera. Hemos preparado una hoja especial con unos textos descompuestos de forma que al construir la estrella aparezcan una serie de frases, en este caso relacionadas con la revista SUMA. La mayor dificultad es colocar adecuadamente las letras e imágenes para que al final queden colocadas en el sitio adecuado. Como es de suponer la forma de hacerlo es utilizar un heurístico típico de la resolución de problemas, partir de la solución, colocar las frases adecuadas y después deshacer el camino para ver como quedan. Pero si no queremos tomarnos el trabajo de particularizar nuestra estrella podemos hacerlo con cualquier hoja. Partimos de una hoja A4 sobre la que hemos impreso algunas imágenes y algún texto (como se ve en la figura 1). Para que nos quede exacta la disposición de estos textos debemos recortar la hoja por el marco rectangular (ver figura 2). Figura 1 Figura 2 Doblamos por la mitad a lo largo de la hoja (figura 3). Hasta conseguir la estrella, todos los dobleces deben hacerse quedando las letras fuera del doblez. Figura 3 Figura 4 Se vuelve a abrir la hoja y se da la vuelta. A continuación doblamos la hoja desde el vértice inferior izquierdo (de la cara blanca) haciendo coincidir el vértice superior izquierdo con el doblez que hemos obtenido en el paso anterior (ver figura 4). Sobre el trozo de lado superior que llega hasta la línea divisoria inicial, doblamos el resto de la parte superior haciendo coincidir el trozo de lado superior de la hoja que estaba sin doblar con la diagonal que nos ha aparecido en el doblez anterior (ver figura 5). Figura 5 Es fácil comprobar que el ángulo superior que hemos obtenido es de 60° pues divide al lado superior del rectángulo (ángulo de 180°) en tres partes iguales (figura 6). Figura 6 Figura 7 Por último el trozo de papel que sobra por abajo en la figura 5 se dobla siguiendo el lado inferior del rectángulo original y obtenemos un triángulo (figura 7). Como el último ángulo que hemos conseguido es de 60°, lo que es fácil de ver, el triángulo es equilátero. A continuación (o partiendo desde aquí, si disponemos inicialmente de un triángulo equilátero). Doblamos uno de los lados, haciendo coincidir los dos vértices. De esta forma se obtiene una línea que pasa por el vértice opuesto (figura 8). Dado que estamos en un triángulo equilátero, en esta línea coinciden la altura, la mediatriz y la mediana del lado, así como la bisectriz del ángulo opuesto al lado. Figura 8 Figura 9 Se realiza el mismo doblez con los otros lados y obtenemos el punto central del triángulo, ya que por las propiedades de las rectas notables las tres líneas deben coincidir en un punto como muestra la figura 9 (que puede comprobarse mediante doblado que es el ortocentro, circuncentro, baricentro e incentro. El siguiente paso es doblar un vértice del triángulo (este doblez es opuesto en sentido a los realizados anteriormente) haciéndolo coincidir con el punto central que nos ha determinado los dobleces anteriores (ver figura 10). Figura 10 Al realizar lo mismo con los otros dos vértices conseguimos obtener un hexágono regular (figura 11). Para la última parte de la construcción, deshacemos los dobleces que han dado lugar al hexágono. Figura 11 Figura 12 Damos la vuelta a la hoja (observándola por tanto por donde no aparece la palabra SUMA en rojo) y a continuación llevamos un vértice al punto medio del lado opuesto (figura 12). Sobre el doblez obtenido al realizar el hexágono (según vimos en la figura 11), doblamos hacia atrás el vértice (como en la figura 13). El doblez del hexágono debe estar a la misma altura que el punto central del triángulo, pues no olvidemos que es el baricentro, y por tanto está a una tercera parte del lado y a dos tercios del vértice. Figura 13 Figura 14 A continuación realizamos un doblez igual en otro vértice, de forma que quede por encima del que hicimos en el primer vértice (figura 14). Y para acabar doblamos el tercer vértice. Para que quede sujeta la figura introducimos uno de los extremos del último doblez debajo del primero (figura 15). Figura 15 Ya hemos conseguido el polígono estrellado de seis puntas.   Bibliografía: LEDESMA, A. (1992). Geometría con un folio. Épsilon nº 24, pp.51-68.
Domingo, 01 de Noviembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Los rompecabezas más conocidos actualmente son los de piezas que hay que encajar para reproducir una imagen; en ellos la dificultad estriba en el número de piezas que lo componen y la propia imagen con tonos parecidos y piezas casi iguales. Los rompecabezas matemáticos juegan también con las múltiples formas de colocar las fichas y a veces, además de con la forma, con el color. Son menos conocidos pero muy frecuentes, desde principios de siglo, en el mundo publicitario Planos o tridimensionales suelen ser fáciles de construir en madera o cartón y siguen siendo muy interesantes como juego didáctico. Comenzamos con cuadrados y colores. Construye fichas cuadradas de igual superficie, dividelas en cuatro partes iguales y cada una píntala de un color distinto ( necesitas cuatro colores ). Puedes escoger una de estas divisiones: 1.- ¿Cuántas fichas distintas podemos construir? 2.- Si las colocamos una junto a otra siguiendo la regla: “lados adyacentes, colores iguales”, ¿cuántas disposiciones distintas son posibles? 3.- ¿Y cuántas fichas y cuáles tenemos que repetir para construir un cuadrado de 3x3 fichas en el que los lados adyacentes tengan los mismos colores? Basandose en la idea anterior os presentamos un rompecabezas que regalaban las lineas aéreas suizas “Swissair” en sus vuelos. Consta de 9 fichas cuadradas que tienen dibujadas: dos cabezas y dos colas de avión, dispuestas en todas las fichas de la misma manera. La diferencia de las piezas está en el color de cada elemento. Utiliza cuatro colores. El juego consiste en disponer las nueve fichas formando un tablero de 3x3, de manera que los aviones interiores estén bien formados y tengan sus dos partes, cabeza y cola, del mismo color. Para empezar aquí tienes dos soluciones distintas con un pequeño problema: se nos han borrado los colores. Coge las fichas, juega y encontrarás las soluciones que te damos y seguro que otras muchas.
