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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
No siempre es posible conversar con los responsables de las películas que nos gustan (tampoco con los de las que no nos gustan, por otra parte), así que poder hacerlo merece per se dedicarle una reseña. Charlamos ampliamente con Manuela Moreno, multipremiada directora que nos habla de su último trabajo, sus proyectos y el resto de su filmografía. El pasado mes de Agosto la Cátedra de Historia y Estética de la Cinematografía de la Universidad de Valladolid celebró su cincuentenario Curso de Cinematografía (comenzó en 1964, siendo uno de los más veteranos cursos de estas características) en el que prestigiosos escritores y críticos cinematográficos, así como realizadores y diferentes profesionales de la industria del cine de nuestro país, imparten seminarios y charlas o mantienen encuentros con los alumnos matriculados en el curso y el público en general sobre su especialidad y el cine en general. En esta ocasión, Manuela Moreno, joven realizadora y guionista, fue una de las invitadas la tarde dedicada al cortometraje, una de las secciones habituales desde hace unos años en el Curso. Quizá su nombre no diga demasiado, pero si añadimos que es la responsable de Pipas, ese corto en el que unas chicas cambian impresiones sobre su vida con la inesperada aparición del número π, y causa de su mosqueo, seguramente la mayoría esboce una sonrisa recordando su visionado (y si no, lo primero que tiene que hacer es pinchar en el anterior enlace y verlo, antes de que los siguientes comentarios destrocen la sorpresa del desenlace del mismo). El Cortometraje: un formato a tener en cuenta Aunque existen en nuestro país numerosos festivales, asociaciones y espacios de televisión que los programan, lo cierto es que el espectador medio aún no considera el cortometraje con la misma entidad e interés que el largometraje. De hecho una nada despreciable cantidad de ellos nunca llegan a exhibirse o lo hacen ante una minoría de personas interesadas. Gracias a Internet, algunos consiguen la suficiente popularidad como para romper esas barreras, pero en general, son considerados como productos menores, de relleno, o, en el mejor de los casos, el medio con el que los estudiantes de cine y futuros realizadores se foguean experimentando. Sin embargo el corto es bastante más. Entre las virtudes que un cortometraje presenta frente al largo está su mayor versatilidad para utilizarse en un aula. Por varias razones: 1.- La Duración.- Proyectar en clase un largometraje presenta varias dificultades que hay que solventar: horarios limitados a cincuenta minutos, coordinación con otros profesores a los que les parezca también interesante (que seguramente no son tantos) o en su defecto dividir el visionado en varias sesiones (que para una película de 120 minutos puede ser caótico), solución engorrosa y no precisamente el ideal para que el alumno/espectador centre su de por si evasiva y pasota atención. Además, en su defensa, tampoco los Centros se encuentran habilitados para ver una película en unas condiciones mínimas de comodidad y calidad. En cambio, el cortometraje (entre 2 y 20 minutos por regla general) permite su disfrute de un tirón (incluso hacerlo varias veces dependiendo de su duración), comentarlo, profundizar en el tema que se trata de analizar, etc. 2.- Se centran en el tema rápidamente.- Consecuencia de su brevedad está la concisión, rigurosidad, precisión y enfoque directo al tema del que trate. La historia no debe ser tan elemental que resulte trivial. La habilidad del buen cortometrajista está precisamente en su capacidad para plasmar con brevedad pero con profundidad e interés personalidades, vivencias, sentimientos, sensaciones,.., todo un universo. Eso lo diferencia del mero narrador, del artesano, que con mejor o peor técnica podemos ser todos. Por otro lado, los temas que suelen abordar escapan de lo comercial y abundan los relacionados con temas sociales, problemática juvenil, valores, temas apropiados para llevar al aula de Secundaria. 3.- Fácil Acceso.- Existen bastantes páginas de Internet en las que se cuelgan y distribuyen cortometrajes con calidad y todos los permisos legales en regla. Muchos realizadores ponen también gratuitamente sus trabajos a disposición del público para darse a conocer o para que éstos sean valorados. 4.- El formato engancha.- Además de la brevedad (parece que vivimos en un mundo acelerado en el que deben suceder muchas cosas para no aburrirnos), el ser un producto un poco “fuera de lo convencional”, de moda por localizarse en internet, y con finales impactantes y sorprendentes en general, hacen del cortometraje un medio atractivo para la gente más joven. Pipas Pi Pilar Como sucede en las películas en general, las matemáticas no abundan en comparación con otros temas en la producción de cortos. Las razones, las mismas que las apuntadas en otras reseñas y estudios. Sintetizando mucho: dificultad de plasmarlas en pantalla, de hacerlo coherentemente, de hacérselas entender al público, y la mayor o menor manía que el cineasta las tenga. No obstante existen unos cuantos (menos por el momento que en largometrajes, o al menos, menos localizados), algunos de los cuales podéis ver en la página de Facebook Las Matemáticas en el cine. Uno de ellos es el que centra este artículo. Como siempre comenzamos con una breve Ficha técnica y artística: Título: Pipas. Nacionalidad: España, 2013. Dirección: Manuela Moreno. Guión: Manuela Moreno. Fotografía: Jon Corcuera, en Color. Montaje: Gaizka Ibarreche. Música: Canción Lollipop, por The Chordettes. Vestuario: Rebeca Durán. Sonido Directo: Alberto García. Mezcla de Sonido: Roberto Fernández. Producción: Sole Rosales. Productora: Momento. Duración: 3:33 min. Galardones: Premio a la Mejor Dirección y al  Mejor Guión en la XI edición del Notodofilmfest. Además tuvo otras cuatro nominaciones: Mejor película, Mejor Actriz, Premio del Público y Corto más visto. Además ha sido seleccionado por cinco Festivales Nacionales para participar en su sección oficial. Intérpretes: Marta Martín (Amiga 1), Saida Benzal (Amiga 2). Nota: Para identificarlas, en el póster de la película los nombres respectivos van encima de cada una de ellas. En la imagen, la directora Manuela Moreno, de espalda, cambiando impresiones con las actrices. Comentario del corto (último aviso: verlo antes de leer; párrafo lleno de Spoilers) Probablemente todo el mundo ha oído alguna vez el dicho “La ignorancia es atrevida”. Y casi todos estamos de acuerdo y asentimos, pensando siempre en los demás. Porque nosotros nunca somos los ignorantes, son los demás. En este corto asistimos a la conversación entre dos amigas, dos chicas perfectamente reconocibles a nuestro alrededor, ni exageradamente estúpidas, ni entupidamente listas, dos chicas normales, dos chicas que comparten sus preocupaciones a la vez que una bolsa de pipas. Probablemente pensemos que viven una existencia elemental, demasiado elemental, sin grandes expectativas, sin demasiados objetivos, de un pasotismo nihilista apabullante. Son simples, en una palabra. Y nos hacen gracia, nos dibujan una sonrisa e incluso a algunos provoca una carcajada. Pero maldita la gracia que hacen, porque nos están diciendo a la cara que tenemos una sociedad patética, una sociedad incapaz de dar a esta juventud una educación, una formación o unos ideales dignos. “No, no, que va”, pensarán algunos, “los recursos, las posibilidades, están ahí, son ellas libremente las que no los quieren”. Nuestra conciencia está súper tranquila. Y no es problema de que la situación actual sea lamentable, que también, es que en pleno siglo XXI la sociedad ha sido incapaz de ofrecer a los jóvenes algo que los llene, que los ilusione. Cuando yo estudiaba, años 80, estaba de moda lo del pasotismo. Los poderes bienpensantes se enfrentaban al problema juvenil de las drogas y la marginación. ¿Ha cambiado algo? Sí. Ahora muchos más jóvenes que antes disponen de todo lo que quieren: móviles, dinero abundante para el fin de semana, métodos anticonceptivos, lo que sea (conste que todo ello bienvenido sea; no se critica el logro, sino el mal uso que se hace de él). Esa es la única diferencia con respecto a otras épocas, la moda y la tecnología; pero el desánimo, el sinsentido, la ignorancia son los mismos. Aunque quien sabe, bien mirado quizá no sea incapacidad, quizá sea conveniencia (la rebeldía de los 50 y los 60 ha sido finalmente apaciguada). Con este sencillo corto, aunque lleno de matices, la realizadora nos radiografía perfectamente la sociedad en que vivimos. Aparte de lo dicho ya, nos encontramos con la intolerancia ante lo que opinan los demás si no estamos de acuerdo (“... desde que se ha metido a ESO está todo el día a su bola”. [...] Y además ¿para qué, si va a seguir siendo un panadero toda su vida? Está aprendiendo inglés y “tó”. [...] Recibe a las clientas diciendo “gud monin” y a mi me da una vergüenza ajena terrible porque además lo pronuncia fatal”; aquí me viene a la cabeza otro célebre aserto de Gracián: “El primer paso a la ignorancia es presumir de saber”), la cizaña que mete la amiga que de principio parecía querer ayudarla pero que poco a poco lo que quiere es enterarse, y por supuesto la amplia incultura de ambas (en otro tiempo, los malos estudiantes podían no saber el área del círculo o el volumen de la pirámide, pero ¡no saber qué es pi! Pues hoy no es exagerado, es la cruda realidad). Matemáticamente sólo un par de apuntes (elementales, pero no triviales): el número Pi, la infinitud de su expresión decimal (desconocida por más de los que creemos; cada cierto tiempo aparece algún iluminado que dice haber encontrado una secuencia periódica, aunque lo peor no es eso, sino que algún medio de comunicación siga dándole espacio; recuérdese que desde 1882 se sabe que es un número trascendente, resultado demostrado por Carl Louis Ferdinand von Lindemann),  y que en la vida sólo existen diez números (“del cero al diez. Bueno no, del 0 al 9 porque el 10 lo forman el 1 y el 0”). Finalmente indicar que la canción que suena al final, Lollipop (Piruleta, en castellano), viene a apuntalar el carácter elementaloide de las protagonistas. Aprovechando la circunstancia se podría haber incluido que el teléfono no dejara de sonar por mucho que ella lo apagara, en referencia al malware Lollipop (aunque sólo afecte que se sepa a los ordenadores) y que nuevamente ellas echaran la culpa de ello al pobre Paco el panadero. Manuela Moreno A pesar de su juventud, hablar de Manuela dentro del mundo del cortometraje, es hablar de toda una autoridad si atendemos al número de premios recibidos (pasan de la treintena) o al número de certámenes tanto nacionales como internacionales en los que sus trabajos han sido seleccionados oficialmente. Es licenciada en Arte Dramático por la Escuela Superior de Arte Dramático de Murcia (ESAD), completando sus estudios en la Escuela de Cinematografía y Audiovisuales de la Comunidad de Madrid (ECAM) y en el Instituto Cinematográfico de Madrid (N.I.C). Además de escribir y dirigir cortometrajes, Manuela ha realizado otros trabajos, como el rodaje de un videoclip, y la dirección de spots publicitarios para diferentes empresas como la ONCE, el REAL MADRID, la CRUZ ROJA, BLINK (Sol de Bronce en los FIAP 2013), etc. En su página personal pueden ampliarse estos datos además de poder visualizar casi todos sus cortometrajes (los que están aún en exhibición, lógicamente, aún no) y otros trabajos. Las historias que propone Manuela son sencillas y parten de situaciones cotidianas. Sin embargo nada es lo que parece, hacen reflexionar. Destacan unos ágiles, creíbles (el papel de los actores para ello es fundamental) e inteligentes diálogos que como se acaba de decir, encierran más información de lo que parece. Por ello, conviene visionarlos varias veces porque probablemente en un único vistazo nos perdamos mucho de lo que se pretende transmitir. Las relaciones personales, sobre todo las que surgen entre personas desconocidas (el azar, la casualidad, es en el fondo el punto de partida), es uno de los temas en los que reincide encerrando otros no menos destacables como la incomunicación, los sentimientos o los clichés sociales al uso. Ciertamente en no pocas ocasiones se confía más en desconocidos que en personas de tu entorno, aunque esto horrorice a los yankis que en sus películas siempre transmiten al espectador lo contrario, es decir, el pavor hacia los extraños y por ende todo lo desconocido. Entrevista I.- Sobre PIPAS 1.- La primera cuestión es casi obligada, ¿cómo te surgió la idea de hacer este corto? ¿Qué pretendías transmitir? Manuela Moreno: En realidad cuando me viene una historia a la cabeza, no lo hago con la pretensión de transmitir algo, tan sólo de retratar un instante de la vida de unos personajes. Siempre creo que las historias las termina cada espectador con la lectura que haga de ellas. En el caso de Pipas, me apetecía contar cómo dos amigas hablan de sus cosas mientras comen pipas sin apenas vocalizar. Entre ellas se entienden perfectamente, pero el espectador no se entera absolutamente de nada, así que el corto inicialmente iba subtitulado en castellano. Esa era la coña. Pero esta opción la tuve que desechar, ya que en el festival Notodofilmfest, los cortos tienen que estar subtitulados en inglés, y entonces poner los dos subtítulos sería un poco locura, no quedaría claro el concepto, así que las hice vocalizar un “poco” más y jugué con el título. A partir de ahí, me vino la idea de lo de Pi. 2.- ¿Tuviste algún asesoramiento matemático? M.M.: No. 3.- Básicamente todas las matemáticas giran en torno al número PI, y a su expresión decimal que posee infinitos decimales no periódicos (es un número irracional). Se menciona una aproximación con cuatro decimales, 3.1416..., pero es incorrecta ya que se trata de un redondeo. Si  se dice 3.1416 no se puede decir después punto, punto, punto, porque el número ya se ha redondeado. ¿Fue adrede para mostrar que tampoco el novio se entera realmente del significado de PI, un fallo, o tiene alguna otra intención? M.M.: Obviamente. Estamos hablando de que su chico dejó los estudios y ahora, años después,  los ha retomado en una escuela de adultos. Así que es totalmente intencionado. 4.- Una de las protagonistas trata de hacer un atisbo de razonamiento cuando dice “sólo existen 10 números, del 0 al 10. Bueno no, del 0 al 9, porque el 10 lo forman el 1 y el 0”. Da la impresión de que quiere decir que no hay diez dígitos, sino nueve, lo cual vuelve a dar idea de su poco conocimiento (porque de 0 a 9 hay diez dígitos). Hay espectadores que no se dan cuenta de este “gag”. ¿Crees que el público se da cuenta de todos estos detalles? (lo cual pone de manifiesto la poca formación matemática de la sociedad, por muy básica que sea) M.M.: Absolutamente todo lo que dicen los personajes está pensado para hacer un claro retrato de una parte de la sociedad que lamentablemente no tiene este conocimiento, ya que no les interesa lo más mínimo cualquier tipo de aspiración que no sea los instintos más primarios o que quizá por circunstancias personales no hayan tenido la oportunidad de estudiar. Pero en realidad, no lo hice como una burla a esta parte de la sociedad. Sí creo que la carencia de conocimientos puede causar algunos malos entendidos. La ignorancia a veces hace mucho daño. Incluso destruye parejas, ja, ja, ja… Estoy totalmente convencida de que “El saber no ocupa lugar”. 5.- Buena parte del éxito del corto radica en el magnífico trabajo de las dos actrices, absolutamente creíbles (todo el corto está realizado en un único plano, siendo el zoom la única variación que nos permite percatarnos de la “sorpresa”). Es la primera vez (creo) que no trabajas con tus actores habituales. ¿Te costo lograr transmitir la idea que querías (parecen chicas muy jóvenes)? M.M.: No. Las actrices son maravillosas y entendieron muy rápido lo que queríamos contar. Lo que sí, es que ensayamos mucho antes de rodar para conseguir esa naturalidad. 6.- Supongo que habrás visto los comentarios que la gente hace de tu corto en diversos blogs. Va camino de convertirse en una especie de buque insignia a los sucesivos gobernantes sobre cómo han (y están) dejado la educación en España con cambios siempre a peor. De hecho una de las chicas ni sabe lo que es la ESO, mientras la otra menciona el Graduado Escolar, dando a entender el absoluto absurdo de los mil cambios de nombres y siglas. ¿Qué te parece? ¿Era esa tu intención? M.M.: Yo vengo de la generación del EGB y BUP, entonces cuando me dijeron que cambiaban el plan de estudios y se llamaría ESO, siempre me hizo gracia el nombre, porque realmente definía “eso”, es decir, ESO qué narices es, llegaba un momento que cuando alguien me decía estoy en segundo de la ESO, yo tenía que hacer una especie de calculo en mi cabeza para saber en que curso estaba exactamente. Entonces decía para mi; “ah vale, está en octavo”. 7.