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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la tercera y última entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas. Hemos usado como fuente de inspiración el libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica). En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). En la segunda entrega, estudiamos a fondo el concepto de distribución de máxima regularidad. En el libro de Johnson se explica a partir de una definición enumerativa y nosotros presentamos una definición basada en el algoritmo de Euclides. En esta última entrega, vamos a aplicar todo lo anterior a la generación de escalas y acordes de máxima regularidad. Aunque recordaremos conceptos y notaciones, en este artículo se dará por sentado que el lector está familiarizado con el contenido de las dos anteriores entregas. 2. Distribuciones regulares de notas en los 12 semitonos de la octava Empezamos fijando la octava y dividiéndola en 12 semitonos. Estudiaremos las distribuciones regulares para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 notas en una octava. 2.1. Distribuciones de 3 notas Estas distribuciones corresponden a las habituales triadas en música. Aunque es obvia la distribución más regular de 3 notas sobre 12 notas, por completitud, aplicaremos el algoritmo de Euclides para hallarla (consúltese la entrega de enero en caso de duda). Como hemos hecho hasta ahora, las notas se designan por unos y los semitonos sin notas por ceros. Figura 1: Distribución regular para triadas. Esta distribución corresponde a la serie [x . . . x . . . x . . ], o escrito en notas a do-mi-sol# (si tomamos do como nota base). Estamos ante una triada aumentada, un acorde con dos terceras mayores encadenadas, que hace que la quinta esté aumentada en medio tono. En principio, este acorde no aparece de manera natural en la escala diatónica. Sin embargo, su uso en la música de la práctica común es corriente, especialmente para crear tensión o suspense musical. Bach, por ejemplo, recurre a la triada aumentada en Ach Gott, vom Himmel sieh darein, BWV 2 (¡Oh, Dios, míranos desde el cielo), así como otros compositores tales como Haydn (en su cuartetos para cuerda), Beethoven (en la novena sinfonía), Brahms, Schubert, Listz o Wagner. Durante el Romanticismo, en que la modulación por terceras se vuelve habitual, este triada se emplea como acorde paso. 2.2. Distribuciones de 4 notas Las distribuciones de 4 notas dan acordes de séptima de dominante. Figura 2: Distribuciones regulares para acordes de cuatro notas. El acorde tiene la forma [x . . x . . x . . x . . ], o traducido a notas, do-mib-fa#-sib. Este acorde recibe el nombre de acorde de séptima disminuida, y está compuesto por 4 terceras menores consecutivas. Durante buena parte del periodo de la práctica común este acorde, debido a su simetría y a la presencia de la quinta disminuida, se consideró disonante e inestable desde el punto de la estabilidad tonal. Posteriormente, este acorde se incorporó al vocabulario de la armonía moderna. Bach lo usa, por ejemplo, en su Tocata y fuga en re menor, en varios momentos, pero es llamativo en la introducción con ese acorde disminuido do#-mi-sol-sib, que escala a lo largo de dos octavas, majestuoso, premonitorio, sobre un pedal de la tónica re, y al que sigue un pasaje en prestissimo que son arpegiaciones de ese mismo acorde (minutos 0:00 a 0:48 en el vídeo de abajo). Vídeo de la Tocata y fuga en re menor BWV 565, de Bach. En la música popular o en el jazz este acorde aparecen en progresiones de acordes; por ejemplo, en la legendaria pieza I got rhythm, de los hermanos Gershwin. 2.3. Distribuciones de 5 notas En este punto abandonamos el mundo de los acordes y nos introducimos en el de las escalas. La mayoría de los acordes se forman con 3 o 4 notas; a partir de 5 notas se considera que la distribución corresponde a una escala. Las distribuciones de 5 notas dan escalas pentatónicas. Figura 3: Distribución regular para las escalas pentatónicas. La escala resultante es [x . . x . x . . x . x . ], o expresado en notas, do-mib-fa-lab-sib. Como vimos en el artículo del mes pasado, la rotación de una distribución regular de notas conserva esta propiedad. De modo que, en realidad, tenemos cinco escalas resultantes; las mostramos en la siguiente tabla: Nombre Notas Sucesión de distancias Pentatónica menor do-mib-fa-sol-sib-do (32232) Pentatónica mayor do-re-mi-sol-la-do (22323) Escala egipcia (u otras) do-re-fa-sol-sib-do (23232) Blues menor do-mib-fa-lab-sib-do (32322) Blues mayor do-re-fa-sol-la-do (23223) Tabla 1: Escalas pentatónicas obtenidas por distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 6 notas La escala de 6 notas dan una única escala, que exhibe una simetría muy aguda, la escala de tonos enteros. Como 6 es divisor de 12, la distribución regular es [x . x . x . x . x . x .],o escrita en notas do-re-mi-fa#-sol#-la#. Esta escala es peculiar porque no tiene nota sensible ni quinta justa, por lo que muchas de sus funciones armónicas han desaparecido. Compositores clásicos y de jazz han usado esta escala puntualmente para dar color orquestal o para transmitir sentimientos oscuros. Los nacionalistas rusos -Borodin y Glinka-, los impresionistas -Debussy- y las vanguardias de principio del siglo XX -Alban Berg- emplearon esta escala en sus obras. John Coltrane en el jazz recurrió a esta escala. 2.2. Distribuciones de 7 notas Una elección de 7 notas sobre los 12 semitonos de una octava da una escala heptatónica, las cuales forman la base de la música de muchas culturas. Figura 4: Distribuciones regulares de 7 notas. La escala obtenida es [x . x x . x . x x . x .]. De nuevo, tenemos que considerar todas las rotaciones de esta escala, que siguen siendo distribuciones regulares. La escala más usada, al menos en Occidente, es la escala mayor. Las rotaciones de esta escala reciben el nombre de modos. Musicalmente, cada modo tiene sus características y su sabor. Consideraremos las rotaciones a partir de la escala mayor, que se llama modo jónico. En la tabla de abajo 2 significa un tono y 1 un semitono. Nombre Notas Sucesión de distancias Modo jónico (escala mayor) do-re-mi-fa-sol-la-si-do (2212221) Modo dórico do-re-mib-fa-sol-la-sib-do (2122212) Modo frigio do-reb-mib-fa-sol-lab-sib-do (1222122) Modo lidio do-re-mi-fa#-sol-la-si-do (2221221) Modo mixolidio do-re-mi-fa-sol-la-sib-do (2212212) Modo eólico (escala menor) do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do (2122122) Modo locrio do-reb-mib-fa-solb-lab-sib-do (1221222) Tabla 2: Escalas heptatónicas obtenidas a partir de distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 8 notas La escala de 8 notas o escala octatónica aparece en la música de la práctica común a partir del Romanticismo. La escala octatónica más común es la que alterna tono y semitono o viceversa. Como una distribución regular se puede obtener como sigue: Figura 5: Distribuciones regulares de 8 notas. Esta escala tiene la expresión [x . x x . x x . x x . x] o escrita en notas do-re-re#-fa-fa#-sol#-la-si-do. Esencialmente, hay dos escalas octatónicas que son regulares: la que acabamos de escribir, que alterna tono-semitono, y esta otra [x x . x x . x x . x x .] o do-reb-mib-mi♮-solb-sol♮-la-sib-d. Esta escala se empezó a usar por la escuela rusa, aunque se encuentran precedentes en otros autores tales como Listz. Rimsky-Korsakov la empleó de modo notable en algunas de sus obras, pero es Stravinsky en su época de los ballets rusos quien explora más a fondo las posibilidades expresivas de esta escala. Tan carismático es el empleo que hace Stravinsky de la escala octatónica que un acorde basado en ella se conoce como el acorde Petrushka: Figura 6: El acorde Petrushka. En la Danza del sacrificio de la elegida de La consagración de la primavera se puede ver cómo utiliza Stravinsky esta escala (minuto 3:36 hasta final en el vídeo de abajo). Vídeo de La consagración de la primavera, de Stravinsky. Danza del sacrificio de la elegida . A partir de Stravinsky la escala se popularizó y la encontramos en autores contemporáneos -desde Bartók y Barber hasta Zappa- y, por supuesto, en el jazz. 3. El teorema de los tonos comunes De entre todos los modos anteriores, el correspondiente a la escala mayor es el más común en Occidente (y en otras culturas también). Una de las razones para esta popularidad es la facilidad de modulación (de cambio de tonalidad) que permite esa escala. Las modulaciones naturales al oído se hacen entre dos tonalidades vecinas, esto es, que comparten el mayor número de tonos entre sí. En su libro Johson observa una propiedad de la escala mayor que explica esa relación de vecindad entre las tonalidades. Tomamos prestada de su libro la figura 1.11 de la página 41, en la que muestra una escala de re mayor sobre el círculo cromático y un recuento de las distancias entre las notas de dicha escala. Figura 7: Distancias en una escala mayor. En la tabla situada al final de la figura vemos el número de veces que ocurre cada distancia c, para c=1,...,6. Llamemos a ese número n(c). Johnson advierte que cuando se cambia de tonalidad en c grados de la escala, el número de tonos en común entre la primera escala y la transpuesta es exactamente n(c). Por tanto, la tonalidad más cercana -entendiendo cercana como el máximo número de tonos en común- será la que esté a cinco grados de distancia, esto es, el quinto grado, la escala de la. En efecto, la escala de re mayor y la mayor tienen seis grados en común. La siguiente escala más cercana es la que está a distancia dos y que corresponde a n(2)=5; esto es el segundo grado, es decir, mi. Este resultado es llamado el teorema de los tonos comunes. Otra propiedad interesante que posee la escala mayor es la de ser una escala de multiplicidad única (deep scale en inglés). Eso significa que cada distancia aparece una única vez, como se puede apreciar en la tabla de la figura 6. 4. Conclusiones El libro de Johnson contiene mucho más material que el glosado tan brevemente en estos tres artículos. Es un ejemplo de cómo se puede incorporar las ciencias, en particular las matemáticas, a la enseñanza de la música. Y no estoy hablando desde una perspectiva forzada, sino desde las verdaderas conexiones que hay entre ambas disciplinas. Sin embargo, esto no será posible mientras no haya un cambio de mentalidad en los profesores de música y mientras no haya un cambio de actitud en los redactores de los planes de estudio actuales. Bibliografía [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003. Wikipedia. The common tone theorem. Accedido en febrero de 2013.
