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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Queridos lectores, ante todo debo manifestar que me he quedado alucinado con las respuestas que habéis enviado este año. Como alguien dijo alguna vez, I – M – P – R – E – S – I – O – N – A – N – T – E. Necesitaría mucho espacio para describir con fidelidad el nivel que habéis alcanzado, sobre todo en las cuestiones relacionadas con las matemáticas, permitiéndoos incluso la genialidad de proponer nuevas cuestiones sobre la película, además de plasmar vuestra impresiones y sugerencias. Las diferencias finales en la puntuación se deben más a malinterpretaciones de enunciados, que en este caso, en muchos casos, estaban hechas adrede para reflejar el carácter demencial de la protagonista de la película. De verdad, a todos, ¡¡¡Chapeau!!! Vamos con las soluciones (perdonad si en algún caso son demasiado breves; si alguien precisa mayores explicaciones sobre cualquier aspecto, no dudéis en mandarme un mail). M – 1.- Según el enunciado, buscamos una partición a1 + a2 +...... + an = 2014, de modo que  sea máximo. Desde luego la cuestión tiene solución, ya que el número de particiones de 2014 es finita, y cada una tiene asociado un producto, uno de los cuales será el mayor. Vamos a hacer algunas consideraciones previas a la resolución, que posteriormente nos la facilitarán. Como pretendemos que el producto sea el mayor posible, analicemos si es posible cambiar algún ai por otros dos, de modo que la suma no se altere, pero que el producto sea mayor. Supongamos por ejemplo que la partición tuviera algún valor aj ≥ 4. En ese caso aj podría sustituirse por los factores 2 y aj – 2, por que la suma queda como está: 2 + aj – 2 = aj el producto sería 2(aj – 2) = 2aj – 4. Como aj ≥ 4,  2aj ≥ 4 + aj, de donde se tiene que 2aj – 4 ≥ aj Mediante este proceso, asociamos a cualquier número mayor o igual a cuatro en doses y treses, y la nueva partición tiene un producto mayor o igual que el de la partición inicial. Si algún aj = 1, lo podemos sumar al ak que queramos, reemplazando ambos sumandos por el nuevo número 1 + ak. La suma es idéntica, pero el producto es mayor ya que pasamos de 1 x ak a ak+1. Por tanto, el producto máximo será un valor de la forma 2x 3y. Si la potencia del 2, que hemos designado por x, resulta ser x ≥ 3, cada terna de doses puede sustituirse por un par de treses. Esto es debido a que 2 + 2 + 2 = 3 + 3 (es decir, la suma no cambia), pero 23 < 32, el producto aumenta. Por tanto el producto máximo es de la forma 2a 3b, con a = 0, 1, 2. Como 2014 = 2 x 1007 (es decir, 1007 doses), podemos sustituir 335 tríos de doses, que se sustituyen cada uno, por 3 + 3 (= 32): 2014 = 2 x 1007 = 2 x (335 x 3 + 2). Por tanto, la partición estará compuesta por 670 treses y 2 doses, es decir, el producto máximo será 3670 22, cantidad, por si alguien tiene alguna curiosidad de 321 dígitos. Al corregir las soluciones que los concursantes enviaron, descubrí que Celso de Frutos dio una partición cuyo producto tenía, ¡¡EL MISMO NÚMERO de dígitos, 321!! Es 2014 = 3 x 671 + 1, cuyo producto es 3671. Pero la solución con el producto mayor es la primera (por poco; detallo los primeros dígitos): 3670 22 = 1876292...., mientras que 3671 = 1407219..... Otros productos propuestos han sido 21007 que sólo tiene 304 dígitos. M – 2.- Se trataba de encontrar el valor de S en S = 12 – 22 + 32 – 42 +............+ 20132 – 20142 Utilizando aquello de que diferencia de cuadrados es suma por diferencia, rescribimos la expresión así: S = (1 – 2) (1 + 2) + (3 – 4) (3 + 4) +............+ (2013 – 2014) (2013 + 2014) Obsérvese que los factores señalados en verde son (– 1), lo que hace que S sea una suma de valores negativos, en concreto, S = – (1 + 2 + 3 + 4 +............+ 2013 + 2014) De la conocida expresión para la suma de los primeros sumandos de una progresión aritmética, se tiene entonces que S = – = – 2029105 M – 3.- En efecto, 2029105 = 5 · 13 · 19 · 31 · 53. M – 4.- Ahora nos piden aproximar este valor Se trata de la suma parcial hasta el sumando 2014 de la serie . Esta serie es convergente (de hecho, absolutamente convergente), cuya suma es π2/12 ≈ 0.8224670334... Este valor se puede determinar a partir del desarrollo en serie de Fourier de la función x2: , 0 ≤ x ≤ 1, sustituyendo en ese desarrollo el valor x = 0. Por otra parte, en una serie numérica alternada convergente, designando por Sn su suma parcial n-ésima, y S en este caso su suma, se tiene que | Sn – S | ≤ an+1. Por tanto, para S2014 se verifica que . De esa desigualdad, se obtiene que 0.8224667871 ≤ S2014 ≤ 0.8224672797 Este procedimiento no nos ofrece los ocho decimales correctos que se pedían (sólo nos da cinco), pero, a falta de un argumento más ajustado, se da por válido. El valor con diez dígitos correctos según el ordenador (para comparar sí puede utilizarse), es S2 ≈ 0.8224669102..... Carles Virgili  y Andrés Mateo proponen una solución más ajustada. Descomponen S2 del siguiente modo: Se precisa entonces estimar esas sumas (S2014 y S1007) con la precisión adecuada. Aproximando esas sumas mediante S2014 = A2014 + R2014 S1007 = A1007 + R1007 siendo R2014 y R1007 los respectivos restos, entonces S2 = A2014 – A1007 + (R2014 – R1007) Exigiendo que la diferencia entre restos (paréntesis del segundo miembro de la expresión anterior) tenga una precisión de ocho decimales correctos (tal y como se pide en el enunciado) y utilizando la fórmula de Euler-MacLaurin para aproximar las sumas (y la ayuda de Maple), obtiene que S2 ≈  1.644437666.... – 1.643941511.... ≈ 0.8224669105.... M – 5.- Llamemos d a la diferencia de los términos de la progresión aritmética (que no necesariamente tiene que ser positiva). Consideremos los lados del triángulo y su área en progresión aritmética en este orden: a, b, c, A. Por estar en progresión aritmética de diferencia d, sean esos valores b – d, b, b + d, b + 2d, respectivamente. La fórmula de Herón, , nos proporciona el valor del área de un triángulo cualquiera a partir de las longitudes de sus lados, siendo s el semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo. Según los valores dados, s = (b - d + b + b + d)/2 = 3b/2 Aplicando entonces la fórmula de Herón (con el área al cuadrado, para no utilizar la engorrosa raíz): Como el primer miembro es un número entero, para que lo sea el segundo, b debe ser un número par. Designémoslo mediante b = 2 B, para algún entero B. Así, la expresión [1] se rescribe como 4 (B + d) = 3 B2 (B – d), y despejando d, Para B > 2, 3B2 + 4 > 8B, por lo que el cociente en [2] no es un número entero. Por tanto las únicas posibilidades son que B = 1 o que B = 2. Si B = 1, d = –1/7, que no daría para a, b, c valores enteros. Si B = 2, d = 1, a = 3, b = 4, c = 5, A = 6. Por lo tanto el único triángulo con las condiciones impuestas es el conocido triángulo rectángulo 3 – 4 – 5. M – 6.- Los triángulos cuyos lados son números enteros se denominan heronianos, precisamente en honor de Herón de Alejandría. El triángulo rectángulo 3 – 4 – 5, y área 6, obtenido anteriormente, era conocido ya en Egipto mucho antes de Herón. Sin embargo, el descubrimiento del triángulo 13 – 14 – 15 y área 84 se le atribuye a él. No es un triángulo rectángulo, pero sus lados y área son números enteros. Por esta razón, a los triángulos de lados y área enteros se les bautizó como triángulos heronianos en su honor. M – 7.- Existen muchos resultados y fórmulas acerca de los triángulos heronianos. Una cuestión de la que se desconoce la respuesta es si existe algún triángulo heroniano con sus tres medianas racionales. (Por si alguien no se acuerda bien, una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Con dos medianas racionales si se conocen (por ejemplo, el triángulo 76 – 51 – 26 con medianas 35/2 y 97/2, entre otros), pero con tres no. Los que buscan la solución, “a la fuerza bruta”, es decir, comprobando con el ordenador mediante un algoritmo de búsqueda, a fecha de hoy, no han encontrado ninguno entre todos los triángulos de diámetro menor o igual a 600000 (con diámetro de un triángulo nos referimos al diámetro del menor círculo que contenga al triángulo). M – 8.- Con estas cuestiones sobre triángulos heronianos pretendíamos básicamente darlos a conocer, y que el lector buscara información sobre ellos y quizá se interesara por ver cómo se obtienen. Evidentemente incluir la demostración de cómo obtener un par de triángulos heronianos distintos del mismo perímetro y área excede lo razonable para un concurso festivo como éste, por lo que sólo se pedía un ejemplo de esos triángulos. En cualquier caso, mediante un razonamiento similar al desarrollado en la resolución de M – 5, se llega a que los triángulos heronianos verifican las relaciones a = 4m2 + n2,    b = 5(m2 – n2),    c = m2 + 4n2,   P = 10m2,   A = 10mn(m2 – n2), para valores apropiados de m y n. Se ha dado por válido, encontrar dos pares de valores adecuados para m y n, que nos proporcionen idénticos P (perímetro) y A (área). Por ejemplo, 221 – 120 – 149  y  205 – 200 – 85, de perímetro 490 y superficie 8400. Varios concursantes han aludido a que han utilizado el estupendo artículo Pares de triángulos heronianos con áreas y perímetros iguales: una descripción de K. R. S. Sastry ( http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero16/Sastry.pdf). El proponente, también lo ha utilizado. M – 9.- Un procedimiento elemental, pero laborioso es utilizar argumentos de geometría analítica, es decir, fijar los triángulos en un sistema de coordenadas, calcular las rectas que pasan por los vértices, etc. Os muestro una solución alternativa utilizando ángulos y el teorema del coseno. Etiquetamos los diferentes ángulos como se muestra en la figura (se aplica reiteradamente la semejanza de triángulos para hacerlo). A partir de ahí, se sigue que ∠B = β + δ, y que ∠C = α + ε. Entonces, ∠B + ∠C = (α + β) + δ + ε = 90º + δ + ε > 90º. Por tanto, ∠A < 90º. Por la ley de los cosenos aplicada al triángulo ΔXYZ, se tiene que XZ2 = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos γ = 34 – 30 cos γ. Como γ = 180º – β, entonces XZ2 = 34 + 30 cos β = 34 + 30 (3/5) = 52, y entonces, XZ = 2. De nuevo aplicando el teorema del coseno en ΔXYZ, YZ2 = 52 = 52 + 32 – 2 ∙ 3 ∙ 2 cos δ, por lo que cos δ = 3/. De ahí, sen δ = 2/, y por tanto, cos B = cos(β + δ) = cos β cos δ – sen β sen δ = = (3/5)(3/) – (4/5)(2/) = 1/(5/) > 0. Entonces, ∠B < 90º. De forma análoga se puede comprobar que cos C = 23/(5) > 0, y de ahí, ∠C < 90º, por lo que ΔABC no es rectángulo. M – 10.