Lunes, 01 de Noviembre de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Introducción En los años que llevamos con esta sección hemos hablado muchas veces de puzzles, de su diseño, de su construcción y del estudio de sus posibilidades de manipulación. Hoy queremos presentar uno basado en la combinatoria. Aprovechando la propuesta polícroma de la nueva etapa de SUMA, queremos jugar con colores viendo todas las formas de ordenarlos para obtener piezas distintas y conseguir figuras con colorido. Vamos a dedicar especial atención, como hemos hecho muchas veces, al diseño y estudio preliminar de las piezas que se pueden construir, antes de pasar a jugar con ellas. Como surgió la actividad Estábamos trabajando en clase la división de figuras en partes iguales (sobre lo que ya hablamos en el número 45 –Dividir en partes iguales- de SUMA) y habíamos comenzado con lo más simple, dividir un cuadrado en cuatro partes iguales y entonces apareció el reto, ¿de cuántas formas distintas podemos dividir un cuadrado en cuatro piezas que sean exactamente iguales (es decir si las recortamos y las colocamos una sobre otra coinciden)? La pregunta dio lugar a una actividad frenética, cada uno quería encontrar “su división”. A continuación mostramos algunas de las que aparecieron: Como el colorear es la debilidad de los alumnos de primero de ESO cuando fueron apareciendo las distintas divisiones, alguien pregunto: “Maestro, ¿las podemos colorear?” Y entonces cambió la línea de trabajo, pues el problema era ahora cómo colocar los colores y por tanto surgió una nueva actividad de investigación con los siguientes apartados: Dibujemos un cuadrado y dividámoslo trazándole las dos diagonales (suele ser de las primeras en aparecer), entonces el cuadrado contiene cuatro triángulos rectángulos isósceles. Escojamos cuatro lápices de colores distintos. Si cada uno de los triángulos de ese cuadrado lo pintamos de un color obtenemos distintas piezas, por ejemplo, la figura adjunta. ¿Cuántos cuadrados distintos se pueden construir con los cuatros colores escogidos sin que se repita ninguno? A partir de esta idea surgieron tres trabajos distintos dependiendo de la figura base de la que se partía, que como veremos, influye en los resultados. Primer puzzle de combinatoria a) Construcción La respuesta a la pregunta base del coloreo de la pieza ya dividida ha dado más de un quebradero de cabeza a nuestros alumnos. Ellos no conocen nada de Combinatoria por lo que las soluciones iban saliendo por ensayo y error, por intuición y por el poco o mucho factor visual desarrollado. Muchos de ellos (y de nosotros) para distinguir claramente dos piezas diferentes las tenemos que dibujar, recortar y superponer para ver claramente si son piezas iguales o distintas. Se les insistió en buscar algún procedimiento para no dibujar figuras repetidas, por ejemplo, fijar uno de los colores siempre en la misma posición. Analizando el problema desde el punto de vista de la Combinatoria deducimos que la situación planteada es una permutación circular de cuatro elementos (los cuatro colores) alrededor del centro del cuadrado. El número de ordenaciones posibles en una permutación circular de n elementos se obtiene por el factorial de n-1; P(n) = (n-1)! En nuestro caso es P(4) = (4-1)! = 3·2·1 = 6 Por lo que nuestro primer puzzle de combinatoria tendrá seis piezas distintas. Para demostrar que las piezas son distintas o para deducir cuál es la que falta hacemos un análisis comparativo entre ellas. Después del estudio detallado aparecen las seis posibilidades: b) Juegos Una vez que teníamos las piezas no quisimos quedarnos ahí. Comenzamos a jugar con ellas y se planteó cómo construir composiciones con las seis piezas que tiene el puzzle con las condiciones de que las piezas tengan un lado común y correspondan a un triángulo del mismo color. Incluimos a continuación algunas de las figuras más llamativas que realizaron los alumnos. Segundo puzzle de combinatoria Partiendo de la división del cuadrado en cuatro cuadrados iguales y escogiendo cuatro colores podemos construir el segundo puzzle. Las ordenaciones posibles de los cuatro colores es también una permutación circular de cuatro elementos, por lo que tenemos otras seis piezas diferentes: Juegos y composiciones Como en el primer puzzle, para la realización de las composiciones, las piezas han de unirse por un lado que tenga el mismo color. A simple vista puede parecer que estamos en el mismo caso que el puzzle anterior, pero aquí se plantea una nueva dificultad. Anteriormente al unir los dos lados del cuadrado sólo había que hacer coincidir un color, pero en este segundo caso un lado equivale a una combinación de dos colores coincidiendo a la vez. Esto dificulta más la construcción de figuras con las seis piezas. El primer reto a plantear es: Con este puzzle ¿se puede formar un rectángulo de 2x3 piezas? Tercer puzzle: rombos de colores Ya metidos en faena, decidimos modificar un poco las condiciones iniciales. Íbamos a seguir jugando a colorear piezas pero en este caso la pieza no sería tan regular como un cuadrado. Decidimos elegir un rombo con la característica de que su lado coincidía con su diagonal menor, es decir, sería un rombo formado por dos triángulos equiláteros (esta restricción influye