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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Hace unos días se publicó la entrada La teoría de grafos y “Così Fan Tutte” en el Cuaderno de Cultura Científica (Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU). En ella, se analizaba la ópera Così fan tutte ossia de Wolfgang Amadeus Mozart, usando la teoría de grafos para estructurar ‘los intercambios de parejas’ a lo largo de la obra. En esta corta reseña vamos a realizar el mismo análisisi, esta vez con la comedia Noche de reyes de William Shakespeare. Resumimos el argumento de la obra: Sebastián y Viola son hermana y hermano gemelos. Un naufragio los separa: ambos creen que el otro ha fallecido. Viola llega a una playa, y se viste de hombre para hacerse pasar por Cesario, un paje al servicio del duque de Orsino. Orsino está enamorado de  Olivia, una dama noble cuyo hermano ha muerto recientemente, pero ella le rechaza. El duque utiliza a Cesario como confidente y como mensajero, pero el paje –Viola– comienza a enamorarse de Orsino, mientras que Olivia se enamora de Cesario. Antonio, antiguo enemigo de Orsino, ha rescatado del naufragio a Sebastián. Creyendo que es Cesario, Olivia pide a Sebastián que se case con ella: él acepta perdidamente enamorado y se celebra la boda en secreto. Viola revela que es en realidad una mujer y que Sebastián es su hermano gemelo perdido. Tras diversas peripecias, malentendidos y cruces de parejas, Orsino acaba enamorándose de Viola, y la historia tiene final feliz. Orsino y Cesario. Cesario y Olivia. Cuadros de Frederick Richard Pickersgill Frank Harary es uno de los ‘padres’ de la teoría moderna de grafos. Propuso representar mediante esta herramienta la intriga de obras literarias, en particular las relaciones amorosas contenidas en ellas. Por ejemplo, en el grafo de debajo, quedaría representada una relación entre cuatro personas, en la que la primera quiere a la segunda y a la tercera –amor no correspondido–, la segunda no está enamorada de nadie, la tercera no se decide por la segunda o la cuarta, y la cuarta adora a la tercera –amor correspondido–: ¿Cómo representar la estructura de Noche de reyes usando teoría de grafos? Al principio tenemos un triángulo que indica los tres amores no correspondidosii: Tras todas las aventuras vividas por los personajes, finalmente el final es feliz: Notas: [i] F. Harary, Le graphe de «La nuit des rois», Mathématiques et sciences humaines, tome 51 (1975) 77-80. [ii] Según la teoría del equilibrio de Fritz Heider el triángulo corresponde a una situación no equilibrada y finalmente, la armonía acaba venciendo.
Viernes, 20 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En el artículo de este mes, el de frío diciembre, explicaremos la primera parte del artículo de Mongeau y Sankoff [MS90] Comparison of musical sequences, en la que se detalla cómo se aplica la distancia de edición a la similitud melódica desde un punto de vista algorítmico (véase la columna del mes pasado [Góm13] para un repaso de los conceptos básicos). En concreto, veremos como estos autores aumentan el arsenal de operaciones sobre las cadenas para acomodar la distancia de edición al contexto musical. Para el mes siguiente dejaremos la descripción de los experimentos que realizaron para probar la bondad de la medida. 1. La distancia de edición para cadenas musicales El método que proponen Mongeau y Sankoff es particularmente apropiado para la música que está representada simbólicamente, es decir, dada por la codificación de la notación tradicional musical. La codificación más habitual es la midi (programas de edición musical como Finale o Sibelius exportan a midi, por ejemplo). El método de estos autores no se adecua en cambio a música codificada en formato de audio, tales como wav o mp3, que son codificaciones orientadas a describir la música desde un punto de vista físico. De la notación tradicional el algoritmo de Mongeau y Sankoff emplea la sucesión de alturas y duraciones y la tonalidad de la pieza. Recordamos de la columna del mes pasado que la ecuación básica de la distancia de edición es, dadas dos cadenas A,B de longitudes respectivas n,m, la siguiente: donde los índices cumplen que i = 1,…,n y j = 1,…,m. El algoritmo de Mongeau y Sankoff examina las diferencias en altura y en duración de las notas. Esto implica que el modelo anterior, tan simple, donde los pesos cI,cB y cS son constantes, ya no es válido. Reescribimos la ecuación como sigue para reflejar que ahora los pesos dependen de la posición del elemento de la cadena (usamos la notación de  [MS90]; d(ai,bj) se designará indistintamente por di,j ). (1) con las condiciones iniciales (2) En todas estas fórmulas se cumple que w(x,y) = w(y,x) para cualesquiera caracteres x,y. Mongeau y Sankoff se fijaron en dos parámetros a la hora de diseñar su distancia para medir la disimilitud (la distancia de edición mide precisamente eso, la disimilitud entre dos cadenas; algunos autores empero hablan de similitud). Esos parámetros son la altura y la duración de las notas. La forma general de los pesos se descompone en dos términos como sigue: donde wint(ai,bj) es el peso asociado al intervalo entre la nota ai y bj, y, análogamente, wdur(ai,bj) es el peso asociado a las duraciones de ai y bj. El parámetro k1, cuya determinación se hará más adelante, sirve para afinar el modelo. k1 representa la importancia de la contribución de la duración frente a la altura del sonido. El peso wint(ai,bj) es la diferencia entre la posición relativa de las notas ai y bj multiplicada por la menor de las duraciones de las dos notas. wdur(ai,bj) es sencillamente la diferencia en duración entre ai y bj. Los pesos de los intervalos se toman módulo la octava; esto es, el peso asociado a un par de notas a,b es el mismo que el asociado a a y a b más un múltiplo de una octava. El lector se habrá dado cuenta inmediata de que esta elección de los pesos refleja un confinamiento a la música tonal. Para medir la distancia entre dos notas los autores exigen que la pieza tenga una tonalidad establecida; de este modo, la altura de cada nota es la distancia a la tónica, y la distancia entre dos notas, la diferencia de alturas. Además, los pesos de las alturas reflejan las relaciones de consonancia entre las notas. Así, una octava y un quinta, intervalos muy consonantes, reciben poco peso; en cambio, una segunda o una séptima reciben mucho mayor peso. En cuanto a las duraciones, están codificadas en términos de una unidad mínima, que Mongeau y Sankoff toman como la semicorchea. Con el fin de asegurarse que el peso del intervalo no depende de la tonalidad o del modo de la pieza, las alturas se convierten a grados de la escala. Esto implica que ahora la distancia entre una tercera mayor y una tercera menor puede ser cero. Esto corrige el peligro de una misma pieza escrita en modo mayor no aparezca como excesivamente diferente de su correlato en modo menor. En la tabla siguiente tenemos los grados de la escala mayor y menor junto con las diferencias correspondientes en semitonos. Grados de la 1 2 3 4 5 6 7 escala mayor Grados de la 1 2 3 4 5 6 7 escala menor Semitonos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 de diferencia Tabla 1: Grados de las escala mayor y menor dentro de la escala cromática. Sin embargo, este esquema es insuficiente porque en una pieza pueden aparecer notas que no pertenecen a la escala en que se encuentra escrita. Las razones son múltiples: dominantes secundarias, cambios temporales de modo, color aplicado a través del cromatismo, alteraciones armónicas, etc. Mongeau y Sankoff implementan un esquema más fino para este caso. Llaman gr(n) al peso asociado a dos notas cuya diferencia es n grados en la escala. Cuando una de las dos notas no pertenece a la escala emplean entonces ton(m), que está dada por la relación: donde μ y δ son parámetros a determinar y donde n(m) es el grado de la escala más cercano dado por m semitonos. Por ejemplo, n(7) es 4, ya que la quinta el intervalo dado por cuatro grados de la escala consiste en 7 semitonos; n(4) = 2 para una escala mayor y n(3) = 2 para una escala menor. Otro caso que hubieron de contemplar Mongeau y Sankoff fue el de una nota que se transforma en un silencio –caso distinto de una nota que se suprime o inserta–. Los autores introducen un nuevo peso, wsil, para tratar esta situación. Cuando se da el caso de dos silencios de la misma duración, wsil toma el valor que tendría si hubiese dos notas de la misma altura. 2. Nuevas operaciones Mongeau y Sankoff, inspirándose en los estudios de reconocimiento de habla (véase [KL83]), añadieron dos operaciones más: la fragmentación y la consolidación. La primera consiste en la sustitución de varios elementos por un solo y la segunda es la operación inversa, la sustitución un único elemento por varios; en la figura 1 se ilustran estas operaciones. Con el modelo usado hasta ahora, la descomposición de una nota redonda en cuatro negras, algo muy habitual en música, sería irrazonablemente costoso. Figura 1: Las nuevas operaciones de fragmentación y consolidación. Los pesos asociados a estas dos nuevas operaciones siguen la misma lógica usada hasta ahora y, en consecuencia, se escribirán como combinaciones lineales de los pesos wint y wdur de las notas que se consolidan o fragmentan. Para la fragmentación el peso total de wint será una combinación lineal de los pesos de cada nota por la nota sustituida final. De manera análoga, se definen los pesos para consolidación. 3. El algoritmo completo Con las ampliaciones definidas en las secciones anteriores, podemos presentar la relación final para la distancia de edición: (3) donde 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m, y donde w(ai,bj-k+1,…,bj) y w(ai-k+1,…,ai,bj) son los pesos asociados con la fragmentación y la consolidación, respectivamente. Las condiciones iniciales son las que aparecen en la ecuación (2equation) más arriba. No entraremos en este artículo divulgativo en cuestiones de complejidad, pero los autores del artículo probaron que la recursión dada por la fórmula anterior se puede calcular en tiempo proporcional al producto n⋅m. En particular, se dieron cuenta que, dada la condición de minimalidad de la definición de distancia de edición, no hacía falta calcular la recursión completa para las operaciones de fragmentación y la consolidación. En este punto el lector debe estar extrañado de que no hayamos entrado todavía en la cuestión de los numerosos parámetros que quedan pendiente para que la recursión (3) se pueda calcular. Mongeau y Sankoff los calculan de modo heurístico comparando pares de piezas musicales para las que conocen aproximadamente sus valores de similitud; esto se profundizará en el último artículo de esta serie. De todos modos, los autores mismos reconocen que “los valores precisos que han calculado son muy debatibles o que podían optimizarse con respecto a un conjunto dado de datos”. Los valores que dieron para los parámetros son los siguientes: Peso y valor Intervalo gr(1) = 0 unísono gr(2) = 0,9 segunda gr(3) = 0,2 tercera gr(4) = 0,5 cuarta gr(5) = 0,1 quinta gr(6) = 0,35 sexta gr(7) = 0,8 séptima Peso y valor wsil = 0,1 μ = 2 δ = 0,6 k1 = 0,348 Peso y valor Intervalo ton(0) = 0 unísono ton(1) = 2,6 segunda menor ton(2) = 2,3 segunda mayor ton(3) = 1 tercera menor ton(4) = 1 tercera mayor ton(5) = 1,6 cuarta justa ton(6) = 1,8 cuarta aumentada ton(7) = 0,8 quinta justa ton(8) = 1,3 sexta menor ton(9) = 1,3 sexta mayor ton(10) = 2,2 séptima menor ton(11) = 2,5 séptima mayor Tabla 2: Pesos del algoritmo. 4. Conclusiones Es posible que el lector que se asome por primera vez a este tipo de aplicaciones de las matemáticas se sorprenda de cómo se eligen los parámetros del algoritmo. En muchos casos, parece que es una elección demasiado dependiente del contexto o que no hay principios suficientemente generales que guíe tal elección. En parte, este lector tendría razón. Mirado con perspectiva histórica, ese juicio severo se suavizaría. El artículo de Mongeau y Sankoff es del año 1990 y fue pionero en el estudio de la similitud musical por vía de la distancia de edición. Muchos algoritmos vinieron después que mejoraron sus ideas y que se basaron en posteriores estudios de cognición musical. Hemos escogido este artículo para presentar al lector una introducción a la similitud musical desde la computación precisamente por su carácter de artículo pionero. Normalmente, así es cómo ocurren las cosas en ciencia y tecnología. La primera solución suele ser imperfecta, ardua, poco elegante, pero siempre necesaria. Primero se lucha por resolver el problema; más tarde viene la satisfacción estética de la solución limpia y elegante.   Bibliografía [Góm13] F. Gómez. Similitud melódica como transformación de cadenas - I, consultado en noviembre de 2013. [KL83] J.B. Kruskal and M. Liberman. Time warps, string edits, and macromolecules: the theory and practice of sequence comparison, chapter The symmetric time-warping problem: from continuous to discrete, pages 125–159. Addison-Wesley, 1983. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990.
