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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Empezamos el nuevo curso con todas las ganas del mundo, con las respuestas a las cuestiones del Concurso del Verano de 2013, la lista de ganadores, algunas consideraciones sobre el mismo y un sucinto repaso de algunas de las cosas que han tenido lugar este verano relacionadas con el Cine y las Matemáticas. Los veranos son tiempo de relax pero eso no significa que no aparezcan noticias o cuestiones relacionadas con las matemáticas y el cine de las que estamos pendientes en la medida de lo posible y tratamos de poner al día en la página de Facebook Las matemáticas en el Cine. Así del 2 al 4 de julio hubo un interesante encuentro en los VI Cursos de Verano Ciudad de Logroño dedicados a comentar y analizar la Actualidad e Historia de las Matemáticas en los Medios de Comunicación. La revista UNO de la editorial GRAÓ publicó su monográfico nº 63 sobre la Innovación en la Universidad. Asimismo se han ido recogiendo y enlazando algunos cortometrajes relacionados con las matemáticas en la página. Hemos charlado con una joven y ya multipremiada directora española a la que dedicaremos la próxima reseña de Octubre. Y más asuntos de los que ya hablaremos y ahora mismo dejamos en la reserva para no hacer demasiado larga y pesada la presente. Sobre el Concurso Este año hemos tenido menos participantes que el año anterior (el anterior marca el máximo con 10 intrépidos participantes). Habréis notado que este año en lugar de una o dos películas, la idea era recorrer un poco (muy poco, la verdad: 120 películas son difíciles de condensar) algunos de los trabajos de un mismo actor, recientemente fallecido, Alfredo Landa. Además las cuestiones se centran no en sus mejores trabajos, sino más bien en algunas de las comedias que llevaron a definir el llamado “landismo”. La intención era múltiple: recordar por supuesto al actor, tratar de dejar por una vez el omnipresente cine yanqui (del que hay películas muy buenas, pero también muy malas, y aquí nos tragamos todas, absolutamente todas), comprobar al hilo del anterior paréntesis que hasta algunas de las más denostadas películas del landismo pueden aportar y más (y son mejores, sin lugar a dudas) que muchas de las propuestas norteamericanas, y, dado que llegaba el verano, proponer un cine más ligero, cómico, de verano, etc. Esa multiplicidad de películas ha conllevado seguramente a que haya habido menos participación porque había que controlar hasta ocho películas distintas con cierto detalle y cuestiones de algunas más, y una de las conclusiones a las que después de todos estos años hemos llegado es que los participantes en este concurso son más “matemáticos” que “cinéfilos” (es más algunos no responden más que a las cuestiones matemáticas). La sección, como sabéis, está orientada a las matemáticas, pero no queremos perder tampoco esa componente cinematográfica. En relación con ello, algún concursante indica (¡¡¡por fin hay sugerencias y opiniones!!!) que da la impresión que cada vez el concurso se inclina más al cine, pisando el terreno a la parte matemática. Lo cierto es que cada vez han ido apareciendo más cuestiones (la idea es que dure un mes entero, pero relajadamente, es decir, resolviendo las cuestiones poco a poco, e intentar que se vean las películas), pero intentando guardar una proporción entre las culturales y las matemáticas que se ha ido acercando al 50% (en el verano de 2005 sólo había una pregunta (de cine), en 2006 nueve (cinco de cine), en 2007 siete (cuatro de cine), en 2008 doce (cinco de cine), en 2009 dieciocho (ocho de cine), en 2010 veintiuna (ocho de cine), en 2011 veintitrés (ocho de cine), en 2012 treinta (catorce de cine), y en éste 2013 cuarenta y una (veintitrés de cine)). Ciertamente esta edición la parte cinematográfica ha sobrepasado ligeramente la matemática, pero es que hasta ahora tampoco nos había preocupado en demasía tal proporción. Otro amable y joven lector, Pedro (12 años) sugiere un concurso más adecuado para su edad. Recogemos su idea y trataremos la próxima edición de proponer cuestiones para los más jóvenes y otras para los más adultos. Un saludo y gracias, Pedro. Y sin más prolegómenos, pasemos a las Respuestas a las Cuestiones del Concurso de Verano 2013 (recordemos que relacionadas con las matemáticas van en color azul, y el resto, sobre cine u otras cosas, en rojo). 1.- El reloj de uno de los protagonistas funciona con velocidad constante, pero sus agujas se superponen cada 62 minutos. Entonces, ¿Adelanta? ¿Atrasa? ¿Cuánto? Respuesta: En un reloj que funcione correctamente, la velocidad a la que se mueve la aguja de los minutos es de 2π rad/hora, mientras que la de las horas lo hace a π/6 rad/hora (da una vuelta completa a las 12 horas). Las agujas están juntas a las 12:00 con toda seguridad. Averigüemos cuando vuelven a estarlo. La aguja de las horas habrá recorrido un ángulo a, mientras que la de los minutos habrá recorrido el mismo ángulo más una vuelta completa, o sea 2π + a, en un tiempo t. Por tanto, 2π = (2π +a)/t π/6 = a/t Resolviendo el sistema, se tiene que t = 12/11 h, a = 2 π /11 Expresando el tiempo en minutos y segundos, t = 1 h  5 minutos 27 segundos. En el reloj del enunciado las agujas se superponen cada 62 minutos, mientras que en uno que funcione correctamente acabamos de demostrar que esa situación se da cada 65 minutos y 27 segundos. Por tanto el reloj en cuestión va más rápido de lo normal, y por tanto, adelanta. En una hora por tanto, adelantará 65 minutos, 27 seg. − 62 min. = 3 minutos 27 segundos, que al cabo del día es como para darse cuenta de que el reloj está como para arreglarlo o cambiarlo. 2.- ¿Qué ángulo forman exactamente las manecillas en la imagen? Respuesta: El ángulo entre dos números consecutivos del reloj es 360º/12  = 30º. En el caso del reloj de la imagen será 4 x 30º = 120º. (El ángulo complementario será por tanto 240º, un concursante me indica que en realidad no se especifica cuál de los dos ángulos se pide). 3.- ¿Qué cantidad prestó el bueno de Don Felipe? ¿Cómo se devuelve el préstamo mes a mes? Respuesta: En general si C es la cantidad prestada, no es difícil demostrar que al terminar el año n el reembolso Rn, y la deuda restante Dn son Sin entrar en su demostración, se puede también construir una tabla de este tipo Al terminar el décimo año, es la cantidad que hay que devolver. Como todos los  reembolsos son números enteros de pesetas según el enunciado, C debe ser divisible por los denominadores de Rn, es decir, 2, 6, 12,...., 90 es decir por 23 × 32 × 5 × 7 = 2520, luego C = 2520 K, con K número natural. Como el último reembolso, < 300, entonces C < 3000, luego K = 1, y así C = 2520. Ese préstamo de 2520 pesetas se devuelve entonces así (basta calcular las fracciones de la columna de Rn): Año1 : 1260 ptas; Año 2: 420 ptas; Año 3: 210 ptas; Año 4: 126 ptas; Año 5: 84 ptas; Año 6: 60 ptas; Año 7: 45 ptas; Año 8: 35 ptas; Año 9: 28 ptas y el último año las 252 pesetas restantes. En esta cuestión, algún participante ha tomado la progresión también en el último mes, el décimo. El enunciado especificaba que “el último año, el décimo, supongo que acabará el saldo..., una bagatela de menos de 300 pesetas”. Se infiere que el último mes por tanto es de liquidación final, quede lo que quede, que es una cantidad menor de 300 pesetas. 4.- Dijimos que era día 20. ¿De qué mes? ¿De qué año? Respuesta: 20 de Noviembre de 1962 como aparece en un calendario de la casa de Enriqueta, la secretaria interpretada por Gracita Morales, se trataría de un Martes. 5.- ¿Cómo pudo adivinar su compañero la causa exacta del error sin echar un solo vistazo a las cuentas? Respuesta: Un número N cualquiera es igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras (esto nos lo dice el criterio de divisibilidad por 9). Si se invierten las cifras de N, se obtiene otro número N* que es también igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras (que son las mismas que las de N). Por tanto N – N* es un múltiplo de 9. Al ser 54 un múltiplo de 9, una posible causa es precisamente esa (que podría ser otra, por supuesto), pero es una posibilidad a comprobar que, en este caso, era. 6.- ¿Cuántas veces aparece el objeto anteriormente descrito (indicar brevemente las escenas)? Respuesta: El enunciado se refería a cuantas veces aparecía un reloj en la película, cualquier reloj, no el de la foto (el del banco). Como no queda claro (por no dar demasiadas pistas), se ha tomado por válido la respuesta de ese reloj. Y aparece hasta 15 veces. 7.- Hay otro objeto en los domicilios de los protagonistas que se repite. ¿Cuál? Respuesta: El Calendario de publicidad del Banco de los Previsores del Mañana, donde trabajan nuestros protagonistas, que se observa al menos en las casas de Benítez (Manuel Alexandre), Enriqueta (Gracita Morales), y Galindo (José Luis López Vázquez). 8.- ¿En qué momento aparece por primera vez el personaje que buscamos y que hace? Respuesta: La primera vez que aparece Castrillo (Alfredo Landa), que es cajero, es en el minuto 1:37, durante los títulos de crédito, conduciendo una moto a toda pastilla porque llega tarde. Durante los mismos aparecen todos los personajes. 9.- ¿Que película aparece anunciada encima de la fachada principal del banco? Respuesta: Sólo se ve el anuncio encima de la sucursal al final de la película. Es Vacaciones en Roma (Roman Holiday, William Wyler, EE. UU., 1953)”, de la que acaban de cumplirse “casualmente” seis décadas de su estreno internacional. 10.- ¿Quién o que es “Eustaquia Hugarea”? Respuesta: La inscripción que hay en una lápida en el Cementerio donde se reúne en cierta ocasión la banda. 11.- El actor que buscamos no iba en un principio a participar en esta película. ¿A quién sustituía? Respuesta: Sustituía a Manolo Gómez Bur. 12.- ¿Por qué el actor originalmente pensado no participó? Respuesta: Estaba comprometido con otra película. 13.- ¿Cuánto cobró nuestro protagonista por este trabajo? ¿Donde lo vio el guionista? Respuesta: Cobró 10.000 pts en 3 plazos de 3.000 pts y las 1.000  restantes al terminar el doblaje. El guionista lo vio en el teatro María Guerrero haciendo la comedia "Eloísa está debajo de un almendro" de Enrique Jardiel Poncela. 14.- Hablando de botijos, ¿cómo describiríais esta superficie en términos de una función de dos variables? Respuesta: La expresión más cercana a la forma del botijo es la dada por Emilio Díaz, de un esferoide prolato, truncado por una de sus bases , con a, c constantes. 15.- Como pista para adivinar la película, diremos que es una de esas en la que se relata en paralelo las peripecias de tres personas distintas y que, en un momento dado, coinciden las tres. ¿De qué película hablamos? Citar alguna otra película del mismo actor de esquema similar (historias diferentes que convergen en algún momento). Por cierto, el nombre del actor en la ficción responde a un concepto matemático. Respuesta: Se trata de la película 40 grados a la sombra (Mariano Ozores, 1967). El personaje que interpreta Alfredo Landa se llama Máximo. Otras películas de Alfredo Landa con varias historias diferentes que confluyen son Las viudas (José María Forqué, 1966), Crónica de nueve meses (Mariano Ozores, 1967), Novios 68 (Pedro Lazaga, 1967), Cuatro noches de boda (Mariano Ozores, 1969), entre otras. 16.- ¿Qué se hace “con una servilleta de bar y dos confetis”? Respuesta: Un bikini. 17.- ¿Eres capaz de colocar en el mostrador 17 cócteles en 4 filas, de modo que en cada fila haya 5? Respuesta: En la imagen, una de las soluciones aportadas por nuestros participantes. 18.- ¿En qué película, cuyos títulos de crédito corrieron a cargo del conocido dibujante de la anterior, como vemos en la imagen, sucedió esto? ¿O no sucedió? Respuesta: En la película Amor a la española (Fernando Merino, 1966) nuestro actor incógnita es un camarero en la Costa del Sol que sirve cócteles en las terrazas. Lo de poner 17 cócteles en 4 filas no aparece en la película. 19.- ¿Cómo se llaman estos números y a que deben su nombre? Respuesta: Se llaman Sexy primes. Los Sexy primes son primos que difieren con el anterior por 6. Se llaman así porque en latín SEIS se dice SEX. 20.- Demostrar que no puede haber otra serie igual. Respuesta: Todos los participantes han descrito correctamente la demostración. Una de ellas, descrita en términos sencillos dice así: “Los números primos a partir de dos cifras solo pueden terminar en 1, 3, 7, o 9; en 5 no pueden acabar pues serían múltiplos de 5. La serie más larga de esta clase de números es la anteriormente indicada, pues en el momento que sumemos 9 + 6 obtenemos un número acabado en 5 y eso no puede ocurrir pues no sería número primo”. 21.- ¿A qué película se refiere este párrafo? Respuesta: Soltera y madre en la vida (Javier Aguirre, 1969). 22.