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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Portada del cómic Le Théorème de Morcom apareció en Les Humanoïdes Associés en 1992. El relato se basa en la historia verídica de Alan Turing y de la máquina ENIGMA, dispositivo mecánico de cifrado usado por los nazis durante la segunda guerra mundial y que se tenía por indescifrable. El 12 de julio de 1954, en la carretera que lleva de Thornill a Strangton, un Cadillac se sale de la carretera y cae a un precipicio. Su conductor es el genial matemático Julius Morcom[i], que muere instantáneamente. ¿Se trata de un simple accidente de tráfico? ¿De un suicidio? ¿De un asesinato? Primeras viñetas del cómic: la muerte de Julius Morcom Fred Mathison[ii], periodista de Journal of Science, se interesa por casualidad en este asunto. Comienza a indagar en el pasado del matemático: su genialidad al haber escrito ya con 24 años un artículo de lógica matemática que ponía en duda algunos conocimientos aceptados,  su vida como criptógrafo durante la Segunda Guerra Mundial y su obsesión por crear ‘máquinas inteligentes’... En una de las cartas que Morcom –su madre vive en Inglaterra, el matemático en EE.UU. esperando encontrar una mejor disposición hacia sus teorías– envía a su madre antes de morir, dice: Je veux tout reconsidérer à partir de zéro pour concevoir une machine véritablement intelligente, conçue à l’image de notre cerveau, une machine capable de penser, de sentir, de réagir, comme nous le faisons...[iii] Enseguida, el periodista se da cuenta de que no es el único que está interesado en Morcom... alguien busca los apuntes con sus últimos descubrimientos. Mathison viaja a Cambridge para proseguir sus investigaciones y entrevistar a Anthony Rules, antiguo profesor de  Morcom. Rules le habla sobre la genialidad de su alumno, que presenta como tesis –On computable Numbers with an application to the ‘Entsheidungsproblem’[iv]– una primera versión de su innovador artículo, cuando ya había superado a su profesor en sus habilidades matemáticas. Y comenta con pesar su posterior giro hacia las máquinas inteligentes... Mathison entrevista a Kenneth Williams –uno de los estudiantes de Morcom– con el que intentó construir su maquina –una máquina real–, cuando la guerra les interrumpió. Julius Morcom intenta construir una máquina universal Prosigue sus investigaciones, y cuando llega al coronel Knox, se da cuenta que los secretos militares le van a impedir conocer el trabajo de Morcom en Bletchley Park[v]. Se entrevista con Sarah Hodges[vi], asistente de Turing en el establecimiento militar. Sarah le habla de su homosexualidad, y de los problemas que tiene con las autoridades por este motivo y por su desobediencia sistemática. A partir de ese momento, asaltan la casa de Anthony Rules, la habitación en el hotel de Morcom, asesinan a Sarah... buscando documentos del genio. Mathison se entrevista con la madre de Morcom: ha quemado los cuadernos de su hijo, repletos de cálculos, de gráficas... y de imágenes de chicos, que podían publicarse y perjudicar la imagen de Julius. Mathison regresa a su país, marcado por los violentos acontecimientos, y decide abandonar el artículo y su trabajo en el Journal of Science, para dedicarse a escribir la verdadera historia de Julius Morcom. Recorte de la contraportada del cómic   Notas: [i] Christopher Morcom fue el primer amor –no correspondido, aunque eran grandes amigos– de Alan Turing. Se conocieron en 1927, Morcom era un año mayor que Turing y su relación se fue fortaleciendo hasta la trágica muerte de  Morcom en 1930, debido a las complicaciones de una tuberculosis bovina. [ii] El nombre completo de Alan Turing era Alan Mathison Turing: de nuevo, el apellido del periodista intenta vincular el relato con la historia del matemático británico. Julius Mathison es el nombre de su padre. [iii] Quiero volver a considerar todo a partir de cero para concebir una máquina verdaderamente inteligente, concebida a imagen de nuestro cerebro, una máquina capaz de pensar, de sentir, de reaccionar, como lo hacemos nosotros... [iv] El Entscheidungsproblem –problema de decisión, en castellano– fue un reto en lógica simbólica que consistía en encontrar un algoritmo general que decidiera si una fórmula del cálculo de primer orden es un teorema. En 1936, de manera independiente, Alonzo Church y Alan Turing demostraron que es imposible escribir tal algoritmo. [v] Bletchley Park es el nombre de una instalación militar localizada en Buckinghamshire (Inglaterra) en la que se realizaron los trabajos de descifrado de códigos alemanes durante la Segunda Guerra Mundial. [vi] Andrew Hodges es un matemático, escritor y pionero del movimiento de liberación gay de los años 70. Es el autor de Alan Turing: The Enigma. Ethel Sara es el nombre de la madre de Turing.
Martes, 27 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
En la entrega de este mes de la sección de las matemáticas en la publicidad (en divulgamat) vamos a disfrutar de unos bellos diseños geométricos realizados con curvas, en algunos casos con curvas cíclicas y en otros con la simple repetición de sencillas curvas, como la elipse o la circunferencia. Son anuncios del Audi Quattro, con una nueva innovación tecnológica, el sistema quattro con un diferencial trasero deportivo. Como podemos leer en su página web… “Para un comportamiento dinámico aún más deportivo, Audi ha diseñado el sistema quattro con diferencial trasero deportivo, que es particularmente eficaz en las curvas. Distribuye activamente la potencia de propulsión entre las ruedas traseras. El resultado es un mayor placer de conducción. La agilidad adicional y una mejor maniobrabilidad son apreciables incluso en condiciones cotidianas de conducción, no solo en situaciones límite.” E incluso dice algunas cosas más, como “Más agilidad para una conducción dinámica en curvas” o también “El coche toma las curvas de una forma aún más espontánea y directa y mantiene la estabilidad direccional durante un tiempo considerablemente más largo.” ¿Y cómo reflejan esta “conducción más dinámica en curvas”? Con el diseño geométrico de bellas imágenes realizadas con curvas. Pero no se dibujan simples curvas con un único trazo, sino curvas geométricas formadas por una banda, que no es más que un sencillo dibujo que simboliza la carretera. Y esa carretera realiza un recorrido con “bellas curvas” que son las que traza el audi quattro con su nuevo sistema. De hecho, el lema del anuncio es “Quattro con diferencial deportivo. Dibuja curvas perfectas”. Aquí tenéis los anuncios…
Miércoles, 21 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
No siempre las películas con algún contenido o referencia matemática son buenas películas. Traemos este mes un diálogo de una de ellas sobre conceptos no demasiado utilizados en el cine, y probablemente desconocidos para muchos, aunque habituales en Estadística. Al hilo de la introducción, también existen algunas películas magníficas que la pifian por no asesorarse adecuadamente desde un punto de vista científico, o por sospechar que algunos argumentos podrían no ser entendidos y causar rechazo en el espectador. Desde estas páginas siempre hemos defendido lo contrario: no importa cuan difícil, específica o rebuscada sea una idea; si es real, utilizable y aporta información, no debe rechazarse. No todos los espectadores van a estar interesados, seguramente un porcentaje ínfimo, pero para éstos será de utilidad porque se molestarán en averiguar en qué consistía. ¿Rechazaríamos una referencia a un cuadro, un libro, un filósofo, un personaje histórico por no ser, digamos, “popular”? Recientemente, el 18 de mayo de 2012, se estrenó en nuestro país la siguiente película, una de tantas de persecuciones, espías, asesinatos en serie, etc., con actor atractivo (aunque ya entradito en arrugas) y la publicidad típica de este tipo de producciones. Bien realizada, pero con numerosos defectos argumentales, particularmente me resultó soporífera, más aún cuando casi desde el título original se sabe que va a pasar. Previsible, discreta, fácilmente olvidable en suma, salvo por un diálogo, recitado a toda velocidad, como siempre, pero que analizado con detenimiento nos presenta un procedimiento para intentar determinar si un determinado suceso es compatible con los datos conocidos de una población. Pero vayamos por partes. En primer lugar, una breve ficha técnica y artística de la película: LA SOMBRA DE LA TRAICIÓN Título Original: The double. Nacionalidad: EE. UU., 2011. Director: Michael Brandt.  Guión: Michael Brandt y Derek Haas. Fotografía: Jeffrey L. Kimball, en Color. Montaje: Steve Mirkovich. Música: John Debney. Producción: Patrick Aiello, Ashok Amritraj, Andrew Deane y Derek Haas. Duración: 98 min. Intérpretes: Richard Gere (Paul Shepherdson), Topher Grace (Ben Geary), Martin Sheen (Tom Highland), Tamer Hassan (Bozlovski), Stephen Moyer (Brutus), Chris Marquette (Oliver), Odette Annable (Natalie Geary), Stana Katic (Amber), Yuri Sardarov (Leo), Ivan Fedorov (Scrounger), Ed Kelly (Senador Dennis Darden), Jeffrey Pierce (Agente Weaver), Lawrence Gilliard Jr. (Agente Burton), Mike Kraft (Director del FBI Roger Bell). Argumento: La película comienza con el misterioso y sigiloso asesinato de un senador en plena calle. El modus operandi remite a un asesino soviético, Cassius, dado por muerto, que trajo en jaque durante mucho tiempo a la policía, la CIA y demás instituciones norteamericanas contra el crimen. Un joven agente del FBI, Ben Geary (Topher Grace) es el que sostiene esta teoría, en contra de Paul Shepherdson (Richard Gere),  agente retirado de la CIA que estuvo obsesionado con darle caza mientras estuvo en activo. Como todos los indicios apuntan a que el supuesto Cassius va a seguir cometiendo crímenes, Ben y Paul parecen abocados a colaborar, a pesar de las reticencias del segundo. El diálogo (casi monólogo) Ben recurre en un momento dado a un compañero, Oliver, que recopila información sobre los asesinatos de Cassius junto a fotografías tomadas por la policía de los lugares de los crímenes (diferentes ciudades del mundo) y las relaciones entre ellos (ver imagen). Oliver: He colocado las fotos de todos los asesinatos por orden cronológico. Esta línea roja marca cuando se volvieron erráticos e inexplicables. Lo único que tienes que hacer es establecer una hipótesis nula y tratar de demostrarla. Si no puedes demostrarla, es que tu hipótesis debe ser cierta. Ben Geary: Espera, espera,…. Oliver: De acuerdo, tomemos un hecho. Dices que crees que Cassius siempre vuelve al lugar del crimen, ¿verdad? Y tienes fotos de todos sus crímenes. Establece una hipótesis, por ejemplo, que Stephen Hawking es Cassius, lo que te da la hipótesis nula de que Stephen Hawking no es Cassius. Revisa las fotos y demuestra la hipótesis nula de que Supermán no es Cassius. Si lo consigues, querrá decir que tu hipótesis es incorrecta; si no lo consigues dependiendo del valor p, demuestras estadísticamente que tu hipótesis es cierta (Ben pone cara de no entender nada; está completamente alucinado), o que Stephen Hawking es Cassius. Sí. Algunos no nos dormíamos en clase de Estadística en Harvard. Un par de comentarios respecto a las diferencias entre la versión original y la doblada. En la versión original no se habla para nada de “Supermán”, sino que textualmente dice “y trata de demostrar la hipótesis nula de que Rolling Thunder no es Cassius”. Rolling Thunder es el nombre que se dio a una operación militar norteamericana en la Guerra de Vietnam (de penosos resultados, por cierto).  Sin embargo la cita se refiere a una película, El expreso de Corea (Rolling Thunder, John Flynn, EE. UU., 1977), interpretada por William Devane y un jovencito Tommy Lee Jones. Se trata de una película notable, minusvalorada en su momento, retrato intimista de los traumas y perturbaciones que la Guerra del Vietnam dejó en sus integrantes (todos recordaremos otras que han tratado el mismo asunto). Uno de los factores que han provocado su olvido es su violencia extrema, pero no por ello falsa (el argumento, a grandes rasgos es el siguiente: el mayor Rane vuelve como un héroe de la guerra pero se encuentra con que su esposa se ha vuelto a casar creyendo que había muerto, y su hijo ni lo recuerda. Un día unos ladrones asaltan su casa, asesinando brutalmente a toda su familia, perdiendo él una de sus manos. Aparentemente amnésico, su único objetivo será la venganza), junto a un trasfondo calificado de racista (los asesinos serán mejicanos). Pero tiene el mérito de ser una de las primeras en abordar este tema, ya que las más populares que mencionábamos anteriormente, son posteriores: El regreso (Coming Home, Hal Ashby, 1978), El cazador (The Deer Hunter, Michael Cimino, 1978),  Apocalypse Now (F. F. Coppola, 1979), Jacknife (David Hugh Jones, 1989) o Nacido el cuatro de julio (Born on the Fourth of July, Oliver Stone, 1989). Otra circunstancia de la versión doblada que llama la atención es la inaudible frase en la versión doblada de “si no lo consigues dependiendo del valor p”. Se ve que a los dobladores no les sonaba a nada eso del valor de p. Breve explicación Una hipótesis estadística (o hipótesis, a secas) es una afirmación acerca de ciertos valores de las características de un espacio muestral (por ejemplo el promedio del valor del diámetro de un tubo, o la proporción de tornillos defectuosos realizados por un mismo fabricante). Para determinar si esos valores son estadísticamente ciertos o no, se consideran dos hipótesis contradictorias, intentando dirimir cuál de ellas es correcta. A esta prueba se le denomina Contraste (o test) de hipótesis, procedimiento que se encuadra dentro de la inferencia estadística. La afirmación inicialmente favorecida o que se supone que es la verdadera se le llama hipótesis nula (denotada habitualmente por H0), mientras que las utilizadas auxiliarmente se las llama hipótesis alternativas, y se denotan por Ha, donde a puede ser un número o una letra. La hipótesis nula se presume verdadera hasta que una prueba estadística basada en una prueba empírica de la hipótesis indique lo contrario. Pero cuidado: si la hipótesis nula no es rechazada, esto no quiere decir que sea verdadera. En otras palabras, H0 nunca se considera probada, pero puede ser rechazada por los datos. No pretendemos dar en estas breves notas un curso de estadística (para eso ya están los libros específicos que lo hacen mejor), pero para entender un poco estos tests necesitamos conocer algunos otros conceptos. Así tenemos los llamados procedimientos de prueba, que son unas reglas basadas en datos muestrales para determinar si se rechaza o no H0. Un procedimiento de prueba se especifica por: 1.- Un estadístico de prueba: una función de los datos de la muestra en los que la decisión (rechazar H0 o no) debe basarse. 2.- Una región de rechazo: conjunto de valores para los que H0 será rechazada. La hipótesis nula será entonces rechazada si, y sólo si, el valor observado o calculado del estadístico de prueba está en la región de rechazo. Elegir una región de rechazo también requiere de cierto estudio. Para ello se analizan los errores que se pueden cometer, que básicamente se clasifican en error de tipo I (rechazar la hipótesis nula H0 cuando es verdadera) y error de tipo II (no rechazar H0 cuando es falsa). Finalmente, en el diálogo se menciona el “valor de p”. En muchas situaciones en las que hay que tomar una decisión, hay cierta dependencia del punto de vista de la persona que la toma. Cada individuo tiene su propio nivel de significación (algunos pueden rechazar H0 mientras otros podrían concluir que la información que se tiene no manifiesta contradicción suficiente para justificar el rechazo). Se define entonces el valor p como el mínimo nivel de significación en el que H0 sería rechazada al emplear un procedimiento de prueba especificado en un conjunto dado de información. Una vez que se determina el valor p, la conclusión en cualquier nivel a particular resulta de comparar p con a: 1.- Si el valor p £ a, entonces se rechaza H0 al nivel a. 2.