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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
No es regla general, pero si frecuente: si en algún momento se necesita un tema, un argumento, un dato (y en vacaciones no se tiene demasiado tiempo) que urgentemente nos venga a echar una mano, lo mejor es recurrir a los clásicos. Nunca fallan (al menos a mi no me han fallado nunca). Por eso son clásicos e inmortales (por mucho que algunos quieran dejarlos bien enterrados en aras de una ilusa ¿modernidad? ¿post-modernidad? ¿post-post-.....-post-modernidad?). Al final, se incluye una última hora sobre un inminente estreno interesante. En realidad tenía preparada otra reseña pero me ha gustado tanto esta versión que he visto estas vacaciones que no me he resistido a incluirla ya, y de paso, acercarnos un poco a esos problemas (o acertijos, porque la mayoría los resolvemos sin echar mano de tablas de verdad ni del álgebra de proposiciones, que es lo que se debería hacer) de lógica, y a uno de sus grandes difusores (sino el que más), Raymond Smullyan. Pero lo primero es lo primero. Echemos un rápido vistazo a la película, como es menester por estos lares... EL MERCADER DE VENECIA Título Original: The Merchant of Venice. Nacionalidad: EE. UU./Reino Unido/Italia/Luxemburgo, 2004. Director: Michael Radford. Guión: Michael Radford, basado en la obra homónima de William Shakespeare. Fotografía: Benoît Delhomme, en Color. Montaje: Lucia Zucchetti. Música: Jocelyn Pook. Producción: Cary Brokaw, Barry Navidi y Jason Piette. Duración: 138 min. Intérpretes: Al Pacino (Shylock), Jeremy Irons (Antonio), Joseph Fiennes (Basanio), Lynn Collins (Porcia), Zuleikha Robinson (Jessica), Kris Marshall (Graciano), Charlie Cox (Lorenzo), Heather Goldenhersh (Nerisa), Mackenzie Crook (Lancelot Gobbo), John Sessions (Salerio), Gregor Fisher (Solanio), Ron Cook (Gobbo), Allan Corduner (Tubal), Anton Rodgers (El Dux), David Harewood (Príncipe de Marruecos). Argumento: Dado que Shakespeare es prolijo en crímenes, asesinatos y carnicerías varias, hay quien califica esta obra de comedia, mas no me place a mi tildarla como tal, a pesar de no haber finalmente nadie lastimado (que por momentos pudo) y ser de final feliz (bueno, que le pregunten a Shylock, que creo que tiene otra opinión). Ciertamente tampoco es un dramón (que por momentos pudo también), pero más creo que tiene desto segundo que de lo primero (disculpen el lenguaje, pero además me encuentro, por otras cuitas, leyendo el Lazarillo de Tormes, versión original, no adaptada, y ya se sabe que, salvo la hermosura, todo se pega). Dudoso me resulta si débese describir al lector las circunstancias de tan afamada y universal obra, mas finalmente concluyo su necesidad, habida cuenta de que la acción transcurre mayor aunque no exclusivamente en Venecia, y no en Pisa, que es el único desvelo al parecer de nuestros wertedores responsables educativos, siendo por ello muy probable su desconocimiento, sino en su totalidad, seguramente en una gran parte. Comienza el filme advirtiendo del mal concepto y trato que los nobles católicos venecianos dispensaban para con los judíos por el modo en que éstos hacían fortuna en base al préstamo y la usura a elevados e implacables intereses (¿A qué me suena esta cantinela? Cada vez ando peor de memoria). Así vemos a Antonio, el mercader que da título a la obra, insultar, zarandear y hasta escupir a Shylock (nuevamente me resulta familiar esto de la incitación al odio y a la discriminación étnica, ¿dónde lo habré oído?), uno de los judíos más prósperos y por ello odiados de la ciudad. Antonio tampoco está mal situado, es reconocido y respetado, aunque de un tiempo acá anda demudado su talante. No siendo a causa de sus negocios a pesar de tener barcos en ultramar y depender un tanto de posibles conflictos, sus amigos determinan que su aflicción debe deberse a mal de amores, por mucho que él lo niegue. Y cierto resulta ser, mas no le conviene reconocerlo al ser su amigo Basanio la causa de dichos males. Es un momento de gran efervescencia religiosa (acaba de tener lugar la Reforma Protestante y el Concilio de Trento) y las autoridades civiles y religiosas de Venecia, cual soberbios gallardones, han establecido una ley por la que las prostitutas aparezcan por las calles con el pecho desnudo, (no es por tanto un detalle “moderno” para acrecentar la audiencia de la película, sino una nota de autenticidad histórica), preocupados por la homosexualidad rampante en la ciudad. Quizá sea preciso recordar que tan farisaicos decretos y comportamientos ya se muestran en las mismísimas Sagradas Escrituras que tan a loa y provecho sácanse a colación anteayer, ayer y siempre, por otros menesteres, claro. Pero no sólo atañe (el fariseísmo) a circunstancias tan “domésticas” y “poco relevantes”: cuando Basanio explica a Antonio su deseo de ir a probar fortuna solicitando en matrimonio a una rica heredera (ahí se explican los males de Antonio) y necesitar una dote adecuada, Antonio, sin liquidez en ese momento, no duda en pedir crédito a aquel al que difamó y despreció. Shylock, estimando la posibilidad de llegada de la hora de su anhelada venganza, exige un pago singular en caso de que a los tres meses no le sean devueltos los tres mil ducados prestados: cobrarse una libra de carne en vivo del cuerpo de Antonio, de la parte que Shylock elija (la cosa está más clara que eso de las preferentes, más refinadas, pero igual de mortíferas). Seguro de sí mismo (relaxing cup of....) y sobre todo, enganchadísimo de Basanio, Antonio acepta, pudiendo imaginar vuesas mercedes lo que enhoramala acontecerá. Encima la hija de Shylock se fuga con un cristiano, llevándose preciadas pertenencias, lo que aumentará sus ansias de venganza. Llegados a este punto, mejor que el lector vea la película (y aún mejor, lea la obra), y decida por si mismo si todo ello es cosa del pasado, presente o incluso del futuro, y disfrutar de la memorable interpretación de Al Pacino (por algo Dustin Hoffmann porfió una y mil veces por el  papel; Al Pacino estuvo además una temporada larga en Broadway interpretando diariamente esta obra, ver cartel de la obra, dirigida por Daniel Sullivan), y del resto del reparto que tampoco desmerecen en nada. Simplemente mencionar que, si bien todo parece terminar justamente, ni uno solo de los caracteres puede decirse satisfecho ni libre de pecado alguno, y que serán, como tantas veces, las mujeres, Porcia y Nerisa, las que saquen, con ingenio (y disfrazadas de hombre que si no, ni las dejarían hablar), las castañas del fuego a autoridades, doctos letrados y al sufrido y desfallecido Antonio, y de paso escarmentar a sus “gallardos” esposos. Eso sí, queda la clara demostración de que la ley (las leyes) está para ser retorcida al gusto y necesidad del ingenioso de turno, y si no que se lo pregunten a Shylock, que incluso en un estado tan respetuoso con la ley como la Venecia Renacentista, no consigue justicia ni respeto. El mercader de Venecia fue escrita entre 1594 y 1597, aunque no sería publicada hasta el año 1600. A pesar de lo que ha llovido, como sucede en prácticamente toda la obra de Shakespeare, además de la profundidad que da a sus personajes, es increíble la extrema modernidad de sus obras. Aquí encontramos amor, filosofía, intriga, política, religión, pasión, misterio, denuncia, erotismo,... y lógica. En el cine las adaptaciones de las obras de Shakespeare han sido abundantes y de cierta calidad. El mercader de Venecia no tenía sin embargo hasta la realización de esta versión una referencia clara. En televisión se han realizado muchas adaptaciones (incluyendo una para el recordado y popular Estudio 1 en Televisión Española, dirigida en 1967 por Pedro Amalio López, y que puede disfrutarse íntegramente en http://www.rtve.es/alacarta/videos/estudio-1/estudio-1-mercader-venecia/867717/, obviamente mucho más light que la reseñada arriba. También hay una adaptación de Orson Welles). Para salas cinematográficas hay varias versiones mudas y la co-producción Le marchand de Venise (Pierre Billon, Francia/Italia, 1953), con Michel Simon (Shylock), Andrée Debar (Porcia), Massimo Serato (Antonio) y Armando Francioli (Basanio), no demasiado afortunada. Con escenarios en Luxemburgo y en Venecia, El mercader de Venecia fue nominada como mejor película de la Unión Europea en los Premios David de Donatello. Algunas curiosidades para terminar: inicialmente Cate Blanchett iba a interpretar a Porcia, pero tuvo que renunciar antes de empezar por su embarazo. Tampoco Antonio iba a ser Jeremy Irons, sino Ian McKellen, que tuvo que dejarlo por incompatibilidades con otros trabajos. Por otro lado, en la emisión televisiva norteamericana, al director Michael Radford se le obligó a cortar el beso en la boca que Antonio y Basanio se dan (puritanismo yanqui de lo más hipócrita; pobre Shakespeare. ¿Qué harán con el Nymphomaniac de Lars Von Trier?). Lógica para elegir marido Porcia es una joven y rica heredera, por lo que de todos los lugares del mundo aparecen pretendientes a su mano. Su fallecido padre ideó antes de fallecer un procedimiento para elegir el esposo adecuado, algo de lo que Porcia no está demasiado segura porque cree que alguno (y no le agrada ninguno de los que se van presentando) acabará descubriendo el enigma planteado, que es el siguiente: el pretendiente debe elegir uno entre tres cofres (uno de oro, otro de plata y otro de plomo), en base al razonamiento que crea conveniente relacionado con la joven casadera. Sólo uno de ellos contiene el retrato de Porcia. Si ese es el elegido, ella será su esposa. Los cofres tienen unos carteles que pueden dar pistas (o despistar). Vayamos al texto original y escuchemos al primer pretendiente: PRINCIPE: El primero es de oro, y en él hay estas palabras: “Quien me elija ganará lo que muchos desean”. El segundo es de plata y en él se lee: “Quien me elija, cumplirá sus anhelos”. El tercero es de vil plomo y en él hay esta sentencia tan dura como el metal: “Quien me elija, tendrá que arriesgarlo todo”. ¿Cómo haré para no equivocarme en la elección? PORCIA: En uno de esos cofres está mi retrato. Si lo encontráis, soy vuestra. Posteriormente, de boca del Infante de Aragón, conoceremos que hay algunas reglas más que cumplir: INFANTE: El juramento me obliga a tres cosas: primero, a no decir nunca cuál de las tres cajas fue la que elegí. Segundo, si no acierto en la elección, me comprometo a no pedir jamás la mano de una doncella. Tercero, a alejarnos de vuestra presencia si la suerte me fuera contraria. La clave para elegir marido se basaba en la bondad del candidato, y el premio se encontraba evidentemente en el cofre de plomo. Pero Raymond Smullyan (es la “referencia madre” más antigua que he podido encontrar, ya que, como pasa a menudo en Internet y otros lugares, son muchos los que toman prestado el acertijo, pero pocos los que citan las fuentes, mala costumbre a mi entender), en su genial libro ¿Cómo se llama este libro? (el original, What is the name of this Book? data en su primera edición de 1978) dedica todo un capítulo con diferentes variantes cada vez más complejas a esta cuestión planteada por Shakespeare. I.- Smullyan plantea cambiar la elección de marido por el más inteligente, y para ello propone como primera variante la siguiente elección de carteles en los cofres: ORO: El retrato está en este cofre. PLATA: El retrato no está aquí. PLOMO: El retrato no está en el cofre de oro. Sabiendo que a lo sumo sólo uno es verdad, ¿qué cofre debería elegirse? II.