- ¿Puedes contarnos alguna anécdota del rodaje? M.M.: El rodaje fue muy bien, se rodó con una travelling de 15 metros de vía, y lo único que teníamos que coordinar era el movimiento de la cámara en las vías con el momento en que Marta mostraba su sudadera. Se hicieron 14 tomas, y se eligió la toma 13. Las pobres actrices, ya no sentían los labios de la sal. (No pensamos en la opción de pipas sin sal, que mal. Ja, ja, ja…). II.- Aprovechando su amabilidad, planteamos a Manuela un segundo bloque de preguntas en la que hablamos sobre sus otros trabajos y sus proyectos más inmediatos (porque el cine también nos interesa, además de las Matemáticas). 8.- La mayor parte de los realizadores suelen incidir en sus trabajos en temas que les interesan. En tu caso, uno de ellos es claramente las relaciones personales en las parejas. ¿No temes  encasillarte? M.M.: No. No sé muy bien el por qué, pero es así, casi siempre me vienen historias de este tipo. 9.- El cortometraje es un formato que me parece muy interesante, pero difícil de acertar con él. El guión debe estar muy bien pensado y ejecutado, debe ser preciso (no hay tiempo para elucubraciones), muy bien interpretado, y sobre todo, debe tener un factor sorpresa, bien en el planteamiento, bien en el desenlace. En España se están llevando a cabo muy buenos trabajos que cada vez son más difundidos (Festivales, Asociaciones, etc.). Pero da la sensación que entre la propia gente de cine, el corto no es sino un medio para ir fogueándose, hacer contactos, utilizándose como catapulta para hacer un largo. ¿No es injusto? ¿No cabría darle la importancia que tiene (programaciones en salas de forma más estable, ediciones de DVD, críticas en prensa especializada)? ¿Es esta también tu situación? M.M.: Yo hago peliculitas. Al igual que hay canciones de siete minutos, hay canciones de tres, y no por ello, son peores estas últimas. Pues para mí igual, hasta ahora he hecho historias cortas, porque me vienen en ese formato, pero también tengo historias largas, la única diferencia es a la hora de sacarla adelante. Un largo es más complicado, pero la esencia es la misma, contar una historia. Si que es verdad que los cortos tienen menos proyección en televisiones y cines que un largo. 10.- Has comentado en alguna otra entrevista que no pretendes en tus trabajos hacer distinción alguna entre hombres y mujeres, pero echándolos un vistazo, los personajes femeninos van claramente por delante de los masculinos quedando retratados en muchos casos como torpones, simples, superficiales (salvo quizá en PIPAS donde, sin aparecer físicamente, el panadero tiene una perspectiva más amplia que las de las protagonistas) ¿No tienes esa misma impresión? M.M.: Pues créeme que no lo hago con esa intención, tan sólo cuento momentos de la vida de unos personajes. Sí que quizá ellos quedan un poco mal parados, pero no lo hago conscientemente. 11.- En tus cortos se reivindica en cierto modo la necesidad de una comunicación entre las personas menos superficial que la que se da. Sin embargo la gente cada vez más se relaciona a través de un dispositivo electrónico, sin contacto físico (salvo en PIPAS que sí lo introduces, y donde es manifiestamente diáfano que el malentendido viene tanto por la falta de cultura como de comunicación) ¿No es ir un poco a contra corriente? M.M.: Esto viene, porque a mi me apasionan las relaciones entre desconocidos, pero los desconocidos que se encuentran cara a cara, no a través de Internet. A veces creo que en determinadas situaciones, eres capaz de contar a un desconocido algo en un momento puntual, antes que incluso a un amigo. 12.- Aunque probablemente me digas que todos son “hijos tuyos buscados y amados”, ¿de qué corto te sientes más satisfecha? ¿Y menos? ¿Cuál es tu preferido? M.M.: Ufff. Difícil pregunta. A todos les tengo un cariño especial por lo que han significado en cada momento en que los he rodado, y el equipo del que he estado rodeada en cada  rodaje. Pero si que he de reconocer que tanto Dolores como a Pipas les tengo un cierto cariño especial, supongo que será porque uno fue el primero y Pipas el último. 13.- Los actores de tus cortos (casi siempre los mismos) hacen un trabajo excepcional, muy creíble en todos ellos. ¿Hasta donde llega tu labor como directora de actores? ¿Eres puntillosa a lo Kubrick o los dejas improvisar? M.M.: Lamentablemente no les dejo improvisar, los pobres no meten ni una coma, trabajo mucho el guión antes de dárselo, así que cuando hacemos la lectura, ya me suena a cotidiano, y se mantiene como está. Ensayo una barbaridad. También tengo la gran fortuna de contar con los mejores actores del mundo mundial, ja, ja, ja… 14.- En el Curso de la Uva charlamos del final abierto de “Lo sé”. (Este Corto se podrá ver en la próxima edición de la SEMINCI, este mes de Octubre, en la Sección “Castilla y León en corto”, por haberse rodado parte en Medina del Campo; actualmente lo programa Canal +). Quizá en él es donde se ve aprecia mayor igualdad entre los personajes: al comenzar nos da lástima que el chico plante a la chica de ese modo, pero luego nos percatamos que recibe la misma medicina que ella estaba aplicando con su vecino admirador. ¿Es la vida una sucesión de decepciones? M.M.: No pienso para nada que la vida sea una sucesión de decepciones, creo que lo que la vida en un momento te quita, luego te da. Soy muy fan del dicho. “No hay mal que por bien no venga” 15.- Las canciones que cierran tus trabajos forman un poco parte de la historia, pero siempre van al final, podría prescindirse de ellos, parece que simplemente acompañan los títulos de crédito ¿Te sientes incómoda con un final silencioso? ¿Puede ser una consecuencia de tu faceta como publicista? ¿Crees que ha influido en tu trabajo como directora tu tarea en publicidad u otros spots “de encargo”? M.M.: Si  analizas la letra de las canciones de cada uno de mis cortos, va muy relacionada con la historia que cuento. Nada es al azar. Tan sólo es un broche final. Y en el caso de publicista, decirte que ante todo cuento historia, el trabajo en el mundo de la publicidad llegó más tarde, y de hecho me vino a través de mis cortos y video clip. 16.- Aunque has manifestado en otras ocasiones que tus finales son abiertos, a mí me parece que no dejan lugar a dudas: son contundentes y, en cierto modo, pesimistas. ¿Es así tu visión de las relaciones personales (nada dura eternamente), de la vida en general? M.M.: En realidad no lo hago como una visión que yo tenga del amor, te repito que mi intención no es transmitir un mensaje, a pesar de que cada espectador haga su lectura. Yo soy una enamorada del amor, pero cuando escribo, no sé por qué me vienen finales así, me lo haré mirar. Ja, ja, ja… 17.- ¿Dónde te sientes más a gusto, escribiendo guiones o dirigiendo? ¿Haciendo publicidad o rodando cortometrajes? M.M.: Lo que más feliz me hace es contar con imágenes lo que he imaginado. Así que siempre dirijo lo que escribo, excepto en “publi” que dirijo los spots que escribe la agencia. 18.- ¿Te has percatado de que la longitud de tus títulos es inversamente proporcional a la duración del corto? M.M.: Si, mi corto más corto, tiene el título más largo de la historia. Creo que es más largo el título que el corto en si. Ja, ja, ja… (Se refiere a “Quiero estar el resto de mi vida contigo”) 19.- ¿Qué otros proyectos tienes? ¿Qué nos puedes adelantar del largo que preparas? ¿Lo disfrutaremos pronto? M.M.: Estoy con mi primer largometraje llamado Rumbos. Es una historia a tiempo real, y ocurre en las calles de una gran ciudad una madrugada de verano. Y hasta ahí puedo leer. Esto fue parte de lo que dio una agradable conversación porque Manuela es una persona locuaz, extrovertida y encantadora. Vive su profesión con pasión y se nota en que a cada momento cuenta detalles más técnicos, aspectos de la compleja relación entre los diferentes oficios que componen la realización de una película, sinsabores que se van encontrando, cómo buscarse la vida para introducir la música que te gusta pero a la que debes renunciar por el enorme coste de los derechos de autor, etc., etc. No nos queda sino desearle mucha suerte en su carrera porque el éxito, con un talento que ya ha empezado a demostrar (lo avalan las críticas, los premios recibidos, y sobre todo, las opiniones de los espectadores), lo tiene asegurado.
Martes, 01 de Octubre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Una de las capacidades intelectuales más sorprendentes es la memoria: ¿se nace con ella?; ¿se desarrolla con la edad?; ¿se puede entrenar?; ¿por qué se puede perder instantáneamente y no de forma paulatina?; ¿puede volver a recuperarse?; ¿cómo controlar los recuerdos y los olvidos? Todo lo relativo al cerebro y sus capacidades cognitivas ha sido siempre motivo de investigación científica, pseudocientífica e, incluso, anticientífica. Lo que es indudable, dejando aparte la herencia genética y las capacidades innatas, es que la memoria puede mejorarse significativamente mediante el ejercicio continuado, tanto físico como mental. Si hacemos caso a los científicos, ¿a quién si no vamos a hacer caso?, en el libro "El cerebro: manual de instrucciones", John Ratey, profesor de psiquiatría de la Universidad de Harvard, sostiene que el ejercicio rápido e intenso aumenta la producción de la proteína cerebral llamada, como todo el mundo sabe, factor neurotrófico derivado, responsable de nutrir el cerebro al mejorar las conexiones entre las células cerebrales. Por su parte, el neurocientífico Larry Katz (1956-2005) recomienda realizar una lista de 20 ejercicios neuróbicos para mantener en forma el cerebro. Así pues, si la posesión de una excelente memoria es capaz de producir sorpresa, no es de extrañar que sea objeto de gran interés en la magia. Una muestra de habilidad mental que un mago puede ofrecer es la de poseer una memoria prodigiosa. Algunos ilustres magos, como Harry Lorayne y Derren Brown, aplican técnicas de memorización en multitud de sus espectáculos. Existen infinidad de métodos y técnicas para adiestrar la memoria (al final damos una pequeña relación de referencias), pero también se pueden aprovechar sencillas técnicas matemáticas para simular una memoria de elefante. Un ejemplo sencillo es el siguiente: Prepara nueve cartulinas, etiquetadas por un lado con una letra, de la A a la I. Por el otro lado escrite un número de 21 cifras, a partir de la lista siguiente, uno por cada tarjeta: A B C D E F G H I 190,998,752,796,516,730,336 279,651,673,033,695,493,257 358,314,594,370,774,156,178 437,077,415,617,853,819,099 516,730,336,954,932,572,910 617,853,819,099,875,279,651 730,336,954,932,572,910,112 853,819,099,875,279,651,673 976,392,134,718,976,392,134 Enseña las cartulinas al público, indica que hay escritos números "aleatorios" enormes y afirma que has sido capaz de memorizar los nueve números de 21 cifras. Para comprobarlo, pide que elijan una de las cartulinas y que te indiquen a qué letra corresponde. Casi inmediatamente, recitas el número sin equivocarte en ninguna cifra. Comprenderás que no es necesario memorizar ninguno de los números, que hay una regla de formación de cada uno de ellos. Una simple inspección ya indica que la primera cifra corresponde a la posición en orden alfabético de la letra que etiqueta cada tarjeta: A =1, B = 2, ..., I = 9. La segunda cifra es siempre un número impar, y basta recordar la secuencia 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7 (empezando por 9, se restan dos unidades; al llegar al 1 se invierte el proceso). A partir de la tercera cifra, cada una se obtiene sumando las dos cifras anteriores y desechando la cifra de las decenas. Es más rápido y sencillo si se utiliza una pizarra o una hoja de papel para escribir el número completo, una vez nombrada la letra que lo representa. El siguiente juego, de similares características, me lo enseñaron hace un buen puñado de años los amigos de Mágicus, Montse y Carles, durante una inolvidable excursión a Las Vegas, centro mundial de la magia. Prepara cinco cartulinas como las siguientes (si lo prefieres, prepara cien cartulinas con el número de referencia por una cara y el número de seis cifras por la otra): nº 74 381909 nº 46 550550 nº 34 347189 nº 83 291011 nº 14 325729 nº 93 201123 nº 25 437077 nº 45 459437 nº 31 044820 nº 82 190998 nº 73 280886 nº 100 901123 nº 62 178538 nº 8 718976 nº 58 763921 nº 18 729101 nº 27 639213 nº 53 268426 nº 63 279651 nº 96 501123   nº 60 965167 nº 9 819099 nº 41 055055 nº 99 801123 nº 37 640448 nº 86 594370 nº 2 112358 nº 68 774156 nº 49 853819 nº 10 910112 nº 23 235831 nº 32 145943 nº 72 189763 nº 55 460662 nº 57 662808 nº 15 426842 nº 26 538190 nº 92 101123 nº 88 796516 nº 71 088640   nº 5 415617 nº 70 976392 nº 24 336954 nº 97 601123 nº 91 001123 nº 13 224606 nº 64 370774 nº 89 897639 nº 22 134718 nº 80 987527 nº 3 213471 nº 77 684268 nº 69 875279 nº 44 358314 nº 40 943707 nº 11 022460 nº 50 954932 nº 36 549325 nº 51 066280 nº 39 842684   nº 12 123583 nº 90 998752 nº 94 301123 nº 48 752796 nº 42 156178 nº 4 314594 nº 16 527965 nº 84 392134 nº 87 695493 nº 21 033695 nº 75 482022 nº 56 561785 nº 30 932572 nº 59 864044 nº 38 741561 nº 29 831459 nº 79 886404 nº 66 572910 nº 65 471897 nº 85 493257   nº 81 099875 nº 47 651673 nº 52 167303 nº 19 820224 nº 6 516730 nº 33 246066 nº 35 448202 nº 67 673033 nº 54 369549 nº 95 401123 nº 1 011235 nº 98 701123 nº 76 583145 nº 28 730336 nº 78 785381 nº 7 617853 nº 61 077415 nº 17 628088 nº 43 257291 nº 20 921347 Entrégaselas al público asegurando que has logrado memorizar cien números de seis cifras. Para comprobarlo, pide que te nombren cualquier número del uno al cien, que busquen la tarjeta que contiene ese número y, de forma instantánea, recita el correspondiente número de seis cifras. Si quieres, de hecho sería deseable, puedes repetir el juego con unos cuantos números más. En todos los casos, debes ser capaz de decir el número de forma instantánea y sin dudar. Dará la impresión de que, efectivamente, tu capacidad de memoria es prodigiosa. Sé que estás deseando descubrir tú misma la regla que permite asociar el número de la tarjeta con el correspondiente número de seis cifras, de modo que no vamos a desvelar el misterio, salvo petición popular tras la consabida recogida de firmas. Terminaré dando algunos enlaces con material para entrenar la memoria: Blog "Grey Matters", http://gmmentalgym.blogspot.com/2010/10/memory-basics.html Biblioteca de Oleg Stepanov, http://stepanov.lk.net/mnemo/mnemolie.html Portal "El arte de la memoria", http://www.elartedelamemoria.org/ Web "Mnemotecnia", http://www.mnemotecnia.es/index.php Foro "Mnemotechnics", http://mnemotechnics.org Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Martes, 01 de Octubre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:José Luis Besada Portas (Université Paris 8 Saint-Denis) y Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Émilie es un monodrama en nueve escenas de la compositora Kaija Saariaho, con libreto del escritor Amin Maalouf. Está basado en la vida y el trabajo de la física y matemática Émilie du Châtelet y escrito para la soprano Karita Mattila.  Se estrenó el 1 de marzo de 2010 en la Ópera de Lyoni En esta reseña, además de comentar la ópera, queremos rendir homenaje a dos mujeres: Émilie du Châtelet –la protagonista del monodrama– y Kaija Saariaho –la autora del mismo–. 1.- Émilie du Châtelet Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, marquesa Châtelet (1706-1749) fue una matemática y física francesa cuya principal aportación científica fue la traducción al francés de los Principia Mathematica de Isaac Newton. Era hija del barón de Breteuil –Louis Nicolas Le Tonnelier– que le proporcionó  una educación raramente permitida a las niñas. Con 18 años, contrajo matrimonio con el marqués Florent Claude du Châtelet, que le permitió vivir libremente y al que veía con poca frecuencia debido a sus viajes continuos por su carrera militar. Entre sus amantes, el que más le influenció fue Voltaire, que le animó a profundizar sus conocimientos en física y matemáticas, materias en las que el poeta la consideraba como altamente capacitada y muy superior a él. Émilie estudió a Leibniz, y habló de ciencia con matemáticos como Clairaut, Maupertuis, König, Bernoulli, Euler o Réaumur. Se considera a Émilie  du Châtelet como una de las primeras mujeres científicas: no sólo tradujo las obras de Newton –añadiendo comentarios para aclarar los conceptos–: también realizó estudios propios como Dissertation sur la nature et la propagation du feu (1739) –presentada a un premio de la Académie des sciences de París– o Institutions de Physique (1740). Murió tras un embarazo y parto complicados, después de una temporada de dedicación exclusiva a la traducción de los Principia de Newton. En 2006 se creó en Francia el Institut Émilie du Châtelet: trabaja en el desarrollo de la investigación y de la enseñanza sobre las mujeres, el sexo o el género, en el conjunto de todas las disciplinas científicas. 2.