- Si el valor p > a, entonces no se rechaza H0 al nivel a. Los valores del nivel a más usuales con los que se compara suelen ser 0.05 o 0.01, que indican que aceptamos equivocarnos el 5% o el 1% de las veces, respectivamente, si repitiéramos el experimento. A menudo suelen encontrarse algunas confusiones al manejar estos conceptos. Entre los más extendidos está el identificar el valor p con la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta, o que el valor p es lo mismo que la tasa de error del tipo I. Dos ejemplos comentados sobre el valor p Tratemos de poner en práctica lo anteriormente dicho mediante dos situaciones clásicas, de las muchas que aparecen en los textos clásicos (yo de hecho las he tomado de la wikipedia, aunque contadas “a mi aire”; mil disculpas si incurro en algún error) 1º) Dos amigos están en un bar tomándose unas copas. Uno de ellos afirma que es capaz de distinguir, sin lugar a dudas, un whisky barato de uno caro. Como el otro amigo no lo cree, deciden hacer una prueba. El amigo bravucón asegura que acierta qué tipo de whisky está tomando el 90% de las veces, ya que a veces los hielos le distorsionan la cata. Deciden que pruebe 20 whiskys (en días distintos, por supuesto), resultando que acertó sobre el contenido del vaso que estaba probando en 14 ocasiones. Dado que dijo que acertaría el 90% de las veces y sólo acertó el 70% de ellas (14 de 20 noches), ¿podemos creerle, o nos está engañando? ¿Es posible que fallara por mala suerte, y que si le dejamos seguir intentándolo a la larga acertará el 90%? Está claro que si hubiera acertado todas las veces, o incluso 19 de ellas, le creeríamos sin lugar a dudas; análogamente, si hubiera fallado todas o casi todas le desmentiríamos sin discusión, pero con 14 sobre 20 la cosa no está tan clara. Esto es lo que tratamos de medir con el valor p. Si suponemos que la hipótesis nula H0 (el amigo es capaz de acertar el 90% de las veces) es cierta, esto significaría que las catas seguirían una distribución binomial de parámetro 0.9, y entonces la probabilidad de acertar 14 de las 20 veces sería p(14 aciertos) = (0.9)14 (1 – 0.9)6 ≈ 0.008867 La probabilidad de tenga al menos 14 aciertos es la suma de las probabilidades de que no acierte ninguna vez, más la de que tenga un acierto, más la de que tenga dos, y así hasta la de que tenga catorce aciertos, es decir p(al menos 14 aciertos) = (0.9)k (1 – 0.9)20–k ≈ 0.01125313416 Este es el valor p. ¿Qué indica? Significa que si realmente suponemos que nuestro amigo acierta el 90% de las veces que prueba una copa, y ha probado 20 copas, la probabilidad de que acierte menos de 15 copas es del 1.125%. Por tanto, si damos una potencia de contraste usual de 0.05 (que significa que aceptamos equivocarnos el 5% de las veces si repitiéramos el experimento), como el valor p es inferior a la potencia del contraste, rechazamos la hipótesis nula, y declaramos que nuestro amigo es un fanfarrón. Estadísticamente, esto lo hacemos porque el resultado observado (14 aciertos de 20 intentos) es muy poco probable si suponemos que acierta el 90% de las veces, por lo tanto asumimos que no era cierta la hipótesis nula. ¿Que hubiera pasado si hubiera acertado las 20 veces? En ese caso el valor p saldría 1, con lo que no rechazamos la hipótesis nula, que no es lo mismo que decir que la aceptamos. Diríamos que es verosímil que acierte el 90% de las veces, es posible que lleve razón, no tenemos evidencias en contra de ello. Es importante decir que no se acepta la hipótesis nula, ya que también sería lógico aceptar que acierta el 100% de las veces y, o bien acierta el 90% o bien acierta el 100%, pero ambas no pueden ser válidas a la vez. 2º) Se realiza un experimento para determinar si una moneda está equilibrada (probabilidad del 50%, tanto para caras como para cruces) o sesgada (probabilidad ≠ 50% en cualquiera de los resultados). Supongamos que los resultados muestran que la moneda ha mostrado 14 caras de 20 lanzamientos. ¿Podríamos concluir que la moneda está sesgada? Establecemos en este caso la hipótesis nula H0 de que la moneda no está sesgada. Estudiemos en este caso el valor p relativo al experimento realizado, que sería la probabilidad de que una moneda equilibrada devolviera al menos 14 caras en 20 lanzamientos. La probabilidad para una moneda equilibrada de que de 20 lanzamientos se obtengan al menos 14 caras (14 caras o más), viene dada por la siguiente suma: p(14 caras) + p(15 caras) + …. + p(20 caras) = ≈ 0.0576 Al preguntarnos si una moneda es “normal”, lo que pretendemos es averiguar lo “desviada” que se encuentra de la igualdad entre caras y cruces. En nuestro caso, esa desviación es en dos direcciones, es decir tanto si obtenemos 14 caras y 6 cruces, como si se trata de 14 cruces y 6 caras (es decir, una desviación de 4 en ambos casos). Como la distribución binomial es simétrica en el caso de una moneda equilibrada, el valor p viene dado sencillamente por el doble del valor calculado anteriormente, esto es, 0.115. Como dijimos en el ejemplo anterior, cuando este valor es menor o igual al grado significativo que aceptemos (un fenómeno es estadísticamente significativo cuando las observaciones o experimentos realizados reflejan una tendencia más que una probabilidad), la hipótesis nula se rechaza; en caso contrario, no. El valor p calculado es superior a 0.05, de modo que es consistente con la hipótesis nula (el resultado observado de 14 caras en 20 lanzamientos puede atribuirse a la casualidad) ya que cae dentro del rango de lo que puede pasar el 95% de las veces siendo la moneda realmente equilibrada. Por tanto no rechazamos la hipótesis nula al nivel del 5%. Aunque la moneda no proporciona un resultado uniforme (igualdad de caras y cruces), la desviación del resultado es lo suficientemente pequeña como para ser consistente con la probabilidad. Sin embargo, con una cara más, el valor p obtenido hubiera sido 0.0414 (4.14%). En este caso, la hipótesis nula – que el resultado observado de 15 caras en 20 lanzamientos pueda atribuirse a la casualidad – sería rechazado utilizando un 5% de porcentaje de corte. La moneda en este caso podría estar sesgada. Volvemos a la película Una vez que Oliver ha explicado el procedimiento, el agente Geary se dispone a ponerlo en práctica. Establece como hipótesis nula, “Paul no es Cassius”, y lupa en mano se dispone a examinar las fotográfías tomadas en el lugar de los asesinatos. Descubre entonces que en todas ellas (diferentes lugares del mundo, diferentes épocas) aparece siempre su compañero Paul Shepherdson. Así concluye (de un modo un tanto elemental, evidentemente) que no es casual que Paul se encuentre en lugares tan distantes nada más cometerse el crimen (que es cuando se toman las fotos), y por tanto la hipótesis nula se rechaza. Hubiese sido más creíble que, en algún momento de la película, se descubriera que, por ejemplo, el asesino observaba la escena del crimen después de cometerlo, por lo que estaría presente en todas las fotos. En fin, una resolución bastante defectuosa, basada en un procedimiento real. De hecho, las técnicas de contraste de hipótesis son de amplia aplicación en muchas situaciones, como ensayos clínicos de nuevos medicamentos, control de calidad de productos, encuestas, etcétera. Eso sí, apoyadas en datos más consistentes que el esgrimido en la película. Si alguien desea ver la película, a pesar de todo, lo tiene fácil: http://www.youtube.com/watch?v=lKzw_z60WE0. Íntegra y en castellano. Y otra de regalo Durante la pasada SEMINCI (57 Edición), en la sección oficial se presentó a concurso (claramente para rellenar) una comedia titulada AMOR Y LETRAS Título Original: Liberal Arts. Nacionalidad: EE. UU., 2012. Director: Josh Radnor. Guión: Josh Radnor. Fotografía: Seamus Tierney, en Color. Montaje: Michael R. Miller. Música: Ben Toth. Producción: Josh Radnor. Duración: 97 min. Intérpretes: Josh Radnor (Jesse Fisher), Elizabeth Olsen (Zibby), Richard Jenkins (Prof. Peter Hoberg), Allison Janney (Prof. Judith Fairfield), Elizabeth Reaser (Ana), John Magaro (Dean), Kate Burton (Susan), Robert Desiderio (David). Escrita, dirigida, producida e interpretada por Josh Radnor, es una comedia simpática (con algún toque melodramático), cuyo argumento gira en torno al paso del tiempo, a cómo prácticamente sin enterarnos, la vida nos supera y nos ponemos en la treintena (o en la jubilación, en el caso de un antiguo profesor del protagonista). Y digo que el tiempo nos supera porque a Jesse, el protagonista, a sus 35 tacos le siguen atrayendo las jóvenes de 19 (en este caso, una llamada Zibby). Plantea por tanto el difícil paso a la madurez (y el desencanto de ésta, en la persona de otra profesora de Jesse; cuatro edades por tanto se ven tratadas). Entremedias, la pasión por la lectura, lo desapercibidas que pasan otras personas que están ahí, algunos momentos de crítica a lo fácil que los departamentos universitarios sustituyen a docentes de prestigio, los prejuicios morales de los "mayores", etc., etc. Decae en algún momento, con una resolución convencional, y muy muy políticamente correcta. Suena a ya vista. Bueno pues este chaval, de formación puramente literaria, echa mano de las matemáticas en un momento dado: escribe en un papel dos columnas Cuando yo tenía                         Ella tenía 20                                                 4       (esto le horroriza) 16                                                 0 Cuando yo tenga                         Ella tendrá 60                                                 44       (esto le tranquiliza) En otro momento, Jesse trata de ayudar a un alumno con problemas psicológicos, muy inteligente, y con gustos literarios parecidos a los que él tenía a su edad. ¿Os imagináis qué estudia? No, os habéis equivocado: Lógica. En resumen, tampoco perdería mucho el tiempo viéndola.
Miércoles, 07 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Ricardo Sanz y Tur (profesor de Pedagogía y Didáctica de la Música en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid) y Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Este mes el artículo de la sección está escrito al alimón con Ricardo Sanz y Tur, profesor de Pedagogía y Didáctica de la Música del Real Conservatorio Superior de Música de Madrid y el humilde responsable de esta columna. El artículo que ofrecemos al lector es un análisis de dos de las Seis danzas con ritmos búlgaros, de Béla Bartók, pertenecientes a sus conocidos cuadernos para piano Mikrokosmos. Presenta este análisis una feliz simbiosis, desarrollada con naturalidad, de conceptos musicales y matemáticos; así, se habla de compases de amalgama y métricas aksak, pero también de métricas euclídeas. Ilustra con bastante claridad cómo puede usar un músico las matemáticas, sin forzarlas, sin excederse, sino como la herramienta formidable que son, y con la voluntad de servicio debida al usuario. El artículo de este mes nos mueve a la una reflexión no por repetida menos cierta: Si los músicos supieran más ciencia..., si los científicos supieran más música..., ¡todos nos divertiríamos más y seríamos más sabios! 1. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)» Todos los ejemplos de este artículo están tomados de Béla Bartók: Mikrokosmos. 153 Progressive Piano Pieces. Vol. 6. Londres: Boosey & Hawkes, 1987. Figura 1: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Compases 1-4 1.1. Compás de amalgama En primer lugar, estamos ante un compás de amalgama. De acuerdo con Joaquín Zamacois, «se denominan de amalgama los compases que se forman por la reunión, en uno solo, de dos o más compases, cuyos tiempos son de igual unidad, pero distintos en número» (1). Por otro lado, así aparecen conceptuados los compases de amalgama en la Teoría de la música de la Sociedad Didáctico-Musical (S. D. M.) (2): «Compases de amalgama son aquellos que reúnen en uno, dos o más compases binarios, ternarios y cuaternarios, de subdivisión binaria o ternaria» (2). Fuera de nuestro país, hallamos la siguiente definición de «compases de amalgama» en el Diccionario Oxford de la música: «Designación de ciertos compases irregulares de cinco, siete o más tiempos, que son en realidad la unión de varios compases simples (de dos y tres tiempos en el de cinco, de tres y cuatro tiempos en el de siete). [...]» (3). Nótese que hay ciertas discrepancias entre unas definiciones y otras (las definiciones no son verdaderas o falsas, sino útiles o inservibles). Para Scholes los compases de amalgama están formados por compases simples, es decir, de subdivisión binaria: compás binario, ternario y cuaternario de subdivisión binaria. Los ejemplos que aporta refuerzan esta perspectiva. En cambio, para la S. D. M. los compases pueden ser de subdivisión ternaria, esto es, compuestos (compases cuya figura representativa del valor de un tiempo es una figura con puntillo). No obstante, los casos que examina la S. D. M. son los tradicionales de 5/4, 5/8 y 7/4 (ninguno de subdivisión ternaria, y tampoco agrupación de compases simples y compuestos). Zamacois admite la amalgama o bien de compases simples (compás quinario compuesto de un compás binario y otro ternario o de un compás ternario y otro binario), o bien de compases compuestos (por ejemplo: 21/x = 12/x + 9/x o viceversa; 15/x= 6/x + 9/x o viceversa); pero no la mezcla de ambos tipos. Conforme a lo dicho, podemos inferir —con algunas reservas— que ninguna de las tres perspectivas teóricas admitiría como compás de amalgama la típicamente española hemiolia sucesiva (6/8 + 3/4), al tratarse de una yuxtaposición de compases de diferente denominador (en el primer compás la unidad de tiempo es de valor compuesto —negra con puntillo— y en el segundo la unidad de tiempo es de valor simple (negra sin puntillo). Por consiguiente, en aras de la coherencia, la hemiolia sucesiva debe analizarse como otra cosa, o bien, las explicaciones de los compases de amalgama han de ser revisadas. Con todo, la amalgama de Bartók está constituida por compases simples de igual denominador (2/8 y 3/8) y mínimos métricos, por lo que no presenta problemas de adecuación a todas las definiciones anteriores. Como se ha visto, el primero de los atributos de los compases de amalgama es que es una asociación o combinación de compases (en este caso, simples) de la que emerge un compás de amalgama (tal vez, un objeto unitario de superior nivel). Decimos tal vez porque, desde la perspectiva de la teoría sistémica, la amalgama puede analizarse de dos modos distintos: como mero encadenamiento o yuxtaposición de compases simples o como combinación de compases simples de la que emerge «una cosa radicalmente nueva, vale decir caracterizada por propiedades que sus componentes no poseen» (4). Esto tiene su miga, porque si los compases de amalgama se conceptúan como mera asociación de compases simples, la naturaleza de estos no cambia, y la acentuación métrica sería F-D-F-D-F-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado; D = acento métrico débil o ligero). Las barras de compás indican cuándo vuelve a repetirse la particular ordenación métrica, y nada más. La enunciación y nada más quiere decir que la barra de compás no implica necesariamente que el tiempo que la sigue deba ser un pulso métricamente más acentuado que otros de igual rango. Se distinguirían dos calidades acentuales, pues cada compás simple mantiene su acento métrico propio. En general, es lo que se hace cuando se palmean-zapatean los compases del flamenco. Ahora bien, si los compases de amalgama se dilucidan como auténtica combinación, en uno solo, de compases de igual clase, emerge una realidad nueva, pues los compases simples precursores de la totalidad resultan modificados. En la renovada formulación métrica, el acento principal corresponde al ataque del compás. Y compás no hay más que uno: 7/8, por lo que solamente tenemos un acento fuerte: el primero. Los otros serían acentos secundarios (semifuertes) o tiempos débiles. La secuencia métrica quedaría así: F-D-SF-D-SF-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado, principal; SF = acento métrico secundario, semifuerte; D = acento métrico débil o ligero). Ahora se distinguen tres calidades acentuales (F, SF y D), y de ahí el novedoso estado de cosas (la ensambladura de los componentes y la organización del compás resultante son distintas. Si antes el acento métricamente fuerte reaparecía cada dos o tres tiempos, ahora el ciclo de retorno de dicho acento se extiende a siete tiempos). Aunque decimos que la realidad queda modificada en virtud de una u otra concepción, deseamos defendernos de la acusación de idealismo. La realidad queda modificada porque la música es un producto artístico-cultural (y, por ende, artificial) resultado de los bioprocesos cerebrales emergentes creativos o recreativos de los compositores e intérpretes operando en contextos sociales; véanse (17) y (18). Y para unos y otros, la teoría guía la composición o la interpretación. La teoría sistémica (5) tiene poder explicativo para esclarecer por qué se componen, interpretan y perciben diferentemente la sucesión de 2 compases de 2/4 (F D | F D) y un 4/4 (F D SF D); el empalme de 2 compases de 3/8 (F D D | F D D) y un 6/8 (F D D SF D D). Se trata de objetos mensurales que manifiestan propiedades distintas. El nuevo compás emergente no es reductible a la mera concatenación de sus precursores. Es discutible si Béla Bartók concibió la amalgama como mera yuxtaposición, agregación o adición de compases o como combinación sistémica de compases. Para saberlo con seguridad, habría que preguntárselo a él directamente. Pero hay muchos indicadores que hacen inclinarse la balanza hacia una u otra opinión. El compositor no expresa el compás como 7/8 utilizando divisorias de puntos para indicar la conformación de la amalgama, sino que lo representa como sucesión de sumandos (2 + 2 + 3). En el inicio de la obra sólo se distinguen dos «pesos» rítmico-armónicos, por así decir (y no tres): la mano izquierda con el intervalo armónico do-sol y la mano derecha con la nota sol (figura 1 arriba). En cuanto a la armonía, en la partitura no hay ninguna diferencia entre la primera célula (binaria), la segunda célula (también binaria) y la tercera célula (ternaria). El análisis de otros fragmentos de la obra parece apuntar en la misma dirección. Por ejemplo, en los compases 37-39 el intervalo de la mano izquierda ya no es armónico (figura 2), sino que se despliega melódicamente, pero bate exactamente las mismas notas en ostinato: la b-do, la b-do, la b-do-do. Figura 2: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)», compases 37-39 De lo escrito no puede desprenderse distinta calidad acentual entre los tres 'las' bemoles de cada compás correspondientes a sendas células rítmicas binarias y ternarias. De hecho, no se observan diferencias de acentuación (ni dinámica, ni tónica, ni agógica...) entre ninguno de los nueve 'las' bemoles que aparecen en el fragmento escogido. Si tales diferencias se establecen en la interpretación (por ejemplo, cada tres 'las' bemoles), es como producto de la actividad constructiva del intérprete-pianista, que tal vez quiera resaltar levemente con ligeros apoyos el inicio de cada ciclo métrico. Algo, ciertamente, opinable. Hay más partes de la obra en las que sucede otro tanto. En cada compás del siguiente fragmento (figura 3), ninguna disimilitud puede extraerse en cuanto a calidad acentual de los acordes compactos de la mano izquierda (todos están signados con subrayados-picados, tienen exactamente la misma duración y se repiten compás a compás con las mismas notas), o de ciertos diseños melódicos de la mano derecha (por ejemplo: do-re b do-re b do-re b-mi b; los tres 'dos' tienen idéntica acentuación dinámica, tónica y agógica). Figura 3: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm. (2)», compases 46-49 Con arreglo a las pruebas y argumentos expuestos, nos inclinamos a pensar que la concepción bartokiana de la amalgama responde a la primera de las posibilidades apuntadas (asociación, yuxtaposición o encadenamiento de compases simples, conservando cada uno de ellos su acentuación métrica original). De este modo, la fórmula métrica que corresponde a dicha amalgama es F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D y así sucesivamente. Si la representamos utilizando el Time Unit Box System, TUBS: [x . x . x . .]