- El pretendiente eligió correctamente, así que se casaron y vivieron bastante felices... por lo menos durante algún tiempo. Pero un día Porcia pensó: "Aunque mi marido demostró una cierta inteligencia al escoger el cofre correcto, en realidad el problema no era tan difícil. Sin duda podía haber puesto un problema más difícil y haber conseguido un marido realmente inteligente". Así pues se divorcio inmediatamente de su marido para poder escoger un esposo más inteligente. Esta vez hizo esculpir las siguientes inscripciones: ORO: El retrato no está en el cofre de plata PLATA: El retrato no está en este cofre PLOMO: El retrato está en este cofre. Porcia explicó al pretendiente que por lo menos uno de los tres enunciados era verdadero y que por lo menos otro era falso. ¿En cual de los cofres está el retrato? Como quiso el destino, el pretendiente no fue nada menos que el primer esposo. Resolvió este problema y se casaron otra vez. El citado libro, además de proporcionar razonadamente las respuestas, propone siete variantes más, para deleite del que desee continuar con entretenimientos similares. Raymond Smullyan El matemático, músico, lógico, filósofo taoísta y mago Raymond Merrill Smullyan nació el 25 de mayo de 1919 en Far Rockaway, Nueva York. De su dilatada existencia (y lo que le queda) destacaremos que a los 12 años ganó una medalla en un concurso de piano, que tuvo que cambiar sucesivamente de instituto ya que pocos le permitían compaginar sus grandes pasiones, las matemáticas y la música, que fue autodidacta en ambos campos gran parte de su vida, hasta que en 1955 se licenció en la Universidad de Chicago y cuatro años después terminó su doctorado en la Universidad de Princeton. En 1957 publicó un artículo en el Journal of Symbolic Logic probando que la incompletitud del teorema de Gödel se verifica también en sistemas formales mediante un método considerablemente más sencillo que el desarrollado por el propio Gödel en 1931. De hecho su trabajo permitió entender mucho mejor al resto de matemáticos contemporáneos el trabajo del propio Gödel, bastante críptico hasta ese momento. Más tarde, Smullyan desarrolló de forma convincente una serie de resultados que demostraban que la fascinación hacia el trabajo de Gödel debería orientarse mejor hacia el teorema de Tarski, mucho más asequible e igualmente fascinante desde un punto de vista filosófico. Fue uno de los lógicos teóricos que estudió bajo la dirección de Alonzo Church (supongo que recordaréis que Church fue el director de tesis de Alan Turing, y uno de los “padres” de la informática actual). Además de hacer sus pinitos como mago, es astrónomo amateur, y ha desarrollado su carrera docente como profesor de Filosofía en institutos de enseñanza media y en la Universidad de Indiana. Mención aparte merece su dilatada carrera como escritor de libros tanto académicos (principalmente de filosofía y lógica) como de divulgación de la Lógica y las Matemáticas. Algunos de sus libros Se listan por orden de publicación en su versión original. En castellano se describe posteriormente el año de publicación de la primera edición. 1978 What Is the Name of This Book? The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles - knights, knaves, and other logic puzzles. - ¿Cómo se llama este libro? El enigma de Drácula y otros pasatiempos lógicos (Editorial Cátedra, 1981). 1979 The Chess Mysteries of Sherlock Holmes - introducing retrograde analysis in the game of chess.- Juegos y problemas de ajedrez para Sherlock Holmes (Editorial Gedisa, S.A., 1987). 1981 The Chess Mysteries of the Arabian Knights - second book on retrograde analysis chess problems.- Juegos de ajedrez y los misteriosos caballos de Arabia (Editorial Gedisa, S.A., 1986). 1982 The Lady or the Tiger? - ladies, tigers, and more logic puzzles.- ¿La dama o el tigre? y otros pasatiempos de lógica (Editorial Cátedra, 1989). 1982 Alice in Puzzle-Land.- Alicia en el País de las Adivinanzas (Editorial Cátedra, 1989). 1985 To Mock a Mockingbird - puzzles based on combinatory logic.- Juegos para imitar a un pájaro imitador (Editorial Gedisa, S.A., 1989). 1986 This Book Needs No Title: A Budget of Living Paradoxes. 1987 Forever Undecided - puzzles based on undecidability in formal systems. 1992 Satan, Cantor and Infinity.- Satán, Cantor y el infinito (Editorial Gedisa, S.A., 1995). 1997 The Riddle of Scheherazade.- El enigma de Scherezade (Editorial Gedisa, S.A., 1998). 2007 The Magic Garden of George B. And Other Logic Puzzles. 2009 Logical Labyrinths. 2010 King Arthur in Search of his Dog. 2013 The Godelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. En nuestro país, la editorial Gedisa publicó además en 1988 un volumen bajo el título Juegos por siempre misteriosos, del que no he logrado averiguar si responde a alguno de los originales en inglés de arriba o es simplemente una recopilación de libros anteriores. Además publicó en 2002 bajo el título genérico Juegos para imitar a un pájaro imitador, otros dos libros cuyo título en español es Volumen I.- Caballeros, bribones y pájaros egocéntricos. Volumen II.- Bosques curiosos y pájaros aristocráticos. Quizá algún amable lector pueda sacarnos de dudas, lo que agradecemos de antemano. En el año 2001, Tao Ruspoli realizó un documental sobre Raymond Smullyan titulado This Film Needs No Title: A Portrait of Raymond Smullyan. Dura 30 minutos y fue editado en DVD en 2006 (obviamente en los EE. UU.). El DVD contiene otros 5 cortos documentales de Tao Ruspoli (fotógrafo, músico y director de cine nacido en 1975). Sobre este bohemio y peculiar realizador podríamos hablar largo y tendido, pero no es momento ni lugar. Si alguien desea profundizar, puede hacerlo en http://blog.taoruspoli.com/ Quizá los lectores recordéis otras películas en las que aparecen cuestiones o enigmas de lógica. En la mayor parte de los casos, Raymond Smullyan está detrás. Por ejemplo recordareis El Enigma de Gaspar Hauser (Jeder für sich und Gott gegen alle, Werner Herzog, Alemania, 1974) con una cuestión sobre decidir quien miente y quien no en un cruce de caminos (una vez más el lector interesado puede ampliar la información en el libro Las Matemáticas en el Cine, páginas 144 a 148). Variaciones sobre esta cuestión aparecen en otras películas. A modo de recordatoria, en Dentro del laberinto (Labyrinth, Jim Henson, EE.UU., 1986), Sarah (Jennifer Connelly; ¿la recordáis? Es la posterior novia/esposa de John Nash en Una mente maravillosa), en su odisea por el laberinto, se encuentra con unos curiosos duendes que están boca abajo y luego giran boca arriba, con los que tiene lugar la siguiente conversación: Abajo a la izquierda: El único modo de salir de aquí es probando una de las puertas. Abajo a la derecha: Una de ellas lleva al castillo del centro del laberinto, y la otra lleva a… ¡una muerte segura ! Sarah : ¿Cuál es cada una ? Abajo a la izquierda: No podemos decirtelo. Sarah : ¿Por qué no? Abajo a la izquierda: No lo sabemos. Pero ellos sí (apuntan a sus homólogos en la parte de arriba) Sarah : ¡Oh, pues se lo preguntaré a ellos ! Arriba a la izquierda: No, no nos lo puedes preguntar a nosotros. Sólo puedes preguntar a uno. Arriba a la derecha: Es una de las reglas. Uno de los dos siempre dice la verdad, pero el otro siempre miente. Es otra de las reglas. Él siempre miente. Arriba a la izquierda: ¡No es cierto ! ¡Yo digo la verdad ! Arriba a la derecha: ¡Qué gran mentira ! ¡ Él es el mentiroso! Sarah : (dirigiéndose al otro) Muy bien. Responde sí o no. ¿Me diría él (apuntando al contrario) que esta puerta es la que lleva al castillo ? Arriba a la izquierda: Sí. Sarah : Entonces la otra puerta es la que lleva al castillo, y ésta lleva a una muerte segura.. Arriba a la izquierda: ¿Cómo lo sabes? Él podría haber dicho la verdad. Sarah : Pero entonces tú no la dirías. Si me has dicho que él diría “si”, sé que tu respuesta es “no”. (mal doblaje:  debería decir “tu respuesta debería ser “no”; En este tipo de cuestiones sobre lógica, el uso del tiempo verbal adecuado es fundamental para comprender los razonamientos. Por supuesto eso les trae al fresco a los encargados del doblaje, como en tantas otras ocasiones). Arriba a la izquierda: Pero yo podría haber dicho la verdad. Sarah : Y él habría mentido. Así que si me dices que él dice “si”, la respuesta sigue siendo “no”. Arriba a la izquierda: Un  momento, ¿Es cierto eso? Arriba a la derecha: No lo sé. Nunca lo he comprendido. Sarah : No, es verdad. Lo he descubierto. Antes no lo habría logrado. Creo que me estoy volviendo más lista. ¡Esto es pan comido ! Sin embargo, nada más traspasar la puerta, cae a un “olvidero” (una mazmorra sin salida). ¿Por qué? En La carta esférica (Imanol Uribe, España, 2007) la protagonista, Tánger (Aitana Sánchez  Gijón), propone a Coy (Carmelo Gómez) la misma adivinanza: “Hay un lugar habitado sólo por dos clases de personas, caballeros y escuderos. Los escuderos mienten y traicionan siempre; los caballeros, no. […] Uno de los habitantes de esa isla le dice al otro: “te mentiré y te traicionaré siempre”. La pregunta es ¿Quién habla es caballero o escudero?” Coy se excusa diciendo que ya lo pensará. Más adelante la contesta que “no hay respuesta para eso”. “Te equivocas; siempre hay respuesta para todo”. Al final de la película se hace la siguiente afirmación: “¡En la isla no hay caballeros; todos mienten! Como en un espejo” ¿Sabría el lector resolver la cuestión? De todos es conocido (el cartel también lo anuncia) que la película está basada en la novela homónima de Arturo Pérez-Reverte (lo que sirve para promocionar la película, dado el tirón mediático, al menos en la época del estreno, de este autor). No sé si Reverte cita a Smullyan como referencia del acertijo, porque no he leído la novela, sólo he visto la película. Pero sí leí en su momento La tabla de Flandes (y vi la horrorosa versión cinematográfica de la que prefiero no acordarme más), y allí aparece el protagonista utilizando lo del ajedrez retrógrado (descrito por vez primera por Smullyan), y en ninguna parte vi referencia alguna a su  autor. Finalmente en La princesa prometida (Princess Bride, Rob Reiner, EE. UU., 1987) aparece también un atisbo también de problema lógico que seguramente los fieles seguidores de esta sección recordareis. Bueno, para empezar el año es más que suficiente en cuanto a referencias cinematográficas, esta vez con la lógica a vueltas. No os quejareis. Ultima hora Al cierre de este artículo, recibo vía Facebook (gracias a Marta Macho y Jose M. Sorando) la noticia del pronto estreno (actualmente está en fase de post-producción; ya sabáis el montaje final, y todo eso) de una película biográfica sobre el genial Srinivasa Ramanujan (interpretado por el actor Abhinay Vaddi). Está dirigida por el realizador hindú Gnana Rajasekaran,  y  una parte se centra en la estancia de Ramanujan en Inglaterra con Hardy (interpretado por Kevin McGowan) y Littlewood (Michael Lieber). Ramanujan es la primera película para la que han dado permiso para filmar en el templo de Sarangapani en Kumbakonam. Hasta ahora ninguna otra película de ninguna nacionalidad (ni siquiera Tamil) había podido hacerlo. Otra llamativa curiosidad que ha trascendido es que los actores ingleses no han necesitado repetir ninguna toma de las escenas en las que tuvieron que hablar en Tamil (gran parte del metraje está en esa lengua), y sin embargo si han tenido que repetir algunas rodadas en inglés, al no recordarlas exactamente. Curioso. En la página de Facebook, Las Matemáticas en el Cine, podéis seguir al día las noticias que vayan apareciendo sobre esta película.