- Argumento de Émilie En el libreto de la obra –que se ajusta con rigor a la vida de Émilie– se describe el argumento acto a actoii: Acto 1. Presentimientos Lunes 1 de septiembre de 1749, por la tarde. Émilie escribe una carta a Monsieur de Saint-Lambert, su amante, el padre del hijo que está por nacer; el amante que, le haya dicho lo que le haya dicho, ya no le quiere demasiado, ya no le ama. Émilie tiene corazonadas que le acosan sin cesar desde que está encinta; un presentimiento: “muerte, muerte, muerte”. Acto 2. Tumba Se pregunta qué grabarán sobre su tumba: “Aquí yace Gabrielle-Émilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquesa de Châtelet-Lomont”... o a lo mejor simplemente: “Aquí descansa Émilie”. Recuerda las palabras de Voltaire: “La divina, la sublime Émilie”. Voltaire su amante: Voltaire y Émilie “el poeta y la geómetra”. Acto 3. Voltaire Émilie se dirige al busto de Voltaire. Se recuerda en la lengua de Voltaire y en la lengua de Newton –diez años de intensa relación amorosa e intelectual–: “Diez años amándonos y filosofando”; después el enfriamiento de la pasión por parte de él, la transmutación del amor en amistad. Acto 4. Rayos Ante su biblioteca, Émilie evoca su pasión por la ciencia, a la que ama “con furor”: la naturaleza del sol, la del color y la luz; la física, la óptica, la astronomía, el álgebra, la metafísica; las letras y las lenguas. La Eneida y la angustia de Dido, el Ensayo sobre el hombre de Alexander Pope. Acto 5. Encuentro Prosigue la redacción de la carta a Monsieur de Saint-Lambert. Le recuerda el momento de su encuentro, su pasión por él aunque ella ya había pasado de la treintena… “Le he amado, le he amado con rabia. Nunca he sabido amar de otro modo.” Acto 6. Fuego Émilie deja su pluma. En un estado de confusión habla –en francés y en inglés– del fuegoiii y del fuego que arde en ella. Se dirige a sí misma, a Saint-Lambert, a Voltaire. En su cuerpo de mujer encinta se siente atrapada: “Cuanto más me acerco a la liberación, más siento acercarse la muerte.” Acto 7. Niño Émilie se dirige al niño que va a nacer –quizás una niña– así como a su padre, el barón de Breteuil. Desea a su hija un padre parecido al suyo, que le enseñe el mundo, que le ofrezca el mundo y que cante con ella. Le confía sus consejosiv: asumir sus pasiones aún a precio de  sufrimientos, no dar vueltas, no tener remordimientos. “Yo rechazaría maldecir mi pasión tardía, a pesar de que me arrastre hacia la nada.” Acto 8. Principia Émilie retoma su carta a Saint-Lambert. Le hace partícipe de su angustia por no poder terminar su traducción del libro de Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, al que consagra sus días y sus noches, sus últimas fuerzas: “Pero lo esencial está hecho. Pronto, tendré mi libro en mis brazos. Acto 9. Contra el olvido Émilie se dirige a sí misma, pero también un poco a los demás. El libro aparecerá, fue un libro póstumo. Al fin, la muerte siempre gana. “Pero me deja terminar mi libro, para que me recuerden.” Émilie teme perderse, “con libro e hijo”, en el pozo del olvido… Émilie du Châtelet da a luz a una niña el 4 de septiembre de 1749. Muere el 9 de septiembre de 1749. Karita Mattila, Opéra de Lyon, 2010 © Jean-Pierre Maurin. 3.- Kaija Saariaho La compositora finlandesa Kaija Saariaho (1952) es una de las figuras vivas más aclamada de la música contemporánea a nivel internacional: su amplio palmarés de galardones acoge en su seno los prestigiosos Grawemeyer Award (2003) –siendo la primera mujer en obtenerlo, de únicamente dos hasta la fecha– y el Polar Prize (2012).  En 2011 fue objeto de un festival monográfico en La Haya. Su formación musical superior arranca en la Academia Sibelius de Helsinki, de la mano de Paavo Heininen, de quien aprende las técnicas del serialismo. Más adelante, en los años ochenta, se traslada a Centroeuropa, para estudiar con Klaus Huber y Brian Ferneyhough en Friburgo, y en París –ciudad donde ha establecido su residencia– en el Ircam (Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique), donde adquiere sus competencias en música electroacústica e informática musical. Su contacto con la música de compositores espectrales –una corriente musical francesa altamente preocupada por el hecho físico del sonido de cara a sus estrategias compositivas– como Tristan Murail o Gérard Grisey supone un punto de inflexión en su carrera. Hoy está considerada por algunos expertos en música contemporánea como la más importante autora de la segunda generación espectral. Recientemente ha salido al mercado la compilación de sus escritos sobre música, editados por el musicólogo Stéphane Roth. El catálogo de Saariaho es enormemente variado, desde obras para solista hasta música concertante y escénica, con una importante presencia de los medios electrónicos, muy en especial desde los años ochenta hasta el inicio del siglo XXI. Sus obras dedicadas a la escena, en estrecha colaboración con el escritor libanés Amin Maalouf –encargado de los libretos– han gozado de una recepción de notable éxito en el público de ópera. La temática argumental de las óperas de Saariaho toca un conjunto de temas que en ocasiones han sido interpretados como de carácter autobiográfico: la condición femenina –con especial acento en la maternidad– y la identidad comunitaria desde la emigración o los conflictos bélicos. El elenco de obras escénicas de su catálogo abarca en la actualidad, en orden cronológico, dos óperas, una pasión y un monodrama. Debuta con L’Amour de loin (2000), ópera sobre el amor en la distancia entre el trovador medieval occitano Jaufré Rudel y su amada Clémence de Tripoli. La obra fue un encargo de Gerard Mortier –recientemente cesado del Teatro Real– para el Festival de Salzburgo. Nuevamente es el gestor belga quien le encarga su segundo trabajo operístico para la Ópera de la Bastilla en París. Con Adriana Mater (2004-05), el público se introduce en los conflictos entre una madre y su hijo adolescente, fruto de una violación durante un periodo de guerra. El New Crowned Hope –en coproducción con la Filarmónica de los Ángeles, el Barbican Center y el Lincoln Center– le ofrecen la financiación y el estreno de La Passion de Simone (2005-06). La obra, a modo de pasión escénica como vía crucis expiatorio, se nutre de la vida de la célebre Simone Weil –hermana del matemático André Weil– muy en especial de sus últimos y agónicos años. Completa la cuaterna hasta la actualidad su monodrama Émilie (2008). Karita Mattila, Opéra de Lyon, 2010 © Jean-Pierre Maurin. 4.- La música de Émilie Émilie está escrita para una única cantante con voz de soprano y un reducido grupo instrumental: una orquesta a uno con dos percusionistas y clavecín. Si bien este último instrumento citado adquiere un carácter resonante con la época en la que transcurre la acción dramática, no es la primera vez que aparece en el catálogo de Saariaho, como atestiguan Jardin Secret II (1984) para clave y electrónica, o Caliban’s dream (1995) para voz de bajo, flauta alto, clave y violonchelo. Estilísticamente, la escritura musical de este monodrama destila nítidamente la evolución del pensamiento y las estrategias desplegadas por la compositora durante sus prácticas musicales de los últimos quince años: una línea vocal pulida y de carácter molto cantabile, una armonía de naturaleza estática y acentuada por destellos en la percusión –fuertemente inspirada por su experiencia espectral, así como por la música de su admirado Sibelius– y una querencia por las figuras repetitivas y los ostinati con leves modificaciones a lo largo del tiempo. El uso de los medios electrónicos juega igualmente un papel capital en esta obra. Como ha indicado la musicóloga Liisamaija Hautsalo, el empleo del harmonizer –un procedimiento de la electrónica para transportar una fuente sonora a una o varias regiones más agudas o más graves simultáneamente con la original– permite a Émilie “dialogar virtualmente” con los personajes varones no presentes de la obra –Voltaire, su padre, … – dotando así a la acción dramática de una nueva capa de significación que la dinamiza. 5.- Algunos videos extraídos de Émilie Escena VI. Feu (Fuego).  Opéra de Lyon, 2010. Escena VII. Enfant (Niño). Opéra de Lyon, 2010. Escena VIII. Principia. Opéra de Lyon, 2010. Escena IX. Contre l'oubli (Contra el olvido). Opéra de Lyon, 2010.   Notas: [i] Página de “Émilie” en la página web de l’Opéra de Lyon y Dossier de Prensa. [ii] Traducido del libreto original en francés. [iii] El fuego de su Dissertation sur la nature et la propagation du feu (1739) [iv] Estos consejos son parte de las reflexiones contenidas en su Discours sur le bonheur (1779)
Lunes, 16 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Empezamos el nuevo curso con todas las ganas del mundo, con las respuestas a las cuestiones del Concurso del Verano de 2013, la lista de ganadores, algunas consideraciones sobre el mismo y un sucinto repaso de algunas de las cosas que han tenido lugar este verano relacionadas con el Cine y las Matemáticas. Los veranos son tiempo de relax pero eso no significa que no aparezcan noticias o cuestiones relacionadas con las matemáticas y el cine de las que estamos pendientes en la medida de lo posible y tratamos de poner al día en la página de Facebook Las matemáticas en el Cine. Así del 2 al 4 de julio hubo un interesante encuentro en los VI Cursos de Verano Ciudad de Logroño dedicados a comentar y analizar la Actualidad e Historia de las Matemáticas en los Medios de Comunicación. La revista UNO de la editorial GRAÓ publicó su monográfico nº 63 sobre la Innovación en la Universidad. Asimismo se han ido recogiendo y enlazando algunos cortometrajes relacionados con las matemáticas en la página. Hemos charlado con una joven y ya multipremiada directora española a la que dedicaremos la próxima reseña de Octubre. Y más asuntos de los que ya hablaremos y ahora mismo dejamos en la reserva para no hacer demasiado larga y pesada la presente. Sobre el Concurso Este año hemos tenido menos participantes que el año anterior (el anterior marca el máximo con 10 intrépidos participantes). Habréis notado que este año en lugar de una o dos películas, la idea era recorrer un poco (muy poco, la verdad: 120 películas son difíciles de condensar) algunos de los trabajos de un mismo actor, recientemente fallecido, Alfredo Landa. Además las cuestiones se centran no en sus mejores trabajos, sino más bien en algunas de las comedias que llevaron a definir el llamado “landismo”. La intención era múltiple: recordar por supuesto al actor, tratar de dejar por una vez el omnipresente cine yanqui (del que hay películas muy buenas, pero también muy malas, y aquí nos tragamos todas, absolutamente todas), comprobar al hilo del anterior paréntesis que hasta algunas de las más denostadas películas del landismo pueden aportar y más (y son mejores, sin lugar a dudas) que muchas de las propuestas norteamericanas, y, dado que llegaba el verano, proponer un cine más ligero, cómico, de verano, etc. Esa multiplicidad de películas ha conllevado seguramente a que haya habido menos participación porque había que controlar hasta ocho películas distintas con cierto detalle y cuestiones de algunas más, y una de las conclusiones a las que después de todos estos años hemos llegado es que los participantes en este concurso son más “matemáticos” que “cinéfilos” (es más algunos no responden más que a las cuestiones matemáticas). La sección, como sabéis, está orientada a las matemáticas, pero no queremos perder tampoco esa componente cinematográfica. En relación con ello, algún concursante indica (¡¡¡por fin hay sugerencias y opiniones!!!) que da la impresión que cada vez el concurso se inclina más al cine, pisando el terreno a la parte matemática. Lo cierto es que cada vez han ido apareciendo más cuestiones (la idea es que dure un mes entero, pero relajadamente, es decir, resolviendo las cuestiones poco a poco, e intentar que se vean las películas), pero intentando guardar una proporción entre las culturales y las matemáticas que se ha ido acercando al 50% (en el verano de 2005 sólo había una pregunta (de cine), en 2006 nueve (cinco de cine), en 2007 siete (cuatro de cine), en 2008 doce (cinco de cine), en 2009 dieciocho (ocho de cine), en 2010 veintiuna (ocho de cine), en 2011 veintitrés (ocho de cine), en 2012 treinta (catorce de cine), y en éste 2013 cuarenta y una (veintitrés de cine)). Ciertamente esta edición la parte cinematográfica ha sobrepasado ligeramente la matemática, pero es que hasta ahora tampoco nos había preocupado en demasía tal proporción. Otro amable y joven lector, Pedro (12 años) sugiere un concurso más adecuado para su edad. Recogemos su idea y trataremos la próxima edición de proponer cuestiones para los más jóvenes y otras para los más adultos. Un saludo y gracias, Pedro. Y sin más prolegómenos, pasemos a las Respuestas a las Cuestiones del Concurso de Verano 2013 (recordemos que relacionadas con las matemáticas van en color azul, y el resto, sobre cine u otras cosas, en rojo). 1.- El reloj de uno de los protagonistas funciona con velocidad constante, pero sus agujas se superponen cada 62 minutos. Entonces, ¿Adelanta? ¿Atrasa? ¿Cuánto? Respuesta: En un reloj que funcione correctamente, la velocidad a la que se mueve la aguja de los minutos es de 2π rad/hora, mientras que la de las horas lo hace a π/6 rad/hora (da una vuelta completa a las 12 horas). Las agujas están juntas a las 12:00 con toda seguridad. Averigüemos cuando vuelven a estarlo. La aguja de las horas habrá recorrido un ángulo a, mientras que la de los minutos habrá recorrido el mismo ángulo más una vuelta completa, o sea 2π + a, en un tiempo t. Por tanto, 2π = (2π +a)/t π/6 = a/t Resolviendo el sistema, se tiene que t = 12/11 h, a = 2 π /11 Expresando el tiempo en minutos y segundos, t = 1 h  5 minutos 27 segundos. En el reloj del enunciado las agujas se superponen cada 62 minutos, mientras que en uno que funcione correctamente acabamos de demostrar que esa situación se da cada 65 minutos y 27 segundos. Por tanto el reloj en cuestión va más rápido de lo normal, y por tanto, adelanta. En una hora por tanto, adelantará 65 minutos, 27 seg. − 62 min. = 3 minutos 27 segundos, que al cabo del día es como para darse cuenta de que el reloj está como para arreglarlo o cambiarlo. 2.- ¿Qué ángulo forman exactamente las manecillas en la imagen? Respuesta: El ángulo entre dos números consecutivos del reloj es 360º/12  = 30º. En el caso del reloj de la imagen será 4 x 30º = 120º. (El ángulo complementario será por tanto 240º, un concursante me indica que en realidad no se especifica cuál de los dos ángulos se pide). 3.- ¿Qué cantidad prestó el bueno de Don Felipe? ¿Cómo se devuelve el préstamo mes a mes? Respuesta: En general si C es la cantidad prestada, no es difícil demostrar que al terminar el año n el reembolso Rn, y la deuda restante Dn son Sin entrar en su demostración, se puede también construir una tabla de este tipo Al terminar el décimo año, es la cantidad que hay que devolver. Como todos los  reembolsos son números enteros de pesetas según el enunciado, C debe ser divisible por los denominadores de Rn, es decir, 2, 6, 12,...., 90 es decir por 23 × 32 × 5 × 7 = 2520, luego C = 2520 K, con K número natural. Como el último reembolso, < 300, entonces C < 3000, luego K = 1, y así C = 2520. Ese préstamo de 2520 pesetas se devuelve entonces así (basta calcular las fracciones de la columna de Rn): Año1 : 1260 ptas; Año 2: 420 ptas; Año 3: 210 ptas; Año 4: 126 ptas; Año 5: 84 ptas; Año 6: 60 ptas; Año 7: 45 ptas; Año 8: 35 ptas; Año 9: 28 ptas y el último año las 252 pesetas restantes. En esta cuestión, algún participante ha tomado la progresión también en el último mes, el décimo. El enunciado especificaba que “el último año, el décimo, supongo que acabará el saldo..., una bagatela de menos de 300 pesetas”. Se infiere que el último mes por tanto es de liquidación final, quede lo que quede, que es una cantidad menor de 300 pesetas. 4.- Dijimos que era día 20. ¿De qué mes? ¿De qué año? Respuesta: 20 de Noviembre de 1962 como aparece en un calendario de la casa de Enriqueta, la secretaria interpretada por Gracita Morales, se trataría de un Martes. 5.- ¿Cómo pudo adivinar su compañero la causa exacta del error sin echar un solo vistazo a las cuentas? Respuesta: Un número N cualquiera es igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras (esto nos lo dice el criterio de divisibilidad por 9). Si se invierten las cifras de N, se obtiene otro número N* que es también igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras (que son las mismas que las de N). Por tanto N – N* es un múltiplo de 9. Al ser 54 un múltiplo de 9, una posible causa es precisamente esa (que podría ser otra, por supuesto), pero es una posibilidad a comprobar que, en este caso, era. 6.- ¿Cuántas veces aparece el objeto anteriormente descrito (indicar brevemente las escenas)? Respuesta: El enunciado se refería a cuantas veces aparecía un reloj en la película, cualquier reloj, no el de la foto (el del banco). Como no queda claro (por no dar demasiadas pistas), se ha tomado por válido la respuesta de ese reloj. Y aparece hasta 15 veces. 7.- Hay otro objeto en los domicilios de los protagonistas que se repite. ¿Cuál? Respuesta: El Calendario de publicidad del Banco de los Previsores del Mañana, donde trabajan nuestros protagonistas, que se observa al menos en las casas de Benítez (Manuel Alexandre), Enriqueta (Gracita Morales), y Galindo (José Luis López Vázquez). 