. Desarrollándolo: [x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . .], &c. (en el sistema TUB, x = tiempo métricamente acentuado, o «fuerte» y . = tiempo débil). Hay dos razones más por las que estimamos más plausible esta alternativa. La primera es que la composición de Mikrokosmos se extiende en el periodo de 1926 a 1939; la teoría general de sistemas, al menos en la formulación de Ludwig von Bertalanffy (5), es más tardía (data de mediados de siglo). Es bastante distinto estudiar los compases de amalgama como entidades integrales o como encadenamientos modulares de compases simples. Lo primero es propio de la teoría de sistemas; un enfoque que no estaba disponible en los años treinta del siglo XX. Por último, esta clase de rítmicas era muy novedosa en la época en que las escribió Bartók, hasta el punto de que fue el propio Béla Bartók quien presentó la noción de 'ritmo búlgaro' como un nuevo recurso para la composición en una conferencia radiofónica titulada «Lo que denominamos ritmo búlgaro» y pronunciada el 6 de abril de 1938, basándose en el trabajo de musicólogos búlgaros y su propio trabajo de campo, recogiendo ejemplos (6). Aun en la versión «asociacionista», la amalgama resultaba sumamente interesante para el periodo de tiempo al que nos referimos. 1.2. Métrica aksak auténtica Este compás no solo es un compás (irregular) de amalgama, sino que además es una métrica aksak auténtica. Basándose en sus características estructurales y númericas, Simha Arom ha propuesto una tipología del aksak (7). Arom denomina pseudo-aksaks a aquellos aksaks cuya suma de los valores que lo constituyen es par y, por tanto, divisibles por 2 o 4 y a veces también por 3 o 6. Hay un segundo tipo de aksaks que totalizan un número impar de valores fundamentales y que pueden reducirse a pulsaciones equidistantes, pero organizadas únicamente de forma ternaria. Estos son 'quasi-aksaks'. Por último, hay aksaks constituidos sobre números primos (5, 7, 11, 13) que sólo pueden ser divididos por ellos mismos (y por la unidad), que son los que Arom considera aksaks auténticos. El aksak constituido sobre número primo más bajo es el aksak de 5 tiempos, organizado como 3 + 2 [x . . x .] o como 2 + 3 [x . x . .]. Para Arom, el aksak de 5 tiempos es el «aksak matricial», y es el que funda el principio de agrupamiento de células simples binarias y ternarias, si bien —como se ha anotado— este punto es más discutido. No obstante, el ejemplo analizado correspondiente a la «danza búlgara número 2» de Bartók tampoco presenta problemas en este sentido, porque está basada justamente en esos mínimos rítmico-métricos. En resumen, es una métrica aksak auténtica porque 1) se basa en la combinación de células binariasy ternarias exclusivamente (8) y 2) la suma total de pulsos o tiempos constituye número primo: 7. 1.3. Métrica euclídea Por añadidura, el compás elegido por Bartók para la composición de la obra corresponde a una métrica euclídea (9). Las patrones métricos que presentan la propiedad de que sus acentos se hallan distribuidos lo más uniformemente posible y con la máxima regularidad a lo largo del ciclo métrico se denominan secuencias o métricas euclídeas. Este tipo de distribución crea tensión rítmica. Existe una conexión interna o lógica entre el algoritmo de Bjorklund y las métricas euclídeas. La aplicación a la música del algoritmo de Bjorklund genera patrones métricos euclídeos. He aquí el análisis de de por qué estamos ante una métrica euclídea. Las métricas euclídeas se formulan como E(k, n), donde k denota el número de pulsos acentuados y n el número total de pulsos de la secuencia, es decir, la longitud del ciclo métrico. En el caso que analizamos, tenemos 7 pulsos (7 = 2 + 2 + 3) de los cuales 3 acentuados: E(3, 7) Aplicando paso a paso el algoritmo de Bjorklund (1 = tiempo métricamente acentuado; 0 = tiempo métricamente débil), obtenemos lo siguiente: 1.º paso. 7 secuencias de 1 pulso, tres acentuadas y cuatro no: [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. 3 secuencias de 2 tiempos, restando un pulso no acentuado: [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. 1 secuencia de 3 tiempos y un resto de dos secuencias de dos tiempos cada una: [100] [10] [10]. 4.º paso. 1 secuencia de 5 tiempos y un resto de 1 secuencia de 2 tiempos: [10010] [10]. Secuencia final: [1001010] o, lo que es lo mismo, representándola con el TUBS: E(3,7) = [x . . x . x .]. Esta es la distribución de acentos más uniforme posible a lo largo del ciclo métrico. Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . .]. Son dos ejemplos del mismo tipo métrico. Es posible representar este ciclo métrico como un triángulo inscrito en un círculo. El primer tiempo está ubicado en la parte superior del círculo, y se lee en el sentido de las manecillas del reloj: Figura 4: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók, que es especular de la original. 2. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)» Figura 5: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 1-3 Llevaremos a cabo un análisis similar con la «Danza en ritmo búlgaro núm. 5» de Béla Bartók. Como en el caso anterior, observamos un compás de amalgama. Es un compás de amalgama porque es un compás formado por la reunión, en uno solo, de cuatro compases que presentan distinto numerador, pero igual denominador. El ciclo métrico se reinicia cada nueve tiempos de corchea. Por consiguiente, podría afirmarse que el compás unitario es de 9/8. Pero ocurre que el 9/8 es una métrica clásica; es un compás ternario de subdivisión ternaria (= compuesto): F-D-D-SF-D-D-SF-D-D. Indudablemente, ésa no es la fórmula métrica que busca Bartók. Por consiguiente, indica la constitución de la amalgama por medio de compases aditivos simples: 2 + 2 + 2 + 3. Como la amalgama ya se ha expresado descompuesta al principio de la pieza, las líneas divisorias de puntos no son necesarias. Además, suena «umpa-umpa-umpa-úmpara», lo que también hace patente, de forma sonora, la organización rítmico-métrica de la obra; véase la figura 6. El problema de si la amalgama es modular o sistémica admite en esta danza mayor discusión. Hay fragmentos que parecen sugerir mera asociación de compases (= ensambladura modular): Figura 6: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 14-15 En cambio, hay otros compases, como los del principio o el ejemplo que se aporta más abajo en la figura 7 que, en virtud de sus diseños melódico-rítmicos, articulación, &c. insinúan una concepción más unitaria o integral del compás: Figura 7: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 25-26 La métrica examinada no solo es un compás irregular de amalgama (compás aditivo), sino que además es una métrica quasi-aksak. Es quasi-aksak porque cumple la primera condición señalada en el análisis de la danza núm. 2 (se basa en la combinación de células binarias y ternarias exclusivamente), pero no cumple la segunda condición: la suma total de pulsos, aunque es número impar, no constituye número primo. No obstante, sí es una métrica euclídea. Tenemos 9 pulsos de los cuales 4 acentuados y 5 no: E(4, 9) Aplicando el algoritmo de Bjorklund: 1.º paso. 9 secuencias de un pulso, de las cuales 4 métricamente acentuadas y cinco no: [1] [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. Trasladando ceros, obtenemos cuatro secuencias de dos tiempos y nos resta un tiempo no acentuado: [10] [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. Procediendo de igual modo, estructuramos una secuencia de tres tiempos y tres secuencias de dos tiempos: [100] [10] [10] [10]. 4.º paso. Ahora redistribuimos las secuencias de dos tiempos: [10010] [1010]. Secuencia final: [100101010]. Representada utilizando el sistema TUB: [x . . x . x . x .] Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . x . .]. Las dos secuencias son casos del mismo tipo métrico. Figura 8: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók. Ambas son casos particulares del mismo tipo métrico. El nervio rítmico de la danza radica, en parte, en haber adoptado esta estructuración euclídea. 3. Propiedades comunes a las dos métricas En las dos danzas analizadas las métricas que usa Bartók son E(3, 7) y E(4, 9). El número de acentos fuertes y el el número total de pulsos pueden parecer números tan buenos como otros cualesquiera. Sin embargo, tienen propiedades especiales. En general, si k es el número de acentos fuertes y n el de pulsos y se cumple la relación n=2*k+1, entonces aparece un tipo de patrón muy característico. En el caso de nuestro análisis, esta condición se cumple:7=3*2 +1 y 9=4*2 +1. ¿Cuál es esa relación? Si aplicamos el algoritmo de Bjorklund obtenemos el patrón: Este patrón está formado por el grupo [1 0 0 ] seguido por la repetición k veces del grupo [1 0] (las dos rayas || se han puesto por claridad). Curiosamente, Bartók pone el grupo [1 0 0] al final y obtiene el patrón: Este patrón métrico se puede interpretar desde un enfoque perceptual, en este caso de expectativa acentual, en la línea de la obra de Meyer Emotion and meaning in music (14) (o de autores posteriores que desarrollaron sus teorías, tales como Lerdahl y Jackendoff (15) o Narmour (16)). En efecto, la repetición del grupo [1 0] crea la expectativa de que la métrica entera va a consistir en esa distribución de acentos, pero en el último momento Bartók añade una parte débil más, la cual rompe dicha expectativa. Las distancias que aparecen en esta métrica son 2 y 3 ([1 0] y [1 0 0], respectivamente), y son el mínimo métrico binario y el mínimo métrico ternario. Por otra parte, si el número de pulsos es muy grande, entonces el número de repeticiones del grupo [1 0] es grande también y el efecto se pierde. Bartók elige unos patrones óptimos para el oído humano en términos de memoria musical. Si hubiese elegido E(5, 11) o E(6, 13) el efecto no habría sido tan eficaz.   Para saber más Notación TUBS La notación TUBS se conoce también como notación de caja. En Occidente fue inventada por Philip Harland, de la Universidad de California en Los Ángeles, en 1962. Sin embargo, en otras tradiciones musicales se conocía desde mucho antes. Por ejemplo, en el siglo XV era de uso común en la notación de la música en Corea; también se pueden encontrar ejemplos en la música árabe. La notación en caja se utiliza con frecuencia por los etnomusicólogos (10) para notar polirritmos africanos y de otras culturas. Los psicólogos de la música la emplean en sus experimentos de percepción del ritmo, donde tienen que dar instrucciones a sujetos que no conocen la notación occidental. Ritmos euclídeos Al principio, fue un problema matemático: dadas n cajas y k objetos, ¿cómo distribuir los objetos en las cajas de la manera más uniforme posible? ¿Qué significa de la manera más uniforme posible? Este problema fue abordado en diversos contextos de manera independiente: en música, con la teoría de escalas (11); en física, con las distribuciones de pulsos en intervalos fijos de tiempo (9-1); en informática gráfica, con el dibujo digital de líneas rectas (12). Para ver más ejemplos de este ubicuo problema, consúltense las referencias (9-2), (9-3) y (9-5). La conexión profunda que se dio con este problema es que el viejo algoritmo de Euclides, ese que se usaba para calcular con rapidez el máximo común divisor de dos números, servía, convenientemente modificado, para resolver el problema de una manera sencilla. En (9-4) se prueba que varios algoritmos existentes en la bibliografía para resolver el problema de distribuir objetos uniformemente son, en realidad, el mismo algoritmo y dan esencialmente las mismas soluciones. En el caso que nos ocupa, las métricas, queremos distribuir acentos fuertes y débiles en un conjunto fijo de pulsos. Las métricas que han salido en el texto son E(3,7) y E(4, 9). En ambos casos el máximo común divisor del número de acentos fuertes y número total de pulsos es 1, con lo cual no salen patrones repetidos dentro de la métrica. He aquí unas cuantas propiedades que tienen las métricas euclídeas E(k, n) en general: Están formadas por solo dos distancias, a saber, la parte entera del cociente n/k, y la parte entera del cociente n/k más 1. Por ejemplo, en el caso de E(3, 7), tenemos que la parte entera de 7/3=2,3333... es 2. Luego las distancias que pueden aparecer en E(3, 7) son 2 y 3. Y así es, E(3,7)=[x . x . . ], o escrito como sucesión de distancias, (2, 3). Dado el ritmo E(k, n), si el máximo común divisor de k y n es d, entonces la métrica euclídea estará compuesta por la repetición d veces de un patrón P. Por ejemplo, la métrica E(8, 12) es [. x x . x x . x x . x x] , y vemos que es la repetición del patrón [. x x] 4 veces, exactamente el máximo común divisor de 12 y 8. El patrón que se repite es también euclídeo. Las métricas euclídeas no cambian bajo rotaciones. Ello es porque la propiedad de regularidad, de máxima distribución uniforme, depende de las distancias entre las partes fuertes, y estas no cambian cuando se rota el ritmo. Para explorar las rotaciones de ritmos, véase (13). La observación anterior trae la fascinante cuestión musicológica de por qué ciertas rotaciones de métricas (o ritmos) euclídeos son más frecuentes que otras. Aquí entra en juego el contexto cultural y el estilo en particular de que se trate.   Notas, referencias y bibliografía (1) Joaquín Zamacois: Teoría de la Música. Dividida en cursos. Libro I. Barcelona: Labor, 1992, p. 126. (2) Sociedad Didáctico-Musical: Teoría de la Música. Parte tercera. Madrid: Villena, 1958, p. 13. (3) Percy A. Scholes: «Compases de amalgama», en Diccionario Oxford de la Música. Tomo I. Barcelona: Edhasa/Hermes/Sudamericana, 1984, p. 87. (4) Mario Bunge: Emergencia y convergencia. Novedad cualitativa y unidad del conocimiento. Barcelona: Gedisa, 2003, p. 28. (5) Ludwig von Bertalanffy: Teoría general de los sistemas. Fundamentos, desarrollo, aplicaciones. Madrid: Fondo de Cultura Económica, 1993. Véase especialmente el apartado «En torno a la historia de la teoría de los sistemas» de la introducción del libro, p. 9 y ss. (6) Jérôme Cler: «Pour une théorie de l'aksak». Revue de Musicologie, vol. 80, núm. 2 (1994), 181-210, p. 182. Traducción nuestra. (7) Simha Arom: « L'aksak. Principes et typologie» (en línea). Cahiers d'ethnomusicologie, núm. 17 (2004). Disponible en Internet: .. (consulta del 24 de octubre de 2012). Traducción nuestra. (8) Aunque se reconoce que la combinación de células binarias y ternarias genera la mayor parte de las métricas aksak, últimamente se ha sugerido que, al menos teóricamente, combinaciones basadas en las razones 4:3 o 5:4 son posibles. Ibíd., pp. 195-196 y summary, al final (p. 210). (9) Para el asunto de la métrica euclídea, pueden consultarse los siguientes artículos: (1) E. Bjorklund: «The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System», SNS ASD Tech Note, SNS-NOTE-CNTRL núm. 99 (2003). (2) Godfried Toussaint: «The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms». Montreal (Canadá): Universidad MCGill, 2005. (3) Perouz Taslakian: Musical Rhythms in the Euclidean Plane (tesis doctoral). Montreal (Canadá): Universidad McGill, 2008. (4) Erik Demaine y otros autores: «The distance geometry of music». Computational Geometry, vol. 42, núm. 5 (2009), 429–454. (5) Paco Gómez: «Si Euclides lo supiese..., se sentiría muy orgulloso. Patrones de regularidad máxima en Música, Geometría, Informática y otras disciplinas». Madrid: Universidad Politécnica. Escuela Universitaria de Informática, 2009. (6) Paco Gómez: «El algoritmo de Euclides como principio musical» (charla). Madrid: Universidad Politécnica. (7) Contrasteatro: Materritmo o el ritmo me mata. Espectáculo cómico-matemático-musical que explora los ritmos euclídeos. (10) Laz E. N. Ekwueme. Concepts in African musical theory. Journal of Black Studies, 5(1):35–64, septiembre de 1974. (11) J. Clough and J. Douthett. Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35:93–173, 1991. (12) Reinhard Klette and Azriel Rosenfeld. Digital straightness - a review. Discrete Applied Mathematics, 139:197–230, 2004. (13) Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. Columna de matemáticas y música de la revista Divulgamat. Junio de 2012. (14) Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. The University of Chicago Press. 1961. (15) Lerdahl, Fred and Jackendoff, Ray. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press. 1983 (16) Narmour, E. The Analysis and Cognition of Melodic Complexity: The Implication-Realization Model. Chicago: University of Chicago Press. 1992. (17) Mario Bunge: El problema mente-cerebro. Un enfoque psicobiológico. Madrid: Tecnos, 2002. (18) Mario Bunge y Rubén Ardila: Filosofía de la Psicología. Barcelona: Ariel, 2002.