Jueves, 05 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Terminaremos aquí, por el momento, los artículos dedicados a la memorización y cálculo relámpago con un juego tremendamente efectista y sorprendentemente sencillo. Además, aprovechando estas fechas, retomaremos nuestro concurso navideño presentando un juego de cálculo relámpago cuya explicación dejaremos a nuestros lectores. La mayor parte de nosotros nunca hemos aprendido a calcular raíces cuadradas y, mucho menos, raíces cúbicas. Así como la intervención humana en los procesos naturales ha conseguido aumentar significativamente la lista de especies animales en peligro de extinción, las pocas ocasiones donde se necesitan calcular raíces en nuestro día a día y el uso y abuso de calculadoras ha convertido estas operaciones en especies matemáticas en peligro de extinción. Así pues, si la magia, en particular la magia matemática, ha sobrevivido gracias a los avances tecnológicos -"toda tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia", Arthur C. Clarke dixit-, a lo mejor también puede explotar nuestras limitaciones culturales: ¿cómo puede dejar de sorprendernos que alguien sea capaz de realizar mentalmente operaciones que nos parecen ya esotéricas, por no decir que pertenecen al mundo "friki"? Bueno, pues lo creas a no, hoy vas a aprender a extraer fácil y velozmente la raíz cúbica de cualquier número de seis cifras. Antes de empezar, memoriza la siguiente tabla de los cubos de los primeros nueve números. No te asustes, son muy pocos y la mayoría ya los conoces. Debes memorizar también la última cifra de dichos cubos y, sobre todo, su relación con el número del cual es el cubo. Número Cubo del número Última cifra del cubo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 8 7 4 5 6 3 2 9 Ya ves que el cubo de 1, 4, 5, 6 y 9 termina en la misma cifra que el propio número; los cubos del 2 y el 8, así como los del 3 y el 7, se intercambian entre sí sus últimas cifras. Prepara una calculadora (la mayoría de los móviles disponen de una) y preséntate ante tu auditorio habitual, a ser posible que no conozca lo que vas a aprender a continuación. Entrega una calculadora a tu asistente y pídele que escriba un número de dos cifras (y que lo recuerde hasta el final del juego). Pídele a continuación que multiplique dicho número por sí mismo y, nuevamente, multiplique el resultado por el número inicial. De este modo, el resultado final es precisamente el cubo del número. Afirma ahora que realizarás la raíz cúbica de forma instantánea. Una vez que tu asistente te indica cuál es el resultado obtenido, sólo tendrás que recordar dos cosas: La cifra final te indica la última cifra del número pensado. Por eso habías aprendido a identificar un número con la última cifra de su potencia cúbica. El número que resulta de eliminar las tres últimas cifras del resultado te indica la primera cifra del número pensado. Será aquella cuyo cubo esté más próximo, por debajo, a dicho número. En poco más de dos segundos podrás anunciar la raíz cúbica del número. Veamos varios ejemplos: Para calcular la raíz cúbica de 46676, debes fijarte en los números 46 (las dos primeras cifras) y 6 (la última cifra). Mirando la tabla anterior, como 27<46<64, la primera cifra es 3; al terminar en 6, la segunda cifra es 6. El resultado final es 36. Dado el número 148877, como la última cifra es 7, su raíz cúbica termina en 3; como sus primeras cifras son 148, cuyo cubo más próximo por debajo es 125, su primera cifra es 5. Su raíz cúbica es pues 53. Dado el número 592704, como termina en 4, la última cifra de su raíz cúbica es 4; al eliminar las tres últimas cifras resulta 592: como está comprendido entre 512 y 729, la primera cifra de la solución es 8. En definitiva, la raíz cúbica es 84. Ya ves que hemos hecho un poco de "trampa": no podemos calcular raíces cúbicas de cualquier número, sólo aquellas cuyo resultado es exacto. Sin embargo, en todos los casos serás capaz, al menos, de saber la primera cifra del número, la decena. Si has tenido éxito con este experimento, seguro que quieres aprender más técnicas de memorización y más trucos de cálculo mental. Este video de ScamSchool muestra en acción el método aquí descrito. Un poco más complicada, pero también sorprendente, es la técnica para calcular el cuadrado de cualquier número de tres cifras, como enseñan en el portal CareerAnna. Para profundizar en el tema, pueden interesarte algunas referencias, como las siguientes: Mathemagics: how to look like a genius without really trying, de Arthur Benjamin y Michael Shermer. Secrets of mental math, de Arthur Benjamin y Michael Shermer. The Trachtenberg speed system of basic mathematics, de Jakow Trachtenberg. The memory book: the classic guide to improving your memory at work, at school and at play, de Harry Lorayne y Jerry Lucas. Terminamos con el juego de concurso. La descripción es muy sencilla: enseñas cinco dados, un poco especiales porque llevan números de tres cifras en cada cara. En concreto, los números que llevan impresos los dados son los mostrados a continuación. Te vuelves de espaldas. Pides a un colaborador que lance los dados y nombre en voz alta los números que han salido. Tú sigues de espaldas y tomas nota mentalmente. Rápidamente anuncias la suma de los cinco números mostrados. El problema que proponemos es el de averiguar cómo puede calcular el mago dicha suma. No vale como respuesta que tiene una memoria prodigiosa y una extraordinaria capacidad de cálculo. Buscamos algún sistema matemático que sustituya ambas habilidades. Manda tu solución a pedro.alegria@ehu.es y sortearemos un libro de divulgación matemática entre los acertantes. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Martes, 03 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
La Navidad puede ser una buena fecha para descansar, cambiar la rutina, leer, ir al cine,... Sí, y también hacer lo de siempre, lo de las Navidades pasadas y futuras. Por si a alguien le cuadra, os dejamos la recomendación de un libro, un libro sobre Cine y Matemáticas, además en inglés. ¿Diferente, no? Probad. No os defraudará. Tras una breve sinopsis del mismo, charlamos con uno de sus autores y os resumimos lo que nos contó. Después como otros años, un pequeño pasatiempo, para despedir el año echando alguna cuentecilla diferente a las de las facturas pendientes. MATH GOES TO THE MOVIES Hace unos meses se publicó, esta vez en los Estados Unidos, un nuevo libro analizando los contenidos matemáticos de algunas películas, telefilmes y series de televisión (recordemos que los conocidos hasta la fecha eran un capítulo de Mathematics, Art, Technology and Cinema (Michelle Emmer, Springer, Nueva York, 2003; ver reseña nº 23), Las Matemáticas en el Cine (Alfonso Jesús Población, Granada, 2006; reseña en el enlace) y La Cuadratura del Celuloide (José Luís López, 2012; ver reseña nº 73)). Se trata de Math Goes to the Movies (Burkard Polster y Marty Ross, Johns Hopkins University Press, Septiembre 2012, 304 páginas), cuya portada podéis ver la imagen adjunta. La introducción del libro, toda una declaración de intenciones, los autores adelantan que su objetivo es por encima de todo la divulgación de las matemáticas. No pretenden ser enciclopédicos ni se han preocupado de documentar cada nueva aparición de escenas con matemáticas en el cine. En sus propias palabras, “hay tantas escenas matemáticas aburridas que es preferible ni mencionarlas”. Por tanto nos encontramos ante una selección propia y personal. Se centran más en el cine que en los productos televisivos de los que sólo aportan unas pocas referencias. Además, argumentan que ya existen trabajos amplios sobre la mayor parte de ellas (series como Numb3rs, Los Simpson o Futurama, por ejemplo; en el mercado anglosajón hay varias referencias, aunque pocas (en realidad una o dos a lo sumo) están traducidas y editadas en castellano). Por otro lado destacan que eligen los contenidos matemáticos de las películas y lo divertido de verlas sin entrar a valorar en ningún momento su calidad cinematográfica. Por tanto no es un libro ni para expertos ni para críticos de cine. Dada la gran cantidad de referencias existentes (llenarían varios volúmenes si trataran de incluir todas las escenas que tienen localizadas), uno de sus mayores problemas a resolver fue el formato con el que presentar el libro. Tras analizar pros y contras (y cambios de editorial ya que no llegaron a un acuerdo con las primeras elegidas), finalmente se decantaron por el modo “collage”: hay capítulos dedicados a un tema concreto, otros a películas enteras, los hay a aspectos afines como personajes matemáticos reales, etc. El texto final está dividido en tres apartados: I.- Películas, II.- Matemáticas, III.- Listas (de películas). Pasemos a describir sintéticamente cada una de ellas. I Parte.- Películas La primera recomendación al lector es que traten de ver las películas o las escenas de las que van a hablar antes de leer lo que se dice de ellas. Conscientes de que no todas son localizables para todos, proporcionan enlaces en Internet desde donde pueden ser vistas (nunca películas completas, sólo escenas sueltas). De hecho, en paralelo al libro, han construido un amplio apartado en su página web donde poco a poco van subiendo y comentando escenas. El libro está pensado para todo aquel que disfrute, no sólo de las matemáticas, sino también de los diálogos, a veces divertidos, a veces ingeniosos, que incluyen este tipo de películas. Una docena son las películas seleccionadas en esta primera parte (El indomable Will Hunting, Una mente maravillosa, Lecciones Inolvidables, Pi (Fe en el Caos), Donald en el país de las Matemáticas, Cube, La habitación de Fermat, Hot House, Jungla de cristal III, In the Navy, El amor tiene dos caras, Ahora me toca a mi). Como puede observarse por los títulos, diez de las doce están estrenadas y distribuidas en nuestro país, y de las otras dos sólo una (Hot House) es desconocida para nosotros (al menos para aquellos que sigan regularmente esta sección de DivulgaMAT). Se trata de un episodio concreto de una serie australiana (City Homicide) no emitida en España, en el que los autores colaboraron en la ambientación, el asesoramiento matemático, etc. Es destacable que de las doce una de ellas es española (La habitación de Fermat). A pesar de ser películas bastante comentadas y conocidas respecto a las matemáticas que contiene, uno se percata rápidamente al leer el libro que hay muchas cosas aún por descubrir ya que en muchos casos se comentan escenas que no aparecen en la versión comercializada en España, y por otro lado que los autores han podido hablar en bastantes ocasiones con los consultores y asesores matemáticos de las películas, o guionistas, directores, actores, etc., lo que nos ofrece perspectivas mejores, de primera mano, de qué pretendían plasmar y qué queda de ello. Por ejemplo, en el caso de El indomable Will Hunting, se van analizando las matemáticas que aparecen en la película a la vez que se insertan los comentarios de Patrick O´Donnell (asesor matemático del film) al respecto. Además va intercalando anécdotas (o lo que él considera como tales; ya se sabe que no siempre converge la visión de los cineastas con la de los científicos). Por ejemplo comenta cómo descubrió que ningún actor de Hollywood está capacitado para escribir nada en una pizarra. Esto le hace sentirse algo incómodo ya que al ver la película ve su letra por todas partes pero siempre es otro el que la termina. O cómo Robin Williams improvisa constantemente y cambia los diálogos a su antojo lo que provoca el lógico desconcierto entre sus compañeros. Los autores no pierden ocasión para incluir allí donde viene al caso apuntes sobre otras películas relacionadas con lo que traten en cada momento. La lectura del libro puede hacernos cambiar incluso la opinión que nos podamos haber formado sobre algunas películas o realizadores. Así por ejemplo, mientras a Gus Van Sant (director de El indomable Will Hunting) le daba prácticamente igual que las matemáticas que aparecieran fueran coherentes (simplemente quería que fueran reconocidas como matemáticas), Ron Howard (director de Una mente maravillosa) quería que aparecieran tal como son, lo más semejantes a la realidad, independientemente de que el público las entienda o no. Por ello no quería preparar escenas concretas con matemáticas, simplemente que aparezca lo que tuviera que aparecer de acuerdo a lo que se contara en cada momento. O cómo a Russell Crowe le parecía imposible que nadie pueda mantener una conversación escribiendo a la vez fórmulas y expresiones matemáticas en una pizarra. Sin embargo que nadie saque la equivocada idea de que el libro es básicamente un anecdotario de rodaje. No. Hay bastantes matemáticas (tanto elementales como de alto nivel), muy bien hiladas y sobre todo explicadas para que puedan entenderse por cualquier lector que las domine medianamente. Por supuesto, el no versado puede saltarse esos párrafos y enterarse del resto sin dificultad (no hay páginas y páginas sólo con matemáticas). Incluso en alguna ocasión (La habitación de Fermat) plantean la lectura de los enigmas de matemática recreativa como un juego que simule lo que les sucede a los protagonistas: con ayuda de un dado, el lector tiene que tratar de resolver cada cuestión en un tiempo determinado. Si lo hacen mal, o no lo hacen, les proponen lanzar el dado. Con un 6, estás muerto; en otro caso sigues adelante. II Parte.- Matemáticas. Dividido en 7 capítulos, en esta ocasión cada uno se dedica a un tema o resultado matemático, y se van describiendo diferentes aproximaciones según diferentes películas: encuentros entre un matemático y un no-matemático, Pitágoras y Fermat en el cine, la cuarta dimensión, el concepto de infinito, una miscelánea de errores torpes aparecidos en las películas (el libro está repleto de guiños humorísticos; así este capítulo lo titulan, “Errores que merecen que me devuelvan el dinero”), y finalmente una colección de películas con errores que los realizadores de las películas pusieron adrede para provocar hilaridad. Imagen: El teorema de Pitágoras explicado por la profesora Ririko Kagome en la serie de animación Rosario + Vampire (Takayuki Inagaki, Japón, 2008). III Parte.