- Si tal jarrón tiene una altura de 40 cm., calcular su volumen modelizando su forma del modo que se considere oportuno (pero que se parezca lo más posible al de la foto, que por cierto es bastante horrible). Respuesta: La idea que describe Elías Villalonga fue en la que inicialmente pensé cuando propuse esta cuestión. Lo expresa de este modo (cambié algunas palabras simplemente que me parecieron más descriptivas): “Ponemos el jarrón de lado, horizontalmente. Construimos una función que defina aproximadamente este perfil. Y hacemos girar dicha función alrededor del eje de abscisas para calcular el volumen del cuerpo de revolución asociado (el jarrón modelizado). El perfil puede describirse por una función polinómica de grado 4. Ésta debe tener dos mínimos y un máximo relativos. Imponemos unos valores aproximados que den lugar a esta estructura y que concuerde con los valores del perfil del jarrón. Así, si llamamos f(x) a esta función, imponemos que: f(0) = 8            f(5) = 6            f(20) = 8          f(30) = 3          f(40) = 9 Resolviendo el sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, obtenemos los coeficientes de las potencias de x. La función queda, por lo tanto: Si calculamos la integral que da el volumen de revolución al hacer girar la función alrededor del eje x, obtenemos que: Por lo tanto, el volumen aproximado requerido es de 6791,44 centímetros cúbicos”. No obstante, se han dado también como válidos otros planteamientos como considerar en dos trozos el jarrón y describir mediante una superficie diferente cada trozo, sumando después ambos volúmenes. Lo que no se ha dado por válidas son aproximaciones menos ajustadas como tomar el jarrón como un cilindro. 23.- ¿Que biólogo francés sostiene esta afirmación según los protagonistas? ¿En que libro lo están leyendo? Respuesta: En la película se menciona el autor, Jean Rostand, y la editorial, Gallimard Paris. La película es de 1969 con lo que el libro debe ser obviamente anterior. De acuerdo además con el argumento de la película, no hay duda de que se tarta de Maternité et Biologie (París, Gallimard, 1966). Es muy probable que los guionistas tomaran como referencia este artículo http://hemeroteca.abc.es/nav/Navigate.exe/hemeroteca/madrid/blanco.y.negro/1968/04/06/089.html, publicado en 1968. Hay también traducción al castellano de este libro, Maternidad y Biologia. 24.- ¿Se encontrarán las bolas? Si es así, ¿dónde? (se precisa una demostración). Respuesta: Adjunto el razonamiento de Celso de Frutos de Nicolás: Las bolas se encontrarán en el punto O. La bola M recorre la trayectoria roja y la bola N la azul. Si las dos bolas se impulsan según se dice en el problema adquirirán la misma velocidad y habrán recorrido la misma distancia cuando se encuentren. Al ser lanzadas en direcciones paralelas a las diagonales, al chocar con los lados del rectángulo formarán con éstos ángulos iguales a los que forman las diagonales en las esquinas con los mismos lados (en la imagen indicados con las letras a y b) y por lo tanto las tres partes de cada trayectoria son paralelas a una de las dos diagonales: Los segmentos ME, FO y KT son paralelos a la diagonal AC y los segmentos EF,  NK y  TO son paralelos a la diagonal BD. Ahora hay que demostrar que las dos trayectorias tienen la misma longitud: De donde se deduce que las dos trayectorias son iguales c.q.d. 25.- ¿Quién es el sacerdote de la foto que llevamos largo rato mencionando? ¿Tiene alguna otra relevancia en la película? ¿De que película hablamos? ¿Interpretó nuestro personaje misterioso alguna vez a un sacerdote? ¿Cuántas? Respuesta: Se trata del dibujante Antonio Mingote, que además es guionista de la película Soltera y madre en la vida, y que realizó los dibujos de otras muchas películas, entre ellas la citada anteriormente Cuarenta grados a la sombra. En la película interpreta al sacerdote que casa a Alfredo Landa y Lina Morgan. Alfredo Landa ha interpretado dos veces a un sacerdote, en las películas Un curita cañón (Luís M. Delgado, 1974), Los pecados de una chica casi decente (Mariano Ozores, 1975) y Forja de amigos (Tito Davison, Méjico, 1980). En Marcelino Pan y Vino (Luigi Comencini, 1991) en realidad es un monje, no un sacerdote, con lo que ésta última, no es válida. Se han considerado acertadas las respuestas que hayan dado dos de las tres películas. 26.- ¿De cuantas formas diferentes podía hacerlo? Respuesta: Todos los participantes han utilizado combinatoria para resolver la cuestión. Han transformado el enunciado en este otro equivalente: ¿De cuántas maneras podemos sumar unos y doses para obtener 10? Llamando Cm,n a las combinaciones de m elementos tomados de n en n, detallemos los casos posibles: 1 modo de sumar 10 únicamente mediante unos 9 formas de sumar 10 con un dos y ocho unos 28 formas de sumar 10 con dos doses y seis unos: C8,2 = (8 x 7)/2 = 28 35 modos de sumar 10 con tres doses y cuatro unos: C7,3 = (7 x 6 x 5)/(2 x 3) =35 15 maneras de sumar 10 con cuatro doses y dos unos: C6,4 = (6 x 5 x 4 x 3)/(2 x 3 x 4) = 15 1 modo de sumar 10 únicamente mediante doses Por tanto el número total de posibilidades será: 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89. Permitidme describiros un modo diferente de resolver la cuestión. Llamemos an al número de formas diferentes  en que la persona sube una escalera de n peldaños, y busquemos una relación de recurrencia para an. Es claro que si n = 1, a1 = 1 y que si n = 2, a2 = 2 (la escalera de dos peldaños puede subirse de dos modos: con un único paso de dos peldaños, o con dos pasos de un peldaño cada uno). Busquemos una expresión para an observando el último paso dado por la persona, que puede ser de uno o de dos peldaños. i) Si el último paso es de un peldaño, el número de formas de subir la escalera es el número de formas de subir los n – 1 escalones anteriores, es decir, an─1. ii) Si el último paso es de dos peldaños, entonces los n – 2 escalones anteriores se han subido de an─1 formas distintas. Así las cosas, se tiene que  an = an─1 + an─2 (una relación tipo Fibonacci). Resolviendo la ecuación en recurrencia (omito las cuentas), se llega a que Sustituyendo entonces, obtenemos que a10 = 89, tal y como se obtiene por el otro método. 27.- En esta ocasión, ¿cuál es la película? Respuesta: Se trata de Crónica de nueve meses (Mariano Ozores, 1967). Como comenta Emilio Díaz, la imagen corresponde al momento en que la mujer de Alejandro (Alfredo Landa) se pone de parto, con el nerviosismo propio de la situación. 28.- ¿Seríais capaces de encontrar la expresión matemática de una curva que simule tal objeto? (los extremos más gruesos los obviamos). La más sencilla y más fiel a la realidad será la ganadora. Respuesta: No ha habido demasiado acierto en las propuestas de los concursantes en esta cuestión. Obsérvese que en el enunciado decía “expresión matemática”, no función. Así pues valía dar una expresión a trozos, similar a la representada en la que falta el arco de circunferencia (por ejemplo) que una los extremos de la función trigonométrica superior, y la constante inferior. Personalmente yo opto por la pequeña astucia de abrir la horquilla, es decir, colocar la función constante inferior a continuación de la superior, y así nos evitamos el arco curvo. Lo que si que era necesario era dar las ecuaciones de las expresiones empleadas. En el caso del dibujo  con  29.- ¿A que nos referimos? ¿Cuál es el título de la película? Respuesta: Esta era la cuestión para “mayores de 18”. En la lamentable Cuando el cuerno suena (Luís M. Delgado, 1974), José, el protagonista utiliza la horquilla para abrir el cinturón de castidad de una joven (la malograda Sandra Mozarowsky). Aquí puede verse la escena: http://www.youtube.com/watch?v=0ZN7hRYQeNI 30.- ¿Cuánto tardará en llegar al decimoquinto poste? Respuesta: 15 minutos 33 segundos (desde el principio). La distancia del primer poste al poste décimo es de nueve unidades. Como se indica en el enunciado, tarda 10 minutos en recorrer esta distancia. Por tanto, tarda 1 minuto y un noveno en recorrer la distancia de los nueve postes. Desde el primer poste al decimoquinto hay recorrer catorce postes. Debería tardar 14 x 10/9 minutos: 15 minutos y 33 segundos (prescindimos, como en las primeras cuestiones, de las fracciones de segundo). 31.- ¿Qué oficio desempeña en esta película? ¿Alguna otra vez lo ha repetido? ¿De qué película se trata? Respuesta: Alfredo Landa interpreta a un mecánico en esta película, El puente (Juan Antonio Bardem, 1976). También hace ese papel en Soltera y madre en la vida (Javier Aguirre, 1969). 32.- ¿Qué probabilidad tiene de ganar? Respuesta: Podemos representar el desarrollo del juego mediante un diagrama en árbol: De dicho gráfico se deduce que: 1.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 2 es 2.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 4 es: 3.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 6 es: , etc,  en general la probabilidad de que el juego tenga longitud 2n es: La probabilidad p de ganar será la suma de las probabilidades de ganar en 4 pasos más la de que gane en 6 pasos,...etc.: 33.- ¿Cuál es la duración media de las partidas? Respuesta: La duración media M de un juego es la suma de cada longitud por la probabilidad respectiva: Esta serie es una serie aritmético-geométrica que se suma por el mismo método que la geométrica: tiradas 34.- ¿De qué película se trata? Respuesta: La escena pertenece a la película El crack, de José Luis Garci (1981). 35.- Jeroglífico 1 Respuesta: Cuarenta Grados a la Sombra (Mariano Ozores, 1967). 36.- Jeroglífico 2 Respuesta: Historia de un Beso (José Luís Garci, 2002). Quizá ésta necesite alguna explicación. La kiss surface (en castellano creo que no tiene traducción, yo al menos no la he encontrado) es la quintica de revolución dada por la ecuación x2 + y2 = (1−z)z4 (ver imagen). En el jeroglífico aparecían varios estados previos a su construcción final. Puede verse, por ejemplo,  en el enlace http://www.flickr.com/photos/fdecomite/4182816300/lightbox/ 37.- Jeroglífico 3 Respuesta: Cateto a Babor (Ramón Fernández, 1970). 38.- ¿A que actor hemos pretendido homenajear? Respuesta: Es meridianamente claro que a Alfredo Landa (1933 – 2013). 39.- ¿Qué número ha marcado intensamente su vida? ¿Por qué? Citar esa misma cantidad de películas en las que pronuncie ese número, indicando sucintamente la escena (por ejemplo, si  el número fuera el 7, indicar 7 películas en las que salga diciendo el número 7). Respuesta: El número 3: Nació el día 3 de marzo (tercer mes) del año 1933 a las 3 de la tarde. Tuvo 3 hijos, 3 Goyas, vivió en un portal con el número 3, y fue grande en 3 medios (cine, televisión y teatro). Tres películas donde Alfredo Landa pronuncia el número 3 (incluyo todas las que los participantes han señalado, que son correctas todas): “Los santos inocentes”: Paco el bajo, intenta convencer al señorito para el que trabajaba Azarías diciéndole: “Allí en la casa 2 piezas con 3 muchachos….” “El puente”: Juan montado en “la poderosa” reflexiona por no tener un plan para el puente diciendo “Las 3 y cuarto, casi 60 horas antes de volver al taller” “La marrana”: Bartolomé antes de ir a ver a su tío el prior “He pasado los 3 últimos años de mi vida en Túnez y no comprando alfombras precisamente” le dice a Ruy (Antonio Resines) 40.- Una cuestión de máximos: ¿Con que actriz coincidió más veces a lo largo de su carrera? Respuesta: Esta pregunta también tenía su “trampa”. Todos los participantes que han respondido a esta cuestión han indicado que era Concha Velasco (con la que trabajó en 9 películas). Sin embargo, la pregunta no especifica que la actriz sea la actriz principal ni que Alfredo Landa no trabaje como secundario. Pues bien, con la popular actriz María José (Josele) Román coincidió nada más y nada menos que en 19 películas. Por si alguno no se lo cree, son éstas: La decente (1970; imagen de la foto), Vente a Alemania, Pepe (1970), Simón, contamos contigo (1971), Aunque la hormona se vista de seda (1971), No desearás la mujer del vecino (1971), Vente a ligar al Oeste (1971), París bien vale una moza (1972), No firmes más letras, cielo (1971), Los novios de mi mujer (1971), Pisito de solteras (1972), Manolo la nuit (1973), Jenaro, el de los catorce (1973), El reprimido (1973), Celedonio y yo somos así (1974), Las obsesiones de Armando (1974), Cuando el cuerno suena (1974), Esclava te doy (1975), Mayordomo para todo (1975), El puente (1976). 41.- Según él, ¿cuál fue la actriz más guapa con la que trabajó? (Pista: era norteamericana (ha fallecido hace poco), y fue muy popular anunciando una conocida marca de brandy). Respuesta: Alfredo Landa manifestó en varias entrevistas que “Patty Shepard es la actriz más guapa con la que yo he trabajado”. Puntuación Final Después de un paciente análisis de cada respuesta a cargo de una comisión encargada a tal efecto, las puntuaciones de los participantes han quedado del siguiente modo: 1º.- Elías Villalonga Fernández.- 264 puntos. 2º.- Emilio Díaz Rodríguez .- 234 puntos. 3º.- Celso de Frutos de Nicolás.- 215 puntos. 4º.- Imanol Pérez.- 132 puntos. Enhorabuena a todos. Espero que os haya entretenido la propuesta, que no dudéis tratará de mejorarse la próxima edición.