Martes, 06 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
En la comunidad matemática es bien conocido que la sucesión de Fibonacci tiene multitud de propiedades, gran diversidad de aplicaciones y un filón inagotable de temas de divulgación matemática. ¿Qué otros conceptos matemáticos tienen el honor de copar los contenidos de una sola revista de investigación? The Fibonacci Quarterly es una publicación oficial de la "Fibonacci Association" y aparece cuatro veces al año (por aquello de que "quarterly = trimestral") desde 1963, un poco después de que la sucesión fuera dada a conocer en la cultura occidental, ya que Leonardo de Pisa la introdujo en su libro "Liber abaci", publicado en 1202 (sólo hace 810 años), y Édouard Lucas le dio su nombre a finales del siglo XIX. Por cierto, se cuenta que alguno de los fundadores de la revista "The Fibonacci Quarterly" sólo aparcaba su coche en las plazas numeradas con algún término de la sucesión. Algunas de las propiedades de esta sucesión son tan sorprendentes e inesperadas que pueden plantearse como juegos de magia. En la Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias puedes leer un artículo donde se proponen algunas actividades con esta sucesión, y en el número 61 y el número 62 de este rincón describimos también algunos juegos de magia que tienen como protagonista a la sucesión de Fibonacci. En algunas ocasiones, aunque más de las que un matemático podría soportar, simples aficionados descubren propiedades y desarrollan teorías matemáticas con mucha precisión y capaces de despertar gran interés. Lo que ya es completamente extraño es que las propiedades las descubra alguien que afirma, "I hated school, everything about it, and mathematics most of all" (odiaba la escuela, todo lo relativo a ella y las matemáticas por encima de todo). Este es el caso del mago canadiense Stewart James (Courtright, 1908-1996), de quien te recomiendo encarecidamente que leas su biografía en el portal magicana.com y, si tienes oportunidad, las anécdotas que narra Persi Diaconis en el libro "Magical Mathematics". Una de las más significativas es ésta: cuando Diaconis le pidió una baraja para hacerle un juego, Stewart le confesó que no tenía ninguna desde hacía cinco años. Al mostrar su extrañeza, teniendo en cuenta que Stewart publicaba todos los meses algún juego de magia con cartas, éste le contestó que Agatha Christie escribía historias de asesinatos pero nunca tuvo que salir a la calle para matar a nadie. Antes de explicar el descubrimiento de Stewart James, vamos a hacer el juego que Persi Diaconis diseñó en base a sus ideas. Dibuja un cuadrado reticulado de tamaño 4x4 como el siguiente: En cada una de las dos primeras casillas escribe un número entre 1 y 7 (¡sí, claro! un número natural). En la tercera casilla escribe la suma de los dos primeros, con la siguiente salvedad: si la suma es mayor que 7, anotarás el resto de la división por 7 (lo que equivale a restarle siete). Por ejemplo, si los números iniciales son 3 y 4, anotarás su suma, que es 7; si los números iniciales son 4 y 5, la suma es 9 y anotarás el 2, pues 9 - 7 = 2. Continúa rellenando el cuadro de la misma forma: en cada casilla anotarás la suma de los números de las DOS casillas anteriores, siempre respetando la regla establecida en el punto anterior. Un ejemplo: 3 4 7 4 4 1 5 6 4 3 7 3 3 6 2 1 Cuando hayas escrito los 16 números que forman todo el cuadrado, calcula la suma de todos ellos. A pesar de la libertad de elección (7 x 7 = 49 posibles datos iniciales), creo que el resultado final es ¡63! Tengo que hacer una confesión: no siempre la suma es 63: de las 49 parejas de números iniciales, si empiezas por 7 y 7, todo el cuadro estará lleno de sietes y la suma final será, por tanto, 7 x 16 = 112. En lo que sigue excluiremos, por tanto, esta situación anómala. ¿Qué propiedades hemos aplicado para que el juego funcione? Las sucesiones de Fibonacci generalizadas (es decir, las que empiezan con cualquier par de números) cuyos elementos sólo contienen valores entre 1 y 7 (para lo cual reducimos en siete unidades los valores que excedan al 7) se repiten cíclicamente cada 16 términos. De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones cíclicas: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 7, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 7 1, 3, 4, 7, 4, 4, 1, 5, 6, 4, 3, 7, 3, 3, 6, 2 1, 4, 5, 2, 7, 2, 2, 4, 6, 3, 2, 5, 7, 5, 5, 3 y en cada una de ellas aparecen de forma consecutiva 16 parejas de números entre 1 y 7 (a excepción de la pareja ya citada 7 - 7). La suma de los valores de los 16 elementos en cualquiera de los ciclos es igual a 63. Pero hay más propiedades que puedes aprovechar al hacer el juego: Todas las posibles secuencias contienen exactamente dos sietes separados ocho posiciones. Después de cada 7, hay un número que se repite dos veces. Salvo los sietes, dos números separados por ocho posiciones suman siete. ¿Cuál es el principio descubierto por Stewart James? En 1959, Stewart James le comunicó por carta a Martin Gardner que había descubierto que las sucesiones de Fibonacci generalizadas, si en cada paso se reduce cada término a su raíz digital (es decir, la que se obtiene sumando las cifras del número), son periódicas de periodo 24 y la suma de los 24 términos es igual a 117 (a excepción de la que empieza por 9-9 que tiene periodo uno y la que empieza por 3-3 que tiene periodo 8 y la suma de los términos de cada ciclo es 45). De hecho, sólo hay tres posibles sucesiones (aparte de las anómalas), que son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9 1, 3, 4, 7, 2, 9, 2, 2, 4, 6, 1, 7, 8, 6, 5, 2, 7, 9, 7, 7, 5, 3, 8, 2 1, 4, 5, 9, 5, 5, 1, 6, 7, 4, 2, 6, 8, 5, 4, 9, 4, 4, 8, 3, 2, 5, 7, 3 En agosto de 1962, Stewart James publicó esta propiedad con el nombre de PRINCIPIO AAG, nombre que se obtiene estableciendo la equivalencia entre las letras y su posición en el alfabeto. Como A = 1, A = 1, G = 7, resulta que AAG = 117, la suma constante de los ciclos citados. En su artículo proponía además una idea que podía convertir la propiedad en juego de magia. Si se forma un retículo cuadrado de tamaño 5x5 y se construye una sucesión de Fibonacci generalizada (reduciendo sus términos a su raíz digital) a partir de dos números iniciales (que no sean ambos múltiplos de tres), la suma de los 25 términos será igual a 117 más el primer término de la sucesión. Esto permitiría que el juego pudiera repetirse sin que el resultado final fuera siempre el mismo. Con esta propiedad en mente, se puede realizar un juego similar al descrito antes, muy parecido a los que describen Martin Gardner en la revista "Apocalypse" (1978) y Arthur McTier en su libro "Card Concepts" (Davenport, 2000). Saca dos barajas y entrega una de ellas a un espectador. Explícale que, entre los dos, vais a formar un cuadrado de cartas de tamaño 5x5. Deja también sobre la mesa una hoja de papel indicando que  has escrito allí una predicción. Pide al espectador que coloque cualquier carta de su baraja (que tenga valor menor de 10) cara arriba sobre la mesa mientras tú haces lo mismo con una carta de tu baraja. Ahora el espectador suma los valores de las dos cartas, busca entre sus cartas alguna de dicho valor, sin importar el palo, y la coloca como tercera carta. A continuación tú haces lo mismo con la suma de la segunda y la tercera cartas. Si, en algún momento del proceso, la suma de dos cartas consecutivas es mayor que nueve, se resta nueve para que la carta colocada tenga siempre valor comprendido entre 1 y 9. Se continúan colocando cartas alternativamente, una el espectador y una tú, hasta colocar un total de 25 cartas, formando un cuadrado de tamaño 5x5. Una posible disposición final sería la siguiente: Pide al espectador que sume los valores de las 25 cartas. Cuando lo haya hecho, muestra la predicción y pon la misma cara de sorpresa del espectador cuando compruebe que coincide con la suma. Ahora ya no será muy difícil comprender el secreto del juego. Tu primera carta no es cualquiera, sino que depende de la predicción que hayas escrito. O al revés, tu predicción no es cualquiera sino que depende de tu primera carta. La correspondencia es la siguiente: la suma de las 25 cartas será igual a 117 más el valor de la primera carta. Lo más práctico es tener escrita una predicción, digamos 124, pedir al espectador que saque una carta y la coloque sobre la mesa cara arriba. Si es un 7, sacas de tu baraja cualquier carta y sigues como he indicado. Si saca otra carta, buscas un siete en tu baraja y colocas las dos cartas en fila, siendo la tuya la primera. Con esto evitas además que la primera carta sea un múltiplo de tres, en cuyo caso la sucesión obtenida no sería la deseada. Observaciones finales Puedes también mostrar tus dotes de calculista ultra-rápido: después de colocadas las dos primeras cartas, buscas en tu baraja una carta del mismo valor que la primera y la colocas cara abajo en el lugar que ocuparía la vigésimoquinta. Si eres capaz, también puedes buscar la que ocupará la posición vigésimocuarta (que será la resta entre la segunda y la primera o su complemento a nueve en caso de que la segunda sea menor que la primera). Así, al llegar al final, las vuelves cara arriba para demostrar que son las que corresponden en la secuencia. Debido a la propiedad adicional de que la suma de dos términos de la secuencia separados en 12 lugares es igual a 9 (salvo que sea un nueve, en cuyo caso el otro también será un nueve), puedes también colocar una carta cara abajo en una posición intermedia. Por ejemplo, la carta central del cuadrado 5x5 será el complemento a nueve de la primera carta. Incluso puedes plantear el juego como un experimento de clarividencia. Contigo de espaldas, pides al espectador que forme un rectángulo de tamaño 8x3 y coloque las cartas cara abajo, según la regla ya descrita. Cuando te vuelves de cara puedes decir que la suma de los valores de todas las cartas es 117. Como además 117 = 9 x 13, tratarás de encontrar parejas de números cuya suma es 9. Cada vez que vuelves cara arriba una carta, busca la que esté separada 12 lugares y la vuelves cara arriba, comprobando que la suma de ambas es 9. Como excepción, cuando la carta vuelta sea un nueve, explica que, como no hay ningún cero, tratarás de encontrar otro nueve. Dicho nueve también está separado 12 lugares del anterior. Colm Mulcahy, otra persona de cita obligada en este rincón, también ha estudiado este principio y ofrece algunos juegos en su columna Card Colm. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Martes, 30 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Estamos en París, en 1832. Évariste Galois acaba de ser liberado de la prisión en la que ha cumplido sentencia por motivos políticos: es un activo republicano que llega incluso a amenazar públicamente al nuevo rey Louis-Philippe: Évariste: Je ne voulais pas menacer le roi. […] Je voulais juste réveiller les cerveaux.[i] Galois intenta terminar su tratado de álgebra porque sospecha que va a morir... está luchando contra el tiempo. Es un personaje apasionado, exaltado y comprometido, adelantado a su época. Vive por la democracia y la investigación científica. La noche anterior al duelo que le lleva a la muerte, nuestro héroe escribe en el margen de la memoria que está intentando terminar: Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n’ai pas le temps.[ii] Su madre –con la que ha perdido el contacto desde hace meses– corre a buscarlo para abrazarle y transmitirle su cariño. Un curioso personaje prohíbe a la madre el acceso al edificio en el que se encuentra Galois: es el fantasma de Jean-Baptiste Fourier, que se siente culpable por haber muerto –en mayo de 1830– unos días después de haber recibido un manuscrito de Galois para evaluar –como secretario vitalicio de la Académie des Sciences–, documento que se perdió sin haber sido revisado por Fourier. El espectro del matemático sabe que Galois va a morir y no quiere que nadie le entretenga para que pueda terminar de escribir su legado matemático. Galois redacta con gran excitación. Se detiene en algunos momentos para recordar detalles de su vida. Se acuerda con pena de su padre –alcalde de Bourg-la-Reine, de ideas liberales– que se suicida en 1829 no pudiendo soportar el descrédito ante sus conciudadanos promovido por el párroco de la ciudad. Galois se lamenta de no haber percibido el mal momento anímico por el que pasaba su padre. Pero sigue escribiendo, con pasión, con una pasión cercana a la locura. Recuerda a su amada Stéphanie, a su hermano pequeño, a su madre... Galois encarna al genio romántico, apasionado por la vida y por intentar cambiar el orden del mundo. Su excitación y su ansia por aprender se vieron frenados por las autoridades académicas, que no le perdonaron el no querer ceder ante diversas imposiciones –la dirección de la École Polytechnique apoya a una monarquía repudiada por Galois–. Adélaïde: La direction de l’École s’affiche royaliste, et alors. Ça ne t’empêchera pas de penser, de travailler, l’algèbre n’a pas de drapeau ! Évariste: L’algèbre aussi est une vision du monde.[iii] En una conversación con su amigo Augustin, explica la razón por la que sus matemáticas son revolucionarias: Évariste: Pourquoi tu crois que personne avant moi n’avait réussi à résoudre le problème ? Les autres mathématiciens ne manquent pas d’intelligence. Je connais leurs travaux par coeur, je sais exactement comment ils pensent : ils ont tous l’esprit enchaîné à la notion de particulier. Un à un, ils se sont cassé les dents sur l’équation de degré 5, parce qu’ils isolaient le problème. Ils essayaient de le résoudre en soi. […] La seule façon de le résoudre, c’était de s’en décoller. Ma méthode de résolution générale, Augustin, ce n’est pas du zèle, c’était l’unique solution.[iv] Al definir la estructura de grupo, Galois crea un nuevo territorio a explorar: Augustin: Je comprends le principe, mais ça sert à quoi ? Évariste: À penser large. Augustin: Je veux bien… Évariste: À penser loin aussi. Ça permet d’anticiper. Augustin: Mais à quoi c’est dédié ? Évariste: Tu veux dire … Augustin: Les applications concrètes. Évariste:Ah ça. Aucune.[…] Augustin: Allez… Quand tu iras solliciter un mécène, tu lui diras quoi ? À qui tes groupes profiteront dans l’immédiat ? Évariste: À personne. Dans l’immédiat, à personne. Non… ce n’est pas pour nous. Les chimistes s’en empareront sûrement. Les physiciens aussi. Mais les applications concrètes, comme tu dis, selon moi, elles ne seront visibles que dans cent, deux cents ans. […] Augustin: C’est sérieux, Évariste. Tu n’as pas pu passer des nuits entières à travailler sans connaître l’utilité de tes recherches... C’est impossible. Impossible ! Évariste: C’est idiot, ce que tu dis. Comment veux-tu inventer si tu sais exactement ce que tu cherches ? Je me suis buté sur l’équation de degré 5, c’est ça qui m’a permis de m’élever, de nuit en nuit, jusqu’à l’idée de groupes. On ne peut pas chercher, Augustin, vraiment chercher, en connaissant à l’avance le paysage final. Augustin: Deux cents ans… personne n’en profitera. Je veux dire, personne de nous n’y sera… Évariste: C’est vrai. Et c’est ce qui me fascine le plus. Rendre possible un monde que je ne connaîtrai jamais.