Miércoles, 08 de Enero de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Si has aprendido el juego que enseñamos en la entrega anterior de este rincón y lo has realizado en público, aprovechando que las pasadas fechas han sido muy propicias para ello, habrás comprobado que está en el "top ten" de los juegos matemáticos. A pesar de su simplicidad, el impacto que provoca es imborrable. Recordarán tu hazaña durante mucho tiempo. ¿Cierto? Una ventaja añadida es que, por un momento y sin que sirviera de precedente, has logrado que tus allegados hayan descubierto una "app" desconocida y un uso sorprendente del teléfono móvil, más allá de los mensajes navideños y el flujo constante de felicitaciones originales, divertidas, repetitivas, pero siempre sinceras: ¡la calculadora! De ahora en adelante, seguro que la usan más a menudo. En esta ocasión, daremos la solución al problema del concurso. Recordemos el juego (aunque seguro que has vuelto a leer la entrega anterior después de esta introducción): Enseñas cinco dados, que llevan impresos los números mostrados a continuación. Te vuelves de espaldas. Pides a un colaborador que lance los dados y nombre en voz alta los números que han salido. Tú sigues de espaldas y tomas nota mentalmente. Rápidamente anuncias la suma de los cinco números mostrados. El problema que proponemos es el de averiguar cómo puede calcular el mago dicha suma. Empezaremos diciendo que el problema apareció en el ejemplar de marzo de 1978 de Games&Puzzles (en la imagen se muestra la portada del primer ejemplar de la revista), propuesto por J. Sweeney a partir de un juego que había comprado mucho tiempo antes. Más tarde, el 6 de julio de 2003, fue planteado en el portal www.mathpuzzle.com, fuente inagotable de rompecabezas y problemas de ingenio, y las soluciones dadas por los lectores aparecen en www.mathpuzzle.com/dicetrick.txt. Algunas claves para descubrir la solución son: La cifra central en cada dado es constante: 8, 7, 6, 5 y 4. Su suma es 30. La suma de las dos cifras exteriores (primera y tercera) en cada dado también es constante: 7, 10, 9, 13 y 8. Su suma es 47. Así pues, sea cual sea el resultado del lanzamiento de los dados, la suma de las cifras de los cinco números superiores será 77. Este número se descompone en tres partes: C es la suma de las cifras de las centenas, D = 30 es la suma de las cifras de las decenas, U es la suma de las cifras de las unidades. Como C + D + U = 77, entonces C + U = 47. Basta conocer C ó U para deducir el resultado de la suma. Al escuchar los números, tenemos dos opciones: recordar y sumar mentalmente las unidades o las centenas. Si vamos sumando las unidades, como la respuesta es siempre un número de cuatro cifras, digamos abcd, sabemos que U = cd (las dos últimas cifras de la suma) y que C = 47 - U. Al ser D = 30, las dos primeras cifras son ab = C + 3 = 50 - U. Si lo que sumamos son las centenas, por el mismo razonamiento anterior sabemos que ab = C + 3 y que cd = 50 - ab. Por ejemplo, si nos anuncian los valores 483, 278, 663, 855 y 741, vamos sumando 3 + 8 + 3 + 5 + 1 = 20. Como cd = 20, entonces ab = 30 y la suma total es 3020. Si lo que sumamos son las centenas, 4 + 2 + 6 + 8 + 7 = 27, fácilmente deducimos que ab = 30 y que cd = 20. Hemos recibido las respuestas de Enrique Farré (con un juego de propina), Javier Serrrano (que envió la solución casi antes de publicar el problema), Roberto Camponovo (fiel seguidor desde Suiza) y Vicent Juan. Muchas gracias a todos por compartir este rincón. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Viernes, 03 de Enero de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
La page de tous les désirs –La página de todos los deseos–  se confeccionó durante la sexta edición de Les 24 heures de la bande dessinée en el Festival International de la Bande Dessinée de Angoulème (Francia), en enero de 2012. Les 24 heures de la bande dessinée –Las 24 horas del cómic– son un preámbulo del Festival del cómic de Angulema: desde el martes a las 15h hasta el miércoles a las 15h, las y los autores participantes deben crear 24 páginas –una portada, 22 páginas de cómic y una contraportada–. Además, cada año se impone un tema: en 2012 cada historia debía contener –y en este orden– las tres frases: “Surgissant soudain...” –“Surgiendo de repente…”– en el primer tercio del tebeo, “Et à la fin ...” –“Y al final…”– en el segundo tercio del libro, y “Elle s'interrompt brusquement...” –“(Ella) se interrumpe bruscamente…”– en el último tercio del libro. Lécroart es miembro de OuBaPo –Ouvroir de Bande Dessinée Potentielle, Obrador de tebeo potencial– y de OuLiPo –Ouvroir de Littérature Potentielle, Obrador de literatura potencial– y, en ambos ámbitos, reflexiona sobre el uso de restricciones formales –las trabas o contraintes en francés–. En las 24 páginas de La page de tous les désirs, Étienne Lécroart combina la epopeya histórica, la novela policiaca, el enigma literario… y los palíndromos. Primera viñeta, con la primera traba. © É. Lécroart Un caballero irrumpe en un monasterio, buscando un tesoro escondido en la gran biblioteca sagrada, una biblioteca inconmensurable: … Hay 1331 estanterías conteniendo cada una de ellas 1881 volúmenes, es decir, 2.503.611 incunables en total… Uno de los libros contiene en su interior una página sagrada, y aquella persona que la descubra tendrá la clave del poder absoluto: ése es el tesoro. Cada libro contiene 2002 páginas… eso significa que la página sagrada se encuentra entre 5.012.229.222 posibles (2503611 x 2002). Como explica uno de los monjes al caballero: Incluso invirtiendo sólo 10 segundos por página y trabajando 16 horas al día, le harían falta 285 años completos para terminar la tarea. En efecto,  para  recorrer esas páginas se necesitarían 50.122.292.220 segundos, es decir, 1.392.285,89 horas (50122292220/3600, una hora tiene 3600 segundos), es decir, 870.178,68 días (139228589 /16), es decir, 2384 años (870178,68/365). El caballero se da cuenta de que nunca podrá encontrar el tesoro… En la página 8 aparece la segunda traba. © É. Lécroart En la página 8 se produce un salto en el tiempo: aparecen Sherlock Holmes y el Dr. Watson. El fiel compañero del detective se queja sobre el absurdo de la historia que acaba de suceder en las siete páginas anteriores –y que está leyendo–. Holmes explica a Watson su teoría sobre el lugar en el que está escondido el tesoro: 1881 libros de 2002 páginas por estantería hacen 3.765.762 páginas. Y 1331 estanterías de 1881 libros: 2.503.611 libros, ¿no? Holmes deduciendo. © É. Lécroart Para Holmes los números esconden la latitud y longitud de un islote en el golfo de Guinea: el 20 de febrero de 1881 a las 13h31, un monje les estará esperando para descubrirles el tesoro. Ensimismados en sus reflexiones, los dos personajes mueren arrollados por el tranvía. La página 15 encierra la tercera traba. © É. Lécroart Se produce un nuevo salto en la historia: una pareja de vacaciones en Sao Tomé lee la historia de Holmes y Watson. El hombre explica su versión del enigma: Los números, ¿lo recuerdas? Son palíndromos: se leen también del revés… […] Dando la vuelta a los números, obtengo el 13/31/2002 a las 18h81. […] El día 13 del mes 31 de 2002 es el 13 de julio de 2004. Y 18h81 nos da 19h21. Y volviendo a invertir los números en las latitudes y longitudes: Son las coordenadas de… Sao Tomé. © É. Lécroart El lugar, el momento… el libro que tienen en sus manos se lo habían comprado a la hora exacta a un monje… La pareja se pelea por poseer el libro. De repente todo desaparece… aunque la contraportada indica que la historia volverá a empezar…
Viernes, 20 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Hace unos días se publicó la entrada La teoría de grafos y “Così Fan Tutte” en el Cuaderno de Cultura Científica (Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU). En ella, se analizaba la ópera Così fan tutte ossia de Wolfgang Amadeus Mozart, usando la teoría de grafos para estructurar ‘los intercambios de parejas’ a lo largo de la obra. En esta corta reseña vamos a realizar el mismo análisisi, esta vez con la comedia Noche de reyes de William Shakespeare. Resumimos el argumento de la obra: Sebastián y Viola son hermana y hermano gemelos. Un naufragio los separa: ambos creen que el otro ha fallecido. Viola llega a una playa, y se viste de hombre para hacerse pasar por Cesario, un paje al servicio del duque de Orsino. Orsino está enamorado de  Olivia, una dama noble cuyo hermano ha muerto recientemente, pero ella le rechaza. El duque utiliza a Cesario como confidente y como mensajero, pero el paje –Viola– comienza a enamorarse de Orsino, mientras que Olivia se enamora de Cesario. Antonio, antiguo enemigo de Orsino, ha rescatado del naufragio a Sebastián. Creyendo que es Cesario, Olivia pide a Sebastián que se case con ella: él acepta perdidamente enamorado y se celebra la boda en secreto. Viola revela que es en realidad una mujer y que Sebastián es su hermano gemelo perdido. Tras diversas peripecias, malentendidos y cruces de parejas, Orsino acaba enamorándose de Viola, y la historia tiene final feliz. Orsino y Cesario. Cesario y Olivia. Cuadros de Frederick Richard Pickersgill Frank Harary es uno de los ‘padres’ de la teoría moderna de grafos. Propuso representar mediante esta herramienta la intriga de obras literarias, en particular las relaciones amorosas contenidas en ellas. Por ejemplo, en el grafo de debajo, quedaría representada una relación entre cuatro personas, en la que la primera quiere a la segunda y a la tercera –amor no correspondido–, la segunda no está enamorada de nadie, la tercera no se decide por la segunda o la cuarta, y la cuarta adora a la tercera –amor correspondido–: ¿Cómo representar la estructura de Noche de reyes usando teoría de grafos? Al principio tenemos un triángulo que indica los tres amores no correspondidosii: Tras todas las aventuras vividas por los personajes, finalmente el final es feliz: Notas: [i] F. Harary, Le graphe de «La nuit des rois», Mathématiques et sciences humaines, tome 51 (1975) 77-80. [ii] Según la teoría del equilibrio de Fritz Heider el triángulo corresponde a una situación no equilibrada y finalmente, la armonía acaba venciendo.