- Listas Como su propio nombre indica son listas de películas con una explicación muy breve, divididas en dos capítulos: listas de personas (matemáticos reales, mujeres matemáticas, profesores, niños prodigio, matemáticos asesinos, actores famosos que han interpretado a matemáticos y asesores matemáticos en el cine) y listas de tópicos matemáticos (contando números; títulos con matemáticas pero sin matemáticas; teorema de Pitágoras y de Fermat; Geometría; Dimensiones mayores a tres; Topología; El número áureo y números de Fibonacci; Pi; Números primos y teoría de números; Caos, fractales y sistemas dinámicos; comunicación con extraterrestres; Criptografía; Cálculo Infinitesimal; el infinito; paradojas; probabilidades, juegos y porcentajes;  fórmulas e identidades célebres; juegos matemáticos). En la imagen, escena de The Professor and his beloved equation (Takashi Koizumi, Japón, 2006) En este enlace es posible hojear algunas páginas del libro (parte de la introducción, parte del capítulo dedicado a El indomable Will Hunting, y el índice de películas). Tiempo antes de que publicaran este libro, mantuve (y mantengo) una cordial relación con sus autores a través del correo electrónico. Hemos compartido títulos (ellos de origen anglosajón, yo españoles y europeos) y nos hemos intercambiado escenas, comentarios, etc. Gracias a esta relación y a nuestra común afición, han tenido la gentileza de responder a un cuestionario sobre el libro, que se describe a continuación: Entrevista con Burkard Polster 1.- La primera pregunta es casi obligada, ¿cómo surge la idea de escribir un libro como éste? Burkard: La primera vez que ví a Marty dar una charla, utilizó un clip de la película Marte, el planeta rojo (Red Planet Mars, Harry Horner, EE. UU., 1952) en una conferencia de matemáticas para ilustrar uno de sus puntos. Aquello funcionó muy bien con el público. Yo nunca lo había visto y a partir de ese momento empecé a hablar con Marty y a colaborar con él. Una de las cosas que ambos terminamos haciendo fue buscar sistemáticamente escenas de películas para incluir en charlas y conferencias. La búsqueda y la colección de películas en las que aparecieran matemáticas se convirtió para nosotros en una obsesión. Cuando tuvimos una colección apreciable de clips de películas, empezamos a pensar en cómo ponerla en algún tipo de orden para poder compartirla con los demás. Escribir un libro fue una de las cosas que terminamos haciendo, y ponerlas en nuestras páginas web otra. 2.- ¿Cómo ha sido la repercusión del libro? ¿Se vende bien? ¿Ha tenido buena aceptación? ¿Qué tipo de público es en el que más ha calado? B.: Para ser un libro de una editorial académica, se vende bastante bien. Al menos nos hemos quedado gratamente sorprendidos por el cheque de derechos de autor que recibimos el año pasado. Todas las opiniones sobre el libro han sido además positivas. Así que, realmente, no hay nada de lo que quejarse. 3.- ¿Qué reacciones habéis observado en vuestro compañeros matemáticos? En España la mayor parte de los matemáticos, investigadores, científicos, etc. consideran este tipo de publicaciones una anécdota, una curiosidad, un entretenimiento, pero en general consideran que no aportan prácticamente nada porque para quien le gustan las matemáticas resulta elemental, y para los que no le gustan, nada va a hacer acercarse a ellas. ¿Cómo se ven este tipo de publicaciones en vuestro entorno? ¿Es igual? B.: Sí, siempre hay esas personas que consideran que proyectos como éste son una pérdida de tiempo y no son dignas de un verdadero matemático. Dicho esto, la mayoría de las personas con las que tratamos han sido un gran apoyo para éste y los demás proyectos destinados a popularizar las matemáticas. En lugares como Estados Unidos y el Reino Unido este tipo de trabajos es muy apreciado y muchos matemáticos se dedican a este tipo de trabajos. 4.- Ante todo me gustaría felicitaros por vuestro libro: es riguroso, no es una mera descripción de escenas o películas. El trabajo que tiene detrás (lo digo desde mi propia experiencia) no es poco: visionar las películas (normalmente en V.O. y doblada o subtitulada al idioma propio), pensar las matemáticas que hay, relacionar películas entre sí, escribir, buscar datos, etc. ¿cuánto tiempo os ha llevado hasta tener la redacción definitiva? B.: Muchas gracias por tus amables palabras. Hemos estado trabajando en este libro durante más de diez años. Nos pareció bastante desafiante encontrar el tipo de formato adecuado en el que encajar esta dispar colección de partes y piezas en un todo que tuviera una estructura lógica. El enfoque tipo collage por el que nos decidimos finalmente fue el que consideramos que se ajustaba a nuestros deseos (esperemos). El otro problema que acabó retrasando la finalización de la obra considerablemente fue la inclusión de imágenes de las películas. Entre otras cosas, esto nos llevó a cambiar de editores varias veces durante la redacción del libro. En la fotografía, los autores del libro, Burkard Polster (sierra en mano) y Marty Ross, previos a mostrar cómo trocear una pizza satisfactoria y calculadamente. 5.- Como matemáticos, ¿ha habido alguna película o escena que os haya causado sorpresa desde el punto de vista matemático, tanto para bien como para mal? ¿Cuál han sido vuestras preferidas y las que a vuestro juicio su aparición es decepcionante? B.: Bueno, una de las principales lecciones que aprendimos tras ver todas esas películas es lo poco que parece importar a los cineastas el hacer las cosas bien, aunque no cueste demasiado hacerlas bien. Nuestra colección de meteduras de pata es prueba de ello. Por ejemplo, la escena en El hombre sin rostro (Man without a face, Mel Gibson, EE. UU., 1993), donde el protagonista principal lía las cosas un montón hasta encontrar el centro de un círculo, es simplemente increíble. Por otro lado, estamos muy agradecidos a las personas que cometen todos estos errores --- estas meteduras de pata no tienen precio para comentar en cualquier conferencia. La primera escena de Ahora me toca a mi (It’s My Turn, Claudia Weill, EE. UU., 1980) merece destacarse por ser lo contrario de esta tendencia general de no preocuparse. Es increíble que incluyeran la demostración completa del lema de la serpiente en la película y que su puesta en escena funcione tan bien. 6.- ¿Creéis que se pueden aprender matemáticas a partir de la visualización de una película? ¿Es un medio (el cine, la televisión) aprovechable como apoyo a la docencia? B.: Por supuesto, nosotros tenemos clases enteras desarrolladas en torno a escenas críticas de películas que tienen como objetivo la enseñanza de las matemáticas reales. La mayoría de estas conferencias están orientadas a chavales de secundaria y usamos escenas de una amplia serie de películas. Sin embargo, incluso en la universidad hay un montón de ocasiones en las que se pueden usar clips para enseñar matemáticas reales. Toda las cosas de teoría de grafos / matrices en El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE. UU., 1997) son un buen ejemplo. Sin duda son muy útiles en un curso de álgebra lineal. O las diferentes encarnaciones de Flatland en un curso de matemáticas para estudiantes de Humanidades cuando se trata de visualizar dimensiones superiores. Otra de mis favoritas es el telefilme Hotel Hilbert (Caroline Ross-Pirie, Reino Unido, 1996; imagen de la derecha), para ilustrar a los estudiantes sobre la idea de infinito. 7.- El texto está salpicado de comentarios simpáticos o sarcásticos. ¿Que fin tienen (normalmente los textos matemáticos son totalmente asépticos, serios, formales)? ¿No pueden restar rigor al resultado? ¿Tiene algo que ver con el desgraciadamente extendido auge de las pseudociencias y el desconocimiento científico (más aún el matemático) en la sociedad? B.: Bien, en la sociedad los matemáticos son generalmente considerados como personas aburridas sin sentido del humor. ¿Por qué es así? ¿Acaso no disfrutamos y nos divertimos haciendo matemáticas y otras cosas igual que los demás? Parte de la razón por la que somos vistos así coloquialmente se debe a que muchos matemáticos escriben y se presentan a si mismos de un modo excesivamente formal, sin ningún sentido del humor. Para nosotros, añadir humor cuando se adapta de forma natural en un párrafo de texto contribuye al mensaje que queremos transmitir. Es algo espontáneo. Además el tipo de gracia que hemos incluido en nuestro libro no es "porque hay que ponerlo", sino que es una expresión de lo que realmente sentimos. Surge de manera natural, y nos ayuda a conectar con nuestro público. 8.- ¿Qué tal vuestra experiencia como participantes en el rodaje de la serie City Homicide? B.: Nos lo pasamos muy bien asesorando esta serie televisiva, y descubrimos que la gente con la que tratamos era inteligente y muy profesional. Es cierto que no les importaba demasiado que los detalles sobre las matemáticas fueran precisos, pero casi todo el mundo con el que tratamos estuvo interesado en lo que tenía que decir y sin duda tuvimos la certeza de que fuimos apreciados y nos tomaron en serio. (En la imagen, fotograma del capítulo Hot House (undécimo de la tercera temporada, 2009), en la que el profesor Christopher Bolingbroke (Francis Smith), uno de los dos matemáticos asesinados, aparece frente a una de las pizarras que los autores del libro diseñaron y escribieron con resultados sobre la hipótesis de Riemann). 9.- ¿Cuántas referencias habéis consignado entre películas, telefilmes y series? ¿Dais por finalizado vuestro trabajo o seguís buceando en busca de nuevos títulos? B.: Actualmente tenemos una lista de alrededor de mil títulos. Trabajamos en esta lista que nunca acaba y nos enteramos de nuevas películas casi todos los meses. Somos un tanto descuidados en cuanto a la actualización de la lista de películas, y tenemos un atraso de al menos 100 películas que añadir, y la esperanza de ponernos a ello pronto. Sin embargo, añadimos nuevos clips de películas a nuestra página cada semana. 10.- La mayor parte de las películas que habéis analizado son de origen anglosajón. ¿Habéis tenido dificultades para localizar películas de otras nacionalidades? ¿Hay menos referencias matemáticas en películas de otras nacionalidades? ¿O de menos interés? B.: No estamos seguros de si lo que parece ser un sesgo a lo inglés es un sesgo real o no. Por supuesto, la mayor parte de las películas y series de televisión que se ven en todas partes son de procedencia norteamericana. De modo que cuando se habla de estas películas / series de televisión, un montón de gente va a estar familiarizado con ellas, y será capaz de relacionar lo que se cuenta de ellas. Por otra parte, entre las principales razones por las que no incluimos más películas en otros idiomas fue que no tienen distribución donde vivimos, que no se traducen, que no hablamos el idioma, y que por estas y otras razones, simplemente no las consideramos entre nuestras películas relevantes. Desde luego estamos interesados en películas con referencias matemáticas en cualquier idioma. Una vez que sabemos de una película no nos importa el idioma en el que está. Normalmente no nos cuesta encontrar una copia. Muchas gracias por la amabilidad de colaborar con DivulgaMAT. Un afectuoso saludo desde España. Los autores Burkard Polster y Marty Ross son una pareja de referencia de las matemáticas en Australia. Escriben la columna Maths Master (desde el enlace se accede a todos sus artículos publicados; ¡¡Os los recomiendo!!) en el periódico The Age en Melbourne. Durante muchos años han organizado un ciclo de conferencias de matemáticas en el Museo de Melbourne, han visitado escuelas y recorrido el país  con su Mathematical Mystery Tour (Para los que no sepan el porqué del nombre, los Beatles hicieron célebre un álbum, del que luego hicieron una película, llamad Magical Mystery Tour, el Viaje del Misterio Mágico; este Viaje del Misterio Matemático es una alusión a aquél). Burkard y Marty siguen en la actualidad dando conferencias de matemáticas, Burkard en la Universidad de Monash y Marty en la Universidad de Melbourne. Su página de referencia es www.QEDcat.com, con contenidos muy interesantes. En http://plus.maths.org/content/ringing-changes puede leerse otro artículo suyo (está en la lista previa, la de Maths Master) en otro medio distinto. Incluso si alguien se anima (está en inglés) aquí podemos visualizar una conferencia de Burkard Polster sobre las Matemáticas y el Cine, y en este otro enlace, una de su compañero, Marty Ross, titulada Las Matemáticas del Planeta Marte. En ambas puede verse no sólo su conocimiento del tema, sino también el buen humor que destilan. Pasatiempos Navideños Para esos ratos de aburrimiento, tiempos muertos que no se sabe que hacer, reuniones familiares, nocheviejas colgadas con los mismos programas enlatados de las teles de siempre, mañanas de resaca, etc., un par de entretenimientos no demasiado complejos (nada de operaciones). Isosudoku.- Por si alguien no sabe qué es, se trata de colocar todos los números del 1 al 9 sin repetir ninguno, en todas las filas, diagonales de 9 celdas, y en todas las regiones 3 x 3 marcadas. En el resto de diagonales con menos de 9 celdas, todas deben mostrar números distintos. Arbolito Navideño.- Se trata de colocar en las bolas números del 1 al 7 de modo que todas las líneas rectas que unen las bolas (que veréis que siempre tienen 7 bolas) y todas las bolas que tengan el mismo color, tengan números distintos.  Dicho de otro modo, todas las rectas tienen que tener todos los números del 1 al 7, y cada grupo del mismo color también. A pasarlo bien.   ¡¡¡FELIZ AÑO NUEVO 2 x 19 x 53!!!