- Haciendo cálculos (no se detallan, dada su sencillez; un procedimiento es calcular las ecuaciones de las rectas de los tres lados, luego las coordenadas de los tres vértices, y acabar calculando el área del triángulo), comprobamos que la afirmación no es cierta. Área del triángulo ABC = 1849/18 u2 = 102,72 u2 Área de la parte sombreada 2(32 + 42 + 52) =  100 u2 M – 11.- Las soluciones de la ecuación son las raíces cuartas de – 1, que escrito en forma binómica compleja es z = – 1+ 0 i. El módulo de este número es 1, y el argumento 180º, es decir, π. Por ello las raíces cuartas serán de la forma , con k = 0, 1, 2, 3. Las raíces cuartas pedidas serán entonces en forma polar, y en forma binómica: M – 12.- Obsérvese que en forma exponencial los anteriores números complejos son, respectivamente, . Por tanto sus logaritmos (neperianos o naturales, se entiende), al ser funciones inversas la exponencial y la logarítmica, serán sencillamente, . Su representación gráfica por tanto se encuentra sobre la recta vertical  x = 0 (o sea todos los valores imaginarios, tal cual se encuentra la mente de la protagonista), mientras que las raíces de – 1 están formando un cuadrado. M – 13.- Es conocido que la longitud de la circunferencia viene dada por L = 2π r, siendo r el radio de dicha circunferencia. Nos dicen que la moldura superior, una semicircunferencia, tiene por longitud π, luego r = 1. Podemos entonces modelizar la situación como se ve en la imagen, o sea,  x2 + y2 = 1 la ecuación de la circunferencia de la que representamos su mitad superior, (x – 1)2 + y2 = 1 para el arco de centro (1, 0) y radio la unidad, y  (x + 1)2 + y2 = 1, el simétrico desde el punto (– 1, 0). Se pide el área pintada en la gráfica de color verde. Teniendo las ecuaciones, lo más sencillo es calcular la superficie mediante cálculo integral. Para ello debemos hallar primero el punto de corte de los arcos con la semicircunferencia. De las dos primeras ecuaciones, se sigue sin más que despejar y2, que (x – 1)2 + 1 – x2 = 1, o lo que es lo mismo, (x – 1)2 = x2. De ahí es sencillo obtener que x = ½. Como la situación es simétrica a izquierda y derecha del eje de ordenadas, el área será entonces Obsérvese que (hay varios modos de expresarlo), fijándonos sólo en el primer cuadrante, se ha restado del área del círculo en dicho cuadrante, las superficies encerradas por los respectivos arcos de circunferencia (que también es fácil comprobar que son idénticos por simetría). El área es por tanto A = ≈ 0.3424266281..... NOTA: Algunos participantes han considerado como arco superior (el de longitud π) sólo la parte correspondiente al intervalo [– 0.5, 0.5] del dibujo. En ese caso, el radio resulta r = 3, y el área 3.08184 aproximadamente. Revisado el enunciado original, en efecto puede no quedar claro el arco al que se refiere, y como todos han razonado convenientemente, se ha tomado la solución salomónica de considerar correctas ambas soluciones. M – 14.- Es conocido el truco para elevar al cuadrado un número de dos cifras terminado en 5: se tomar la cifra de las decenas, se multiplica por su consecutivo en el orden natural, y se le pega el número 25 a continuación. Por ejemplo, 352 sería (3 x 4 = 12), 1225. La razón de que esto suceda, es clara: (10 a + 5)2 = 100 a2 + 2 ∙ 5 ∙ 10 a + 25 = 100 (a2 + a) + 25 = 100 a(a+1) + 25 Ahora bien, ¿es cierto para números de mas de dos cifras? Si uno experimenta con algunos ejemplos, comprobará que parece que también se cumple. La demostración general no es tan evidente, pero el magnífico nivel de los concursantes nos ha aportado varias. A continuación la facilitada por María José Fuente: La razón por la que no se utiliza para números de más de dos cifras es porque ya no es tan sencillo hacer la multiplicación mentalmente, y casi es igual hacer la multiplicación original. M – 15.- El año de la película. Se dice que tiene el mismo número de factores primos que el año presente, o sea que 2014. Como 2014 = 1 ∙ 2 ∙ 19 ∙ 53, resulta que el año en cuestión tiene cuatro factores primos (tres si prescindimos del trivial 1). La fecha oficial de nacimiento del cine es 1898. Si factorizamos todos los años desde 1898 a 2014, sólo tienen tres factores los años 1898, 1902, 1905, 1910, 1918, 1930, 1947, 1955, 1958, 1965, 1970, 1978, 1986, 1990, 2001, 2006, 2013, 2014. De la información que se va extrayendo del texto y de resolver las demás cuestiones (las de cine fundamentalmente: película de cine negro, a blanco y negro, quizá habiendo averiguado también la actriz principal (Joan Crawford), etc.) se deduce que (no es muy matemático, pero recuérdese que este concurso trata de aunar cine y matemáticas) se refiere a 1947. M – 16.- Supongamos que existan dos números M y N tales que N = 1.8 M + 32,   [1] donde los dígitos de ambos son M = a1a2a3....an,  y N = an.......a2a1. En primer lugar, an ≠ 0, porque en caso contrario, N < M. Esto obliga además a que, por la igualdad anterior, 5 sea divisor de M, por lo que an= 5. Como N ≡ a1 mod 10, y N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (10 an-1 + 5) + 32  mod 10 ≡ 8 an-1 + 1  mod 10 entonces a1 debe ser impar. Teniendo en cuenta los primeros dígitos de N y M, se sigue que a1= 3.  Entonces, 8 an-1 + 1 ≡ 3 mod 10, y de ahí, an-1 debe ser 4 o 9. Si an-1 = 4, considerando los dos prímeros dígitos de N y M, por [1], a2= 0. Eso nos lleva a que N ≡ 3 mod 100, mientras que N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 45) + 32  mod 100 ≡ 8 an-2 + 113  mod 100, de donde 80 an-2 + 110 ≡ 0 mod 100, o dicho de otro modo, 10 divide a  8 an-2 + 11, lo cual es imposible porque los múltiplos de 8 siempre acaban en 0, 2, 4, 6 u 8, que al sumarlos 11, nunca pueden ser divisibles por 10. Si an-1 = 9, N ≡ 10 a2 + 3 mod 100, y N = 1.8 M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 95) + 32  mod 100 ≡ 80 an-2 + 203  mod 100, y por [1], a2 ≡ 8 an-2 mod 10       [2] por lo que, por [1], a2 debe ser par. Teniendo en cuenta que los dos dígitos de N son 59 y de M, 3a2 entonces, a2 = 2. Echemos finalmente un vistazo a an-2. Considerando los dos primeros dígitos de M (32), y los tres primeros dígitos de N (59 an-2), se tiene por [1] que an-2 ≤ 3. Por [2], entonces 8 an-2 ≡ 2   mod 10, y entonces an-2 tiene que ser o 4 o 9, lo cual es absurdo. En conclusión, no existen dos temperaturas N y M que satisfagan las condiciones indicadas. M – 17.- Sean x la edad del hombre e y la de la chica. Se dice por un lado que x – 5 = 2 (y – 5). Es decir que x = 2y – 5. Tras plantear todas las posibilidades de números de dos cifras cuya suma en binario sea la unidad, se llega a que la única posibilidad de que las edades concuerden con los datos, es que x + y = 55, en cuyo caso las edades son x = 35, y = 20. No hace falta para nada el dato adicional, y si se considera, sólo en uno de los casos posibles se llega a una solución. Además de seguir “desquiciando” al personal, tal y como está la protagonista, se trataba únicamente de dar alguna pista más sobre la película (el protagonista toca el piano). M – 18.- 60 = 22 · 3 · 5. Tiene exactamente 12 divisores distintos [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60] (aprovéchese para repasar la fórmula que da el número de divisores de un número). De ellos, seis son menores que 7. Por tanto la probabilidad de la que se habla es 6/12, es decir, ½. El comentario de que lo sabría un niño de primaria se refiere a que es de perogrullo que la protagonista tiene ½ de posibilidades de acertar o no acertar. Respuestas a las cuestiones relacionadas (más o menos) con el cine: C – 1.- A A no le agrada S, esencialmente por ser un valor negativo, aunque tiene más que ver con la película que S2 porque la protagonista es también un personaje bastante negativo. Uno de los concursantes, Emilio Díaz, además aporta un apunte que no esperaba que lo descubrieran, que tiene más relación con el apartado de matemáticas: La relación de la suma S con la película es debida a que el valor absoluto del número negativo 2029105 es el 2014-ésimo número triangular (recordemos que estamos en el año 2014). Recordemos que un número triangular es un número de la forma Sustituyendo n = 2014 obtenemos el valor absoluto de S = 2029105, el número triangular de lado 2014. Y los triángulos tienen que ver con la película debido a las relaciones entre los personajes. También algunos concursantes han apreciado que, de algún modo, el número de las habitaciones del hospital donde ingresa la protagonista, 295 y 150, están de algún modo incluidos en el valor de esa suma. C – 2.- Se refiere al rol de mujer fatal frecuente en las películas de cine negro. En esta película, el protagonista masculino puede considerarse un “hombre fatal”. C – 3.- Trabaja en el diseño de vigas moldeadas. C – 4.- David, el protagonista, es ingeniero industrial. C – 5.- Triángulos básicos hay tres (eso ya sería un cuarto triángulo): Louise (la protagonista), Pauline (la esposa enferma que cuida) y Dean (marido de Pauline); Louise, Dean y David; Louise, Caroline (hija de Dean) y David. Si nos atenemos a todo tipo de triángulos, no sólo los sentimentales, en la puesta en escena hay numerosos momentos en que aparecen tres personajes: en el hospital atienden dos médicos a Louise, Louise y los dos hijos de Dean (hijastros al casarse con Dean), etc. C – 6.- Se refiere al psicoanálisis y Freud. Son muchas las películas que en Hollywood abordaron este asunto. Algunos ejemplos son: Freud, pasión secreta (Freud, the Secret Pasión, John Huston, 1962), varias de Alfred Hitchcock (Rebeca, Recuerda, Psicosis, Vértigo, Marnie la ladrona,....), La escalera de caracol y A través del espejo, ambas de Robert Siodmak; las versiones de Dr. Jekyll y Mr. Hyde con el tema del desdoblamiento de la personalidad, etc. Y fuera de Hollywood el tema también ha tenido diversas incursiones: películas de Luis Buñuel, Ingmar Bergman, Krzysztof Kieslowski, Woody Allen, etc. Hasta Pedro Almodóvar con sus Tacones Lejanos podría adherirse a la lista. C – 7.