Viernes, 15 de Febrero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la segunda entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas, en la vamos a seguir con el análisis del excelente libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), libro que adopta un enfoque matemático de la enseñanza de la teoría diatónica. En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). 2. La definición de máxima regularidad La definición de distribución de regularidad máxima, aunque intuitiva, no es fácil de formalizar. Johson (página 14) empieza considerando una definición geométrica, bastante intuitiva, no del todo práctica, pero que sirve a su propósito de ilustrar cómo funcionan las distribuciones de regularidad máxima. Se trata del algoritmo del vecino más cercano (véase [Góm12] y [DGM+09]). Esta definición fue analizada en la columna anterior (véase la figura 2 de ese artículo). Al final del capítulo 1 (página 26 y siguientes) Johson presenta una definición más rigurosa si bien algo farragosa. En esta columna vamos a estudiar la definición de Johnson y luego daremos otra, más sencilla, basada en el algoritmo de Euclides. En el libro se empieza por definir dos conceptos básicos, la distancia de semitonos y las distancias de puntos; allí se llaman c distances y d distances, respectivamente. Dada una configuración de puntos sobre un diagrama circular, la distancia de semitonos entre dos puntos mide el número de saltos entre semitonos consecutivos que hay que dar para ir del punto de partida al punto final en sentido horario. La distancia de puntos, análogamente, mide la distancia entre dos puntos como el número de saltos entre puntos consecutivos que hay que recorrer para ir del punto de partida al punto final en sentido horario (las cursivas en estas definiciones no son casuales). La figura 1, extraída del libro, ilustra esta definición; la distancia de semitonos se designa por c y la de puntos por d, y nosotros seguiremos la misma notación. Figura 1: Distancias de semitonos y distancias de puntos. Obsérvese que dados dos puntos en el diagrama su distancia se mide de dos maneras distintas, con la distancia d y la distancia c, las cuales no tienen por qué coincidir. En la figura 1, si partimos de las 12 del mediodía y consideramos los dos primeros puntos tenemos d=1 y c=3. Obviamente, la distancia c entre dos puntos es mayor o igual que la distancia d. La definición de distribución de máxima regularidad de Johnson reza como sigue: Para cada par de puntos en el diagrama circular, calcúlense la distancia c y la distancia d. Considérese para cada valor de la distancia d todos los valores de las distancias c asociadas a ella. Si para toda distancia d, las correspondiente distancias están formadas por un único valor o por dos valores consecutivos, entonces la distribución es de máxima regularidad. En realidad, esta definición supone la comprobación exhaustiva de la propiedad enunciada en el punto 3). Johson construye para ello las llamadas tablas de intervalos. Vamos a ver un ejemplo sencillo para entender cómo aplicar esta definición; véase la figura 2. Hay un diagrama circular con 4 puntos, A, B, C y D. De las distancias d hay 3 posibles, que toman valores 1, 2, y 3. Para cada valor, las distancias c asociadas son, respectivamente, 3, 6 y 9. Como han dado valores únicos, la definición se verifica y esta distribución es de máxima regularidad. Figura 2: Cálculo de tablas de intervalos. Intuitivamente, se veía claramente que esta distribución era de máxima regularidad, más aún si tenemos en cuenta que el número de puntos, 4, es un divisor de 12, el número de subdivisiones del círculo. Veamos una distribución no regular. Por ejemplo, si en el diagrama anterior movemos el punto D una posición hacia arriba, habremos destruido la propiedad de máxima regularidad. Veamos cómo falla la definición. Figura 3: un ejemplo de distribución no regular. Simplemente calculando las distancias asociadas a pares de puntos adyacentes, AB, BC, CD y DA, vemos enseguida que la definición no se cumple, pues las distancias c asociadas son 2, 3, 4, que no están formadas por dos valores consecutivos (aquí hay tres valores consecutivos). La definición falla en realidad con todos los valores de la distancia d. En general, basta con que falle en un caso para que no la distribución no sea de regularidad máxima. Para acabar esta sección, tomemos un ejemplo un poco más complejo con cinco notas, como el de abajo. Figura 4: Máxima regularidad de un diagrama de 5 puntos. 3. Distribuciones euclídeas El contenido de esta sección no aparece en el libro de Johnson. La añadimos para una mejor comprensión de la propiedad de máxima regularidad. La definición que propone Johson es, como hemos visto, larga de comprobar y poco intuitiva. Nosotros vamos a dar una definición equivalente basada en el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor. Vamos a recordar al lector cómo funciona este bello algoritmo. 3.1 El algoritmo de Euclides El máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común que tengan. El máximo común divisor (mcd) siempre existe pues 1 divide a cualquier número. Por ejemplo, el mcd de 12 y 16 es 4. Típicamente, se enseña a calcular el mcd obteniendo los factores primos de los dos números. Así, por ejemplo, si queremos calcular el mcd de 1089 y 924, averiguamos su descomposición en factores primos: 1089=32 •112 y 924=2•3•7•11 A partir de esa descomposición, basta tomar los factores comunes con menor exponente; en el caso de este ejemplo 3 y 11. El mcd(1089, 924) sera, pues, igual a 3•11=33. Sin embargo, obtener el mcd calculando los factores primos es largo y tedioso. La forma elegante y rápida de calcular el máximo común divisor es usando el algoritmo de Euclides. Este matemático griego, que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo, se percató de una propiedad que permite calcular el máximo común divisor con suma rapidez. Supongamos que queremos hallar el máximo común divisor de a y b. Escribimos la ecuación de la división entera: donde q es el cociente y r es el resto. Como es bien sabido, el resto tiene la propiedad de que 0 ≤ r < b. Si d es un divisor de a y b, también lo será de b y r En efecto: Entonces, el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r. El proceso se puede repetir todas las veces que haga falta. En cada paso el resto que obtenemos es menor estrictamente que el anterior, de modo que finalmente encontraremos un resto nulo. El máximo común divisor será el último resto no nulo que encontremos en esta serie de divisiones sucesivas. Aquí tenemos el ejemplo de más arriba ahora calculado con el algoritmo de Euclides. El último resto no nulo es 33, que es el máximo común divisor que habíamos encontrado antes. 3.2 Distribuciones regulares vía el algoritmo de Euclides Para empezar, vamos a introducir una notación que nos permitirá describir distribuciones en la octava de una manera más rápida. El diagrama de la figura 4 se puede escribir como [x . x . . x . x . . x .], donde una x representa un punto en el círculo y un . una posición no ocupada por un punto. Esta notación se llama notación de caja. Empezamos, pues, por fijar un círculo -una octava- dividido en 12 partes iguales o semitonos. Si queremos distribuir 4 puntos en el círculo de la manera más regular posible, entonces basta con usar la división. Tendremos que dividir 12 por 3. y la distribución resultante sería [x . . x . . x . . x . .]. Ahora aparece una nueva propiedad. Cuando efectuamos la división de 12 por 3, obtenemos 4 grupos. Esto ha sido equivalente a asignar un punto a cada grupo de 3 semitonos y exactamente en la misma posición, en este caso, en la primera. ¿Cómo asignamos las notas a los pulsos a través de una división? El procedimiento es el siguiente: primero ponemos las notas (la parte (1)-A de la figura), que ahora y por simplicidad designaremos con unos, tantas como tengamos; segundo, rellenamos con los ceros necesarios hasta completar el número de semitonos (la parte (1)-B de la figura); tercero, efectuamos la agrupación como sabemos (paso (2) de la figura); y cuarto, leemos la distribución resultante (paso (3) de la figura). La distribución resultante se lee por columnas de arriba abajo y de izquierda a derecha. Se ve claramente cómo la división ejecutada como formación de grupos ha dado lugar a una distribución correcta de los puntos en los semitonos de la octava. Si queremos distribuir 6 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por 2: y la distribución resultante sería [x . x . x . x . x . x .] Volviendo a hacer nuestro juego de divisiones y agrupaciones, tenemos: Si queremos distribuir 8 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por... ¿cuánto? Estrictamente hablando no se puede hacer. No hay número entero x tal que  = 8. La solución está en generalizar el concepto de división de tal manera que todavía sirva a nuestros propósitos, tanto matemáticos como musicales. Esta generalización es el principio de regularidad, que es el principio en que se apoya Johnson en su libro. Lo enunciamos como sigue: Ante el enunciado de ese principio, surgen varias preguntas: ¿Qué significa “de la manera más regular posible”? ¿Cómo se obtiene esa distribución de puntos? ¿Es único? Vamos a contestar a estas preguntas con un ejemplo; más tarde daremos las definiciones formales necesarias. ¿Es la distribución [x x x x x x x x . . . . ] de máxima regularidad? Es evidente que no, que tiene todas los puntos apelotonados al principio y ninguno al final. Tendríamos que mover puntos para hacerlo más regular. Pero ¿cómo? Hay dos observaciones que nos van a ayudar y que ya habían aparecido en el libro de Johnson: En una distribución de regularidad máxima solo puede haber dos distancias. Además, esas dos distancias tienen que ser c y c + 1. Llamaremos sucesión de distancias a las distancias entre puntos consecutivos según se obtienen leyendo la distribución de izquierda a derecha; por ejemplo, la sucesión de distancias de la distribución [x . . x x . x . . . ] es (3, 1, 2, 4). Recordemos que estamos tratando con diagramas circulares y que las distribuciones se leen de manera circular. Esto significa que se cuenta la distancia entre la última nota y la primera; de ahí el 4 en la sucesión de distancias anterior. Si la condición (1) no se cumple y hay tres distancias c1,c2 y c3, con c1 < c2 < c3, se pueden cambiar las notas a distancias c1 y c3 para que sean más regular. Por ejemplo, la distribución [x x . . x . ], que tiene como sucesión de distancias consecutivas a (1, 3, 2), se puede convertir en [x . x . x .], con distancias (2, 2, 2), que es una distribución más regular. Si solo hay dos distancias, pero c1 < c2 + 1, por el argumento anterior, se puede conseguir una distribución más regular cambiando un punto. La distribución [x . x . . .], por ejemplo, tiene sucesión de distancias (2, 4), y se puede hacer más regular moviendo el segundo punto para transformarlo en [x . . x . .], con distancias (3, 3). Volviendo a la distribución que nos ocupa, [x x x x x x x x . . . . ] movemos sus puntos para intentar obtener una escala de regularidad máxima. He aquí los frutos de nuestros intentos: [ x x x x x . x . x . x .] Esta distribución cumple las dos propiedades (1) y (2) enunciadas arriba, pero no es de regularidad máxima. Esto significa que las dos propiedades de arriba son condiciones necesarias pero no suficientes para construir una distribución de regularidad máxima. Por ello, en la definición de Johnson se exige que se comprueben todos los valores de las distancias d. Si escribimos las distancias entre puntos consecutivos de esta distribución tenemos la siguiente sucesión: (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2) Es intuitivamente claro que una sucesión de distancias (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2) daría una distribución de mayor regularidad: [x x . x x . x x . x x .]. Y este es la distribución de regularidad máxima que buscábamos. En este punto se hace evidente que una distribución de regularidad máxima no es única. Podíamos haber tomado una rotación de esta distribución, por ejemplo, [. x x . x x . x x . x x]. Una curiosidad: ¿cuál es el máximo común divisor de 12 y 8? Cuatro, que es el número de veces que se repite el patrón [ . x x] en la escala anterior. Esto, por supuesto, no es un hecho fortuito. Veamos qué hay detrás. Se puede ejecutar el algoritmo de Euclides pensándolo también como la formación de grupos. Haremos divisiones sucesivas moviendo ceros y unos, como hicimos anteriormente. Cojamos como ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 8. Ponemos 8 unos seguidos de 4 ceros, como abajo. En este caso el número de columnas final es el máximo común divisor. De modo que simulando el algoritmo de Euclides con divisiones en formación de grupos, llegaremos a distribuciones regulares. Fijémonos que en los unos están distribuidos regularmente. Y por último, si queremos distribuir 7 puntos, entonces tengo que dividir 12 por... ¿cuánto? Pues tampoco se puede pero volvemos a aplicar el principio de regularidad otra vez, y la distribución resultante (salvo rotaciones) sería [ x . x . x x . x . x . x]. Si hacemos las divisiones (formaciones de grupos), tenemos: La distribución resultante, una vez leídas las columnas, es: que no es la distribución que hemos mostrado antes. La razón es que la rotación de una distribución de regularidad máxima no altera esta condición. Las distribuciones producidas con el principio de regularidad se llaman distribuciones euclídeas. El principio de regularidad se ha revelado como una generalización de la división. 4. Comprobación de la definición de máxima regularidad Llegado a este punto, vamos a comprobar cómo verificar la definición de máxima regularidad vía el algoritmo de Euclides es más corto y elegante que vía el procedimiento de Johnson. En la figura 4 teníamos el diagrama siguiente: Figura 5: Un diagrama con cinco puntos. Este diagrama escrito en notación de caja es [x . x . . x . x . . x .], cuya sucesión de distancias consecutivas es (2 3 2 3 2). Tenemos 12 posiciones (semitonos) para distribuir 5 puntos. Aplicando el algoritmo de Euclides tenemos: El resultado que obtenemos, leyendo por columnas el último bloque, es [x . . x . x . . x . x .], o escrito como sucesión de distancias consecutivas (3 2 3 2 2). Esta sucesión es una rotación de (2 3 2 3 2) y, por tanto, es de máxima regularidad. En la columna del mes que viene relacionaremos todo lo visto hasta aquí con conceptos musicales. Estudiaremos qué intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas aparecen asociados a las distribuciones de máxima regularidad. Esto dará cuenta de la segunda mitad del libro de Timothy Johnson al que estamos dedicando esta serie. Bibliografía [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Góm12] Gómez, F. Enseñanza de música vía las matemáticas - I Columna de la sección Matemáticas y música de la web Divulgamat. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 09 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En el artículo de este mes vamos a tratar el tema de la formación científica de los músicos. Aquí surgen varias preguntas, casi de modo irrefrenable: ¿No debería tener toda persona de artes o letras un mínimo de formación científica? En particular y dada las potenciales conexiones entre ciencia y arte, ¿no deberían disfrutar los músicos de esa formación? ¿No debería impartirse tal formación en los estudios reglados? ¿Por qué negar los aspectos cuantitativos de la música? Estos existen y pueden explicarse a partir de las matemáticas y la física. Después de décadas de investigación matemática sobre la música, ¿por qué no usar ese conocimiento para diseñar nuevos modos de enseñar música? Estos modos supondrían, al menos, una enseñanza más rica en conceptos y recursos. Las matemáticas y la música tienen conexiones en al menos cuatro niveles [Be00]: en el de la física del sonido, en el del lenguaje musical, en el de la estética y el metafórico. Este último nivel ha de entenderse como una conexión basada en el proceso y la analogía, ambos conceptos comunes a las matemáticas y a la música. Entonces, ¿no pueden aprovecharse esas conexiones para diseñar asignaturas que tengan un enfoque interdisciplinar? En un mundo cada día más interdisciplinar, ¿por qué empeñarse en una enseñanza profundamente reduccionista? En ciertas especialidades musicales la formación científica -dados los avances actuales- se hace imprescindible, como por ejemplo en la musicología cuantitativa (a veces incluso llamada musicología computacional) o en teorías compositivas modernas (la música de Xenakis, la música fractal, la música algorítmica, la música electrónica). ¿Por qué en nuestros conservatorios no se imparte una enseñanza que incluya algo de ciencia? ¿Por qué dejar cojos a nuestros futuros músicos, sea cual sea su especialidad, de esta importante formación? A un nivel más abstracto, las matemáticas y la música tienen como característica común un agudo sentido de lo estético. Los grandes matemáticos y los grandes músicos han hablado con arrobo de las experiencias estéticas que les ha proporcionado su actividad. ¿No se pueden intercambiar esas experiencias a través de un plan de estudios con ambiciones? Antes de que el lector proteste por el aparente sesgo de introducir las matemáticas en la música, quiero defender vehementemente la introducción de la música en la enseñanza científica. Creo que en toda carrera científica debe haber asignaturas de letras de tal modo que los alumnos que salgan de nuestras universidades sean verdaderos humanistas. En teoría, las asignaturas de libre elección estaban para eso, a imagen del modelo americano, pero se redujeron a asignaturas complementarias bien por las habituales y no por ello menos patéticas luchas de poder bien para paliar la reducción de horas en los nuevos planes de estudios. En cierto punto de la conversación con Ricardo salieron a colación varios libros que enseñan teoría de la música básica a través de las matemáticas. Dichos libros se usan en conservatorios del extranjero y, hasta lo que alcanza mi conocimiento, no se usan en España. Uno de los libros que se mencionó es Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), de Timothy Johnson [Joh03]. Creo que la virtud de este libro está en la explicación de conceptos musicales a partir de unos presupuestos matemáticos mínimos. En realidad, para comprender el libro lo que único que se requiere es predisposición a razonar y unos rudimentos de aritmética. A partir de ahí, el libro constituye una gozosa travesía por la teoría de escalas. Este artículo inaugura una serie que analizará en detalle el libro de Johnson. Para empezar, déjeme el lector mostrarle el índice del libro (mi traducción): Prefacio Para el instructor Agradecimientos La visión de las matemáticas a través del currículo educativo   Introducción ¿Tenéis preguntas? Matemáticas y música Cómo usar este libro Capítulo 1: relaciones espaciales y estructuras musicales Puzles con relaciones espaciales Estructuras musicales a partir de figuras geométricas Una definición de intervalos Resumen y ampliaciones Capítulo 2: patrones de intervalos y estructuras musicales Patrones de intervalos diatónicos Patrones de intervalos y el círculo de quintas Estructuras de otras colecciones Resumen y ampliaciones Capítulo 3: triadas y acordes de séptima y sus estructuras De la colección al acorde Triadas y acordes de séptima de máxima regularidad Variedad y multiplicidad de acordes diatónicos Resumen y ampliaciones Conclusión ¿Tenemos ahora alguna respuesta? 2. La introducción del libro La introducción del libro describe una anécdota que no me resisto a citar literalmente (mi traducción): ""¿Tenéis preguntas?" preguntó un famoso compositor y director de orquesta a un público formado por estudiantes y profesores de música en una conferencia no hace muchos años. "Sí," -respondió un pianista conocido y de mucho talento- "¿por qué están las teclas blancas y negras del piano dispuestas de esa manera?" El público se paró a pensarlo durante un par de segundos antes de que una risa sorda y nerviosa empezase a romper el tenso silencio. Tanto el compositor como el pianista parecían incapaces de llegar a una respuesta satisfactoria, pero sus caras mostraban que estaban intrigados e interesados en esa pregunta. El libro presenta material que dará respuesta a esta intrigante pregunta a través de razonamientos musicales y matemáticos. En particular, explicará la distribución de la escala diatónica en base al principio de máxima regularidad (o simplemente principio de regularidad). 3. Relaciones espaciales y estructuras musicales Johnson empieza directamente por mostrar unos diagramas consistente en un círculo dividido en 12 partes; véase la figura 1 (todas las figuras de este artículo están tomadas de su libro y modificadas apropiadamente): Figura 1: Colocación de puntos en círculos. La pregunta es sencilla: ¿cómo poner 2 puntos de manera que estén lo más alejado posible entre sí? En el círculo de más a la izquierda se ve una de las posibles soluciones. ¿Cómo se haría para 3, 4 y 5 puntos? Poner 3 o 4 puntos es fácil e intuitivo, quizás porque esos números son divisores enteros de 12, el número de puntos (véanse los círculos centrales de la figura 1). El caso de 5 es harina de otro costal, pues los puntos no se pueden poner equidistantes unos de otros. En todos los casos hay más de una solución. Por ejemplo, en el caso de 2 puntos hay 6 posibles soluciones, todas ellas equivalentes bajo rotaciones. Johnson ofrece al lector la fórmula general que reza donde c es el número de subdivisiones del círculo, d el número de puntos que queremos colocar y mcd es el máximo común divisor de dos números (el mayor divisor común). En nuestro ejemplo, tenemos c=12 y d=2; por tanto, el número de soluciones posibles para 2 puntos es 12/mcd(12, 2)=12/2=6, tal y como habíamos señalado antes. Para 5 puntos hay 12 soluciones puesto que 12 y 5 solo tienen a 1 como divisor común. El caso de 5 puntos es llamativo. En el libro se da una solución elegante, que es de hecho la base de un algoritmo (procedimiento) ya conocido (véase [DGM+09]) y que podíamos llamar el algoritmo del vecino más cercano; véase la figura 2. Figura 2: Colocación de 5 puntos en el círculo. Se parte de una asignación arbitraria de los puntos sobre el círculo (figura 2 (a)); a continuación se muven los puntos hasta que están a igual distancia entre sí (figura 2 (b)). Los puntos no han caído sobre las subdivisiones, como se aprecia en la figura. Esto se arregla moviendo cada punto a la subdivisión más cercana (figura 2 (c)), y con ello quedan colocados los puntos de la manera más regular posible. Tras esta exploración inicial, Johnson se mete en profundidades cuando pregunta al lector cómo colocar 6, 7 y 8 puntos. Todavía 6 es fácil, pues 6 divide a 12, pero no es el caso con 7 ni con 8. El caso de 7 es fascinante. Dejamos al lector que busque la solución por sí mismo. De los diagramas de la figura 3, solo el de la derecha es correcto. El primer diagrama es un intento fallido de obtener la colocación de los 7 puntos a partir de la de 6; los otros dos son también fallidos por distinas razones. Figura 3: Colocación de 7 puntos. Antes de asignar significado musical a estos diagramas, Johnson investiga qué ocurre con los diagramas complementarios. Si, por ejemplo, tomemos el círculo con 6 puntos, no importa por ahora como estén, y ahora consideramos otro círculo con los puntos colocados en el complementario de los puntos del primer círculo, este diagrama es el complementario del primero. En la figura 4 tenemos a la izquierda un círculo con 6 puntos y a la derecha su correspondiente complementario. Figura 4: Diagramas complementarios. La pregunta es entonces: si un diagrama tiene un conjunto de puntos colocados con máxima regularidad, ¿el diagrama complementario tendrá los puntos colocados regularmente también? Por la figura 4, parece que sí, y, de hecho, es cierto siempre. Pruebe el lector con el diagrama de 7 puntos de la figura 3 (d). Ahora las 12 subdivisiones se etiquetan con los nombres de las notas (dado que las figuras están tomadas de su libro, los nombres de las notas aparecen en inglés). En la figura 5 están los diagramas con máxima regularidad para un número de puntos entre 2 y 8. Figura 5: Diagramas con las notas musicales. A partir de aquí, Johnson interpreta los diagramas como sigue: Diagramas de dos puntos: intervalos. Diagramas de tres puntos: triadas. Diagramas de cuatro puntos: acordes de séptima. Diagramas de cinco a ocho puntos: escalas. Un diagrama regular de 2 puntos corresponde a un tritono, pues divide los 12 semitonos del temperamento igual en dos mitades exactamente iguales. Un diagrama regular de 3 puntos equivale a una triada aumentada. Un diagrama regular de 4 puntos corresponde a un acorde de séptima disminuida. Un diagrama regular de 5 puntos es una escala pentatónica (en la figura 5 (d), las teclas negras del piano). Un diagrama regular de 6 puntos es equivalente a una escala de tonos enteros. Un diagrama regular de 7 notas corresponde con la escala diatónica mayor. Por último, un diagrama regular de 8 notas equivale a una escala octotónica que alterna tono y semitono (figura 5 (g)). Al llegar a este punto (página 26 del libro) Johnson da una definición más rigurosa de regularidad máxima. Hasta ahora las situaciones que ha presentado se han resuelto de manera intuitiva. Sin embargo, esto será ya materia de la columna de enero. 4. Para saber más En el espectáculo Materritmo se presentan de un modo divertido varias de las ideas del libro de Johnson. En Materritmo el principio de regularidad se usa como principio de composición y análisis de ciertas piezas de percusión de música de Ghana. Vídeos (en inglés) del espectáculo se pueden ver aquí. Bibliografía [Be00] Scott Beall, Funcional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press. Emeryville, California. 2000. [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 05 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Pulsa en la imagen para ir al juego.
Lunes, 01 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
SINOPSIS Los tres personajes de Cercle Vicieux consiguen escapar de sus viñetas y se dedican a perturbar su historia y después a ‘parasitar’ las viñetas de diversos autores de tebeos. Todo esto provocará un desmoronamiento general y acabará con la caída en un agujero blanco. El profesor Fignoteau es un personaje de tebeo –el sabio loco el protagonista de Cercle Vicieux– que descubre que su universo se rige por códigos contenidos en las viñetas. Un día consigue entrar en contacto con el espacio que rodea estas viñetas, que se deforman al ejercer presión sobre ellas. Su ayudante, el Sr. Marmouset se sumerge en este mundo, entrando en un ciclo metafísico y cómico, atravesando los universos gráficos de diecinueve autores de cómic y algunas de sus obras: Ivars, Les bonheurs mélancoliques, Ed. Zébu, 1996 Joann Sfar, Pascin 3, L’Association, 2000 François Ayroles, Incertain Silence, L’Association, 2001 Nicolas de Crécy, Monsieur Fruit, Le Seuil, 1995 Julie Doucet, Ciboire de Criss, L’Association, 1996 Marc-Antoine Mathieu, Le Processus, Delcourt, 1993 David B, Les Incidents de La Nuit, L’Association, 1996 Jean-Pierre Duffour, Les 7 vies du dévoreur d’ombres, L’Association, 1998 Sardon, Mormol, L’Association, 2001 J-C. Menu, Gnognottes, L’Association, 1999 Goossens, La vie d’Einstein 2, Fluide Glacial, 1991 Lewis Trondheim, Lapinot et les carottes de Patagonie, L’Association, 1991 Thiriet, Chat mange pas de pain, Les Mal Élevés, 1999 Willem, Romances et mélodrames, Éditions du Square, 1977 Killoffer, Billet SVP, L’Association, 1995 Parrondo, Parrondo Poche, L’Association, 2000 Gébé, Il est trop intellectuel, Éditions du Square, 1972 Crumb, Sans Issue, Cornélius, 2000 Fabio, Morte Saison, Le Seuil, 1998   Étienne Lécroart consigue introducir al Sr. Marmouset en las páginas de estas otras historias –con estilos gráficos muy variados– haciéndole interaccionar con los personajes de esas otras aventuras. Por fin regresa a su mundo, con una imagen de su creador –Étienne Lécroart, el que les dibuja– conteniendo un mensaje que el Profesor Fignoteau interpreta de este modo: Parece que para modificar nuestro tiempo habría que empezar por curvar nuestro espacio. [...] ¿De qué manera obtener esta curvatura? [...] Para curvar el espacio, hay que alcanzar necesariamente el borde. No podíamos acceder. Ahora tenemos el paso. [...] Con ayuda de su delineador –la máquina que le ha permitido modificar el espacio de la viñeta– el profesor y su ayudante consiguen doblar la página en la que están dibujados, conectando el pasado con el presente y desencadenando un proceso de destrucción... las viñetas van perdiendo el color gradualmente: Las partículas elementales de nuestro universo se disocian bajo nuestros ojos. En la última viñeta ya no hay personajes, sólo se ven los diálogos de los tres personajes angustiados por su situación: han caído en un agujero blanco... Todas estas energías concentradas aquí deben resurgir forzosamente en una forma u otra. [...] Yo también, señorita Anne, es justo un poco de angustia, la angustia de la página en blanco.