Viernes, 20 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En el artículo de este mes, el de frío diciembre, explicaremos la primera parte del artículo de Mongeau y Sankoff [MS90] Comparison of musical sequences, en la que se detalla cómo se aplica la distancia de edición a la similitud melódica desde un punto de vista algorítmico (véase la columna del mes pasado [Góm13] para un repaso de los conceptos básicos). En concreto, veremos como estos autores aumentan el arsenal de operaciones sobre las cadenas para acomodar la distancia de edición al contexto musical. Para el mes siguiente dejaremos la descripción de los experimentos que realizaron para probar la bondad de la medida. 1. La distancia de edición para cadenas musicales El método que proponen Mongeau y Sankoff es particularmente apropiado para la música que está representada simbólicamente, es decir, dada por la codificación de la notación tradicional musical. La codificación más habitual es la midi (programas de edición musical como Finale o Sibelius exportan a midi, por ejemplo). El método de estos autores no se adecua en cambio a música codificada en formato de audio, tales como wav o mp3, que son codificaciones orientadas a describir la música desde un punto de vista físico. De la notación tradicional el algoritmo de Mongeau y Sankoff emplea la sucesión de alturas y duraciones y la tonalidad de la pieza. Recordamos de la columna del mes pasado que la ecuación básica de la distancia de edición es, dadas dos cadenas A,B de longitudes respectivas n,m, la siguiente: donde los índices cumplen que i = 1,…,n y j = 1,…,m. El algoritmo de Mongeau y Sankoff examina las diferencias en altura y en duración de las notas. Esto implica que el modelo anterior, tan simple, donde los pesos cI,cB y cS son constantes, ya no es válido. Reescribimos la ecuación como sigue para reflejar que ahora los pesos dependen de la posición del elemento de la cadena (usamos la notación de  [MS90]; d(ai,bj) se designará indistintamente por di,j ). (1) con las condiciones iniciales (2) En todas estas fórmulas se cumple que w(x,y) = w(y,x) para cualesquiera caracteres x,y. Mongeau y Sankoff se fijaron en dos parámetros a la hora de diseñar su distancia para medir la disimilitud (la distancia de edición mide precisamente eso, la disimilitud entre dos cadenas; algunos autores empero hablan de similitud). Esos parámetros son la altura y la duración de las notas. La forma general de los pesos se descompone en dos términos como sigue: donde wint(ai,bj) es el peso asociado al intervalo entre la nota ai y bj, y, análogamente, wdur(ai,bj) es el peso asociado a las duraciones de ai y bj. El parámetro k1, cuya determinación se hará más adelante, sirve para afinar el modelo. k1 representa la importancia de la contribución de la duración frente a la altura del sonido. El peso wint(ai,bj) es la diferencia entre la posición relativa de las notas ai y bj multiplicada por la menor de las duraciones de las dos notas. wdur(ai,bj) es sencillamente la diferencia en duración entre ai y bj. Los pesos de los intervalos se toman módulo la octava; esto es, el peso asociado a un par de notas a,b es el mismo que el asociado a a y a b más un múltiplo de una octava. El lector se habrá dado cuenta inmediata de que esta elección de los pesos refleja un confinamiento a la música tonal. Para medir la distancia entre dos notas los autores exigen que la pieza tenga una tonalidad establecida; de este modo, la altura de cada nota es la distancia a la tónica, y la distancia entre dos notas, la diferencia de alturas. Además, los pesos de las alturas reflejan las relaciones de consonancia entre las notas. Así, una octava y un quinta, intervalos muy consonantes, reciben poco peso; en cambio, una segunda o una séptima reciben mucho mayor peso. En cuanto a las duraciones, están codificadas en términos de una unidad mínima, que Mongeau y Sankoff toman como la semicorchea. Con el fin de asegurarse que el peso del intervalo no depende de la tonalidad o del modo de la pieza, las alturas se convierten a grados de la escala. Esto implica que ahora la distancia entre una tercera mayor y una tercera menor puede ser cero. Esto corrige el peligro de una misma pieza escrita en modo mayor no aparezca como excesivamente diferente de su correlato en modo menor. En la tabla siguiente tenemos los grados de la escala mayor y menor junto con las diferencias correspondientes en semitonos. Grados de la 1 2 3 4 5 6 7 escala mayor Grados de la 1 2 3 4 5 6 7 escala menor Semitonos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 de diferencia Tabla 1: Grados de las escala mayor y menor dentro de la escala cromática. Sin embargo, este esquema es insuficiente porque en una pieza pueden aparecer notas que no pertenecen a la escala en que se encuentra escrita. Las razones son múltiples: dominantes secundarias, cambios temporales de modo, color aplicado a través del cromatismo, alteraciones armónicas, etc. Mongeau y Sankoff implementan un esquema más fino para este caso. Llaman gr(n) al peso asociado a dos notas cuya diferencia es n grados en la escala. Cuando una de las dos notas no pertenece a la escala emplean entonces ton(m), que está dada por la relación: donde μ y δ son parámetros a determinar y donde n(m) es el grado de la escala más cercano dado por m semitonos. Por ejemplo, n(7) es 4, ya que la quinta el intervalo dado por cuatro grados de la escala consiste en 7 semitonos; n(4) = 2 para una escala mayor y n(3) = 2 para una escala menor. Otro caso que hubieron de contemplar Mongeau y Sankoff fue el de una nota que se transforma en un silencio –caso distinto de una nota que se suprime o inserta–. Los autores introducen un nuevo peso, wsil, para tratar esta situación. Cuando se da el caso de dos silencios de la misma duración, wsil toma el valor que tendría si hubiese dos notas de la misma altura. 2. Nuevas operaciones Mongeau y Sankoff, inspirándose en los estudios de reconocimiento de habla (véase [KL83]), añadieron dos operaciones más: la fragmentación y la consolidación. La primera consiste en la sustitución de varios elementos por un solo y la segunda es la operación inversa, la sustitución un único elemento por varios; en la figura 1 se ilustran estas operaciones. Con el modelo usado hasta ahora, la descomposición de una nota redonda en cuatro negras, algo muy habitual en música, sería irrazonablemente costoso. Figura 1: Las nuevas operaciones de fragmentación y consolidación. Los pesos asociados a estas dos nuevas operaciones siguen la misma lógica usada hasta ahora y, en consecuencia, se escribirán como combinaciones lineales de los pesos wint y wdur de las notas que se consolidan o fragmentan. Para la fragmentación el peso total de wint será una combinación lineal de los pesos de cada nota por la nota sustituida final. De manera análoga, se definen los pesos para consolidación. 3. El algoritmo completo Con las ampliaciones definidas en las secciones anteriores, podemos presentar la relación final para la distancia de edición: (3) donde 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m, y donde w(ai,bj-k+1,…,bj) y w(ai-k+1,…,ai,bj) son los pesos asociados con la fragmentación y la consolidación, respectivamente. Las condiciones iniciales son las que aparecen en la ecuación (2equation) más arriba. No entraremos en este artículo divulgativo en cuestiones de complejidad, pero los autores del artículo probaron que la recursión dada por la fórmula anterior se puede calcular en tiempo proporcional al producto n⋅m. En particular, se dieron cuenta que, dada la condición de minimalidad de la definición de distancia de edición, no hacía falta calcular la recursión completa para las operaciones de fragmentación y la consolidación. En este punto el lector debe estar extrañado de que no hayamos entrado todavía en la cuestión de los numerosos parámetros que quedan pendiente para que la recursión (3) se pueda calcular. Mongeau y Sankoff los calculan de modo heurístico comparando pares de piezas musicales para las que conocen aproximadamente sus valores de similitud; esto se profundizará en el último artículo de esta serie. De todos modos, los autores mismos reconocen que “los valores precisos que han calculado son muy debatibles o que podían optimizarse con respecto a un conjunto dado de datos”. Los valores que dieron para los parámetros son los siguientes: Peso y valor Intervalo gr(1) = 0 unísono gr(2) = 0,9 segunda gr(3) = 0,2 tercera gr(4) = 0,5 cuarta gr(5) = 0,1 quinta gr(6) = 0,35 sexta gr(7) = 0,8 séptima Peso y valor wsil = 0,1 μ = 2 δ = 0,6 k1 = 0,348 Peso y valor Intervalo ton(0) = 0 unísono ton(1) = 2,6 segunda menor ton(2) = 2,3 segunda mayor ton(3) = 1 tercera menor ton(4) = 1 tercera mayor ton(5) = 1,6 cuarta justa ton(6) = 1,8 cuarta aumentada ton(7) = 0,8 quinta justa ton(8) = 1,3 sexta menor ton(9) = 1,3 sexta mayor ton(10) = 2,2 séptima menor ton(11) = 2,5 séptima mayor Tabla 2: Pesos del algoritmo. 4. Conclusiones Es posible que el lector que se asome por primera vez a este tipo de aplicaciones de las matemáticas se sorprenda de cómo se eligen los parámetros del algoritmo. En muchos casos, parece que es una elección demasiado dependiente del contexto o que no hay principios suficientemente generales que guíe tal elección. En parte, este lector tendría razón. Mirado con perspectiva histórica, ese juicio severo se suavizaría. El artículo de Mongeau y Sankoff es del año 1990 y fue pionero en el estudio de la similitud musical por vía de la distancia de edición. Muchos algoritmos vinieron después que mejoraron sus ideas y que se basaron en posteriores estudios de cognición musical. Hemos escogido este artículo para presentar al lector una introducción a la similitud musical desde la computación precisamente por su carácter de artículo pionero. Normalmente, así es cómo ocurren las cosas en ciencia y tecnología. La primera solución suele ser imperfecta, ardua, poco elegante, pero siempre necesaria. Primero se lucha por resolver el problema; más tarde viene la satisfacción estética de la solución limpia y elegante.   Bibliografía [Góm13] F. Gómez. Similitud melódica como transformación de cadenas - I, consultado en noviembre de 2013. [KL83] J.B. Kruskal and M. Liberman. Time warps, string edits, and macromolecules: the theory and practice of sequence comparison, chapter The symmetric time-warping problem: from continuous to discrete, pages 125–159. Addison-Wesley, 1983. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990.