- Evidentemente se está hablando del cine negro. Alguna otra característica no citada suele ser la narración desde el punto de vista totalmente subjetivo de algún personaje, la intercalación de flashbacks, el uso de la violencia, lenguaje elíptico y metafórico donde se describe la escena caracterizado por una iluminación tenebrosa en claroscuro, escenas nocturnas con humedad en el ambiente, se juega con el uso de sombras para exaltar la psicología de los personajes, etc. Directores de cine negro: Robert Siodmak, los comienzos de Billy Wilder, Curtis Bernhardt, Fritz Lang, John Huston (algunos consideran El halcón maltés, 1941, como la primera película de film noir, aunque personalmente creo que el género ya es distinguible desde principios de los años 30), etc. C – 8.- La película del jeroglífico es Psicosis. (letra griega Psi – definición del coseno cos – otra vez psi al revés, o sea isp, quitando la p, is. Total: Psicosis). C – 9.- Películas diferentes con el mismo título en castellano: Tres mujeres.- hay una de Ingmar Bergman de 1952, y otra de Robert Altman de 1977. Otro ejemplo más reciente es el de Más allá de los sueños (Bedtimes Stories, Adam Shankman, EE. UU., 2008) y Más allá de los sueños (What Dreams May Come, Vincent Ward, EE. UU., 1998). Y hay muchos más, Cruce de caminos, ¡Por fin solos!, Crash, etc. C – 10.- Joan Crawford, según he leído, es la única actriz que protagoniza dos películas distintas con el mismo título (ojo, en inglés): Possesed, dirigida por Clarence Brown en 1936 (en España se tituló Amor en venta), y la que nos ocupa dirigida por Curtis Bernhardt en 1947 (que aquí se tituló Amor que mata; se ve que querían que nos quisiéramos mucho). Si en el conjunto inicial colocamos la etiqueta “películas” o “año de producción”, y en el conjunto final “títulos”, se trata de una aplicación porque cada imagen tiene al menos un origen. No sería inyectiva, porque películas distintas tienen el mismo título, pero sí sería aplicación. Obviamente no lo es si los conjuntos se intercambian. C – 11.- A Canadá marcha David Sutton, a la fábrica que tiene Dean Graham, y que le viene de perlas para deshacerse de Louise. Ésta, por supuesto, quedará despechada, aunque no se olvidará de él. C – 12.- El aparato de la imagen no es un termómetro, sino un tensiómetro (también se da por válido Esfigmomanómetro). En la medida de la tensión arterial (TA) se dan dos valores, la tensión sistólica (máxima o alta), y la tensión diastólica (mínima o baja). Se suelen expresar en milímetros de mercurio (mmHg), separadas por un guión. Por ejemplo 140 – 90 mmHg. o una barra 140/90. Sin embargo no es infrecuente escuchar a médicos y pacientes utilizar medidas en centímetros de mercurio en lugar de en milímetros. En ese caso, la cifra anterior debe dividirse por 10, por lo que la TA anterior sería 14 – 9 o 14/9. En la película, la versión doblada lo expresa de este último modo, mientras que en la versión original lo hace en mmHg. C – 13.- Hay varios momentos en los que el protagonista David Sutton menciona las matemáticas o cifras diversas. Por ejemplo cuando bromea con Wynn, el hijo menor de Dean: “la última vez que te vi aún no te afeitabas”. El chico no se entera de qué le habla, y David replica, “Es matemáticamente imposible gastarle una broma a un niño de su edad”. A este respecto se podía haber pensado alguna cuestión sobre el humor en los matemáticos. O en otros momentos, cuando la cámara nos lleva por los pasillos del hospital, se podía pensar en algo relacionado con distancias, perspectivas desde la camilla, etc., o estimar el número de libros de la biblioteca de Dean, o tiempo en lancha desde donde vive David a la casa de Dean, o en la escena en la que Louise prepara unas bebidas mientras David explica un experimento sobre sedimentos petrolíferos: “hice una prueba con 1000 barriles de crudo, y recorrieron 4 Km. en 1 hora”. C – 14.- Se refiere a la famosa cuestión de las edades de las hijas de una lechera vecina de otra que quiere saber las edades de las hijas de la primera. El producto de las edades es 36, y como la segunda lechera dice que falta un dato, la primera le apunta que “la hija mayor toca el piano”. C – 15.- Como algunos concursantes han apuntado, esta cuestión es tan delirante como la protagonista (era otra pista para tratar de averiguar la película). Además previamente se menciona la relación de A y B con otra película, Psicosis. Todo ello trataba de desembocar, (incluido lo de que  en caso de que se atentara contra la integridad de A, también acabaría con B), en que A y B son la misma persona. Es decir, yo mismo me reúno con mi parte perversa para idear las cuestiones del concurso (como cuando pienso en poner las preguntas de un examen). Quizá hubiera sido más claro mencionar a Jekyll y Mr. Hyde, pero no era del todo exacto porque éstos no conviven nunca, mientras que A y B sí. C – 16.- De todo lo dicho anteriormente se deduce que se trata de Amor que mata (Possessed, Curtis Bernhardt, EE. UU., 1947).   Antes de pasar a la puntuación obtenida por los concursantes no me resisto a compartir algunas cuestiones sobre la película sugeridas por algunos de ellos. Concretamente, Alejandro Azpeteguía nos propone las siguientes (elijo sólo algunas de las muchas que ha propuesto): En el minuto 92:50 está tomada esta foto de Joan Crawfoed. Aprovechando el diseño del escote y el remate bordado de su vestido, se puede plantear la siguiente cuestión geométrica: si el vestido de la cintura al cuello delimita un trapecio isósceles invertido (sin contar las mangas) y el escote es un triángulo isósceles centrado en él, hallar la altura del escote sabiendo que el área de carne mostrada es un tercio del área de tela que hay dentro del trapecio. (Modelizar la situación eligiendo las medidas necesarias mínimas que se consideren oportunas, así como su longitud). En el minuto 105:57, podríamos aprovechar la sombra en forma de parábola debida a la luz proyectada por la lámpara, para averiguar la ecuación de la parábola dando algunas pistas (tangente a la cabeza del doctor y a la esquina superior izquierda del cuadro) y algunas medidas (como la diferencia de altura entre los puntos citados). Y una cuestión mucho más críptica para realizar un visionado detallado de la película: ¿en qué escena de la película de tiempo matemático podemos encontrar un mono y una anguila escondidos entre Segundos y Terceros? Pista: también podemos encontrar una afilada 5ª letra del alfabeto griego. SOLUCIÓN: Mono = APE, Anguila = EEL, 2º = Second, 3º = Third, 5ª letra griega = ε, Afilar = SHARPEN Por tanto estamos hablando de la escena del minuto 3:14 (PI) como podemos ver en la imagen. Apunte personal: ¡¡¡ Y luego decís que yo soy retorcido !!! Finalmente propone un jeroglífico (sólo apto para informáticos) cuya solución es el título de la película (Possessed): Ayuda: SSE (Streaming SIMD Extensions) es una extensión al grupo de instrucciones MMX para procesadores Pentium III, introducida por Intel en febrero de 1999. Puntuación Final De un total de 300 puntos posibles, estos son los resultados: Alejandro Azpeteguía Torres      299 Carles Virgili Borrell                     288 Emilio Díaz Rodríguez                  283 Andrés Mateo Piñol                      269 Mª José Fuente Somavilla             265 Francisco Pi Martínez                 233 Celso de Frutos de Nicolás          219 Enhorabuena nuevamente a todos. En breve recibiréis un correo solicitándoos una dirección postal para enviaros un obsequio de DivulgaMAT. Espero que os haya entretenido la propuesta, y como comenté el año pasado, no dudéis que tratará de mejorarse para la próxima edición. A ello contribuirán vuestras magníficas sugerencias.
Miércoles, 10 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
El concurso de bolas de nieve literarias ya tiene sus bolas ganadoras. Se han recibido 14 propuestas procedentes de 8 personas. ¡Muchas gracias por la participación! Para decidir las bolas ganadoras, hemos recurrido a un jurado formado por cuatro personas, que –por orden alfabético– son: el matemático Alex Aginagalde, el escritor Pablo Martín Sánchez, la escritora Sofia Rhei y la matemática Judith Rivas Ulloa. Tras sus deliberaciones, las tres propuestas ganadoras han sido las siguientes... PRIMER PREMIO Le ha correspondido a Homenaje a las irresistibles conjeturas, de María José Fuente Somavilla, profesora de matemáticas en el IES Augusto González de Linares (Santander). Se trata de un rombo de longitud 11 que habla de la conjetura de Fermat y de la persona que la resolvió, Andrew Wiles: en realidad Wiles demostró la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica la de Fermat. Todo ello está contenido en este precioso rombo. Pablo Martínez Sánchez, que es miembro del grupo OuLiPo desde junio de 2014 ha sido tan amable de dedicar unas palabras a la ganadora. Su mensaje dice así: “Y es una bola nívea genial, redonda, perfecta. Realmente: muchísimas felicidades”. O, dicho de otro modo: Enhorabuena a María José, y muchas gracias a Pablo por su regalo para la ganadora... y para todos los demás. Además de esta bola de nieve dedicada, María José recibirá un libro de divulgación matemática. También recibirá su premio el autor de las bolas clasificadas en segundo y tercer lugar, Josep L. Pol i Llompart, profesor del IES Marratxí (Mallorca). SEGUNDO PREMIO Por decisión del jurado, corresponde a la bola de nieve de longitud 14 titulada Paradoja de Grelling-Nelson: esta paradoja es una reformulación de la paradoja de Russell en la que se introducen dos palabras inventadas autológico y heterológico. Pep Lluis la ha resumido a la perfección: TERCER PREMIO Esta vez en un rombo de longitud 13, también de Josep L. Pol i Llompart titulada Empieza en uno y acaba en cero. ¿Qué es? ¿Qué es? La decisión no ha sido fácil... Muchas gracias a todas las personas que se han atrevido a jugar con las matemáticas y una traba oulipiana: Gracias a los amigos y amigas del jurado, y enhorabuena de nuevo María José y Pep Lluis. ¡Ya estamos pensando en el próximo concurso!