sólo en la regularidad de las figuras que se pueden construir al final, no en el estudio combinatorio de piezas que se hace previamente). Con ese rombo dividido en cuatro partes iguales (triángulos rectángulos) por sus diagonales, comenzamos a trabajar. Si cada una de las divisiones del rombo la pintamos de un color ¿Cuántos rombos distintos se formarán? Volcando aquí el estudio hecho en los dos casos anteriores nos encontramos rápidamente con los siguientes seis casos: En los rombos los cuatro lados son iguales, pero los cuatro ángulos no son todos iguales, por lo que se nos plantea la siguiente cuestión, ¿son iguales estos dos rombos? Con sólo superponerlo comprobamos que son rombos diferentes, y por tanto este puzzle tiene otras seis piezas más (nuestros alumnos las nombran “los rombos tendidos”). Este puzzle esta compuesto al final por 12 rombos diferentes que pueden generar todas las composiciones que nuestra imaginación y mucho mejor la que nuestros alumnos quieran poner en el juego. Enigmas y composiciones ¿Si tenemos 12 rombos podremos formar romboides con todos ellos cumpliendo la regla de que los lados coincidan exactamente y los colores que se toquen sean iguales? Después de estudiar la cuestión aparecen romboides de distintas dimensiones, luego la siguiente pregunta es, ¿de qué dimensiones pueden ser los romboides obtenidos? ¿Con los 12 rombos (24 triángulos equiláteros) podemos construir un hexágono regular con las restricciones de hacer coincidir los colores que están en contacto? Como siempre un paso más Al hablar de puzzles siempre nos gusta tratar el tema de la construcción por parte de los alumnos de las piezas que se utilizan, pues pensamos que es un escalón más en el proceso educativo. En primer lugar hace que los alumnos personalicen su material, ya que están trabajando con un puzzle que ellos se han construido y además entran en juego una serie de procedimientos que pueden desarrollarse en otras áreas, por ejemplo en Tecnología. En este caso es muy fácil la construcción del material, basta entregar en cartulina los dibujos de varios cuadrados o rombos y que los alumnos los dividan y coloreen. Posteriormente se plastifican y recortan o incluso mejor, se pegan previamente sobre una superficie más rígida como panel o cartón pluma, ya que ambas son fáciles de cortar con un simple cutter. Una vez plastificado ¡a jugar!
Miércoles, 06 de Mayo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Introducción A cualquier persona que haya tenido alguna vez relación con los puzzles conocidos por el nombre de tangram, enseguida se le viene a la cabeza una figura geométrica dividida en trozos que permiten recomponer la forma original, y a la vez, construir una gran variedad de imágenes, en general de objetos diversos, pero también de elementos geométricos. Usualmente la figura de la que se parte es un cuadrado, pero también existen tangram que provienen de triángulos, rectángulos, hexágonos, círculos, e incluso de figuras más curiosas como el tangram de huevo o el tangram corazón (ver Alsina, Burgues y Fortuny; 1988). Indudablemente dentro de estos puzzles geométricos el más conocido es el Tangram Chino, que nos ha hecho pasar buenos ratos y que para nosotros como profesores es un excelente recurso didáctico ya que nos permite trabajar con nuestros alumnos muchos bloques temáticos del currículo de Matemáticas: fracciones, porcentajes, números irracionales, longitudes, áreas… hasta demostrar un caso particular del teorema de Pitágoras. Todos los puzzles citados tienen una buena aplicación educativa, pues el mero hecho de realizar figuras obliga a manejar conceptos de equivalencia de áreas, simetrías, descomposición de una figura en piezas menores, suma de longitudes, etc. A lo largo de los siglos XIX y XX muchas personas se han dedicado a crear tangram de todo tipo, como por ejemplo el conocido creador de juegos norteamericano Sam Loyd. Por ello puede llegar a pensarse que estos puzzles geométricos son relativamente recientes; sin embargo, con estas páginas queremos mostrar que eso no es cierto. En este artículo presentamos el rompecabezas más antiguo (del tipo tangram) del que se tiene referencia escrita, y cuyo autor no es otro que el conocido matemático griego Arquímedes. Se le conoce por “Stomachion” (en los textos griegos), "Syntemachion"  o "Loculus de Arquímedes" (en los textos latinos). La historia del Stomachion Este puzzle geométrico se describe en trozos de manuscritos con copias de obras de Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), correspondientes a un tratado que lleva ese nombre: Stomachion. De todos es conocido que la mayoría de los escritos de los sabios griegos han sufrido grandes avatares para llegar a nuestros días. En general nos han llegado trozos que son copias de copias y que a lo largo de estos 22 siglos han ido apareciendo y desapareciendo misteriosamente como es el caso del “Palimpsesto” (un palimpsesto es un pergamino en el que el texto original ha sido lavado para poder escribir de nuevo sobre él). Este manuscrito sufrió la escasez de papel típica del siglo XIII y en un afán de reutilización, de sus hojas se “lavaron” los textos que contenía, copiados en el siglo X, entre los que estaba la única copia de El Método, para escribir encima