Martes, 26 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Elle est mathophile! –¡Ella es ‘matéfila’!– subtitulada ‘solo en chansons sur les joies et les affres de l'apprentissage des maths’ –solo con canciones sobre las satisfacciones y las angustias en torno al aprendizaje de las matemáticas–, es la nueva propuesta de la Comédie des Ondes para hablar de matemáticas y del papel de las mujeres en la ciencia. SINOPSIS (extraída de la página de la Comédie des Ondes) La protagonista es una profesora de matemáticas. Al principio, más bien dura. Su aspecto muy femenino no es sinónimo de amateurismo: ¡no hay lugar para el error! Exigente, concienzuda, convencida de que sus estudiantes le dan mucha guerra. Se trata de una carrera de obstáculos para aquellas y aquellos que no consiguen seguir el curso: padres y madres, educadores y educadoras, ortofonistas y “psi-s” de toda índole son convocados. La protagonista acompaña a estos ‘maltratados’ por  las matemáticas, por su sentido del deber, por curiosidad y también intrigada por estos casos de alergia evidente hacia su gran pasión. Así, poco a poco, su propia relación con su ‘disciplina’ va a evolucionar. La protagonista se va a permitir conciliar las matemáticas con... ¡el humor! Pero también va a admitir el derecho a cometer errores, a caer en la subjetividad… en resumen, ¡la humanidad que ella misma posee! La obra se divide en tres partes, cada de ellas acompañada por una canción, de melodía bien conocida. 1.- ¡Las matemáticas me angustian! La obra comienza con la protagonista devolviendo a sus alumnas y alumnos los exámenes de matemáticas calificados… las notas no son muy altas. Se queja de lo complicado que resulta en algunos casos enseñar a estudiantes poco motivados y que se distraen continuamente en el aula. Anima a su alumnado para que se esfuerce, para que trabaje de manera activa en su aprendizaje. Intenta además convencer a padres y madres de que las matemáticas no son terribles, que deben estimular a sus hijas e hijos, y que el empeño en ello les acabará recompensando. En tono de humor, la profesora comenta como una gran parte de los complejos de los estudiantes hacia las matemáticas proviene sin duda de las manías de sus propios parientes. La protagonista habla también de alumnas que progresan poco a poco a base de paciencia y esfuerzos, y de otros estudiantes que se consideran incapaces de aprender. Esta parte se complementa con la canción La prof de maths veut me faire la peau –La profe de matemáticas quiere acabar conmigo– con la melodía de Like a Hobo del compositor y cantante Charlie Winston: […] La prof de maths veut me faire la peau Elle va me mettre zéro La prof de maths veut me faire la peau Elle dit j'suis un zéro […] Aunque en castellano no rima, esto es lo que dice la estrofa de la canción: […] La profe de mates quiere acabar conmigo Va a ponerme un cero La profe de mates quiere acabar conmigo Dice que soy un cero a la izquierda […] 2.- ¡Las  matemáticas me atraen! La profesora comenta como para ella tampoco es fácil enseñar. Recuerda como siempre le han atraído las matemáticas: se le daban bien en la escuela, pero en la secundaria empieza a interesarse por los chicos y se despista un poco… ¿Y si no se hubiera entretenido? ¿Quizás habría sido la primera mujer en recibir una Medalla Fields? –desde 1936, 52 varones menores de 40 años la han recibido–. La canción que acompaña esta parte es Mon coeur est pris par les maths –Mi corazón está atrapado por las mates– con la melodía de My Heart Belongs to Daddy del compositor Cole Porter: […] Les quaternions, c'est ma passion Les complexes, j'les laisse à ma grande soeur Les dérivées, c'est le méga-pied Car mon coeur est pris par les maths […] En castellano este fragmento puede traducirse por: […] Los cuaterniones son mi pasión Los complejos, se los he dejado a mi hermana mayor Las derivadas, una pasada Porque mi corazón está atrapado por las mates […] 3.- ¡Por fin entiendo las matemáticas! Tras esta canción, la protagonista comenta como, de joven, había querido dedicarse a la investigación en matemáticas, como su padre. Pero sus matemáticas favoritas eran las aplicadas, útiles a la sociedad, concretas, capaces de resolver problemas reales… Reconoce que también pensaba en aquel momento que las matemáticas puras estaban reservadas a los chicos y a sus juegos intelectuales, su competitividad, su brillantez… La profesora habla de cómo se embarcó en una tesis en este campo, con esfuerzo y pasión… acabando decepcionada a causa de un director que la valoró poco y la envío a seguir su formación en EE.UU. –recomendándola como ‘una buena chica, fuerte y eficaz, sobre la que se puede ejercer una presión conveniente’–, mientras él presentaba sus resultados en congresos… De nuevo en tono cómico imita a parientes que desean hacer pruebas médicas a sus hijos para intentar averiguar la razón de su bloqueo en matemáticas… Y llega el momento de la victoria final, con la canción J’ai enfin compris les mathématiques –Por fin he entendido las matemáticas– con la melodía de New York, New York del compositor John Kander: […] J'ai enfin compris C'est une nouvelle vie J'ai résolu une équation mathématique […] […] Por fin he entendido. Es una nueva vida He resuelto una ecuación matemática […] La obra termina con la profesora comentando a su alumnado como la gente que se dedica a las matemáticas disfruta con ellas, como realmente apasionan y enganchan, como ayudan a tener un pensamiento más claro, como ayudan a entender… Sin duda, ¡Ella es ‘matéfila’! Agradezco a Anne Rougée el haberme facilitado el libreto de la obra.
Viernes, 22 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El artículo de este mes tiene carácter indagatorio. Al contrario que otros en esta columna, no muestra una conexión entre algunos fenómenos matemáticos y musicales, o analiza la obra de un compositor a la luz de técnicas matemáticas, sino que explora cómo se puede usar el aprendizaje por indagación en la enseñanza de las matemáticas y la música. En las matemáticas hace años que se emplea bajo múltiples formas: aprendizaje por resolución de problemas, el método Moore, aprendizaje por proyectos, aprendizaje orientado al proceso, entre otros. En la música, a la luz de nuestro más leal conocimiento, parece que apenas está implantado. En el artículo de este mes describiremos en qué consiste el aprendizaje por indagación en las matemáticas y en el artículo del mes que viene trataremos cómo se podría aplicar dicho aprendizaje a la música. El aprendizaje por indagación se basa en la idea de adquirir conocimientos y destrezas a partir del planteamiento de preguntas y problemas. Este método -a la manera socrática- confronta al alumno con su propia ignorancia y le conmina a salir de ella a través de la indagación. Él construye el conocimiento y no se le da construido; se traspasa la responsabilidad de encontrar las fronteras de su conocimiento al alumno así como el compromiso de superarlas. De esta manera, el aprendizaje es más profundo e intenso, pues es el alumno quien participa activamente en su construcción. La materialización del aprendizaje por indagación -como ha demostrado la práctica pedagógica- puede ser numerosa y muy diversa. Como acabamos de decir, bajo este término se incluyen metodologías tales como el aprendizaje por resolución de problemas o el aprendizaje basado en proyectos; véase [BB08] para una taxonomía más amplia. Eick y Reed [ER02] definen el aprendizaje por indagación de la siguiente manera (mi traducción): El aprendizaje por indagación no trata sobre la memorización de hechos —trata sobre la formulación de preguntas y el hallazgo de las soluciones adecuadas a las preguntas y problemas. La indagación puede ser una responsabilidad compleja y, por tanto, requiere un diseño y una fundamentación de la clase muy especializados para facilitar que los alumnos experimenten la emoción de resolver una tarea o un problema por ellos mismos. Un entorno de aprendizaje por indagación respaldado por un diseño de la clase cuidadoso puede ayudar a los alumnos en el proceso de transformar la información y los datos en conocimiento útil. Hace algún tiempo decidí aplicar el aprendizaje por indagación en mis cursos. Había llegado a la conclusión de que mi enseñanza basada en la clase magistral ya no era efectiva en absoluto. Para ser sinceros, había llegado a la conclusión de que era una farsa. Cierto es que con los años había mejorado en dar clases magistrales. Me había aplicado a una reflexión profunda para superar mis dolorosos errores, había estudiado a los mejores oradores, había leído muchos libros de pedagogía y psicología, había aplicado técnicas de actuación a la gestión de la clase, y en la medida de mis posibilidades dentro de mi departamento, había intentado definir un temario razonable y coherente. En suma, había intentado ser profundo, creativo y eficaz al dar la clase magistral. Y, en general y dicho con humildad, creo que lo conseguí. Sacaba buenas evaluaciones en las encuestas de los alumnos, estos agradecían el buen trato (e incluso el rigor) que les dispensaba, y parecían satisfechos con mi labor docente: siempre llevaba las clases preparadas, hacía menciones a la historia de los conceptos explicados, exponía las aplicaciones de las matemáticas. Sin embargo, eso solo era un espejismo. La realidad era muy otra. El perfil de los alumnos había cambiado lenta pero inexorablemente, y no solo no supe darme cuenta, sino que tampoco había sabido adaptarme a ese cambio. No eran ya los aprendientes autónomos que éramos en mis tiempos de estudiante, ni siquiera el aprendiente de hace diez años. El perfil del alumno universitario actual, al menos en mi facultad, es el de una persona que no aprende por mero contacto con el temario expuesto oralmente, que usa la tecnología de manera natural, que, en la mayoría de los casos, carece de constancia en el estudio, y que especula incesantemente con los resultados y el esfuerzo. Los alumnos se enfrentan a la materia empujados por las fechas de entrega y de exámenes parciales que tengan en ciernes. Les podría entretener mis clases magistrales, o incluso gustar, pero casi todos estudiaban la asignatura la semana antes del examen. Se habían convertido en lo que he dado en llamar vomitadores. Muchos alumnos solo querían su aprobado y les daba igual si les enseñaban a pensar, o adquirían habilidades sociales, o cómo estaban maltratando ellos mismos sus hábitos de estudio y aprendizaje. La mayoría solo perseguía aprobar con el mínimo esfuerzo. Y yo seguía en la inopia, a pesar de las altas estadísticas de abandono, de suspensos y de repetidores. Aunque triste y revelador, era aun peor saber que las asignaturas de matemáticas solo representaban un obstáculo para la mayoría de alumnos y que la pura verdad era que ni les enseñaba a pensar nia ser creativos. Esta era la farsa a la que me refería antes. Y un día me desperté y dije ¡basta! No puedo permitirme ser ese tipo de profesor si amo la enseñanza y las matemáticas. No puedo ser ese tipo de persona. Empecé a usar otros métodos para tratar desesperadamente de romper esa inercia. Los primeros años, solo en asignaturas optativas, empleé métodos colaborativos. Aprendí mucho de la psicología de los alumnos y comprendí y corroboré muchos hechos que había leído en libros y revistas académicas. Los métodos colaborativos implican un contacto intenso con los alumnos y eso nunca me importó; es más, siempre lo busqué, pues me pareció fundamental. Al contrario que algunos de mis colegas, yo no pienso que los profesores estemos para transmitir el conocimiento desde una postura totalmente aséptica y lo más alejada posible de las emociones y los valores. Un alumno aprende más por quién es su profesor que por lo que le enseña. No fue fácil, pero en poco tiempo la actitud de los alumnos cambió radicalmente; ahora estaban implicados en su propio aprendizaje y mi pasión por la asignatura -antes percibida como un extravagante exceso- ahora era compartida. Los alumnos además apreciaban el desarrollo de las habilidades sociales y de comunicación inherentes a este tipo de métodos. Más tarde me atreví a usarlo con asignaturas troncales de primer curso, un toro muy distinto de torear a las asignaturas avanzadas de cuarto, con alumnos muy motivados. Desde entonces, he seguido como método principal una versión modificada del método Moore. Las principales modificaciones que introduje fueron dos: (1) hacer el método Moore colaborativo; (2) conceder a la escritura la importancia que posee en las matemáticas. La aplicación del método no ha sido fácil ni obvia. Antes bien, ha estado llena de dificultades: clases muy numerosas, alumnos con poca motivación, niveles muy heterogéneos, programa muy extenso, muchos alumnos ”profesionales” del examen (eufemismo para los vomitadores), entre otros. Sin embargo, los resultados han sido buenos. Los alumnos poco a poco se han comprometido con el aprendizaje, se lo han pasado bien en clase, se han sentidoseguros en el examen, e incluso la mayoría de los alumnos cuyo nivel evidenciaba que no podrían con la asignatura han seguido el curso hasta el último día. En la siguiente sección explicaré el método Moore y la versión modificada que aplico en mis clases. 