Lunes, 08 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
El rombicuboctaedro destaca entre los sólidos arquimedianos por su sorprendente e irresistible atractivo para los artistas. En el retrato realizado en 1495 a Fra Luca Pacioli impartiendo una lección de geometría (pintura atribuida a Jacopo de´Barbari y que se exhibe en el Museo Capodimonti de Nápoles) se representan dos poliedros: un dodecaedro sólido y un gran rombicuboctaedro transparente, parcialmente lleno de líquido que está colgado del techo. De los sesenta poliedros que dibujó Leonardo para la De Divina Proportione de Fra Luca se seleccionan solo dos para representar al fraile matemático. El más enigmático y curioso es el rombicuboctaedro. Resulta bastante curioso que la pintura simule una sección hexagonal que realmente existe en el poliedro (diagonales de los cuadrados que forman un plano perpendicular al eje que une dos caras triangulares opuestas) pero no donde el pintor la dibuja. Un cuadro tan sugerente se presta a versiones modernas que lo reducen a lo esencial. Así el pintor francés Jean Bertholle en La mesa del geómetra hace desaparecer las figuras y deja los útiles y los poliedros. El rombicuboctaedro pasa a la derecha. También el napolitano Lucio Del Pezzo ha rendido homenaje a Pacioli con una representación muy estilizada y clara: La taracea tampoco puede resistir el atractivo de un poliedro que aproxima bastante bien a la esfera.  Tanto en la marquetería alemana como en la italiana se encuentran representaciones del rombicuboctaedro. La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Damiano Zambelli (o Damiano de Bergamo) casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras tan difíciles de superar como esta sillería de la iglesia de Santo Domingo de Bolonia. En los diseños del coro domina la perspectiva de paisaje urbano con punto de fuga para resaltar la profundidad. Las formas más poliédricas están dando soporte al facistol. En la parte inferior de una de las puertas del armario del facistol hay un rombicuboctaedro algo estrellado. Otro se ha reproducido en las puertas de la sacristía. La arquitectura nos va a proporcionar un rombicuboctaedro de dimensiones colosales. El rombicuboctaedro más grande del mundo fue terminado en el año 2006 para albergar la Biblioteca Nacional de Bielorrusia en Minsk. Se trata de un viejo proyecto de los arquitectos Mihail Vinogradov y Viktor Kramarenko que ha podido hacerse realidad. La biblioteca de Minsk ha producido también un fuerte impacto en el arte. El artista polifacético francés Raphaël Zarka ha realizado un corto de culto: Rhombus Sectus, estrenada en 2009. El mismo Zarka ha montado dos poliedros en su forma vacía, la que Leonardo llamaba vigentisex basivm planvs vacvvs. Terminamos dando cuenta de los usos en el mobiliario urbano del rombicuboctaedro: farolas y juegos infantiles. Londres ofrece al turista muchos lugares pintorescos, entre ellos un micro puesto de policía en Trafalgar Square. La garita, no mayor que una cabina telefónica, se instaló en 1926 y disponía de un teléfono para informar a Scotland Yard.  La cabina sirve de base a una farola de forma rombicuboctaédrica, con algunos cuadrados seccionados en la parte inferior. Una leyenda cuenta que procede de Nelson. La plaza de Catalunya de Barcelona nos ofrece también un ejemplo del poliedro usado como farola. Uno de los usos más modestos del rombicuboctaedro lo hemos encontrada en algunos juegos infantiles de sogas. Los vértices de la estructura de barras, soporte del juego, son la versión sólida del poliedro, mientras que las barras forman una porción de  cuboctaedro apuntado. Sirva de muestra una estructura localizada en la playa de Málaga. Las sogas de todos los juegos van formando octaedros truncados,… pero eso es parte de otra historia.
Martes, 02 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
En la anterior entrada de esta sección de divulgamat, “Las matemáticas en la publicidad”, iniciamos una serie de artículos sobre la presencia de uno de los juegos más populares de las últimas décadas, el cubo de Rubik, en la publicidad. En la primera parte ya hablamos de su inventor, el hungaro Ernö Rubik y de la clave del éxito de su invento, el mecanismo que permitía el movimiento de las piezas del cubo. Como puede verse en la siguiente imagen, la pieza clave de este puzzle geométrico es una “cruceta tridimensional”, con tres ejes ortogonales que acaban en seis cuadrados (que son los 6 cubitos centrales de las seis caras del cubo, cada una de ellas de un color distinto del cuadrado mágico, es decir, rojo, azul, blanco, verde, naranja y amarillo), y que pueden girar. Este es el mecanismo que hace posible el movimiento independiente de cada una de las caras del cubo. Además, el cubo se completa con 20 cubitos más, 8 para los vértices (que tendrán tres caras visibles, con tres de los seis colores) y 12 cubitos para las aristas (de hecho, el cubito central de las aristas, y que tiene dos caras visibles, de dos colores distintos). Estas piezas disponen de un añadido que se acopla luego a la cruceta central y que es lo que permite la rotación de las caras del puzzle. Teniendo en cuenta la estructura del cubo de Rubik, podemos calcular el número de posiciones posibles –estados- del mismo. Para empezar, fijémonos en que, por lo anteriormente comentado, en realidad los 6 cubitos centrales, unidos a la cruceta tridimensional, no cambian de posición. Por otra parte, las “piezas vértice” pueden ir a 8 posiciones posibles de vértice, y el número de formas de asignar las piezas vértice a los vértices del cubo son las permutaciones de 8, es decir, 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x2 x1 = 40.320 [la primera pieza la podemos colocar en cualquiera de los 8 vértices, y una vez colocada, la segunda pieza podría situarse en alguno de los 7 vértices libres, para la tercera pieza se dispondrá de 6 posibles posiciones, para la cuarta 5, y así hasta la última que solo dispondrá de una posible posición, es decir, 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 distribuciones distintas]. Pero una vez asignados cada uno de estos cubitos a un vértice concreto, cada pieza tiene tres posibles orientaciones (que sería como “rotar” la pieza vértice, o sus tres colores, 120º y 240º), luego 38 posibilidades. Sin embargo, una vez elegida la orientación de 7 de las piezas, la orientación de la octava queda completamente determinada por las anteriores (pensemos en un cubo resuelto, al que le “giramos” uno de los vértices, entonces quedaría completamente sin solución). En consecuencia, por cada una de las 8! asignaciones de las piezas vértice, hay 37 = 2.187 posibles disposiciones. De igual forma, las 12 “piezas arista” se pueden colocar en las 12 aristas (de hecho, en sus posiciones centrales) de 12! = 479.001.600 formas distintas. Cada pieza tiene dos posibles orientaciones (que sería como “girar” la pieza arista 180º, o cambiar los colores de posición), pero de nuevo una vez fijadas las orientaciones de 11 piezas, la duodécima queda determinada por las anteriores, luego hay 211 = 2.048 posibles disposiciones para cada una de las 12! asignaciones de las piezas arista. Pero existe una restricción más, ya que no todas las posiciones posibles de las piezas vértice y piezas arista son compatibles. Las “permutaciones pares” (respectivamente, impares) de las piezas vértice están asociadas a “permutaciones pares” (respectivamente, impares) de las piezas arista (aunque esto es un poco largo de explicar y lo dejaremos para mejor ocasión, por ejemplo si hablamos del “juego del 15” para el que se produce la misma situación), luego solo son válidas la mitad de las disposiciones anteriores. En consecuencia, el número de estados de las piezas del cubo de Rubik es más de 43 trillones, exactamente El primer ejemplo de anuncio publicitario que vamos a mostrar en la presente entrega de esta serie hace mención precisamente a la enorme cantidad de posiciones posibles del cubo mágico. Es un anuncio de la empresa tecnológica HP (Hewlett Packard), cuyo lema es “A brilliant display of infinite possibilities” (Un magnífico escaparate de infinitas posibilidades). Como acabamos de calcular, las posibilidades / posiciones posibles del cubo de Rubik no son infinitas, pero son realmente grandes, tanto que dependiendo del tema que estemos tratando, podemos considerarlas infinitas. Por ejemplo, si hablamos de tiempo y cada posición fuese un segundo, estaríamos hablando de que esos 43.252.003.274.489.856.000 segundos son más de un billón de años. Si pensamos que la edad del universo no llega a los 14.000 millones de años, es “realmente” una cantidad infinita de tiempo. Una idea similar es explotada por 123RF (http://es.123rf.com), que es un archivo fotográfico a través de internet, con más de 12 millones de fotografías, que proporciona imágenes de archivo de alta resolución libres de derechos a través de una cuota de suscripción. El lema de la publicidad es “Miles de opciones. Un solo objetivo”. El cubo de Rubik es un juego, por lo tanto, un objeto que nos proporciona diversión. Y esa idea de juego es la que se utilizaba en la siguiente publicidad de la compañía japonesa de motos, y otros vehículos, Yamaha. El lema de esta campaña era “Time to start playing again” (tiempo para empezar a jugar de nuevo). Una idea que ha sido muy utilizada en los anuncios de vehículos, la conducción como un placer, como una diversión, en definitiva, como un juego. Pero la palabra jugar puede tener también una connotación negativa, como en este anuncio de WWF (World Wild Fund for Nature), la organización internacional de conservación de la naturaleza. En cuya página web de WWF España, WWF-Adena, se dice que “WWF trabaja por un planeta vivo y su misión es detener la degradación ambiental de la Tierra y construir un futuro en el que el ser humano viva en armonía con la naturaleza: i) conservando la diversidad biológica mundial; ii) asegurando que el uso de los recursos naturales renovables sea sostenible; iii) promoviendo la reducción de la contaminación y el consumo desmedido”. El lema de esta campaña era “We have been playing with nature for too long” (hemos estado jugando demasiado tiempo con la naturaleza). Como ya comentamos en el anterior artículo, el cubo de Rubik se comercializó a principio de la década de los ochenta y se convirtió rápidamente en todo un fenómeno social, hasta tal punto que ha pasado a ser uno de los símbolos de esos años. Por este motivo, el canal de televisión National Geographic Channel, que es un canal dedicado a la emisión de documentales, lo utilizó en una campaña para anunciar una miniserie documental sobre la década de los años 80. Os dejo con los carteles… Y aquí podéis ver el spot que se realizó para la televisión, realmente interesante… El siguiente anuncio de la Caixa Geral de Depositos también nos remite a los años en los que hizo furor el rompecabezas tridimensional, para anunciar préstamos hipotecarios destinados a personas menores de 35 años. El texto dice lo siguiente “If you were young when you puzzled over this, you are still young for us” (Si eras joven cuando te desconcertó esto, todavía eres joven para nosotros). Esta misma idea la vi no hace mucho tiempo en una zapatería. Era un anuncio de la empresa alemana de ropa y calzado deportivo Yumas. Como se ve en la imagen era un pequeño anuncio para colocar en el calzado, y en el se veía un cubo de Rubik y el texto “Born in the 80s”. En la misma línea de pensamiento que los dos anteriores ejemplos, la agencia publicitaria Publicis Conseil realizó una campaña para publicitar el cortacésped de la empresa alemana STIHL, que fabrica maquinaria forestal, agrícola y de jardinería. La idea de la campaña es que utilizando este cortacésped descubrirás recuerdos olvidados, como el walkman, un camión de juguete, un viejo balón de futbol, o el cubo de Rubik. También se ha realizado publicidad en la que se hace referencia al tiempo, pero no en el sentido anterior, sino al tiempo que se puede tardar en llegar a solucionar este puzzle. Desde su comercialización muchas personas se rompieron la cabeza intentando llegar a su disposición inicial, esto es, cada cara de un único color. Tarea que se mostró realmente complicada, o incluso imposible, salvo para quienes acabaron comprándose alguno de los manuales que enseñaban algoritmos de resolución. Por este motivo, el rompecabezas cúbico acabó asociándose a ideas como… “algo muy complejo”, “difícil, o imposible, de resolver”, “solo para personas muy inteligentes”, etc. A continuación, mostramos dos anuncios que utilizan esa idea de que se necesitaba mucho tiempo para solucionarlo, incluso toda una vida. El primero es un anuncio de un lavavajillas líquido, de la marca Sunlight, perteneciente a la multinacional Unilever. Según el anuncio una botella de Sunlight dura tanto como el tiempo que te puede llevar resolver el cubo de Rubik, que se supone que será mucho. El otro anuncio es de la empresa francesa de automóviles Renault, y el texto del mismo dice “Hay cosas para las que se necesita toda la vida. Por eso es imprescindible un coche muy seguro”. Los publicistas que han trabajado para la compañía Renault han utilizado el cubo de Rubik en otras campañas publicitarias, como por ejemplo, las dos siguientes. La primera utiliza la idea de complejidad del rompecabezas, mientras que la segunda se centra en que es un juego. Aunque si el cubo mágico es de un solo color, entonces no se necesita tiempo para solucionarlo y uno puede dedicarse a otras cuestiones, como por ejemplo, descansar. Vamos a terminar este artículo con una pequeña colección de carteles publicitarios de todo el mundo que han utilizado la imagen del cubo mágico.