8.- ¿En qué momento aparece por primera vez el personaje que buscamos y que hace? Respuesta: La primera vez que aparece Castrillo (Alfredo Landa), que es cajero, es en el minuto 1:37, durante los títulos de crédito, conduciendo una moto a toda pastilla porque llega tarde. Durante los mismos aparecen todos los personajes. 9.- ¿Que película aparece anunciada encima de la fachada principal del banco? Respuesta: Sólo se ve el anuncio encima de la sucursal al final de la película. Es Vacaciones en Roma (Roman Holiday, William Wyler, EE. UU., 1953)”, de la que acaban de cumplirse “casualmente” seis décadas de su estreno internacional. 10.- ¿Quién o que es “Eustaquia Hugarea”? Respuesta: La inscripción que hay en una lápida en el Cementerio donde se reúne en cierta ocasión la banda. 11.- El actor que buscamos no iba en un principio a participar en esta película. ¿A quién sustituía? Respuesta: Sustituía a Manolo Gómez Bur. 12.- ¿Por qué el actor originalmente pensado no participó? Respuesta: Estaba comprometido con otra película. 13.- ¿Cuánto cobró nuestro protagonista por este trabajo? ¿Donde lo vio el guionista? Respuesta: Cobró 10.000 pts en 3 plazos de 3.000 pts y las 1.000  restantes al terminar el doblaje. El guionista lo vio en el teatro María Guerrero haciendo la comedia "Eloísa está debajo de un almendro" de Enrique Jardiel Poncela. 14.- Hablando de botijos, ¿cómo describiríais esta superficie en términos de una función de dos variables? Respuesta: La expresión más cercana a la forma del botijo es la dada por Emilio Díaz, de un esferoide prolato, truncado por una de sus bases , con a, c constantes. 15.- Como pista para adivinar la película, diremos que es una de esas en la que se relata en paralelo las peripecias de tres personas distintas y que, en un momento dado, coinciden las tres. ¿De qué película hablamos? Citar alguna otra película del mismo actor de esquema similar (historias diferentes que convergen en algún momento). Por cierto, el nombre del actor en la ficción responde a un concepto matemático. Respuesta: Se trata de la película 40 grados a la sombra (Mariano Ozores, 1967). El personaje que interpreta Alfredo Landa se llama Máximo. Otras películas de Alfredo Landa con varias historias diferentes que confluyen son Las viudas (José María Forqué, 1966), Crónica de nueve meses (Mariano Ozores, 1967), Novios 68 (Pedro Lazaga, 1967), Cuatro noches de boda (Mariano Ozores, 1969), entre otras. 16.- ¿Qué se hace “con una servilleta de bar y dos confetis”? Respuesta: Un bikini. 17.- ¿Eres capaz de colocar en el mostrador 17 cócteles en 4 filas, de modo que en cada fila haya 5? Respuesta: En la imagen, una de las soluciones aportadas por nuestros participantes. 18.- ¿En qué película, cuyos títulos de crédito corrieron a cargo del conocido dibujante de la anterior, como vemos en la imagen, sucedió esto? ¿O no sucedió? Respuesta: En la película Amor a la española (Fernando Merino, 1966) nuestro actor incógnita es un camarero en la Costa del Sol que sirve cócteles en las terrazas. Lo de poner 17 cócteles en 4 filas no aparece en la película. 19.- ¿Cómo se llaman estos números y a que deben su nombre? Respuesta: Se llaman Sexy primes. Los Sexy primes son primos que difieren con el anterior por 6. Se llaman así porque en latín SEIS se dice SEX. 20.- Demostrar que no puede haber otra serie igual. Respuesta: Todos los participantes han descrito correctamente la demostración. Una de ellas, descrita en términos sencillos dice así: “Los números primos a partir de dos cifras solo pueden terminar en 1, 3, 7, o 9; en 5 no pueden acabar pues serían múltiplos de 5. La serie más larga de esta clase de números es la anteriormente indicada, pues en el momento que sumemos 9 + 6 obtenemos un número acabado en 5 y eso no puede ocurrir pues no sería número primo”. 21.- ¿A qué película se refiere este párrafo? Respuesta: Soltera y madre en la vida (Javier Aguirre, 1969). 22.- Si tal jarrón tiene una altura de 40 cm., calcular su volumen modelizando su forma del modo que se considere oportuno (pero que se parezca lo más posible al de la foto, que por cierto es bastante horrible). Respuesta: La idea que describe Elías Villalonga fue en la que inicialmente pensé cuando propuse esta cuestión. Lo expresa de este modo (cambié algunas palabras simplemente que me parecieron más descriptivas): “Ponemos el jarrón de lado, horizontalmente. Construimos una función que defina aproximadamente este perfil. Y hacemos girar dicha función alrededor del eje de abscisas para calcular el volumen del cuerpo de revolución asociado (el jarrón modelizado). El perfil puede describirse por una función polinómica de grado 4. Ésta debe tener dos mínimos y un máximo relativos. Imponemos unos valores aproximados que den lugar a esta estructura y que concuerde con los valores del perfil del jarrón. Así, si llamamos f(x) a esta función, imponemos que: f(0) = 8            f(5) = 6            f(20) = 8          f(30) = 3          f(40) = 9 Resolviendo el sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, obtenemos los coeficientes de las potencias de x. La función queda, por lo tanto: Si calculamos la integral que da el volumen de revolución al hacer girar la función alrededor del eje x, obtenemos que: Por lo tanto, el volumen aproximado requerido es de 6791,44 centímetros cúbicos”. No obstante, se han dado también como válidos otros planteamientos como considerar en dos trozos el jarrón y describir mediante una superficie diferente cada trozo, sumando después ambos volúmenes. Lo que no se ha dado por válidas son aproximaciones menos ajustadas como tomar el jarrón como un cilindro. 23.- ¿Que biólogo francés sostiene esta afirmación según los protagonistas? ¿En que libro lo están leyendo? Respuesta: En la película se menciona el autor, Jean Rostand, y la editorial, Gallimard Paris. La película es de 1969 con lo que el libro debe ser obviamente anterior. De acuerdo además con el argumento de la película, no hay duda de que se tarta de Maternité et Biologie (París, Gallimard, 1966). Es muy probable que los guionistas tomaran como referencia este artículo http://hemeroteca.abc.es/nav/Navigate.exe/hemeroteca/madrid/blanco.y.negro/1968/04/06/089.html, publicado en 1968. Hay también traducción al castellano de este libro, Maternidad y Biologia. 24.- ¿Se encontrarán las bolas? Si es así, ¿dónde? (se precisa una demostración). Respuesta: Adjunto el razonamiento de Celso de Frutos de Nicolás: Las bolas se encontrarán en el punto O. La bola M recorre la trayectoria roja y la bola N la azul. Si las dos bolas se impulsan según se dice en el problema adquirirán la misma velocidad y habrán recorrido la misma distancia cuando se encuentren. Al ser lanzadas en direcciones paralelas a las diagonales, al chocar con los lados del rectángulo formarán con éstos ángulos iguales a los que forman las diagonales en las esquinas con los mismos lados (en la imagen indicados con las letras a y b) y por lo tanto las tres partes de cada trayectoria son paralelas a una de las dos diagonales: Los segmentos ME, FO y KT son paralelos a la diagonal AC y los segmentos EF,  NK y  TO son paralelos a la diagonal BD. Ahora hay que demostrar que las dos trayectorias tienen la misma longitud: De donde se deduce que las dos trayectorias son iguales c.q.d. 25.- ¿Quién es el sacerdote de la foto que llevamos largo rato mencionando? ¿Tiene alguna otra relevancia en la película? ¿De que película hablamos? ¿Interpretó nuestro personaje misterioso alguna vez a un sacerdote? ¿Cuántas? Respuesta: Se trata del dibujante Antonio Mingote, que además es guionista de la película Soltera y madre en la vida, y que realizó los dibujos de otras muchas películas, entre ellas la citada anteriormente Cuarenta grados a la sombra. En la película interpreta al sacerdote que casa a Alfredo Landa y Lina Morgan. Alfredo Landa ha interpretado dos veces a un sacerdote, en las películas Un curita cañón (Luís M. Delgado, 1974), Los pecados de una chica casi decente (Mariano Ozores, 1975) y Forja de amigos (Tito Davison, Méjico, 1980). En Marcelino Pan y Vino (Luigi Comencini, 1991) en realidad es un monje, no un sacerdote, con lo que ésta última, no es válida. Se han considerado acertadas las respuestas que hayan dado dos de las tres películas. 26.- ¿De cuantas formas diferentes podía hacerlo? Respuesta: Todos los participantes han utilizado combinatoria para resolver la cuestión. Han transformado el enunciado en este otro equivalente: ¿De cuántas maneras podemos sumar unos y doses para obtener 10? Llamando Cm,n a las combinaciones de m elementos tomados de n en n, detallemos los casos posibles: 1 modo de sumar 10 únicamente mediante unos 9 formas de sumar 10 con un dos y ocho unos 28 formas de sumar 10 con dos doses y seis unos: C8,2 = (8 x 7)/2 = 28 35 modos de sumar 10 con tres doses y cuatro unos: C7,3 = (7 x 6 x 5)/(2 x 3) =35 15 maneras de sumar 10 con cuatro doses y dos unos: C6,4 = (6 x 5 x 4 x 3)/(2 x 3 x 4) = 15 1 modo de sumar 10 únicamente mediante doses Por tanto el número total de posibilidades será: 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89. Permitidme describiros un modo diferente de resolver la cuestión. Llamemos an al número de formas diferentes  en que la persona sube una escalera de n peldaños, y busquemos una relación de recurrencia para an. Es claro que si n = 1, a1 = 1 y que si n = 2, a2 = 2 (la escalera de dos peldaños puede subirse de dos modos: con un único paso de dos peldaños, o con dos pasos de un peldaño cada uno). Busquemos una expresión para an observando el último paso dado por la persona, que puede ser de uno o de dos peldaños. i) Si el último paso es de un peldaño, el número de formas de subir la escalera es el número de formas de subir los n – 1 escalones anteriores, es decir, an─1. ii) Si el último paso es de dos peldaños, entonces los n – 2 escalones anteriores se han subido de an─1 formas distintas. Así las cosas, se tiene que  an = an─1 + an─2 (una relación tipo Fibonacci). Resolviendo la ecuación en recurrencia (omito las cuentas), se llega a que Sustituyendo entonces, obtenemos que a10 = 89, tal y como se obtiene por el otro método. 27.- En esta ocasión, ¿cuál es la película? Respuesta: Se trata de Crónica de nueve meses (Mariano Ozores, 1967). Como comenta Emilio Díaz, la imagen corresponde al momento en que la mujer de Alejandro (Alfredo Landa) se pone de parto, con el nerviosismo propio de la situación. 28.- ¿Seríais capaces de encontrar la expresión matemática de una curva que simule tal objeto? (los extremos más gruesos los obviamos). La más sencilla y más fiel a la realidad será la ganadora. Respuesta: No ha habido demasiado acierto en las propuestas de los concursantes en esta cuestión. Obsérvese que en el enunciado decía “expresión matemática”, no función. Así pues valía dar una expresión a trozos, similar a la representada en la que falta el arco de circunferencia (por ejemplo) que una los extremos de la función trigonométrica superior, y la constante inferior. Personalmente yo opto por la pequeña astucia de abrir la horquilla, es decir, colocar la función constante inferior a continuación de la superior, y así nos evitamos el arco curvo. Lo que si que era necesario era dar las ecuaciones de las expresiones empleadas. En el caso del dibujo  con  29.- ¿A que nos referimos? ¿Cuál es el título de la película? Respuesta: Esta era la cuestión para “mayores de 18”. En la lamentable Cuando el cuerno suena (Luís M. Delgado, 1974), José, el protagonista utiliza la horquilla para abrir el cinturón de castidad de una joven (la malograda Sandra Mozarowsky). Aquí puede verse la escena: http://www.youtube.com/watch?v=0ZN7hRYQeNI 30.- ¿Cuánto tardará en llegar al decimoquinto poste? Respuesta: 15 minutos 33 segundos (desde el principio). La distancia del primer poste al poste décimo es de nueve unidades. Como se indica en el enunciado, tarda 10 minutos en recorrer esta distancia. Por tanto, tarda 1 minuto y un noveno en recorrer la distancia de los nueve postes. Desde el primer poste al decimoquinto hay recorrer catorce postes. Debería tardar 14 x 10/9 minutos: 15 minutos y 33 segundos (prescindimos, como en las primeras cuestiones, de las fracciones de segundo). 31.- ¿Qué oficio desempeña en esta película? ¿Alguna otra vez lo ha repetido? ¿De qué película se trata? Respuesta: Alfredo Landa interpreta a un mecánico en esta película, El puente (Juan Antonio Bardem, 1976). También hace ese papel en Soltera y madre en la vida (Javier Aguirre, 1969). 32.- ¿Qué probabilidad tiene de ganar? Respuesta: Podemos representar el desarrollo del juego mediante un diagrama en árbol: De dicho gráfico se deduce que: 1.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 2 es 2.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 4 es: 3.- La probabilidad de que el juego tenga longitud 6 es: , etc,  en general la probabilidad de que el juego tenga longitud 2n es: La probabilidad p de ganar será la suma de las probabilidades de ganar en 4 pasos más la de que gane en 6 pasos,...etc.: 33.- ¿Cuál es la duración media de las partidas? Respuesta: La duración media M de un juego es la suma de cada longitud por la probabilidad respectiva: Esta serie es una serie aritmético-geométrica que se suma por el mismo método que la geométrica: tiradas 34.- ¿De qué película se trata? Respuesta: La escena pertenece a la película El crack, de José Luis Garci (1981). 35.- Jeroglífico 1 Respuesta: Cuarenta Grados a la Sombra (Mariano Ozores, 1967). 36.- Jeroglífico 2 Respuesta: Historia de un Beso (José Luís Garci, 2002). Quizá ésta necesite alguna explicación. La kiss surface (en castellano creo que no tiene traducción, yo al menos no la he encontrado) es la quintica de revolución dada por la ecuación x2 + y2 = (1−z)z4 (ver imagen). En el jeroglífico aparecían varios estados previos a su construcción final. Puede verse, por ejemplo,  en el enlace http://www.flickr.com/photos/fdecomite/4182816300/lightbox/ 37.- Jeroglífico 3 Respuesta: Cateto a Babor (Ramón Fernández, 1970). 38.- ¿A que actor hemos pretendido homenajear? Respuesta: Es meridianamente claro que a Alfredo Landa (1933 – 2013). 39.- ¿Qué número ha marcado intensamente su vida? ¿Por qué? Citar esa misma cantidad de películas en las que pronuncie ese número, indicando sucintamente la escena (por ejemplo, si  el número fuera el 7, indicar 7 películas en las que salga diciendo el número 7). Respuesta: El número 3: Nació el día 3 de marzo (tercer mes) del año 1933 a las 3 de la tarde. Tuvo 3 hijos, 3 Goyas, vivió en un portal con el número 3, y fue grande en 3 medios (cine, televisión y teatro). Tres películas donde Alfredo Landa pronuncia el número 3 (incluyo todas las que los participantes han señalado, que son correctas todas): “Los santos inocentes”: Paco el bajo, intenta convencer al señorito para el que trabajaba Azarías diciéndole: “Allí en la casa 2 piezas con 3 muchachos….” “El puente”: Juan montado en “la poderosa” reflexiona por no tener un plan para el puente diciendo “Las 3 y cuarto, casi 60 horas antes de volver al taller” “La marrana”: Bartolomé antes de ir a ver a su tío el prior “He pasado los 3 últimos años de mi vida en Túnez y no comprando alfombras precisamente” le dice a Ruy (Antonio Resines) 40.- Una cuestión de máximos: ¿Con que actriz coincidió más veces a lo largo de su carrera? Respuesta: Esta pregunta también tenía su “trampa”. Todos los participantes que han respondido a esta cuestión han indicado que era Concha Velasco (con la que trabajó en 9 películas). Sin embargo, la pregunta no especifica que la actriz sea la actriz principal ni que Alfredo Landa no trabaje como secundario. Pues bien, con la popular actriz María José (Josele) Román coincidió nada más y nada menos que en 19 películas. Por si alguno no se lo cree, son éstas: La decente (1970; imagen de la foto), Vente a Alemania, Pepe (1970), Simón, contamos contigo (1971), Aunque la hormona se vista de seda (1971), No desearás la mujer del vecino (1971), Vente a ligar al Oeste (1971), París bien vale una moza (1972), No firmes más letras, cielo (1971), Los novios de mi mujer (1971), Pisito de solteras (1972), Manolo la nuit (1973), Jenaro, el de los catorce (1973), El reprimido (1973), Celedonio y yo somos así (1974), Las obsesiones de Armando (1974), Cuando el cuerno suena (1974), Esclava te doy (1975), Mayordomo para todo (1975), El puente (1976). 41.- Según él, ¿cuál fue la actriz más guapa con la que trabajó? (Pista: era norteamericana (ha fallecido hace poco), y fue muy popular anunciando una conocida marca de brandy). Respuesta: Alfredo Landa manifestó en varias entrevistas que “Patty Shepard es la actriz más guapa con la que yo he trabajado”. Puntuación Final Después de un paciente análisis de cada respuesta a cargo de una comisión encargada a tal efecto, las puntuaciones de los participantes han quedado del siguiente modo: 1º.- Elías Villalonga Fernández.- 264 puntos. 2º.- Emilio Díaz Rodríguez .- 234 puntos. 3º.- Celso de Frutos de Nicolás.- 215 puntos. 4º.- Imanol Pérez.- 132 puntos. Enhorabuena a todos. Espero que os haya entretenido la propuesta, que no dudéis tratará de mejorarse la próxima edición.