Lunes, 02 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Palabras fractales viene precedido del ensayo ¿Qué es la literatura fractal?, disponible también libremente en el blog de Pablo Paniaguai. Siguen a este ensayo una serie de relatos cortos, cuentos y narraciones, en los que algunas de las características descritas como ‘fractales’ en el ensayo introductorio se muestran: desdoblamientos, visión caleidoscópica, dinámica circular, dinámica cíclica, dinámica laberíntica, dinámica en la repetición, dinámica de mutación,  juego de espejos, dinámica concéntrica o proceso invertido. Palabras fractales consta de una primera serie de relatos cortos, que se reúnen bajo los siguientes títulos: Hacia la comprensión del universo Los tiempos del tiempo Historias sobre la existencia Historias del Ser De los horizontes Visiones invisibles Palabras en el laberinto Historias circulares Historias simuladas El juego de la vida Sobre literatura Reflejos y sonidos Reproduzco tres de ellos –con permiso del autor– que me han emocionado especialmente. En el delicioso relato Vértico –extraído de De los horizontes– se plantean las diferencias entre lo vertical y lo horizontal, y se  habla de un mundo en el que estas nociones se han intercambiado: Hay una referencia en la lejanía: para los humanos es el horizonte, pero en mi planeta aparece vertical y lo llamamos “vértico”. Allí vivimos de medio lado y crecemos a lo ancho, justo al revés que en este lugar. En mi planeta sus pobladores no roban ni se matan entre ellos, ni hacen guerras por bienes materiales ni supuestos espirituales. Me sorprende la verticalidad de la mente humana en contraste con lo horizontal de su mundo, con su orden vertical ansiando ser más que el vecino, con estratos de poder y servilismos, con imposición de clases. En mi planeta no existe nada de eso y dentro de nuestro medio vertical buscamos la horizontalidad para ser iguales. En mi planeta nos elevamos en el aire hacia el espíritu, mientras que aquí se arrastran por el suelo deseando la materia. El humano asienta los pies sobre la tierra y toma posesión del horizonte, para luego pensar en vertical. Qué raros son, qué mundo tan extraño, donde todo está justo al revés. Horizontes –extraído de De los horizontes– confronta la curva con la recta, refiriéndose a diferentes clases de horizontes: El horizonte no es, como parece, una línea recta en la distancia, es un círculo que nos rodea; de ello te das cuenta al girar sobre ti mismo en medio del océano o en la soledad del desierto; allí se deja apreciar, en él, la curvatura de la Tierra. De cualquier modo es una señal engañosa que cambia sin parar y tan diversa como el infinito, todo depende de nuestro movimiento y situación, del ángulo de la mirada, de cómo la intensidad de la luz incide sobre él. En las ciudades el horizonte se pierde entre el hormigón, hay que salir de ellas para apreciarlo; el hombre citadino no se da cuenta de esas cosas ni mira al cielo en las noches para ver las estrellas; el hombre de ahora se apartó de la naturaleza para crear un mundo fuera de ella, sin horizontes circulares que mirar. Al final de mi habitación, en su horizonte, hay un televisor encendido por donde pasan diferentes imágenes en movimiento. He de reconocer que no veo mucho la televisión, pues prefiero los horizontes de los paisajes de mi mente, tratar de escribirlos para que alguien los lea. También me adentro hacia los parajes de otros que buscan horizontes. Todos buscamos a través de la escritura nuestro propio horizonte, para saber de qué somos capaces, si es que somos capaces de algo. Un escritor sin horizontes no es un escritor, y yo lo pretendo siempre con la apuesta por delante, en este juego de la vida donde me desvivo por hacer de mi horizonte algo más que un horizonte. Multiplicidad –extraído de Palabras en el laberinto– es un asfixiante relato en el que se habla sobre la pérdida de la identidad: el protagonista es una réplica, uno de tantos individuos idénticos a él… un texto muy ‘borgiano’ –Jorge Luis Borges uno de los mayores representantes de la literatura fractal, como el propio Pablo Paniagua explica en ¿Qué es la literatura fractal?–: Estoy afuera y veo a los de adentro, pero ellos no me ven, y eso que les hago señales con los brazos para llamar su atención. Ellos giran a mi alrededor sin mirarme, pues caminan con la vista fija en el suelo mientras cuentan sus pasos. Son catorce hermanos idénticos que dan vueltas dentro de una habitación circular, o uno solo frente a trece espejos fraccionados. No lo sé; trataré de detectar cualquier movimiento distinto en ellos, pero por ahora es imposible. No puedo ver más que mis pies al caminar, cuando siento que alguien me observa desde afuera moviendo los brazos para llamar mi atención. Creo que son trece hermanos idénticos a mí. En una segunda parte de Palabras fractales, Pablo Paniagua nos regala narraciones más extensas, cuyos títulos son: Franz Kafka y dos cervezas Inquietante relación Un desconocido escritor La civilización del tiempo La momia de un nazareno Manzanas Sentimiento sublime Un ático de Toledo Visiones etéreas Pensamientos inescrutables Aquella primera vez Anécdota astral La luz de todos mis días El hecho poético Árbol cósmico Currículum Los tres primeros relatos son un homenaje a Franz Kafka –el otro gran representante de la literatura fractal citado en ¿Qué es la literatura fractal?–: Franz Kafka y dos cervezas es un divertidísimo cuento en el que la ‘fractalidad’ se presenta a través de una ocurrente dinámica de repetición; Inquietante relación es un singular relato que alude a La Metamorfosis de Kafka; Un desconocido escritor describe los problemas que encontraría un Franz Kafka del siglo XXI intentando encontrar un editor para El Proceso, La Metamorfosis o El Castillo… ¿debería optar por abrir un blog para publicar sus novelas por entregas? De entre todos los relatos de esta serie, quizás destacaría también Manzanas, un ingenioso texto en el que a través de esta delicada fruta, Pablo Paniagua comienza hablando de Newton y termina con el  logotipo de los Macintosh, nombrando también la manzana de Eva, de Guillermo Tell o de Blancanieves… Palabras fractales tiene una gran variedad de estilos en sus cuentos, divertidos u obsesivos, filosóficos o más mundanos, ¡no te dejarán indiferente!   Nota: [i] Ya reseñamos hace más de un año en este mismo portal otra novela –además también fractal– de Pablo Paniagua: La novela perdida de Borges.
Jueves, 28 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Las V Jornadas de Teatro Científico Divulgativo, Ciencia y Teatro 2013 tendrán lugar del 4 al 8 de diciembre de 2013: será en la "Sala Trajano" de Mérida (días 4 y 5) y en el Centro Cultural "Quinto Cecilio Metello" de Medellín (días 6, 7 y 8). Esta reunión es la continuación de las jornadas iniciadas en 2009: su objetivo es el de reunir a gentes procedentes del mundo de la ciencia, de la filosofía, de la dramaturgia, de la literatura, para compartir ideas y experiencias sobre la divulgación de la ciencia a través del arte. Entre los muchos espacios por compartir, actividades que disfrutar y foros en los que aprender, el extenso, intenso y atractivo programa incluye dos conferencias sobre obras de teatro comentadas en DivulgaMAT: ¿Son raras las mujeres de talento? en la que además de contar la experiencia vivida durante los meses de adaptación de la obra de Anne Rougée, se pasará un video con la grabación del estreno el pasado 8 de marzo en la UPV/EHU; El laboratorio de la obra teatral “La Entrevista”. Apuntes para un mestizaje entre literatura y ciencia, impartida por Gustavo Ariel Schwartz (Centro de Física de Materiales, Centro Mixto CSIC-UPV), uno de los autores de La Entrevista. Conferencias, lecturas dramatizadas, charlas dramatizadas, representaciones teatrales, presentación de un libro, monólogos científicos, actividades mirando al cielo (astronomía y aves),… un programa tentador para aprender ciencia y teatro, teatro y ciencia a través de algunas y algunos de sus protagonistas. Puedes inscribirte en este enlace.