Lunes, 01 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
A la vuelta del verano, y como es habitual, vamos a ofrecer las respuestas a los juegos que planteamos en la entrega anterior. Recordarás que se trataba de juegos de apuestas suficientemente intrigantes como para conseguir alguna bebida gratis en el bar de tu lugar de veraneo. Algunos de estos problemas, y otros similares, se pueden encontrar en la página Puzzles.com y en el libro, ya citado en otras ocasiones, Scam School de Brian Brushwood. Vamos con la solución del primer problema: PROBLEMA 1 - Se colocan seis monedas iguales formando un paralelogramo y se quiere conseguir, con tres movimientos, que las seis monedas formen una circunferencia. Recordemos que los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Como muy bien apuntan Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo, podría resolverse con dos movimientos ya que no hemos añadido la limitación de que las monedas no pueden levantarse, sólo deslizarse. Es bien sabido que las instrucciones deben ser precisas y no dar lugar a equívocos. Esta es la solución de Alejandro: En el primer paso, la moneda de color verde pasa a ocupar la posición naranja. En el segundo paso, la moneda central de color verde se "levanta" sin tocar a las demás y ocupa la posición de color naranja. PROBLEMA 2 - Se colocan cuatro monedas en una distribución con forma de rombo y se pide colocar las cuatro monedas en una fila de modo que, en cada movimiento se desliza una sola moneda la cual debe tocar a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Cuarto movimiento Curiosamente, si numeramos las cuatro monedas, de izquierda a derecha y de arriba abajo, al final del proceso las monedas siguen en orden. PROBLEMA 3 - Se colocan tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados. El problema consiste en dejar las monedas en una fila de manera que queden las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. Para la solución, vamos a numerar, no las monedas sino las posiciones que dichas monedas ocupan sobre la mesa. Inicialmente, están colocadas en las posiciones 1 al 5 y, como se observa en las imágenes, al final ocuparán las posiciones 7 al 11. Posición inicial   Primer movimiento   Segundo movimiento   Tercer movimiento   Cuarto movimiento   Quinto movimiento   Puedes encontrar una solución con cuatro movimientos en la página Puzzles.com aunque uno de los pasos no permite que las monedas se coloquen en una posición exacta ya que debe dejarse un espacio entre las monedas. Felicitaciones a quienes se han entretenido pensando en estos problemas y enhorabuena a los ganadores del concurso: Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo. Terminaremos con otro problema del que no daremos la solución. Si eres capaz de encontrarla, tienes un nuevo juego de magia a tu disposición. Coloca 20 monedas sobre la mesa, de modo que se muestren diez caras y diez cruces. Te vuelves de espaldas y un espectador mezcla las monedas de la mesa, como si fueran fichas de dominó, es decir sin girar ninguna de ellas. A continuación, te vuelves frente a las monedas con los ojos cerrados o vendados y, en pocos momentos y girando únicamente algunas monedas, eres capaz de formar dos grupos de monedas, de modo que el segundo grupo contenga el mismo número de caras y de cruces que el primero. No está permitido palpar las monedas para distinguir si están de cara o de cruz. ¿Sabrías cómo hacerlo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Lunes, 01 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
OuLiPo –Ouvroir de Littérature Potentielle, Taller de Literatura Potencial– se creó en noviembre de 1960 a iniciativa de Raymond Queneau (1903-1976) y François Le Lionnais (1901-1984), secundados por un grupo de escritores, matemáticos y pintores. OuLiPo se ha concentrado desde sus inicios en dos tareas: la invención de nuevas estructuras y retos mediante la combinación de literatura y matemáticas, el examen de obras literarias antiguas con el objetivo de encontrar rastros del uso de estructuras, formas o restricciones. Los miembros de OuLiPo escriben bajo contrainte –constricción, traba–, es decir se imponen restricciones a la hora de redactar, y muchas de ellas son de tipo matemático.i Para este verano, propongo un concurso de redacción oulipiano. Para ello, necesito dar tres definiciones: Definición 1: Una bola de nieve de longitud n es un poema cuyo primer verso está formado por una palabra de una única letra, el segundo de una palabra con dos letras, etc. hasta el n-ésimo que consta de un verso con n letras. Definición 2: Una bola de nieve de longitud n derritiéndose empieza con un verso de n letras, que se ‘va derritiendo’ hasta llegar a una única letra. Definición 3: Un rombo es la concatenación de una bola de nieve y una bola de nieve derritiéndose. Veamos algunos ejemplos: La vida (a) leve es una bola de nieve –musical– de longitud 21 de Mario Lavista: Este rombo de Harry Mathews se titula Liminal Poem para Martin Gardner: La propuesta de concurso para el verano consiste en redactar bolas de nieves de cualquier tipo –normales, derritiéndose debido al calor, o concatenadas formando rombos–, de longitud 10 como mínimo, y con tema matemático: figuras geométricas, personajes matemáticos, teoremas famosos, etc. Tenéis hasta el 31 de agosto para enviar vuestras propuestas a esta dirección. La mejor de las propuestas ¡tendrá su premio! ¡Animaos a participar!   Nota: i En DivulgaMAT –en las secciones de Literatura y de Teatro– hemos dado algunos ejemplos de contraintes oulipianas: Teatro booleano (François Le Lionnais) El árbol teatral (Paul Fournel) La vida instrucciones de uso (Georges Perec) Cercle Vicieux (Etienne Lécroart) Rationnel mon Q. 65 exercices de style (Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc) Mai quai Conti (Michèle Audin) Cómo la Tortuga combatió a Aquiles (Jacques Roubaud) Un grafo... de cuento (Raymond Queneau) La page de tous les désirs (Étienne Lécroart)
Miércoles, 23 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Las matemáticas en la publicidad
Autor:Raúl Ibáñez Torres (Universidad del País Vasco)
A principios de la década de los años 80 se comercializó un juego que se convertiría en un fenómeno social en todo el planeta, el cubo de Rubik. No había hogar en el que no hubiese uno de estos rompecabezas con forma cúbica. Todo el mundo intentaba resolverlo, y se lo iban pasando unos miembros de la familia a otros, o a sus invitados, desordenado en sus piezas, para ver si alguien conseguía volverlo a su posición inicial, con cada cara de un solo color (rojo, azul, blanco, verde, naranja y amarillo). No era fácil de resolver, pero acabó enganchando a toda la familia, a todas las personas que se animaron a empezar a girar sus caras. Con el tiempo, llegaría a convertirse en el juego más vendido del mundo. Solo entre 1980 y 1982 se vendieron 100 millones de cubos, llegando hasta los 350 millones, en enero de 2009. Este año 2014 ha sido el 40 aniversario de su creación. El cubo de Rubik fue inventado en 1974 por el profesor de Arquitectura y Diseño de la Academia de Artes Aplicadas y Diseño de Budapest (Hungría), Ernö Rubik. Su intención fue construir un mecanismo sobre un cubo 3x3x3 que le permitiera mover las partes del mismo sin que el objeto se desmoronara, y poder utilizarlo para ayudar a sus estudiantes a comprender las relaciones espaciales. Sin embargo, no era su intención inventar un nuevo puzzle y como él mismo dice “Igual que después de un agradable paseo y de disfrutar de vistas encantadoras uno decide que es hora de volver a casa, decidí que debía poner de nuevo los cubitos en orden. Y fue en ese momento cuando tuve que hacer frente al Gran Desafío, ¿cuál era el camino a casa?”… y así nació el rompecabezas más famoso del mundo. El mecanismo del cubo de Ernö Rubik es el siguiente, como pudimos comprobar quienes en su momento tuvimos la curiosidad de desmontarlo, o a quienes se nos desarmó mientras lo resolvíamos. La pieza clave es una “cruceta tridimensional”, con tres ejes ortogonales que acaban en seis cuadrados (que son los 6 cubitos centrales de las seis caras del cubo), y que pueden girar, que es el mecanismo que permite el movimiento de las piezas del cubo (el giro de sus caras). Y luego se completa con 20 cubitos más, 8 para los vértices (con tres caras visibles) y 12 para las aristas (el cubito central de las aristas, con dos caras visibles), con un añadido que los engancha al mecanismo central y permite su movilidad. Ernö Rubik patentó su rompecabezas con el nombre de “cubo mágico” (Buvös kocka) en Hungría en 1975, y llegó a las jugueterías de Budapest en 1977. A finales de 1979 llegó a un acuerdo comercial con la compañía Ideal Toy Corp. para comercializarlo a nivel internacional. Así, entre a principios de 1980 se presentó en las principales ferias de juguetes del mundo, ya bajo el nombre de “cubo de Rubik” (se barajaron nombres como “nudo gordiano” o también “oro inca”). El éxito fue tal, que la compañía no podía producir cubos de Rubik a la misma velocidad que la gente los compraba, y proliferaron las imitaciones. Los antecesores del cubo de Rubik. Se suelen citar dos intentos previos a Ernö Rubik de realizar cubos similares. En 1970, Larry Nichols inventó un cubo 2x2x2 que se sostenía por medio de imanes, y lo patentó en EEUU en 1972, mientras que Frank Fox solicitó una patente en UK de su “3x3x3 esférico” en abril de 1970. Pero también he descubierto en la red información sobre un cubo 2x2x2 esférico que William G. Gustafson patentó en USA en 1963. En las siguientes entregas de esta serie de artículos dedicados a la presencia del cubo de Rubik en la publicidad, hablaremos también de matemáticas, en concreto, del número de posiciones posibles del cubo de Rubik, así como del desarrollo de “algoritmos” de resolución del puzzle, pero ahora vayamos al tema central de este artículo, la publicidad. Como es de imaginar, el hecho de que el cubo de Rubik se convirtiera en todo un fenómeno social a nivel internacional, hizo que su imagen fuese utilizada en cualquier campo de nuestra cultura (arte, diseño, arquitectura, cine y TV, música, etc), pero en particular, sería utilizado, y aún lo es hoy en día, en la publicidad. Muchas campañas publicitarias desde los años 80 han hecho uso de este rompecabezas, aunque en este artículo nos centraremos en ejemplos más actuales. Vamos a empezar con tres campañas impactantes en lo visual, puesto que es el cuerpo humano, o parte del mismo, el que se convierte en el cubo de Rubik. La primera es una campaña de televisión de la bebida Drench, que es una marca de agua mineral, con sabores, de la empresa Britvic. El lema de la campaña es “Brains perform best when they're hydrated” (el cerebro funciona mejor cuando está hidratado). Pero sobre todo no os perdáis el anuncio, por ejemplo, en una de estas direcciones… http://www.trendhunter.com/trends/drench-campaign http://www.campaignlive.co.uk/thework/1019928/ El personaje principal del anuncio tiene la cabeza hecha un lío, su cabeza es un cubo de Rubik, y no consigue resolverlo. Pero tras beber de su botella de Drench es capaz de llegar a la solución, y “ordenar” su cabeza. Una cabeza imitando a un cubo de Rubik es también la imagen central del anuncio de la rama australiana de la compañía de impresoras Fuji Xerox, "Smart Work Enabler" (algo así como “la empresa