Jueves, 05 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Terminaremos aquí, por el momento, los artículos dedicados a la memorización y cálculo relámpago con un juego tremendamente efectista y sorprendentemente sencillo. Además, aprovechando estas fechas, retomaremos nuestro concurso navideño presentando un juego de cálculo relámpago cuya explicación dejaremos a nuestros lectores. La mayor parte de nosotros nunca hemos aprendido a calcular raíces cuadradas y, mucho menos, raíces cúbicas. Así como la intervención humana en los procesos naturales ha conseguido aumentar significativamente la lista de especies animales en peligro de extinción, las pocas ocasiones donde se necesitan calcular raíces en nuestro día a día y el uso y abuso de calculadoras ha convertido estas operaciones en especies matemáticas en peligro de extinción. Así pues, si la magia, en particular la magia matemática, ha sobrevivido gracias a los avances tecnológicos -"toda tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia", Arthur C. Clarke dixit-, a lo mejor también puede explotar nuestras limitaciones culturales: ¿cómo puede dejar de sorprendernos que alguien sea capaz de realizar mentalmente operaciones que nos parecen ya esotéricas, por no decir que pertenecen al mundo "friki"? Bueno, pues lo creas a no, hoy vas a aprender a extraer fácil y velozmente la raíz cúbica de cualquier número de seis cifras. Antes de empezar, memoriza la siguiente tabla de los cubos de los primeros nueve números. No te asustes, son muy pocos y la mayoría ya los conoces. Debes memorizar también la última cifra de dichos cubos y, sobre todo, su relación con el número del cual es el cubo. Número Cubo del número Última cifra del cubo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 8 7 4 5 6 3 2 9 Ya ves que el cubo de 1, 4, 5, 6 y 9 termina en la misma cifra que el propio número; los cubos del 2 y el 8, así como los del 3 y el 7, se intercambian entre sí sus últimas cifras. Prepara una calculadora (la mayoría de los móviles disponen de una) y preséntate ante tu auditorio habitual, a ser posible que no conozca lo que vas a aprender a continuación. Entrega una calculadora a tu asistente y pídele que escriba un número de dos cifras (y que lo recuerde hasta el final del juego). Pídele a continuación que multiplique dicho número por sí mismo y, nuevamente, multiplique el resultado por el número inicial. De este modo, el resultado final es precisamente el cubo del número. Afirma ahora que realizarás la raíz cúbica de forma instantánea. Una vez que tu asistente te indica cuál es el resultado obtenido, sólo tendrás que recordar dos cosas: La cifra final te indica la última cifra del número pensado. Por eso habías aprendido a identificar un número con la última cifra de su potencia cúbica. El número que resulta de eliminar las tres últimas cifras del resultado te indica la primera cifra del número pensado. Será aquella cuyo cubo esté más próximo, por debajo, a dicho número. En poco más de dos segundos podrás anunciar la raíz cúbica del número. Veamos varios ejemplos: Para calcular la raíz cúbica de 46676, debes fijarte en los números 46 (las dos primeras cifras) y 6 (la última cifra). Mirando la tabla anterior, como 27<46<64, la primera cifra es 3; al terminar en 6, la segunda cifra es 6. El resultado final es 36. Dado el número 148877, como la última cifra es 7, su raíz cúbica termina en 3; como sus primeras cifras son 148, cuyo cubo más próximo por debajo es 125, su primera cifra es 5. Su raíz cúbica es pues 53. Dado el número 592704, como termina en 4, la última cifra de su raíz cúbica es 4; al eliminar las tres últimas cifras resulta 592: como está comprendido entre 512 y 729, la primera cifra de la solución es 8. En definitiva, la raíz cúbica es 84. Ya ves que hemos hecho un poco de "trampa": no podemos calcular raíces cúbicas de cualquier número, sólo aquellas cuyo resultado es exacto. Sin embargo, en todos los casos serás capaz, al menos, de saber la primera cifra del número, la decena. Si has tenido éxito con este experimento, seguro que quieres aprender más técnicas de memorización y más trucos de cálculo mental. Este video de ScamSchool muestra en acción el método aquí descrito. Un poco más complicada, pero también sorprendente, es la técnica para calcular el cuadrado de cualquier número de tres cifras, como enseñan en el portal CareerAnna. Para profundizar en el tema, pueden interesarte algunas referencias, como las siguientes: Mathemagics: how to look like a genius without really trying, de Arthur Benjamin y Michael Shermer. Secrets of mental math, de Arthur Benjamin y Michael Shermer. The Trachtenberg speed system of basic mathematics, de Jakow Trachtenberg. The memory book: the classic guide to improving your memory at work, at school and at play, de Harry Lorayne y Jerry Lucas. Terminamos con el juego de concurso. La descripción es muy sencilla: enseñas cinco dados, un poco especiales porque llevan números de tres cifras en cada cara. En concreto, los números que llevan impresos los dados son los mostrados a continuación. Te vuelves de espaldas. Pides a un colaborador que lance los dados y nombre en voz alta los números que han salido. Tú sigues de espaldas y tomas nota mentalmente. Rápidamente anuncias la suma de los cinco números mostrados. El problema que proponemos es el de averiguar cómo puede calcular el mago dicha suma. No vale como respuesta que tiene una memoria prodigiosa y una extraordinaria capacidad de cálculo. Buscamos algún sistema matemático que sustituya ambas habilidades. Manda tu solución a pedro.alegria@ehu.es y sortearemos un libro de divulgación matemática entre los acertantes. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Martes, 03 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
La Navidad puede ser una buena fecha para descansar, cambiar la rutina, leer, ir al cine,... Sí, y también hacer lo de siempre, lo de las Navidades pasadas y futuras. Por si a alguien le cuadra, os dejamos la recomendación de un libro, un libro sobre Cine y Matemáticas, además en inglés. ¿Diferente, no? Probad. No os defraudará. Tras una breve sinopsis del mismo, charlamos con uno de sus autores y os resumimos lo que nos contó. Después como otros años, un pequeño pasatiempo, para despedir el año echando alguna cuentecilla diferente a las de las facturas pendientes. MATH GOES TO THE MOVIES Hace unos meses se publicó, esta vez en los Estados Unidos, un nuevo libro analizando los contenidos matemáticos de algunas películas, telefilmes y series de televisión (recordemos que los conocidos hasta la fecha eran un capítulo de Mathematics, Art, Technology and Cinema (Michelle Emmer, Springer, Nueva York, 2003; ver reseña nº 23), Las Matemáticas en el Cine (Alfonso Jesús Población, Granada, 2006; reseña en el enlace) y La Cuadratura del Celuloide (José Luís López, 2012; ver reseña nº 73)). Se trata de Math Goes to the Movies (Burkard Polster y Marty Ross, Johns Hopkins University Press, Septiembre 2012, 304 páginas), cuya portada podéis ver la imagen adjunta. La introducción del libro, toda una declaración de intenciones, los autores adelantan que su objetivo es por encima de todo la divulgación de las matemáticas. No pretenden ser enciclopédicos ni se han preocupado de documentar cada nueva aparición de escenas con matemáticas en el cine. En sus propias palabras, “hay tantas escenas matemáticas aburridas que es preferible ni mencionarlas”. Por tanto nos encontramos ante una selección propia y personal. Se centran más en el cine que en los productos televisivos de los que sólo aportan unas pocas referencias. Además, argumentan que ya existen trabajos amplios sobre la mayor parte de ellas (series como Numb3rs, Los Simpson o Futurama, por ejemplo; en el mercado anglosajón hay varias referencias, aunque pocas (en realidad una o dos a lo sumo) están traducidas y editadas en castellano). Por otro lado destacan que eligen los contenidos matemáticos de las películas y lo divertido de verlas sin entrar a valorar en ningún momento su calidad cinematográfica. Por tanto no es un libro ni para expertos ni para críticos de cine. Dada la gran cantidad de referencias existentes (llenarían varios volúmenes si trataran de incluir todas las escenas que tienen localizadas), uno de sus mayores problemas a resolver fue el formato con el que presentar el libro. Tras analizar pros y contras (y cambios de editorial ya que no llegaron a un acuerdo con las primeras elegidas), finalmente se decantaron por el modo “collage”: hay capítulos dedicados a un tema concreto, otros a películas enteras, los hay a aspectos afines como personajes matemáticos reales, etc. El texto final está dividido en tres apartados: I.- Películas, II.- Matemáticas, III.- Listas (de películas). Pasemos a describir sintéticamente cada una de ellas. I Parte.- Películas La primera recomendación al lector es que traten de ver las películas o las escenas de las que van a hablar antes de leer lo que se dice de ellas. Conscientes de que no todas son localizables para todos, proporcionan enlaces en Internet desde donde pueden ser vistas (nunca películas completas, sólo escenas sueltas). De hecho, en paralelo al libro, han construido un amplio apartado en su página web donde poco a poco van subiendo y comentando escenas. El libro está pensado para todo aquel que disfrute, no sólo de las matemáticas, sino también de los diálogos, a veces divertidos, a veces ingeniosos, que incluyen este tipo de películas. Una docena son las películas seleccionadas en esta primera parte (El indomable Will Hunting, Una mente maravillosa, Lecciones Inolvidables, Pi (Fe en el Caos), Donald en el país de las Matemáticas, Cube, La habitación de Fermat, Hot House, Jungla de cristal III, In the Navy, El amor tiene dos caras, Ahora me toca a mi). Como puede observarse por los títulos, diez de las doce están estrenadas y distribuidas en nuestro país, y de las otras dos sólo una (Hot House) es desconocida para nosotros (al menos para aquellos que sigan regularmente esta sección de DivulgaMAT). Se trata de un episodio concreto de una serie australiana (City Homicide) no emitida en España, en el que los autores colaboraron en la ambientación, el asesoramiento matemático, etc. Es destacable que de las doce una de ellas es española (La habitación de Fermat). A pesar de ser películas bastante comentadas y conocidas respecto a las matemáticas que contiene, uno se percata rápidamente al leer el libro que hay muchas cosas aún por descubrir ya que en muchos casos se comentan escenas que no aparecen en la versión comercializada en España, y por otro lado que los autores han podido hablar en bastantes ocasiones con los consultores y asesores matemáticos de las películas, o guionistas, directores, actores, etc., lo que nos ofrece perspectivas mejores, de primera mano, de qué pretendían plasmar y qué queda de ello. Por ejemplo, en el caso de El indomable Will Hunting, se van analizando las matemáticas que aparecen en la película a la vez que se insertan los comentarios de Patrick O´Donnell (asesor matemático del film) al respecto. Además va intercalando anécdotas (o lo que él considera como tales; ya se sabe que no siempre converge la visión de los cineastas con la de los científicos). Por ejemplo comenta cómo descubrió que ningún actor de Hollywood está capacitado para escribir nada en una pizarra. Esto le hace sentirse algo incómodo ya que al ver la película ve su letra por todas partes pero siempre es otro el que la termina. O cómo Robin Williams improvisa constantemente y cambia los diálogos a su antojo lo que provoca el lógico desconcierto entre sus compañeros. Los autores no pierden ocasión para incluir allí donde viene al caso apuntes sobre otras películas relacionadas con lo que traten en cada momento. La lectura del libro puede hacernos cambiar incluso la opinión que nos podamos haber formado sobre algunas películas o realizadores. Así por ejemplo, mientras a Gus Van Sant (director de El indomable Will Hunting) le daba prácticamente igual que las matemáticas que aparecieran fueran coherentes (simplemente quería que fueran reconocidas como matemáticas), Ron Howard (director de Una mente maravillosa) quería que aparecieran tal como son, lo más semejantes a la realidad, independientemente de que el público las entienda o no. Por ello no quería preparar escenas concretas con matemáticas, simplemente que aparezca lo que tuviera que aparecer de acuerdo a lo que se contara en cada momento. O cómo a Russell Crowe le parecía imposible que nadie pueda mantener una conversación escribiendo a la vez fórmulas y expresiones matemáticas en una pizarra. Sin embargo que nadie saque la equivocada idea de que el libro es básicamente un anecdotario de rodaje. No. Hay bastantes matemáticas (tanto elementales como de alto nivel), muy bien hiladas y sobre todo explicadas para que puedan entenderse por cualquier lector que las domine medianamente. Por supuesto, el no versado puede saltarse esos párrafos y enterarse del resto sin dificultad (no hay páginas y páginas sólo con matemáticas). Incluso en alguna ocasión (La habitación de Fermat) plantean la lectura de los enigmas de matemática recreativa como un juego que simule lo que les sucede a los protagonistas: con ayuda de un dado, el lector tiene que tratar de resolver cada cuestión en un tiempo determinado. Si lo hacen mal, o no lo hacen, les proponen lanzar el dado. Con un 6, estás muerto; en otro caso sigues adelante. II Parte.- Matemáticas. Dividido en 7 capítulos, en esta ocasión cada uno se dedica a un tema o resultado matemático, y se van describiendo diferentes aproximaciones según diferentes películas: encuentros entre un matemático y un no-matemático, Pitágoras y Fermat en el cine, la cuarta dimensión, el concepto de infinito, una miscelánea de errores torpes aparecidos en las películas (el libro está repleto de guiños humorísticos; así este capítulo lo titulan, “Errores que merecen que me devuelvan el dinero”), y finalmente una colección de películas con errores que los realizadores de las películas pusieron adrede para provocar hilaridad. Imagen: El teorema de Pitágoras explicado por la profesora Ririko Kagome en la serie de animación Rosario + Vampire (Takayuki Inagaki, Japón, 2008). III Parte.