rezos y lecturas religiosas. Después de siglos de uso, el manuscrito  acabó en la biblioteca de un monasterio de Constantinopla. Johan Ludvig Heiberg, filólogo y erudito danés, lo encontró en 1906 en la biblioteca de la iglesia del Santo Sepulcro en Estambul. Y descubrió que debajo de los textos religiosos había símbolos matemáticos escritos en griego antiguo. Con lupa y fotografía transcribió gran parte de lo que contenía: una copia de los tratados de Arquímedes. Después el manuscrito volvió a perderse hasta los años 70, en que aparece en manos de una familia francesa, que lo vende en 1998 a un millonario americano por 2 millones de dólares. El manuscrito está actualmente depositado en el museo de Baltimore (Estados Unidos). Entre todos los trabajos de Arquímedes, el Stomachion ha sido al que menos atención se le ha prestado. Todo el mundo pensaba que era un rompecabezas para niños, por lo que no tenía ningún sentido ni se encontraba explicación que interesará a un hombre como él. El historiador de las Matemáticas Dr. Reviel Netz después de estudiar el Palimpsesto descubrió la razón de por qué este rompecabezas está junto a otros escritos de Arquímedes tan importantes como El Método donde las Matemáticas y la Física son genialmente relacionadas. El Dr. Netz expone, después de traducir e interpretar los escritos de Arquímedes, que el Stomachion es utilizado por Arquímedes para escribir un tratado de Combinatoria (otros matemáticos que estudiaron los escritos de Arquímedes no podían pensar que en la antigua Grecia se tuviera conocimientos de Combinatoria, campo de las Matemáticas que despega con la llegada de la Informática). El Dr. Netz afirma que Arquímedes no pretendía ensamblar las piezas de cualquier forma, sino que su trabajo va en la dirección de encontrar respuesta a la siguiente pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden juntar las 14 piezas para formar un cuadrado?, contrastándola con el objetivo de la Combinatoria que es determinar las distintas maneras en que puede ser solucionado un problema dado. El Dr. Netz encargó a un grupo de expertos que trabajaran para encontrar la solución al reto que se planteaba Arquímedes, las maneras de unir las piezas de forma que se consiguiera un cuadrado. El Dr. Guillermo H. Cutler, informático, diseñó un programa para que su ordenador diera la solución al problema planteado. En noviembre del 2003, el Dr Cutler encontró las 536 maneras distintas de juntar las 14 piezas para formar un cuadrado, sin tener en cuenta las soluciones equivalentes producidas por las rotaciones, reflexiones o conmutaciones de piezas idénticas. El rompecabezas Stomachion El puzzle consiste en la disección de un cuadrado en 14 piezas poligonales: 11 triángulos, 2 cuadriláteros y un pentágono (Ver figura 1). Figura 1: Puzzle Stomachion A simple vista puede parecer que la división de las piezas es muy complicada, pero si superponemos una cuadrícula (procedimiento muy adecuado para trabajar con los tangram) veremos que la dificultad va disminuyendo. Basta incluir la disección del cuadrado en una cuadrícula de 12 unidades de lado para que se cumplan las siguientes propiedades: 1) Los vértices de todas las piezas son puntos de la cuadrícula, como se pueden ver en el dibujo de la figura 2. Figura 2: Puzzle Stomachion sobre cuadrícula 2) La superficie de cada pieza corresponde a un número entero de cuadrados unidad en los que está dividida la cuadrícula, según se observa en la figura anterior. De la misma figura 2 puede obtenerse fácilmente qué fracción de la superficie total del cuadrado corresponde a cada pieza. Podemos verlo en la figura 3. Figura 3: Fracciones de las distintas piezas Los datos de las piezas están reunidos en la siguiente tabla: Número de piezas Tipo de las piezas Área de cada pieza Fracción del cuadrado 2 Triángulos 3 u. 1/48 4 Triángulos 6 u. 1/24 1 Triángulo 9 u. 1/16 4 Triángulos 12 u. 1/12 1 Cuadrilátero 12 u. 1/12 1 Pentágono 21 u. 7/48 1 Cuadrilátero 24 u. 1/6 14 Total del cuadrado 144 u.     Aplicación didáctica Lo interesante es cómo utilizar este puzzle en clase. Nosotros vamos a comentar aquellos aspectos que hemos tratado con los alumnos (algunos de ellos sacados de la documentación que hemos conseguido encontrar). 1) En primer lugar es interesante hacer una pequeña introducción histórica, sobre todo a su creador, Arquímedes, insistiendo en la importancia que daba a aplicar la matemática para resolver los problemas de la vida cotidiana (aunque en su época lo cotidiano fuese ser invadido por los romanos). 2) Como ya hemos hablado en otros artículos de esta sección, un aspecto importante es el diseño y construcción del puzzle en materiales diversos (cartón, panel, cartón pluma, acetato, etc.). Este aspecto puede ser tratado en colaboración con los compañeros de Tecnología, ya que puede representar un atractivo proyecto para cualquier curso. 