Miércoles, 11 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Tras haber estudiado en la columna anterior las transformaciones rítmicas, nos adentramos en este mes en las binarizaciones y ternarizaciones de ritmos. Las binarizaciones se estudiarán con los ejemplos reales tomados del libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Se analizarán también las ternarizaciones, siguiendo el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07], así como los experimentos que realizaron con distancias rítmicas y centros de familias de patrones rítmicos. 3. La teoría de Rolando Pérez Ilustraremos la binarización de patrones rítmicos principalmente examinando el libro de Rolando Pérez [Pér86]. Este autor ofrece una teoría que explica la presencia de patrones binarios en América Latina como resultado de un proceso de binarización de patrones rítmicos ternarios de los esclavos de origen africano. El libro está organizado en tres grandes capítulos que glosaremos aquí brevemente. El primer capítulo constituye un estudio histórico, sociológico y cultural de la influencia africana en la península ibérica y en la América Latina colonial. Se estudian con gran atención los procesos de enculturación, deculturación y transculturación entre la cultura de los esclavos y la de los colonizadores. Tras la caída de Constantinopla en 1453 el comercio de esclavos desde Oriente Próximo se interrumpe, pues queda en manos de los turcos, y los españoles van al África occidental para nutrirse de esclavos. Después del descubrimiento de América, los esclavos capturados en África eran mandados a los nuevos territorios. Tan solo nueve años después del descubrimiento de América, España aprueba la primera ley para regular el mercado de esclavos. En algunos casos los esclavos renuncian a su cultura y aceptan la de la potencia dominante; en otros casos la cultura de origen se mantiene de como forma de preservar la identidad, incluso a pesar de la represión ejercida por el entorno. El capítulo dos está dedicado al estudio de las similitudes y diferencias en la música española y la africana así como a los procesos de sincretismo entre ambas. La zona de África de donde se tomaba los esclavos gozaba de una cierta unidad musical –Rolando Pérez hace esta afirmación basándose en el trabajo de Nketia [Nke63]–. También recuerda el autor que en la música de la península ibérica en aquellos tiempo los patrones rítmicos ternarios eran bastante frecuentes. En este segundo capítulo se explica con detalle el proceso de binarización y lo analizaremos en profundidad más abajo. En el tercer capítulo Rolando Pérez pone ejemplo musicales detallados de cómo el proceso de binarización tiene lugar. Muestra, por ejemplo, como la clave ternaria [x . x . x . . x . x . .] se transforma en la clave binaria [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Rolando Pérez se apoya en el trabajo del prestigioso musicólogo ghanés Nketia [Nke63, Nke74] para la conceptualización y terminología de su teoría. Nketia relacional la frase música con el tramo temporal, que es de duración fija. El tramo temporal, que se identifica típicamente con un compás de 12/8 a la hora de transcribir, se divide en pulsos reguladores que sirven como referencia a los bailarines (en África la música no se concibe sin la danza). Estos pulsos reguladores dividen en dos partes iguales al tramo temporal. Dividiendo a su vez el tramo temporal en unidades más pequeñas llegamos al pulso básico. El tramo temporal se mide en términos de pulsos básicos. Hasta aquí la teoría de Nketia; en este punto Rolando Pérez introduce el pie métrico entre la categoría de pulso regulador y la de pulso básico. El pie métrico es la clasificación del agrupamiento de dos o más pulsos básicos acorde a su duración o acentuación. Aquí solo tomaremos en cuenta el agrupamiento por duración. Hay dos duraciones básicas, la larga y la corta, y la primera dura el doble que la segunda. En la figura 1 se pueden ver los principales pies métricos que se emplearán en este artículo (L significa largo y C corto; hemos usado notación de caja). Figura 1: Los principales pies métricos Por ejemplo, el patrón [x . x x x . ∣ x x . x . x] está formado por un tramo temporal de 12 pulsos básicos, donde los pulsos reguladores se encuentran en las posiciones 1 y 7. Su descomposición en términos de pies métricos es troqueo+yambo+yambo+troqueo. La línea vertical marca la división del tramo temporal en los dos pulsos reguladores. En este punto Rolando Pérez presenta un conjunto de patrones rítmicos con un tramo temporal formado por 6 pulsos ([Pér86], páginas 82, 83, 91 y 101). Todos ellos son combinaciones de los pies métricos definidos antes. Para cada uno de esos ritmos muestra el proceso de binarización, el cual tiene lugar al nivel del pie métrico. En la figura 2 se recogen esos patrones rítmicos y sus binarizaciones. Los nombres en la columna de la derecha corresponden a uno de los muchos que se pueden encontrar para ese patrón rítmico concreto. Figura 2: Patrones rítmicos de 6 pulsos y sus versiones binarias. En la figura 3 podemos observar la evolución del pie de zamba hasta el patrón [x x . x x . x .] en varios ejemplos ([Pér86], páginas 100 y 101). Primer, tenemos La manta, una canción mejicana con el pie de zamba (véase la voz superior); después se percibe una binarización parcial de la segunda parte del pie de zamba en una canción popular mejicana llamada El adiós a la fiesta; finalmente, vemos la danza cubana de Ignacio Cervantes Pst, donde se ha producido una binarización completa. La manta El adiós Pst Figura 3: Evolución del pie de zamba. En un segundo conjunto de ritmos, Rolando Pérez reúne patrones rítmicos con tramos temporales de 12 pulsos y presenta sus correspondientes binarizaciones ([Pér86], páginas 102 y siguientes); véase la figura 4. El patrón llamado clave son 6/8 se puede encontrar en muchas tradiciones musicales bajo otros nombres, por ejemplo, como clave fume-fume [Tou03b]. El patrón [x . x . x x . x . x . x] es conocido bajo otros nombres, pero hemos elegido el que se usa en la tradición africana: bembé. Chernoff [Che79] fue el primero en estudiar la binarización del bembé. Figura 4: Patrones binarizados con tramos temporales de 12 pulsos. Los nombres de los patrones binarizados en la columna de la derecha servirán como referencia en el resto del artículo. Rolando Pérez presenta un tercer conjunto de patrones rítmicos a los que llama recursos de variación rítmica ([Pér86], páginas 73-74 y 112-122). Estos patrones están formados por variaciones del moloso [x . x . x .], la primera parte de la clave son 6/8. Fueron recogidos para un trabajo previo de Rolando Pérez  [Pér79] en el cual clasificaba los patrones de palmas y cencerros de la música tradicional cubana. Estos patrones también estaban documentados en tradiciones musicales africanas pertenecientes a las áreas donde se produjo esclavitud. En la figura 5 se muestran estas variaciones rítmicas junto con las versiones binarizadas. Nótese que algunas variaciones tienen más de una versión binaria asociada. Descripción Notación del Versión Nombre del del patrón patrón binarizada patrón binarizado Variación 1(c) [x x x . x .] [x . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-1 Variación 1(c) [x x x . x .] [x x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-2 Variación 1(d) [. x x . x .] [. . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-1 Variación 1(d) [. x x . x .] [. x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-2 Variación 2(c) [x x x . x x] [x . x x . . x x] Ver. binarizada var. 2(c) Variación 4(c) [x x x x x x] [x x . x . x x x] Ver. binarizada var. 4(c) Variación 4(a) [x . x x x x] [x . . x x x x .] Ver. binarizada var. 4(a) Variación 5(a) [x . x . . .] [x . . x . . . .] Ver. binarizada var. 5(a) Variación 6(c) [x x x . . x] [x x . x . . . x] Ver. binarizada var. 6(c) Figura 5: Binarizaciones de los recursos de variación rítmica. De nuevo, los nombres de los patrones binarizados son mnemónicos para futura referencia en este artículo. 4. Reglas de transformación rítmica Como ya hemos señalado, el proceso de binarización propuesto por Rolando Pérez usa el pie métrico como punto de partida. La binarización de un patrón ternario se descompone en términos de su pie métrico. Después, cada pie es binarizado de acuerdo a un conjunto de reglas de binarización o reglas de transformación rítmica. Finalmente, los pies binarizados se ponen juntos de nuevo para formar el nuevo patrón rítmico. Por ejemplo, consideremos el pie de zamba [x x x x x .]. Está formado por la concatenación de un tribraquio [x x x] y un yambo [x x .]. En este caso, las reglas de transformación son [x x x]-→[x x . x ] y [x x .]-→[x . x . ]. Finalmente, pegamos los subpatrones y obtenemos el patrón ternario [x x . x x . x .]. Las reglas de transformación usadas en el libro de Rolando Pérez se pueden ver en la figura 6 (la explicación de la columna de la derecha se da en la siguiente sección). Pie métrico Patrón binarizado Reglas de aproximación [x x x] [x x . x] Vecino más cercano [x . x x] Vecino horario [x x x .] Vecino antihorario [x . x] [x . . x] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano [x x .] [x x . .] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano Figura 6: Las reglas de transformación rítmica usadas por Rolando Pérez y su interpretación geométrica. Gómez y sus coautores [GKK+07] estudiaron desde un punto de vista matemático las reglas de transformación rítmicas definidas por Rolando Pérez en su libro. Definieron una serie de reglas geométricas con las que modelizar la binarización. Aun más, analizaron las reglas inversas, las de ternarización, y llevaron a cabo experimentos con esas reglas. En el resto de este artículo revisaremos su trabajo. 4.1. Reglas de aproximación Las reglas descritas antes son expresables en términos de reglas de aproximación. Algunas reglas de binarización se pueden interpretar como un problema geométrico en un círculo. Para hacer una exposición más gráfica, consideremos un reloj de tres horas superimpuesto sobre un reloj de cuatro horas, tal y como se muestra en la figura 7. El problema se reduce a encontrar una regla que transforme las notas del reloj ternario en notas del reloj binario. Ya que ambos relojes tienen como hora común las doce del mediodía (el polo norte), esta nota se transforma en sí misma. Para el resto de las notas se definen varias reglas. Una regla que surge naturalmente es asociar la nota con su vecino más cercano en el reloj binario. Esta regla refuerza la idea intuitiva de que las notas se perturban lo menos posible y se debería esperar pues que las estructuras perceptuales de ambos ritmos fuesen similares. Por ejemplo, esta regla toma el tribraquio [x x x] y lo convierte en [x x . x]; esta regla se llama del vecino más cercano (VMC). Otras reglas que se van a usar son las siguientes: la regla del vecino más lejano (VML), donde cada nota se mueve a su vecino más lejano; la regla del vecino horario (VH), donde cada nota se asocia a la nota siguiente en el sentido horario; y la regla del vecino antihorario (VAH), donde cada nota se mueve a la siguiente en sentido antihorario. En la figura 6 de arriba la columna de más a la derecha contiene las reglas utilizadas por Rolando Pérez y su definición en términos de las reglas de aproximación. La regla VML, del vecino más lejano, puede parecer poco intuitiva. Sin embargo, los experimentos demostraron que esta regla funciona bien en muchos casos y que era válido tenerla en cuenta. Figura 7: Las reglas de aproximación. Nótese que la reglas VMC y VML pueden llevar dos notas a una nota común. Tomemos el tribraquio [x x x] y la regla del vecino más lejano; uno obtiene el patrón [x . x .], con una nota menos. Surge entonces el llamado problema de las notas comunes. Volveremos a este problema más tarde. Las reglas de aproximación se han usado previamente en otros contextos; por ejemplo, en la definición de ritmos euclídeos o en similitud rítmica en la música flamenca; véanse [Tou03a] y [DGM+05]. 5. Experimentos con las reglas de aproximación En el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07]estudiaron los procesos de binarización y ternarización. Lamentablemente, no disponían de un conjunto de patrones ternarios como los que había recogido Rolando Pérez para el caso binario. Su estudio consistió en una serie de experimentos con las reglas de aproximación que explicamos a continuación. El primer experimento consistió en binarizar los patrones ternarios contenidos en los libros de Rolando Pérez [Pér86, Pér79] (véanse las figuras 2, 4 y 5) empleando las reglas de aproximación VMC, VML, VH y VAH. Estas reglas no solo se pueden aplicar para binarizar patrones rítmicos, sino que también valen para ternarizar patrones binarios. Las reglas de aproximación en estos experimentos no fueron aplicadas al nivel del pie métrico sino al patrón rítmico entero. El segundo experimento tiene que ver con los centros de familias de patrones rítmicos o patrones que equidistan de todos los demás (ver la correspondiente sección más abajo para los detalles técnicos). Estos fueron usados por primera vez por Toussaint en el análisis de ritmos de clave binarios y ternarios [Tou02, Tou03a]. Resta por resolver el problema de las notas comunes que surge con las reglas VMC y VML. Gómez y sus coautores usaron el concepto de contorno rítmico para resolverlo. Su motivación para ello fue su importancia en cognición musical [Mar91, Han98, Deu98, Sny04]. 5.1. Contorno rítmico El contorno rítmico se ha usado en el análisis de ritmos que no están basados en pulsación regular o métrica, para la descripción de características estilísticas, para el diseño de algoritmos para la clasificación de estilos y también para el estudio de la discriminación perceptual de patrones rítmicos, entre otros. El contorno rítmico se define como el patrón de cambio en la sucesión de duraciones correlativas. Algunos autores representan el contorno rítmico como una sucesión de enteros que refleja estos cambios; otros simplemente describen los cambios de una manera cualitativa, observando si la duración se hacer más larga, más corta o permanece constante. Por ejemplo, consideremos el contorno rítmico de la milonga [x x . x x . x .]