que facilita un trabajo inteligente”). Por último, dos impactantes anuncios, algo macabros y góticos, de la excelente agencia de publicidad BBDO (Chile) para anunciar, en el año 2007, la Playstation 2. En el primero, es de nuevo la cabeza la que simula un cubo de Rubik, mientras que en el segundo es todo el cuerpo. La empesa Sony volvió a hacer uso del cubo de Rubik para anunciar la Playstation 3, pero esta vez un anuncio de televisión más minimalista y con cierto toque de color. Es una especie de duelo entre el cubo de Rubik y la Playstation 3, que podeis ver aquí… Pincha en la imagen para ver el video Y la misma idea en este cartel … En el artículo de febrero de 2014 “Words by numbers / Palabras numéricas” vimos unos sencillos, pero efectivos, anuncios de la agencia publicitaria Ogilvy para la revista semanal británica The Economist (cuya información, recuerdo, que está centrada en la política, las noticias internacionales y la economía). En el año 2004, Ogilvy utilizó el cubo de Rubik para un anuncio de The Economist. Con el fondo rojo, que es la seña de identidad de la revista (en referencia a su logotipo), y con el puzzle desordenado en medio del cartel. Pueden verse los colores normales del cubo de Rubik, blanco, rojo, azul, naranja, verde y amarillo, aunque en los cubitos rojos se ve que formarían el logotipo de The Economist si se resolviese el puzzle. Curiosamente, la actual empresa publicitaria con la que trabaja The Economist, que es BBDO (USA), ha vuelto a utilizar en 2013 el cubo de Rubik en un anuncio para publicitar la revista. El lema de la campaña, como vemos en el cartel de la siguiente imagen, dice “Get a World view: Read” (échale un vistazo al mundo: lee). Ahora las caras del cubo de Rubik representan la imagen de nuestro planeta y el puzzle está resuelto. Es decir, la imagen sería una metáfora que viene a decirnos que la revista The Economist “resuelve el puzzle del mundo, y nos lo muestra ordenado para que podamos entenderlo mejor”. El cubo de Rubik es un juego, y por lo tanto, una fuente de diversión para cualquier  persona. El siguiente anuncio mezcla las ideas de diversión y dificultad encerradas en el cubo mágico. Es un cartel publicitario de la empresa surcoreana fabricante de automóviles KIA, para anunciar su modelo KIA Picanto. El lema es “Complex Engineering, Made Fun” (Ingeniería compleja, hecha divertida). La dificultad del juego es una de las ideas que más se utilizan en la publicidad. Veamos algunos ejemplos. En 2011 se realizó un referendum en Gran Bretaña para ver si los ciudadanos querían cambiar el sistema de votaciones a otro alternativo (AV = Alternative Voting system). Los partidarios del “NO” (es decir, de no cambiar el sistema de votación de Gran Bretaña) utilizaron el cubo de Rubik, y la dificultad del mismo, en su campaña publicitaria para que ganase su propuesta. El cartel era el siguiente… Como vemos el lema decía “votar no debería ser así de complicado”, es decir, tan complicado como el rompecabezas tridimensional, y luego “Mantened una persona un voto”. Aunque no tiene nada que ver con el artículo, me ha parecido interesante traeros aquí un cartel de quienes eran partidarios del “SI”. Pero volviendo a la idea de dificultad del cubo de Rubik, algunas empresas han utilizado este rompecabezas para contraponer la dificultad del producto de las empresas competidoras, con la sencillez de su producto. Por ejemplo, la compañía de seguros IF lo utiliza en el siguiente anuncio. El cubo de Rubik original desordenado está en la parte de “una compañía de seguros cualquiera”, mientras que en la parte de “la compañía de seguros IF” el cubo es todo de un único color, es un puzzle trivial y no hay nada que resolver de hecho. La imagen de un cubo de un solo color, un puzzle trivial, como idea de sencillez extrema, se utiliza también para anunciar el GPS Routon. Por el contrario, la empresa Electrolux utiliza la dificultad del cubo de Rubik, como algo pisitivo, en su publicidad del sistema de seguridad para niños de sus electrodomésticos (lavadoras, neveras, etc). El anuncio transmite la idea de que para los niños y niñas es tan difícil de abrir el sistema de seguridad como difícil es resolver el cubo de Rubik. Y para terminar este primer artículo de la serie dedicada al cubo de Rubik en la publicidad, un anuncio de la empresa de restaurantes de comida rápida (principalmente hamburguesas) McDonald’s. El lema dice así “We can solve your hanger as easy as that” (podemos resolver tu hambre tan fácil como esto). Y resolver fácil el cubo de Rubik es “Paso 1: rotar las caras; Paso 2: acabado”. Espero que hayáis disfrutado de estos anuncios publicitarios. En la siguiente entrega hablaremos un poco más del cubo de Rubik y de la publicidad que hizo uso de este puzzle.
Lunes, 21 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Teatro y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea)
Gracias al blog Images des Mathématiques, me he enterado del próximo estreno en EE.UU. del musical  Galois, basado en la vida del matemático francés. Évariste Galois es el héroe de esta comedia rock que se presentará del 23 al 26 de julio de 2014 en el marco del Ice Factory Festival 2014 por el grupo de teatro Second Generation. Second Generation Productions presenta la obra del siguiente modo: Galois is a rock-mathematical-musical expression of the chaotic, revolutionary, and brief life of the historical figure, Evariste Galois. Galois was a French mathematician whose breakthrough advancements in the field of polynomial equations and group theory went firmly against the popularly accepted knowledge of his day. He discovered a branch of mathematics as a precocious teenager, yet died too young at 21 in a duel over a woman. Galois gives voice to the contradictory passions of this math rock star: he was a genius of abstraction, but also a fervent revolutionary; he was brilliantly cerebral, yet madly in love; he was a gifted prodigy, yet unappreciated by the establishment. Galois es una expresión rock-matemático-musical de la vida caótica, revolucionaria y breve de la figura histórica de Évariste Galois. Galois fue un matemático francés cuyos avances en el campo de las ecuaciones polinómicas y la teoría de grupos se enfrentó a los conocimientos aceptados en su época. Adolescente precoz, descubrió una rama de las matemáticas, y además murió muy joven a los 21 años, en un duelo por causa de una mujer. Galois da voz a las pasiones contradictorias de esta estrella del rock matemático: fue un genio de la abstracción, pero también un ferviente  revolucionario; era intensamente cerebral, pero también estuvo locamente enamorado; fue un talento prodigioso, aunque poco apreciado por el sistema. ¡Una pena no poder asistir al estreno! Esperaremos –si es posible– alguna grabación; pero si estás en Nueva York la próxima semana, a lo mejor te apetece ir a ver el musical Galois. http://vimeo.com/99279600
Viernes, 18 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Si has logrado ganar varias apuestas con el juego descrito en la entrega anterior, estarás deseando conocer algún otro truco similar. Por cierto, ¿conseguiste resolver el problema planteado al principio? ¿Lograste descubrir que bastaba coger el tercer vaso de la izquierda, verter su contenido en el último vaso de la derecha y volver a dejar el vaso en su lugar? Si no lo has resuelto, sigue pensando. En esta ocasión vamos a plantear problemas similares que podrás realizar en este tipo de situaciones. Pero ahora utilizaremos monedas y aprenderemos algunos juegos, posiblemente conocidos por la mayoría. Además, aprovechando esta época vacacional, no vamos a dar la solución de los problemas y así convocar un nuevo CONCURSO DE VERANO: si logras resolver alguno de estos problemas, envíanos tu solución. Como de costumbre, el portal DIVULGAMAT regalará un libro de divulgación matemática a las mejores/más completas/más originales soluciones recibidas. El primero de los problemas es clásico (en esta otra sección de Divulgamat podrás encontrar diferentes versiones y variantes): PROBLEMA 1 - Coloca seis monedas iguales formando un paralelogramo, como en la figura. P1: Posición inicial El objetivo es conseguir que las seis monedas formen una circunferencia. Para ello, los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. ¿Podrás hacerlo con sólo tres movimientos? P1: Posición final El segundo problema es similar pero mucho menos conocido y mucho más difícil. Consiste en lo siguiente: PROBLEMA 2 - Coloca cuatro monedas en una distribución con forma de rombo, como en la figura. P2: Posición inicial El objetivo es colocar las cuatro monedas en una fila, pero obedeciendo las siguientes reglas: En cada movimiento se puede deslizar (sólo deslizar, no levantar) sobre la mesa una sola moneda. Al finalizar cada movimiento, la moneda deslizada debe tocar otras dos monedas. P2: Posición final El tercer problema con monedas creo que también te tendrá ocupado un buen rato: PROBLEMA 3 - Coloca tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados, como se muestra en la figura. P3: Posición inicial El objetivo es dejar las monedas en una fila quedando las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. P3: Posición final Hay una gran variedad de problemas similares. Si tienes interés en el tema, puedes encontrar algunos ejemplos más en la página UniPuzzle y algunas consideraciones teóricas en el artículo Recreational Computing de Erik Demaine publicado en el número 98 (año 2010) de la revista American Scientist. Hasta ahora, los juegos mostrados requieren solamente un poco de ingenio y algo de paciencia. Añadiremos a continuación un ingrediente mágico porque lo que voy a conseguir será a distancia. Coloca tres monedas en una fila sobre la mesa, con la combinación de caras o cruces que prefieras. Con tanta diversidad de monedas que tenemos en la actualidad, para ponernos de acuerdo, digamos que las cruces son las que muestran el valor de la moneda. Tienes por tanto ocho posibles elecciones, una de las cuales es la mostrada aquí. Te aseguro que, en un máximo de tres movimientos, voy a conseguir que todas las monedas estén de cara o todas de cruz. ¿Estás listo? Empezamos: Voltea la moneda de la izquierda. Si ya están todas las monedas de cara o todas de cruz, hemos acabado. Si no, sigue leyendo. Voltea la moneda del centro. Ahora, es posible que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. ¿Aún no? Entonces falta un paso más. Voltea la moneda de la izquierda. ¡Ya está! Las tres monedas muestran la misma imagen: hay tres caras o tres cruces. El juego anterior fue inventado por Martin Gardner y Karl Fulves, personajes que ya debes conocer si eres asiduo visitante a este rincón. Probablemente ellos no imaginaban que la explicación del juego tiene relación con los llamados códigos de Gray, utilizados para corregir errores en la transmisión de señales digitales. Todas las configuraciones posibles, ¿ya sabes que son ocho?, se pueden disponer en los vértices de un cubo de modo que dos vértices adyacentes se diferencian en sólo uno de los valores -C=cara, X=cruz-. Desde cualquier posición se puede llegar, recorriendo vértices adyacentes, a uno de los objetivos -CCC ó XXX- en un máximo de tres pasos. Se puede demostrar que, con n monedas, el número máximo de pasos necesarios para que todas estén de cara o todas de cruz es 2n-1 - 1. Código de Gray con tres monedas Una versión más elaborada del juego anterior fue propuesta por Martin Gardner en el capítulo 11 del libro "Fractal Music, hypercards and more" (1992), bajo el título "The rotating table". Coloca cuatro monedas formando un círculo con la disposición de caras y cruces que prefieras. Un ejemplo es el mostrado en la figura: A continuación te daré una serie de instrucciones para conseguir, en un máximo de siete pasos, que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. Entre cada una de estas instrucciones, podrás girar libremente el círculo de monedas: 90º, 180º ó 270º. Puedes también no girar las monedas entre alguno de los pasos. El proceso terminará cuando todas las monedas están bien colocadas, y eso ocurrirá seguro, hagas lo que hagas entre cada una de estas instrucciones. Gira las monedas superior e inferior. Gira las monedas superior y derecha. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira la moneda inferior. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira las monedas inferior y derecha. Gira las monedas superior e inferior. Sorprendente, ¿verdad? Puedes consultar más detalles de este juego en el artículo de Erik Demaine citado anteriormente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Miércoles, 02 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Desde esta sección os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas. A los fieles seguidores de estas reseñas no hay mucho que explicarles sobre la mecánica de este concurso; para los que se atreven por primera vez, se trata de responder a una serie de preguntas, unas sobre cine, otras resolviendo unos problemas que se plantean, bien porque aparecen en las películas a adivinar, o bien porque se han colado en la descripción o los diálogos de la o las películas que también hay que descubrir. Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador. El plazo de recepción de soluciones finaliza el 31 de Agosto, por lo que hay tiempo suficiente para reflexionar, buscar, indagar,..., y si es posible, divertirse, que es el fin esencial de la propuesta, pensando un poquito. Intentaremos plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. El verano pasado tuvo como protagonista a un actor, y varias películas de su filmografía. Por los comentarios de los participantes (que os agradecemos de antemano, en el sentido que sea, siempre que esté mínimamente razonado) llegamos a la conclusión de que tiene más aceptación centrar las cuestiones en averiguar únicamente una o dos películas, por lo que en esta ocasión, eso haremos. CONCURSO El caso es que como a uno se le van agotando las ideas, he pedido la colaboración de un compañero que amablemente ha aceptado echarme una mano. Hemos descrito por ello las cuestiones en forma de diálogo (A soy yo, B mi compañero). Entremedias del texto colocaremos las cuestiones, en rojo las relacionadas con las matemáticas, en azul las de cine. Más abajo se explicita la pregunta, cuando se considera necesario, un poco más. Las cuestiones relativas al cine, en algún caso, no se podrán resolver hasta no descubrir pistas posteriores. A: Ya conoces la mecánica del concurso. Para empezar, antes de nada, había pensado proponer alguna cuestión en la que 2014 tuviera alguna presencia. B: Sí, es lo que suele hacer en la mayor parte de concursos matemáticos típicos. A: Ya, ya sé que es poco original, pero es lo que hay. ¿Qué te parece determinar, de forma razonada, un conjunto de números enteros positivos cuya suma sea 2014, y de modo que el producto de todos esos números sea el mayor posible? (M – 1). B: Ten en cuenta que el concurso va dirigido a un público general, y eso significa que deberían poder resolverlo alumnos de Secundaria, más aún, personas con un nivel matemático básico. Y eso que propones suena a problema de optimización con una condición de ligadura, que no es precisamente matemática elemental. A: Tú no lo has corregido otros años. El nivel de los participantes es alto e Internet está al alcance de todos (aunque no entiendan lo que copian). Por eso procuro proponer cuestiones no localizables a las primeras de cambio. Además hay todo un verano para pensar. Y respecto al ejercicio propuesto, se puede hacer sin echar mano de ningún método sofisticado, aunque cada uno lo puede hacer como quiera. B: Vale, yo sólo te advierto que no te pases mucho. Si lo que pretendes es una cuestión de teoría de números en la que aparezca 2014, yo propondría una más clásica y más asequible. Por ejemplo, calcular el valor de S = 12 – 22 + 32 – 42 +............+ 20132 – 20142 (M – 2) A: ¡Qué valor más feo! B: ¿Cómo que es feo? ¡Pero si es producto de cinco números primos!  (M – 3) A: No, si no lo digo por eso. A mi me gusta más el valor de (M – 4) B: Ya, pero no me negarás que la primera tiene más que ver con la película que has propuesto (C – 1). A: ¿Qué pasa, que tampoco te gusta? B: Hombre, para ti o para mi, no es demasiado complicada, porque nos gusta el cine, en particular este tipo de cine, pero reconoce que no es que sea súper conocida. Y desde luego la gente joven no habrá oído hablar ni de los actores protagonistas. A: También se trata de eso, de recordar títulos quizá olvidados, pero que indudablemente tienen más interés que muchas de las recientes producciones. ¿Recuerdas aquella frase atribuida a Newton  que hablaba de hombros de gigantes? Pues en el cine, también tenemos maestros gracias a los que hemos avanzado. B: No me vale la comparación, porque si en matemáticas o en ciencia siempre se avanza, en el cine, la verdad es que no siempre ha ocurrido eso. De hecho, en la actualidad, la cosa no está para tirar cohetes. A: Eso es cierto. Pero no me negarás que esta película tiene su interés... B: Relativamente, aunque algunos digan que es la mejor interpretación de su protagonista femenina. A: Quizá eso sea exagerado. Desde luego no está entre las que mayor fama le dieron. En fin, entremos en materia. Es un poco atípico el rol del protagonista masculino. Normalmente, en el noventa por ciento de las películas, su comportamiento se ha utilizado para definir un determinado tipo de mujer (C – 2).Y además declara que le gustan las matemáticas, y cada vez que puede las trae a colación. Observa este diálogo: Él: ¿Por qué cuando un hombre se interesa por su trabajo, por un libro, o algo, la mujer tiene que empezar a hacer cosas de mujer? Ella: Porque no quiere que se pierda más que en ella. Él: Cariño, en Matemáticas uno nunca, nunca se pierde. En la vida, muy a menudo; en el amor, siempre. Pero en Matemáticas, dos más dos siempre son cuatro, y eso es maravilloso. Deja que te enseñe esto. ¿Lo ves? Ella (ambos miran a la mesa; ella asiente): Sólo es una curva. Él: Pues sí. Es una parábola. De algo así sí que podría enamorarse un matemático. Llevo trabajando en ello más de cuatro años. Empecé cuando estaba en el ejército, en África..... (C – 3) B: Podría ponerse una imagen de esa escena como pista. A: Es que se ven los actores, y una vez reconocidos, con internet sería demasiado fácil averiguar el título de la película. Bueno, haremos un corte. ¿Qué te parece? B: No es demasiado clarificador, pero menos da una piedra. B: Así que el protagonista es matemático.... A: No exactamente. Le gustan las matemáticas, y las maneja, pero no es matemático (C – 4). B: Da la impresión de que se quiere deshacer de ella... A: En efecto, la misma escena continúa así: Él: No te gustaría formar parte de mi vida. No. No hay nada en ella, salvo algunas ecuaciones matemáticas, y muchos signos de interrogación. Cariño, creo sinceramente que no conviene que nos veamos durante algún tiempo. A: De ahí sigue luego una lógica bronca. B: Un hombre dedicado a su trabajo. A: ¡Que va! En cuanto puede le tira los tejos a otras, más jóvenes, claro. Lo típico de estos sujetos. B: Entonces hay un triángulo... A: Bueno en realidad hay más de uno. Bastantes diría yo. Los descubrimos a medida que progresa la trama.... B: Eso sugiere una cuestión. Determinar todos los triángulos que aparecen en la película.... (C – 5). A: A mi lo que me sugiere es determinar todos los triángulos de lados y superficie enteros de modo que esos cuatro valores formen una progresión aritmética (M – 5). B: Esos triángulos tienen un nombre particular, ¿no? A: Que yo sepa no. Lo de la progresión aritmética.... B: No, no. Me refiero a los triángulos con lados y área enteros (M – 6). A: ¡Ah, esos sí! En efecto, y hay aún problemas no resueltos relativos a ese tipo de triángulos. (M – 7). B: De todos modos, no habrá demasiados triángulos de esos... A: Pues creo que hay infinitos, pero eso no se puede preguntar. Es difícil justificar. Pidamos un caso particular. B: Vale, pero que no sea isósceles (M – 8). A: ¿Y eso por qué? B: Tú ponlo así, que yo sé porqué lo digo. A: Vale. En todo caso, no me negarás que el inicio de la película es estupendo: toda una estrella de la época, vagando como ánima en pena por calles reconocibles (la ciudad en este tipo de películas es casi un personaje más, alienante, fría, opresiva), sin maquillaje alguno (algo que pocas veces permitió la actriz protagonista), apenas acertando a pronunciar el nombre de una persona, muy vulnerable, cuando era una actriz de carácter, siempre dura e insolente. El público al ver ese inicio quedó un tanto descolocado. B: Es verdad. Tiene una estética muy expresionista,..., pero a lo largo de la película la protagonista también tiene sus momentos típicos en los que aflora su carácter. A: Pero en muy pocas escenas para lo que suele ser habitual. Pero claro a su personaje le pasa un poco como a ti y a mi. Esta película se enmarca en la época en la que en Hollywood se pusieron de moda las teorías de un famoso neurólogo. Varias películas, entre ellas ésta, se basaron en ellas (C – 6). B: Son un poco tramposas, porque suelen empezar contando una historia desde un punto de vista totalmente subjetivo, y lían al espectador, porque finalmente la realidad es bien distinta. A: Personas normales en apariencia, sometidas a circunstancias extraordinarias (C – 7). B: Al menos en esta ocasión las pruebas médicas a la que someten a la paciente no son demasiado exóticas como en otras películas. A: ¿A que te refieres? B: A veces a este tipo de patologías les hacen tests basados en imágenes llenas de manchas y borratajos, y determinan desviaciones en base a lo que los sujetos aprecian en esas imágenes. A: Si, a veces las interpretaciones son muy rebuscadas... Es cómo si les pasaran un dibujo como éste y dedujeran que el paciente es esquizofrénico porque diga que el triángulo ABC es rectángulo. (M – 9). B: O que el área sombreada de los cuadrados es la mitad de la del triángulo ABC. (M – 10). A: Pues no te digo nada si dijera alguno que ve el teorema de Pitágoras. B: Sí, no habría duda. El dictamen, como en esta película, sería, “no distingue lo real de lo que no lo es”. A: O sea que sería capaz de visualizar las cuatro raíces de z4 + 1 = 0 (M – 11 ). B: Y sus logaritmos. Pero su mente seguro que se descolocaría al observar la disposición gráfica de éstos frente a los valores de partida (M – 12). A: Sí, sería demasiado para ella, ya que a veces veía lo que le gustaría que pasara, aunque en realidad no sucediera. Y se echaba la culpa de una muerte en la que no tuvo nada que ver, pero no afrontaba aquella que en realidad si cometió. B: Los médicos la diagnostican de todo a la pobre: sugestibilidad, neurastenia, esquizofrenia, manía