Miércoles, 11 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Tras haber estudiado en la columna anterior las transformaciones rítmicas, nos adentramos en este mes en las binarizaciones y ternarizaciones de ritmos. Las binarizaciones se estudiarán con los ejemplos reales tomados del libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Se analizarán también las ternarizaciones, siguiendo el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07], así como los experimentos que realizaron con distancias rítmicas y centros de familias de patrones rítmicos. 3. La teoría de Rolando Pérez Ilustraremos la binarización de patrones rítmicos principalmente examinando el libro de Rolando Pérez [Pér86]. Este autor ofrece una teoría que explica la presencia de patrones binarios en América Latina como resultado de un proceso de binarización de patrones rítmicos ternarios de los esclavos de origen africano. El libro está organizado en tres grandes capítulos que glosaremos aquí brevemente. El primer capítulo constituye un estudio histórico, sociológico y cultural de la influencia africana en la península ibérica y en la América Latina colonial. Se estudian con gran atención los procesos de enculturación, deculturación y transculturación entre la cultura de los esclavos y la de los colonizadores. Tras la caída de Constantinopla en 1453 el comercio de esclavos desde Oriente Próximo se interrumpe, pues queda en manos de los turcos, y los españoles van al África occidental para nutrirse de esclavos. Después del descubrimiento de América, los esclavos capturados en África eran mandados a los nuevos territorios. Tan solo nueve años después del descubrimiento de América, España aprueba la primera ley para regular el mercado de esclavos. En algunos casos los esclavos renuncian a su cultura y aceptan la de la potencia dominante; en otros casos la cultura de origen se mantiene de como forma de preservar la identidad, incluso a pesar de la represión ejercida por el entorno. El capítulo dos está dedicado al estudio de las similitudes y diferencias en la música española y la africana así como a los procesos de sincretismo entre ambas. La zona de África de donde se tomaba los esclavos gozaba de una cierta unidad musical –Rolando Pérez hace esta afirmación basándose en el trabajo de Nketia [Nke63]–. También recuerda el autor que en la música de la península ibérica en aquellos tiempo los patrones rítmicos ternarios eran bastante frecuentes. En este segundo capítulo se explica con detalle el proceso de binarización y lo analizaremos en profundidad más abajo. En el tercer capítulo Rolando Pérez pone ejemplo musicales detallados de cómo el proceso de binarización tiene lugar. Muestra, por ejemplo, como la clave ternaria [x . x . x . . x . x . .] se transforma en la clave binaria [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Rolando Pérez se apoya en el trabajo del prestigioso musicólogo ghanés Nketia [Nke63, Nke74] para la conceptualización y terminología de su teoría. Nketia relacional la frase música con el tramo temporal, que es de duración fija. El tramo temporal, que se identifica típicamente con un compás de 12/8 a la hora de transcribir, se divide en pulsos reguladores que sirven como referencia a los bailarines (en África la música no se concibe sin la danza). Estos pulsos reguladores dividen en dos partes iguales al tramo temporal. Dividiendo a su vez el tramo temporal en unidades más pequeñas llegamos al pulso básico. El tramo temporal se mide en términos de pulsos básicos. Hasta aquí la teoría de Nketia; en este punto Rolando Pérez introduce el pie métrico entre la categoría de pulso regulador y la de pulso básico. El pie métrico es la clasificación del agrupamiento de dos o más pulsos básicos acorde a su duración o acentuación. Aquí solo tomaremos en cuenta el agrupamiento por duración. Hay dos duraciones básicas, la larga y la corta, y la primera dura el doble que la segunda. En la figura 1 se pueden ver los principales pies métricos que se emplearán en este artículo (L significa largo y C corto; hemos usado notación de caja). Figura 1: Los principales pies métricos Por ejemplo, el patrón [x . x x x . ∣ x x . x . x] está formado por un tramo temporal de 12 pulsos básicos, donde los pulsos reguladores se encuentran en las posiciones 1 y 7. Su descomposición en términos de pies métricos es troqueo+yambo+yambo+troqueo. La línea vertical marca la división del tramo temporal en los dos pulsos reguladores. En este punto Rolando Pérez presenta un conjunto de patrones rítmicos con un tramo temporal formado por 6 pulsos ([Pér86], páginas 82, 83, 91 y 101). Todos ellos son combinaciones de los pies métricos definidos antes. Para cada uno de esos ritmos muestra el proceso de binarización, el cual tiene lugar al nivel del pie métrico. En la figura 2 se recogen esos patrones rítmicos y sus binarizaciones. Los nombres en la columna de la derecha corresponden a uno de los muchos que se pueden encontrar para ese patrón rítmico concreto. Figura 2: Patrones rítmicos de 6 pulsos y sus versiones binarias. En la figura 3 podemos observar la evolución del pie de zamba hasta el patrón [x x . x x . x .] en varios ejemplos ([Pér86], páginas 100 y 101). Primer, tenemos La manta, una canción mejicana con el pie de zamba (véase la voz superior); después se percibe una binarización parcial de la segunda parte del pie de zamba en una canción popular mejicana llamada El adiós a la fiesta; finalmente, vemos la danza cubana de Ignacio Cervantes Pst, donde se ha producido una binarización completa. La manta El adiós Pst Figura 3: Evolución del pie de zamba. En un segundo conjunto de ritmos, Rolando Pérez reúne patrones rítmicos con tramos temporales de 12 pulsos y presenta sus correspondientes binarizaciones ([Pér86], páginas 102 y siguientes); véase la figura 4. El patrón llamado clave son 6/8 se puede encontrar en muchas tradiciones musicales bajo otros nombres, por ejemplo, como clave fume-fume [Tou03b]. El patrón [x . x . x x . x . x . x] es conocido bajo otros nombres, pero hemos elegido el que se usa en la tradición africana: bembé. Chernoff [Che79] fue el primero en estudiar la binarización del bembé. Figura 4: Patrones binarizados con tramos temporales de 12 pulsos. Los nombres de los patrones binarizados en la columna de la derecha servirán como referencia en el resto del artículo. Rolando Pérez presenta un tercer conjunto de patrones rítmicos a los que llama recursos de variación rítmica ([Pér86], páginas 73-74 y 112-122). Estos patrones están formados por variaciones del moloso [x . x . x .], la primera parte de la clave son 6/8. Fueron recogidos para un trabajo previo de Rolando Pérez  [Pér79] en el cual clasificaba los patrones de palmas y cencerros de la música tradicional cubana. Estos patrones también estaban documentados en tradiciones musicales africanas pertenecientes a las áreas donde se produjo esclavitud. En la figura 5 se muestran estas variaciones rítmicas junto con las versiones binarizadas. Nótese que algunas variaciones tienen más de una versión binaria asociada. Descripción Notación del Versión Nombre del del patrón patrón binarizada patrón binarizado Variación 1(c) [x x x . x .] [x . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-1 Variación 1(c) [x x x . x .] [x x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-2 Variación 1(d) [. x x . x .] [. . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-1 Variación 1(d) [. x x . x .] [. x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-2 Variación 2(c) [x x x . x x] [x . x x . . x x] Ver. binarizada var. 2(c) Variación 4(c) [x x x x x x] [x x . x . x x x] Ver. binarizada var. 4(c) Variación 4(a) [x . x x x x] [x . . x x x x .] Ver. binarizada var. 4(a) Variación 5(a) [x . x . . .] [x . . x . . . .] Ver. binarizada var. 5(a) Variación 6(c) [x x x . . x] [x x . x . . . x] Ver. binarizada var. 6(c) Figura 5: Binarizaciones de los recursos de variación rítmica. De nuevo, los nombres de los patrones binarizados son mnemónicos para futura referencia en este artículo. 4. Reglas de transformación rítmica Como ya hemos señalado, el proceso de binarización propuesto por Rolando Pérez usa el pie métrico como punto de partida. La binarización de un patrón ternario se descompone en términos de su pie métrico. Después, cada pie es binarizado de acuerdo a un conjunto de reglas de binarización o reglas de transformación rítmica. Finalmente, los pies binarizados se ponen juntos de nuevo para formar el nuevo patrón rítmico. Por ejemplo, consideremos el pie de zamba [x x x x x .]. Está formado por la concatenación de un tribraquio [x x x] y un yambo [x x .]. En este caso, las reglas de transformación son [x x x]-→[x x . x ] y [x x .]-→[x . x . ]. Finalmente, pegamos los subpatrones y obtenemos el patrón ternario [x x . x x . x .]. Las reglas de transformación usadas en el libro de Rolando Pérez se pueden ver en la figura 6 (la explicación de la columna de la derecha se da en la siguiente sección). Pie métrico Patrón binarizado Reglas de aproximación [x x x] [x x . x] Vecino más cercano [x . x x] Vecino horario [x x x .] Vecino antihorario [x . x] [x . . x] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano [x x .] [x x . .] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano Figura 6: Las reglas de transformación rítmica usadas por Rolando Pérez y su interpretación geométrica. Gómez y sus coautores [GKK+07] estudiaron desde un punto de vista matemático las reglas de transformación rítmicas definidas por Rolando Pérez en su libro. Definieron una serie de reglas geométricas con las que modelizar la binarización. Aun más, analizaron las reglas inversas, las de ternarización, y llevaron a cabo experimentos con esas reglas. En el resto de este artículo revisaremos su trabajo. 4.1. Reglas de aproximación Las reglas descritas antes son expresables en términos de reglas de aproximación. Algunas reglas de binarización se pueden interpretar como un problema geométrico en un círculo. Para hacer una exposición más gráfica, consideremos un reloj de tres horas superimpuesto sobre un reloj de cuatro horas, tal y como se muestra en la figura 7. El problema se reduce a encontrar una regla que transforme las notas del reloj ternario en notas del reloj binario. Ya que ambos relojes tienen como hora común las doce del mediodía (el polo norte), esta nota se transforma en sí misma. Para el resto de las notas se definen varias reglas. Una regla que surge naturalmente es asociar la nota con su vecino más cercano en el reloj binario. Esta regla refuerza la idea intuitiva de que las notas se perturban lo menos posible y se debería esperar pues que las estructuras perceptuales de ambos ritmos fuesen similares. Por ejemplo, esta regla toma el tribraquio [x x x] y lo convierte en [x x . x]; esta regla se llama del vecino más cercano (VMC). Otras reglas que se van a usar son las siguientes: la regla del vecino más lejano (VML), donde cada nota se mueve a su vecino más lejano; la regla del vecino horario (VH), donde cada nota se asocia a la nota siguiente en el sentido horario; y la regla del vecino antihorario (VAH), donde cada nota se mueve a la siguiente en sentido antihorario. En la figura 6 de arriba la columna de más a la derecha contiene las reglas utilizadas por Rolando Pérez y su definición en términos de las reglas de aproximación. La regla VML, del vecino más lejano, puede parecer poco intuitiva. Sin embargo, los experimentos demostraron que esta regla funciona bien en muchos casos y que era válido tenerla en cuenta. Figura 7: Las reglas de aproximación. Nótese que la reglas VMC y VML pueden llevar dos notas a una nota común. Tomemos el tribraquio [x x x] y la regla del vecino más lejano; uno obtiene el patrón [x . x .], con una nota menos. Surge entonces el llamado problema de las notas comunes. Volveremos a este problema más tarde. Las reglas de aproximación se han usado previamente en otros contextos; por ejemplo, en la definición de ritmos euclídeos o en similitud rítmica en la música flamenca; véanse [Tou03a] y [DGM+05]. 5. Experimentos con las reglas de aproximación En el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07]estudiaron los procesos de binarización y ternarización. Lamentablemente, no disponían de un conjunto de patrones ternarios como los que había recogido Rolando Pérez para el caso binario. Su estudio consistió en una serie de experimentos con las reglas de aproximación que explicamos a continuación. El primer experimento consistió en binarizar los patrones ternarios contenidos en los libros de Rolando Pérez [Pér86, Pér79] (véanse las figuras 2, 4 y 5) empleando las reglas de aproximación VMC, VML, VH y VAH. Estas reglas no solo se pueden aplicar para binarizar patrones rítmicos, sino que también valen para ternarizar patrones binarios. Las reglas de aproximación en estos experimentos no fueron aplicadas al nivel del pie métrico sino al patrón rítmico entero. El segundo experimento tiene que ver con los centros de familias de patrones rítmicos o patrones que equidistan de todos los demás (ver la correspondiente sección más abajo para los detalles técnicos). Estos fueron usados por primera vez por Toussaint en el análisis de ritmos de clave binarios y ternarios [Tou02, Tou03a]. Resta por resolver el problema de las notas comunes que surge con las reglas VMC y VML. Gómez y sus coautores usaron el concepto de contorno rítmico para resolverlo. Su motivación para ello fue su importancia en cognición musical [Mar91, Han98, Deu98, Sny04]. 5.1. Contorno rítmico El contorno rítmico se ha usado en el análisis de ritmos que no están basados en pulsación regular o métrica, para la descripción de características estilísticas, para el diseño de algoritmos para la clasificación de estilos y también para el estudio de la discriminación perceptual de patrones rítmicos, entre otros. El contorno rítmico se define como el patrón de cambio en la sucesión de duraciones correlativas. Algunos autores representan el contorno rítmico como una sucesión de enteros que refleja estos cambios; otros simplemente describen los cambios de una manera cualitativa, observando si la duración se hacer más larga, más corta o permanece constante. Por ejemplo, consideremos el contorno rítmico de la milonga [x x . x x . x .]. Primero, obtenemos su sucesión de duraciones: 12122. El patrón de duraciones usando números enteros es (se cuenta el cambio entre la primera y la última nota), y si solo nos interesan los cambios, entonces basta con escribir . Usaremos esta última forma de registrar el contorno rítmico en el resto de este artículo. Para resolver el problema de las notas comunes se comparan los contornos rítmicos de los patrones transformados. Dicha comparación se puede hacer con la distancia de Hamming, que cuenta las posiciones donde los contornos rítmicos no coinciden, o dicho de otra manera, cuenta el número de sustituciones que hay que hacer un contorno rítmico para obtener el otro. El inconveniente de esta distancia es que requiere que los contornos tengan la misma longitud, situación que se no produce en cuanto hay notas comunes. Una buena alternativa es la distancia de permutación dirigida (desarrollada más abajo). 5.2. Centros de familias de ritmos El segundo conjunto de experimentos comprende el cálculo de varios tipos de centros. Dada una familia de ritmos con tramo temporal fijo, digamos n pulsos, se define el centro como el patrón que optimiza cierta función distancia, bien sea dentro de la familia de patrones rítmicos, o bien en el espacio de patrones rítmicos entero. Gómez y sus coautores relacionan la idea de centro con la de similitud. Los criterios de optimización que seleccionaron fueron dos: la minimización de la máxima distancia (min-max) y la minimización de la suma (min-sum). Como función distancia tomaron por dos distancias muy frecuentes, la distancia de Hamming y la distancia de permutación dirigida [DBFG+04] (DPD en adelante; esta distancia se definió en la sección 2 más arriba). Así pues, tenemos ocho posibles tipos de centros, dadas las dos posibles distancias, los dos posibles criterios de optimización, los dos posibles conjuntos de patrones rítmicos y si la optimización se lleva a cabo dentro de la familia de patrones o en el espacio entero. 6. Resultados de los experimentos En los experimentos las familias de ritmos se agruparon acorde a la longitud de los tramos temporales. Debido al problema de las notas comunes, las tablas que produjeron Gómez y sus coautores tenían varias páginas de longitud en algunos casos. Los resultados completos de los experimentos se pueden consultar en [GKK+07b] Aquí mostraremos los resultados más relevantes que obtuvieron junto con una breve discusión de los mismos. Comentaremos más en profundidad los centros relativos a la familia de ritmos que los correspondientes al espacio de patrones rítmicos entero. 6.1. Patrones rítmicos obtenidos con las reglas de aproximación En primer lugar, consideraremos la regla VMC aplicada a la binarización. Las figuras 8 y 9muestran los resultados de los experimentos. Los ritmos en negrita son aquellos que coinciden con los patrones binarizados en el libro de Rolando Pérez. Como se puede ver, la regla VMC no da a lugar a casi ninguna correspondencia. Más aun, esas binarizaciones tienen poco interés en cuanto que guardan poco parecido perceptual con las versiones ternarias; véase, por ejemplo, la binarización del bembé producida por esa regla, [x . . x . x . x . x . . x . . x], y compárese con la binarización dada por Rolando Pérez, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x . x . x . x . x . . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . x . . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . x . x . x . . x . . x Figura 8: Binarización de los patrones de 12 pulsos con la regla VMC. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x . x Tribraquio+Troqueo x x . x x . . x x x x x x . Pie de zamba x x . x x x . . x . x x x . Coriambo x x . x x x . . x x x . x . Var. 1(c)-1 x x . x . x . . . x x . x . Var. 1(d)-1 . x . x . x . . x x x . x x Var. 2(c) x x . x . x . x x x x x x x Var. 4(c) x x . x x x . x x x x . . x Var. 6(c) x x . x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x x . x Figura 9: Binarización de los patrones ternarios de 6 pulsos con las reglas VMC. A continuación mostramos la tabla correspondiente a la ternarización de los patrones de 8 pulsos obtenidos aplicando la regla VMC; véase la figura 10. El significado de las abreviaturas en las columnas de la tabla, leídas de izquierda a derecha, es la siguiente: P. binar. es el patrón binario; Nombre es el nombre del patrón; Tern. es el patrón ternarizado; Nombre tern. es el nombre del patrón en el caso de que esté en el catálogo de Rolando Pérez; NNC es el número de notas comunes en la ternarización; Min. Ham. es la lista de patrones con la distancia de Hamming mínima cuando se aplica la regla para resolver las notas comunes o la lista de todos los patrones con notas comunes; Cont. rítm. los contornos rítmicos con las notas comunes y el contorno del patrón original; N. com. es la lista de los patrones generados con notas comunes; Con. rítm. com. son las partes comunes de los contornos rítmicos. En algunos patrones binarios se encuentran correspondencias con los patrones binarios originales. En esta tabla se puede observar el procedimiento para resolver los patrones con notas comunes. Por ejemplo, la variación 6(c) fue ternarizada de manera única ya que no dio lugar a notas comunes. Sin embargo, la variación 1(c)-1 produjo dos patrones con notas comunes, [x x x . x .] y [x x x . . x]. En este último caso comparamos los contornos melódicos para decidir qué patrón dará el resultado final. Los contornos rítmicos son y , respectivamente (nótese que la última nota y la primera se comparan para el contorno rítmico). Para el patrón ternario el contorno rítmico es ; por tanto, el contorno rítmico de [x x x . x .] es más similar, y este es el patrón que se da como resultado. En el caso de la variación 1(d)-1, el contorno rítmico no puede determinar cuál de los dos ritmos es el válido ya que los contornos rítmicos son idénticos. Figura 10: Ternarización de los ritmos de 8 pulsos con la regla VMC. Las figuras 11 y 12 muestran las binarizaciones dadas por la regla VH. Para los patrones de 12 y 6 pulsos se encontraron muchas correspondencias con los patrones dados en el libro de Rolando Pérez. Por ejemplo, el bembé se transformó en su forma binarizada comúnmente aceptada, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Como ya mencionamos antes, esta regla no produce patrones con notas comunes. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x x x . x . x . . x . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . . x . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . . x . . x . . . x . x . . x x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . . x . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . . x x . . x . x . . x Figura 11: Binarización de patrones de 12 pulsos usando la regla VH. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x . x Tribraquio+Troqueo x . x x x . . x x x x x x . Pie de zamba x . x x x . x . x . x x x . Coriambo x . . x x . x . x x x . x . Var. 1(c)-1 x . x x . . x . . x x . x . Var. 1(d)-1 . . x x . . x . x x x . x x Var. 2(c) x . x x . . . x x x x x x x Var. 4(c) x . x x x . x x x x x . . x Var. 6(c) x . x x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x . x x Figura 12: Binarización de patrones de 6 pulsos usando la regla VH. La regla VML no produjo correspondencias con los patrones recogidos por Rolando Pérez ni en la binarización ni en la ternarización. Curiosamente, no aparecieron notas comunes en el caso de la binarización y sí muchas en la ternarización, en algunos casos tantas como tres. Más aun, en numerosas ocasiones las notas comunes no se pudieron resolver. En el caso de los patrones de 16 pulsos no se produjo resultado alguno; todas las notas comunes quedaron sin resolver. Para la binarización, los patrones generados con la regla VML eran más bien monótonos, a menudo patrones con muchas corcheas consecutivas que no reflejaban la estructura perceptual de sus equivalentes ternarios. Con respecto a la regla VAH, los resultados fueron mejor que con la regla VH. La ternarización funcionó bien; por ejemplo la ternarización de [x . . x . . x x . . x . x . . x] dio el bembé. No hubo correspondencias con los patrones de Rolando Pérez en la binarización, pero los ritmos que se obtuvieron son interesantes por sí mismos. Las reglas VH y VAH no dan resultados llamativos cuando transforman patrones como [. x x . x .], ya que ambas reglas generan patrones con una nota en la primera posición. Obviamente, esto cambia la esencia del ritmo, puesto que transforma en tiempo débil en una parte en tiempo fuerte. 6.2. Centros de familias de patrones rítmicos En esta última sección discutiremos los centros calculados para las familias de patrones rítmicos. Gómez y sus coautores usaron dos distancias, la de Hamming y la DPD (distancia de permutación dirigida); y dos tipos de criterio de optimización, la min-sum y la min-max. Consideramos en primer lugar los patrones de 8 pulsos. Los resultados están resumidos en la figura 13. Nótese que el ritmo [x x . x . . x .] es el centro para todas las distancias y para todos los criterios de optimización. El centro para la DPD con el criterio min-max contiene cuatro patrones. Por tanto, el patrón [x x . x . . x .] se puede considerar el más similar a los otros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 23 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 Hamming Min-Max 3 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Sum 24 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Max 4 [x . . x x . x .] Habanera [x . x x . . x .] Bin. var. 1(c)-1 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 [. x . x . . x .] Bin. var. 1(d)-2 Figura 13: Resultados para los centros con patrones de 8 pulsos. Para la binarización de los patrones de 16 pulsos los autores obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 14. La clave son y su variación [x . . x . . x . . . x . x . x . ] aparecen como centros en todos los casos. Esto no constituye ninguna sorpresa, ya que el conjunto de patrones binarios estudiados por Rolando Pérez son variaciones de la clave son en muchos casos. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 13 [x . . x . . x . . . x . x . . . ] Bin. clave Son [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Hamming Min-Max 6 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Sum 12 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Max 4 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Figura 14: Resultados para los centros con patrones de 16 pulsos. La figura 15muestra los resultados para los patrones ternarios de 6 pulsos. Como en el caso de la binarización, hay un ritmo que aparece en todos los centros, a saber, la variación 1(c)-1 [x x x . x .]. De nuevo, esto indica que es el patrón más similar al resto. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 19 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 Hamming Min-Max 3 [x x x x x .] Pie de zamba [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [x x x . x x] Var. 2(c) DPD Min-Sum 18 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 DPD Min-Max 3 [x . x x x .] Coriambo [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [. x x . x .] Var. 1(d) Figura 15: Resultados para los centros con patrones de 6 pulsos. En último lugar, examinamos los centros de patrones ternarios de longitud 12 pulsos; véase la figura 16. La situación es muy similar a la de los patrones binarios. La clave son 6/8 y su variación [x . x . x . . x . x x .] determinan el conjunto entero de centros, donde este último patrón aparece en tres de los cuatro centros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 11 [x . x . x . . x . x . .] Clave son 6/8 Hamming Min-Max 6 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Sum 9 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Max 4 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 Figura 16: Resultados para los centros con patrones de 12 pulsos. 7. Conclusiones finales De todo lo visto hasta ahora se pueden obtener muchas conclusiones, las cuales resumimos a continuación: Los datos de los experimentos: Sería deseable tener más ejemplos documentados de patrones rítmicos binarizados. Los proporcionados por Rolando Pérez en sus libros son insuficientes. Los patrones de 12 pulsos son más bien limitados ya que en el fondo son variaciones de la clave son 6/8 clave son. La situación es aun peor para la ternarización, donde no se tienen ejemplos, siquiera teóricos, de transformaciones rítmicas de patrones binarios a ternarios. Reglas de transformación: Las reglas VMC y VML parecen no funcionar como se esperaría en un principio. Especialmente sorprendente es el comportamiento de la regla VMC, que no respeta la estructura perceptual de los patrones al menos cuando se aplica al patrón entero. Las reglas basadas en dirección, VH y VAH, funcionan mejor que VMC y VML. Curiosamente, VC funciona mejor para la binarización que para la ternarización, mientras que VAH funciona mejor para la ternarización. Centers: Como consecuencia del tamaño pequeño de los conjuntos de patrones rítmicos de 12 y 16 pulsos, las familias de centros son pobres en general. Los centros calculados para las familias de 6 y 8 pulos son más significativos. Parece que un cierto número crítico de patrones es necesario para que los centros sean relevantes. Los centros obtenidos tienen cierto interés musicológico y se pueden usar como herramientas para generar nuevos ritmos.   Bibliografía [Che79] John Miller Chernoff. African Rhythm and African Sensibility. The University of Chicago Press, Chicago, 1979. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004. [Deu98] Diana Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [DGM+05] Erik Demaine, Francisco Gomez, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried Toussaint, Terry Winograd, and David Wood. The distance geometry of deep rhythms and scales. In Proceedings of the 17h Canadian Conference on Computational Geometry, pages 160–163, University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada, August 10-12, 2005. [GKK+07a] F. Gómez, I. Khoury, J. Kienzle, E. McLeish, A. Melvin, R. Pérez-Fernandez, D. Rappaport, and G. Toussaint. Mathematical models for binarization and ternarization of musical rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 99–108, San Sebastián, España, agosto 2007. [GKK+07b] F. Gómez, I. Khoury, J. Kienzle, E. McLeish, A. Melvin, R. Pérez-Fernandez, D. Rappaport, and G. Toussaint. Results of the experiments. http://www.cs.mcgill.ca/˜ielkho1/SnapResearch/, publicados en la web en 2007. [Han98] Stephen Handel. The interplay between metric and figural rhythmic organization. Human Perception and Performance, 25(5):1546–1561, 1998. [Mar91] Elizabeth West Marvin. The perception of rhythm in non-tonal music: Rhythmic contours in the music of Edgard Varèse. Music Theory Spectrum, 13(1):61–78, Spring, 1991 1991. [Nke63] J. H. Nketia. Drumming in Akan Communities of Ghana. Thomas Nelson and Sons Ltd., Edinburgh, Scotland, 1963. [Nke74] J. H. Kwabena Nketia. The Music of Africa. W. W. Norton and Company, Britain, 1974. [Pér79] Rolando A. Pérez. Ritmos de cencerro, palmadas y clave en la música cubana. Unpublished manuscript, manuscript presented at the Concurso Premio Musicología, Casa de las Américas, 1979. [Pér86] Rolando A. Pérez. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Havana, 1986. [Pér90] Rolando A. Pérez. La música afromestiza mexicana. Universidad Veracruzana, Veracruz, 1990. [Sny01] Bob Snyder. Music and Memory: an Introduction. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2001. [Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, MD, July 27-29 2002. [Tou03a] Godfried T. Toussaint. Algorithmic, geometric, and combinatorial problems in computational music theory. In Proceedings of X Encuentros de Geometria Computacional, pages 101–107, University of Sevilla, Sevilla, Spain, June 16-17 2003. [Tou03b] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003.
Jueves, 05 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
En muchas ocasiones encontramos magos, sobre todo los dedicados a la especialidad del mentalismo, que pretenden demostrar sus habilidades mentales realizando operaciones aritméticas sorprendentes, ya sea por la velocidad en realizarlas o por la dificultad de las mismas. Algunas veces la explicación descansa en alguna propiedad matemática desconocida por los espectadores, como mostramos en el juego "sumas de Fibonacci" en DIVULGAMAT 61; otras veces el mago aprovecha alguna sutileza que le evita realizar la supuesta operación, como vimos en el juego "suma relámpago" en DIVULGAMAT 56. En raras ocasiones el mago ha desarrollado y practicado las técnicas específicas para la memorización y rapidez en algunos cálculos aritméticos. En próximas entregas haremos un pequeño recorrido por estas técnicas y sus representantes más distinguidos pero esta vez describiremos algún juego de calculismo extrarrápido utilizando alguna "trampa secreta". Anuncia que eres capaz de sumar varios números de tres cifras antes de cualquier calculadora. Para ello entrega una libreta o cuaderno a tres espectadores para que cada uno escriba, uno encima de otro, un número de tres cifras. A continuación, con el pretexto de complicar la operación, escribes otros dos números debajo de los anotados por los espectadores. Traza una línea bajo los cinco números y, rápidamente, escribe debajo el resultado de la suma. Deja que los espectadores busquen una calculadora y comprueben que la operación es correcta. La clave para conseguir el resultado de la suma, sin tiempo para realizar todas las operaciones, está en los dos números que escribes. Cada uno de ellos debe ser el complemento a 999 de los dos primeros números de los espectadores. Por ejemplo, si los números elegidos por los espectadores son 468 586 345 escribirás sin titubear los números 531 y 413, debido a que 531+468=999 y 413+586=999. Estos números se obtienen rápidamente porque cada cifra es la diferencia entre 9 y la cifra correspondiente del número original. El papel tendría ahora los números 468 586 345 531 413 ______ Por tanto, la suma final es 999+999+345, o bien 1000-1+1000-1+345=2000-2+345=2343. No hace falta tener mucha habilidad ni rapidez mental para saber que la suma será un número de cuatro cifras, la primera de ellas es un 2, las dos siguientes son las dos primeras cifras del tercer número escrito por los espectadores y la última cifra será dos unidades menor que la última cifra de dicho número. En el artículo "La matemagia desvelada", escrito en colaboración con Juan Carlos Ruiz de Arcaute y publicado en la revista SIGMA (octubre de 2002), hay un juego similar con números de cuatro cifras. Puedes realizarlo a continuación de este para "aumentar" la dificultad de las operaciones aunque la técnica es completamente análoga. Puedes también aumentar la cantidad de números a sumar. Por ejemplo, si cuatro espectadores escriben un número de cinco cifras, tú añades tres números que sean el complemento a 99999 de los tres primeros. La suma final será un número de seis cifras que empieza por tres, las tres siguientes cifras coincidirán con las tres primeras cifras del cuarto número escrito por los espectadores y la última cifra será tres unidades menor que la última cifra de dicho número. Sólo una presentación adecuada puede hacer convincentes tus habilidades mentales y calculísticas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Miércoles, 04 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Le chercheur fantômei –El investigador fantasma– de Robin Cousinii es un tebeo publicado a principios de mayo de 2013 por Éditions Flblb. En la contraportada se puede leer la siguiente presentación del libro: La Fundación para el estudio de los sistemas complejos y dinámicos acoge a veinticuatro investigadores en residencia y les proporciona medios ilimitados para llevar a cabo su trabajo. Una noche, tres investigadores, Louise, Stéphane y Vilhem, descubren que en su edificio hay un cuarto residente que nadie ha visto nunca. Trabajaba en el problema "P = NP". - ¿Qué es exactamente P = NP? - Es un problema de la teoría de complejidad computacional. La mayoría de los matemáticos piensan que P es diferente de NP. Plantea un límite teórico a la capacidad de los ordenadores... - ¿Y si se prueba que P y NP son iguales? - Revolucionaría las  matemáticas modernas, transformaría la investigación científica. - Ah. El libro comienza con la llegada del nuevo director de la Fundación, Martin Sorokin. Accede a su nuevo despacho, en el que visiona un mensaje grabado por su predecesor, Alan Bateson: Bateson es el tercer director de la Fundación y se va tras permanecer siete años allí. Martin Sorokin será así el cuarto responsable de la Fundación y el primer residente en el momento de su llegada El mensaje que le ha dejado Bateson es el siguiente –cada salto de línea corresponde a un cambio de viñeta–: Buenos días. Soy Alan Bateson, investigador en sociología sistémica y director Fundación no. 3. Si está mirando este video, es que como yo hace 7 años, ha sido seleccionado por el programa. Es Vd. el primer residente y por lo tanto el director de la Fundación no. 4. A la hora en la que le hablo la Fundación no. 3 está terminando… […] No se impresione por lo que está viendo. Es el desarrollo normal de un final de ciclo. Como todo sistema dinámico, la Fundación tiende hacia la entropía, hacia un comportamiento caótico. Es por ello que cada tres meses, el programa seleccionará un nuevo residente para ‘reequilibrar’ el sistema. Como Vd., los nuevos residentes serán investigadores en una de las áreas de aplicación  la teoría sistémica. Sistemas biológicos, informáticos, financieros, neuronales… Al cabo de 6 años, los 24 laboratorios estarán ocupados y el sistema estará entonces en el momento de su apogeo. A lo largo del séptimo y último año, las investigaciones de los residentes deberían empezar a dar resultados. Este periodo verá también como se disgregar el sistema. Su papel será entonces el de retrasar la llegada del caos. […] Su papel es el de guiar a los residentes, pero también el de mejorar el programa. El conjunto de mis resultados están aquí… Tras terminar de escuchar el mensaje de su predecesor, Sorokin lee el final del informe que Bateson le ha dejado: Día 2.555 (último día) - investigaciones terminadas (en total : 7 sobre 24) - muertes : 1 - 2 incendios suplementarios. - llegada del equipo de cierre. Fundación para el estudio de sistemas complejos y dinámicos. Vista aérea. Tras esta introducción para entender los propósitos de la Fundación, la historia prosigue seis años más tarde. Martin Sorokin comprueba que –comparando su situación al principio del séptimo año con la vivida por la Fundación no. 3– el caos está apareciendo demasiado pronto. Sorokin tiene la esperanza de que la llegada del último residente –el número 24, Stéphane Douasyiii– consiga equilibrar el sistema. Douasy es físico y su investigación en la Fundación se centrará en el estudio de las formas de los vegetales, en particular de cómo la formación de las yemas influye en la geometría de las hojasiv. Tras visitar al director, Stéphane se dirige al edificio en el que debe trabajar y vivir, el edificio F. Nada más llegar conoce a Louise Franç, lingüista que –según explica ella misma– trabajaba en un software que aprendía nuestra lengua cuando se conversaba con él. Su programa detectaba las formas recurrentes en la estructura de las frases para poder reproducirlas después. Había empezado a tener resultados prometedores, pero llegó Google y al poner en funcionamiento el programa Cleverbotv –que, según Louise, repite lo que miles de internautas dicen, pero en realidad no habla– ella no pudo competir con él. Desde entonces está bloqueada, no habiendo encontrado nuevas ideasvi para proseguir con sus investigaciones. La otra persona que convive con ellos en el edificio es el informático Vilhemvii: trabaja en un programa informático que debería predecir sus acciones y gestos en un futuro cercano. Aunque –debido a su conocimiento de la teoría del caos– sabe que cualquier evento es la consecuencia de una infinidad de causas imposibles de observar por completo, Vilhem ‘busca los guiones’ que tienen más probabilidades de suceder. Sólo observa los parámetros más significativos: los personales –los recuerdos de su infancia, sus características físicas, el acontecer de su día a día, etc.