. Primero, obtenemos su sucesión de duraciones: 12122. El patrón de duraciones usando números enteros es (se cuenta el cambio entre la primera y la última nota), y si solo nos interesan los cambios, entonces basta con escribir . Usaremos esta última forma de registrar el contorno rítmico en el resto de este artículo. Para resolver el problema de las notas comunes se comparan los contornos rítmicos de los patrones transformados. Dicha comparación se puede hacer con la distancia de Hamming, que cuenta las posiciones donde los contornos rítmicos no coinciden, o dicho de otra manera, cuenta el número de sustituciones que hay que hacer un contorno rítmico para obtener el otro. El inconveniente de esta distancia es que requiere que los contornos tengan la misma longitud, situación que se no produce en cuanto hay notas comunes. Una buena alternativa es la distancia de permutación dirigida (desarrollada más abajo). 5.2. Centros de familias de ritmos El segundo conjunto de experimentos comprende el cálculo de varios tipos de centros. Dada una familia de ritmos con tramo temporal fijo, digamos n pulsos, se define el centro como el patrón que optimiza cierta función distancia, bien sea dentro de la familia de patrones rítmicos, o bien en el espacio de patrones rítmicos entero. Gómez y sus coautores relacionan la idea de centro con la de similitud. Los criterios de optimización que seleccionaron fueron dos: la minimización de la máxima distancia (min-max) y la minimización de la suma (min-sum). Como función distancia tomaron por dos distancias muy frecuentes, la distancia de Hamming y la distancia de permutación dirigida [DBFG+04] (DPD en adelante; esta distancia se definió en la sección 2 más arriba). Así pues, tenemos ocho posibles tipos de centros, dadas las dos posibles distancias, los dos posibles criterios de optimización, los dos posibles conjuntos de patrones rítmicos y si la optimización se lleva a cabo dentro de la familia de patrones o en el espacio entero. 6. Resultados de los experimentos En los experimentos las familias de ritmos se agruparon acorde a la longitud de los tramos temporales. Debido al problema de las notas comunes, las tablas que produjeron Gómez y sus coautores tenían varias páginas de longitud en algunos casos. Los resultados completos de los experimentos se pueden consultar en [GKK+07b] Aquí mostraremos los resultados más relevantes que obtuvieron junto con una breve discusión de los mismos. Comentaremos más en profundidad los centros relativos a la familia de ritmos que los correspondientes al espacio de patrones rítmicos entero. 6.1. Patrones rítmicos obtenidos con las reglas de aproximación En primer lugar, consideraremos la regla VMC aplicada a la binarización. Las figuras 8 y 9muestran los resultados de los experimentos. Los ritmos en negrita son aquellos que coinciden con los patrones binarizados en el libro de Rolando Pérez. Como se puede ver, la regla VMC no da a lugar a casi ninguna correspondencia. Más aun, esas binarizaciones tienen poco interés en cuanto que guardan poco parecido perceptual con las versiones ternarias; véase, por ejemplo, la binarización del bembé producida por esa regla, [x . . x . x . x . x . . x . . x], y compárese con la binarización dada por Rolando Pérez, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x . x . x . x . x . . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . x . . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . x . x . x . . x . . x Figura 8: Binarización de los patrones de 12 pulsos con la regla VMC. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x . x Tribraquio+Troqueo x x . x x . . x x x x x x . Pie de zamba x x . x x x . . x . x x x . Coriambo x x . x x x . . x x x . x . Var. 1(c)-1 x x . x . x . . . x x . x . Var. 1(d)-1 . x . x . x . . x x x . x x Var. 2(c) x x . x . x . x x x x x x x Var. 4(c) x x . x x x . x x x x . . x Var. 6(c) x x . x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x x . x Figura 9: Binarización de los patrones ternarios de 6 pulsos con las reglas VMC. A continuación mostramos la tabla correspondiente a la ternarización de los patrones de 8 pulsos obtenidos aplicando la regla VMC; véase la figura 10. El significado de las abreviaturas en las columnas de la tabla, leídas de izquierda a derecha, es la siguiente: P. binar. es el patrón binario; Nombre es el nombre del patrón; Tern. es el patrón ternarizado; Nombre tern. es el nombre del patrón en el caso de que esté en el catálogo de Rolando Pérez; NNC es el número de notas comunes en la ternarización; Min. Ham. es la lista de patrones con la distancia de Hamming mínima cuando se aplica la regla para resolver las notas comunes o la lista de todos los patrones con notas comunes; Cont. rítm. los contornos rítmicos con las notas comunes y el contorno del patrón original; N. com. es la lista de los patrones generados con notas comunes; Con. rítm. com. son las partes comunes de los contornos rítmicos. En algunos patrones binarios se encuentran correspondencias con los patrones binarios originales. En esta tabla se puede observar el procedimiento para resolver los patrones con notas comunes. Por ejemplo, la variación 6(c) fue ternarizada de manera única ya que no dio lugar a notas comunes. Sin embargo, la variación 1(c)-1 produjo dos patrones con notas comunes, [x x x . x .] y [x x x . . x]. En este último caso comparamos los contornos melódicos para decidir qué patrón dará el resultado final. Los contornos rítmicos son y , respectivamente (nótese que la última nota y la primera se comparan para el contorno rítmico). Para el patrón ternario el contorno rítmico es ; por tanto, el contorno rítmico de [x x x . x .] es más similar, y este es el patrón que se da como resultado. En el caso de la variación 1(d)-1, el contorno rítmico no puede determinar cuál de los dos ritmos es el válido ya que los contornos rítmicos son idénticos. Figura 10: Ternarización de los ritmos de 8 pulsos con la regla VMC. Las figuras 11 y 12 muestran las binarizaciones dadas por la regla VH. Para los patrones de 12 y 6 pulsos se encontraron muchas correspondencias con los patrones dados en el libro de Rolando Pérez. Por ejemplo, el bembé se transformó en su forma binarizada comúnmente aceptada, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Como ya mencionamos antes, esta regla no produce patrones con notas comunes. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x x x . x . x . . x . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . . x . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . . x . . x . . . x . x . . x x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . . x . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . . x x . . x . x . . x Figura 11: Binarización de patrones de 12 pulsos usando la regla VH. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x . x Tribraquio+Troqueo x . x x x . . x x x x x x . Pie de zamba x . x x x . x . x . x x x . Coriambo x . . x x . x . x x x . x . Var. 1(c)-1 x . x x . . x . . x x . x . Var. 1(d)-1 . . x x . . x . x x x . x x Var. 2(c) x . x x . . . x x x x x x x Var. 4(c) x . x x x . x x x x x . . x Var. 6(c) x . x x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x . x x Figura 12: Binarización de patrones de 6 pulsos usando la regla VH. La regla VML no produjo correspondencias con los patrones recogidos por Rolando Pérez ni en la binarización ni en la ternarización. Curiosamente, no aparecieron notas comunes en el caso de la binarización y sí muchas en la ternarización, en algunos casos tantas como tres. Más aun, en numerosas ocasiones las notas comunes no se pudieron resolver. En el caso de los patrones de 16 pulsos no se produjo resultado alguno; todas las notas comunes quedaron sin resolver. Para la binarización, los patrones generados con la regla VML eran más bien monótonos, a menudo patrones con muchas corcheas consecutivas que no reflejaban la estructura perceptual de sus equivalentes ternarios. Con respecto a la regla VAH, los resultados fueron mejor que con la regla VH. La ternarización funcionó bien; por ejemplo la ternarización de [x . . x . . x x . . x . x . . x] dio el bembé. No hubo correspondencias con los patrones de Rolando Pérez en la binarización, pero los ritmos que se obtuvieron son interesantes por sí mismos. Las reglas VH y VAH no dan resultados llamativos cuando transforman patrones como [. x x . x .], ya que ambas reglas generan patrones con una nota en la primera posición. Obviamente, esto cambia la esencia del ritmo, puesto que transforma en tiempo débil en una parte en tiempo fuerte. 6.2. Centros de familias de patrones rítmicos En esta última sección discutiremos los centros calculados para las familias de patrones rítmicos. Gómez y sus coautores usaron dos distancias, la de Hamming y la DPD (distancia de permutación dirigida); y dos tipos de criterio de optimización, la min-sum y la min-max. Consideramos en primer lugar los patrones de 8 pulsos. Los resultados están resumidos en la figura 13. Nótese que el ritmo [x x . x . . x .] es el centro para todas las distancias y para todos los criterios de optimización. El centro para la DPD con el criterio min-max contiene cuatro patrones. Por tanto, el patrón [x x . x . . x .] se puede considerar el más similar a los otros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 23 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 Hamming Min-Max 3 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Sum 24 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Max 4 [x . . x x . x .] Habanera [x . x x . . x .] Bin. var. 1(c)-1 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 [. x . x . . x .] Bin. var. 1(d)-2 Figura 13: Resultados para los centros con patrones de 8 pulsos. Para la binarización de los patrones de 16 pulsos los autores obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 14. La clave son y su variación [x . . x . . x . . . x . x . x . ] aparecen como centros en todos los casos. Esto no constituye ninguna sorpresa, ya que el conjunto de patrones binarios estudiados por Rolando Pérez son variaciones de la clave son en muchos casos. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 13 [x . . x . . x . . . x . x . . . ] Bin. clave Son [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Hamming Min-Max 6 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Sum 12 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Max 4 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Figura 14: Resultados para los centros con patrones de 16 pulsos. La figura 15muestra los resultados para los patrones ternarios de 6 pulsos. Como en el caso de la binarización, hay un ritmo que aparece en todos los centros, a saber, la variación 1(c)-1 [x x x . x .]. De nuevo, esto indica que es el patrón más similar al resto. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 19 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 Hamming Min-Max 3 [x x x x x .] Pie de zamba [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [x x x . x x] Var. 2(c) DPD Min-Sum 18 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 DPD Min-Max 3 [x . x x x .] Coriambo [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [. x x . x .] Var. 1(d) Figura 15: Resultados para los centros con patrones de 6 pulsos. En último lugar, examinamos los centros de patrones ternarios de longitud 12 pulsos; véase la figura 16. La situación es muy similar a la de los patrones binarios. La clave son 6/8 y su variación [x . x . x . . x . x x .] determinan el conjunto entero de centros, donde este último patrón aparece en tres de los cuatro centros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 11 [x . x . x . . x . x . .] Clave son 6/8 Hamming Min-Max 6 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Sum 9 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Max 4 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 Figura 16: Resultados para los centros con patrones de 12 pulsos. 7. Conclusiones finales De todo lo visto hasta ahora se pueden obtener muchas conclusiones, las cuales resumimos a continuación: Los datos de los experimentos: Sería deseable tener más ejemplos documentados de patrones rítmicos binarizados. Los proporcionados por Rolando Pérez en sus libros son insuficientes. Los patrones de 12 pulsos son más bien limitados ya que en el fondo son variaciones de la clave son 6/8 clave son. La situación es aun peor para la ternarización, donde no se tienen ejemplos, siquiera teóricos, de transformaciones rítmicas de patrones binarios a ternarios. Reglas de transformación: Las reglas VMC y VML parecen no funcionar como se esperaría en un principio. Especialmente sorprendente es el comportamiento de la regla VMC, que no respeta la estructura perceptual de los patrones al menos cuando se aplica al patrón entero. Las reglas basadas en dirección, VH y VAH, funcionan mejor que VMC y VML. Curiosamente, VC funciona mejor para la binarización que para la ternarización, mientras que VAH funciona mejor para la ternarización. Centers: Como consecuencia del tamaño pequeño de los conjuntos de patrones rítmicos de 12 y 16 pulsos, las familias de centros son pobres en general. Los centros calculados para las familias de 6 y 8 pulos son más significativos. Parece que un cierto número crítico de patrones es necesario para que los centros sean relevantes. Los centros obtenidos tienen cierto interés musicológico y se pueden usar como herramientas para generar nuevos ritmos.   Bibliografía [Che79] John Miller Chernoff. 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Jueves, 05 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