[v] El tiempo le dará la razón: sus teorías matemáticas permiten estudiar objetos complejos en términos de simetrías y de permutaciones y hoy en día se aplican a áreas tan variadas como la informática, la química, la física o la criptografía... Esta obra se estrenó en Montreal (Canadá) el 8 de noviembre de 2011, año e el que se conmemoraba el centenario del nacimiento de Galois. En la imagen de debajo pueden verse todos los personajes de la obra, de izquierda a derecha: Stéphanie, la enamorada de Galois; Gérard de Nerval, el poeta encarcelado brevemente en la prisión de Sainte-Pélagie en febrero de 1832, por alboroto nocturno. Allí conoce a Galois y se hacen grandes amigos;[vi] Évariste Galois; Gabriel, el padre republicano de Galois que se suicida en 1829; Adélaïde, la madre protectora de Galois que se siente culpable por haber perdido el contacto con él durante su estancia en prisión; Alfred, el hermano pequeño de Galois, que sólo desea compartir con él su tiempo; Augustin, el amigo de Galois que no entiende la razón de sus matemáticas; y el espectro del matemático Jean-Baptiste Fourier, que sólo desea que Galois redacte su legado, al sentirse culpable por hacer fallecido sin haber podido evaluar uno de los documentos de Galois. Junto a Gérard de Nerval, aporta la nota cómica en una obra plagada de acontecimientos dramáticos. http://www.theatredaujourdhui.qc.ca/archives/pieces/contreletemps La obra finaliza con la aprobación por parte de Fourier de los trabajos de Galois, cuando el matemático yace ya herido de muerte tras su duelo: Fourier le consuela de este modo: Fourier :Tout y est. (Pause) Tout y est, Galois.[vii] Notas: [i] Évariste: No quería amenazar al rey. […] Sólo quería despertar cabezas. [ii] Hay algo a completar en esta demostración. No tengo tiempo. [iii] Adélaïde: La dirección de la École se declara monárquica, ¿y qué? Eso no te impedirá pensar, trabajar, ¡el álgebra no tiene banderas! Évariste: El álgebra es también una visión del mundo. [iv] Évariste: ¿Por qué crees que nadie antes de mí había conseguido resolver el problema? Los otros matemáticos no carecen de inteligencia. Conozco sus trabajos de memoria, sé exactamente como piensan: tienen todos el espíritu encadenado a la noción de particular. Uno a uno han fracasado con la ecuación de grado 5, porque aislaban el problema. Intentaban resolverlo en sí mismo. […] La única manera de resolverlo era con otra perspectiva. Mi método de resolución general, Augustin, y no se trata de celo, era la única solución. [v] Augustin: Comprendo el principio, pero ¿para qué sirve ? Évariste: Para pensar de manera amplia. Augustin: Acepto… Évariste: Para ir más allá también. Permite anticiparse. Augustin: ¿Pero a qué se dedica? Évariste:  No te entiendo … Augustin: Las aplicaciones concretas. Évariste: Ah eso... Ninguna.[…] Augustin: Vamos… Cuando vayas donde un mecenas, ¿qué le dirás? ¿A quién beneficiarán tus grupos por ahora? Évariste: A nadie. Por ahora, a nadie. No… no es para nosotros. Los químicos se apropiarán de ello. Los físicos también. Pero las aplicaciones concretas, como dices, creo que no serán visibles más que dentro de doscientos años. […] Augustin: Esto es serio, Évariste. No has podido pasarte noches enteras de trabajo sin conocer la utilidad de tus investigaciones... Es imposible. ¡Imposible! Évariste: Lo que dices es estúpido. ¿Cómo quieres inventar si sabes exactamente lo que estás buscando?  Me he obsesionado con la ecuación de grado 5, esto es lo que me ha permitido elevarme, de noche en noche hasta la idea de grupo. No se puede investigar, Augustin, realmente investigar, conociendo con antelación el paisaje final. Augustin: Doscientos años… nadie se beneficiará. Me refiero a que ninguno de nosotros estará… Évariste: Es cierto, es lo que más me fascina. Hacer posible un mundo que nunca conoceré. [vi] Este poema Politique de Gérard de Nerval fue precisamente escrito en 1932 con motivo de su estancia en este prisión Dans Sainte-Pélagie, Sous ce règne élargie, Où, rêveur et pensif, Je vis captif, Pas une herbe ne pousse Et pas un brin de mousse Le long des murs grillés Et frais taillés! Oiseau qui fend l'espace... Et toi, brise, qui passe Sur l'étroit horizon De la prison, Dans votre vol superbe, Apportez-moi quelque herbe, Quelque gramen, mouvant Sa tête au vent ! Qu'à mes pieds tourbillonne Une feuille d'automne Peinte de cent couleurs Comme les fleurs ! Pour que mon âme triste Sache encor qu'il existe Une nature, un Dieu Dehors ce lieu, Faites-moi cette joie Qu'un instant je revoie Quelque chose de vert Avant l'hiver ! [vii] Fourier :Está todo. (Pausa) Está todo, Galois
Viernes, 26 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Con frecuencia, cuando un recién conocido se interesa por mi trabajo y le informo de que trabajo con matemáticas y música, la reacción suele ser una divertida mezcla de sorpresa e incredulidad. Tras esos momentos iniciales de desconcierto, las posturas se vuelven tan variadas como los colores. Hay algunos que afirman con aplomo: “Sí, ya se sabe que las matemáticas y la música están muy relacionadas” (pero en ocasiones no estoy seguro de que a se refieren exactamente). Otros, más despistados, mencionan varios físicos conocidos por su gran amor a la música, principalmente Einstein. Otros, más sinceros, confiesan no entender cómo algo tan abstracto como las matemáticas puede tener algo que ver con la música, algo tan artístico y emocional (como si las matemáticas no compartiesen esas características con la música). Actualmente, el estudio de la música por parte de las matemáticas y la computación en el mundo de la investigación está consolidado en buena medida y ya se ve, en general, como algo normal. Sin embargo, esa relación no ha estado, ni probablemente en el futuro lo estará, libre de tensiones respecto a los alcances y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música. El artículo de este mes trata de acercar al gran público la naturaleza de esa relación y esbozar las tensiones epistemológicas que hay entre ellas. En el tercer congreso International Conference on Mathematics and Computation in Music (MCM) celebrado en el IRCAM en 2011 se abordó el problema del alcance y extralimitaciones de los métodos matemáticos y computaciones en la investigación en música. Para tal fin, la organización del congreso invitó a tres panelistas, figuras reconocidas en su campo: Alan Marsden, profesor de música en la Universidad de Lancaster; Guerino Mazzola, matemático, músico, musicólogo y profesor en la Universidad de Minnesota; y Geraint Wiggins, profesor de creatividad computacional en la Universidad de Londres (Queen Mary) y musicólogo computacional. El tema de la sesión fue bridging the gap: computational and mathematical approaches in music research (acortando distancias: métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música). La sesión resultó ser fructífera, con gran participación del público, y por ello los editores de la revista Journal of Mathematics and Music decidieron dedicar un número especial a esta cuestión bajo el título Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise; véase [VH12]. Los panelistas recibieron cuatro preguntas sobre las que elaborar sus intervenciones. Estas fueron: Beneficios: ¿cuáles han sido las contribuciones claves de las matemáticas y la computación a la investigación de la música? Errores: ¿Cuáles son los ejemplos de errores en la aplicación de los métodos matemáticos y computacionales a la investigación de la música en el pasado? ¿Cómo podemos aprender de esos errores? Retos: ¿A qué retos se enfrentan los métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música? ¿Cuáles son las cuestiones por explorar que tienen el potencial de ampliar nuestro entendimiento de la música con la ayuda de las matemáticas y la computación? ¿Qué pasos han de darse para que las matemáticas y la computación desarrollen todo su potencial en la investigación de la música? Discurso interdisciplinar: ¿Cómo se pueden fortalecer las conexiones entre los tres campos? ¿Hay maneras diferentes de entender la música en las tres disciplinas? ¿En qué contextos son las diferencias entre los tres campos útiles para fomentar investigaciones originales y novedosas? ¿Cuándo dichas diferencias suponen un escollo para una verdadera investigación interdisciplinar y qué se necesita hacer para superarlo? El mencionado artículo [VH12] contiene un resumen de las discusiones entre los panelistas. En este artículo expondré las principales aportaciones de los panelistas (en la sección siguiente, en cursiva) y las comentaré para el lector (en tipo de letra normal). 2. Beneficios, errores, retos y discurso interdisciplinar Beneficios: Contribuciones importantes a la tecnología (formato mp3, sistema de recomendación, análisis automático, etc.). Los panelistas nombran estas pocas, pero en realidad hay muchísima computación y matemáticas detrás de ellas. Por ejemplo, los sistemas de recomendación llevan implícitos sistemas de similitud musical –que incluyen similitud melódica, rítmica y tímbrica–, así como complejos procesos de etiquetación, reconocimiento de patrones, búsqueda en bases de datos y otros. Clarificación conceptual de términos musicales. Ciertamente, la formalización matemática de ciertos conceptos musicales ha llevado a una clarificación de estos. Por ejemplo, la teoría de la afinación ha sufrido una gran formalización por parte de matemáticos e informáticos; véase, por ejemplo, el capítulo 5 del libro de Benson [Ben06]. Visión más general de la música. Sin duda, el estudio de la música desde otros puntos de vista, como puede ser el de encontrar sus estructuras básicas o sus reglas de formación, ha contribuido a una comprensión más profunda de ese fenómeno multidimensional y complejo que es la música. Estudio de la evolución musical. Este es un problema fascinante en que varios autores han trabajado: ¿Cómo cambia el fenómeno musical? Para un ejemplo en el campo del ritmo véanse [Tou02] y [Tou03]. Creación de herramientas para la enseñanza musical. En varios conservatorios ya se usa un enfoque mixto en la enseñanza de la música. Por ejemplo, la teoría de escalas o el círculo de quintas se puede enseñar en un contexto músico-matemático. Véase el excelente libro de Scott Beall [Bea00]. Fracasos: Estudio de la música en sí misma sin tener en cuenta sus procesos. Este error es más común de lo deseable entre matemáticos e informáticos que estudian la música. Sin lugar a dudas, la música es un fenómeno y como tal puede estudiarse, pero también es el resultado de un complejo proceso que va desde la onda de sonido a la emoción. A veces ignorar la importante dimensión de proceso de la música invalida una investigación. Estudiar la teoría de la música sin tener en cuenta su dimensión cognitiva. Este es, a mi juicio, uno de los errores más graves que se pueden cometer en el estudio de la música. En última instancia, la música cobra sentido porque hay un oyente que la escucha y procesa. Ignorar la dimensión cognitiva vacía de sentido a la investigación musical. Lamentablemente, muchos investigadores rechazan ponerse al día de la bibliografía de cognición musical. Para una primera toma de contacto, recomendamos el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Ignorar los aspectos físico-acústicos a favor de los aspectos puramente formales. No es posible estudiar la música con profundidad y de manera pertinente si no se estudian varios de sus aspectos más importantes. Formalización excesiva de algunos objetos musicales (escalas, modos, etc.). En ocasiones, el aparato matemático-computacional que se usa para formalizar los objetos y procesos musicales no está justificado. Parece más una querencia del investigador que una necesidad real de tal formalización. Uso excesivo de la abstracción. Alcanzar un punto razonable de abstracción en la investigación matemática de la música no es fácil, y a veces se han cometido excesos al respecto. Desafíos: Los musicólogos desconocen las herramientas que ofrecen las matemáticas y la computación. Este es un hecho triste. Creo que por una parte tiene que ver con el rechazo de una parte de los musicólogos hacia la musicología cuantitativa y, en particular, a la computacional. Y por otro lado, sospecho que tiene que ver con la falta de formación computacional. También culparía a los propios matemáticos e informáticos, cuyo lenguaje e interfaces no son desde luego un ejemplo atrayente para los musicólogos menos expertos en computación. El desafío, pues, consiste en que los musicólogos -sobre todos los históricos y culturales- empiecen a usar estas formidables herramientas. Modelizar el carácter impreciso y multidimensional de la música. Indudablemente, hacen falta modelos flexibles y potentes que sean capaces de reflejar toda la complejidad de la música. Comprobación empírica de los modelos computacionales. Este es otro de los problemas más graves en este tipo de investigación. Con frecuencia, se presenta un modelo que trata de explicar un proceso musical. En el peor caso, se pone encima de la mesa sin ninguna comprobación de ningún tipo; en otros casos, las comprobaciones son sobre búsquedas en base de datos o con experimentos más o menos artificiales. Como dije antes, hace falta la comprobación empírica sobre sujetos, esto es, con seres humanos. En la columna de marzo de 2011 de esta sección se puede leer un ejemplo explicado; es el de la similitud rítmica en el flamenco. Se describen tanto el modelo matemático como su validación perceptual. Aumentar el uso de las técnicas estadísticas. El uso de los métodos estadísticos permite procesar mucha información musical, especialmente en los estudios de grandes corpus de música. Construir una mejor conexión entre racionalismo y empirismo. Este es un desafío que casi podríamos calificar de eterno. La música es susceptible de estudiarse desde ambos puntos de vista y el verdadero carácter interdisciplinar consiste en la sabia combinación de ambos. Construir una metateoría de la música que integre varias disciplinas. De nuevo, esta es una aspiración interdisciplinar que de materializarse haría avanzar sustancialmente la musicología en su conjunto. Modelizar el comportamiento musical y no solo la música en sí. Este desafío reivindica el aspecto conductual de la música; de nuevo, véase el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Discurso interdisciplinar: La humildad es esencial para el trabajo interdisciplinar. Si se lleva a cabo un estudio interdisciplinar, esta es la actitud mínima que uno puede pedir al respecto. Sin embargo, hay mucha arrogancia tanto por parte de los estudiosos desde el punto de vista científico como del de las humanidades. Con mucho acierto y buena dosis de valentía, Parncutt denuncia esta situación en un artículo de 2007 [Par07]; recomendamos vivamente su lectura. Hay que ser honesto respecto al alcance de la investigación. No porque se investigue la música desde un campo este ha de ser el más importante. Es fundamental reconocer el papel del resto de las disciplinas que estudian la música. Hay que ser honesto respecto a lo que es importante. Sin honestidad no hay investigación verdadera. Reconocer sinceramente las múltiples facetas de la música. El estudio de la música requiere una verdadera actitud humanista. Contrastar las teorías computacionales con experimentos requiere mucha colaboración interdisciplinar. Este punto recoge la necesidad antes expresada de la validación perceptual de las teorías matemáticas y computacionales. 3. Conclusión Como puede comprobar el lector los retos en estos campos interdisciplinares de la musicología computacional y la tecnología musical son formidables. Una vez más insistimos en que el avance de las disciplinas esta condicionado a la verdadera colaboración interdisciplinar, algo que a mucha gente le encanta nombrar como sello de modernidad, pero que pocos practican con fe. Uno de los grandes escollos para esa colaboración es la formación de los investigadores. La mayoría o bien son científicos o musicólogos, y muy pocos son ambos. Mi opinión es que hace falta ser las dos cosas, siquiera sea por un problema de lenguaje. Lamentablemente, el tipo de carrera mixta que exigiría esa nueva formación no existe en casi ninguna facultad. Bibliografía [Bea00] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Par07] R. Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003. [VH12] A. Volk and A. Honingh. Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise. Journal of Mathematics and Music, 6(2):73–81, 2012.