2. El método Moore modificado 2.1. El método Moore original El método Moore recibe su nombre por Robert Lee Moore, un famoso matemático (topólogo), que daba clases en la Universidad de Pensilvania. Originalmente, el método estaba diseñado para alumnos avanzados de matemáticas. Como primer paso, Moore distribuía unas hojas en que aparecían los axiomas que se iban a usar en la asignatura, unos cuantos ejemplos ilustrativos y después un conjunto de resultados que probar. Cada estudiante tenía que probar por sí mismo los resultados. Moore llamaba a la pizarra a los estudiantes y estos probaban los teoremas. Se producían discusiones entre ellos, en las que Moore intervenía ocasionalmente. Su método se basaba en una sana competencia individual. Cuando habían pasado unos cuantos días, Moore ya conocía cuál era el nivel de los estudiantes y los llamaba en orden inverso a su nivel (los de menor nivel salían más frecuentemente). Desde el principio, estuvo prohibido usar cualquier fuente de información externa; solo las hojas distribuidas por Moore y el fruto de las discusiones en clase constituían el único material —tanto teórico como práctico—. Como consecuencia de este método, la comprensión del material era muy profunda, más, obviamente, que en las clases magistrales. La experiencia de aprendizaje -según los testimonios de los alumnos- era más vívida. En los vídeos siguientes aparecen profesores de universidad describiendo el método Moore. En el método Moore es absolutamente fundamental crear una atmósfera de seguridad emocional. Sin ella, el alumno tendrá miedo de salir a la pizarra, y lo que es aun peor, de cometer errores. Un matemático profesional está acostumbrado a cometer errores; es parte de su actividad. Igualmente, está acostumbrado a detectarlos, corregirlos y recuperarse de ellos. Un alumno, en principio, tiene que aprender todo esto. Moore tenía clases relativamente pequeñas, entre 8 y 15 alumnos, y era fácil crear ese buen ambiente de camaradería intelectual. Por otro lado, el método no funciona si los alumnos no respetan las reglas. Si hay alumnos que consultan las demostraciones en libros o las hacen a medias con otros, entonces la clase no funciona como debería. Moore contaba que esta situación raramente ocurría. En algunas universidades donde el método lleva años en práctica, como la Universidad de Texas, a los alumnos que copian les llegan a castigar prohibiéndoles matricularse en ningún curso con metodología Moore. Otra cuestión delicada en el método Moore es la evaluación. Claro es que la evaluación continua es la mejor opción para este método. Hay todo un continuo de posibilidades en este sentido, que abarcan desde la pura evaluación del trabajo en clase hasta la combinación de este con exámenes y proyectos. En todo caso, con el método Moore es posible evaluar el esfuerzo de los alumnos y su progresión. Para más información sobre el método Moore original, se puede consultar la página web de su legado, The legacy of R.L. Moore [Fou13]. 2.2. El método Moore colaborativo Dado la facultad en que enseño, la Escuela Universitaria de Informática (Universidad Politécnica de Madrid), con notas de corte de 5, con muchos alumnos ávidos de títulos y no de conocimiento, con alumnos poco motivados, con alumnos vomitadores profesionales, con clases grandes, sabía que no podía aplicar el método Moore en su formato original. Me di cuenta enseguida de que tenía necesariamente que centrar el aprendizaje en ellos mismos de manera expeditiva. Mis alumnos no eran los que tenía Moore, entusiastas de la materia y con sólidos hábitos de estudio. Y esto implicaba introducir el aprendizaje colaborativo. Eliminé la restricción de trabajar individualmente que Moore impuso originalmente. De hecho, ahora fomento el trabajo en grupo, aunque bajo ciertas condiciones. Las condiciones que he establecido son las siguientes (tomadas de la página de una asignatura que di el año pasado; véase [Góm13a]): En la clase no se usan libros ni otras fuentes de información, sean electrónicas o impresas. El material lo prepara el profesor y lo distribuye a los alumnos. El profesor no explica teoría ni hace problemas. La teoría se enuncia en el material que se distribuye. Los alumnos elaboran por sí mismos la teoría. Los problemas los resuelven los alumnos. Cuando se resuelve un problema un alumno sale a la pizarra a explicarlo, este problema no se da por bueno hasta que la clase entera está de acuerdo. Esto puede llegar hasta una votación formal en la clase. Todos los alumnos salen por estricta rotación. Los alumnos que tienen más dificultades salen más frecuentemente a la pizarra. Se fomenta el trabajo en grupo durante las clases. Es posible que el profesor pida a dos alumnos que trabajen juntos en cierto problema y que uno se lo explique al otro. En este sentido, este método se basa en la creencia de que no hay mejor manera de aprender algo que tener que enseñarlo. Las demostraciones y problemas se tienen que entregar al profesor. Cada alumno escribe sus propias demostraciones y soluciones. Además, como parte de una política de honestidad: Si un alumno ha recibido ayuda de otro en la discusión de un problema ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (con la ayuda de X). Si a un alumno le ha leído el trabajo otro compañero ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (leído por X). Si un alumno ha trabajado con otro ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (trabajo conjunto con X). Está prohibido dejar soluciones o demostraciones a otro compañero. Si un alumno tiene problemas con un ejercicio, queda con otro compañero que lo pueda ayudar. No le pide la solución sin más y la copia. Ningún alumno debería ni pedir la solución ni dejar que la copie. El lema esEntiende la explicación y escribe tu propia solución. El trabajo en equipo y colaborativo es esencial en esta metodología. El alumno va a recibir una carga de trabajo superior a la que es capaz de terminar con la única ayuda de su fuerza mental. Esto se hace para animar a los alumnos a que trabajen en equipo y para que acudan al profesor cuantas veces te haga falta (y con la tecnología que haga falta: Skype, correo, Twitter, etc.). De vez en cuando habrá revisión de trabajo por pares. Esto significa que se darán los ejercicios de unos alumnos a otros para que los corrijan. Esto constituye un ejercicio de crítica y responsabilidad que resultará muy interesante e instructivo. Esta metodología no funciona si no se siguen estas reglas al pie de la letra. No respetar las normas del método hace que se arruine por completo. Las copias de los ejercicios o demostraciones son siempre obvias. Uno de los puntos delicados en la implementación del método es convencer a los alumnos de que pueden hacerlo. Sé que en las dos primeras semanas de clase mi trabajo consistirá en emplearme a fondo para ello. Algunos alumnos piensan que no tienen nivel para afrontar este reto, otros sencillamente ignoran las reglas del método y actúan por libre, especialmente lo referente a la colaboración. En el artículo [Góm13a] se recogen más detalles de la aplicación del método, así como ventajas e inconvenientes para alumnos y profesores. 2.3. La escritura en las matemáticas Me preocupaba sobremanera la patente y creciente falta de recursos de comunicación de nuestros alumnos. En el caso de las matemáticas, y en particular en mi entorno académico, había llegado a límites insoportables. Los alumnos se habían acostumbrado a escribir una ristra de símbolos, sin apenas frases en castellano, o bien escritas como un telegrama, como sustituto de una respuesta bien estructurada, concisa y que demuestra la requerida claridad de pensamiento. Me daba cuenta de que ese era un problema que tenía que atacar, ya independientemente del método Moore. Investigué la bibliografía y descubrí que hacía al menos cuatro o cinco décadas ya había profesores que habían enseñado matemáticas basadas en la escritura. Aquí por escritura entiendo toda una plétora de posibilidades: pruebas formales, escritura libre, redacciones autobiográficas, diarios, periódicos, páginas web, resolución de problemas, poesía visual, informes, entre otros. Para el lector interesado recomiendo [Ste90], [MR98] y la compilación de recursos hecha por Michael Kinyon [Kin13]. Mis alumnos han sido extraordinariamente reacios a la idea de la escritura. Hasta entonces les habían dado todos los puntos por escupir código interno en los exámenes, esto es, les daban buenos puntos por una respuesta inconexa, escrita para ellos mismos, pespunteada con retazos de su confuso pensamiento, fruto de la habitual regurgitación del material. ¿Por qué iba a ser diferente a partir de ahora si desde el instituto tal cosa les fue permitida? No obstante, he sido estricto y en las entregas doy cinco puntos por las matemáticas y cinco puntos por la escritura. He escrito un documento en que les explico con detalle cómo redactar correctamente matemáticas, desde el punto de vista formal y desde el punto de vista lingüístico; véase [Góm13b]. He aquí un extracto de ese documento donde se argumenta por qué la escritura puede ser un buen método de enseñanza de las matemáticas. Una buena escritura es un reflejo de un pensamiento claro. Un pensamiento deficiente nunca podrá producir una buena escritura. Demasiado frecuentemente, cometemos el error de confundir familiaridad con conocimiento. Lo que nos escriben nuestros alumnos en los exámenes es en la mayor parte de los casos una muestra de su familiaridad con el tema, probablemente adquirida a toda prisa los días previos al examen. Conocer o entender algo es muy distinto a reconocerlo. La escritura, por la carga de reflexión que lleva, permite ese asentamiento, esa vivencia del conocimiento. He aquí unas cuantas ventajas de la escritura como método de enseñanza: Escribir matemáticas hace las clases más activas. El alumno tiene que escribir en las clases y mostrar su escritura al resto de la clase, quien hará los comentarios pertinentes para mejorarla. Escribir matemáticas enfrenta a los alumnos a su propio conocimiento. Escribir una demostración correctamente implica un alto nivel de revisión que fuerza a que se aprenda el material con más profundidad. Escribir siempre fomenta la creatividad, y ello es cierto también en el caso de la escritura matemática. Escribir matemáticas hará mejores lectores a los alumnos. Tendrán que practicar la lectura comprensiva más a fondo. La entrega de ejercicios escritos al profesor proporciona a este una valiosísima oportunidad de comprobar la comprensión de la materia y reaccionar en consecuencia (bien repitiendo explicaciones, poniendo ejercicios complementarios, dando material adicional a alumnos concretos, etc.). La escritura matemática, sobre todo si se combina con métodos colaborativos, da lugar a discusiones muy fructíferas entre los alumnos. Sin embargo, la principal razón para que los alumnos escriban, y lo hagan con rigor y calidad, reside en los valores de las matemáticas. Los principales valores asociados a las matemáticas son la capacidad para ensanchar y agudizar los mecanismos de aprendizaje, el sentido del conocimiento y el genio del pensamiento profundo. Enseñar matemáticas a los alumnos a través de la escritura está en clara consonancia con esos valores. Estos valores, por supuesto, no son privativos de las matemáticas; están presentes también en otras áreas del saber. A pesar de este documento y mis advertencias, las primeras entregas estaban pésimamente escritas. Cuando han visto que les restaba una buena cantidad de la nota final de las entregas, han empezado a tomarlo más en serio. El nivel de escritura de la clase subió y ello se reflejó en las exposiciones en la pizarra. En ocasiones mandaba hacer una demostración a algún alumno en concreto y le daba una transparencia de acetato. Escribía la demostración sobre el acetato y a continuación la poníamos en el proyector y la clase discutía y criticaba la demostración. En la bibliografía se pueden encontrar libros extraordinarios sobre cómo utilizar la escritura en el aula. Timothy Sipka en [Ste90] (páginas 11 y siguientes) sugiere varios, entre ellos, las redacciones. No parece un recurso de resultados deslumbrantes, pero es solo la apariencia. Periódicamente, les proponía temas a los alumnos, que iban desde su relación con las matemáticas, su opinión sobre el método Moore, la ansiedad matemática o incluso tema libre. La información que recababa de estas redacciones era valiosísima. Me daban una visión de los alumnos más personal, me permitía conocer sus preocupaciones e intereses, o sus relaciones con las matemáticas en el pasado y cómo afectaban a la clase en curso. 