–  y los de su entorno –la Fundación, los residentes y sus investigaciones, etc.–. No consigue que sus predicciones tengan sentido. En realidad, existe otro investigador en el edificio F al que sus compañeros apodan el investigador fantasma, ya que nunca lo han visto. Es el informático Vianiy Paniandy con el que no se debe interactuar ‘por órdenes superiores’. Paniandy trabaja en la resolución del problema de informática teórica ‘P vs NP’viii, uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clayix. Paniandy había publicado en 2005 una prueba de que P≠NP, pero la comunidad matemática descubre pronto una serie de errores en su  prueba, y le vuelve la espaldax. En el tebeo se explica con sencillez el significado de las iniciales P –problemas que pueden resolverse fácilmente mediante un algoritmo en un ordenador–, NP –problemas cuya solución puede verificarse fácilmente, pero para los que no se conoce un algoritmo que los resuelva ‘rápidamente’– e incluso se habla de los NP-completos –aquellos en los que se conjugan las dificultades de todos los demás–. Paniandy trabaja precisamente en el problema del viajantexi, que es NP-completo. Se basa en el plano de la Fundaciónxii: o bien debe probar que no existe ningún algoritmo que lo resuelva –en cuyo caso P≠NP, como él pensaba– o bien debe encontrar el algoritmo que permita llegar de manera óptima, sin tanteos, de un lugar a otro de la Fundación –en cuyo caso P=NP,  con lo que ese algoritmo permitiría resolver cualquier problema ‘decidible’xiii–. Paniandy se horroriza al encontrar ese famoso algoritmo… y entonces empiezan a producirse accidentes y muertes entre los demás residentes. El caos empieza a reinar cuando Paniandy introduce su algoritmo en las investigaciones de algunos de sus colegas. El final será inesperado y terrible… Le chercheur fantôme es un ‘thriller’ y una metáfora de la investigación básica, que pasa desapercibida para la mayor parte de la población, a pesar de los beneficios que produce en su estado del bienestar. Además de la trama y el suspense, Cousin introduce numerosos conceptos científicos. Aparte de los ya citados, se habla por ejemplo del aún no resuelto problema del sofáxiv o la sorprendente influencia de la geometríaxv de las yemas de los vegetales en la forma final de las hojas…   Notas: [i] Éditions Flblb. Pueden leerse las primeras páginas y consultar el dossier de prensa. [ii] http://robincousin.blogspot.com.es/ [iii] El nombre de este investigador es prácticamente el del físico Stéphame Douady (CNRS, París), con el que Robin Cousin mantuvo varias entrevistas para preparar el cómic. Douady trabaja –entre otros temas– en filotaxis. De allí el paralelismo con el último residente, investigador en morfogénesis, pero centrado durante su estancia en la Fundación en el estudio de sistemas vegetales. [iv] Stéphane Douasy representa la pasión por el conocimiento. [v] http://es.wikipedia.org/wiki/Cleverbot [vi] A través de Louise se denuncian las presiones de la sociedad de consumo sobre el mundo académico. [vii] Vilhem simboliza la obsesión en la investigación. [viii] The P-versus-NP page [ix] P vs NP Problem, Clay Mathematics Institute [x] La situación de Paniandy representa el poder de la comunidad científica sobre los investigadores, que deben recibir su beneplácito para dar por buenas sus teorías. [xi] http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_del_viajante [xii] La Fundación está situada en un paraje con bosques y diferentes edificios, que está organizada siguiendo la sucesión de Fibonacci. [xiii] http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_indecidible [xiv] http://ztfnews.wordpress.com/2012/10/07/el-problema-del-sofa/ [xv] De hecho, en el tebeo, Stéphane Douasy empieza a trabajar con papiroflexia en su investigación, gracias a la idea que le da otro de los residentes. Tampoco esto es casualidad: el equipo de Stéphane Douady trabaja en la realidad con origami y kirigami para averiguar la geometría de las hojas dependiendo de los pliegues de las yemas. Ver La forme des feuilles donnée par leurs plis (CNRS) y Dr. Etienne Couturier presents "Fold and leaf shape" (FDV-Paris). Etienne Couturier es un doctorando de Stéphane Douady.
Lunes, 02 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el primero de una serie de tres sobre la cuestión de las transformaciones rítmicas. En ella estudiaremos las transformaciones de ritmos binarios a ternarios y viceversa, fenómenos que reciben los nombres de binarización y ternarización, respectivamente. Como ilustración, examinaremos el proceso de binarización de ritmos ternarios descrito por Rolando Pérez en su libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Por supuesto, los aspectos matemáticos y computacionales de las transformaciones rítmicas no faltarán en esta serie. En este primer artículo analizaremos el concepto de transformación rítmica en la música; en el segundo artículo ilustraremos la transformación rítmica a partir de la binarizacion y la ternarización (nos inspiraremos en  [Pér86] y [GKK+07]); en el último artículo estudiaremos los aspectos puramente matemáticos, esto es, la transformación rítmica como transformación matemática. Un estilo musical se caracteriza entre otras por sus peculiaridades rítmicas. Cuando a lo largo del tiempo ese estilo evoluciona sus características rítmicas también lo hacen. ¿Cómo tienen lugar esas transformaciones rítmicas? En algunos casos las transformaciones rítmicas se han podido documentar, principalmente en tradiciones musicales escritas. Por ejemplo, en el estilo musical de finales del siglo XIV conocido como Ars Subtilior [Ran86] los compositores usaban técnicas rítmicas muy elaboradas, que incluían la isorritmia [Fer99, Ran86], para llevar a cabo transformaciones rítmicas. El compositor y teórico Philippe de Vitry (1291–1361) incorporó dos novedades en la práctica musical de la época: por un lado, definió cómo se tenían que dividir la breve y semibreve (las modernas nota cuadrada y redonda) y, por otro, introdujo un sistema de notación que permitía usar el ritmo binario y el ritmo ternario en una misma composición. Estas innovaciones teóricas fueron aceptadas rápidamente por los compositores y trajeron como consecuencia más transformaciones rítmicas, algunas, como hemos dicho, muy elaboradas. A mitad del siglo XIV, el tenor del motete adopta dos elementos estructurales claros: el color, que es una serie fija de alturas, y la talea, o patrón rítmico. Color y talea se pueden combinar de diferentes maneras. Con la partitura de la figura 1  (tomada de [Qui13]) podemos ilustrar cómo funciona el color y la talea; solo se muestra la primera página. En este motete tenemos lo siguiente: La talea o esquema rítmico está formada por 25 compases que se repiten literalmente; la talea está marcada en la partitura como T-1 y T-2. El color o sucesión de alturas está compuesto por las 19 primeras notas de la línea del tenor (la voz más grave, en clave de fa); las notas están numeradas para mayor claridad. La talea a su vez se compone de un segmento de cuatro compases ternarios (de 9/8), seguido de ocho compases binarios (de 6/8), y finalmente seguido de otro de cuatro compases ternarios (de 9/8). El segmento central, el del compás binario, está escrito en rojo para avisar al intérprete del cambio. Un análisis más fino de la talea desvela que los segmentos en rojo tienen estructura de espejo. Si contamos las duraciones en unidades de negra con puntillo, la estructura de esos segmentos se puede describir como sigue: 2 - 2 - 4 - silencio - 4 - 2 - 2 que revela claramente la simetría.   Figura 1: Ejemplo de color y talea en el motete Garrit Gallus - In nova ferit. El motete tiene 150 compases formados por la seis repeticiones de la talea. Sin embargo, el color consta de 19 notas, que al colocarlas en la figuración rítmica de la talea ocupan 40 compases. A pesar de que 40 no divide a 150 de modo exacto, al final del motete, la talea y el color coinciden. Ello es porque el compositor omite algunas notas del color en las partes centrales para evitar que el final de la talea caiga en medio del color. Este tipo de licencias eran normales en la práctica compositiva de la época. Como se ve en este ejemplo, la complejidad rítmica de la música de este periodo es bastante alta. Como la música se conservaba por escrito ha sido posible estudiar la evolución de las transformaciones rítmicas. No siempre es el caso. El musicólogo Rolando Pérez describió en [Pér86, Pér90] una teoría que explicaría el proceso por el cual los ritmos africanos traídos por los esclavos a Cuba se transformaron paulatinamente en ritmos binarios. Así, el ritmo [x . x . x . . x . x . .], ternario y de 12 pulsos, se habría transformado en [x . . x . . x . . . x . x . . .], binario y de 16 pulsos. Obsérvese que en este caso estamos considerando estilos musicales que en buena parte son orales. Su teoría ha recibido críticas por parte de otros musicólogos; véanse los artículos [Rob90], [Loz90] y [Car90]. Gómez y sus coautores estudiaron en [GKK+07] los aspectos matemáticos de las binarizaciones y ternarizaciones y tomaron como datos experimentales los ofrecidos Rolando Pérez en su libro. Se pueden encontrar otros ejemplos de transformaciones rítmicas. Manuel [Man04] describe un proceso de binarización similar, que tuvo lugar en España y Cuba, donde la guajira, ritmo que alterna los compases de 3/4 y 6/8, se transforma en la guajira-son, ritmo claramente binario. Una discusión más general de la evolución de los ritmos cubanos se puede encontrar en  [Aco05]. 2. Transformaciones rítmicas Para hablar de transformaciones rítmicas necesitamos definir el concepto de patrón rítmico, el cual se concebirá como una sucesión de duraciones. Como hemos hecho en otras ocasiones, representaremos un patrón rítmico por su notación de caja o por su sucesión de duraciones. Por ejemplo, el ritmo de la clave son, [x . . x . . x . . . x . x . . .], se puede representar por su notación de caja, o por [33424], su notación por sucesión de duraciones. La primera transformación rítmica que de manera natural aparece es el cambio de tempo o velocidad a la cual se toca el patrón. El cambio de tempo, sobre todo si es extremo, implica un cambio en la percepción del patrón rítmico. Esta transformación no implica un cambio en las duraciones relativas de un patrón rítmico y no es el tipo de transformaciones que consideraremos en esta serie de artículos; nos centraremos en las transformaciones que cambian las duraciones del patrón. Las transformaciones rítmicas más elementales que operan sobre las duraciones son las llamadas consolidación y fragmentación en la terminología introducida por Mongeau y Sankoff [MS90]. La consolidación consiste en la unión de dos duraciones adyacentes en una nueva de suma las dos duraciones. Una fragmentación es una operación que divide una duración dada en dos duraciones cuya suma total da la duración original. Si aplicamos una consolidación a las dos últimas duraciones del ritmo [x . . x . . x . . . x . x . . .] obtenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . . . . .]; si en ese ritmo fragmentamos la última duración, que es 4, en 1+3, tenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . x x . .]. Otros autores independientemente y con otra terminología definieron estas operaciones; véanse Pearsall [Pea97] y Pressing [Pre83]. La consolidación es equivalente a sustituir una nota por un silencio y la fragmentación a sustituir un silencio por una nota. Ambas operaciones tienen la limitación de que solo operan sobre duraciones adyacentes. Otra operación que ofrece más posibilidades es la permutación o intercambio de dos duraciones adyacentes. La idea de la permutación fue presentada por David Lewin [Lew96] en primer lugar para el dominio de las alturas, de la melodía, y luego se empezó a considerar en el dominio del ritmo. En el patrón de la clave son [33424] una permutación de las duraciones 3 y 4 daría el ritmo [34324] o [x . . x . . . x . . x . x . . .]. Toussaint [?] definió una distancia entre patrones rítmicos basada en contar el número mínimo de operaciones para transformar un patrón dado en otro; véase [Góm13b] para una exposición divulgativa. Esa distancia recibe el nombre de distancia de permutación dirigida y es una generalización de la distancia de Hamming. Las operaciones permitidas en esta distancia incluyen intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes con las siguientes restricciones: Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. Originalmente, la distancia de permutación dirigida solo estaba definida para patrones rítmicos con el mismo número de pulsos, pero en [DBFG+04] y [DBFG+05] se generalizó a patrones con distinto número de pulsos. Otra transformación rítmica, que tiene inspiración geométrica, es la rotación de ritmos. Esta transformación no consiste más que en elegir otro pulso diferente al primero donde empezar el patrón rítmico. En el artículo de mayo de 2012 de esta misma columna estudiamos la rotación de ritmos para claves; véase [Góm13a]. Una rotación de tres pulsos transforma el patrón [x . . x . . x . . . x . x . . .] en [x . . x . . . x . x . . . x . .] (o en notación de distancias, transforma [33424] en [34243]). En todo lo expuesto hasta ahora no hemos tenido en cuenta la métrica, sino solamente las duraciones. Cuando se considera un patrón rítmico dentro de una métrica se pueden definir nuevas transformaciones rítmicas. En la música occidental las métricas más comunes implican subdivisiones binarias o ternarias. Un patrón rítmico escrito en un compás ternario se puede transformar en otro escrito en un compás binario (no siempre la correspondencia es obvia). Este proceso se llama binarización; el proceso inverso se denomina ternarización. A lo largo de este artículo analizaremos en detalle cómo se producen estas transformaciones rítmicas. En la música occidental se encuentra una gran variedad de transformaciones rítmicas. He aquí una breve lista: Ornamentación o adornos. Los hay de muchos tipos y dependen incluso del periodo histórico. Los más habituales son trinos, mordentes, grupetos, notas muertas. Aumentación y disminución. La primera consiste en aumentar en una duración constante todas las duraciones del patrón y la segunda, en la operación contraria. Síncopa o acentuación de una nota en parte débil; también se dice de un cambio inesperado de acento. Esta transformación rítmica tiene en cuenta el aspecto acentual del patrón. Modulación métrica. Repetición de una célula rítmica en diferentes posiciones del compás. Esto provoca ambigüedad rítmica en el oyente. En todo lo anterior no hemos tenido en cuenta los aspectos perceptuales de las transformaciones rítmicas. ¿Cuánto cambia la percepción rítmica al aplicar cualquiera de las transformaciones anteriores? Esta pregunta lleva directamente al concepto de similitud rítmica (véase la serie Distancia y similitud melódica, mayo a junio de 2011, en esta misma columna). Como ejemplo de las delicadas cuestiones que pueden surgir al considerar los aspectos perceptuales, fijémonos en los resultados obtenidos por el psicólogo de la música Handel [Han98]. En este trabajo prueba que el agrupamiento tiene preponderancia perceptual sobre la métrica, esto es, que el cambio en el agrupamiento de un patrón rítmico produce un cambio perceptual más agudo que el que produce el cambio métrico. En las transformaciones rítmicas enumeradas más arriba no se consideraron los cambios perceptuales originados por las transformaciones rítmicas. Bibliografía [Aco05] Leonardo Acosta. On generic complexes and other topics in Cuban popular music. Journal of Popular Music Studies, 17(3):227–254, December 2005. [Car90] José Jorge De Carvalho. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Yearbook for Traditional Music, 22:148–151, 1990. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, 30 de julio - 1 de agosto de 2004. [DBFG+05] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. Similaridad y evolución en la ritmica del flamenco: una incursión de la matemática computational. Gaceta de la Real Sociedad de Matematica Española, 8(2):489–509, mayo de 2005. [Fer99] Françoise Ferrand. Guide de la Musique du Moyen Âge. Fayard, Paris, 1999. [GKK+07] F. Gómez, I. Khoury, J. Kienzle, E. McLeish, A. Melvin, R. Pérez-Fernandez, D. Rappaport, and G. Toussaint. Mathematical models for binarization and ternarization of musical rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 99–108, San Sebastián, España, agosto 2007. [Góm13a] Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=14103&directory=67, consultado en julio de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Similitud rítmica en el flamenco. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=12152&directory=67, consultado en julio de 2013. [Han98] Stephen Handel. The interplay between metric and figural rhythmic organization. Human Perception and Performance, 25(5):1546–1561, 1998. [Lew96] David Lewin. Cohn functions. Journal of Music Theory, 40(2):181–216, otoño de 1996. [Loz90] Steven Loza. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Latin American Music Review, 11(2):296–310, otoño-invierno de 1990. [Man04] Peter Manuel. The Guajira between Cuba and Spain: A study in continuity and change. Latin American Music Review, 25(2):137–162, otoño-invierno de 2004. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Pea97] Edward Pearsall. Interpreting music durationally: a set-theory approach to rhythm. Perspectives of New Music, 35(1):205–230, invierno de 1997. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983. [Pér86] Rolando A. Pérez. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Habana, 1986. [Pér90] Rolando A. Pérez. La música afromestiza mexicana. Universidad Veracruzana, Veracruz, 1990. [Qui13] María Quintanilla. Análisis de Garrit gallus, de Philippe de Vitry. http://mariaquintanilla.wordpress.com/2012/11/25/analisis-de-garrit-gallus-de-philippe-de-vitry/, consultado en julio de 2013. [Ran86] D. (editor) Randel. The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, Londres, 1986. [Rob90] James Robbins. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Ethnomusicology, 34(1):137–139, invierno de 1990. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, España, 23-27 de julio de 2003.