- Listas Como su propio nombre indica son listas de películas con una explicación muy breve, divididas en dos capítulos: listas de personas (matemáticos reales, mujeres matemáticas, profesores, niños prodigio, matemáticos asesinos, actores famosos que han interpretado a matemáticos y asesores matemáticos en el cine) y listas de tópicos matemáticos (contando números; títulos con matemáticas pero sin matemáticas; teorema de Pitágoras y de Fermat; Geometría; Dimensiones mayores a tres; Topología; El número áureo y números de Fibonacci; Pi; Números primos y teoría de números; Caos, fractales y sistemas dinámicos; comunicación con extraterrestres; Criptografía; Cálculo Infinitesimal; el infinito; paradojas; probabilidades, juegos y porcentajes;  fórmulas e identidades célebres; juegos matemáticos). En la imagen, escena de The Professor and his beloved equation (Takashi Koizumi, Japón, 2006) En este enlace es posible hojear algunas páginas del libro (parte de la introducción, parte del capítulo dedicado a El indomable Will Hunting, y el índice de películas). Tiempo antes de que publicaran este libro, mantuve (y mantengo) una cordial relación con sus autores a través del correo electrónico. Hemos compartido títulos (ellos de origen anglosajón, yo españoles y europeos) y nos hemos intercambiado escenas, comentarios, etc. Gracias a esta relación y a nuestra común afición, han tenido la gentileza de responder a un cuestionario sobre el libro, que se describe a continuación: Entrevista con Burkard Polster 1.- La primera pregunta es casi obligada, ¿cómo surge la idea de escribir un libro como éste? Burkard: La primera vez que ví a Marty dar una charla, utilizó un clip de la película Marte, el planeta rojo (Red Planet Mars, Harry Horner, EE. UU., 1952) en una conferencia de matemáticas para ilustrar uno de sus puntos. Aquello funcionó muy bien con el público. Yo nunca lo había visto y a partir de ese momento empecé a hablar con Marty y a colaborar con él. Una de las cosas que ambos terminamos haciendo fue buscar sistemáticamente escenas de películas para incluir en charlas y conferencias. La búsqueda y la colección de películas en las que aparecieran matemáticas se convirtió para nosotros en una obsesión. Cuando tuvimos una colección apreciable de clips de películas, empezamos a pensar en cómo ponerla en algún tipo de orden para poder compartirla con los demás. Escribir un libro fue una de las cosas que terminamos haciendo, y ponerlas en nuestras páginas web otra. 2.- ¿Cómo ha sido la repercusión del libro? ¿Se vende bien? ¿Ha tenido buena aceptación? ¿Qué tipo de público es en el que más ha calado? B.: Para ser un libro de una editorial académica, se vende bastante bien. Al menos nos hemos quedado gratamente sorprendidos por el cheque de derechos de autor que recibimos el año pasado. Todas las opiniones sobre el libro han sido además positivas. Así que, realmente, no hay nada de lo que quejarse. 3.- ¿Qué reacciones habéis observado en vuestro compañeros matemáticos? En España la mayor parte de los matemáticos, investigadores, científicos, etc. consideran este tipo de publicaciones una anécdota, una curiosidad, un entretenimiento, pero en general consideran que no aportan prácticamente nada porque para quien le gustan las matemáticas resulta elemental, y para los que no le gustan, nada va a hacer acercarse a ellas. ¿Cómo se ven este tipo de publicaciones en vuestro entorno? ¿Es igual? B.: Sí, siempre hay esas personas que consideran que proyectos como éste son una pérdida de tiempo y no son dignas de un verdadero matemático. Dicho esto, la mayoría de las personas con las que tratamos han sido un gran apoyo para éste y los demás proyectos destinados a popularizar las matemáticas. En lugares como Estados Unidos y el Reino Unido este tipo de trabajos es muy apreciado y muchos matemáticos se dedican a este tipo de trabajos. 4.- Ante todo me gustaría felicitaros por vuestro libro: es riguroso, no es una mera descripción de escenas o películas. El trabajo que tiene detrás (lo digo desde mi propia experiencia) no es poco: visionar las películas (normalmente en V.O. y doblada o subtitulada al idioma propio), pensar las matemáticas que hay, relacionar películas entre sí, escribir, buscar datos, etc. ¿cuánto tiempo os ha llevado hasta tener la redacción definitiva? B.: Muchas gracias por tus amables palabras. Hemos estado trabajando en este libro durante más de diez años. Nos pareció bastante desafiante encontrar el tipo de formato adecuado en el que encajar esta dispar colección de partes y piezas en un todo que tuviera una estructura lógica. El enfoque tipo collage por el que nos decidimos finalmente fue el que consideramos que se ajustaba a nuestros deseos (esperemos). El otro problema que acabó retrasando la finalización de la obra considerablemente fue la inclusión de imágenes de las películas. Entre otras cosas, esto nos llevó a cambiar de editores varias veces durante la redacción del libro. En la fotografía, los autores del libro, Burkard Polster (sierra en mano) y Marty Ross, previos a mostrar cómo trocear una pizza satisfactoria y calculadamente. 5.- Como matemáticos, ¿ha habido alguna película o escena que os haya causado sorpresa desde el punto de vista matemático, tanto para bien como para mal? ¿Cuál han sido vuestras preferidas y las que a vuestro juicio su aparición es decepcionante? B.: Bueno, una de las principales lecciones que aprendimos tras ver todas esas películas es lo poco que parece importar a los cineastas el hacer las cosas bien, aunque no cueste demasiado hacerlas bien. Nuestra colección de meteduras de pata es prueba de ello. Por ejemplo, la escena en El hombre sin rostro (Man without a face, Mel Gibson, EE. UU., 1993), donde el protagonista principal lía las cosas un montón hasta encontrar el centro de un círculo, es simplemente increíble. Por otro lado, estamos muy agradecidos a las personas que cometen todos estos errores --- estas meteduras de pata no tienen precio para comentar en cualquier conferencia. La primera escena de Ahora me toca a mi (It’s My Turn, Claudia Weill, EE. UU., 1980) merece destacarse por ser lo contrario de esta tendencia general de no preocuparse. Es increíble que incluyeran la demostración completa del lema de la serpiente en la película y que su puesta en escena funcione tan bien. 6.- ¿Creéis que se pueden aprender matemáticas a partir de la visualización de una película? ¿Es un medio (el cine, la televisión) aprovechable como apoyo a la docencia? B.: Por supuesto, nosotros tenemos clases enteras desarrolladas en torno a escenas críticas de películas que tienen como objetivo la enseñanza de las matemáticas reales. La mayoría de estas conferencias están orientadas a chavales de secundaria y usamos escenas de una amplia serie de películas. Sin embargo, incluso en la universidad hay un montón de ocasiones en las que se pueden usar clips para enseñar matemáticas reales. Toda las cosas de teoría de grafos / matrices en El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE. UU., 1997) son un buen ejemplo. Sin duda son muy útiles en un curso de álgebra lineal. O las diferentes encarnaciones de Flatland en un curso de matemáticas para estudiantes de Humanidades cuando se trata de visualizar dimensiones superiores. Otra de mis favoritas es el telefilme Hotel Hilbert (Caroline Ross-Pirie, Reino Unido, 1996; imagen de la derecha), para ilustrar a los estudiantes sobre la idea de infinito. 7.- El texto está salpicado de comentarios simpáticos o sarcásticos. ¿Que fin tienen (normalmente los textos matemáticos son totalmente asépticos, serios, formales)? ¿No pueden restar rigor al resultado? ¿Tiene algo que ver con el desgraciadamente extendido auge de las pseudociencias y el desconocimiento científico (más aún el matemático) en la sociedad? B.: Bien, en la sociedad los matemáticos son generalmente considerados como personas aburridas sin sentido del humor. ¿Por qué es así? ¿Acaso no disfrutamos y nos divertimos haciendo matemáticas y otras cosas igual que los demás? Parte de la razón por la que somos vistos así coloquialmente se debe a que muchos matemáticos escriben y se presentan a si mismos de un modo excesivamente formal, sin ningún sentido del humor. Para nosotros, añadir humor cuando se adapta de forma natural en un párrafo de texto contribuye al mensaje que queremos transmitir. Es algo espontáneo. Además el tipo de gracia que hemos incluido en nuestro libro no es "porque hay que ponerlo", sino que es una expresión de lo que realmente sentimos. Surge de manera natural, y nos ayuda a conectar con nuestro público. 8.- ¿Qué tal vuestra experiencia como participantes en el rodaje de la serie City Homicide? B.: Nos lo pasamos muy bien asesorando esta serie televisiva, y descubrimos que la gente con la que tratamos era inteligente y muy profesional. Es cierto que no les importaba demasiado que los detalles sobre las matemáticas fueran precisos, pero casi todo el mundo con el que tratamos estuvo interesado en lo que tenía que decir y sin duda tuvimos la certeza de que fuimos apreciados y nos tomaron en serio. (En la imagen, fotograma del capítulo Hot House (undécimo de la tercera temporada, 2009), en la que el profesor Christopher Bolingbroke (Francis Smith), uno de los dos matemáticos asesinados, aparece frente a una de las pizarras que los autores del libro diseñaron y escribieron con resultados sobre la hipótesis de Riemann). 9.- ¿Cuántas referencias habéis consignado entre películas, telefilmes y series? ¿Dais por finalizado vuestro trabajo o seguís buceando en busca de nuevos títulos? B.: Actualmente tenemos una lista de alrededor de mil títulos. Trabajamos en esta lista que nunca acaba y nos enteramos de nuevas películas casi todos los meses. Somos un tanto descuidados en cuanto a la actualización de la lista de películas, y tenemos un atraso de al menos 100 películas que añadir, y la esperanza de ponernos a ello pronto. Sin embargo, añadimos nuevos clips de películas a nuestra página cada semana. 10.- La mayor parte de las películas que habéis analizado son de origen anglosajón. ¿Habéis tenido dificultades para localizar películas de otras nacionalidades? ¿Hay menos referencias matemáticas en películas de otras nacionalidades? ¿O de menos interés? B.: No estamos seguros de si lo que parece ser un sesgo a lo inglés es un sesgo real o no. Por supuesto, la mayor parte de las películas y series de televisión que se ven en todas partes son de procedencia norteamericana. De modo que cuando se habla de estas películas / series de televisión, un montón de gente va a estar familiarizado con ellas, y será capaz de relacionar lo que se cuenta de ellas. Por otra parte, entre las principales razones por las que no incluimos más películas en otros idiomas fue que no tienen distribución donde vivimos, que no se traducen, que no hablamos el idioma, y que por estas y otras razones, simplemente no las consideramos entre nuestras películas relevantes. Desde luego estamos interesados en películas con referencias matemáticas en cualquier idioma. Una vez que sabemos de una película no nos importa el idioma en el que está. Normalmente no nos cuesta encontrar una copia. Muchas gracias por la amabilidad de colaborar con DivulgaMAT. Un afectuoso saludo desde España. Los autores Burkard Polster y Marty Ross son una pareja de referencia de las matemáticas en Australia. Escriben la columna Maths Master (desde el enlace se accede a todos sus artículos publicados; ¡¡Os los recomiendo!!) en el periódico The Age en Melbourne. Durante muchos años han organizado un ciclo de conferencias de matemáticas en el Museo de Melbourne, han visitado escuelas y recorrido el país  con su Mathematical Mystery Tour (Para los que no sepan el porqué del nombre, los Beatles hicieron célebre un álbum, del que luego hicieron una película, llamad Magical Mystery Tour, el Viaje del Misterio Mágico; este Viaje del Misterio Matemático es una alusión a aquél). Burkard y Marty siguen en la actualidad dando conferencias de matemáticas, Burkard en la Universidad de Monash y Marty en la Universidad de Melbourne. Su página de referencia es www.QEDcat.com, con contenidos muy interesantes. En http://plus.maths.org/content/ringing-changes puede leerse otro artículo suyo (está en la lista previa, la de Maths Master) en otro medio distinto. Incluso si alguien se anima (está en inglés) aquí podemos visualizar una conferencia de Burkard Polster sobre las Matemáticas y el Cine, y en este otro enlace, una de su compañero, Marty Ross, titulada Las Matemáticas del Planeta Marte. En ambas puede verse no sólo su conocimiento del tema, sino también el buen humor que destilan. Pasatiempos Navideños Para esos ratos de aburrimiento, tiempos muertos que no se sabe que hacer, reuniones familiares, nocheviejas colgadas con los mismos programas enlatados de las teles de siempre, mañanas de resaca, etc., un par de entretenimientos no demasiado complejos (nada de operaciones). Isosudoku.- Por si alguien no sabe qué es, se trata de colocar todos los números del 1 al 9 sin repetir ninguno, en todas las filas, diagonales de 9 celdas, y en todas las regiones 3 x 3 marcadas. En el resto de diagonales con menos de 9 celdas, todas deben mostrar números distintos. Arbolito Navideño.- Se trata de colocar en las bolas números del 1 al 7 de modo que todas las líneas rectas que unen las bolas (que veréis que siempre tienen 7 bolas) y todas las bolas que tengan el mismo color, tengan números distintos.  Dicho de otro modo, todas las rectas tienen que tener todos los números del 1 al 7, y cada grupo del mismo color también. A pasarlo bien.   ¡¡¡FELIZ AÑO NUEVO 2 x 19 x 53!!!