Miércoles, 24 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
[Pie de imagen: Este es un anuncio publicitario que una agencia de publicidad internacional, DDB, realizó para anunciarse ellos mismos. Vemos como una mujer le está susurrando algo a Einstein, y si leemos el lema del anuncio “Ahora podemos ayudar a que tu negocio crezca con desarrollo de productos e innovación”… cada cual que realice sus propias lecturas del significado.] Sin lugar a dudas el científico más conocido por el público general, tanto en la actualidad como en los últimos 50 años, es Albert Einstein, físico teórico de origen alemán y padre de la teoría de la relatividad. Por este motivo no es de extrañar que sea el científico cuya imagen más aparece en la publicidad. A lo largo de una mini serie de artículos que se inician con la presente entrega, vamos a examinar y comentar una amplia colección de anuncios publicitarios que han hecho uso de la imagen de este famoso físico teórico. En general, la imagen utilizada en ellos no suele ser la de un joven Einstein, sino esa que ha quedado grabada en la retina de la mayoría de las personas. La imagen de un Albert Einstein de una edad avanzada, con muchas arrugas, el pelo blanco, por lo general descuidado y alborotado, con un poblado bigote también blanco, y por lo general, mirada seria. Esa imagen de científico excéntrico, o incluso loco, que vive en su mundo, y que ha pasado a ser considerada durante mucho tiempo como la imagen arquetipo del los científicos. El primer grupo de anuncios, que se muestran en esta entrega correspondiente al mes de octubre de la sección sobre las matemáticas en la publicidad del portal divulgamat, tiene como característica común su conexión directa con la que seguramente es la fotografía más famosa y popular de Einstein, esa en la que saca la lengua y que se ha convertido en una imagen fetiche para muchas personas, quizás porque rompió con el estereotipo de personas serias y formales que se tenía de los científicos de esa época, y porque es un poco irreverente. En el blog de fotografía “Yanina Patricio blog”, así como en algunos otros, se puede leer la historia de esta singular fotografía. Según se cuenta, Einstein, que en esos años ya era toda una celebridad en EEUU y en todo el mundo, se marchaba de un homenaje que le habían organizado en la Universidad de Princeton con motivo de su 72 cumpleaños, cuando una multitud de fotógrafos empezaron a acosarle con sus cámaras en busca de una buena instantánea destinada a acompañar la correspondiente noticia en los medios de comunicación. Pero el septuagenario físico estaba muy cansado, sin ningunas ganas de sonreír a estos profesionales de la imagen e insistió en que le dejaran marcharse tranquilamente, llegando incluso a gritar “¡Basta ya!”. Los fotógrafos seguían decididos a conseguir un documento gráfico de ese momento, e insistentemente le reclamaban una sonrisa. Le siguieron hasta el coche en el que esperaban su mujer y un amigo (en la fotografía, de Arthur Sasse, que mostramos aquí puede verse el rostro cansado de Einstein). Ya en el coche, y harto de ese acoso, Einstein sacó la lengua con el propósito de estropearles la foto a sus perseguidores. Sin embargo, el fotógrafo Arthur Sasse decidió capturar esa imagen con su cámara, y fue el único. Una instantánea que pasaría a la historia, y que hoy en día sigue apareciendo en pósters, camisetas, cuadernos, chapas, etc… y, por supuesto, también en la publicidad. Y que junto a las imágenes del Che Guevara y de Marylin Monroe, conforman las tres imágenes fetiche del siglo XX. Además, se cuenta que cuando el físico teórico vio la fotografía impresa le pidió al autor de la misma, Arthur Sasse, que le realizara varias copias, e incluso fue utilizada por Einstein como tarjeta navideña. Pero centrémonos en el motivo principal de este artículo, el uso de la popular fotografía de Einstein sacando la lengua, de alguna manipulación de la misma o de una imagen basada en ella, para el diseño de productos publicitarios. Aunque pueda sorprender, solo relacionados con esta instantánea, se han realizado una considerable cantidad de productos publicitarios, algunos de los cuales se podrán disfrutar en este espacio. Para ir abriendo boca, aquí os muestro el primer anuncio, que es de la empresa Mercedes Benz… La utilización en la publicidad del autor de la fórmula más famosa de la historia de la ciencia, e = mc2, suele estar vinculada en la mayoría de los casos con la idea de inteligencia, ya sea para indicar que cierto comportamiento es de personas inteligentes, para vender un cierto producto relacionado con la ciencia, la educación o la cultura, o como símbolo de un genio o una persona que ha destacado en el mundo de la ciencia. En el siguiente anuncio “Einstein” se convierte en un símbolo de persona muy inteligente, de un genio, incluso hasta el punto de afirmarse que “Como estudiante, él [Albert Einstein] no era un Einstein”, en alusión a esa idea difundida de que de joven Einstein no fue un buen estudiante, no sacaba buenas notas (aunque al parecer esto no es así, pero esa es otra historia). Este fue un anuncio de “La fundación para una vida mejor”. Esta fundación se creó en EEUU en el año 2000 con el propósito de promover valores positivos con campañas publicitarias como esta (cuyo lema era “Pásalo!”), valores como la honradez, la generosidad, el optimismo, el trabajo duro, la confianza en uno mismo o la ayuda a los demás. El mensaje de este anuncio en el que aparece Einstein es promover la confianza en uno mismo. Que los niños y niñas, y los jóvenes en general, no tienen que considerarse unos fracasados si no son unos genios, si no sacan unas notas excelentísimas, eso no quiere decir que sean tontos, ni que sean unos perdedores, tienen que confiar en ellos mismos, pueden tener un futuro brillante, como fue el caso de Albert Einstein. Otro ejemplo relacionado con el hecho de ser una persona inteligente, que ha realizado grandes logros en la ciencia y que ha sido una referencia social y cultural, es el anuncio de una página web para mujeres de la empresa brasileña iG (internet Group), que es una filial de la empresa de comunicación Brasil Telecom. Se trataba de la campaña “Why not?” (¿Por qué no?), y en ella podíamos ver mujeres caracterizadas como Albert Einstein, Mahatma Gandhi, Ché Guevara y Charles Chaplin (los dos primeros casos los podemos ver aquí). A la mujer caracterizada como Einstein la encontramos sacando la lengua y con un peinado similar al que llevaba el físico, incluso se ha respetado la ropa de la fotografía. El mensaje que querían transmitir estos anuncios era que no debemos sorprendernos de que existan mujeres que sean grandes científicas, políticas, pensadoras, idealistas, médicos, escritoras o artistas. Aún estando muy de acuerdo con el mensaje, creo que quizás lo que hay que hacer es incidir más en la difusión de muchos grandes logros que ya han realizado muchísimas mujeres. Por ejemplo, algunas mujeres destacadas en el campo de la ciencia han sido Caroline L. Herschel, Mary Anning, Florence Nightingale, Marie Curie, Rita Levi-Montalcini, Rosalind E. Franklin o Jane Goodall (véase la Guía Didáctica Mujeres en la Ciencia –link de divulgamat-) y 44 mujeres han ganado alguno de los Premios Nobel (15 de ellas en ciencia). “Tener un Smartphone te hace más inteligente” era una campaña publicitaria de la empresa de telefonía TIGO, en la que se regalaba un Smartphone Galaxy cada hora entre quienes enviaran un cierto mensaje de texto con su móvil. La forma de expresar visualmente que las personas con un Smartphone eran más inteligentes fue poniéndoles unos pelos canosos y alborotados, un bigote generoso, y con la lengua fuera, como en la famosa fotografía de Arthur Sasse, es decir, identificándoles con Einstein a través de esa instantánea. En la misma línea tenemos el anuncio de la ASJ – Associação Nacional de Jornais de Brasil (Asociación Nacional de Periódicos de Brasil), cuyo lema es “Periódicos. Haciendo de ti una persona mucho más interesante”. En este anuncio puede verse a una persona leyendo el periódico, de la cual realmente está a la vista la mitad superior de su cara, la otra mitad está tapada por el periódico doblado, pero la imagen de la cara se sigue con la mitad inferior de la cara de Einstein sacando la lengua que aparece en el periódico. Muchos anuncios se basan en ocasiones en poner la cara de una persona famosa, en este caso la Revista Cais (curiosamente de nuevo una empresa de Brasil) ha utilizando las imágenes de Einstein, Freud y Gandhi, acompañadas en cada caso simplemente de la frase “una nueva mirada a los buenos conocimientos antiguos”. La Enciclopedia Salvat El Comercio (en Perú) también utiliza la imagen de Einstein en uno de sus anuncios publicitarios, como si la sola presencia del físico en el anuncio ya le diera a la enciclopedia un alto nivel científico y cultural, y por extensión a sus lectores una inteligencia destacada. Pero no es el único caso de una enciclopedia que utiliza a Einstein para anunciarse. Otro ejemplo es el siguiente anuncio de la empresa italiana TIM (Telecom Italia Mobile), que tiene una de sus sedes en Brasil. Aparece la famosa instantánea del físico en un móvil, e inspirado en ella, un monigote que está pintado a bolígrafo en un dedo de una persona… la verdad un anuncio un poco pobre. Otro anuncio en la misma línea que el anterior, pero muchísimo más simplón, es este del periódico danés Politiken, que nos muestra a un Einstein trabajando de repartidor –de un supermercado o de una empresa de mensajería-. Está, como en todas las imágenes de todo este artículo, con la lengua fuera, no porque esté cansado por cargar con las cajas, sino porque es Einstein y él… saca la lengua. Es el inteligente Einstein. El lema del anuncio dice “Lee la sección de trabajo todos los domingos y miércoles”. Parece un poco exagerado decir que leer la sección de trabajo del periódico Politiken (obviamente porque se está buscando uno) es síntoma de una inteligencia comparable a la del físico teórico. También para comprar ropa hay que ser inteligente… al menos para saber a que tienda de ropa tienes que ir. O para comprar un reproductor de DVDs… He dejado aparte una curiosa colección de anuncios aparecidos en la prensa que utilizan la imagen de niños con los pelos revueltos y sacando inteligentemente la lengua. El primero es del “Tekniska Museet” (Museo de la Ciencia) de Estocolmo (Suecia). Nos muestra, ¡como no!, la cara de un niño con los pelos medio peinados y alborotados, y sacando su pequeña lengua. El lema es “el lugar favorito de todos los pequeños genios”. Es un anuncio muy sencillo, pero la cara del niño es genial y tiene unos ojos enormes que llaman la atención. Funciona. La Enciclopedia Encarta de Microsoft (online), con el lema “dale a tu hijo un cerebro”, también utiliza la cara de un niño, pero en este caso lo que han hecho es manipular la fotografía original de Einstein para ponerle la cara del niño a la misma. En mi opinión el montaje queda un poco raro, como de un niño viejo. Hay bastantes anuncios con esta misma idea. Los periódicos ingleses The Times y The Sunday Times también utilizaron la imagen de “deslenguados” niños para anunciar su programa “Instant Wisdom” (“cuatro semanas de orientación educativa líder para sus pequeños listillos”). La campaña, de un mes de duración, consistía en la publicación de una serie de guías inspiradoras para ayudar a sus lectores y sus familias a ampliar sus conocimientos. La primera guía estaba centrada en el espacio, la ciencia y la naturaleza, y su título era “100 respuestas que toda persona necesita saber”. Aunque hay más anuncios de niños con los pelos alborotados y sacando la lengua, voy a terminar esta recopilación con un anuncio de Iberia. Me parece que es un buen anuncio, sencillo, limpio, con calidad de imagen y el niño es un “pocholo”. En resumen, es un anuncio efectivo. El niño con los pelos alborotados y sacando la lengua, lleva una camiseta de tirantes en la que, además está impresa la instantánea de Einstein, para que no malinterpretemos la imagen del joven protagonista de este reclamo publicitario. Hay incluso algún ejemplo de anuncio en el que se utiliza la imagen de un perro, como en este de una empresa que se dedica al entrenamiento de perros. El lema es “Pensarás que tu perro es un genio”. La última parte de este artículo la vamos a dedicar a anuncios que se basan más en la estética de la famosa instantánea de Einstein. Por ejemplo, la lengua del padre de la relatividad nos puede recordar a otra lengua famosa, la lengua de los Rolling Stones. Esta relación es utilizada por la emisora de radio brasileña Kiss 102.1 FM para hacerse publicidad. Es una doble hoja de una revista. En el lado izquierdo se muestra la imagen de Einstein que ya conocemos muy bien, sacando la lengua a quien le mire, y del otro los labios y la lengua de los Rolling Stones, con el lema “Todo el mundo tiene un lado Rock’n Roll”. Al parecer Albert Einstein también. Otro par de anuncios que juegan con la estética de la imagen de Einstein con la lengua fuera, y no tanto con el hecho de que sea una persona inteligente que ha realizado grandes logros científicos, son los siguientes. El primero es un anuncio de la empresa de agua embotellada Perrier. Vemos a un joven con una camiseta amarilla con la famosa fotografía de Einstein en el pecho, algo bastante normal puesto que como hemos comentado esta imagen, junto con las de Che Guevara y Marylin, han sido imágenes muy utilizadas para imprimir en camisetas a lo largo de todo el mundo. La cuestión es que este joven está echando el agua de una botella Perrier en un vaso para bebérsela, pero esto ocurre justo delante de la fotografía de la cara de Einstein, creándose un efecto óptico buscado por el publicista. Parece que la lengua del científico está intentando beber el agua Perrier. Una imagen graciosa para un anuncio. El siguiente cartel nos lleva a una de las situaciones en nuestra vida en las que sacamos la lengua y es cuando vamos al médico para que este nos mire la garganta. En el siguiente anuncio, del Hospital Israelita Albert Einstein, se ve la mano de un médico con un palo plano colocado sobre la lengua de Einstein como si estuviera mirándole la garganta. También hay anuncios que se centran en la popularidad de la fotografía de Einstein sacando la lengua. El primero es un anuncio en prensa del grupo bancario internacional HSBC, cuyo lema es “Good ideas for your money” (buenas ideas para tu dinero), y el anuncio consiste en una de esas ideas. Veámoslo. Se muestra la famosa fotografía de Einstein cubriendo todo el anuncio, pero a su vez esa fotografía está tapada con dos triángulos rojos, como los del logo del HSBC,  y sobre uno de los triángulos la frase que explica el significado del anuncio “Con esta sencilla idea [es decir, tapar parte de la famosa fotografía], hemos ahorrado R$ 250.122,00 en royalties [en los derechos de la imagen]”. Y para concluir un anuncio televisivo en el que se empieza con la instantánea de Einstein sacando la lengua, para después, “ampliando” la imagen hacia los laterales, explicar una fantasiosa historia sobre lo que estaba ocurriendo alrededor de Albert Einstein en esos momentos. No diré nada más sobre la historia del anuncio salvo que tiene que ver con carteros y cajas de cereales. Hay que verlo (pincha aquí: http://adsoftheworld.com/media/tv/sony_cybershot_einstein). Al final se ve que la fotografía panorámica a la que se alude y en la que está Einstein en el medio sale de una cámara SONY panorámica. Es un anuncio muy bien hecho, de la empresa argentina de publicidad Del Campo Nazca Saatchi&Saatchi, que ha ganado una gran cantidad de premios de publicidad, como por ejemplo en los festivales de Cannes, Nueva York, CLIO o FIAP (Festival Iberoamericano de Publicidad). No se vayan todavía que aún hay más… Y el mes que viene seguimos con Einstein.