3) Una de las primeras formas de enfrentarse al puzzle es intentar reconstruir el cuadrado a partir de las piezas diseccionadas. Podemos asegurar que si no se tiene alguna solución por delante este reto es muy complicado y en su desarrollo hay que aplicar muchos procedimientos matemáticos, sobre todo para ir completando ángulos rectos y uniendo longitudes de forma que aparezcan los lados del cuadrado. Y eso a pesar de existir 536 soluciones según comentamos antes. Algunas de esas soluciones podemos verlas a continuación. Figura 4: algunas soluciones del Stomachion 4) En el desarrollo del trabajo es posible utilizar el teorema de Pick para calcular o verificar el área de cada pieza, o bien intentar deducirlo. Recordemos que George Alexander Pick fue un matemático austriaco que nació en Viena en 1859 y murió, en un campo de concentración nazi, alrededor de 1943. El teorema de Pick dice que si un polígono P tiene sus vértices en una cuadrícula entonces su área es A = 1/2b + i –1, siendo b el número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal e i el número de puntos interiores. Veamos un ejemplo. La pieza de área 24 unidades cuadradas está representada en la figura siguiente. El número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal es 14 y el número de puntos interiores 18. Por tanto: A = 1/2b + i –1 = (1/2) · 14 + 18 – 1 = 24 Pieza de 24 puntos Si se pretende deducir la fórmula de Pick sería interesante mandar construir una tabla con todas las piezas, sus áreas (que están indicadas en la figura 2), el número de puntos del borde poligonal y el número de puntos interiores, y a partir de ahí intentar hallar la relación que cumplen. 5) Se pueden establecer relaciones entre las distintas piezas ordenándolas según su área. Esta actividad, que en el Tangram Chino es casi trivial, en esta ocasión presenta mayor dificultad. Por supuesto es necesario calcular previamente las áreas utilizando la cuadrícula de la que hablamos al principio. 6) Como se puede apreciar, entre las piezas hay triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos, por lo que es muy interesante estudiar los ángulos de cada una de las piezas. Y comprobar, además, cómo se complementan unos con otros. 7) Se pueden componer figuras poligonales cuyas áreas correspondan a las fracciones del cuadrado con denominador 48 (se pueden obtener todas las fracciones desde 1/48 hasta la unidad). 8) Es interesante obtener las longitudes de los lados de las piezas, utilizando la figura 2 y considerando el cuadrado de lado unidad. Enseguida aparecerán números irracionales. 9) Es posible realizar composiciones con un número determinado de piezas de forma que las superficies que se consigan tengan determinadas propiedades numéricas. Antes de comenzar a trabajar con las piezas necesitamos estudiar esas propiedades para saber qué áreas tendrán las figuras resultantes. A continuación ponemos ejemplos de las que conocemos: Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos que tengan la misma superficie. Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escalenos que la superficie de uno sea doble que la del otro. Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escálenos que la superficie de uno sea triple que la del otro (el pequeño es un triángulo escaleno rectángulo). Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres triángulos (A, B y C) de manera que la superficie de C sea triple y la de B sea doble que la de A. Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres polígonos de manera que tengan la misma superficie. Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar cuatro polígonos de manera que tengan la misma superficie. Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar seis polígonos de manera que tengan la misma superficie. Si la superficie del cuadrado es de 144 unidades cuadradas, haz las siguientes composiciones: Reparte las 14 piezas del puzzle para formar tres polígonos de manera que sus superficies sean tres números múltiplos de 12. Reparte las 14 piezas del puzzle para formar cinco triángulos de manera que sus superficies sean cinco números múltiplos de 6. Reparte las 14 piezas del puzzle para formar dos cuadrados iguales  y un pentágono cóncavo. 10) Con las piezas del Tangram Chino es posible construir una serie de polígonos convexos y con las piezas del Stomachion ocurre igual. Se pueden construir triángulos, cuadrados, rombos, rectángulos, romboides, trapecios, trapezoides, pentágonos, hexágonos… A continuación tenemos algunas posibilidades. 11) Igual que en la mayoría de tangram, con las piezas del Stomachion, se pueden construir figuras no propiamente geométricas simulando a personas, animales y objetos. La cantidad depende del ingenio del que maneje el puzzle. Pájaro en vuelo Corona Elefante Por último queremos comentar un aspecto que puede desarrollar este puzzle, aunque nosotros no hemos llegado a ponerlo en práctica. Alrededor del rompecabezas puede organizarse una actividad interdisciplinar coincidiendo con alguna fecha señalada (semana cultural, final de trimestre, etc.) ya que pivotando en torno a la figura de Arquímedes hay muchos departamentos que podrían coordinarse para hacer algo en común. Se nos ocurre al menos las áreas de Matemáticas, Tecnología, Educación Plástica, Historia y Cultura Clásica. Bibliografía ALSINA, C.; BURGUES, C. y FORTUNY, J. (1988): Materiales para construir la Geometría, Síntesis, Madrid. TORIJA HERRERA, R. (1999): Arquímedes. Alrededor del círculo, Editorial Nivola, Madrid. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html Página de The Mathematical Association of America donde se pueden encontrar las 536 soluciones distintas.
Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Desde que los griegos inventaron la Matemática como disciplina, la esencia de los números ha constituido un aspecto muy atractivo para los estudiosos de todas las épocas. Desde su clasificación, búsqueda de números con características especiales (primos, capicúas, amigos, perfectos, etc.), hasta el estudio de sus propiedades, estos problemas han fascinado a los matemáticos; incluso algunos han inscrito su nombre en la historia por su relación con ellostraspasando los límites del mundo matemático, como los casos evidentes de la escuela pitagórica,Pierre de Fermat o Srinivasa Ramanujan. Esta fascinación no sólo hace mella en los matemáticos sino que también en quienes son ajenos a ese mundo es observable una cierta atracción hacia esos problemas. Esto se ve claramente en la gran cantidad de pasatiempos numéricos queaparecen regularmente en la prensa. No es raro tampoco que cuando organizamos alguna actividad de matemática recreativa, sean gymkanas, concursos de ingenio, pruebas individuales o por equipos, etc. estén presentes los problemas numéricos, pues son de los que más aceptación tienen.   Pensamos que el éxito de este tipo de problemas se debe a que son entretenimientos que se basan en operaciones básicas conocidas por todo el mundo,que sin embargo no suelen ser evidentes; es más, algunos pueden entrañar bastante complejidad en su resolución.   Para nosotros como profesores, esos problemas numéricos tienen características didácticas atractivas, como las siguientes: Son altamente motivadores (por lo explicado anteriormente). Sirven para introducir cualquier tema del bloque numérico, tomándolosdirectamente de la prensa o de libros de matemáticas recreativas, o adaptándolos a nuestra conveniencia(ver Muñoz y otros; 1998). Complementan o refuerzan el bloque numérico de Primaria o Secundaria. Agilizan el cálculo mental. Juegos numéricos. La cantidad de pasatiempos de este tipo que pueden usarse en clase es muy amplia. Nosotros los clasificamos en dos grandes bloques: por un lado los de ordenación, en los que hay que colocar los números en determinados lugares según unas exigencias previas, y por otro lado los de cálculo, en los que se puede ir desde los más simples con sumas, hasta las operaciones más complicadas. Hemos seleccionado ocho juegos con nivel adecuado para ser usados en Primaria, aunque por supuesto, son actividades atractivas para cualquiera, como hemos comprobado cuando las hemos sacado a la calle y presentado a personas de todas las edades y formación. 1.- Siete números en la Y griega Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos números consecutivos no estén juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente. 2.- La rueda numérica Sitúa los números del 1 al 9 en los cuadros del tablero, de forma que todas las líneas de tres números sumen 15. 3.- El triángulo que suma igual Distribuye las cifras del 1 al 6 en el tablero, de forma que la suma de cada lado del triángulo sea la misma. 4.- El cuadro de números. Coloca los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a sus lados. 5.- Ocho números en línea Coloca las cifras del 1 al 8 en los cuadros de la siguiente línea, de forma que la diferencia, en un orden o en otro, entre dos números vecinos, no sea nunca menor que 4 6.- Pares e impares en una suma Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los números pares en los cuadrados y los impares en los círculos. 7.- La serpiente súmica Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13. 8.- El producto con nueve números Coloca las cifras del 1 al 9 sobre el tablero, de forma que el producto resultante sea correcto. Aclaraciones. En la mayoría de los juegos hay varias soluciones. Si el nivel de conocimiento de los alumnos lo permite, se les puede pedir que busquen todas las posibles. En el enunciado del segundo juego, se pide que los diámetros de la rueda sumen 15, si se hace el juego en cursos superiores, la condición conviene expresarla diciendo que deben sumar igual, sin decirles el valor. En el tercer juego hay diversas soluciones (los tres números suman 9, 10, 11,12). Si se considera conveniente para alumnos pequeños, se les puede decir el valor de la suma para que les sirva de pista. Este juego, con el mismo tablero y fichas, puede complicarse modificando las exigencias, basta pedir que cuando se coloquen los seis números, cada lado del triángulo sume distinto, pero que en las sumas se obtengan tres números consecutivos. El cuarto juego se ha presentado como diferencia para que no fuese casi todo sumas, pero se puede plantear también el colocar los nueve números de manera que los que queden en los cuadros negros, sean la suma de los que están en los círculos vecinos. Cómo presentar los juegos. Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, todos estos juegos se pueden hacer perfectamente con lápiz y papel, pero tenemos comprobado que el aspectomanipulativo es muy importante en la enseñanza, especialmente en Primaria, por lo que aconsejamos que se haga como juego de tablero y fichas, presentando el dibujo del tablero en cartón o sobre panel, y los números en cartulina o soporte de más consistencia (cartón pluma, panel, DM, etc.). Esto facilita la resolución pues los intentos nuevos no pasan por borrar lo hecho antes sino por cambiar las cifras de lugares. De esta manera es como la presentamos nosotros en los montajes que realizamos de Matemáticas en la Calle. En este sentido, durante una magna exposición de materiales didácticos y recreativos, que se desarrolló durante el IX Congreso de Matemáticas THALES, celebrado el pasado Septiembre en San Fernando (Cádiz), compañeros de la S.A.E.M. THALES de Córdoba presentaron materiales en esta línea, utilizando como tableros alfombras del cuarto de baño pintadas, y como fichas los números de goma usados normalmente en Preescolar,que se pueden encontrar actualmente en los tiendas de "Todo a Cien". Bibliografía. MUÑOZ, J.; FERNÁNDEZ, J., CARMONA, V. (1998): "Jugando con potencias y raíces". Números 33, Tenerife, 27-38.