Lunes, 02 de Diciembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Palabras fractales viene precedido del ensayo ¿Qué es la literatura fractal?, disponible también libremente en el blog de Pablo Paniaguai. Siguen a este ensayo una serie de relatos cortos, cuentos y narraciones, en los que algunas de las características descritas como ‘fractales’ en el ensayo introductorio se muestran: desdoblamientos, visión caleidoscópica, dinámica circular, dinámica cíclica, dinámica laberíntica, dinámica en la repetición, dinámica de mutación,  juego de espejos, dinámica concéntrica o proceso invertido. Palabras fractales consta de una primera serie de relatos cortos, que se reúnen bajo los siguientes títulos: Hacia la comprensión del universo Los tiempos del tiempo Historias sobre la existencia Historias del Ser De los horizontes Visiones invisibles Palabras en el laberinto Historias circulares Historias simuladas El juego de la vida Sobre literatura Reflejos y sonidos Reproduzco tres de ellos –con permiso del autor– que me han emocionado especialmente. En el delicioso relato Vértico –extraído de De los horizontes– se plantean las diferencias entre lo vertical y lo horizontal, y se  habla de un mundo en el que estas nociones se han intercambiado: Hay una referencia en la lejanía: para los humanos es el horizonte, pero en mi planeta aparece vertical y lo llamamos “vértico”. Allí vivimos de medio lado y crecemos a lo ancho, justo al revés que en este lugar. En mi planeta sus pobladores no roban ni se matan entre ellos, ni hacen guerras por bienes materiales ni supuestos espirituales. Me sorprende la verticalidad de la mente humana en contraste con lo horizontal de su mundo, con su orden vertical ansiando ser más que el vecino, con estratos de poder y servilismos, con imposición de clases. En mi planeta no existe nada de eso y dentro de nuestro medio vertical buscamos la horizontalidad para ser iguales. En mi planeta nos elevamos en el aire hacia el espíritu, mientras que aquí se arrastran por el suelo deseando la materia. El humano asienta los pies sobre la tierra y toma posesión del horizonte, para luego pensar en vertical. Qué raros son, qué mundo tan extraño, donde todo está justo al revés. Horizontes –extraído de De los horizontes– confronta la curva con la recta, refiriéndose a diferentes clases de horizontes: El horizonte no es, como parece, una línea recta en la distancia, es un círculo que nos rodea; de ello te das cuenta al girar sobre ti mismo en medio del océano o en la soledad del desierto; allí se deja apreciar, en él, la curvatura de la Tierra. De cualquier modo es una señal engañosa que cambia sin parar y tan diversa como el infinito, todo depende de nuestro movimiento y situación, del ángulo de la mirada, de cómo la intensidad de la luz incide sobre él. En las ciudades el horizonte se pierde entre el hormigón, hay que salir de ellas para apreciarlo; el hombre citadino no se da cuenta de esas cosas ni mira al cielo en las noches para ver las estrellas; el hombre de ahora se apartó de la naturaleza para crear un mundo fuera de ella, sin horizontes circulares que mirar. Al final de mi habitación, en su horizonte, hay un televisor encendido por donde pasan diferentes imágenes en movimiento. He de reconocer que no veo mucho la televisión, pues prefiero los horizontes de los paisajes de mi mente, tratar de escribirlos para que alguien los lea. También me adentro hacia los parajes de otros que buscan horizontes. Todos buscamos a través de la escritura nuestro propio horizonte, para saber de qué somos capaces, si es que somos capaces de algo. Un escritor sin horizontes no es un escritor, y yo lo pretendo siempre con la apuesta por delante, en este juego de la vida donde me desvivo por hacer de mi horizonte algo más que un horizonte. Multiplicidad –extraído de Palabras en el laberinto– es un asfixiante relato en el que se habla sobre la pérdida de la identidad: el protagonista es una réplica, uno de tantos individuos idénticos a él… un texto muy ‘borgiano’ –Jorge Luis Borges uno de los mayores representantes de la literatura fractal, como el propio Pablo Paniagua explica en ¿Qué es la literatura fractal?–: Estoy afuera y veo a los de adentro, pero ellos no me ven, y eso que les hago señales con los brazos para llamar su atención. Ellos giran a mi alrededor sin mirarme, pues caminan con la vista fija en el suelo mientras cuentan sus pasos. Son catorce hermanos idénticos que dan vueltas dentro de una habitación circular, o uno solo frente a trece espejos fraccionados. No lo sé; trataré de detectar cualquier movimiento distinto en ellos, pero por ahora es imposible. No puedo ver más que mis pies al caminar, cuando siento que alguien me observa desde afuera moviendo los brazos para llamar mi atención. Creo que son trece hermanos idénticos a mí. En una segunda parte de Palabras fractales, Pablo Paniagua nos regala narraciones más extensas, cuyos títulos son: Franz Kafka y dos cervezas Inquietante relación Un desconocido escritor La civilización del tiempo La momia de un nazareno Manzanas Sentimiento sublime Un ático de Toledo Visiones etéreas Pensamientos inescrutables Aquella primera vez Anécdota astral La luz de todos mis días El hecho poético Árbol cósmico Currículum Los tres primeros relatos son un homenaje a Franz Kafka –el otro gran representante de la literatura fractal citado en ¿Qué es la literatura fractal?–: Franz Kafka y dos cervezas es un divertidísimo cuento en el que la ‘fractalidad’ se presenta a través de una ocurrente dinámica de repetición; Inquietante relación es un singular relato que alude a La Metamorfosis de Kafka; Un desconocido escritor describe los problemas que encontraría un Franz Kafka del siglo XXI intentando encontrar un editor para El Proceso, La Metamorfosis o El Castillo… ¿debería optar por abrir un blog para publicar sus novelas por entregas? De entre todos los relatos de esta serie, quizás destacaría también Manzanas, un ingenioso texto en el que a través de esta delicada fruta, Pablo Paniagua comienza hablando de Newton y termina con el  logotipo de los Macintosh, nombrando también la manzana de Eva, de Guillermo Tell o de Blancanieves… Palabras fractales tiene una gran variedad de estilos en sus cuentos, divertidos u obsesivos, filosóficos o más mundanos, ¡no te dejarán indiferente!   Nota: [i] Ya reseñamos hace más de un año en este mismo portal otra novela –además también fractal– de Pablo Paniagua: La novela perdida de Borges.
Jueves, 28 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Las V Jornadas de Teatro Científico Divulgativo, Ciencia y Teatro 2013 tendrán lugar del 4 al 8 de diciembre de 2013: será en la "Sala Trajano" de Mérida (días 4 y 5) y en el Centro Cultural "Quinto Cecilio Metello" de Medellín (días 6, 7 y 8). Esta reunión es la continuación de las jornadas iniciadas en 2009: su objetivo es el de reunir a gentes procedentes del mundo de la ciencia, de la filosofía, de la dramaturgia, de la literatura, para compartir ideas y experiencias sobre la divulgación de la ciencia a través del arte. Entre los muchos espacios por compartir, actividades que disfrutar y foros en los que aprender, el extenso, intenso y atractivo programa incluye dos conferencias sobre obras de teatro comentadas en DivulgaMAT: ¿Son raras las mujeres de talento? en la que además de contar la experiencia vivida durante los meses de adaptación de la obra de Anne Rougée, se pasará un video con la grabación del estreno el pasado 8 de marzo en la UPV/EHU; El laboratorio de la obra teatral “La Entrevista”. Apuntes para un mestizaje entre literatura y ciencia, impartida por Gustavo Ariel Schwartz (Centro de Física de Materiales, Centro Mixto CSIC-UPV), uno de los autores de La Entrevista. Conferencias, lecturas dramatizadas, charlas dramatizadas, representaciones teatrales, presentación de un libro, monólogos científicos, actividades mirando al cielo (astronomía y aves),… un programa tentador para aprender ciencia y teatro, teatro y ciencia a través de algunas y algunos de sus protagonistas. Puedes inscribirte en este enlace.
Lunes, 18 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
He aquí una nueva serie de tres artículos que investigan desde un punto de vista divulgativo la relación entre la similitud melódica y la teoría de cadenas (una rama de la computación). La similitud melódica, bajo ciertas hipótesis que simplifican el complejo fenómeno que es, se puede concebir como un problema de comparación de cadenas, donde las cadenas aquí representan sucesiones de notas. En un artículo titulado Comparison of musical sequences Mongeau y Sankoff [MS90] explotaron esta idea. En esta serie glosaremos su trabajo con detalle. En el artículo de este mes discutimos el concepto de similitud melódica, por la parte musical, el concepto de comparación de cadenas, con especial énfasis en la distancia de edición, y finalmente analizamos los aspectos computacionales de dicha distancia. En el siguiente artículo veremos cómo Mongeau y Sankoff adaptaron la distancia de edición para computar la disimilitud entre dos melodías dadas. En el último artículo de la serie examinaremos los experimentos llevados a cabo por estos autores para comprobar la bondad de su medida. Esos experimentos consisten en medir la similitud melódica de las nueve variaciones sobre el tema Ah, vous dirai-je, Maman, K. 265, de Mozart y analizar los resultados obtenidos. 1. Similitud melódica Los fenómenos musicales son básicamente perceptuales y cognitivos en su naturaleza ([Deu98], página 158). Esta aseveración puede sonar a los oídos de hoy como evidente, pero la tradición racionalista del análisis musical la relegó al olvido durante mucho tiempo. De hecho, la psicología misma empezó a reconocer la música como objeto de estudio serio hace solo unas pocas décadas. Hasta entonces el análisis musical se había basado en las matemáticas (desde la tradición pitagórica al sistema de doce tonos de Schoenberg), la física (empezando con el trabajo de Helmhotz [Hel85]), y la música (análisis schenkeriano, análisis armónico, etc.), y los aspectos cognitivos de la música se habían desatendido por completo. La melodía se encuentra entre los fenómenos musicales más investigados. Los teóricos de la música han examinado miles de melodías con el fin de describir sus características estructurales, mientras que los psicólogos han ceñido su atención a la manera en que el ser humano percibe y responde a la melodía. Un teórico de la música bien puede preguntarse cuáles son los elementos constituyentes de la melodía, y su respuesta, probablemente, vendrá dada en términos de altura y relaciones de duración, tales como dirección melódica, relación interválica, altura más grave y más aguda, entre otras [Ort37]; o incluso en términos de atributos más abstractos, tales como propincuidad, repetición de tonos y finalidad [?]. En contraste con esto, un psicólogo de la música se podría preguntar, por ejemplo, cuáles son los factores psicológicos que transforman una sucesión de notas en una melodía, y esta vez, probablemente, la respuesta se presentaría en términos de leyes de percepción (Bower y Hilgard [BH81]), esquemas melódicos (Dowling and Hardwood [DH86]), o modelos de estructuración jerárquica perceptual (West et al. [WHC85], Sloboda [Slo85], Lerdahl [LJ83]). Hoy en día es inconcebible estudiar el fenómeno melódico sin examinar ambas facetas. Pero cuando se trata de procesar música o de establecer algún esquema cuantitativo o en última instancia computacional, ¿es posible incorporar el conocimiento proveniente de ambos campos? Cuando empezó el estudio computacional de la música, los modelos de entonces no permitían tener esos aspectos en consideración. Aunque hoy los pasos son más seguros en esa dirección, todavía son lentos. En este artículo vamos a estudiar un modelo computacional de similitud melódica. El modelo simplifica en buena medida la complejidad de ese fascinante fenómeno que es la melodía. A cambio obtiene una medida que permite comparar melodías bajo ciertas condiciones. Sigue, qué duda cabe, una evaluación del método para ver cuánto afectó la mencionada simplificación. La similitud melódica es un concepto fundamental, tanto desde el punto de vista teórico como desde el práctico. Es esencial en el proceso musical porque sirve como evaluación de la variación del material, del reconocimiento del estilo y del compositor, de la interpretación, del aprendizaje musical, o en la clasificación musical; véase McAdams and Matzkin [MM01]. Acicateados por el creciente número de aplicaciones de la similitud melódica (sistemas de recomendación, leyes de propiedad intelectual, búsqueda en bases de datos musicales, clasificación de estilos, atribución de obras dudosas), muchos matemáticos e informáticos han diseñado algoritmos para computar la similitud melódica basados en muy diversas técnicas: medidas geométricas, distancias de transporte, medidas de probabilidad, similitud estadística, proximidad geográfica, entre otros; para una lista exhaustiva, véase [HSF98] y las referencias allí listadas. Mongeau y Sankoff, en su artículo del año 90 [MS90], arguyen que los aspectos puramente musicales son bastante difíciles de evaluar y que están sujetos a un alto grado de subjetividad (en realidad, van más lejos y dicen arbitrariedad, que es una palabra con implicaciones más serias). Deciden centrarse en dos variables fundamentales: la altura del sonido y las duraciones (el ritmo). En su trabajo adaptan las distancias de edición clásicas (la distancia de Levenshtein) y la amplía con más operaciones. Ello les permite definir una distancia con más poder de discriminación y aplicar a la comparación de piezas musicales. 