Lunes, 18 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
He aquí una nueva serie de tres artículos que investigan desde un punto de vista divulgativo la relación entre la similitud melódica y la teoría de cadenas (una rama de la computación). La similitud melódica, bajo ciertas hipótesis que simplifican el complejo fenómeno que es, se puede concebir como un problema de comparación de cadenas, donde las cadenas aquí representan sucesiones de notas. En un artículo titulado Comparison of musical sequences Mongeau y Sankoff [MS90] explotaron esta idea. En esta serie glosaremos su trabajo con detalle. En el artículo de este mes discutimos el concepto de similitud melódica, por la parte musical, el concepto de comparación de cadenas, con especial énfasis en la distancia de edición, y finalmente analizamos los aspectos computacionales de dicha distancia. En el siguiente artículo veremos cómo Mongeau y Sankoff adaptaron la distancia de edición para computar la disimilitud entre dos melodías dadas. En el último artículo de la serie examinaremos los experimentos llevados a cabo por estos autores para comprobar la bondad de su medida. Esos experimentos consisten en medir la similitud melódica de las nueve variaciones sobre el tema Ah, vous dirai-je, Maman, K. 265, de Mozart y analizar los resultados obtenidos. 1. Similitud melódica Los fenómenos musicales son básicamente perceptuales y cognitivos en su naturaleza ([Deu98], página 158). Esta aseveración puede sonar a los oídos de hoy como evidente, pero la tradición racionalista del análisis musical la relegó al olvido durante mucho tiempo. De hecho, la psicología misma empezó a reconocer la música como objeto de estudio serio hace solo unas pocas décadas. Hasta entonces el análisis musical se había basado en las matemáticas (desde la tradición pitagórica al sistema de doce tonos de Schoenberg), la física (empezando con el trabajo de Helmhotz [Hel85]), y la música (análisis schenkeriano, análisis armónico, etc.), y los aspectos cognitivos de la música se habían desatendido por completo. La melodía se encuentra entre los fenómenos musicales más investigados. Los teóricos de la música han examinado miles de melodías con el fin de describir sus características estructurales, mientras que los psicólogos han ceñido su atención a la manera en que el ser humano percibe y responde a la melodía. Un teórico de la música bien puede preguntarse cuáles son los elementos constituyentes de la melodía, y su respuesta, probablemente, vendrá dada en términos de altura y relaciones de duración, tales como dirección melódica, relación interválica, altura más grave y más aguda, entre otras [Ort37]; o incluso en términos de atributos más abstractos, tales como propincuidad, repetición de tonos y finalidad [?]. En contraste con esto, un psicólogo de la música se podría preguntar, por ejemplo, cuáles son los factores psicológicos que transforman una sucesión de notas en una melodía, y esta vez, probablemente, la respuesta se presentaría en términos de leyes de percepción (Bower y Hilgard [BH81]), esquemas melódicos (Dowling and Hardwood [DH86]), o modelos de estructuración jerárquica perceptual (West et al. [WHC85], Sloboda [Slo85], Lerdahl [LJ83]). Hoy en día es inconcebible estudiar el fenómeno melódico sin examinar ambas facetas. Pero cuando se trata de procesar música o de establecer algún esquema cuantitativo o en última instancia computacional, ¿es posible incorporar el conocimiento proveniente de ambos campos? Cuando empezó el estudio computacional de la música, los modelos de entonces no permitían tener esos aspectos en consideración. Aunque hoy los pasos son más seguros en esa dirección, todavía son lentos. En este artículo vamos a estudiar un modelo computacional de similitud melódica. El modelo simplifica en buena medida la complejidad de ese fascinante fenómeno que es la melodía. A cambio obtiene una medida que permite comparar melodías bajo ciertas condiciones. Sigue, qué duda cabe, una evaluación del método para ver cuánto afectó la mencionada simplificación. La similitud melódica es un concepto fundamental, tanto desde el punto de vista teórico como desde el práctico. Es esencial en el proceso musical porque sirve como evaluación de la variación del material, del reconocimiento del estilo y del compositor, de la interpretación, del aprendizaje musical, o en la clasificación musical; véase McAdams and Matzkin [MM01]. Acicateados por el creciente número de aplicaciones de la similitud melódica (sistemas de recomendación, leyes de propiedad intelectual, búsqueda en bases de datos musicales, clasificación de estilos, atribución de obras dudosas), muchos matemáticos e informáticos han diseñado algoritmos para computar la similitud melódica basados en muy diversas técnicas: medidas geométricas, distancias de transporte, medidas de probabilidad, similitud estadística, proximidad geográfica, entre otros; para una lista exhaustiva, véase [HSF98] y las referencias allí listadas. Mongeau y Sankoff, en su artículo del año 90 [MS90], arguyen que los aspectos puramente musicales son bastante difíciles de evaluar y que están sujetos a un alto grado de subjetividad (en realidad, van más lejos y dicen arbitrariedad, que es una palabra con implicaciones más serias). Deciden centrarse en dos variables fundamentales: la altura del sonido y las duraciones (el ritmo). En su trabajo adaptan las distancias de edición clásicas (la distancia de Levenshtein) y la amplía con más operaciones. Ello les permite definir una distancia con más poder de discriminación y aplicar a la comparación de piezas musicales. 2. Distancias entre cadenas de símbolos En Informática el problema de la distancia entre cadenas es un problema que aparece en muchos contextos y que tiene muchas aplicaciones. En su versión más básica se formula como sigue: dadas dos cadenas A,B de símbolos (tomados de un alfabeto común), hallar el mínimo número de operaciones que hay que realizar para transforma A en B. Las operaciones se definen previamente y las tres más elementales son borrado, inserción y sustitución. Ese número mínimo de operaciones se toma como la distancia entre A y B. Como veremos en las aplicaciones prácticas se añaden operaciones más complejas tales como fragmentación y consolidación. Esta distancia fue descubierta por Levenshtein en el año 1965 y publicada en una revista rusa de informática. Se la conoce como distancia de Levenshtein y también como distancia de edición. A partir de ella se han definido otras muchas: distancias de Levenshtein ponderadas, distancia de Damerau-Levenshtein (que permite trasposiciones), distancias de Hamming, entre otras. Antes de definir formalmente la distancia de edición, vamos a poner un ejemplo. Las operaciones usadas serán las que mencionamos arriba: borrado, inserción y sustitución. Asignaremos un coste de 1 a cada operación. Consideremos la cadena A = TENER y B = PERDER. Una posible secuencia de operaciones para transformar A en B es la siguiente: Borrado de T: TENER => ENER. Inserción de P: ENER => PENER. Sustitución de N por R: PENER => PERER. Inserción de D: PERER => PERDER. La transformación se ha hecho en 4 operaciones. No es la mínima ya que las operaciones 1) y 2) se pueden reemplazar por una sustitución directa a coste 1 solo. En ese caso, el número de operaciones sería mínimo y la distancia valdría 3. Para definir formalmente la edición hace falta especificar un conjunto de operaciones y a cada una de ellas asignarles un coste. Una vez hecho eso, la distancia de edición es, como dijimos, el número mínimo de operaciones necesario para transformar una cadena en otra. 2.1. Algoritmo para calcular la distancia de edición En esta sección vamos a estudiar los aspectos computacionales de la distancia de edición. Su definición nos parece clara, pero ¿cómo es posible calcularla? Sean A,B dos cadenas de longitudes n y m, respectivamente, con caracteres pertenecientes a un alfabeto común. Un algoritmo clásico para resolver el problema de la distancia de edición es la programación dinámica. Esta técnica algorítmica se aplica a problemas en que la solución local es parte de la solución global, como ocurre en el caso que nos ocupa. Por comodidad en la descripción del algoritmo, designamos por A[1..i] la subcadena (a1,…,ai) de A, donde 1 ≤ i ≤ n; y análogamente con la subcadena B[1..j] de B, con 1 ≤ j ≤ m. El algoritmo calcula la distancia de A a B usando una matriz como estructura de datos, matriz que tiene dimensiones (n + 1) × (m + 1). Dicha matriz sirve para almacenar las distancias entre todas las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. En un paso genérico el algoritmo calcula la distancia d(A[1..i],B[1..j]) y para ello se apoya en las distancias de subcadenas más pequeñas, en particular, en las distancias entres subcadenas. Si cI,cB,cS son, respectivamente, los coste de la inserción, borrado y sustitución, la distancia d(A[1..i],B[1..j]) se calcula con la fórmula siguiente: Es, como se puede apreciar, una fórmula que usa los valores previos para calcular el valor actual. La solución se construye de manera local, en cada paso, y la solución global es el resultado del procesamiento de todos las subcadenas de A y B. No obstante, dado que en cada paso se usan valores de subcadenas más pequeñas, solo se procesan dos caracteres, ai y bj, en cada paso del algoritmo. Para que la sucesión de operaciones no se reduzca a las sustituciones, en las aplicaciones suele aparecer la condición cS < cI + cB. Como paso de inicialización el algoritmo necesita tener calculados las distancias de d(A[1..i],∅) y d(∅,B[1..j]), donde i = 1,…,n, j = 1,…,m y ∅ es la cadena vacía. El valor de d(A[1..i],∅) es j ⋅cB y el de d(∅,B[1..j]) es i ⋅ cI. A continuación se muestra un pseudocódigo (adaptado de [Wik13]). int LevenshteinDistance(char cad1[1..longCad1], char cad2[1..longCad2]) // d es una matriz con longCad1+1 filas y longCad2+1 columnas declare int d[0..longCad1, 0..longCad2] // i y j se usan como variables para el bucle iterativo declare int i, j, costeBorrado, costeInsercion, costeSustitucion (1) for i from 0 to longCad1 d[i, 0] := i*costeInsercion (2) for j from 0 to longCad2 d[0, j] := j*costeBorrado (3) for i from 1 to longCad1 (4) for j from 1 to longCad2 (5) if cad1[i] = cad2[j] then d[i, j]:=d[i-1, j-1] else d[i, j] := minimo( d[i-1, j] + costeBorrado, // Borrado d[i, j-1] + costeInsercion, // Inserción d[i-1, j-1] + costeSustitucion // Sustitución ) return d[longCad1, longCad2] La prueba de corrección del algoritmo se basa en un invariante que se mantiene a lo largo de todo el algoritmo: el hecho de que el elemento d(i,j) de la matriz contiene la distancia de edición de las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. No es inmediatamente evidente que d(i,j) proporciona de hecho el número mínimo de transformaciones entre dichas subcadenas; require una prueba por inducción que no damos aquí. En ciertos contextos, no solo es necesario la distancia entre las cadenas, sino también la sucesión de operaciones que transforma una en la otra. En un ejemplo desarrollado más abajo se muestra cómo conseguir esa sucesión. 2.2. Un ejemplo de la distancia de Levenshtein Tomemos para nuestro ejemplo dos inocentes cadenas, dicho en el sentido estricto de la palabra, A = y B = . En un mundo ideal, volterianamente cándido, la distancia entre ambas cadenas debería ser infinita. En el mundo que nos ocupa, y más en el de las secas cadenas de caracteres, sabemos que esa distancia es finita, dolorosamente finita. Computemos cuán finita. Nos ayudaremos del applet que ha escrito Scott Fescher [Fes13] para ilustrar el funcionamiento de la distancia de edición; las figuras de más abajo han sido generadas con ayuda de ese applet. Como pesos para las operaciones tomaremos cI = cB = cS = 1, esto es, la distancia original de Levenshtein. Obsérvese que se cumple la condición cS < cI + cB. El primer paso, como sabemos, es la inicialización. Esta consiste en calcular las distancias de la cadena vacía a las cadenas A = y B = ; véanse los bucles (1) y (2) del pseudocódigo presentado más arriba. Todas las operaciones se reducen a inserciones (en la fila) y a borrados (en la columna), como se puede apreciar en la matriz de la figura 1. Figura 1: Inicialización del algoritmo de la distancia de edición. A continuación empiezan a procesarse el primer carácter de A y todas las subcadenas B[1..j] de B para j = 1,…,10 (10 es la longitud de la ). En la figura 2 nos hemos parado en el cálculo de la distancia de las subcadenas subcadenas y . En ese momento el algoritmo tiene que rellenar el elemento (2,7) de la matriz. Primero se comprueba que la los caracteres a procesar son distintos. No es el caso aquí, pues ambos se reducen al carácter . La distancia se iguala a la del elemento (1,6), cuyo valor es 5. Figura 2: Detalle del cálculo de la distancia de las subcadenas y . En la figura 3 vemos unos cuantos casos más donde se dan la igualdad entre caracteres de las dos cadenas (aparecen rodeados con un círculo rojo). Véase el if, línea (5), en el pseudocódigo arriba. Figura 3: Casos en que los caracteres a procesar son iguales. En un paso genérico, cuando los caracteres a procesar no son iguales, el algoritmo calcula las distancias a partir de tres distancias inmediatamente anteriores. En el caso de la figura 4 se va a calcular la distancia d(6,5). Las distancias de los anteriores elementos son d(6,4) = 4,d(5,4) = 3 y d(5,5) = 3. El algoritmo especifica que la nueva distancia ha de ser el mínimo entre los números , que es 4. Figura 4: Paso genérico del algoritmo. Si continuamos todo el proceso hasta el final, la matriz que obtenemos es la de la figura 5. La distancia de edición viene dada por el elemento (9,11), el más abajo a la izquierda, rodeado por un círculo rojo. Su valor es 7. Figura 5: Matriz completa de la distancia de edición. El algoritmo se puede ampliar con un sistema de punteros de tal manera que se puede reconstruir la sucesión de operaciones que transforma una cadena en la otra. Dada una distancia d(i,j) a calcular en un paso genérico del algoritmo, si el mínimo se alcanza con la distancia d(i,j - 1) estamos ante una inserción, si se alcanza con d(i - 1,j) estamos ante un borrado y si se alcanza con d(i - 1,j - 1), ante una sustitución. A partir de la distancia final, y disponiendo de esta información, se puede recorrer la matriz desde el elemento (n + 1,m + 1) hasta el (1,1) y listar la sucesión de operaciones. En general, el camino que va del elemento que da la distancia de edición hasta el (1,1) no es único. En la figura 6 se muestra un posible camino. Los números rodeados por un círculo rojo corresponden a los momento en que los caracteres a procesar eran idénticos. Figura 6: Obtención de la sucesión de operaciones. Si I y S representan inserción y borrado, la sucesión de operaciones de la figura anterior es (S,S,S,S,S,I,I) y la sucesión de transformaciones es: 3. Conclusiones Como vemos la distancia entre político y corrupción no es mucha, siete pasos, aunque, como dijimos antes, debería ser infinita o al menos ser finita solo en el mundo de la computación. El mes que viene veremos cómo se puede aplicar la distancia de edición a la comparación de cadenas con significado musical.   Bibliografía [BH81] G. H. Bower and E. R. Hilgard. Theories of learning. Prentice-Hall, Englewwod Cliffs, NJ, 1981. [Deu98] D. Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [DH86] W. J. Dowling and D. L. Hardwood. Music cognition. Academic Press, Orlando, FL, 1986. [Fes13] S. Fescher. Edit Distance ILM. http://csilm.usu.edu/lms/nav/activity.jsp?sid=˙˙shared&cid=emready@cs5070˙projects&lid=10, consultado en octubre de 2013. [Hel85] H. Von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music. Dover, New York, 1954 (publicado originalmente en 1885). [HSF98] W. B. Hewlett and E. Selfridge-Field. Melodic Similarity: Concepts, Procedures, and Applications. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1998. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Lun67] R. W. Lundin. An objective psychology of music. Ronald Press (segunda edición), New York, 1967. [MM01] S. McAdams and D. Matzkin. Similarity, invariance and musical variation. Annals of the New York Academy of Sciences, 90:62–76, 2001. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Ort37] O. Ortmann. Interval frequency as a determinant of melodic style. Peabody Bulletin, pages 3–10, 1937. [Slo85] J. A. Sloboda. The musical mind. Clarendon Press, Oxford, 1985. [WHC85] R. West, P. Howell, and I. Cross. Modelling perceived musical structures. In Howell, Cross, and West (Eds.), Musical structure and cognition. Academic Press, Londres, 1985. [Wik13] Wikipedia. The Levenshtein distance. http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein˙distance, consultado en octubre de 2013.