2.4. El método completo Como he dicho, el método completo se basa en dos pilares: la versión colaborativa del método Moore y el énfasis en la escritura. Faltaría decir que también uso la idea de las pruebas conceptuales del método; véanse Mazur [Maz97] y [Maz13]. Estas pruebas conceptuales se presentan en la pantalla y los alumnos, individualmente, las piensan, normalmente durante uno o dos minutos. Al cabo de ese tiempo, votan la respuesta correcta con un mando especial (llamado educlick). Si la mayoría de los alumnos aciertan la respuesta correcta, se pasa a la siguiente; si no es así, el profesor invita a los alumnos a que discutan, ahora entre sí, cuál es la respuesta verdadera. Al cabo de unos cinco o diez minutos se vuelve a realizar la votación. Si sale la respuesta correcta por amplia mayoría, se pasa a la siguiente prueba conceptual; si no es así, un alumno desarrolla brevemente el concepto. Este sistema agiliza mucho la clase y permite programar repasos con gran efectividad. Como ejemplo real de la aplicación del método, a continuación tenemos el principio de la hoja 2 de sucesiones; en la hoja 1 se estudia la definición de sucesión. En esta hoja se trata la definición de límite de una sucesión. Esta hoja se reparte al principio de la clase. Se empieza con un trabajo intuitivo sobre el concepto de sucesión. Quiero ver qué saben exactamente sobre el límite de una sucesión, pero dentro de un contexto relajado. Leen la definición 15 y a continuación, en el ejercicio 16 (segundo recuadro), escriben libremente, incluso con dibujos y gráficos, sobre su idea de límite de una sucesión. Este ejercicio de escritura dura unos 10 minutos. Me lo entregan y continuamos la clase con la definición formal. Abajo tenemos un extracto de la hoja 3, que versa sobre convergencia y orden. Como se puede ver, no hay explicaciones entre los teoremas. Se las dan ellos en la pizarra fruto de las discusiones pertinentes. Los resultados no son meros ejercicios de aplicación directa, sino que se les pide que den demostraciones ɛ - n0 como vendrían escritas en cualquier libro de texto. Toda la retórica asociada a una clase magistral se eliminado radicalmente en favor de las discusiones entre los alumnos. He presenciado discusiones realmente fructíferas y en varias ocasiones los alumnos han venido con demostraciones muy creativas, de inesperada profundidad. Tal cosa nunca habría ocurrido con las clases magistrales. 3. Conclusiones El día que dije ¡basta! fue también el día en que me decidí no dar nunca más clase vía una lección magistral. Hay muy buenos profesores que dan clase magistral y, cuando nuestros alumnos eran aprendientes activos, ese era un buen método. Ya no lo es más en la inmensa mayoría de los casos. Nuestros alumnos son otros y, como profesores, hay que enfrentarse a la nueva realidad que tenemos. Me uno al lamento de un matemático de Paul Lockhart [Loc13]: “Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos!” (página 13). De eso se trata, de hacer matemáticas en el aula, como las hago en mi grupo de investigación: discutiendo, trayendo información, equivocándome, volviendo a la carga, estando sobre un problema durante días, poniendo eufórico por una idea feliz, escribiendo (y reescribiendo y reescribiendo, y revisando y revisando), y contándoles a mis colegas mis ideas y yo escuchando las suyas. Por último, quería añadir que desde que usó este tipo de métodos el disfrute es mucho mayor que lo fue antes. Estoy deseando ir a clase; es más, el día que tengo clase estoy contento, en una especie de estado de excitación. ¿Qué pasará hoy?, ¿cómo puedo iluminarlos?, ¿qué me van a enseñar a mí hoy?, ¿habrán asimilado el material bien?, ¿con qué nos vamos a reír? (sí, en este tipo de clases nos reímos; en otro artículo hablaré sobre el papel del humor en la enseñanza). El cambio fue, sin duda, para mejor. Bibliografía [BB08] H. Banchi and R. Bell. The Many Levels of Inquiry. The Learning Centre of the NSTA, 2008. [ER02] C.J. Eick and C.J. Reed. What Makes an Inquiry Oriented Science Teacher? The Influence of Learning Histories on Student Teacher Role Identity and Practice. Science Teacher Education, 86:401–416, 2002. [Fou13] Educational Advancement Foundation. The legacy of R.L. Moore. http://legacyrlmoore.org/index.html, consultado en febrero de 2013. [Góm13a] Paco Gómez. El método Moore o el aprendizaje por indagación. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=369:el-metodo-moore-o-el-aprendizaje-por-indagacion&catid=88:educacion&Itemid=192, consultado en febrero de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Enseñanza de las matemáticas a través de la escritura. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=418:escritura-matematica&catid=101:analisis-matematico-1213&Itemid=240, consultado en febrero de 2013. [Kin13] Michael K. Kinyon. Mathematics and writing. http://web.cs.du.edu/˜mkinyon/mathwrite.html, consultado en febrero de 2013. [Loc13] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824&zw=175149, consultado en febrero de 2013. [Maz97] E. Mazur. Peer Instruction: A User’s Manual. Series in Educational Innovation. Prentice Hall, 1997. [Maz13] Mazur Group. Mazur group website. http://mazur.harvard.edu/, consultado en febrero de 2013. [MR98] John Meier and Thomas Rishel. Writing in the teaching and learning of mathematics. The Mathematical Association of America, 1998. [Ste90] A. Sterrett(editor). Using writing to teach mathematics. English Studies, 16, 1990.
Martes, 12 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
Aquí tenemos el cartel que Emakunde (Instituto Vasco de la Mujer) ha sacado este año con motivo del 8 de marzo, Día Internacional de la Mujer. Sobran las palabras... O igual no sobran... pero utilizemos las que Emakunde recoge en su página web (http://www.emakunde.euskadi.net/u72-20010/es/contenidos/noticia/2013_8_marzo/es_def/8_marzo_2013.html) "La campaña del 8 de marzo Día Internacional de las Mujeres diseñada por Emakunde pretende subrayar el valor social de la igualdad, y que la falta de igualdad tiene costes humanos, sociales y económicos y la igualdad es positiva tanto desde el desarrollo individual de las personas, como del avance social. El lema de la campaña es: = es + La igualdad: un derecho humano, un beneficio para toda la socieda La igualdad permite que, tanto mujeres como hombres puedan desarrollar todas sus capacidades y tomar sus decisiones sin limitaciones impuestas por estereotipos de género. La igualdad conlleva más respeto, más conocimiento, más bienestar, más democracia. La igualdad contribuye al desarrollo de la autonomía de todas las personas en el ámbito personal y en el social; potencia valores solidarios y no jerárquicos, estableciendo relaciones basadas en la cooperación, el respeto mutuo y la autoridad personal; promueve la corresponsabilidad en los cuidados; favorece el desarrollo de relaciones afectivas de igual a igual y desde el respeto a la diversidad, y que todo ello sirve para contribuir a avanzar en la democracia y a construir una sociedad más justa, cohesionada y desarrollada. En definitiva, la campaña pretende transmitir las ventajas individuales y sociales que implica avanzar en la igualdad de mujeres y hombre La igualdad va más allá, porque propone una nueva manera de organizar nuestro mundo, una nueva organización que no afecta únicamente al desarrollo individual de las personas, sino que apuesta por el avance de toda la sociedad en su conjunto."
Jueves, 07 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Traemos este mes una nueva película NO ESTRENADA en España. Tiene bastantes referencias matemáticas, aunque de conseguirla, no es demasiado apropiada para verla en clase... Que yo recuerde hasta ahora no hemos reseñado en esta sección demasiadas películas un poco salidas de tono, bueno, más bien ninguna (quizá aquellos Ritos de Amor y Matemáticas de la reseña número 53, de octubre de 2010). Pero haberlas, “haylas”, aunque quizá no son adecuadas para ver en clase ya que probablemente la atención se acaba desviando hacia otro tipo de curvas (que también tienen su expresión matemática, por supuesto). Vamos este mes con una de ellas (no muy fuerte, no penséis en nada con incógnitas X, pero desde luego no para menores de... 16, tampoco nos pongamos mojigatos totales). Pero avisados estáis. Como no se ha estrenado nunca en España, pongo el título en castellano que me da la gana (faltaría más) PREFIERO LA TANGENTE Título Original: C'est la tangente que je préfère. Nacionalidad: Francia/Bélgica/Suiza, 1997. Dirección: Charlotte Silvera. Guión: Jean-Luc Nivaggioni y Charlotte Silvera. Fotografía: Yves Cape, en Color. Montaje: Ludo Troch. Música: Bernard Lubat. Duración: 100 min. Intérpretes: Julie Delarme (Sabine), Georges Corraface (Jiri), Marie-Christine Barrault (La profesora de matemáticas), Agnès Soral (La madre de Sabine), Christophe Malavoy (El padre de Sabine), Suzie (Gabrielle), Anna Prucnal (la chica rubia), Marie Laforêt (Petra la verdad), Françoise Michaud (la profesora de Ciencias Naturales), Maxime Lombard (Policia), Maurice Chevit (Jean-Pierre), Louis Navarre (Guy). Argumento: Sabine es una adolescente quinceañera que tiene una hermana pequeña, en la que están centrados su padre y su madre, dejando a Sabine un poco de lado. A ella no la importa ya que tiene su universo propio: las matemáticas. La situación familiar no es buena, ya que los padres se encuentran ambos parados, y las deudas y facturas se van acumulando. Sabine conoce un día a Jiri, un atractivo actor/director de teatro checo que se encuentra de paso por su ciudad natal. Es un hombre maduro, que pasa de la cuarentena. La película narra su relación desde el punto de vista de la chica y el progresivo giro que va dando su vida como consecuencia de la misma. Descripción de las Matemáticas La primera imagen de la película, hace honor a parte del título: una circunferencia dentro de un sistema de coordenadas y un segmento (porque no es una recta: tiene principio y fin) tangente en uno de sus puntos (de pendiente negativa, por cierto, advirtiéndonos del cambio que tendrá lugar en la vida de la protagonista; no es la primera vez, ni será la última que se utiliza un concepto matemático en sentido figurado). El círculo se abre a la realidad, como si fuera una ventana, mostrándonos cómo la protagonista acompaña a la escuela a su hermana menor, teniendo que aguantar cómo grupos de bailarines callejeros de breakdance intentan llamar su atención ante la divertida mirada de la pequeña. Pero Sabine tiene otros pensamientos (cruza la plaza por el camino más corto, minimizando incluso el número de pasos). Las imágenes que acompañan a sus pensamientos nos muestran las simetrías presentes en diferentes lugares de las calles de su ciudad, las secciones que se aprecian en las columnas de los edificios. Sabine (bueno, en realidad la cámara) aplica lo que se está dando en llamar “mirar el mundo con ojos matemáticos”. En realidad sus meditaciones son otras, aunque también de signo matemático: “¿Por qué están estos tres puntos alineados? Éste está a la mitad del segmento. ¿Cómo fue dibujado ese otro? Es el centro del círculo.... 3818 multiplicado por 132. 