2. Distancias entre cadenas de símbolos En Informática el problema de la distancia entre cadenas es un problema que aparece en muchos contextos y que tiene muchas aplicaciones. En su versión más básica se formula como sigue: dadas dos cadenas A,B de símbolos (tomados de un alfabeto común), hallar el mínimo número de operaciones que hay que realizar para transforma A en B. Las operaciones se definen previamente y las tres más elementales son borrado, inserción y sustitución. Ese número mínimo de operaciones se toma como la distancia entre A y B. Como veremos en las aplicaciones prácticas se añaden operaciones más complejas tales como fragmentación y consolidación. Esta distancia fue descubierta por Levenshtein en el año 1965 y publicada en una revista rusa de informática. Se la conoce como distancia de Levenshtein y también como distancia de edición. A partir de ella se han definido otras muchas: distancias de Levenshtein ponderadas, distancia de Damerau-Levenshtein (que permite trasposiciones), distancias de Hamming, entre otras. Antes de definir formalmente la distancia de edición, vamos a poner un ejemplo. Las operaciones usadas serán las que mencionamos arriba: borrado, inserción y sustitución. Asignaremos un coste de 1 a cada operación. Consideremos la cadena A = TENER y B = PERDER. Una posible secuencia de operaciones para transformar A en B es la siguiente: Borrado de T: TENER => ENER. Inserción de P: ENER => PENER. Sustitución de N por R: PENER => PERER. Inserción de D: PERER => PERDER. La transformación se ha hecho en 4 operaciones. No es la mínima ya que las operaciones 1) y 2) se pueden reemplazar por una sustitución directa a coste 1 solo. En ese caso, el número de operaciones sería mínimo y la distancia valdría 3. Para definir formalmente la edición hace falta especificar un conjunto de operaciones y a cada una de ellas asignarles un coste. Una vez hecho eso, la distancia de edición es, como dijimos, el número mínimo de operaciones necesario para transformar una cadena en otra. 2.1. Algoritmo para calcular la distancia de edición En esta sección vamos a estudiar los aspectos computacionales de la distancia de edición. Su definición nos parece clara, pero ¿cómo es posible calcularla? Sean A,B dos cadenas de longitudes n y m, respectivamente, con caracteres pertenecientes a un alfabeto común. Un algoritmo clásico para resolver el problema de la distancia de edición es la programación dinámica. Esta técnica algorítmica se aplica a problemas en que la solución local es parte de la solución global, como ocurre en el caso que nos ocupa. Por comodidad en la descripción del algoritmo, designamos por A[1..i] la subcadena (a1,…,ai) de A, donde 1 ≤ i ≤ n; y análogamente con la subcadena B[1..j] de B, con 1 ≤ j ≤ m. El algoritmo calcula la distancia de A a B usando una matriz como estructura de datos, matriz que tiene dimensiones (n + 1) × (m + 1). Dicha matriz sirve para almacenar las distancias entre todas las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. En un paso genérico el algoritmo calcula la distancia d(A[1..i],B[1..j]) y para ello se apoya en las distancias de subcadenas más pequeñas, en particular, en las distancias entres subcadenas. Si cI,cB,cS son, respectivamente, los coste de la inserción, borrado y sustitución, la distancia d(A[1..i],B[1..j]) se calcula con la fórmula siguiente: Es, como se puede apreciar, una fórmula que usa los valores previos para calcular el valor actual. La solución se construye de manera local, en cada paso, y la solución global es el resultado del procesamiento de todos las subcadenas de A y B. No obstante, dado que en cada paso se usan valores de subcadenas más pequeñas, solo se procesan dos caracteres, ai y bj, en cada paso del algoritmo. Para que la sucesión de operaciones no se reduzca a las sustituciones, en las aplicaciones suele aparecer la condición cS < cI + cB. Como paso de inicialización el algoritmo necesita tener calculados las distancias de d(A[1..i],∅) y d(∅,B[1..j]), donde i = 1,…,n, j = 1,…,m y ∅ es la cadena vacía. El valor de d(A[1..i],∅) es j ⋅cB y el de d(∅,B[1..j]) es i ⋅ cI. A continuación se muestra un pseudocódigo (adaptado de [Wik13]). int LevenshteinDistance(char cad1[1..longCad1], char cad2[1..longCad2]) // d es una matriz con longCad1+1 filas y longCad2+1 columnas declare int d[0..longCad1, 0..longCad2] // i y j se usan como variables para el bucle iterativo declare int i, j, costeBorrado, costeInsercion, costeSustitucion (1) for i from 0 to longCad1 d[i, 0] := i*costeInsercion (2) for j from 0 to longCad2 d[0, j] := j*costeBorrado (3) for i from 1 to longCad1 (4) for j from 1 to longCad2 (5) if cad1[i] = cad2[j] then d[i, j]:=d[i-1, j-1] else d[i, j] := minimo( d[i-1, j] + costeBorrado, // Borrado d[i, j-1] + costeInsercion, // Inserción d[i-1, j-1] + costeSustitucion // Sustitución ) return d[longCad1, longCad2] La prueba de corrección del algoritmo se basa en un invariante que se mantiene a lo largo de todo el algoritmo: el hecho de que el elemento d(i,j) de la matriz contiene la distancia de edición de las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. No es inmediatamente evidente que d(i,j) proporciona de hecho el número mínimo de transformaciones entre dichas subcadenas; require una prueba por inducción que no damos aquí. En ciertos contextos, no solo es necesario la distancia entre las cadenas, sino también la sucesión de operaciones que transforma una en la otra. En un ejemplo desarrollado más abajo se muestra cómo conseguir esa sucesión. 2.2. Un ejemplo de la distancia de Levenshtein Tomemos para nuestro ejemplo dos inocentes cadenas, dicho en el sentido estricto de la palabra, A = y B = . En un mundo ideal, volterianamente cándido, la distancia entre ambas cadenas debería ser infinita. En el mundo que nos ocupa, y más en el de las secas cadenas de caracteres, sabemos que esa distancia es finita, dolorosamente finita. Computemos cuán finita. Nos ayudaremos del applet que ha escrito Scott Fescher [Fes13] para ilustrar el funcionamiento de la distancia de edición; las figuras de más abajo han sido generadas con ayuda de ese applet. Como pesos para las operaciones tomaremos cI = cB = cS = 1, esto es, la distancia original de Levenshtein. Obsérvese que se cumple la condición cS < cI + cB. El primer paso, como sabemos, es la inicialización. Esta consiste en calcular las distancias de la cadena vacía a las cadenas A = y B = ; véanse los bucles (1) y (2) del pseudocódigo presentado más arriba. Todas las operaciones se reducen a inserciones (en la fila) y a borrados (en la columna), como se puede apreciar en la matriz de la figura 1. Figura 1: Inicialización del algoritmo de la distancia de edición. A continuación empiezan a procesarse el primer carácter de A y todas las subcadenas B[1..j] de B para j = 1,…,10 (10 es la longitud de la ). En la figura 2 nos hemos parado en el cálculo de la distancia de las subcadenas subcadenas y . En ese momento el algoritmo tiene que rellenar el elemento (2,7) de la matriz. Primero se comprueba que la los caracteres a procesar son distintos. No es el caso aquí, pues ambos se reducen al carácter . La distancia se iguala a la del elemento (1,6), cuyo valor es 5. Figura 2: Detalle del cálculo de la distancia de las subcadenas y . En la figura 3 vemos unos cuantos casos más donde se dan la igualdad entre caracteres de las dos cadenas (aparecen rodeados con un círculo rojo). Véase el if, línea (5), en el pseudocódigo arriba. Figura 3: Casos en que los caracteres a procesar son iguales. En un paso genérico, cuando los caracteres a procesar no son iguales, el algoritmo calcula las distancias a partir de tres distancias inmediatamente anteriores. En el caso de la figura 4 se va a calcular la distancia d(6,5). Las distancias de los anteriores elementos son d(6,4) = 4,d(5,4) = 3 y d(5,5) = 3. El algoritmo especifica que la nueva distancia ha de ser el mínimo entre los números , que es 4. Figura 4: Paso genérico del algoritmo. Si continuamos todo el proceso hasta el final, la matriz que obtenemos es la de la figura 5. La distancia de edición viene dada por el elemento (9,11), el más abajo a la izquierda, rodeado por un círculo rojo. Su valor es 7. Figura 5: Matriz completa de la distancia de edición. El algoritmo se puede ampliar con un sistema de punteros de tal manera que se puede reconstruir la sucesión de operaciones que transforma una cadena en la otra. Dada una distancia d(i,j) a calcular en un paso genérico del algoritmo, si el mínimo se alcanza con la distancia d(i,j - 1) estamos ante una inserción, si se alcanza con d(i - 1,j) estamos ante un borrado y si se alcanza con d(i - 1,j - 1), ante una sustitución. A partir de la distancia final, y disponiendo de esta información, se puede recorrer la matriz desde el elemento (n + 1,m + 1) hasta el (1,1) y listar la sucesión de operaciones. En general, el camino que va del elemento que da la distancia de edición hasta el (1,1) no es único. En la figura 6 se muestra un posible camino. Los números rodeados por un círculo rojo corresponden a los momento en que los caracteres a procesar eran idénticos. Figura 6: Obtención de la sucesión de operaciones. Si I y S representan inserción y borrado, la sucesión de operaciones de la figura anterior es (S,S,S,S,S,I,I) y la sucesión de transformaciones es: 3. Conclusiones Como vemos la distancia entre político y corrupción no es mucha, siete pasos, aunque, como dijimos antes, debería ser infinita o al menos ser finita solo en el mundo de la computación. El mes que viene veremos cómo se puede aplicar la distancia de edición a la comparación de cadenas con significado musical.   Bibliografía [BH81] G. H. Bower and E. R. Hilgard. Theories of learning. Prentice-Hall, Englewwod Cliffs, NJ, 1981. [Deu98] D. Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [DH86] W. J. Dowling and D. L. Hardwood. Music cognition. Academic Press, Orlando, FL, 1986. [Fes13] S. Fescher. Edit Distance ILM. http://csilm.usu.edu/lms/nav/activity.jsp?sid=˙˙shared&cid=emready@cs5070˙projects&lid=10, consultado en octubre de 2013. [Hel85] H. Von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music. Dover, New York, 1954 (publicado originalmente en 1885). [HSF98] W. B. Hewlett and E. Selfridge-Field. Melodic Similarity: Concepts, Procedures, and Applications. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1998. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Lun67] R. W. Lundin. An objective psychology of music. Ronald Press (segunda edición), New York, 1967. [MM01] S. McAdams and D. Matzkin. Similarity, invariance and musical variation. Annals of the New York Academy of Sciences, 90:62–76, 2001. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Ort37] O. Ortmann. Interval frequency as a determinant of melodic style. Peabody Bulletin, pages 3–10, 1937. [Slo85] J. A. Sloboda. The musical mind. Clarendon Press, Oxford, 1985. [WHC85] R. West, P. Howell, and I. Cross. Modelling perceived musical structures. In Howell, Cross, and West (Eds.), Musical structure and cognition. Academic Press, Londres, 1985. [Wik13] Wikipedia. The Levenshtein distance. http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein˙distance, consultado en octubre de 2013.
Jueves, 14 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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