En muchas ocasiones encontramos magos, sobre todo los dedicados a la especialidad del mentalismo, que pretenden demostrar sus habilidades mentales realizando operaciones aritméticas sorprendentes, ya sea por la velocidad en realizarlas o por la dificultad de las mismas. Algunas veces la explicación descansa en alguna propiedad matemática desconocida por los espectadores, como mostramos en el juego "sumas de Fibonacci" en DIVULGAMAT 61; otras veces el mago aprovecha alguna sutileza que le evita realizar la supuesta operación, como vimos en el juego "suma relámpago" en DIVULGAMAT 56. En raras ocasiones el mago ha desarrollado y practicado las técnicas específicas para la memorización y rapidez en algunos cálculos aritméticos. En próximas entregas haremos un pequeño recorrido por estas técnicas y sus representantes más distinguidos pero esta vez describiremos algún juego de calculismo extrarrápido utilizando alguna "trampa secreta". Anuncia que eres capaz de sumar varios números de tres cifras antes de cualquier calculadora. Para ello entrega una libreta o cuaderno a tres espectadores para que cada uno escriba, uno encima de otro, un número de tres cifras. A continuación, con el pretexto de complicar la operación, escribes otros dos números debajo de los anotados por los espectadores. Traza una línea bajo los cinco números y, rápidamente, escribe debajo el resultado de la suma. Deja que los espectadores busquen una calculadora y comprueben que la operación es correcta. La clave para conseguir el resultado de la suma, sin tiempo para realizar todas las operaciones, está en los dos números que escribes. Cada uno de ellos debe ser el complemento a 999 de los dos primeros números de los espectadores. Por ejemplo, si los números elegidos por los espectadores son 468 586 345 escribirás sin titubear los números 531 y 413, debido a que 531+468=999 y 413+586=999. Estos números se obtienen rápidamente porque cada cifra es la diferencia entre 9 y la cifra correspondiente del número original. El papel tendría ahora los números 468 586 345 531 413 ______ Por tanto, la suma final es 999+999+345, o bien 1000-1+1000-1+345=2000-2+345=2343. No hace falta tener mucha habilidad ni rapidez mental para saber que la suma será un número de cuatro cifras, la primera de ellas es un 2, las dos siguientes son las dos primeras cifras del tercer número escrito por los espectadores y la última cifra será dos unidades menor que la última cifra de dicho número. En el artículo "La matemagia desvelada", escrito en colaboración con Juan Carlos Ruiz de Arcaute y publicado en la revista SIGMA (octubre de 2002), hay un juego similar con números de cuatro cifras. Puedes realizarlo a continuación de este para "aumentar" la dificultad de las operaciones aunque la técnica es completamente análoga. Puedes también aumentar la cantidad de números a sumar. Por ejemplo, si cuatro espectadores escriben un número de cinco cifras, tú añades tres números que sean el complemento a 99999 de los tres primeros. La suma final será un número de seis cifras que empieza por tres, las tres siguientes cifras coincidirán con las tres primeras cifras del cuarto número escrito por los espectadores y la última cifra será tres unidades menor que la última cifra de dicho número. Sólo una presentación adecuada puede hacer convincentes tus habilidades mentales y calculísticas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Miércoles, 04 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Le chercheur fantômei –El investigador fantasma– de Robin Cousinii es un tebeo publicado a principios de mayo de 2013 por Éditions Flblb. En la contraportada se puede leer la siguiente presentación del libro: La Fundación para el estudio de los sistemas complejos y dinámicos acoge a veinticuatro investigadores en residencia y les proporciona medios ilimitados para llevar a cabo su trabajo. Una noche, tres investigadores, Louise, Stéphane y Vilhem, descubren que en su edificio hay un cuarto residente que nadie ha visto nunca. Trabajaba en el problema "P = NP". - ¿Qué es exactamente P = NP? - Es un problema de la teoría de complejidad computacional. La mayoría de los matemáticos piensan que P es diferente de NP. Plantea un límite teórico a la capacidad de los ordenadores... - ¿Y si se prueba que P y NP son iguales? - Revolucionaría las  matemáticas modernas, transformaría la investigación científica. - Ah. El libro comienza con la llegada del nuevo director de la Fundación, Martin Sorokin. Accede a su nuevo despacho, en el que visiona un mensaje grabado por su predecesor, Alan Bateson: Bateson es el tercer director de la Fundación y se va tras permanecer siete años allí. Martin Sorokin será así el cuarto responsable de la Fundación y el primer residente en el momento de su llegada El mensaje que le ha dejado Bateson es el siguiente –cada salto de línea corresponde a un cambio de viñeta–: Buenos días. Soy Alan Bateson, investigador en sociología sistémica y director Fundación no. 3. Si está mirando este video, es que como yo hace 7 años, ha sido seleccionado por el programa. Es Vd. el primer residente y por lo tanto el director de la Fundación no. 4. A la hora en la que le hablo la Fundación no. 3 está terminando… […] No se impresione por lo que está viendo. Es el desarrollo normal de un final de ciclo. Como todo sistema dinámico, la Fundación tiende hacia la entropía, hacia un comportamiento caótico. Es por ello que cada tres meses, el programa seleccionará un nuevo residente para ‘reequilibrar’ el sistema. Como Vd., los nuevos residentes serán investigadores en una de las áreas de aplicación  la teoría sistémica. Sistemas biológicos, informáticos, financieros, neuronales… Al cabo de 6 años, los 24 laboratorios estarán ocupados y el sistema estará entonces en el momento de su apogeo. A lo largo del séptimo y último año, las investigaciones de los residentes deberían empezar a dar resultados. Este periodo verá también como se disgregar el sistema. Su papel será entonces el de retrasar la llegada del caos. […] Su papel es el de guiar a los residentes, pero también el de mejorar el programa. El conjunto de mis resultados están aquí… Tras terminar de escuchar el mensaje de su predecesor, Sorokin lee el final del informe que Bateson le ha dejado: Día 2.555 (último día) - investigaciones terminadas (en total : 7 sobre 24) - muertes : 1 - 2 incendios suplementarios. - llegada del equipo de cierre. Fundación para el estudio de sistemas complejos y dinámicos. Vista aérea. Tras esta introducción para entender los propósitos de la Fundación, la historia prosigue seis años más tarde. Martin Sorokin comprueba que –comparando su situación al principio del séptimo año con la vivida por la Fundación no. 3– el caos está apareciendo demasiado pronto. Sorokin tiene la esperanza de que la llegada del último residente –el número 24, Stéphane Douasyiii– consiga equilibrar el sistema. Douasy es físico y su investigación en la Fundación se centrará en el estudio de las formas de los vegetales, en particular de cómo la formación de las yemas influye en la geometría de las hojasiv. Tras visitar al director, Stéphane se dirige al edificio en el que debe trabajar y vivir, el edificio F. Nada más llegar conoce a Louise Franç, lingüista que –según explica ella misma– trabajaba en un software que aprendía nuestra lengua cuando se conversaba con él. Su programa detectaba las formas recurrentes en la estructura de las frases para poder reproducirlas después. Había empezado a tener resultados prometedores, pero llegó Google y al poner en funcionamiento el programa Cleverbotv –que, según Louise, repite lo que miles de internautas dicen, pero en realidad no habla– ella no pudo competir con él. Desde entonces está bloqueada, no habiendo encontrado nuevas ideasvi para proseguir con sus investigaciones. La otra persona que convive con ellos en el edificio es el informático Vilhemvii: trabaja en un programa informático que debería predecir sus acciones y gestos en un futuro cercano. Aunque –debido a su conocimiento de la teoría del caos– sabe que cualquier evento es la consecuencia de una infinidad de causas imposibles de observar por completo, Vilhem ‘busca los guiones’ que tienen más probabilidades de suceder. Sólo observa los parámetros más significativos: los personales –los recuerdos de su infancia, sus características físicas, el acontecer de su día a día, etc.–  y los de su entorno –la Fundación, los residentes y sus investigaciones, etc.–. No consigue que sus predicciones tengan sentido. En realidad, existe otro investigador en el edificio F al que sus compañeros apodan el investigador fantasma, ya que nunca lo han visto. Es el informático Vianiy Paniandy con el que no se debe interactuar ‘por órdenes superiores’. Paniandy trabaja en la resolución del problema de informática teórica ‘P vs NP’viii, uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clayix. Paniandy había publicado en 2005 una prueba de que P≠NP, pero la comunidad matemática descubre pronto una serie de errores en su  prueba, y le vuelve la espaldax. En el tebeo se explica con sencillez el significado de las iniciales P –problemas que pueden resolverse fácilmente mediante un algoritmo en un ordenador–, NP –problemas cuya solución puede verificarse fácilmente, pero para los que no se conoce un algoritmo que los resuelva ‘rápidamente’– e incluso se habla de los NP-completos –aquellos en los que se conjugan las dificultades de todos los demás–. Paniandy trabaja precisamente en el problema del viajantexi, que es NP-completo. Se basa en el plano de la Fundaciónxii: o bien debe probar que no existe ningún algoritmo que lo resuelva –en cuyo caso P≠NP, como él pensaba– o bien debe encontrar el algoritmo que permita llegar de manera óptima, sin tanteos, de un lugar a otro de la Fundación –en cuyo caso P=NP,  con lo que ese algoritmo permitiría resolver cualquier problema ‘decidible’xiii–. Paniandy se horroriza al encontrar ese famoso algoritmo… y entonces empiezan a producirse accidentes y muertes entre los demás residentes. El caos empieza a reinar cuando Paniandy introduce su algoritmo en las investigaciones de algunos de sus colegas. El final será inesperado y terrible… Le chercheur fantôme es un ‘thriller’ y una metáfora de la investigación básica, que pasa desapercibida para la mayor parte de la población, a pesar de los beneficios que produce en su estado del bienestar. Además de la trama y el suspense, Cousin introduce numerosos conceptos científicos. Aparte de los ya citados, se habla por ejemplo del aún no resuelto problema del sofáxiv o la sorprendente influencia de la geometríaxv de las yemas de los vegetales en la forma final de las hojas…   Notas: [i] Éditions Flblb. Pueden leerse las primeras páginas y consultar el dossier de prensa. [ii] http://robincousin.blogspot.com.es/ [iii] El nombre de este investigador es prácticamente el del físico Stéphame Douady (CNRS, París), con el que Robin Cousin mantuvo varias entrevistas para preparar el cómic. Douady trabaja –entre otros temas– en filotaxis. De allí el paralelismo con el último residente, investigador en morfogénesis, pero centrado durante su estancia en la Fundación en el estudio de sistemas vegetales. [iv] Stéphane Douasy representa la pasión por el conocimiento. [v] http://es.wikipedia.org/wiki/Cleverbot [vi] A través de Louise se denuncian las presiones de la sociedad de consumo sobre el mundo académico. [vii] Vilhem simboliza la obsesión en la investigación. [viii] The P-versus-NP page [ix] P vs NP Problem, Clay Mathematics Institute [x] La situación de Paniandy representa el poder de la comunidad científica sobre los investigadores, que deben recibir su beneplácito para dar por buenas sus teorías. [xi] http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_viajante [xii] La Fundación está situada en un paraje con bosques y diferentes edificios, que está organizada siguiendo la sucesión de Fibonacci. [xiii] http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_indecidible [xiv] http://ztfnews.wordpress.com/2012/10/07/el-problema-del-sofa/ [xv] De hecho, en el tebeo, Stéphane Douasy empieza a trabajar con papiroflexia en su investigación, gracias a la idea que le da otro de los residentes. Tampoco esto es casualidad: el equipo de Stéphane Douady trabaja en la realidad con origami y kirigami para averiguar la geometría de las hojas dependiendo de los pliegues de las yemas. Ver La forme des feuilles donnée par leurs plis (CNRS) y Dr. Etienne Couturier presents "Fold and leaf shape" (FDV-Paris). Etienne Couturier es un doctorando de Stéphane Douady.
Lunes, 02 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el primero de una serie de tres sobre la cuestión de las transformaciones rítmicas. En ella estudiaremos las transformaciones de ritmos binarios a ternarios y viceversa, fenómenos que reciben los nombres de binarización y ternarización, respectivamente. Como ilustración, examinaremos el proceso de binarización de ritmos ternarios descrito por Rolando Pérez en su libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Por supuesto, los aspectos matemáticos y computacionales de las transformaciones rítmicas no faltarán en esta serie. En este primer artículo analizaremos el concepto de transformación rítmica en la música; en el segundo artículo ilustraremos la transformación rítmica a partir de la binarizacion y la ternarización (nos inspiraremos en  [Pér86] y [GKK+07]); en el último artículo estudiaremos los aspectos puramente matemáticos, esto es, la transformación rítmica como transformación matemática. Un estilo musical se caracteriza entre otras por sus peculiaridades rítmicas. Cuando a lo largo del tiempo ese estilo evoluciona sus características rítmicas también lo hacen. ¿Cómo tienen lugar esas transformaciones rítmicas? En algunos casos las transformaciones rítmicas se han podido documentar, principalmente en tradiciones musicales escritas. Por ejemplo, en el estilo musical de finales del siglo XIV conocido como Ars Subtilior [Ran86] los compositores usaban técnicas rítmicas muy elaboradas, que incluían la isorritmia [Fer99, Ran86], para llevar a cabo transformaciones rítmicas. El compositor y teórico Philippe de Vitry (1291–1361) incorporó dos novedades en la práctica musical de la época: por un lado, definió cómo se tenían que dividir la breve y semibreve (las modernas nota cuadrada y redonda) y, por otro, introdujo un sistema de notación que permitía usar el ritmo binario y el ritmo ternario en una misma composición. Estas innovaciones teóricas fueron aceptadas rápidamente por los compositores y trajeron como consecuencia más transformaciones rítmicas, algunas, como hemos dicho, muy elaboradas. A mitad del siglo XIV, el tenor del motete adopta dos elementos estructurales claros: el color, que es una serie fija de alturas, y la talea, o patrón rítmico. Color y talea se pueden combinar de diferentes maneras. Con la partitura de la figura 1  (tomada de [Qui13]) podemos ilustrar cómo funciona el color y la talea; solo se muestra la primera página. En este motete tenemos lo siguiente: La talea o esquema rítmico está formada por 25 compases que se repiten literalmente; la talea está marcada en la partitura como T-1 y T-2. El color o sucesión de alturas está compuesto por las 19 primeras notas de la línea del tenor (la voz más grave, en clave de fa); las notas están numeradas para mayor claridad. La talea a su vez se compone de un segmento de cuatro compases ternarios (de 9/8), seguido de ocho compases binarios (de 6/8), y finalmente seguido de otro de cuatro compases ternarios (de 9/8). El segmento central, el del compás binario, está escrito en rojo para avisar al intérprete del cambio. Un análisis más fino de la talea desvela que los segmentos en rojo tienen estructura de espejo. Si contamos las duraciones en unidades de negra con puntillo, la estructura de esos segmentos se puede describir como sigue: 2 - 2 - 4 - silencio - 4 - 2 - 2 que revela claramente la simetría.   