3818 multiplicado por 132,..... Tenemos aquel vector. Ya he utilizado la hipótesis de equilátero. Puede emplearse dos veces. ¿Por qué funciona? Ah, los dos ángulos son iguales. Entonces es equilátero. ¿Cuál nos da un rombo? Los dos vectores son iguales. Este es un tercio de aquel, así que los tres puntos están alineados.” Es decir, mientras lleva a su hermana al colegio, los chicos bailan a su alrededor, y se encamina al instituto, va pensando en una prueba a la cuestión que inicialmente se hace (“¿Por qué están estos tres puntos alineados?”). No sabemos si es como consecuencia de un ejercicio, de un teorema, o de una pregunta que le surge viendo todos los objetos que hay a su alrededor. Es la forma en la que la directora nos presenta a la protagonista, una chica con un gran talento e interés por las matemáticas. La acción tiene lugar en Lille, en 1996. Al llegar al Instituto, algunos compañeros la dan dinero. Esto originará un equívoco posteriormente al encontrarse con Jiri en un autobús. Al observar cómo un grupo de chicos le dan unas monedas, él pensará que es una prostituta (mente un tanto enfermiza, ¿no os parece?). La realidad es que Sabine ayuda a sus padres en la maltrecha economía familiar resolviendo a sus compañeros problemas de matemáticas o haciéndoles trabajos para clase. Chico: Tengo algunos de Física también. ¿Cuánto? Es urgente. Sabine: Tengo que copiarlos. 25 francos. Y no te fío más. Chico: ¡Cuidado! ¡La profesora de matemáticas! En efecto, la profesora de matemáticas se acerca a Sabine. Le acompaña a la entrada del Instituto y le muestra el anuncio de un concurso matemático recién convocado. “Los mejores de cada país irán a Bruselas durante un año. Estoy segura de que tienes posibilidades”. Sabiendo la situación en casa, Sabine le muestra su preocupación: Sabine: ¿Tengo que pagar? Profesora: Sólo el viaje y tres noches en un hotel durante la competición. Sabine: Pero usted sabe que.... Profesora: Primero tendrás que ser elegida por Francia. A continuación la acompaña a su despacho, y le presta unos libros, se supone que para ayudarla a preparar el concurso. Sabine no desperdicia una sola ocasión para traer las matemáticas a colación, bien sea explicando algo a sus compañeros, o pensando, como en la escena inicial. Sabine es también bastante observadora, así que cuando se encuentra por tercera vez en el autobús con Jiri, deduce que no puede ser casualidad. Su razonamiento es el que sigue: “La suerte ha querido que los padres de Josephine volvieran tarde, lo que desató una cadena de acontecimientos. No hay más autobuses, así que me fui a casa, obsesionada con mi ejercicio. Entonces vagué saliéndome de mi ruta habitual (En este momento ve a Jiri). Así que era un policía. ¿Fue simplemente una coincidencia? No. Había un sentido para todo ello. ¿Quién era aquel hombre que se cruzaba en mi camino? No lo vi ese día, pero tres veces seguidas no puede ser accidental.” A continuación se la ve haciendo un experimento: lanza al aire muchas veces la parte inferior de un bocadillo de pan untado en mantequilla (¡con la comida no se juega, Sabine!), tomando nota de la posición en que cae, anotando cruces en una hoja de papel según caiga de una u otra manera (ver imágenes). Y acaba razonando: “Es un giro del destino, las posibilidades de que caiga cara arriba: una de cada diez. Boca arriba tres veces seguidas: una entre mil. La probabilidad de encontrarse con él de nuevo: infinitesimal.” Sin embargo, vuelve a ver a Jiri de nuevo en el autobús: “¡Tres veces seguidas! Nunca debí confiar en las probabilidades, debería haber empleado la Estadística. Lanzar al aire el pan y la mantequilla no reproduce el destino”. Lo que los espectadores si podemos prever con probabilidad uno es que Jiri acabará seduciendo a Sabine (su primera experiencia sexual), a la que aquello le parece maravilloso. Lógicamente se plantea lo que deberá hacer si sus padres descubren el asunto, y su mente apela en este caso precisamente a la lógica, a las paradojas: “Si me preguntan, mentiré diciendo la verdad, como en Lógica. Después de todo, cuando digo: "Yo estoy diciendo una mentira", ¿estoy mintiendo o diciendo la verdad? Como a perro flaco, todo son pulgas (de vez en cuando es bueno echar mano de nuestro rico refranero, que lo vamos a perder), a la desesperada situación económica de la familia de Sabine se añade que al padre se le ocurrió la brillante idea de apostar sus exiguos ahorros a ver si ganaba más. Y es que además no es un buen jugador (normalmente los jugadores inteligentes no se hallan en su situación, y con esto conste que no quiero incitar a nadie a jugar, todo lo contrario; lo que si pretendo es que nadie se crea que es “suficientemente inteligente” porque le puede pasar lo que a este señor). Total que se presenta en casa cabizbajo y compungido. Padre: ¡Hola gente! Me siento fatal. (Ve las facturas) ¡3000 francos! ¿Cómo vamos a pagarlos? Sabine: No deberías haber vaciado la hucha. Padre: Esos 500 francos no lo arreglaban. Podía haber ganado una fortuna con Jean-Pierre. Y entonces podría pagar las facturas. Tuve mala suerte. “¡Las apuestas altas tienen recompensa!”, dijo. ¡Y mis pérdidas se doblaron! Sabine: Por supuesto. Redujiste a la mitad tus posibilidades. Padre: ¿Qué? Sabine: Hubieras ganado el doble si hubieras ganado. Tienes más posibilidades de ganar jugando muchas columnas que apostando mucho en una sola. Padre: Si eres tan lista, ¿dónde están mis 3000 francos? Hermana pequeña: Si no tenemos dinero, Sabine puede escribir un cheque. En la siguiente escena, vemos cómo Sabine está calculando sobre la pared cuántos ejercicios debe resolver a sus compañeros para llegar a ganar 3000 francos, según el baremo que tiene estipulado por cada tipo de ejercicio: “Por 5, 600 ecuaciones de segundo grado; Por 15, 200 parábolas; Por 30, 100 derivadas. Un buen ejercicio para examen, pero incluso si aumentara mi tarifa y sólo me dedicara a los de sexto curso, para tener 3000 francos voy a tener que acelerar”. Al día siguiente nos encontramos en clase de matemáticas. Sabine está haciendo un ejercicio en la pizarra a toda pastilla. Los alumnos se quejan a la profesora: Alumno: ¡Sabine es demasiado rápida para nosotros! No somos máquinas. Necesitamos tiempo para pensar. Esta no es la competición Einstein”. Profesora: ¿Te quieres apuntar, Emile? Aún estás a tiempo. (Dirigiéndose a Sabine) Vuelve a explicarlo. Factor a – 2 por... Se logra entrever en el encerado escrita una factorización, la expresión del discriminante de una ecuación de segundo grado, y la ecuación  1 – 4x2 = –7. Sabine: a – 2 multiplicado por a cuadrado, más a, más 2. Delta es igual a b cuadrado menos 4 ac. Así que a – 4x2 = – 7. No hay solución. Bien, como he dicho, lo que se ve en la imagen es 1 – 4x2 = –7, que evidentemente sí tiene soluciones reales (±√2). Otra cosa es con a, aunque al menos para un valor real de a si tiene solución, ¿no? El polinomio que factoriza, que no se ve, se deduce de lo que Sabine dice: a3 – a2 – 4 = (a – 2) (a2 + a + 2). Es cierto que Sabine resuelve el ejercicio muy rápido, pero el tal Emile es un jeta de tomo y lomo porque si no le ha dado tiempo a copiar el resultado es porque estaba hablando por su móvil. (¡Ay, dichosos móviles en clase!). La chica está bastante obnubilada con Jiri. Piensa en él como si de un príncipe de cuento de hadas se tratara: “No creía que un hombre pudiera ser tan bueno, tan dulce, tan fuerte, tan geométrico. ¿Cuál sería la forma más parecida? ¿El trapecio? Quizá más bien un heptágono rematado con un círculo”. Pues si, mira por donde, acertó, pero sólo por el número de aristas del tipo, aunque a la postre no será tan bicho. A todo esto, a Jiri no le hace gracia tener que darle dinero a Sabine por su relación, pero claro, la chica quiere ayudar en casa, y ve la oportunidad de hacerlo más rápidamente que cobrando los ejercicios que resuelve a sus compañeros o distrayendo las propinas de la terrazas de los restaurantes. La cosa no pinta bien, ¿verdad? Pues no os digo nada cuando Jiri se entere de que es una menor (hay que ser un poco lelo para no verlo desde el principio, pero mientras todo va bien,....). Así que con todo esto, Sabine no tiene tiempo para estudiar, y su profesora se lo recrimina: Profesora: ¡Tienes que trabajar para este examen! No has sido seleccionada todavía. ¡No es fácil! ¡Hay que trabajar! Te voy a proponer algunos problemas nuevos. Hemos hablado de los números reales, y los complejos, e incluso conceptos más abstractos. Una hermosa construcción, puramente matemática,... nunca la encontrarás en la Naturaleza. La Geometría en el espacio necesita imaginación. Estoy segura de que te encantará. Sabine (pensando en lo suyo): ¿Cómo se aplica a lo masculino y lo femenino? Puedo admitir que son dos conjuntos diferentes, pero ¿son disjuntos o tienen una intersección? A menos que estén superpuestos. No, la situación es más simétrica. Así que, ¿cuál es la intersección? ¡No puede ser el conjunto vacío! Hay puntos comunes, incluso siendo diferentes. Vayamos con una discusión entre los protagonistas: Jiri: ¡Que mi vida es tan vacía como este vaso! Sabine: Define vacío. Este vaso no es un conjunto vacío. Está vacío ahora, pero podría contener vodka. Es muy sencillo: un conjunto vacío es un conjunto de elementos con propiedades incompatibles. ¡Como los mirlos blancos! Me resulta bastante normal. (Refiriéndose al vaso). Sin grietas o astillas, no parece tener fugas. Sabine (pensando): Un hombre de 40 con una niña de menos de la mitad de su edad, 40 – 15 = 25, ¡25 es mucho! ¿Cuál es el factor común? 40 entre 15 al simplificarlo entre 5, da 8 entre 3. ¡Sólo 5 años de diferencia! Está claro que siempre hay una operación matemática acorde a nuestros intereses. ¿No os parece? En la siguiente escena, Sabine está resolviendo un problema en un encerado ante una especie de tribunal (se supone que es el jurado que decide si la seleccionará o no para el concurso): Sabine: AO2 + OE2, es igual a AE2, según el teorema de Pitágoras. Sabemos que OE = a√2/2,... así que OE2 = a2/2, y es igual a la mitad de AC. Lamento no poder aportar en este caso imagen alguna (si alguno la tiene, ya está tardando en mandármela; gracias por anticipado). El caso es que Sabine fue seleccionada junto a otros cinco alumnos para ir a Bruselas. Sus compañeros de clase le dan la noticia. Sabine: Si fuéramos 150000, las probabilidades serían de 1 entre 25000. Compañero de clase: Tómate un respiro. Otro compañero: ¡La profesora está detrás de ti! Otro compañero: ¿3818 x 132? De nuevo aparece este producto. ¿Sabéis por qué? Esta reducida reseña no puede contener toda la información que tiene la película (sólo pretende ser una pequeña guía), pero Sabine se hizo amiga de una compañera musulmana a la que pocos se acercan (va con pañuelo en la cabeza, y claro eso frena a los chic@s, además de las reticencias hacia los inmigrantes de una sociedad con problemas de paro). Sabine la ayuda con las matemáticas: Chica: Ahora busco el límite hacia el que tiende y. No acabaremos este ejercicio hoy... Sabine: Es una pena que tengas que ponerte ese pañuelo. Tu pelo es precioso. Compañera: No tengo porque hacerlo. Sabine: Es curioso que todos penséis lo mismo. Compañera: Yo quiero llevarlo. Sabine: A mi lo que dijera mi familia es lo que menos me importa. Compañera: Creo que eres muy valiente. Están en casa de la compañera. Se oye a algunas personas jugando. Sabine: ¿A que juegan? Compañera: Backgammon,.... desde la infancia. ¿Vamos a seguir? Llámame cuando tengas un ejemplo perfecto. Uno de los Jugadores: ¡Vamos! l, 2... 