Jueves, 14 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Parafraseando la conocida campaña de fomento de la lectura, traemos esta inédita película en nuestro país que plantea, entre otras cosas, este asunto. Se describen además algunos problemas de matemática recreativa que aparecen en ella, y se acaba con alguna que otra información adicional como suele ser costumbre en esta sección. BEAUTIFUL OHIO Nacionalidad: EE. UU., 2006. Director: Chad Lowe. Guión: Ethan Canin, basado en un relato propio, Batorsag and Szerelem. Fotografía: Stephen Kazmierski, en Color. Montaje: Amy E. Duddleston. Música: Craig Wedren. Producción: Mark Burton, Chad Lowe y Hilary Swank. Duración: 91 min. Intérpretes: William Hurt (Simon Messerman), Rita Wilson (Judith Messerman), Julianna Margulies (Mrs. Cubano), Michelle Trachtenberg (Sandra), Brett Davern (William), David Call (Clive), Jeremy Allen White (Clive, de joven), Hale Appleman (Elliot) Argumento: El proceso hacia la madurez de dos hermanos, Clive y William, y su difícil relación. El marco familiar y la época, los 70, forman también parte del desarrollo de la película. La mayor parte de las películas sobre jóvenes genios suelen abordar las dificultades a las que estas personas se enfrentan en su vida cotidiana (fundamentalmente incomprensión social al ser señalados como bichos raros, lo que los lleva a una difícil adaptación, y que provoca en ellos sentimientos dispares: algunos tratan de rechazar su capacidad, otros la aceptan naturalmente, y hay quienes se vuelven imbéciles del todo). La película, y el relato en el que se basa, trata de mostrar cómo se vive a la sombra de un hermano brillante (en el póster de la edición en DVD norteamericana mostrado en la imagen, aparece claramente: “Es difícil crecer a la sombra de un genio”; es el leit-motiv de la historia), situación tampoco nada cómoda, y menos aún si todo en la familia está supeditado a las altas cualidades matemáticas del hermano mayor, Clive Messerman: todos le acompañan a los certámenes matemáticos a los que se presenta, los padres aprovechan la menor ocasión para plantear cuestiones matemáticas sobre las que charlar, etc. Además Clive (¡¡¡una vez más!!! Que poca imaginación) es un tipo raro, bastante peculiar, y en determinadas situaciones, asocial. Al final un hecho conmociona a toda la familia que no desvelaremos para los que tengan oportunidad de ver la película, que no se ha estrenado en nuestro país, ni siquiera editado en DVD. Más abajo puede verse, esta vez sí, el cartel original de la película, en el que la frase promocional es diferente, “No puedes resistirte a ser quien eres”, que hace referencia precisamente al desenlace final. No obstante en este enlace podemos ver (en V.O., pero que no cunda el pánico, para eso estamos aquí) las escenas que tienen relación con las matemáticas de la película. Referencias Matemáticas en la película Empieza mostrando a ocho jóvenes sentados en círculo en el centro de un gimnasio. Están en la final del certamen matemático más importante del estado de Ohio, tratando de resolver unos problemas que les han planteado. Familiares y amigos de los concursantes están sentados en las gradas del fondo, en silencio. Dos personas controlan la prueba. Uno de ellos se levanta e informa en voz alta − Quedan treinta minutos, caballeros. La cámara nos muestra por un momento a los espectadores, centrándose en Judith Messerman, la madre de los protagonistas que parece inquieta. La acompañan William (el hermano menor, el que cuenta el relato), Elliot (el mejor amigo de Clive), Sandra (la novia de Clive) y el padre de Clive y William. Según pasea, el profesor responsable se acerca a Clive diciéndole “Mantenga la concentración”, como si se hubiera percatado de la mirada perdida del joven durante largo rato (ver imagen). Como si pudiera escucharlo, la madre trata de darle ánimos, susurrando para si misma, “Venga cariño”, mientras Elliot hojea aburrido un tebeo y William, que lee un libro, está más pendiente de lo que hace Sandra. De repente Clive parece como saliendo de un trance, y se dispone a escribir rápidamente algo. A continuación coge los folios desordenadamente, y de un modo maleducado y ciertamente desagradable, Clive se acerca al profesor que acababa de intentar animarlo. Al pasar al lado de la mesa, tira las hojas encima bruscamente. El profesor se vuelve incrédulo a mirarlo mientras sale del lugar haciendo algunos aspavientos y pegando una sonora patada a la puerta. Comienza a sonar una melodía rockera. Los acompañantes desfilan detrás del joven, sin importarles lo más mínimo el resto de los presentes. De vuelta a casa en su vehículo particular, los padres preguntan a sus hijos cómo les gustaría celebrarlo. William contesta “¿Y si no gana? Aún no han publicado los resultados”, comentario que no entra en absoluto en los planes familiares por la mirada que le echan simultáneamente tanto la madre como Elliott. Clive, como en la mayor parte de la película, parece ausente de la realidad. Tanto le desagrada el mundo que le rodea que ha inventado una jerga propia que nadie excepto Elliot entiende (a esto hace referencia el título del relato en el que se basa, Batorsag y Szerelem, dos vocablos inexistentes inventados por Clive). La forma en que William se siente, si nos acercamos al relato original, es descrita del siguiente modo: "Siempre había asumido que algo iba mal con mi hermano, que había algo en él peligroso y tal vez vergonzoso, y que mis padres y yo estábamos aliados para intentar repararlo. Pero ahora, lo primero que pensé fue que yo era al que menos querían, que Clive era distante para escapar de su cariño, y que yo estaba celoso con el fin de ganarlo". Los Messerman, Elliott y Sandra entran a comer en un restaurante. El padre (William Hurt) repasa uno de los problemas que Clive ha tenido que resolver en el concurso. Es el conocido como problema de las 12 monedas: Se trata de averiguar que moneda de un conjunto de doce, aparentemente idénticas, es diferente a las demás con sólo tres pesadas de una balanza (una balanza que no marca pesos, sólo equilibra el contenido de los platos). La complicación frente al resto de cuestiones de este tipo es que en este caso no se sabe si la que es distinta es más pesada o más ligera que las demás. La solución debe especificar no sólo que moneda es la distinta, sino también su peso relativo respecto al resto. El lector puede pensarlo (debería hacerlo) antes de leer la solución al final de esta reseña. En la película no se describe la solución. En otro momento, estando toda la familia en casa, descansando, haciendo cada uno lo que le apetece (William, por ejemplo, está ensayando al piano), la madre pregunta a Clive, que está leyendo una revista, Madre: Raíz cuadrada de 56389. Clive no responde. El padre llega a casa del trabajo, y observa lo que está haciendo cada uno, como analizando si es correcto o no. La madre insiste. Clive contesta, sin apartar la vista de la revista que lee: Clive: 237.46. Madre: Es realmente extraordinario. ¿De donde lo has sacado? Clive: De la parte de atrás del cajón de los calcetines. Madre: ¿Números Primos entre 900 y 950? Clive no responde. Continúa leyendo. El padre le quita entonces la revista, censurándole su comportamiento, y repitiendole la cuestión de los números primos. De mala gana, volviendo a coger la revista, recita: Clive: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947. Gestos de satisfacción de ambos progenitores, cada uno en una habitación distinta. En la siguiente escena que completa el enlace indicado, la Sra. Cubano, vecina de los Messerman, le pregunta a Clive qué son para él las Matemáticas. Además de mencionar aspectos como la concentración, indica que no constan más que de pasos sencillos, uno tras otro, y cada uno de ellos irrefutable. “De este modo se puede subir cada vez más alto. No se necesita nada más que esas pequeñas piedras que te permiten construir una catedral. Las matemáticas son una gran catedral dentro de la cual puedes admirar lo que otros grandes seres humanos han hecho para construirla”. Lancelot y Gawain A pesar de que su autor, el popular en Norteamérica Ethan Canin, ha adaptado su propio relato, lo que aparece en el original tiene algunas diferencias con lo que finalmente se plasma en la pantalla. Por ejemplo, ese desagradable comportamiento de toda la familia Messerman en el gimnasio donde se realiza el concurso matemático no aparece así en el relato. Clive acaba el primero, pero se queda esperando a que acabe el resto de compañeros (que por cierto son en total cuatro y no ocho) sentado en las gradas junto a su familia. Antes enseña a su padre un folio con uno de los problemas planteados, que no es el problema de las 12 monedas, sino la siguiente cuestión de teoría de juegos: Lancelot y Gawain apuestan un dólar cada uno. Escriben en un papel una cantidad a modo de oferta para llevarse ese bote. Cuando muestran las ofertas, la más alta gana el contenido de dicho bote pagando además el que haya hecho la oferta menor el importe de su oferta al otro. Si dichas ofertas fueran iguales, se reparten el bote.  ¿Cuanto apostarías, Lancelot? El relato, incluido dentro de un volumen titulado The Palace Thief: Stories, prosigue del siguiente modo: Nuestra madre sonreía. Elliott silbaba y sacudía la cabeza. Sandra se apoyaba sobre el hombro de Clive. Yo (se refiere a William) miraba el problema y traté de pensar en él por un momento, aunque ni siquiera entendía qué se preguntaba. Nuestro padre lo colocó sobre sus rodillas y dijo, “Elemental, querido Watson”. Comenzó a dibujar diagramas, cruzándolos por líneas, tamborileando con los pies y rascándose las orejas, hasta que, media hora después, la sirena sonó y el resto de participantes entregaron sus folios. Como seguramente haya entre nuestros seguidores más de un experto en teoría de juegos, dejaremos el problema propuesto en espera de que alguno nos haga llegar su solución. Simplemente, a modo de apunte cultural, indicar que Gawain es uno de los sobrinos del Rey Arturo y uno de los selectos caballeros de la Mesa Redonda de la conocida leyenda artúrica. Es el amigo en el que más confía Lancelot, y según algunas leyendas el destinado a heredar el trono de Camelot tras la muerte del Rey Arturo. La muerte accidental de los hermanos de Gawain a manos de Lancelot hizo que Gawain se transformara en el enemigo más acérrimo de su otrora gran amigo. Fue herido mortalmente por Lancelot en una pelea, el cual estuvo dos noches llorando ante la tumba de Gawain. Antes de su muerte, Gawain se arrepintió de su resentimiento hacia Lancelot y lo perdonó. Que el escritor traiga a colación estos personajes en la historia que se cuenta, como comprenderéis, no es casual. Asimismo, en lugar de la raíz cuadrada que aparece en la película, su madre queda asombrada de que Clive pueda ser capaz de multiplicar 3768 por 216 mentalmente. Las razones de estos cambios, bajo mi punto de vista, se deben, en el primer caso a proponer un problema que aunque es de cierta dificultad en su resolución matemática teórica, el espectador puede hacer pruebas e incluso resolverlo; sin embargo el de teoría de juegos, no. Por otra parte, es más espectacular calcular mentalmente raíces cuadradas que multiplicar números enteros. Buen guión, película