Figura 1: Ejemplo de color y talea en el motete Garrit Gallus - In nova ferit. El motete tiene 150 compases formados por la seis repeticiones de la talea. Sin embargo, el color consta de 19 notas, que al colocarlas en la figuración rítmica de la talea ocupan 40 compases. A pesar de que 40 no divide a 150 de modo exacto, al final del motete, la talea y el color coinciden. Ello es porque el compositor omite algunas notas del color en las partes centrales para evitar que el final de la talea caiga en medio del color. Este tipo de licencias eran normales en la práctica compositiva de la época. Como se ve en este ejemplo, la complejidad rítmica de la música de este periodo es bastante alta. Como la música se conservaba por escrito ha sido posible estudiar la evolución de las transformaciones rítmicas. No siempre es el caso. El musicólogo Rolando Pérez describió en [Pér86, Pér90] una teoría que explicaría el proceso por el cual los ritmos africanos traídos por los esclavos a Cuba se transformaron paulatinamente en ritmos binarios. Así, el ritmo [x . x . x . . x . x . .], ternario y de 12 pulsos, se habría transformado en [x . . x . . x . . . x . x . . .], binario y de 16 pulsos. Obsérvese que en este caso estamos considerando estilos musicales que en buena parte son orales. Su teoría ha recibido críticas por parte de otros musicólogos; véanse los artículos [Rob90], [Loz90] y [Car90]. Gómez y sus coautores estudiaron en [GKK+07] los aspectos matemáticos de las binarizaciones y ternarizaciones y tomaron como datos experimentales los ofrecidos Rolando Pérez en su libro. Se pueden encontrar otros ejemplos de transformaciones rítmicas. Manuel [Man04] describe un proceso de binarización similar, que tuvo lugar en España y Cuba, donde la guajira, ritmo que alterna los compases de 3/4 y 6/8, se transforma en la guajira-son, ritmo claramente binario. Una discusión más general de la evolución de los ritmos cubanos se puede encontrar en  [Aco05]. 2. Transformaciones rítmicas Para hablar de transformaciones rítmicas necesitamos definir el concepto de patrón rítmico, el cual se concebirá como una sucesión de duraciones. Como hemos hecho en otras ocasiones, representaremos un patrón rítmico por su notación de caja o por su sucesión de duraciones. Por ejemplo, el ritmo de la clave son, [x . . x . . x . . . x . x . . .], se puede representar por su notación de caja, o por [33424], su notación por sucesión de duraciones. La primera transformación rítmica que de manera natural aparece es el cambio de tempo o velocidad a la cual se toca el patrón. El cambio de tempo, sobre todo si es extremo, implica un cambio en la percepción del patrón rítmico. Esta transformación no implica un cambio en las duraciones relativas de un patrón rítmico y no es el tipo de transformaciones que consideraremos en esta serie de artículos; nos centraremos en las transformaciones que cambian las duraciones del patrón. Las transformaciones rítmicas más elementales que operan sobre las duraciones son las llamadas consolidación y fragmentación en la terminología introducida por Mongeau y Sankoff [MS90]. La consolidación consiste en la unión de dos duraciones adyacentes en una nueva de suma las dos duraciones. Una fragmentación es una operación que divide una duración dada en dos duraciones cuya suma total da la duración original. Si aplicamos una consolidación a las dos últimas duraciones del ritmo [x . . x . . x . . . x . x . . .] obtenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . . . . .]; si en ese ritmo fragmentamos la última duración, que es 4, en 1+3, tenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . x x . .]. Otros autores independientemente y con otra terminología definieron estas operaciones; véanse Pearsall [Pea97] y Pressing [Pre83]. La consolidación es equivalente a sustituir una nota por un silencio y la fragmentación a sustituir un silencio por una nota. Ambas operaciones tienen la limitación de que solo operan sobre duraciones adyacentes. Otra operación que ofrece más posibilidades es la permutación o intercambio de dos duraciones adyacentes. La idea de la permutación fue presentada por David Lewin [Lew96] en primer lugar para el dominio de las alturas, de la melodía, y luego se empezó a considerar en el dominio del ritmo. En el patrón de la clave son [33424] una permutación de las duraciones 3 y 4 daría el ritmo [34324] o [x . . x . . . x . . x . x . . .]. Toussaint [?] definió una distancia entre patrones rítmicos basada en contar el número mínimo de operaciones para transformar un patrón dado en otro; véase [Góm13b] para una exposición divulgativa. Esa distancia recibe el nombre de distancia de permutación dirigida y es una generalización de la distancia de Hamming. Las operaciones permitidas en esta distancia incluyen intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes con las siguientes restricciones: Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. Originalmente, la distancia de permutación dirigida solo estaba definida para patrones rítmicos con el mismo número de pulsos, pero en [DBFG+04] y [DBFG+05] se generalizó a patrones con distinto número de pulsos. Otra transformación rítmica, que tiene inspiración geométrica, es la rotación de ritmos. Esta transformación no consiste más que en elegir otro pulso diferente al primero donde empezar el patrón rítmico. En el artículo de mayo de 2012 de esta misma columna estudiamos la rotación de ritmos para claves; véase [Góm13a]. Una rotación de tres pulsos transforma el patrón [x . . x . . x . . . x . x . . .] en [x . . x . . . x . x . . . x . .] (o en notación de distancias, transforma [33424] en [34243]). En todo lo expuesto hasta ahora no hemos tenido en cuenta la métrica, sino solamente las duraciones. Cuando se considera un patrón rítmico dentro de una métrica se pueden definir nuevas transformaciones rítmicas. En la música occidental las métricas más comunes implican subdivisiones binarias o ternarias. Un patrón rítmico escrito en un compás ternario se puede transformar en otro escrito en un compás binario (no siempre la correspondencia es obvia). Este proceso se llama binarización; el proceso inverso se denomina ternarización. A lo largo de este artículo analizaremos en detalle cómo se producen estas transformaciones rítmicas. En la música occidental se encuentra una gran variedad de transformaciones rítmicas. He aquí una breve lista: Ornamentación o adornos. Los hay de muchos tipos y dependen incluso del periodo histórico. Los más habituales son trinos, mordentes, grupetos, notas muertas. Aumentación y disminución. La primera consiste en aumentar en una duración constante todas las duraciones del patrón y la segunda, en la operación contraria. Síncopa o acentuación de una nota en parte débil; también se dice de un cambio inesperado de acento. Esta transformación rítmica tiene en cuenta el aspecto acentual del patrón. Modulación métrica. Repetición de una célula rítmica en diferentes posiciones del compás. Esto provoca ambigüedad rítmica en el oyente. En todo lo anterior no hemos tenido en cuenta los aspectos perceptuales de las transformaciones rítmicas. ¿Cuánto cambia la percepción rítmica al aplicar cualquiera de las transformaciones anteriores? Esta pregunta lleva directamente al concepto de similitud rítmica (véase la serie Distancia y similitud melódica, mayo a junio de 2011, en esta misma columna). Como ejemplo de las delicadas cuestiones que pueden surgir al considerar los aspectos perceptuales, fijémonos en los resultados obtenidos por el psicólogo de la música Handel [Han98]. En este trabajo prueba que el agrupamiento tiene preponderancia perceptual sobre la métrica, esto es, que el cambio en el agrupamiento de un patrón rítmico produce un cambio perceptual más agudo que el que produce el cambio métrico. En las transformaciones rítmicas enumeradas más arriba no se consideraron los cambios perceptuales originados por las transformaciones rítmicas. Bibliografía [Aco05] Leonardo Acosta. On generic complexes and other topics in Cuban popular music. Journal of Popular Music Studies, 17(3):227–254, December 2005. [Car90] José Jorge De Carvalho. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Yearbook for Traditional Music, 22:148–151, 1990. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, 30 de julio - 1 de agosto de 2004. [DBFG+05] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. Similaridad y evolución en la ritmica del flamenco: una incursión de la matemática computational. Gaceta de la Real Sociedad de Matematica Española, 8(2):489–509, mayo de 2005. [Fer99] Françoise Ferrand. Guide de la Musique du Moyen Âge. Fayard, Paris, 1999. [GKK+07] F. Gómez, I. Khoury, J. Kienzle, E. McLeish, A. Melvin, R. Pérez-Fernandez, D. Rappaport, and G. Toussaint. Mathematical models for binarization and ternarization of musical rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 99–108, San Sebastián, España, agosto 2007. [Góm13a] Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=14103&directory=67, consultado en julio de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Similitud rítmica en el flamenco. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=12152&directory=67, consultado en julio de 2013. [Han98] Stephen Handel. The interplay between metric and figural rhythmic organization. Human Perception and Performance, 25(5):1546–1561, 1998. [Lew96] David Lewin. Cohn functions. Journal of Music Theory, 40(2):181–216, otoño de 1996. [Loz90] Steven Loza. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Latin American Music Review, 11(2):296–310, otoño-invierno de 1990. [Man04] Peter Manuel. The Guajira between Cuba and Spain: A study in continuity and change. Latin American Music Review, 25(2):137–162, otoño-invierno de 2004. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Pea97] Edward Pearsall. Interpreting music durationally: a set-theory approach to rhythm. Perspectives of New Music, 35(1):205–230, invierno de 1997. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983. [Pér86] Rolando A. Pérez. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Habana, 1986. [Pér90] Rolando A. Pérez. La música afromestiza mexicana. Universidad Veracruzana, Veracruz, 1990. [Qui13] María Quintanilla. Análisis de Garrit gallus, de Philippe de Vitry. http://mariaquintanilla.wordpress.com/2012/11/25/analisis-de-garrit-gallus-de-philippe-de-vitry/, consultado en julio de 2013. [Ran86] D. (editor) Randel. The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, Londres, 1986. [Rob90] James Robbins. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Ethnomusicology, 34(1):137–139, invierno de 1990. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, España, 23-27 de julio de 2003.
Sábado, 31 de Agosto de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
Tanto en el arte como en la publicidad existen ejemplos de obras en las que se utilizan los números para representar o bien la forma de ciertos objetos, como es el caso de los anuncios publicitarios que vamos a ver en este artículo, o incluso toda la escena que aparece en la imagen, como en las obras de Tobia Ravá de las que hablamos en la entrega de febrero de 2011 de esta sección, aquí. El primero de los ejemplos que traemos da lugar al título de este artículo, ya que siendo verano no viene nada mal poder disfrutar de una publicidad que nos representa la imagen de refrescantes bebidas. Los tres carteles que mostramos son parte de una campaña publicitaria en la que la empresa Dometic, dedicada a la fabricación de “minibares para hoteles”, quiere transmitir a sus futuros compradores (de la industria hotelera) que disponen de un nuevo producto, un minibar de hotel, en el que ellos pueden confiar, en el sentido de que les permitirá tener un control sobre lo que toman los clientes de su hotel y que no se marchen sin pagar, evitando las correspondientes perdidas. ¿Cómo intentan transmitir esta idea? Para empezar, en cada uno de los carteles vemos una botella cuya imagen está formada por números, los cuales al ser coloreados convenientemente forman la imagen atractiva y sugerente de la bebida. Están muy bien resueltos desde el punto de vista estético. De hecho, no creo que sea difícil al lector o lectora de este artículo averiguar algunas, o todas, las marcas de las bebidas a las que se hace referencia en los carteles. Pero, ¿por qué los números?  El lema de la campaña es “A minibar you can truly count on” (es decir, un minibar con el que, de verdad, se puede contar, en el sentido de que se puede confiar en él), realizando un juego de palabras y visual con el significado de la palabra “contar”. Aquí tenéis los tres carteles… Otros anuncios que utilizan los números para crear la imagen de los mismos, es esta publicidad para dar a conocer un nuevo número de “información de contacto” en Finlandia y que la gente lo utilice. Están jugando con la idea de que no hay que tenerle miedo a los números, no hay que temer llamar a nuevos números de teléfono, en particular al número que se está mostrando. Por ello se utiliza una estética, aunque minimalista, relacionada con el miedo. Son imágenes con únicamente tres colores, el negro del fondo, el blanco para la imagen generada por números, que en uno de los casos es una de las máscaras de la película “Scream” y en el otro pretende hacer recordar a Hannibal (de “El silencio de los corderos”), y el número de teléfono que se desea publicitar en rojo. Y para terminar por hoy, la utilización de la idea clásica e infantil de dibujar una cara con números. Seguramente muchos de nosotros, o todos, hemos recitado la frase infantil “con un 6 y un 4 hago la cara de tu retrato”, y después hemos pintado la correspondiente cara utilizando el 6 y el 4. Esta idea ha sido utilizada por el periódico The Financial Express para publicitar una de sus secciones, su suplemento BrandWagon. El lema de la campaña es “There’s more to consumers than numbers”. Transmitiendo la idea de que en realidad los consumidores somos más que números.