3. (Sabine se acerca para verlos jugar) Sabine (pensando): Juegan con dos jugadas de antelación. Yo puedo ver cuatro. Sabine (aconsejando): No hay. Sabine (pensando): Aunque me enfrentara a ambos, no podrían golpearme. Dos contra una niña: ¡fácil! Siguiente paso: conseguir que jueguen por dinero. Lo consigue pero acaba perdiendo. Y he aquí una reflexión con una cuestión final que cualquiera que haya jugado (y haya perdido) se ha hecho alguna vez: “El problema con los juegos de azar es el azar. Estando 8 a 1, ¡podía haberme llevado 4000 en una jugada! Pero ni un solo 6. Ni un solo doble. No era mi juego. ¿Por qué no lo vi a tiempo?” Respecto a Jiri también acaba desengañándose cuando descubre (como no podía ser de otro modo) que ella no era precisamente la única. La forma de mostrar sus sentimientos sigue siendo matemática: “Pensé que paliaría el dolor, pero seguía ahí, volvía, peor que nunca, el coeficiente de la pendiente había estado bajo pero ahora crecía. Y me di cuenta que la inclinación se invirtió y el ángulo era más agudo. La derivada segunda era negativa. ¿Y ahora qué? ¿Me dejo resbalar?” En otra escena se reúne con la profesora para preparar la competición. Ésta le cuenta lo  siguiente: “Nunca hemos hablado de topología. ¿Ves esto? Es una cinta de Moebius. Une un punto de la superficie interior a la exterior sin cambiar las caras. Desliza el dedo a lo largo de la parte interior de la banda, estás dentro,... sigue adelante y ¡bingo! Estás en el exterior. Siempre se vuelva a cambiar de cara”. Probablemente os llamó la atención la imagen de la cartelera de la película, trazando curvas sobre la arena de la playa, con los dos protagonistas,.... vestidos. Esta es la conversación que tiene lugar allí: Sabine: Podemos trazar esta curva de forma diferente. Debe haber una función. Una función es más precisa que tus palabras, elegancia. Jiri: No tienen el mismo tono. No nos hablan de la calidad estética. ¿Es la belleza una cuestión de proporciones para ti? Sabine: La belleza es armonía. La Geometría nunca traiciona. Jiri: Función opuesta a elegancia ¿Cómo nos comunicamos? Sabine: ¡Dibujando! ¡Mediante símbolos! ¡Es lo mismo para todo el mundo! Jiri: Eso puede ser muy peligroso. ¿Cómo se puede simbolizar la libertad? ¿La alegría de estar juntos? Sabine: ¡Mediante el espacio! Estamos aquí. Pero, ¿si hago esto? Estamos aquí. No, estamos aquí. (Va dibujando en la arena). Y si hago esto,... 1, 2, 3. Entonces ¡estamos aquí! Depende del marco de referencia. Jiri (a alguien que pasea al lado de los dibujos): ¡Hey, señor, no camine por aquí, por favor! Está pisoteando su odalisca... Por favor. Sabine: El mar las lavará. Lo recordaré. En la arena vemos como construye el polinomio interpolador que pasa por los puntos (0,0), (–2, 2), (–1, –3), (3, 1), (5,0), mediante el método de Lagrange (¿no le enseñaron el método de Newton de las diferencias divididas? Pues mal entonces por su profe) Aunque la gráfica parece correcta, la expresión que escribe en la arena es la general; se han molestado en escribirla para 5 nodos que son los que se dan. Ya sabéis, este verano en la playa, ¡a hacer matemáticas en la arena! Respecto a la competición, las cosas no fueron demasiado bien. La profesora trata de animar a Sabine: Profesora: No podías haberlo sabido. Lo haremos el año que viene. Había que expresar números en base 2. Es un problema difícil. No te desanimes, puedes intentarlo el año que viene. Sabine: ¡Nadie me había mencionado la base 2 desde primaria! Sobre como acaba la historia, mejor intentáis localizarla y verla. Simplemente avanzar que los padres consiguieron saldar momentáneamente sus deudas vendiendo la motocicleta de Sabine, que los padres se enteraron de la aventura amorosa de su hija, y que la última reflexión de Sabine fue esta: “¿Y ahora qué? ¿Era la vida como la cinta de Moebius? ¿Crees que la has cruzado, que has encontrado una salida, y te encuentras de vuelta en el principio? No es posible, debe haber una salida”. Dirección e intérpretes Sobre la realizadora, Charlotte Silvera, no he encontrado demasiada información. Ha dirigido hasta el momento 5 largometrajes (en el último por ahora, Escalade (2011) la actriz principal es nuestra Carmen Maura) y 4 telefilmes. Ninguno de estos trabajos se ha estrenado en España. En todas ellas las protagonistas son mujeres y en la mayoría adolescentes y sus circunstancias (por ejemplo en su ópera prima, Louise the Rebel (1985) con un argumento bastante similar a ésta). Si alguien quiere saber más, su página web es http://www.charlottesilvera.com/ Respecto a la joven Julie Delarme (nacida en 1977) este es su debut como actriz, y tampoco es conocida por aquí ya que ninguno de sus trabajos, mayoritariamente en televisión, han sido estrenados en nuestro país. En cambio Georges Corraface (1952) ha desarrollado una carrera internacional en el cine y en televisión, tras varios años trabajando en el teatro francés. Su formación pluricultural le permite actuar en francés y en griego (sus lenguas maternas), pero también en inglés, español, alemán e italiano, en papeles muy variados. Bien acogido por la crítica y el público, es particularmente popular en Francia, en Grecia y en España, y ha obtenido numerosos premios en festivales internacionales. Le recordaremos por ser también el guía turco que seduce (al parecer es su especialidad) al personaje encarnado por Ana Belén en La pasión turca (Vicente Aranda, 1994) o en Cristóbal Colón: El Descubrimiento (John Glen, 1992). La película está rodada de un modo convincente (especialmente en las explícitas escenas de sexo), aunque (opinión personal) chirrían algunas cosas, como la descripción de los padres de Sabine que parecen idiotas de caricaturizados que se muestran (está claro que dejaron todo su coeficiente intelectual en las niñas), y por momentos las motivaciones de los personajes rayan cuando no invaden completamente en lo artificial. El trailer de la película podéis verlo en http://www.youtube.com/watch?v=KSjAoXq1tgo. Como curiosidad indicar que la película se estrenó en los EE. UU. con el sugerente título de Love, Math and Sex (Amor, Matemáticas y Sexo; buena mezcla). Si alguien localiza una copia de la película con una calidad decentilla, yo puedo pasarle los subtítulos en castellano. Y para acabar este mes, enlazando con la banda de Moebius con la que acababa la película, podéis ver Möbius, un corto de Vincent Laforet, en el que lo único para lo que se utiliza la citada banda es para la idea de eterno retorno. Para eso no necesitamos más que una circunferencia, pero bueno, ya se sabe, hay que llamar la atención de algún modo. Está bien rodado técnicamente, pero deja un tanto frío al espectador (en otras palabras, que los he visto mejores). Gracias nuevamente a Marta por esta referencia. Son ya unas cuantas las incursiones en el cine de esta superficie. Quizá sea un buen momento para dedicarle una reseña.....
Miércoles, 06 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
En este rincón hemos simulado varias veces el uso de la transmisión de información para adivinar alguna carta o un número pensados por un espectador. A falta de una capacidad extrasensorial que explique este fenómeno, una de las técnicas más habituales consiste en codificar la información mediante la aritmética binaria, con la que es posible descubrir el mensaje oculto (ya sea la carta o el número) a través de una serie de preguntas que sólo tienen dos posibles respuestas. El juego que vamos a describir en esta entrega se remonta, hasta donde yo sé, a Charles Jordan (1888-1944), personaje ya citado en este rincón (mayo de 2012). Aprovechando su nueva aparición, digamos que Charles Jordan fue un mago muy conocido a principios del siglo XX por su gran inventiva y originalidad, aunque nunca actuó en público. En un mismo año, concretamente en 1920, publicó cinco folletos con más de 50 juegos de su invención. Mucho después, en 1992, Karl Fulves publicó una recopilación de sus mejores juegos en el libro Charles Jordan's best card tricks. Uno de los juegos que aparece en esta recopilación es el titulado ADIVINACIÓN DIABÓLICA, cuya adaptación al enfoque matemático que damos a los juegos podría ser la siguiente: Piensa una carta, de la baraja francesa. A continuación te mostraré cuatro grupos de siete cartas y deberás decir si en cada grupo ves alguna carta del mismo palo y/o del mismo valor que la pensada. Primer grupo: A ♣ - 7 ♣ - 3 ♥ - K ♥ - 5 ♦ - 9 ♦ - J ♦. Segundo grupo: 2 ♠ - 7 ♠ - J ♠ - 2 ♣ - 10 ♣ - 3 ♦ - 6 ♦. Tercer grupo: 4 ♠ - 6 ♠ - Q ♠ - K ♠ - 4 ♥ - 5 ♥ - 7 ♦. Cuarto grupo: 8 ♠ - 10 ♠ - 8 ♥ - 9 ♥ - J ♣ - Q ♣ - K ♣. Según las respuestas que has dado, puedo saber la carta pensada.  El valor de la carta se obtiene de la misma forma que el juego de las TARJETAS BINARIAS (rincón 13/febrero de 2005), sumando los valores de las cartas menores de los grupos donde la respuesta es positiva. Por ejemplo, si la carta pensada es un 6, hay cartas de su mismo valor en el segundo y tercer grupos, cuyas cartas menores son un dos y un cuatro. Por tanto, 2 + 4 = 6. El palo de la carta se conoce también a partir de las respuestas dadas, según la siguiente regla: será de picas si la única respuesta negativa corresponde al primer grupo; será de corazones si la única respuesta negativa corresponde al segundo grupo; de tréboles si corresponde al tercer grupo; y de rombos si corresponde al cuarto. A pesar de que, mágicamente hablando, el juego es sorprendente, desde el punto de vista matemático observamos a simple vista que hay demasiada información desperdiciada. Se han hecho 8 preguntas, palo y valor por cada grupo de cartas, lo que proporciona un total de 28 = 256 posibles resultados. Esto no es del todo cierto puesto que la cantidad se reduce notablemente teniendo en cuenta que muchos de estos resultados son imposibles (sólo puede haber una respuesta negativa en relación a los palos, no pueden ser todas negativas ni todas positivas en relación al valor, etc.) pero da la impresión de ser muy fácil determinar una carta de 52 posibles con tanta información. Otro mago clásico, Jean Hugard (1872-1959), escribió otro libro clásico, Encyclopedia of card tricks (publicado por primera vez en 1937), donde aparecen dos nuevas versiones del juego. Una de ellas, original de Joseph Ovette, se titula EL SUSURRO DE BUDA y sólo aporta algunos detalles de presentación reduciendo además a 24 el número de cartas mostradas al espectador. La segunda de ellas es la titulada ADIVINACIÓN PERFECTA, ideada por Howard Albright, y se desarrolla como sigue: Piensa una carta, de la baraja francesa. A continuación te mostraré cuatro grupos de cartas y deberás decir si en cada grupo ves alguna carta del mismo valor que la pensada. Primer grupo: A ♥ - 7 ♣ - 5 ♠ - J ♦ - 9 ♦ - 3 ♦. Segundo grupo: J ♥ - 10 ♣ - 2 ♠ - 6 ♠ - 7 ♦ - 3 ♣. Tercer grupo: 6 ♣ - 4 ♣ - 7 ♥ - 5 ♦ - 6 ♦ - Q ♦. Cuarto grupo: 9 ♥ - 8 ♠ - 10 ♠ - J ♣ - 10 ♦ - Q ♠. A continuación te mostraré otros cuatro grupos de cartas y tendrás que decir en cuál o cuáles de ellos ves alguna carta del mismo palo que la pensada. Primer grupo: 6 ♥ - 2 ♥ - 8 ♦ - 5 ♣ - 5 ♥ - A ♦ - K ♦. Segundo grupo: 9 ♣ - 2 ♦ - 8 ♣ - J ♠ - K ♠ - A ♣ - 4 ♠. Tercer grupo: Q ♣ - 9 ♠ - Q ♥ - K ♣ - 2 ♣ - 3 ♥ - 3 ♠. Cuarto grupo: 8 ♥ - K ♥ - 4 ♥ - 7 ♠ - 4 ♦ - A ♠ - 10 ♥. En este caso, los cuatro primeros grupos de cartas proporcionan información sobre el valor de la carta pensada, aplicando la misma técnica del juego anterior. En el primer grupo sólo hay cartas impares, números cuya última cifra en su representación binaria es uno; los valores de las cartas del segundo grupo son aquellos cuya penúltima cifra en su representación binaria es un uno; los otros dos grupos dan también información sobre las dos primeras cifras de la representación binaria del número. El conjunto de respuestas indica el valor de la carta pensada. Con respecto a los otros cuatro grupos, observamos que el primero de ellos no tiene ninguna carta de picas, el segundo no tiene ninguna carta de corazones, el tercero no tiene cartas de rombos y el cuarto no tiene cartas de tréboles. Un ejemplo: si las respuestas del espectador a las ocho preguntas son SÍ - NO - NO - SÍ - SÍ - SÍ - NO - SÍ, respectivamente, de las cuatro primeras deducimos que el valor de la carta es 8 + 1 = 9; de las cuatro últimas deducimos que la carta es de rombos. En definitiva, se trata del 9 de rombos. Observamos en esta versión que se utilizan todas las cartas de la baraja. De modo que se pueden tener previamente ordenadas y, posteriormente, ir mostrando cuatro grupos de seis cartas para las primeras cuatro preguntas y cuatro grupos de siete cartas para las últimas cuatro preguntas. Si logras dar la impresión de que la baraja está mezclada, el efecto producido será más sorprendente. Comentario final: Diversas modificaciones de esta idea han sido realizadas por algunos magos para conseguir verdaderos juegos de magia, haciendo menos patente el fundamento matemático en el que descansan. Uno de los más desconcertantes e ingeniosos es el juego titulado "Zen Poker", fruto de una de las mentes más brillantes del mundo de la magia, Max Maven (nombre artístico de Phil Goldstein). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Viernes, 01 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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