fallida Son varios los temas de reflexión que nos propone tanto el relato original como la película, y ninguno de respuesta única ni sencilla. El autor ha tratado de mostrar con cada personaje una forma diferente (y todas creíbles) de situarse ante la vida. Simon Messerman es un vendedor de seguros que lee vorazmente y menciona continuamente citas de escritores y pensadores famosos. Su esposa Judith es también brillante, suelta citas tan a menudo como Simon, y además tiene la manía de corregir la gramática de sus interlocutores y de vivir en el mundo idealizado de sus queridos compositores (Chopin, Schumann, Mozart, etc.). Son pretendidamente progresistas, escuchan, dialogan, exponen sus puntos de vista razonadamente, pero han pensado por sus hijos que es lo mejor para cada uno. Conocen y admiran las cualidades matemáticas excepcionales de Clive y le permiten hacer lo que quiera (tocar música de rock duro, llevar el pelo largo, expresarse en un lenguaje propio, divertirse con su amigo Elliott lo que incluye hasta fumar marihuana, admitir que su novia viva en el sótano de su casa ante la negativa actitud de sus padres, etc.) con tal de que se dedique a desarrollar esa genialidad. William, siempre a la sombra de su hermano, acepta este rol para complacer a sus padres y dedicarse a la música clásica por la misma razón, pero es capaz de ver que, por mucho que lo pretendan, no son una familia normal. Los Messerman alardean de los constantes triunfos de Clive, son los perfectos anfitriones (simpáticos, atentos, intelectuales) cuando se reúnen con sus vecinos, los Cubano (Matt Servitto y Julianna Marguiles). Pero en realidad, todo es superficial, ninguno conoce a los demás. El trabajo de los actores es correcto y creíble, aunque como los propios personajes, se quedan en lo más superficial del argumento. Algunos han sido poco aprovechados o su trabajo se quedó en la sala de montaje (el de Juliana Margulies, por ejemplo). Los diálogos son brillantes en algunos momentos. Habiendo una buena historia, con buen planteamiento y unos buenos actores, ¿Qué falla entonces? Por un lado que los guiones no son chicle que se pueda estirar a voluntad. En determinados momentos se rellena el metraje de escenas insustanciales que no aportan nada, más bien distorsionan el argumento. Por otro, el tono amable y la baja tensión dramática de las tres cuartas partes de la película se rompe repentina y radicalmente en una resolución que, aunque se intuye de alguna manera si se está atento a las pistas que va dejando el director, es demasiado brusco, dejando al espectador (sobre todo al más joven, y no olvidemos, yanqui, no acostumbrado demasiado a estos giros) mal sabor de boca. No obstante para ser una película de bajo presupuesto, no está mal, es convincente. Eso sí, visto el desenlace, queda muy claro que una de las pretensiones del realizador y del guionista era provocar que el público precisara volver a ver la película, pues entonces son perfectamente explicables muchas de las acciones que iban sucediéndose y que en el primer visionado resultaban un tanto desconcertantes. Aún así, es mucho mejor el relato (como suele ser habitual) que la puesta en escena. Desde el punto de vista didáctico, estamos desgraciadamente ante un nuevo ejemplo de película en la que tener altas capacidades intelectuales sólo lleva a la infelicidad, no sólo para el poseedor de las mismas, sino para todo el entorno que lo rodea, cuando debería ser lo contrario. Una solución al problema de las 12 monedas Colocamos cuatro monedas en cada plato de la balanza. Pueden darse dos posibilidades: I.- Un lado es más pesado que el otro. Quitamos entonces tres monedas del lado más pesado, ponemos tres monedas del plato que pesaba menos al que pesaba más, y colocamos en su lugar tres monedas que no hubieran intervenido en la primera pesada (es necesario acordarse de cuáles son esas monedas). Entonces podemos encontrarnos con tres situaciones distintas: a) El lado que era más pesado en la primera pesada, sigue siéndolo. Esto significa que, o bien que la moneda que dejamos de la primera pesada es más pesada que las demás, o bien que la moneda que dejamos en el lado más ligero, es más ligera que las demás. Confrontando ambas en la tercera pesada, resolvemos el problema. b) El lado que era más pesado en la primera pesada, es ahora el más ligero. Esto quiere decir que una de las tres monedas que pasamos del lado más ligero al más pesado es la que menos pesa. Entonces cogemos dos de esas monedas, y las enfrentamos en la tercera pesada. Si un lado pesa menos entonces, la moneda que esté sobre él, será la más ligera. Si pesan lo mismo (la balanza se equilibra), la que hemos dejado fuera de las tres, es la más ligera. c) Ambos platos están equilibrados. Esto querría decir que una de las monedas que retiramos del lado que pesaba más, pesa más. Entonces en la tercera pesada, cogeríamos dos cualesquiera y las pondríamos una en cada plato. Si uno de ellos pesa más, hemos localizado la moneda más pesada, mientras que si quedan equilibrados, la más pesada será la que queda fuera. II.- Los platillos están equilibrados. En ese caso las ocho monedas son idénticas y pueden descartarse. Tomamos las cuatro restantes y colocamos tres de ellas en uno de los platos de la balanza (llamémosle A). En el otro colocamos tres de las ocho que sabemos que son idénticas. En esta ocasión pueden darse tres posibilidades: a) Las tres monedas del plato A pesan menos que las del B. En este caso, sabemos que una de esas tres monedas es la distinta y que pesa menos que las demás. Tomamos entonces dos de esas tres monedas y las enfrentamos en la tercera pesada. Si la balanza se inclina a uno de los lados, habremos detectado la moneda más ligera. Si la balanza queda equilibrada, entonces la tercera moneda es la más ligera. b) Las tres monedas del plato A son más pesadas​​. En este caso, sabemos que una de esas tres monedas es la diferente y que es más pesada. Igual que en el caso anterior, tomamos dos cualesquiera de esas tres monedas y ponemos una en cada platillo. Si la balanza se inclina hacia uno de los lados, habremos descubierto cuál es la moneda más pesada. Si hay equilibrio, es la tercera moneda la más pesada. c) La balanza está equilibrada. En este caso, la moneda diferente es la que hemos dejado aparte. Pesando ésta junto a cualquiera de las otras once descubriremos si es más pesada o más ligera. Probablemente haya quien piense en cómo se llega a esta solución. ¿Idea feliz? ¿Probando una y otra vez? No lo negaremos, pero una vez más, utilizando las matemáticas se pueden entender mejor las razones, y además generalizar a casos con un número diferente de monedas. De hecho, existen más soluciones y para todos los gustos. Una más breve, haciendo uso de una moneda “extra” que sea idéntica a las once iguales. Otras, más matemáticas, recurriendo a la base 3. En fin, el lector puede investigar si lo desea en el problema o localizar en Internet diferentes soluciones alternativas. Para los que le hayan cogido el gustillo al asunto, podemos recomendar que intente resolver el mismo problema con cualquier número de monedas, o por fijar uno concreto, con 39 monedas y sólo cuatro pesadas. ¿Se podría con 40 monedas y sólo cuatro pesadas? En general, siguiendo el esquema expuesto anteriormente, permitiendo n pesadas, se puede encontrar la moneda distinta de un total de (3n – 3)/2 monedas. Pero con otros procedimientos se puede ampliar el número de monedas. Aquí se puede consultar un estudio generalizado (más técnico, con matemáticas por supuesto) del problema. El problema de las 12 monedas está también presente en el libro With a Tangled Skein (imagen adjunta) en el que aparecen muchos más pasatiempos de lógica y problemas de matemática recreativa para resolver. Es el tercero de una serie de ocho de temática fantástica. El autor Ethan Canin es un autor de prestigio en Estados Unidos (America, America; El Emperador del Aire, The Palace Thief; Blue River; Al otro lado del mar). Es médico de profesión y trabaja también como profesor de Escritura Creativa en la Universidad de Iowa. Una de las líneas argumentales que aparece repetidamente en los argumentos de este escritor es el de desentrañar aspectos tabú que tienen lugar en gente normal y corriente, que a menudo tiene que enfrentarse a situaciones y aspectos de si mismos que preferirían ignorar. En concreto la historia que nos ocupa, analiza, bajo la mirada de uno de los miembros de una familia progresista, culta, preocupada por el futuro y la formación de sus hijos (en la película quizá de manera excesiva, llegan a resultar un tanto cargantes), las ilusiones y esperanzas de cada uno de ellos. Cada uno intenta alcanzar un nivel medio de reconocimiento en aquellas parcelas en las que destacan (matemáticas uno, música el otro). Desgraciadamente, en muchos casos (la mayoría), lo que uno planea (los padres en este caso) se viene al traste por circunstancias que nunca hubiera podido imaginar, pero que están ahí, conviviendo con nosotros. Para profundizar en su obra, esta es su página personal. El director La película es la ópera prima como realizador de Chad Lowe, actor de televisión (Urgencias, Melrose Place, 24, entre otras), hermano del también actor Rob Lowe. Chad Lowe nació en Dayton, Ohio (motivo por el que se trasladó la acción del relato original de Iowa a Ohio), hijo de una profesora (Barbara Hepler) y de un abogado (Chuck Lowe), que se divorciaron al poco de nacer Chad. Una familia por tanto de cierto nivel cultural, tal y como es la que retrata la película. Entre 1997 y 2006, Chad estuvo casado con la actriz Hilary Swank, productora de esta película, probablemente la razón por la que pudo realizarla. En el mundillo del cotilleo hollywoodense se habló mucho del “olvido” que Hilary cometió de su marido en los agradecimientos al recibir su primer Oscar en el año 2000 (por Boys Don't Cry), hecho que trató de arreglar en todas las apariciones públicas posteriores. Al ganar su segundo Oscar en 2005 (por Million Dollar Baby, en la foto), Lowe fue el primero en aparecer en sus agradecimientos. Pero la cosa duró poco: a principios de 2007, Lowe y Swank anunciaban su separación, y meses después se divorciaron. Al poco se anunció que Lowe estaba saliendo con la productora Kim Painter. En 2009 nació su primera hija (Mabel Painter Lowe), en agosto de 2010 se casaron y en noviembre de 2012 nació su segunda hija (Fiona Hepler Lowe). Después de Beautiful Ohio, su trabajo como realizador se ha centrado (igual que su trabajo como actor) en el medio televisivo habiendo dirigido algunos episodios de la series Bones y Pequeñas Mentirosas. Breves El mes pasado incluimos una amplia entrevista con Manuela Moreno y su celebrado corto Pipas. Conquistados ya algunos galardones (Mejor Dirección y Mejor Guión en la XI edición del Notodofilmfest; Premio "Reacciona" en la XV edición del Festival de Cine de Arnedo, La Rioja), este trabajo continúa su trayectoria y ha sido seleccionado en otros tres certámenes: ALCINE43 en Alcalá de Henares (8 al 15 de Noviembre de 2013), CORTOGENIA 2013 (14 de Noviembre), Festival Internacional de Huelva (16 al 23 de Noviembre) y en el Sydney Intercultural Film Festival (SIFF) de Sidney, Australia (13 al 24 de Noviembre). Enhorabuena y ¡¡Mucha suerte!!