Lunes, 22 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Mariana Carballal , Miguel Ángel Mirás Calvo, Carmen Quinteiro Sandomingo , Paloma Saavedra y María Villarroel Comesaña
En diciembre de 2009, bajo el título Voces desde el pozo: Carolina Herschel, publicamos en esta misma sección de Teatro y matemáticas algunas notas acerca del monólogo protagonizado por Carolina Herschel que la dramaturga estadounidense Terre Ouwehand publicó, en 1986, en su libro Voices from the well. Comentábamos en aquel momento que la pieza tenía un elevado potencial didáctico, que nosotros ya habíamos explorado en algunas ocasiones proponiendo a nuestros estudiantes de Matemáticas diferentes trabajos (basados en el fragmento de la obra centrado en Carolina Herschel)  e, incluso, alguna puesta en escena de dicho fragmento, en la que la alumna Iria Veiga Rabuñal nos prestó su voz en varias ocasiones para dar a conocer la figura de la matemática y astrónoma de Hannover. Figura 1: Caricatura de Carolina Herschel Durante el curso académico 2011-2012, un grupo de docentes (Lara Domínguez Araújo, Miguel Ángel Mirás Calvo, Carmen Quinteiro Sandomingo y Daniel Salgado) procedentes de diferentes áreas de conocimiento, aprovechando las conexiones nacidas y fortalecidas por una estrecha colaboración en el proyecto de innovación educativa Elaboración de material didáctico baseado en textos teatrais con contido científico,  consideramos oportuno dar un paso más y crear un recurso didáctico: un cortometraje que pudiese ser utilizado tanto dentro como fuera del aula. Tomando como punto de partida una actividad anteriormente propuesta dentro del proyecto, reunimos a un grupo de fantásticas colaboradoras y colaboradores que, sin dudarlo, se pusieron manos a la obra para, con los escasos recursos económicos de que disponíamos, hacer brillar con luz propia la estrella de Carolina. El vídeo Caroline Herschel es el resultado de muchas horas de esfuerzo y dedicación de un grupo de entusiastas (con excelentes compañeros y amigos siempre dispuestos a ayudar) cuyo principal objetivo es hacer llegar la ciencia y la cultura al mayor número de personas posible. Formaron el equipo Mariana Carballal y Luís Pena (dirección), Paulino Pérez (producción),  Alfonso Merino (cámara y edición), Alejandro Vilas (sonido directo), Fran Lareu (script), Astrid Abal (edición) y Rubén Lino (ayudante de producción). Paloma Saavedra dio vida a Caroline Herschel y Héctor Canto puso voz a William Herschel. La traducción al gallego corrió a cargo de María Villarroel Comesaña. El cortometraje, de ocho minutos de duración, forma parte del material elaborado dentro del proyecto de innovación educativa multidisciplinar anteriormente mencionado, enmarcado en el Programa soporte para o desenvolvemento e implantación de accións de innovación educativa 2011, de la Vicerreitoría de Alumnado, Docencia e Calidade de la Universidade de Vigo. Puede verse en el canal de televisión de la Universidade de Vigo. Con las impresiones de algunas de las participantes en el proceso de grabación os dejamos. Mariana Carballal, como directora Yo no conocía a Caroline Herschel cuando me propusieron  rodar un corto sobre ella. La idea llegó de la mano de Carmen Quinteiro y Miguel Mirás, en su deseo de acercar la ciencia a otras disciplinas, de la necesidad de poner en común saberes. En la Escola Superior de Arte Dramática de Galicia (ESAD), con Daniel Salgado al frente, se acepta el reto y me hacen partícipe del mismo, en mi calidad de profesora de Interpretación para Cámara. El texto elegido no podía ser más idóneo para mí, que siempre que puedo procuro trabajar en el ámbito femenino, no por excluir ningún otro, pero sí por incluir éste que, en muchos dominios sigue estando discriminado. Así que el texto sobre la vida de Caroline Herschel, incluido en el libro Voices from the well de Terre Ouwehand, tenía suficientes elementos para que decidiera asumir la dirección del proyecto. Por supuesto, lo primero fue la lectura y análisis del texto. Delante de mí tenía un texto teatral, un monólogo. Fue necesario buscar la adaptación al lenguaje audiovisual, darle verosimilitud en una estructura poética compleja. Pensé en utilizar la voz en off todo el tiempo. Pensamiento que subraya las imágenes. Lo descarté. Decidí incluir la voz del hermano, elemento de presencia ausente, protagonista de la vida de Caroline. Elemento que genera conflicto y mueve la acción. Y, finalmente, decidí esperar a la actriz para caminar juntas. El segundo paso fue hacer el casting para encontrar la actriz que diese vida a Caroline. Ésa es la primera parte del proceso de creación inquietante, dudosa, energizante. Hice el casting para las alumnas de cuarto curso de Interpretación de la ESAD. Todas llevaban un curso trabajando conmigo y, por lo tanto, creía conocer sus recursos y perfiles. Pero este oficio nuestro depara permanentes sorpresas. Aunque todas ellas presentaron propuestas bien interesantes, la de Paloma Saavedra fue la que más me cautivó. Fuerza y fragilidad, intuición y sabiduría, determinación y aceptación. Iniciamos, pues, la senda de acercamiento a Caroline juntas. Ella haciendo propuestas y yo llevándolas hacia el camino que anteriormente acordáramos. Las primeras aproximaciones no parecían gustarnos. Ensayábamos, grabábamos los ensayos, analizábamos el proceso, lo intentábamos de nuevo… Paloma trabajaba ininterrumpidamente, sin descanso. En este proceso de creación de la actriz es inevitable tener en cuenta las condiciones en las que se desenvuelve. No hay medios. Una cámara, un aula… y no siempre. Cero recursos económicos. Digo esto porque la posibilidad de hacer una interpretación de “época”, quedaba descartada. Buscamos acercar a Caroline a la realidad de una creadora de la actualidad, a Paloma. Estudiar la realidad histórica y social de ambas buscando paralelismos, puntos en común, y alejarnos de juicios o prejuicios a la hora de contar una historia. Intentar comprender qué ocurre en la vida, en el corazón y en la cabeza de una mujer que siente necesidades diferentes a las predeterminadas para ella. Comprenderla y amarla. El caso de Caroline no es común, porque aunque que vivió “a la sombra” de su hermano, tuvo por otra parte oportunidades extraordinarias. Lo económico determina diferencias más hondas que las de género. Así que Caroline fue una mujer luchadora, con unas capacidades extraordinarias, con una rebeldía sumisa, poseedora de un conocimiento científico sobresaliente. Y también reconocida por la sociedad de su momento. Pero a nosotros nos tocaba contar una parte de su vida, ésa en la que vive a la sombra de su hermano. Abordamos este corto con mucha ilusión, buscando compañeros de viaje generosos y magníficos profesionales. Carmen Quinteiro propuso la ayuda de la televisión de la Universidade de Vigo, al frente del cual está Luis Pena. Desde el principio se ilusionó con el proyecto y le dedicó tiempo y trabajo. Buscamos también ayuda en la Facultade de Comunicación Audiovisual, en la que imparto docencia. A la llamada acudieron estudiantes en prácticas y el compañero Paulino Pérez, quien puso a disposición del proyecto sus conocimientos y energía. Y como siempre ocurre en este trabajo nuestro, contamos con amigos, Armando Guerra, que nos dejó su casa-estudio y Fermín Novo, que se prestó a llevarnos y traernos siempre que se necesitó. Rodamos en una jornada. Intensa, emocionante. Paloma–Caroline estaba preparada. El plan de rodaje, planos, encuadres, estaba diseñado por mí con antelación. Aunque, como suele ocurrir, sobre la marcha decidimos cambiar algunos planos que no nos gustaban. Iluminamos, preparamos cámaras, grúa, atrezzo. ACCIÓN. Todos juntos para contar una vida extraordinaria, la vida de Caroline Herschel. Esperamos que el cortometraje tenga recorrido y sea útil en su cometido. Que pueda ser utilizado como material didáctico, que inspire vidas y sueños, que permita creer que, a pesar de los atrancos y de las crisis, se pueden conseguir objetivos. Figura 2: Paloma Saavedra en su papel de Caroline Herschel Paloma Saavedra, el rostro y la voz de Caroline Fue un placer colaborar en la realización de este cortometraje pues considero que proyectos como este favorecen la salud de toda la comunidad educativa. El medio audiovisual es una eficaz plataforma de divulgación y docencia, por su alcance y recepción. Y, por otro lado, con proyectos como éste, se abre un espacio de diálogo para estudiantes y docentes de diversas disciplinas. Un equipo humano que ensambla su trabajo para completar el objetivo final: la recepción por parte de un espectador, en este caso también dentro de la comunidad educativa. Pudiendo observar el ciclo completo desde la selección del texto por Carmen Quinteiro y Miguel Mirás, pasando por la traducción de María Villaroel (bajo la tutela de Lara Domínguez), la grabación de la puesta en escena por parte del equipo dirigido por Mariana Carballal y Luís Pena. Estas nuevas iniciativas son laboriosas, precisamente por la falta de antecedentes a veces, y precisan ser impulsadas por docentes involucrados en la transmisión de conocimientos, no sólo como profesores, sino también como comunicadores. Voluntad que valoro en todo el equipo y muy especialmente en la dirección de mi trabajo por parte de la directora, actriz y profesora Mariana Carballal, quien me llevó de la mano para dar vida a Caroline Herschel, y cuya amplia experiencia en diversos campos, al igual que otros docentes, encuentra en estos proyectos integradores la posibilidad de expresión conjunta; algo muy positivo para nosotros, las alumnas y los alumnos que podemos integrarnos en el proceso de trabajo que será donde continuar el aprendizaje. Proyectos como éste permiten que las artes y las ciencias se acerquen, complementándose y alimentándose mutuamente, enriqueciendo el dinamismo de la Universidade de Vigo y de la Escola Superior de Arte Dramática de Galicia trabajando conjuntamente y, principalmente, favoreciendo la colaboración entre docentes y estudiantes de varias disciplinas. Por eso, insisto, fue un placer para mí colaborar y aprender de esta experiencia. María Villarroel, como traductora Cuando Lara Domínguez, profesora de traducción, me entregó este monólogo tan técnico y de temática tan ajena a mi área de estudio, me resultó desconcertante porque no conocía a Carolina Herschel. Esto provocó que cogiese el proyecto con más ganas y entusiasmo todavía, porque me permitiría aprender y conocer cosas que, de otra manera, no llegaría a saber. Tras leer por primera vez el texto y realizar un primer análisis, tuve que dedicar un par de días a investigar sobre la vida y el trabajo de Caroline Herschel (así como de la de su hermano). Este tiempo de estudio me ayudó a comprender un poco mejor el monólogo. Sin embargo, la terminología y muchos de los conceptos seguían escapándoseme, ya que el texto es un fragmento incompleto al que le falta una introducción, lo que complicó todavía más mi labor a la hora de traducir. Todo esto, unido a la falta de información y fuentes en gallego, hicieron más complicado el proceso. Por muchos problemas que encontré en la adopción del texto al gallego, continué investigando una vez había comenzado a traducir, ya que le terminología en su adaptación al gallego así lo requería. No quería simplemente traducir el texto, sino hacer que el texto en gallego resultase lo más natural y fluido posible. Quería conseguir que el monólogo pareciese un original y no una traducción. Ha sido muy gratificante para mí participar en este proyecto y una gran oportunidad. El trabajo de un traductor es muy solitario, pero por suerte en esta ocasión conté con el apoyo de una buena traductora y profesora, Lara Domínguez, que me ayudó, guió a lo largo del proceso de traducción y me hizo parte de este gran proyecto. REFERENCIAS [1] Terre Ouwehand, Voices from the well. Padre Productions, San Luis Obispo, California. 1986. [2] Caroline Herschel. Cortometraje dirigido por Mariana Carballal y Luís Pena. 2013. [3] Mirás Calvo, M. y Quinteiro Sandomingo, C. Voces desde el pozo: Carolina Herschel. Centro virtual de divulgación de las matemáticas (divulgaMAT). [4] http://webs.uvigo.es/dramatematica. Página del proyecto de innovación Elaboración de material didáctico baseado en textos teatrais con contido científico. Sobre los autores: Mariana Carballal: Directora de cine, actriz y profesora de Interpretación para cámara. Miguel Ángel Mirás Calvo: Departamento de Matemáticas de la Universidade de Vigo. Carmen Quinteiro Sandomingo: Departamento de Matemáticas de la Universidade de Vigo. Paloma Saavedra: Alumna de la Escola Superior de Arte Dramática de Vigo. María Villarroel Comesaña: Alumna de la Facultade de Filoloxía e Tradución de la Universidade de Vigo.
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Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Queremos tanto a Glenda (1980) es un libro de cuentos de Julio Cortázar  compuesto por diez historias. Esta breve reseña trata sobre el último de ellos, Anillo de Moebiusi. Anillo de Moebius es la historia de una salvaje violación que termina con la muerte de Janet. Su asesino, Robert, es condenado a muerte. Mientras espera que se cumpla el castigo, Janet se acerca a él de diferentes maneras: Poco a poco (¿poco a poco en una condición fuera del tiempo? Maneras de decir) se iban dando otros estados que acaso ya se habían dado, aunque ya significara antes y no había antes; ahora (y tampoco ahora) imperaba un estado viento y ahora un estado reptante en el que cada ahora era penoso, la oposición total al estado viento porque sólo se daba como arrastre, un progresar hacia ninguna parte; de haber podido pensar, en Janet se hubiera abierto paso la imagen de la oruga recorriendo una hoja suspendida en el aire, pasando por sus caras y volviendo a pasar sin la menor visión ni tacto ni límite, anillo de Moebius infinito, reptación hasta el borde de una cara para ingresar o ya estar en la opuesta y volver sin cesación de cara a cara, un arrastre lentísimo y penoso ahí donde no había medida de la lentitud o del sufrimiento pero se era reptación y ser reptación era lentitud y sufrimiento. O lo otro (¿lo otro en una condición sin términos comparables?), ser fiebre, recorrer vertiginosamente algo como tubos o sistemas o circuitos, recorrer condiciones que podían ser conjuntos matemáticos o partituras musicales, saltar de punto en punto o de nota en nota, entrar y salir de circuitos de computadora, ser conjunto o partitura o circuito recorriéndose a sí mismo y eso daba ser fiebre, daba recorrer furiosamente constelaciones instantáneas de signos o notas sin formas ni sonidos. De alguna manera era el sufrimiento, la fiebre. Ser ahora el estado cubo o ser ola contenía una diferencia, se era sin fiebre o sin reptación, el estado cubo no era la fiebre y ser fiebre no era el estado cubo o el estado ola. En el estado cubo ahora —un ahora de pronto más ahora— por primera vez (un ahora donde acababa de darse un indicio de primera vez), Janet dejó de ser el estado cubo para ser en el estado cubo, y más tarde (porque esa primera diferenciación del ahora entrañaba el sentimiento de más tarde) en el estado ola Janet dejó de ser el estado ola para ser en el estado ola. Y todo eso contenía los indicios de una temporalidad, ahora se podía reconocer una primera vez y una segunda vez, un ser en ola o ser en fiebre que se sucedían para ser perseguidos por un ser en viento o ser en follaje o ser de nuevo en cubo, ser cada vez más Janet en, ser Janet en el tiempo, ser eso que no era Janet pero que pasaba del estado cubo al estado fiebre o volvía al estado oruga, porque cada vez más los estados se fijaban y establecían y de algún modo se delimitaban no solamente en tiempo sino en espacio, se pasaba de uno a otro, se pasaba de una placidez cubo a una fiebre circuito matemático o follaje de selva ecuatorial o interminables botellas cristalinas o torbellinos de maelstromii en suspensión hialina o reptación penosa sobre superficies de doble cara o poliedros facetados. La banda de Moebius simboliza aquí la idea de continuidad entre los opuestos –la agredida y su agresor–, diferentes estudios –que aparecen reseñados debajo– interpretan el mensaje de esta obra.iii Muchas autoras y autores tildan Anillo de Moebius como una apología de la violación, reprochando además la representación de las mujeres en la obra de Cortázariv: Frente a una narración bien construida y hermosamente escrita, como lo es “Anillo de Moebius”, la mujer crítica siente la necesidad de deslindar el valor literario del texto del mensaje que éste comunica. Al señalar, con intención analítica, la visión de la sexualidad y de la mujer en la obra de Cortázar, la crítica feminista no se propone hacer una evaluación literaria de su obra. Robert, finalmente, se suicida en su celda. Julio Cortázar Notas: i Julio Cortázar, Anillo de Moebius en Queremos tanto a Glenda. ii Voz holandesa: Remolino muy peligroso que se forma en las costas del mar del Norte. iii Ver [Ilinca Ilian Taranu, La dualidad fantástica: el anillo de Moebius de Julio Cortázar, http://lejana.elte.hu/PDF_4/Ilinca_Ilian_Taranu.pdf] iv Fragmento de [Malva E. Filer, Leer a Cortázar como mujer, en Me gustas cuando callas… Los escritores del “Boom” y el género sexual, Ed. Universidad de Puerto Rico, 67-90, 2002].