Jueves, 11 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Dedicamos la reseña de este mes a describir este libro publicado recientemente junto a una entrevista realizada a su autor a la que gentilmente nos ha respondido. Después, a modo de entretenimiento, se incluyen algunos de los jeroglíficos cine-matemáticos que diariamente han venido apareciendo en Facebook y que tanta aceptación están teniendo. Desde que allá por el 2000, con motivo del Año Internacional de las Matemáticas, un servidor (hablo de mi, el que escribe esto, no una máquina que da servicio a una red de usuarios y clientes) empezara a recabar información sobre la relación entre las matemáticas y el cine (en ese momento apenas había en la Red una o dos entradas en inglés) se han venido multiplicando los lugares, blogs, y demás, que han tratado el asunto (lo cual está muy bien porque muchos ojos ven más que unos pocos). Sin embargo no es tan frecuente la aparición en el mercado editorial de libros que aborden desde un punto de vista más reflexivo esta relación (aunque haya quien piense lo contrario, en esto que ahora llamamos “nube” se escribe a bote pronto, precipitadamente, porque todo parece tener una inmediatez con fecha de caducidad, y por ello todo desaparece también rápidamente, mientras que quien se decide a escribir o editar un libro, algo más perdurable aparentemente, cuida más su trabajo, mide más las expresiones y las ideas, lo trabaja más en suma). Y mucho menos en nuestro país. Por eso, creo que es muy destacable que en poco tiempo hayan aparecido de golpe dos nuevas publicaciones sobre este tema: La cuadratura del celuloide (José Luís López Fernández, Abril, 2012, 526 páginas) y Math Goes to the Movies (Burkard Polster y Marty Ross, Johns Hopkins University Press, Septiembre, 2012, 304 páginas). Y también me parece adecuado dedicar a cada uno una reseña de esta sección. Comenzamos en esta ocasión con el primero de ellos. Como acercamiento general digamos que el libro está dividido en ocho capítulos, que por supuesto habla de matemáticas (mejor de cultura matemática, porque no hay operaciones, ni demostraciones; es un libro divulgativo, no técnico), pero que no sólo lo hace de su relación con el cine (que también), sino con las más variadas manifestaciones artísticas y culturales que componen el conocimiento humano (música, arquitectura, pintura, escultura, literatura, otras disciplinas científicas, etc.). Respecto al cine, tampoco se conforma con exponer las consabidas citas explícitas que todo el mundo reconoce como matemáticas, sino que va un poco más allá, buscando las relaciones menos distinguibles, más filosóficas. Es un texto espléndidamente documentado, con una cantidad inagotable de referencias a otras fuentes, de muchas de las cuales, cuando las ideas o frases son razonablemente breves, son reproducidas para que el lector constate de lo que se habla. Además se incluyen a pie de página, no al final del libro, lo que evita el incómodo ejercicio de ir saltando de un lado para otro. Si la referencia es a un matemático famoso o a un resultado, la cita es sintética, yendo a la información más relevante que impida distraernos demasiado. El mayor inconveniente a mi juicio (que para otros puede no serlo) es la dificultad en la localización concreta de datos, ya que salvo la división de los capítulos comentada, los párrafos se desarrollan uno tras otro, sin nada que indique un cambio de tema o de dirección. Además escasean las ilustraciones que en muchas ocasiones echas de menos (referencias por ejemplo, a un cuadro, una escultura, un dibujo, etc.) pero es disculpable, so pena de encarecer la edición, incrementar el ya de por sí amplio número de páginas, por no hablar de los derechos de autor que se precisan hoy día hasta para incorporar una foto del vecino de arriba. El primer capítulo es, como indica el propio texto, “un capítulo de marcado carácter generalista, con referencias matemáticas en cualquier ámbito de la cultura”. Su objetivo es mostrar que, a pesar de que se considere a la matemática y a los matemáticos como una “fauna minoritaria”, lo cierto es que ha sido y es una disciplina muy activa y relevante para la creación artística. El segundo capítulo, “La ecuación completa del cine” aborda cómo ha incidido la tecnología en la realización cinematográfica, desde los inicios del cine a los modernos efectos especiales, una ostensible mejoría, posible gracias al desarrollo de la ciencia. Por otra parte el cine ha servido de vehículo de divulgación científica y educativa, tanto a nivel microscópico como macroscópico. Se indican los precursores de este tipo de cine, se exponen algunos ejemplos concretos de esta mejora en la realización técnica cinematográfica, y posteriormente nos adentramos en la industria de Hollywood. El capítulo finaliza con una pequeña incursión en lo que se conoce como cine experimental, una especialidad en la que las matemáticas han aportado, sobre todo a nivel gráfico, un montón de nuevos caminos con los que, valga la redundancia, experimentar. El título del capítulo hace referencia a una frase de la película El último magnate (The Last Tycoon, Elia Kazan, EE. UU., 1976) y al título original del libro La verdadera historia de Hollywood (The Whole Equation), escrito por David Thomson y editado en castellano por T&B en 2006, una de las muchísimas referencias a las que acude el autor. A pesar del título, en el libro de David Thompson la mención de la palabra ecuación no es más que  gramatical: según su punto de vista, la verdad sobre Hollywood se resume en "La ecuación completa", una fórmula integrada por dos factores que no pueden existir el uno sin el otro: el arte y el dinero. Esa es la excusa para hacer un repaso por la historia del cine norteamericano desde esa perspectiva, pero sin matemáticas explícitas por ninguna parte. El tercer capítulo, Misteriosa forma del tiempo, se dedica a la relación entre la música, el cine y las matemáticas, con numerosas referencias a estudios de gran cantidad de autores. Música abstracta, música electrónica, música y arquitectura (en este apartado no podía faltar una incursión a los mundos imposibles de M.C. Escher), música estocástica (cálculo de probabilidades aplicado a la composición musical), compositores que utilizan las matemáticas para componer, ejemplos de letras de canciones comerciales en las que aparecen las matemáticas, son algunos de los temas tratados, que nos llevan a concluir, por un lado, la influencia de la música en el cine hasta el punto de que el producto final sería diferente dependiendo de la música utilizada, y por otro, acercarnos a tratar de determinar cómo podría ser el sonido de la matemática. Ruta hacia el reino de las hadas (frase del director de cine francés René Clair: “Méliès es el inventor del espectáculo, ruta hacia el reino de las hadas, entre las tiernas estrellas y los soles sonrientes”) es el título del siguiente capítulo dedicado a la ciencia ficción en la literatura y el cine, y a la influencia del progreso científico y tecnológico en estas disciplinas. Repasando los orígenes de este género (la Utopía de Tomás Moro, el Somnium de Kepler, el viaje a la Luna de Cyrano de Bergerac, las obras de Julio Verne, el Frankenstein de Mary Shelley, etc), se expone una visión pesimista de escritores y directores de cine sobre el futuro de la tecnología. Entre las manifestaciones más elocuentes se encuentra la dada por el protagonista de la novela Tu nombre envenena mis sueños (Joaquín Leguina, 1992): El atractivo de la investigación radica en su inutilidad. Por eso me dedico a las Matemáticas, una ciencia inútil […] Un gran matemático llamado Gauss se congratulaba de que existiera una ciencia, la suya, cuyas remotísimas repercusiones sobre las actividades humanas le permitían mantenerse noble y limpia de toda culpa. Gauss dijo: si las Matemáticas son la reina de todas las ciencias, la teoría de números es, a causa de su suprema inutilidad, la reina de las Matemáticas. Resulta llamativo, a pesar de ello, cómo en ocasiones, las matemáticas se han puesto al servicio de la intransigencia y el despotismo, citándose algunos de los ejemplos más representativos. Posteriormente, se recorren algunos de los tópicos matemáticos más visitados por los seguidores de este género: el teorema de Pitágoras, las matemáticas como medio de comunicación extraterrestre, la banda de Möebius, el círculo y su imposible cuadratura, los problemas sin resolver (conjetura de Poincaré, el último teorema de Fermat) como fuente de inspiración, y entremedias un apartado dedicado a las falsificaciones y las matemáticas como medio para poder detectar algunos de esos fraudes. El capítulo concluye con citas y ejemplos de escritores de ciencia ficción que han utilizado las matemáticas y la ciencia en general en sus argumentos, algunos con orientación matemática que se han animado a escribir obras de ciencia ficción. El quinto capítulo (El pulso eterno de una circunferencia) se dedica a describir algunas escenas cinematográficas en las que aparecen cuestiones de aritmética básica, para después abordar la técnica del montaje milimétrico cuyos máximos exponentes han sido los realizadores rusos, a los que posteriormente imitaron otros. En los dos siguientes capítulos, el autor nos sorprende sustituyendo por símbolos matemáticos aquellas cadenas de letras en las que aparecen expresados explícitamente números u operaciones (so*tan, hela2, 1s, ¸ga2, etc.). El primero, Cuanto + conozco las letras, + quiero los números, está dedicado a películas en las que parecen números o fórmulas en sus títulos o argumentos. Después se repasan aquellas producciones en las que aparecen científicos, en principio reales (biopics) y después imaginarios, inventados. De ahí llegamos a películas en con un argumento matemático más complejo que las tratadas hasta este momento, volviendo a la planificación milimétrica de las películas (entroncando por ello con lo hablado en el capítulo anterior sobre el montaje, la edición final de la película). El título del capítulo alude en este caso a una frase de Tres Tristes Tigres (1967) de Guillermo Cabrera Infante, que a su vez se basa en la conocida frase atribuida a Lord Byron, “Cuanto más conozco a los hombres, más quiero a mi perro”. En penúltimo lugar nos encontramos con 0*2, El Amor (verso de Gabriel Celaya del poema Tablas de multiplicar, una visión propia e irónica de la tabla de multiplicar llena de metáforas: “cero por cero es la luz”, “cero por uno, el problema”, “cero por dos, el amor”. Gabriel Celaya estudió Ingeniería Industrial, aunque finalmente encaminó sus pasos por la poesía), capítulo dedicado a la relación entre la poesía y las matemáticas. Describiendo brevemente su amplio contenido, se recuerdan algunos matemáticos que han explorado esta relación, y descubrimos poetas para los que las matemáticas son una inutilidad, mientras que otros encuentran en ellas su fuente de inspiración. Se introduce la poesía científica y el grupo OULIPO (uno de cuyos integrantes más destacados es Raymond Queneau, en la foto) que utiliza estructuras matemáticas para la creación literaria. En este capítulo encontramos una pequeña errata matemática (creo que la única) en la página 394: eπi–1 = 0 (el signo debe ser +). Llama la atención una de las últimas reflexiones con las que finaliza el capítulo: “el lenguaje poético es sólo un disfraz del pensamiento matemático y de la puesta en escena cinematográfica”. Para acabar, El cine que reinventa el cine (frase que Guillermo Cabrera Infante, uno de los escritores más referenciados por el autor junto a Arthur C. Clarke, utiliza para describir Reservoir Dogs y Pulp Fiction en su libro Cine o sardina, 1997), se dedica a explorar nuevas formas de narrar las películas, herederas directas de los procesos no lineales. Éstas consisten básicamente en alterar las estructuras espacio-temporales de la acción. A todos nos vienen a la cabeza, además de las citadas anteriormente de Tarantino, la exitosa trilogía de González Iñarritu Amores Perros, 21 Gramos y Babel, o Memento y Origen, de Christopher Nolan, o esa maravilla que constituyó el epitafio del veterano Sydney Lumet, Antes que el diablo sepa que has muerto (2007). Otro recurso relacionado, que ya tiene su solera, es la fragmentación de la pantalla en múltiples ventanas que nos muestran a la vez acciones que suceden en distintos lugares o en distintos planos del mismo lugar (la aparición del CinemaScope para luchar contra la competencia televisiva motivó este tipo de artificios). La reflexión final del capítulo, y por tanto del libro, es si la aparición de este cine no lineal tan de moda actualmente será el que caracterizará el cine de estos inicios del siglo XXI, un cine en el que el espectador no puede permanecer pasivo si quiere enterarse de algo, en definitiva, un cine para pensar. Entrevista a José Luís López Fernández, autor de “La cuadratura del celuloide” Ante todo nos gustaría agradecerte que hayas atendido nuestra petición, más en estas fechas de inicio de curso, en la que todos estamos tan atareados. DivulgaMAT: La primera cuestión es casi obligada: ¿Qué te llevó a escribir una obra como “La cuadratura del celuloide”? José Luís López: Una conjunción de múltiples factores: la necesidad de explorar el terreno, de saber y de comunicar, en este caso por medio de la escritura; el desafío de transmitir el potencial de emoción que encierra el visionado de una buena película, la lectura de un libro o la contemplación de una pieza de arte; la terca voluntad de acercar la ciencia, particularmente las matemáticas, a todo lector que quiera aproximarse a ella desde una perspectiva ampliamente cultural, desmitificada y cotidiana. DivM.: Ver publicado un proyecto como éste no está exento de dificultades. ¿Con cuales te encontraste y cómo las resolviste? J.L.L.F.: La primera dificultad, y a la postre la más provechosa, fue convencer a Inma, tan colega de cuadraturas y celuloides como buena amiga, para que se ocupara del prólogo. Eso era lo más importante, desde el tiempo y la distancia que nos separaba, para mí y para mi proyecto. Luego fueron llegando los sinsabores esperados (y lógicos) cuando uno ejerce de piloto kamikaze en una guerra que no es la suya, todos ellos relacionados con la reacción del mercado editorial ante una propuesta injustamente minoritaria y, por tanto, relegada a galeras desde el momento mismo del parto. Debo decir que, salvo muy contadas excepciones, la respuesta de la mayor parte de las compañías editoriales con las que he contactado ha sido rápida, amable y agradecida. Ante esto, la única solución posible pasaba por (i) abandonar el proyecto, (ii) armarme de paciencia y esperar (¿indefinidamente?) a que la ciencia se pusiera de moda (y cierto es que no corren buenos tiempos para que ello suceda), o (iii) ser mi propio editor. Y opté por (iii). DivM.: Has dividido la obra en ocho capítulos. Descríbenos brevemente qué criterio seguiste. J.L.L.F.: Realmente me habría gustado que no existiera tal división capitular en La cuadratura, pero comprendo que ello habría hecho terriblemente compleja su lectura. Habría preferido eliminar el corsé que los capítulos imponen a la obra y agitar profusamente el contenido antes de servirlo. No obstante me faltó arrojo para hacerlo, incluso cuando ya sabía que el libro vería la luz siguiendo un formato de autoedición, en un intento de esquivar la repulsión apriorística de los lectores potenciales de la obra. Puestos a "ordenar" los contenidos, el primer capítulo actúa a modo de introducción general (haciendo especial hincapié en los terrenos artístico y literario), mientras que los siete restantes pretenden agrupar en torno a ellos ciertas unidades temáticas, en un sentido amplio de la expresión, que indagan en los ámbitos de la Historia del cine, la música, la ciencia ficción, la matemática aplicada al discurso cinematográfico (desde el montaje de un filme a la labor de la crítica especializada), la poesía y el universo de lo no lineal. DivM.: Cuando un lector cualquiera se dispone a leer el libro, se tiene la sensación de entrar en capítulos inmensos en los que, salvo por el índice de películas, no es sencillo localizar algo concreto. ¿Has sido consciente de esto a la hora de decidir la edición final? ¿Cómo aconsejas al lector interesado que se disponga ante el libro o busque la información en la que esté interesado? J.L.L.F.: Absolutamente. Como bien apuntas, el índice de películas (y novelas, canciones, directores, intérpretes, ensayos, etc.) es la única herramienta de ayuda prevista para el caso en que el lector estuviera interesado en evadirse de la anarquía intencionada del texto para buscar puntualmente la información relativa a un título o un autor. De hecho, entiendo que una de las posibles lecturas de la obra –la más ventajista, de hecho, si uno no estuviera dispuesto a atravesar a pie esta jungla casi periodística sino solamente a sobrevolarla–, consiste en ir de adelante hacia atrás, dejándose arrastrar por las páginas del libro según los ítems de interés de cada lector. Ahora bien, el espíritu de la obra es exactamente el contrario: difuminar la luz de la ciencia a lo ancho y largo de la eclosión cultural del pasado siglo y confundirlo todo un poco, sin aislar ninguna disciplina de sus hermanas, aunque sea el cine el vehículo elegido para conformar la columna vertebral de La cuadratura. DivM.: Cuando uno escribe a veces se piensa en los potenciales lectores ¿A quien va dirigido La cuadratura del celuloide? ¿Quién esperas que lo disfrute? ¿Qué deseas que encuentre o que quieres mostrarle? J.L.L.F.: En este caso era realmente complicado diseñar un perfil mental del lector potencial. Me explico: es perfectamente plausible que a alguien le guste el café o la leche por separado y que, sin embargo, no tolere el café con leche. Con ello quiero decir que el lector interesado únicamente en una de las dos disciplinas que articulan el libro, matemáticas o cine, cine o matemáticas, bien pudiera encontrarlo deficitario (y con razón) en muchos aspectos; recíprocamente, podría suceder asimismo que un lector interesado en la integración de ambas disciplinas no se hubiese arriesgado jamás a leer una obra que tratara de una de ellas en exclusiva. En este sentido, las dos posibles rutas de lectura señaladas en la respuesta anterior –la directa y la inversa– creo que facilitan el hecho de que cada lector consiga encontrar suficiente acomodo para ver satisfecha su motivación principal, cualquiera que ésta sea. El disfrute, en cualquier caso, depende de las inquietudes científicas y cinematográficas del lector y de sus ganas de aprender a conjugarlas. Finalmente, lo que pretendo mostrar al lector (y lograr que éste sea capaz de identificar) es que la ciencia constituye un ingrediente principal de la cultura universal y es consustancial a ella, partícipe de su evolución y depositaria de su destino. DivM.: El libro en realidad no está exclusivamente dedicado al cine: hay muchas referencias a otros aspectos de la cultura como la música, la literatura, etc. ¿Por qué entonces el título de “La cuadratura del celuloide? J.L.L.F.: Bien