persecutoria, hasta lo que tenemos tú y yo.... A: Perdona pero yo no tengo nada extraño, salvo tener que escribir periódicamente estas reseñas. B: Entonces, ¿que hago yo aquí? ¿No me dirás que mi papel no es similar al de la película de este jeroglífico? (C – 8). A (murmurando): ¡Esto me pasa por pedirle a alguien que me ayude a algo que puedo hacer solo perfectamente! En fin,..... B: ¿Decías? A: No, nada. Que tenemos que ir acabando. B: Yo creo que no van a acertar la película ni por casualidad. Hay que dar más pistas. A: No estés tan seguro. Esta misma mañana he visto una publicación en internet de un amigo que sin haber publicado aún esta reseña, ya la ha adivinado. B: ¿Qué me dices? ¿No creerás ahora en magufadas de percepciones extrasensoriales y cosas así? A: Yo sólo sé que alguien del Sur, de una maravillosa ciudad, ya la ha descubierto. Ya sé que es casualidad, pero ya ves, es una casualidad muy difícil de darse, y se ha dado. B: ¡Vade retro! A: Sí, ese al que tratas de espantar también es mencionado de algún modo en la película. Y el propio título sugiere su presencia. B: ¿El título de la película de la que hablamos? A: Sí, el título original. El título en castellano es, bajo mi punto de vista, poco afortunado. Por cierto, por ahí he leído que la protagonista es la única actriz que ha interpretado dos películas con el mismo título, de argumentos completamente diferentes. Y ésta es una de ellas. B: O sea que la aplicación “títulos de películas” no es inyectiva. A: No te sigo. B: Que a películas diferentes le corresponden títulos idénticos. A: Ah, pues sí. ¿Ocurrirá también con los títulos en castellano? (C – 9). Pero, ¿estás seguro que es una aplicación, y no una simple correspondencia? (C – 10) B: Yo daría alguna pista más,.... A: Pues no sé que más quieres que te cuente. Que hay dos muertes reales y alguna deseada, que dos mujeres tiene por esposo a la misma persona, que dos mujeres quieren casarse con el mismo hombre aunque éste pasa del matrimonio, que una de ellas está enamorada de uno de los dos hombres no doctores que hay en la película pero finalmente contrae matrimonio con el otro, que una de las mujeres es hija de uno de los hombres y de una de las mujeres,..., ya casi, blanco y en botella. B: Pon alguna foto más. A: Vale. A la derecha un armario estantería del nidito de amor de dos de los protagonistas (M – 13). Ahora fíjate en el número que aparece en la puerta del pabellón donde ingresan a la protagonista. Acaba en 5. B: Ya. ¿Y qué? A: ¿Sabrías decirme rápidamente el cuadrado del número que aparece? Hay una manera sencilla de obtener el cuadrado de cualquier número que acabe en 5. B: ¿Quieres decir sin hacer la multiplicación? Ese modo es suficientemente sencillo, ¿no? A: Me refiero a una regla que funciona siempre. B: No, no la conozco. ¿Y no hay que multiplicar nada? A: Bueno si, una multiplicación si que hay que hacer. B: Entonces ¿para que sirve? En vez de hacer una multiplicación hago la original y acabo antes. A: Es que la multiplicación que hay que hacer es mucho más sencilla. Ahora bien, me pregunto si ese truco funciona siempre (M – 14). B: Las imágenes son demasiado generales. A: Suele aclarar bastante conocer el año de producción de la película, pero no me gusta darlo sin más. B: Quizá con una cuestión, podrían encontrarlo. A: Sí, supongo que es lo mejor. Tiene el mismo número de factores primos que el año presente. B: ¿Y? A: Pues eso. ¿Te parece poca información? B: Pues sí. A: Eso es porque no has echado cuentas. Hazlas y luego me dices (M – 15). B: “Te quiero es una forma tan poco adecuada de decir te quiero”. A: ¿Qué? B: Nada, es sólo por dar una frase exacta de la película. A: Yo creo que ya está facilísimo. Pero bueno, una más. En una de las múltiples pruebas a la que someten a la protagonista, utilizan el aparato que se ve en la imagen. Esto me sugiere que en verano, en Canadá (C - 11), 28º C y 82º F son casi la misma temperatura (date cuenta de que 28 y 82 tiene sus cifras intercambiadas). ¿Para qué valores enteros de M y N se cumple que Mº C = Nº F, teniendo además M y N sus cifras cambiadas de orden? (M – 16). B: Yo creo que te estás pasando un poco.... A: ¿No querías más pistas? Y tras mirar lo que marca el mercurio, el médico dice 14, 9. ¿Cómo es posible si la escala está en centenas? B: ¿Y la versión original? A: Ahí si tiene más sentido. Dicen “142 over 90” (C - 12). B: ¿Cuántas cuestiones más tienes que poner? A: Las que quiera. Con un poco de imaginación, se pueden preguntar cuestiones de cada escena. Pero en la película, las matemáticas son aludidas más veces (C - 13). Por ejemplo cuando una de las protagonistas se declara al mismo hombre por segunda vez. B: El tipo es un experto en dar negativas. ¿De verdad que no es matemático? A: No, lo que es, es un jeta. Pero con esta chica recibió un buen puntapié la primera vez que le dijo que no. B: Bueno es que la chica tenía entonces 11 años. A: En ese momento él la doblaba la edad más cuatro años. Pero cinco años antes de esta segunda declaración, la edad de él era ya sólo el doble de la de ella. ¿Cuántos años tiene entonces en el momento de esta segunda declaración? B (pensativo): ¡Pero aquí falta un dato! A: ¿Qué esperas que te diga? ¿Qué la chica toca el piano? (C - 14). Pues no, el que toca el piano es él Bueno en la peli dice que “le hace el amor al piano”.  Pero sí, falta un dato: la suma de las edades de él y ella es un número de dos dígitos cuya suma, en binario, es la unidad. (M – 17). B: ¡Y yo que creía que era yo el rebuscado! ¿No te parece que van ya demasiadas cuestiones? A: Somos tal para cual. Tengo que asegurarme que una vez descubierta, los concursantes ven y disfrutan de la película. B: Pues me parece que si pudieran, lo que harían sería utilizar contigo el objeto que emplea la protagonista. A: Pues les ocurriría lo que a ella. Además en ese caso, tú tampoco te irías de rositas (C - 15). B: Ya casi se ha tocado todo el currículo de varias asignaturas. Déjalo ya. A: No, falta algo de probabilidad. Pero eso es sencillo. En una de las escenas clave de la película, el protagonista masculino, para ganar tiempo empieza a hablar. Y cuenta de todo. Entre las cosas que dice está: “Las probabilidades de que alcances son escasas, similares a encontrar al azar un factor de 60 que sea menor que 7, tu número favorito. No creo que tengas tan buena puntería”. B: Anda que se quedó calvo el amigo. Eso lo podría asegurara hasta un niño de Primaria (M – 18). A: Estaba nervioso. La situación no era sencilla. Y perdió. Bueno, yo creo que ya es más que suficiente. El que no averigüe de qué película se trata es que no se lo ha tomado muy en serio.... (C – 16). B: Lo veremos el 1 de Septiembre, ¿no? A: Sí, porque el plazo para enviar las respuestas, es como siempre, hasta las 00:00 del 1 de Septiembre, o si lo prefieres las 23:59 del domingo 31 de agosto de 2014. B: ¿Dónde lo tiene que enviar? A: A la dirección alfonso@mat.uva.es, como siempre, indicando en el asunto Verano 2014. Cuestiones M – 1.- Expresar 2014 como suma de enteros positivos tal y como indica el enunciado. ¿Cuál es el valor de ese producto máximo (no hace falta obviamente dar las tropecientas cifras, basta con una expresión que lo defina)? M – 2.- ¿Cuánto vale S? M – 3.- ¿Cuál es el producto de primos mencionado? M – 4.- Encontrar un valor aproximado para S2 (ocho decimales, por ejemplo), e indicar cómo calcularlo (no vale, meterlo en el ordenador y que él dé el valor; hay que indicar un procedimiento de cálculo). M – 5.- Resolver la cuestión propuesta. M – 6.- ¿Que nombre reciben esos triángulos? ¿Por qué? M – 7.- Indicar alguna cuestión aún no resuelta sobre este tipo de triángulos. M – 8.- Dar dos triángulos distintos, no isósceles, de lados y área números enteros que además tengan el mismo perímetro y el mismo área. M – 9.- ¿Es el triángulo ABC rectángulo? Está construido uniendo los vértices de los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades. Dar una demostración razonada (no vale aproximar los ángulos con software geométrico). M – 10.- ¿Es cierto eso? Justificar dando los valores en modo exacto. M – 11.- Encontrar y representar gráficamente las soluciones de la citada ecuación. ¿Qué figura forman? M – 12.- Dar los valores de los citados logaritmos, representarlos gráficamente y aclarar el comentario que se hace. M – 13.- Si todas las molduras son arcos de circunferencia, calcular la superficie de cristal ocupada por el único trozo limitado a la vez por tres de esos arcos. Suponer que el arco superior mide π unidades. M – 14.- ¿Cuál es el truco? Justificar si es válido para números de cualquier tamaño o no. M – 15.- ¿De qué año es la película? M – 16.- Resolver la cuestión planteada. M – 17.- ¿Cuáles son las edades de los personajes cuando la chica se declara? Con justificación, no vale dar simplemente las edades que se dan en la película. M – 18.- ¿Por qué afirma eso B? C – 1.- ¿Porqué no le agrada a A el valor de S? ¿Qué relación tiene S con la película? C – 2.- ¿A qué tipo de mujer, abundante en el cine, se refiere? C – 3.- ¿En que asunto lleva trabajando cuatro años, algo que “en el Ejército no servía, pero que otras personas darían su brazo derecho” por ello, según palabras textuales del protagonista? C – 4.- ¿Qué profesión tiene el protagonista masculino? C – 5.- Determinar todos los triángulos (de personas) que aparecen en la película. C – 6.- ¿A que teorías se refiere el diálogo? Citar al menos dos películas, distintas a ésta, basadas en esta temática o que las utilicen en el argumento. C – 7.- En el texto se han ido citando algunas características comunes a un determinado género cinematográfico. ¿De que género se trata? Indicar alguna característica más no descrita y algunos de los directores más representativos del género. C – 8.- ¿A qué película se refiere el jeroglífico? C – 9.- Dar algún ejemplo de películas diferentes (no remakes; de argumentos que no tengan nada que ver entre sí) con el mismo título en castellano. C – 10.- ¿Es o no es una aplicación? Demostrarlo razonadamente. C – 11.- ¿Tiene este país alguna incidencia en el comportamiento de la protagonista? C - 12.- Explicar qué sucede. C – 13.- Indicar algún momento más en que se citen las matemáticas o alguna cuestión relacionada con las matemáticas de la que podría proponerse algún ejercicio, que no se hayan dicho. C – 14.- ¿A que viene ese comentario? C – 15.- ¿A qué se refiere esta afirmación? C – 16.- ¿Cuál es el título de la película enigma del Concurso? Baremo: Todas las cuestiones matemáticas (las de color rojo) se valorarán con 10 puntos. Las de color azul (más cinematográficas), con 5 puntos. Y como casos particulares, las cuestiones numeradas como M – 1, M – 4, M – 9 y M – 16, valen 20 puntos, que para eso son cuadrados perfectos. O sea que hay en juego 300 puntos, número redondo también. Y como en ediciones pasadas, si de paso dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc., acerca de la sección, a lo mejor hasta os damos puntos extra. Y si no salen algunas cosas, no pasa nada. Lo importante es divertirse, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas  un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera, que insisto, no lo espero. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!
Jueves, 19 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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