Martes, 16 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
A medida que va pasando el tiempo en esta sección, es inevitable que algún tema se repita, aunque tratamos de dar una versión diferente o un punto de vista más original. No recuerdo si el tema de la detección de mentiras ha sido tratado en este rincón, pero espero que el juego que presentamos en esta ocasión sea diferente. Aparte de esta pequeña broma, vamos a presentar un juego original (al menos así lo indican los historiadores) de Bob Hummer (1906-1981), otra leyenda de la magia. Según cuentan Persi Diaconis y Ron Graham en el libro "Magical Mathematics", Bob Hummer (personaje de la foto) fue un genio inventando juegos de magia matemática, pero también fue el creador de algunos juegos de prestidigitación: por ejemplo, de su mente creativa surgió un juego que ahora está de moda por internet: una carta elegida y firmada por un espectador se pierde en la baraja, se lanza sobre una ventana y aparece pegada al cristal, pero cuando el espectador se acerca a comprobar su firma, descubre sorprendido que la carta firmada está al otro lado del cristal (mira un video donde la maga Ekaterina realiza este juego). El juego que presentamos en esta ocasión fue publicado en 1951 bajo el nombre de "Mathematical three-card monte", y descrito por Martin Gardner en el libro "Mathematics, Magic and Mistery" publicado en 1956. La idea básica es la siguiente: El mago coloca tres objetos sobre la mesa (o tres cartas o tres cartulinas numeradas), digamos que son los objetos 1, 2 y 3, y recuerda secretamente la posición de uno de ellas. A modo de ejemplo, supongamos que el objeto 2 ocupa la posición central. El mago se vuelve de espaldas y pide a un espectador que seleccione uno de los tres objetos y que intercambie la posición de los otros dos. El mago se vuelve de cara nuevamente y, de forma inmediata, es capaz de adivinar el objeto elegido por el espectador. El razonamiento que realiza es el siguiente: Si el objeto 2 sigue en su sitio, ese es el seleccionado; si ahora ocupa la posición 1, el objeto seleccionado es el 3; si ocupa la posición 3, el objeto seleccionado es el 1. Evidente, ¿cierto? Muchas variantes, modificaciones y sutilezas se han añadido por otros magos para disimular el principio matemático. En el "6th book of mathematical diversions", Martin Gardner afirma que el juego es un misterioso ejercicio de lógica que muchos magos lo realizan sin estar seguros de cómo funciona. Allí describe también una versión de Harry Lorayne mediante la cual el mago puede nombrar el objeto elegido sin volverse de cara. Algunas versiones comerciales son "Nu-Sense" de Alain Nu e "Impossible three" de Joshua Jay, También hay variaciones publicadas posteriormente, como en los libros "Self-working mental magic" (1979) y "Self-working number magic" (1984) de Karl Fulves. También puede verse un video de Scam School donde se realiza y se explica el juego. Este juego me recuerda el problema de Monty Hall con solución anti-intuitiva. El problema, bautizado con el nombre del presentador del concurso televisivo "Let's make a deal" donde se planteaba, se puede plantear de la forma siguiente: El mago mezcla tres cartas, un as y dos comodines. A continuación las coloca sobre la mesa, en una fila y caras abajo. Después pide a un espectador que trate de adivinar dónde está el as. Para ello debe seleccionar una de las cartas. Antes de volverla para saber si ha acertado, el mago vuelve de cara una de las cartas no seleccionadas y se comprueba que no es el as. Entonces ofrece al espectador cambiar, si lo desea, su elección. ¿Mejoraría la probabilidad de elegir el as si cambia la elección o es indiferente? La respuesta más popular es que la probabilidad es del 50%, tanto si se cambia la elección como si no (ya que hay una carta a la vista y no es el as). Sin embargo, un simple estudio probabilístico, que está bien explicado en la página de Terry Colon, demuestra que la probabilidad mejora desde el 33,3% hasta el 66,6%. Terminaremos este artículo dando otra vuelta de tuerca al juego de Hummer, ideada por uno de nuestros mago-matemáticos de cabecera, Werner Miller, con una presentación en la que el éxito del juego depende aparentemente de que un espectador responda diciendo la verdad o mintiendo. Consigue cuatro tarjetas blancas. En tres de ellas dibuja o pega la imagen de un Ferrari (uno rojo, uno negro y uno amarillo). En la última tarjeta dibuja varios signos de dólar. Con un espectador sentado frente a ti, coloca sobre la mesa las tres tarjetas de los Ferrari caras arriba en una fila, de modo que el orden de los colores sea rojo-negro-amarillo (de izquierda a derecha según tu posición). Para recordar el orden, observa que el número de letras va de menor a mayor. Entrega la tarjeta de los dólares al espectador indicándole que hay suficiente dinero para comprar un Ferrari. Vuélvete de espaldas y dale las siguientes instrucciones: Elige cualquiera de los coches sin decirme de qué color es. Cambia el Ferrari elegido por la tarjeta con los dólares y coloca la tarjeta con el coche en tu bolsillo. Intercambia la posición de los dos coches restantes. Gira cara abajo todas las tarjetas, manteniendo su posición. Vuélvete de nuevo frente a la mesa y pide al espectador que señale a otra persona que pueda estar interesada en comprar el Ferrari. Esta segunda persona debe responder a una sola pregunta pero es absolutamente libre de decir la verdad o de mentir (recalca este hecho para que todos entiendan que la respuesta puede no dar ninguna información válida). La pregunta es: -¿De qué color es el Ferrari elegido? Gira entonces la tarjeta que debería corresponder a la respuesta del espectador, la de la izquierda si ha dicho "rojo", la del centro si ha dicho "negro" y la de la derecha si ha contestado "amarillo". Si la tarjeta que has girado contiene los dólares, sabrás que el espectador dice la verdad; el color del Ferrari comprado corresponde al de la respuesta. Si la tarjeta girada es un Ferrari, el espectador ha mentido; además el color del coche elegido no es ni el de la tarjeta girada ni el de su respuesta. En todos los casos, puedes impresionar al público nombrando el color elegido y descubriendo si el espectador ha mentido o ha dicho la verdad. (Si la tarjeta cara arriba es un Ferrari, puedes repetir el efecto.) Recomendación. Si quieres conocer más sobre este juego, su historia, sus fundamentos y diversas cuestiones relacionadas, te aconsejo leer el capítulo 6 del libro Matemagia de nuestro colega Fernando Blasco. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Martes, 02 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
El desajuste de Marc Antoine Mathieu Le décalage (El desajuste) –publicado en 2013– es el sexto tomo de la serie Julius Corentin Acquefacques, prisonnier des rêves. Imagen 1: La portada del tomo 6 de esta serie. El desajuste se divide en ocho capítulos: La cas(s)e (Es un juego de palabras: case=casilla y casse=rotura) Le rêve-veille (El sueño vigilia) Hors scénario (Fuera de guión) Le grand rien (La gran nada) Enfermés dans l’infini (Encerrados en el infinito) 26!! (¡26!!, es decir, la factorial de 26, entre exclamaciones) L’horizon recalé (El horizonte reajustado) Le récit recalé (El relato reajustado) Aunque la numeración de los capítulos es la mostrada arriba, ése no es el orden en el que el relato se desarrolla. La portada del tebeo es  la página 7, que corresponde al final del primer capítulo… efectivamente parece que hay un desajuste en la historia. En esa portada se ve a nuestro héroe –Julius Corentin Acquefacques– agarrado a una cama que vuela a gran velocidad, mientras se escucha el grito de fondo: ¡Vecino, despierte, despierte! Le observan seis personajes –después iremos descubriendo quienes son–, y tiene lugar –aún estamos en la portada– el siguiente diálogo: -  ¡Chis! ¡Escuchad! - Ajá… ha atravesado la barrera del tiempo. - ¿La barrera del tiempo? Pero entonces… -  Mmmmm… no le volveréis a ver… - … o quizás… en otra historia. - Si… no se puede controlar una cama ebria1… Y efectivamente, al abrir el libro se ve a un asombrado Julius agarrado a una cama que vuela a gran velocidad, parece que el  héroe se desdobla. El protagonista de la serie se introduce  en el capítulo 2,  en la habitación de su casa… cree que se ha caído de la cama tras un ‘sueño fuerte’, aunque enseguida empieza a dudar si realmente está despierto. Se siente ligero y observa asombrado que no se refleja en el espejo de su cuarto de baño. El sentimiento de alucinación se refleja en una magnífica imagen con efecto Droste incluido: Imagen 2: … Sin duda porque no me reflejaba en el espejo… y esa no era una buena señal. Julius oye voces en el hueco de la escalera y sale para ver qué sucede: su vecino Hilarion conversa con dos agentes… Hilarion comenta sorprendido como había ido a despertar a Julius  a las 7:00, pero su casa estaba vacía.  Julius les habla, pero ellos ni  lo ven ni lo oyen. Nuestro héroe, abrumado, sale a la calle, una calle que se encuentra desierta y cubierta de arena. Decide ir a visitar a los hermanos Dalenvert ¡expertos en ‘problemáticas diversas’. Toca a la puerta, pero sus golpes no se oyen… Hilarion llega poco después y explica a los hermanos y al profesor Ouffe como Julius ha desaparecido. - ¿Qué vamos a hacer sin héroe? - Una historia sin héroe, ¿es aún una historia? - Puestos a elegir, ¡prefiero un héroe sin historia a una historia sin historia! Los cuatro personajes secundarios salen de la casa de los hermanos en busca de respuestas… el vacío les espera fuera, caminan y caminan sin ver nada a su alrededor. - ¿Os habéis dado cuenta? ¡No pasa un momento sin que no ocurra nada! - Es un hecho notable, en efecto. Vagan perdidos por un desierto aparentemente infinito… Julius –que es transparente– se convierte en el narrador de la historia, observa ‘desde lejos’ el escenario por el que se mueven los personajes secundarios. Ellos no saben por dónde caminan –sólo ven ‘lo local’–, pero Julius observa ‘lo global’, lo que le permite percibir detalles que para los primeros pasan inadvertidos2. Imagen 3: Los personajes secundarios se encuentran con lo que llaman ‘curiosas arquitecturas’. No saben lo que están pisando, porque están ‘dentro’ de ello. Julius observa desde lejos el ‘escenario’, esas arquitecturas contienen siluetas que recuerdan extrañamente a nuestro héroe. Descubren que la arena que pisan no lo es en realidad, se trata de cadenas de 26 letras… La nada está formada de TODAS las combinaciones posibles de nuestro alfabeto. ¡Es maravilloso! 26! ¿Comprendéis? ¡Esto nos indica la dimensión de la nada! Imagen 4: Calculando la dimensión de la nada. Se introducen en la zona desconocida –atravesando una verdadera frontera entre el desierto y una zona no explorada– intentando regresar a su mundo. Al hacerlo, nos encontramos con tres páginas rotas, desgarradas en nuestro tebeo… serán las que les permitirán recuperar el desfase de seis páginas con el que ha comenzado el libro. En efecto, la página 40 finaliza con los personajes atravesando la frontera hacia lo desconocido, y se nos presentan las páginas 41 a 46 a las que les falta una gran parte de papel. Corresponden a un capítulo 7  que se intuye debería estar allí… aunque no se ve el título completo. Imagen 5: Las páginas rotas permiten recomponer el desajuste. El desfase espacio-temporal se salva con maestría: los dibujos y los diálogos de las viñetas rotas se superponen, originando conversaciones que cambian de sentido al encajar los trozos de las diferentes páginas. Imagen 6: Las páginas rotas superpuestas originan diálogos e imágenes coherentes y con sentidos cambiantes. Julius va a apareciendo poco a poco en la página 47 –que ya está completa–… de manera tenue al principio,  y termina uniéndose al grupo que camina por el desierto. Van desapareciendo elementos de las planchas, la numeración va escapando poco a poco hasta disiparse… - Algunos dicen que la nada es un libro blanco. - Esta falta de pistas metafísico me agota. - ¡Tiene que haber un borde en alguna parte de cualquier manera! - Para ello debería haber alguna parte. Eso no se sabe… - … Aquí estamos en ningún sitio y en todos. Las páginas 58 y 59 se colorean, en realidad son  la contraportada –en ese orden– y la portada del tebeo. Imagen 7: Se trata de la imagen de la contraportada –página 58–: Recapitulemos… estamos entonces en ningún lugar. Sin espacio, sin tiempo… … Y sin historia. Los personajes llegan a una puerta que les da paso a un inmenso almacén en el que se amontonan camas… El empleado del almacén presenta a Julius diferentes camas para dormir de pie, plegables,… Julius se sienta sobre una de ellas –sin darse cuenta que un mecánico estaba manipulándola–: se trata de una ‘cama de carreras’ con el regulador temporal mal ajustado… ¿entendéis ahora el origen de ese terrible desajuste? Las anteriores aventuras de Julius Corentin Acquefacques son: L’Origine (El Origen, 1990). La Qu... (1991). Le Processus (El Proceso, 1993). Le Début de la fin (El Principio del fin, 1995). La 2,333ème dimension (La dimensión 2,333, 2004).   Notas: [1] En francés se trata de un juego de palabras: ‘lit ivre’ significa ‘cama ebria’… la cama vuela sin control. Pero, si se pronuncia en alto suena como ‘liivre’, es decir, la palabra ‘libro’ pronunciada alargando la “i”, lo que da aún más énfasis al vuelo. [2] Esta es una magnífica ilustración de las diferencias entre lo local y lo global: los personajes secundarios ven una zona pequeña a su alrededor, la nada les rodea y perciben pocos detalles de su escenario. Sin embargo, Julius, convertido en observador externo y narrador, ve con claridad lo que les espera a sus amigos, ve detalles que ellos no pueden apreciar.  
Jueves, 20 de Junio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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