Sábado, 31 de Agosto de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
Tanto en el arte como en la publicidad existen ejemplos de obras en las que se utilizan los números para representar o bien la forma de ciertos objetos, como es el caso de los anuncios publicitarios que vamos a ver en este artículo, o incluso toda la escena que aparece en la imagen, como en las obras de Tobia Ravá de las que hablamos en la entrega de febrero de 2011 de esta sección, aquí. El primero de los ejemplos que traemos da lugar al título de este artículo, ya que siendo verano no viene nada mal poder disfrutar de una publicidad que nos representa la imagen de refrescantes bebidas. Los tres carteles que mostramos son parte de una campaña publicitaria en la que la empresa Dometic, dedicada a la fabricación de “minibares para hoteles”, quiere transmitir a sus futuros compradores (de la industria hotelera) que disponen de un nuevo producto, un minibar de hotel, en el que ellos pueden confiar, en el sentido de que les permitirá tener un control sobre lo que toman los clientes de su hotel y que no se marchen sin pagar, evitando las correspondientes perdidas. ¿Cómo intentan transmitir esta idea? Para empezar, en cada uno de los carteles vemos una botella cuya imagen está formada por números, los cuales al ser coloreados convenientemente forman la imagen atractiva y sugerente de la bebida. Están muy bien resueltos desde el punto de vista estético. De hecho, no creo que sea difícil al lector o lectora de este artículo averiguar algunas, o todas, las marcas de las bebidas a las que se hace referencia en los carteles. Pero, ¿por qué los números?  El lema de la campaña es “A minibar you can truly count on” (es decir, un minibar con el que, de verdad, se puede contar, en el sentido de que se puede confiar en él), realizando un juego de palabras y visual con el significado de la palabra “contar”. Aquí tenéis los tres carteles… Otros anuncios que utilizan los números para crear la imagen de los mismos, es esta publicidad para dar a conocer un nuevo número de “información de contacto” en Finlandia y que la gente lo utilice. Están jugando con la idea de que no hay que tenerle miedo a los números, no hay que temer llamar a nuevos números de teléfono, en particular al número que se está mostrando. Por ello se utiliza una estética, aunque minimalista, relacionada con el miedo. Son imágenes con únicamente tres colores, el negro del fondo, el blanco para la imagen generada por números, que en uno de los casos es una de las máscaras de la película “Scream” y en el otro pretende hacer recordar a Hannibal (de “El silencio de los corderos”), y el número de teléfono que se desea publicitar en rojo. Y para terminar por hoy, la utilización de la idea clásica e infantil de dibujar una cara con números. Seguramente muchos de nosotros, o todos, hemos recitado la frase infantil “con un 6 y un 4 hago la cara de tu retrato”, y después hemos pintado la correspondiente cara utilizando el 6 y el 4. Esta idea ha sido utilizada por el periódico The Financial Express para publicitar una de sus secciones, su suplemento BrandWagon. El lema de la campaña es “There’s more to consumers than numbers”. Transmitiendo la idea de que en realidad los consumidores somos más que números.
Lunes, 22 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Mariana Carballal , Miguel Ángel Mirás Calvo, Carmen Quinteiro Sandomingo , Paloma Saavedra y María Villarroel Comesaña
En diciembre de 2009, bajo el título Voces desde el pozo: Carolina Herschel, publicamos en esta misma sección de Teatro y matemáticas algunas notas acerca del monólogo protagonizado por Carolina Herschel que la dramaturga estadounidense Terre Ouwehand publicó, en 1986, en su libro Voices from the well. Comentábamos en aquel momento que la pieza tenía un elevado potencial didáctico, que nosotros ya habíamos explorado en algunas ocasiones proponiendo a nuestros estudiantes de Matemáticas diferentes trabajos (basados en el fragmento de la obra centrado en Carolina Herschel)  e, incluso, alguna puesta en escena de dicho fragmento, en la que la alumna Iria Veiga Rabuñal nos prestó su voz en varias ocasiones para dar a conocer la figura de la matemática y astrónoma de Hannover. Figura 1: Caricatura de Carolina Herschel Durante el curso académico 2011-2012, un grupo de docentes (Lara Domínguez Araújo, Miguel Ángel Mirás Calvo, Carmen Quinteiro Sandomingo y Daniel Salgado) procedentes de diferentes áreas de conocimiento, aprovechando las conexiones nacidas y fortalecidas por una estrecha colaboración en el proyecto de innovación educativa Elaboración de material didáctico baseado en textos teatrais con contido científico,  consideramos oportuno dar un paso más y crear un recurso didáctico: un cortometraje que pudiese ser utilizado tanto dentro como fuera del aula. Tomando como punto de partida una actividad anteriormente propuesta dentro del proyecto, reunimos a un grupo de fantásticas colaboradoras y colaboradores que, sin dudarlo, se pusieron manos a la obra para, con los escasos recursos económicos de que disponíamos, hacer brillar con luz propia la estrella de Carolina. El vídeo Caroline Herschel es el resultado de muchas horas de esfuerzo y dedicación de un grupo de entusiastas (con excelentes compañeros y amigos siempre dispuestos a ayudar) cuyo principal objetivo es hacer llegar la ciencia y la cultura al mayor número de personas posible. Formaron el equipo Mariana Carballal y Luís Pena (dirección), Paulino Pérez (producción),  Alfonso Merino (cámara y edición), Alejandro Vilas (sonido directo), Fran Lareu (script), Astrid Abal (edición) y Rubén Lino (ayudante de producción). Paloma Saavedra dio vida a Caroline Herschel y Héctor Canto puso voz a William Herschel. La traducción al gallego corrió a cargo de María Villarroel Comesaña. El cortometraje, de ocho minutos de duración, forma parte del material elaborado dentro del proyecto de innovación educativa multidisciplinar anteriormente mencionado, enmarcado en el Programa soporte para o desenvolvemento e implantación de accións de innovación educativa 2011, de la Vicerreitoría de Alumnado, Docencia e Calidade de la Universidade de Vigo. Puede verse en el canal de televisión de la Universidade de Vigo. Con las impresiones de algunas de las participantes en el proceso de grabación os dejamos. Mariana Carballal, como directora Yo no conocía a Caroline Herschel cuando me propusieron  rodar un corto sobre ella. La idea llegó de la mano de Carmen Quinteiro y Miguel Mirás, en su deseo de acercar la ciencia a otras disciplinas, de la necesidad de poner en común saberes. En la Escola Superior de Arte Dramática de Galicia (ESAD), con Daniel Salgado al frente, se acepta el reto y me hacen partícipe del mismo, en mi calidad de profesora de Interpretación para Cámara. El texto elegido no podía ser más idóneo para mí, que siempre que puedo procuro trabajar en el ámbito femenino, no por excluir ningún otro, pero sí por incluir éste que, en muchos dominios sigue estando discriminado. Así que el texto sobre la vida de Caroline Herschel, incluido en el libro Voices from the well de Terre Ouwehand, tenía suficientes elementos para que decidiera asumir la dirección del proyecto. Por supuesto, lo primero fue la lectura y análisis del texto. Delante de mí tenía un texto teatral, un monólogo. Fue necesario buscar la adaptación al lenguaje audiovisual, darle verosimilitud en una estructura poética compleja. Pensé en utilizar la voz en off todo el tiempo. Pensamiento que subraya las imágenes. Lo descarté. Decidí incluir la voz del hermano, elemento de presencia ausente, protagonista de la vida de Caroline. Elemento que genera conflicto y mueve la acción. Y, finalmente, decidí esperar a la actriz para caminar juntas. El segundo paso fue hacer el casting para encontrar la actriz que diese vida a Caroline. Ésa es la primera parte del proceso de creación inquietante, dudosa, energizante. Hice el casting para las alumnas de cuarto curso de Interpretación de la ESAD. Todas llevaban un curso trabajando conmigo y, por lo tanto, creía conocer sus recursos y perfiles. Pero este oficio nuestro depara permanentes sorpresas. Aunque todas ellas presentaron propuestas bien interesantes, la de Paloma Saavedra fue la que más me cautivó. Fuerza y fragilidad, intuición y sabiduría, determinación y aceptación. Iniciamos, pues, la senda de acercamiento a Caroline juntas. Ella haciendo propuestas y yo llevándolas hacia el camino que anteriormente acordáramos. Las primeras aproximaciones no parecían gustarnos. Ensayábamos, grabábamos los ensayos, analizábamos el proceso, lo intentábamos de nuevo… Paloma trabajaba ininterrumpidamente, sin descanso. En este proceso de creación de la actriz es inevitable tener en cuenta las condiciones en las que se desenvuelve. No hay medios. Una cámara, un aula… y no siempre. Cero recursos económicos. Digo esto porque la posibilidad de hacer una interpretación de “época”, quedaba descartada. Buscamos acercar a Caroline a la realidad de una creadora de la actualidad, a Paloma. Estudiar la realidad histórica y social de ambas buscando paralelismos, puntos en común, y alejarnos de juicios o prejuicios a la hora de contar una historia. Intentar comprender qué ocurre en la vida, en el corazón y en la cabeza de una mujer que siente necesidades diferentes a las predeterminadas para ella. Comprenderla y amarla. El caso de Caroline no es común, porque aunque que vivió “a la sombra” de su hermano, tuvo por otra parte oportunidades extraordinarias. Lo económico determina diferencias más hondas que las de género. Así que Caroline fue una mujer luchadora, con unas capacidades extraordinarias, con una rebeldía sumisa, poseedora de un conocimiento científico sobresaliente. Y también reconocida por la sociedad de su momento. Pero a nosotros nos tocaba contar una parte de su vida, ésa en la que vive a la sombra de su hermano. Abordamos este corto con mucha ilusión, buscando compañeros de viaje generosos y magníficos profesionales. Carmen Quinteiro propuso la ayuda de la televisión de la Universidade de Vigo, al frente del cual está Luis Pena. Desde el principio se ilusionó con el proyecto y le dedicó tiempo y trabajo. Buscamos también ayuda en la Facultade de Comunicación Audiovisual, en la que imparto docencia. A la llamada acudieron estudiantes en prácticas y el compañero Paulino Pérez, quien puso a disposición del proyecto sus conocimientos y energía. Y como siempre ocurre en este trabajo nuestro, contamos con amigos, Armando Guerra, que nos dejó su casa-estudio y Fermín Novo, que se prestó a llevarnos y traernos siempre que se necesitó. Rodamos en una jornada. Intensa, emocionante. Paloma–Caroline estaba preparada. El plan de rodaje, planos, encuadres, estaba diseñado por mí con antelación. Aunque, como suele ocurrir, sobre la marcha decidimos cambiar algunos planos que no nos gustaban. Iluminamos, preparamos cámaras, grúa, atrezzo. ACCIÓN. Todos juntos para contar una vida extraordinaria, la vida de Caroline Herschel. Esperamos que el cortometraje tenga recorrido y sea útil en su cometido. Que pueda ser utilizado como material didáctico, que inspire vidas y sueños, que permita creer que, a pesar de los atrancos y de las crisis, se pueden conseguir objetivos. Figura 2: Paloma Saavedra en su papel de Caroline Herschel Paloma Saavedra, el rostro y la voz de Caroline Fue un placer colaborar en la realización de este cortometraje pues considero que proyectos como este favorecen la salud de toda la comunidad educativa. El medio audiovisual es una eficaz plataforma de divulgación y docencia, por su alcance y recepción. Y, por otro lado, con proyectos como éste, se abre un espacio de diálogo para estudiantes y docentes de diversas disciplinas. Un equipo humano que ensambla su trabajo para completar el objetivo final: la recepción por parte de un espectador, en este caso también dentro de la comunidad educativa. Pudiendo observar el ciclo completo desde la selección del texto por Carmen Quinteiro y Miguel Mirás, pasando por la traducción de María Villaroel (bajo la tutela de Lara Domínguez), la grabación de la puesta en escena por parte del equipo dirigido por Mariana Carballal y Luís Pena. Estas nuevas iniciativas son laboriosas, precisamente por la falta de antecedentes a veces, y precisan ser impulsadas por docentes involucrados en la transmisión de conocimientos, no sólo como profesores, sino también como comunicadores. Voluntad que valoro en todo el equipo y muy especialmente en la dirección de mi trabajo por parte de la directora, actriz y profesora Mariana Carballal, quien me llevó de la mano para dar vida a Caroline Herschel, y cuya amplia experiencia en diversos campos, al igual que otros docentes, encuentra en estos proyectos integradores la posibilidad de expresión conjunta; algo muy positivo para nosotros, las alumnas y los alumnos que podemos integrarnos en el proceso de trabajo que será donde continuar el aprendizaje. Proyectos como éste permiten que las artes y las ciencias se acerquen, complementándose y alimentándose mutuamente, enriqueciendo el dinamismo de la Universidade de Vigo y de la Escola Superior de Arte Dramática de Galicia trabajando conjuntamente y, principalmente, favoreciendo la colaboración entre docentes y estudiantes de varias disciplinas. Por eso, insisto, fue un placer para mí colaborar y aprender de esta experiencia. María Villarroel, como traductora Cuando Lara Domínguez, profesora de traducción, me entregó este monólogo tan técnico y de temática tan ajena a mi área de estudio, me resultó desconcertante porque no conocía a Carolina Herschel. Esto provocó que cogiese el proyecto con más ganas y entusiasmo todavía, porque me permitiría aprender y conocer cosas que, de otra manera, no llegaría a saber. Tras leer por primera vez el texto y realizar un primer análisis, tuve que dedicar un par de días a investigar sobre la vida y el trabajo de Caroline Herschel (así como de la de su hermano). Este tiempo de estudio me ayudó a comprender un poco mejor el monólogo. Sin embargo, la terminología y muchos de los conceptos seguían escapándoseme, ya que el texto es un fragmento incompleto al que le falta una introducción, lo que complicó todavía más mi labor a la hora de traducir. Todo esto, unido a la falta de información y fuentes en gallego, hicieron más complicado el proceso. Por muchos problemas que encontré en la adopción del texto al gallego, continué investigando una vez había comenzado a traducir, ya que le terminología en su adaptación al gallego así lo requería. No quería simplemente traducir el texto, sino hacer que el texto en gallego resultase lo más natural y fluido posible. Quería conseguir que el monólogo pareciese un original y no una traducción. Ha sido muy gratificante para mí participar en este proyecto y una gran oportunidad. El trabajo de un traductor es muy solitario, pero por suerte en esta ocasión conté con el apoyo de una buena traductora y profesora, Lara Domínguez, que me ayudó, guió a lo largo del proceso de traducción y me hizo parte de este gran proyecto. REFERENCIAS [1] Terre Ouwehand, Voices from the well. Padre Productions, San Luis Obispo, California. 1986. [2] Caroline Herschel. Cortometraje dirigido por Mariana Carballal y Luís Pena. 2013. [3] Mirás Calvo, M. y Quinteiro Sandomingo, C. Voces desde el pozo: Carolina Herschel. Centro virtual de divulgación de las matemáticas (divulgaMAT). [4] http://webs.uvigo.es/dramatematica. Página del proyecto de innovación Elaboración de material didáctico baseado en textos teatrais con contido científico. Sobre los autores: Mariana Carballal: Directora de cine, actriz y profesora de Interpretación para cámara. Miguel Ángel Mirás Calvo: Departamento de Matemáticas de la Universidade de Vigo. Carmen Quinteiro Sandomingo: Departamento de Matemáticas de la Universidade de Vigo. Paloma Saavedra: Alumna de la Escola Superior de Arte Dramática de Vigo. María Villarroel Comesaña: Alumna de la Facultade de Filoloxía e Tradución de la Universidade de Vigo.
Martes, 16 de Julio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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