Domingo, 01 de Mayo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque
Hasta ahora en esta sección hemos tratado muchos recursos, dedicando cada entrega a un tipo de material distinto: puzzles, dominós, trucos de magia, juegos de tablero y fichas, etc. A veces hemos citado el material presentado por el nombre del matemático creador, como Pitágoras o Arquímedes, pero hasta ahora no habíamos dedicado un artículo completo a una persona, y quizás iba ya siendo hora. Esta entrega la vamos a dedicar a todas aquellas personas que, no siendo matemáticos, han sido unos apasionados de esta materia, y aunque dedicados a otras profesiones más o menos alejadas de las matemáticas o las ciencias, la han estudiado y han aportado sus descubrimientos a la historia de esta disciplina. Quizás el nombre que a todos se nos viene a la cabeza como más representativo de este grupo de personas es el de Fermat, aunque existen muchas otras personas que han quedado inscritas en la historia unidas a algún resultado que ha alcanzado notoriedad. Ese es el caso de Henry Perigal, nuestro personaje de hoy. Un gran aficionado a los puzzles geométricos. Henry Perigali (1801–1898) fue corredor de bolsa hasta los 87 años en que se retiró para dedicarse más a fondo a sus estudios, pero durante toda su vida fue un gran aficionado a las matemáticas y a la astronomía. La mayoría de sus trabajos y pensamientos los conocemos gracias a que un hermano menor, Frederick, los publicó después de su muerte. Tuvo gran amistad con científicos y matemáticos de la época, entre ellos Augustus de Morgan, J.J. Sylvester, Lord Kelvin, Lord Rayleigh o  James W. Glaisher (que llegó a ser presidente de la Sociedad Matemática londinense). Perigal perteneció a varias sociedades científicas, entre ellas la Royal Astronomical Society, incluso fue tesorero de la Royal Meteorological Society. En estas sociedades destacó por sus conocimientos sobre los movimientos circulares. Fue conocido con el título de “El venerable patriarca de las sociedades científicas de Londres”. Intentó, sin lograrlo, ser admitido en la prestigiosa Royal Society, seguramente debido a su defensa a ultranza de que la Luna no rotaba, lo que según él explicaba que siempre presentara la misma cara. Entre sus aficiones se encontraba el trabajo con el torno de madera, por lo que fue un experto en la técnica del torneado conocida por el nombre de Geometry Check, realizando un estudio sobre la clasificación matemática de las figuras que pueden obtenerse mediante torneado. Tenía además un gran dominio del dibujo geométrico lo que le permitió el estudio de disecciones geométricas, de las que vamos a ver varios ejemplos en estas páginas. La razón por la que su nombre se ha inscrito en el paraninfo matemático fue el descubrimiento, en 1830, de una disección que demostraba geométricamente el Teorema de Pitágoras. Sobre esta demostración ya se ha hablado en varias ocasiones en esta revistaii pero nunca está de más repetirla. Demostraciones del Teorema de Pitágoras. La disección se construye trazando por el centro del cuadrado sobre el cateto mayor una paralela y una perpendicular a la hipotenusa tal como puede verse en la figura 1. Tan satisfecho quedo Perigal de su disección que encargó que se hiciera una inscripción con ella en su tumba, según puede verse en la figura 2. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Perigal, en el artículo “On Geometric dissections and transformations” publicado en el volumen 1 de la publicación The Messenger of Mathematics de 1874, donde presentó su diseccióniii plantea otra manera de hacer esta división. Podemos ver en la figura 3 una copia de su dibujo. Se colocan juntos los dos cuadrados que irían sobre los catetos y se trazan líneas que pasan por el centro del cuadrado menor y por el punto medio de la suma y la resta de los dos lados de los cuadrados. Esta división la podremos ver más clara en los enlosados pitagóricos que siguen un poco más adelante. Figura 4 Años después de la muerte de Perigal, el matemático alemán Paul Mahlo (1883-1971) planteó que la anterior demostración era solamente un caso particular de una gran familia de disecciones. En concreto Mahlo presentó otra disección en 1908, que sitúa el punto por el que se traza la paralela en la intersección entre el cateto mayor y la perpendicular trazada a la hipotenusa por el vértice superior. En este caso también hay que diseccionar el cuadrado sobre el cateto menor, trazando una paralela a la hipotenusa por el vértice del triángulo rectángulo donde está el ángulo recto. Lo podemos ver en la figura 4. En realidad, todo este grupo de demostraciones del Teorema de Pitágoras proviene del llamado enlosado de Pitágoras, que está formado por dos cuadrados de distinto tamaño (equivaldrían a los construidos sobre los catetos) que se repiten sucesivamente para rellenar el plano. En dicho enlosado puede realizarse una división como se observa en las figuras siguientes para dar lugar a las divisiones que aparecían en las demostraciones anterioresiv. En la figura 5 tenemos la división del enlosado que da lugar a la disección de Perigal y donde puede reconocerse el dibujo realizado por el propio autor. En la figura 6 aparece la que genera la demostración de Paul Mahlo. Figura 5 Figura 6 Figura 7 Existe además otra disección del Teorema de Pitágoras que se suele adjudicar a Perigal. En la figura 7 vemos la nueva división. Las líneas discontinuas marcan donde deben ir los cortes de los cuadrados sobre los catetos. Los trozos en que se trazan las líneas superiores coinciden en anchura con los trozos donde se divide el cateto al trazar el arco de circunferencia. Esta disección tiene el valor añadido de que sirve para demostrar el Teorema del Cateto utilizando cualquiera de las divisiones de los dos cuadrados sobre los catetos. Otros puzzles geométricos. Aparte de las demostraciones del Teorema de Pitágoras, entre los papeles de Perigal se encontraron muchos estudios de divisiones y recomposiciones de polígonos. Vamos a ver algunos de ellos. 