Martes, 05 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
Lunes, 04 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Una especialidad de la magia matemática, de la que no hemos tratado con profundidad en este rincón, consiste en realizar operaciones aritméticas de forma prácticamente instantánea. De hecho, la acepción "matemagia" se ha utilizado tradicionalmente para definir ciertos experimentos numéricos con los que demostrar gran capacidad para el cálculo y rapidez mental. Han pasado más de 80 años desde la publicación, en 1930, del libro de Royal Vale Heath titulado precisamente Mathemagic. Incluso Walt Disney nos dejó en 1959 un fantástico episodio de dibujos animados con el título "Donald en el país de la Matemagia", como anticipo del método audiovisual de divulgación de las matemáticas. Lo más común en esta disciplina es ver a un mago rellenar rápidamente un cuadrado mágico con ciertas limitaciones establecidas por el público: lo más reciente en el mercado, que yo conozca, son los juegos del televisivo Luis de Matos –The magic square– y del psicólogo Richard Wiseman –The grid–, pretendiendo que el mago no necesita memorizar nada ni realizar ningún cálculo para poder hacer el cuadrado. Pero también es bastante usual observar cómo un autodenominado mentalista realiza rápidamente sumas de varios números señalados por uno o más espectadores. Recientemente, en el número de septiembre de 2013, mostramos un ejemplo de esta situación. Otra de las habilidades que sorprenden, y con razón, es la de calcular de forma casi inmediata el día de la semana correspondiente a cualquier día de cualquier mes de cualquier año, como enseñamos en el número 38 de nuestro rincón, abril de 2007. Han alcanzado gran prestigio en esta especialidad personajes como Arthur Benjamin, Alberto Coto y Jaime García Serrano. Grandes matemáticos de la historia también destacaban por su gran capacidad memorística (una interesante relación aparece en la wikipedia). Repasemos algunos episodios más o menos significativos. Es bastante popular ¿la leyenda?, ¿la anécdota?, ¿el hecho histórico? que atribuye a Gauss (1777-1855) el cálculo instantáneo de la suma de los primeros cien números a la edad de 10 años, aunque la historia contada por E.T. Bell en su excelente libro Men of Mathematics es un poco distinta. También es conocido ¿el episodio?, ¿la leyenda?, ¿la anécdota? sobre Ramanujan (1887-1920): estando ingresado en un hospital, recibe la visita de su mentor, Godfrey Hardy, quien le comenta que había llegado en un taxi con número bastante insípido, el 1729. Instantáneamente, el enfermo contesta que el número es muy interesante, ya que es el más pequeño que puede expresarse como suma de dos cubos de dos maneras diferentes: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103. La más divertida es la que se atribuye a John von Neumann (1903-1957), una vez que le plantearon el siguiente problema: dos trenes se dirigen uno hacia el otro por la misma vía, a la misma velocidad de 60 Km/h. Cuando están a dos kilómetros de distancia, una mosca empieza a volar desde el extremo delantero del primer tren hasta el del segundo; cuando llega a su destino, regresa al primer tren por el mismo camino; sigue volando desde un tren hasta el otro hasta que los trenes chocan aplastando al insecto. Si la velocidad de la mosca ha sido constante e igual a 90 Km/h, ¿cuál es la distancia total recorrida por la mosca en su vuelo? Von Neumann dio rápidamente la respuesta correcta, que era 1,5 Km. Esto hizo suponer al amigo que había descubierto el truco: la mosca había estado volando tanto tiempo como el que los trenes habían tardado en chocar, es decir un minuto; como volaba a 90 Km/h, en un minuto había recorrido 1,5 Km. Sin embargo, según von Neumann, él había tenido en cuenta los infinitos recorridos de la mosca, ida y vuelta, ida y vuelta, etc., y sumado las infinitas distancias hasta dar con el resultado final: 6/5 + 6/52 + 6/53 + ... = 3/2. Comentaremos brevemente un par de personajes históricos, menos conocidos, pero también muy representativos en esta especialidad. Giacomo Inaudi (1867-1950), hijo de un pastor de ovejas, realizaba exhibiciones públicas desde los 6 años de edad. En 1892 se presentó en la Academia de Ciencias de París, ante un tribunal formado por Darboux, Poincaré, Tisseraut, Charcot y Binet. Allí le plantearon, entre otras, las siguientes cuestiones: Hallar un número de cuatro cifras tal que la suma de sus cifras es igual a 16, la tercera cifra es el doble que la primera y la cuarta es igual a la tercera más el triple de la primera. Giacomo encontró la solución mentalmente en 1 minuto y medio. Determinar un número cuya raíz cuadrada y cuya raíz cúbica difieran en 18 unidades. Aunque lo resolvió en 1 minuto y 57 segundos, por simple inspección se obtiene que la solución es 729. Hallar tres números sabiendo que su suma es igual a 43 y la suma de sus cubos es igual a 17299. Este problema es más complejo pero Giacomo lo resolvió en un minuto. Descomponer el número 13411 en suma de cuatro cuadrados. En algo más de tres minutos, dio tres soluciones: 13411 = 1152 + 132 + 42 + 12 = 1132 + 252 + 42 + 12 = 1132 + 232 + 82 + 72. Lebesgue, que estaba presente durante la prueba, dijo que él hubiera necesitado 15 días para resolver todos los problemas que le plantearon a Giacomo Inaudi. Recientemente fallecida, Shakuntala Devi (1929-2013) fue conocida como "la computadora humana" y "la maga de las matemáticas": siendo una niña, demostró sus habilidades matemáticas en las universidades indias de Mysore y Annamalai. Su talento ha sido mencionado en el Libro Guinness de los Récords en varias ocasiones, por ejemplo cuando calculó mentalmente la raíz 23 de un número de 201 cifras y cuando calculó la raíz cúbica de 332.812.557 en cuestión de segundos. En su libro Mathability escribió que "las matemáticas te dan un propósito, un objetivo, un foco que te ayuda contra la inquietud pero también te hacen más consciente, más alerta, más agudo, porque son una fuente constante de inspiración". Si quieres conocer más historias de calculistas prodigiosos, te pueden interesar lo que han escrito Alberto Coto y José Manuel Reverte. Es buen momento para dejar las historias y pasar a la acción. Aunque no tengas esa habilidad para el cálculo mental, seguro que puedes aprender algunos trucos sencillos y sorprender a personas de tu entorno. Una combinación adecuada de puesta en escena y fundamentos matemáticos te permitirá utilizar estos trucos como estrategia didáctica en diferentes niveles educativos o, simplemente, como entretenimiento provechoso. En algunos casos es aconsejable que expliques los trucos y llegues a sentir la satisfacción de lograr que alguien a tu alrededor olvide por un momento su enfermiza dependencia a las calculadoras. La mayoría de las técnicas consisten en escribir el resultado de izquierda a derecha, contrariamente a los métodos académicos, donde las operaciones se realizan de derecha a izquierda. Algunas técnicas específicas son las siguientes: Para multiplicar rápidamente cualquier número por 25, simplemente añade dos ceros al número y divides el resultado por cuatro. ¿Que te cuesta un poco al principio? Pues divide por dos y, nuevamente, divide el resultado por dos. Para multiplicar por 11 un número cualquiera, escribe la última cifra del número, a su izquierda la suma de las dos últimas cifras, a su izquierda la suma de las dos cifras anteriores, y así sucesivamente; la primera cifra del resultado es igual a la primera cifra del número inicial. Si en algún momento, la suma de las dos cifras es mayor de nueve, escribe sólo la última cifra y suma 1 al resultado de la siguiente suma. Por ejemplo, si queremos calcular 2582308x11, escribirás de derecha a izquierda los números 8, 0+8=8, 3+0=3, 2+3=5, 8+2=10, 1+5+8=14, 1+2+5=8, de modo que el resultado final es 28405388. Cuando te hayas familiarizado con el procedimiento, trata de escribir el resultado de izquierda a derecha: la dificultad no es mucho mayor pero sí aumentará la impresión que cause tu habilidad. Para calcular el cuadrado de un número de dos cifras que termina en 5, digamos A52, escribe el número cuyas primeras cifras son el producto de A por A+1 y las dos últimas cifras son 25. Por ejemplo, para calcular 752, como 7x8=56, el resultado final es 5625. Para elevar al cuadrado un número de dos cifras, escribe de derecha a izquierda las siguientes cifras: 1) calcula el cuadrado de la última cifra y escribe la última cifra del resultado, recordando la anterior; 2) multiplica las dos cifras del número, multiplica el resultado por dos y suma la cifra que llevabas; escribe la última cifra del resultado y recuerda las anteriores para la siguiente operación; 3) eleva al cuadrado la primera cifra del número, suma el número que llevabas y escribe el resultado. Por ejemplo, para calcular 732, sigue el siguiente proceso: 1) 3x3=9; 2) 7x3x2=42; 3) 7x7+4=53. El resultado final es 5329. Otro ejemplo, si quieres calcular 482, el proceso a seguir es: 1) 8x8=64: la última cifra será un 4 y recuerdas el 6; 2) 4x8x2+6=70: la penúltima cifra es 0 y recuerdas el 7; 3) 4x4+7=23; las dos primeras cifras son 23. Así pues, 482 = 2304. Otra técnica, que requiere más práctica pero permite realizar las operaciones de izquierda a derecha, la explica con todo detalle Arthur Benjamin en su libro "Secrets of Mental Math". La idea básica consiste en recordar la fórmula (x - a)(x + a) = x2 - a2 que permite despejar x2 = (x - a)(x + a) + a2. Basta elegir el valor de "a" para que uno de los factores termine en cero. Eso simplifica significativamente el producto. Como además ese producto termina en cero, es muy sencillo después realizar la suma. Así, para calcular 732 se realiza primero el producto 76 x 70 = 70 x 70 + 6 x 70 = 4900 + 420 = 5320 y después la suma 5320 + 32 = 5329. El segundo ejemplo es más sencillo: 482 = 50 x 46 + 22 = 2300 + 4 = 2304. Si no tienes ganas/tiempo/valor para practicar estas técnicas, puedes apelar a la magia, con estos tres juegos muy efectivos, que puedes encontrar en otro clásico de la magia matemática, el libro "Math Miracles" de Wallace Lee, publicado en 1950. Busca un espectador, entrégale una calculadora y ten a mano una hoja de papel. Anuncia que puedes realizar la multiplicación relámpago del número 143 por cualquier número de tres cifras: escribe en el papel el número indicado por el espectador y, mientras él realiza la operación con la calculadora, escribe el resultado del producto. ¿Cómo? Mentalmente, duplica el número del espectador (es decir, escribe el número dos veces, una a continuación de otra) y divide el resultado por 7, lo cual es muy sencillo con el papel delante. Además, irás escribiendo las cifras de izquierda a derecha. Por ejemplo, si eligen el número 371, divide por 7 el número 371371, cuyo resultado es 53053. Explica que puedes hacerlo más difícil todavía y realizar la multiplicación relámpago del número de nueve cifras 142857143 por cualquier número de nueve cifras. No todas las calculadoras podrán hacerlo pero, una vez anotado el número elegido por el espectador, rápidamente escribirás el resultado. ¿Cómo? Exactamente de la misma manera que el juego anterior. Por ejemplo, para multiplicar 548236587 x 142857143, basta realizar la operación 548236587548236587/7 = 78319512506890941. Para finalizar la demostración de tu habilidad calculística, anuncia que eres capaz de multiplicar el número místico de 16 cifras 5882352941176470 por cualquier número comprendido entre 2 y 16. Como es un número cíclico (de hecho se trata de las cifras que forman el periodo del número 1/17), el resultado del producto tendrá las mismas cifras del número inicial, en el mismo orden, pero empezando en una cifra concreta y terminando siempre en cero. Para saber cuáles son las primeras cifras, multiplica mentalmente pero de forma aproximada el número dado por las dos primeras cifras, es decir por 58. El resultado te indicará por dónde empezar a escribir el producto. Por ejemplo, si eligen el número 7, como 7x58=406, el producto empezará por 4 y la segunda cifra será pequeña. Al recorrer el número místico, encuentras las cifras 41, lo que permite asegurar que 5882352941176470 x 7 = 41176470588235290. Otro ejemplo, un poco más difícil: si eligen el número 14, calcula 14x5=70. Como además 8x14=112, el producto debe empezar por un número mayor que 70+11. Busca el más próximo, en este caso 82, y escribe rápidamente el resultado 5882352941176470 x 14 = 82352941176470580. Para ahorrarte esa operación inicial, que puede originar algún error, una buena idea sería tener oculta, pero a tu alcance, la tabla completa de números iniciales correspondientes a los distintos factores. Esta tabla es la siguiente: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 17 23 29 35 41 47 52 58 64 70 76 82 88 94 Te dejo la satisfacción de descubrir la explicación de estos juegos. Una pista: 143 = 1001/7, 142857143 = 1000000001/7.   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Viernes, 01 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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