cierto. Ya desde el prefacio intento aclarar este punto cuando afirmo que, para mi suerte o desgracia, no soy capaz de concebir el cine como un fenómeno cultural aislado, independiente y descontextualizado del resto de las expresiones artísticas. Es necesario, entiendo, adentrarse en otros terrenos para comprender el alcance de un abigarrado nudo de influencias en el que la ciencia tiene mucho que decir. Aun así –y vuelvo a lo anunciado en el prefacio– elijo en todo caso como medio de canalización, para este recorrido babélico por la matematización de la cultura del siglo XX, la actividad cinematográfica. El título, por consiguiente, hace referencia a la matemática a través del conocido problema de la cuadratura del círculo, y al cine a través del celuloide, aquel material que sirvió de soporte a la película (tanto fotográfica como cinematográfica) en la primera etapa del medio. DivM.: Los capítulos 6 y 7 se presentan de un modo un tanto singular, sustituyendo por sus símbolos correspondientes las combinaciones de letras en las que aparecen números u operaciones matemáticas. ¿Por qué precisamente esos capítulos? ¿Tiene alguna intención concreta? J.L.L.F.: La razón estriba en que ambos capítulos aglutinan contenidos fundamentalmente relacionados, en mayor o menor medida, con la aritmética, por lo que los símbolos asociados a operaciones estándar, así como los guarismos, son entendidos desde una perspectiva matemática a pesar de formar parte de un texto. La única intención de esta "incomodidad" reside, como dije antes, en mi voluntad de confundirlo todo un poco más entre sí (el cine con todas las manifestaciones artísticas y culturales que lo envuelven, la ciencia con la poesía, los números con las letras, la música con los teoremas… ciñéndome nuevamente a lo sostenido en el prefacio). Pongamos que no se trata más que de una especie de juego de ingenua raigambre oulipiana. DivM.: Cuando uno empieza a escribir un libro de este estilo y busca información, debe recurrir a muchas fuentes. ¿Qué es lo que más te ha sorprendido, agradado, desagradado, etc., de lo que has encontrado y escrito? J.L.L.F.: Han sido cerca de siete años de trabajo (enormemente placentero) desde que comenzara a divisar un proyecto sobre el que no sabía si se podrían escribir más de diez páginas, y al final han resultado ser más de quinientas. Resulta ciertamente fascinante bucear (con Nemo) entre las técnicas que acompañan el diseño y puesta en marcha de una película de animación; verificar el ingente número de ecuaciones paramétricas que se escondían detrás de los primeros filmes experimentales de los años sesenta; imaginar a Hedy Lamarr patentando un sistema de control remoto por radiofrecuencias; descubrir que el hijo de John Wayne suspendió las matemáticas en la academia de cadetes de West Point en una vieja película de John Ford; o admirar que toda una leyenda del cine como Frank Capra considerara las matemáticas como uno de los tres lenguajes universales, junto a la música y el cine. Todo ello unido a la gran cantidad (en comparación con lo esperado) de gente del cine que está vinculada, por formación o por afición, a alguna rama científica y, en buena parte, a las matemáticas. Por comentar también algo que me inquieta a este respecto, destacaría el estereotipo de malvado, chiflado o idiota que parece reservado a los científicos en el cine, a pesar de que alguno de estos retratos haya dado lugar a personajes inolvidables y a filmes de notabilísima calidad. Incluso cuando se plantea un tratamiento serio del personaje, caso por ejemplo de un biopic, e independientemente de la calidad del producto final, rara vez el tratamiento de la actividad docente y/o investigadora ha sido llevado a cabo con solvencia y fidelidad. DivM.: Como profesor de matemáticas, en tu tarea diaria. ¿Crees que el libro puede resultar de algún interés para las clases? Si es así, ¿cómo podría emplearse y a qué niveles? J.L.L.F.: Más que el libro en sí –probablemente más cercano al ensayo que a un manual de fidelización de conceptos para el estudiante– entiendo como útil, desde el punto de vista de la docencia, la información contenida en escenas concretas de algunas películas, en los fragmentos de algunas novelas, o bien en una variedad de canciones, cuadros u obras de teatro, en algunos casos con un alto valor didáctico. Bien seleccionadas en función del tema a tratar o el concepto a ilustrar, constituyen sin duda un valiosísimo referente de cara al estudiante (pongamos que de enseñanza secundaria e incluso de primer curso universitario, por fijar un margen de niveles académicos) para rebajar el (¿irremediable?) lastre que acostumbra acompañar a las matemáticas en itinerarios docentes o currículos de cualquier índole, incluso en los de carácter científico. En este sentido debo y quiero destacar la labor desarrollada por este portal –y en particular a través de esta sección– para acercar la matemática a los placeres de la vida, entre los cuales hay que considerar indubitablemente el cine (si no, no es vida). DivM.: Lo que se te ocurra acerca del libro que quieras destacar. Cómo se puede adquirir. J.L.L.F.: Quisiera aprovechar la libertad que me otorga la pregunta para volver a agradecer a toda la gente que, siendo mucha y buena, ha estado pendiente siempre de las evoluciones del libro y que ha aportado ideas, consejos, correcciones, referencias, películas, matemáticas y entusiasmo. De momento la única manera de adquirirlo es a través del portal lulu.com, concretamente vía el siguiente enlace: http://www.lulu.com/shop/josé-luis-lópez-fernández/la-cuadratura-del-celuloide/paperback/product-20085814.html Además, algunos contenidos son compartidos públicamente en la siguiente página de Facebook:  https://facebook.com/pages/La-cuadratura-del-celuloide/393875163967454. Reproducimos finalmente un párrafo del libro, a modo de muestra de su estilo y contenido (las imágenes han sido añadidas): Las matemáticas en la obra de Dalí surgen a raíz del apasionamiento que despierta en él el texto De divina proportione del matemático renacentista fray Luca Pacioli,132 en el que se describen  los cánones que rigen las proporciones del cuerpo humano. Obsesionado por el estudio de tales proporciones, el artista se hizo valer de la ayuda del matemático rumano Matila Ghyka133 para llevar a cabo unos cálculos que culminaron con la confección en 1948 de la obra Leda atómica. Pocos años más tarde, sobre el famoso lienzo de 1951 Cristo de San Juan de la Cruz, contaría el artista que organizó la figura triangular de Cristo crucificado bajo la sugestión de la imagen, acaecida en sueños, de una esfera contenida dentro de un triángulo. Cuando Dalí recuerda su etapa en la Residencia de Estudiantes de Madrid ya parecía apuntar cierta predilección por el rigor propio del pensamiento matemático:134 Paradójicamente, aunque yo estaba entonces en Madrid, sólo para hacer pintura cubista, esperaba de mis profesores la ciencia exacta del dibujo, el color y la perspectiva. En el ocaso de su carrera artística se mostró profundamente inquieto por la autoridad que la ciencia había demostrado ejercer en el sondeo de los misterios de la naturaleza, en particular por la teoría de  catástrofes de René Thom -cuya simbología inspiró La cola de la golondrina– , la fisión atómica –a la que debe la idea de pintar figuras descompuestas en multitud de unidades elementales,  como es el caso de Madonna de Port Lligat, Galatea de las esferas, Dalí desnudo en contemplación ante cinco cuerpos regulares o La Madona de Rafael a máxima velocidad–, el ADN –referido en La batalla de Tetuán–, la mecánica cuántica o la ecología. Dalí colaboró con su amigo Federico García Lorca en la obra teatral Mariana Pineda, para la que diseñó trajes y esceno­grafía. En el terreno cinematográfico135 destacaron sus colaboraciones con Luis Buñuel en Un perro andaluz (Un chien andalou, 1929) y La edad de oro (L'âge d'or, 1930), con Vincente Minnelli en El padre de la novia (Father of the bride, 1950) y con Alfred Hitchcock en Recuerda (Spellbound, 1945), filmes todos ellos pa­ra los que construyó imágenes de potente carga visual, ensoñaciones surrealistas y decorados paranoicos propios de ese su universo estético tan personal y tan característico. Para El padre de la no­via diseñó una pesadilla en que los elementos se alían contra el protagonista desde el mismo momento en que llega (tarde) a la boda de su hija. Sobre Recuerda, el propio Hitchcock recuerda:136 Quería la colaboración de Dali debido al aspecto agudo de su arquitectura –Chirico es muy parecido–, las largas sombras, el infinito de las distancias, las líneas que convergen en la perspec­tiva... , los rostros sin forma...  Naturalmente, Dali inventó cosas bastante extrañas que fueron imposibles de realizar: ¡una estatua se resoquebraja y unas hormigas escapan de las grietas y se arrastran por la estatua, y luego vemos a Ingrid Bergman cubierta de hormigas! Precisamente fue La edad de oro el primer filme, si­multáneamente al Asesinato (Murder, 1930) de Hitchcock, en que fue empleada la voz en off como monólogo interior de un personaje. 132.- Uno de los padres de la contabilidad y gran divulgador de la matemática euclidiana. 133.- Autor, entre otras obras, de Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes (1927) y El número de oro (1931). 134.- La vida secreta de Salvador Dalí, Vision Press. Londres, 1948. 135.- La relación de Dalí con el cine está descrita con detalle en el libro de Carlos Tejada Arte en fotogramas –Cine realizado por artistas, Ed. Cátedra, 2008. Como comentamos el mes pasado, Las Matemáticas en el Cine tiene una página en Facebook. Además de colocar de vez en cuando alguna noticia llamativa, informativa o de interés relacionada con estas dos disciplinas, se propone un juego (ya llevamos setenta y tantas películas) en el que a partir de una imagen con contenido matemático se trata de averiguar el título de la película que dichas expresiones o imágenes sugieren. Adjuntamos algunas de ellas, para que os comáis un ratillo el coco: Como siempre, cualquier comentario, crítica o sugerencia puede hacerse a la dirección alfonso@mat.uva.es.
Viernes, 05 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
La historia de las matemáticas se encuentra plagada de anécdotas y situaciones que se pueden utilizar con éxito para plantear problemas recreativos de toda índole. La exclamación ¡EUREKA! nos recuerda la recreación del descubrimiento realizado por Arquímedes de la famosa ley física “Todo cuerpo sumergido en el agua … sale mojado” para determinar si la corona del rey Hierón III estaba falsificada con otro material que no fuera oro. ¿Cómo? ¿Que ya te he contado esto? ¡Cierto!, en el número 54 de este rincón. El hecho de determinar una pieza de distinto peso entre un conjunto de objetos del mismo aspecto exterior ha sido objeto de muchos problemas de ingenio (te recomiendo, por ejemplo, el libro Aritmética Recreativa, de Yakov Perelman). El método empleado para la solución de estos problemas se ha utilizado también en forma de juego de magia y en este portal lo hemos tratado varias veces, por ejemplo en el citado número 54 de este portal así como en el número 52. En aquella ocasión, siguiendo el artículo de Jesús García Gual titulado "Juegos basados en sistemas de numeración", mostrábamos que la clave para resolver este tipo de problemas consistía en representar cada elemento en el sistema de numeración ternaria (en el número 73 de este rincón aprovechamos nuevamente este sistema de numeración para adivinar un número pensado). Ahora bien, el artículo citado contiene otras ideas para diseñar juegos de magia con cartas. El primer juego se basa en el resultado conocido de que es posible determinar con tres pesadas cuál es la moneda falsa (puede pesar más o menos que las demás) entre un conjunto de 12 monedas del mismo tamaño. Se usan entonces las siguientes 12 cartas a cada una de las cuales asociamos un número en base tres, según las reglas: la primera cifra identifica el palo de la baraja (oros = 0; copas = 1; espadas = 2); la segunda indica el valor dentro de un palo ( as-dos-tres = 0; cuatro-cinco-seis = 1; sota-caballo-rey =2); la tercera indica divisibilidad (múltiplo de 3 = 0; múltiplo de 3 más uno = 1; múltiplo de 3 más dos = 2). 001 (221) = tres de oros; 010 (212) = seis de oros; 011 (211) = cuatro de oros; 012 (210) = cinco de oros; 112 (110) = cinco de copas; 120 (102) = caballo de copas; 121 (101) = rey de copas; 122 (100) = sota de copas; 200 (022) = tres de espadas; 201 (021) = as de espadas; 202 (020) = dos de espadas; 220 (002) = caballo de espadas. [Observar que, entre paréntesis, está escrito el complementario del número, es decir el que sumado al anterior da 222.] Realizaremos las pesadas del modo siguiente: Primera pesada: 001, 010, 011, 012 contra 200, 201, 202, 220 (primera cifra cero contra primera cifra 2). Si pesan más los de cero, escribimos en un papel un cero; si pesan lo mismo, escribimos un uno; si pesan más los de 2, escribimos un dos. Segunda pesada: 001, 200, 201, 202 contra 120, 121, 122, 220 (segunda cifra cero contra segunda cifra 2). Escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Tercera pesada: 010, 120, 200, 220 contra 012, 112, 122, 202 (tercera cifra cero contra tercera cifra 2). Nuevamente, escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior. Habremos conseguido al final un número de tres cifras escrito en nuestro papel. La regla para identificar la carta correspondiente es la siguiente: Si dicho número corresponde a una carta, ésta será la elegida y pesa más que el resto. Si corresponde a un número entre paréntesis, la carta pesa menos que el resto. Una forma práctica de realizar el juego podría ser imprimir en unas cartulinas las cartas correspondientes a cada pesada. Tendríamos así: CARTULINA 1   CARTULINA 2   CARTULINA 3 Empezamos el juego mostrando a un espectador las doce cartas y pidiéndole que piense en una de ellas pero que, además, imagine si dicha carta es más o menos pesada que las demás. Con esos datos en mente, le mostramos la primera cartulina y le pedimos que nos diga en qué dirección se inclinaría. Si dice que hacia la izquierda, anotamos mentalmente el número cero; si dice que hacia la derecha, anotamos mentalmente el número dos; si dice que quedaría nivelado, anotamos el uno. Repetimos la operación con las cartulinas dos y tres, formando así un número de tres cifras. Dicho número (o su complementario) corresponderá a una de las doce cartas, la cual identificaremos según la regla indicada anteriormente. Por ejemplo, si el espectador piensa que la sota de copas es menos pesada que las demás, diría que la primera cartulina quedaría nivelada (anotamos el 1), que la segunda se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0) y que la tercera se inclinaría hacia la izquierda (anotamos el 0). El número formado es 100, que es el complementario del 122 correspondiente a la sota de copas. Una solución más efectiva y completa es la conseguida por uno de nuestros matemagos de cabecera, Werner Miller, quien ya ha sido citado en este rincón (por ejemplo en el número 43, el número 49 y el número 50). En el juego titulado "The odd card", nos regala un programa (para Windows) que consiste en tres fases: adivinar una carta más pesada entre las trece de su mismo palo, adivinar una carta menos pesada entre las mismas trece cartas, y adivinar una carta entre doce sin saber si pesa más o menos. La pregunta que nos surge ahora es: ¿cuántas pesadas se necesitan para realizar el juego utilizando toda la baraja? Casualmente, otro problema clásico de ingenio afirma que, si disponemos del conjunto de pesas y una balanza de dos platillos, se puede pesar cualquier objeto de peso comprendido entre 1 y 40 en una pesada. Ahora bien, ¿cómo hacer dicha pesada? Un método preciso, y precioso, consiste en escribir en base tres el peso del objeto. Decimal Ternario Ternario sin el dos Pesa de 27 Pesa de 9 Pesa de 3 Pesa de 1 1 0001 0 0 0 1 2 0002 =10-1 0 0 1 -1 3 0010 0 0 1 0 4 0011 0 0 1 1 5 0012 =100-10-1 0 1 -1 -1 6 0020 =100-10 0 1 -1 0 7 0021 =100-10+1 0 1 -1 1 8 0022 =100-1 0 1 0 -1 9 0100 0 1 0 0 10 0101 0 1 0 1 11 0102 =100+10-1 0 1 1 -1 12 0110 0 1 1 0 13 0111 0 1 1 1 14 0112 =1000-100-10-1 1 -1 -1 -1 15 0120 =1000-100-10 1 -1 -1 0 16 0121 =1000-100-10+1 1 -1 -1 1 17 0122 =1000-100-1 1 -1 0 -1 18 0200 =1000-100 1 -1 0 0 19 0201 =1000-100+1 1 -1 0 1 20 0202 =1000-100+10-1 1 -1 1 -1 21 0210 =1000-100+10 1 -1 1 0 22 0211 =1000-100+10+1 1 -1 1 1 23 0212 =1000-10-1 1 0 -1 -1 24 0220 =1000-10 1 0 -1 0 25 0221 =1000-10+1 1 0 -1 1 26 0222 =1000-1 1 0 0 -1 27 1000 1 0 0 0 28 1001 1 0 0 1 29 1002 =1000+10-1 1 0 1 -1 30 1010 1 0 1 0 31 1011 1 0 1 1 32 1012 =1000+100-10-1 1 1 -1 -1 33 1020 =1000+100-10 1 1 -1 0 34 1021 =1000+100-10+1 1 1 -1 1 35 1022 =1000+100-1 1 1 0 -1 36 1100 1 1 0 0 37 1101 1 1 0 1 38 1102 =1000+100+10-1 1 1 1 -1 39 1110 1 1 1 0 40 1111 1 1 1 1 Viendo la tabla, encontramos dos tipos de números: Los números que, en su representación ternaria, sólo tienen unos y ceros (están en negro en la tabla anterior), se pesan colocando directamente las pesas indicadas por el valor 1, en el platillo contrario al del objeto. Los que tienen algún dos en su representación ternaria (están en rojo en la tabla anterior), deben modificarse según la tabla (mediante sumas y restas) de modo que el valor -1 indica que el peso correspondiente debe colocarse en el platillo que contiene el objeto. [Observar la regla de formación de los números en el sistema de numeración “modificado”: en la cifra de las unidades se van alternando los valores 0, 1, -1; en la cifra de las decenas cada valor se repite tres veces; en la cifra de las centenas, cada valor se repite nueve veces y así sucesivamente.] ¿Cómo aplicar esta idea para adivinar cualquier carta pensada de una baraja española? Con cuatro cartulinas que contengan las cartas, en la cara izquierda las correspondientes al 0 y en la cara derecha las correspondientes al 1. Tenemos así las cuatro tarjetas mostradas a continuación (pincha sobre cada una de ellas para descargarla): TARJETA 1 TARJETA 2 TARJETA 3 TARJETA 4 El funcionamiento es como el utilizado en el primer juego: un espectador piensa una carta de la baraja española y, al mostrarle las cartulinas, indica si su carta está en el lado izquierdo (en cuyo caso anotamos mentalmente el número cero) o en el derecho (en cuyo caso anotamos mentalmente el número 1) o en ninguno (donde anotamos el número -1). La tarjeta 1 corresponde a la cifra de las unidades, la dos a la de las decenas, la 3 a la de las centenas y la 4 a la de las unidades de millar. Al final tendremos un número de cuatro cifras el cual, mediante la tabla anterior, corresponde a un único número del 1 al 40. Este número representa la carta pensada por el espectador. Dejo en tus manos el método más adecuado para realizar la correspondencia entre el número y la carta, y que el espectador no tenga que esperar eternamente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Miércoles, 03 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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