1) Los tres cuadrados de Perigal Quizás uno de los más conocidos sea la división de tres cuadrados iguales, que permiten construir un cuadrado con triple superficie. Un cuadrado está completo y los otros dos están divididos como aparecen en la figura 8. Figura 8 Figura 9 2) Otro puzzle con tres cuadrados Existe otra disección de tres cuadrados, de la que no hemos encontrado su autor, pero que sigue la misma línea que la anterior de Perigal, por eso la vamos a incluir aquí. En este caso, los tres cuadrados son de distinto tamaño y sus divisiones podemos verlas en la figura 10. Figura 10 Figura 11 En este puzzle, se pueden variar las disecciones de los cuadrados de forma que se obtengan puzzles diferentes. En este caso varían los tamaños de los cuadrados pequeños que al unirlos dan lugar al grande. Se puede llegar a tener dos cuadrados iguales sin dividir y un tercer cuadrado que a partir de sus divisiones y con los otros dos hacen que se construya el grande. 3) La cuadratura del rectángulo En el volumen 2 de la publicación The Messenger of Mathematics, Perigal presenta dos formas de dividir un rectángulo de forma que al reordenar sus piezas se obtenga un cuadrado. En las figuras 12 y 13 podemos ver imágenes de las hojas originales del artículo con las dos disecciones. En la primera une un vértice del rectángulo con el lado opuesto, a una altura correspondiente al cuadrado resultante, y luego traza una paralela a esta recta por el vértice opuesto al anterior y la franja interior resultante la divide en dos partes iguales con una línea paralela a los lados del rectángulo. En la segunda disección, se recorta el rectángulo a la altura del cuadrado, y la parte sobrante se divide en tantos dobles triángulos rectángulos como sean necesarios para completar el rectángulo. En el dibujo que se ve en el artículo son necesarios tres dobles triángulos, pero eso depende de las medidas del rectángulo. Suponemos que el dividir en dobles triángulos rectángulos lo sobrante, en lugar de en rectángulos directamente es para que todas las piezas sean triángulos rectángulos semejantes, pues las diagonales de división son paralelas a las del rectángulo base. Un paso más allá. En el objetivo de sacar más provecho para nuestras clases de aquellas ideas que encontramos, a partir de la disección de Perigal hemos trabajado con nuestros alumnos un problema nuevo: Tomando las cuatro piezas iguales en que se divide el cuadrado sobre el cateto mayor, construir, uniéndolas, todas las figuras que tengan algún tipo de simetría. Las siguientes son las que hemos hallado. Las zonas negras en los dibujos son huecos vacíos entre las cuatro piezas. Como complemento. En la dirección http://www.cabri.net/abracadabri/abraJava/Dissection/Duplik1.html aparecen varios archivos interactivos en java con las demostraciones de Pitágoras de Perigal y Mahlo que hemos comentado, así como las dos composiciones de tres cuadrados que permiten componer uno mayor. También es posible encontrar varias de  las disecciones que presentamos en nuestra sección del número 48 de esta revista con el título de “Cuadratura de polígonos regulares"v.   Notas: i En la dirección http://plus.maths.org/issue16/features/perigal/ aparecen más aspectos de la vida de Perigal. En la parte de bibliografía hay enlaces a imágenes donde aparecen los artículos de Perigal en que presentó sus disecciones. ii Hay al menos dos ocasiones, que recordemos en este momento. Una fue en el artículo de esta sección de título "Rompecabezas del teorema de Pitágoras", aparecido en el número 43 (puede verse en http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=10117&directory=67) y la otra en el siguiente número en la sección Desde la historia, de los compañeros Ángel Ramírez y Carlos Usón, en el artículo titulado “En el entorno del teorema Kou-Ku (I)”. iii En la dirección http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=3402&directory=67 aparece un artículo de nuestro amigo Vicente Melvilla Seguí, en donde se presentan las demostraciones de Perigal con traducciones de los textos de sus artículos. iv En la dirección http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythashi/pythashi.html podemos encontrar un enlosado de Pitágoras interactivo en java, en el que podemos mover la cuadrícula y ver distintas versiones del teorema. v Puede leerse en http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=10124&directory=67.
Jueves, 01 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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