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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Vicente Liem
1. Introducción 2. Afinaciones y Temperamentos 3. Conceptos básicos 4. Sistemas de afinación 4.1. Afinación pitagórica 4.2. Justa entonación 4.3. Temperamentos cíclicos regulares 5. Bibliografía 1. Introducción Para estudiar un sonido hay, al menos, tres cualidades que debemos tener en cuenta: La intensidad que es la medida de lo fuertes o débiles que son los sonidos. Por extraño que parezca es difícilmente apreciable por el oído si no están en el mismo tono. El tono determina la altura de un sonido, es decir lo grave o agudo que es. El timbre es la cualidad que nos permite distinguir sonidos idénticos emitidos por instrumentos distintos. En esta sección, como vamos a estudiar la afinación, sólo estamos interesados en el tono, y por tanto vamos a identificar cada sonido con la frecuencia que nos da el tono. Los archivos sonoros, salvo que se advierta de lo contrario, están generados con el programa MATHEMATICA® Como muestra intuitiva de la importancia que tiene en la música la “forma de afinar”, a continuación analizamos dos fragmentos en los que se puede observar y escuchar dos tipos de música de estilos muy diferentes. Sin embargo, obviando las grandes diferencias técnicas (la primera es una grabación del año 2002 hecha en Estambul y la segunda una grabación del año 1929 extraída de un disco de pizarra), ambos fragmentos comparten muchas características fundamentales. La primera es obra de un compositor contemporáneo turco y la segunda de una interpretación de de “cançò d’estil” de Paterna -Valencia. En ellas, aunque se desconozca su origen, y con independencia de la cultura musical de cada uno, cualquiera puede apreciar que se trata de música popular. Las razones que nos permiten situarlas dentro de la música folclórica son, básicamente las siguientes: 1. Los ritmos, tipo instrumentación, etc. no son los de la música sinfónica 2. Aparecen notas diferentes a las que se escuchan en otros tipos de música En estos momentos, a nosotros nos interesa especialmente el segundo aspecto: Se utilizan muchas más notas que en la música occidental sinfónica. ¿Significa esto que hemos escuchado notas que están desafinadas?. Sin duda, la respuesta es no. Lo que ocurre es que no están afinadas en el sistema temperado al que está habituado nuestro oído. Analicemos más detenidamente los dos primeros compases del primer pentagrama: 2. Afinaciones y Temperamentos Si los interpretamos en el sistema temperado de 12 notas (el más extendido en la música occidental actual) y en el sistema de afinación pitagórico comprobamos que hay diferencias claramente perceptibles: Escuchemos, por ejemplo, la cuarta nota (Si b) en cada uno de los sistemas y luego juntas para apreciar la diferencia El objetivo de esta sección es entender situaciones como ésta e intentar responder con argumentos matemáticos a preguntas como las siguientes: ¿Qué es afinar? ¿Ha sido siempre así? ¿Por qué en la música occidental se utilizan 7 o 12 notas por octava y no otras cantidades? ¿Se puede afinar una orquesta sinfónica? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la afinación? El esquema que seguiremos será el siguiente: A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se siguen utilizando alrededor de media docena. La razón por la que trataremos estas cuatro formas de afinar es que éstas son las cuatro afinaciones que conviven en la orquesta clásica actual. 3. Conceptos básicos Una afinación o un sistema de afinación es el conjunto de los sonidos que utiliza la Música. En el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos, R+ tenemos que elegir aquellos que sirven para hacer música y descartar el resto. Los sonidos admitidos por el sistema de afinación se denominarán sonidos afinados o notas musicales. Según sea la naturaleza de los números elegidos se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los temperamentos. En las primeras todos los números son racionales mientras que en los temperamentos algunos (o todos) son irracionales. Ahora bien, a pesar de que esta clasificación cada día se usa más en los tratados de música lo cierto es que tanto histórica como conceptualmente los temperamentos han surgido como aproximaciones a las afinaciones sin que, normalmente, se tuviese en cuenta el tipo de números utilizados. Una vez introducido, aunque sea grosso modo, el concepto de afinación, cabe preguntarse si éste puede ser todavía un tema de interés para alguien que no se dedique al estudio de la Historia. La aparición esporádica de artículos en revistas de física o matemáticas tratando temas de música podrían dar una contestación a esta pregunta. Sin embargo, las necesidades de músicos y musicólogos proporcionan un respuesta mucho más convincente. Éstos han establecido dos campos de actuación: • la búsqueda de nuevas afinaciones que aumenten las posibilidades en la creación musical • la recuperación de la fidelidad a partituras antiguas. En este último sentido, M. Bernal asegura que "uno de los principales problemas que se presentan en la praxis de la música antigua para tecla es el de la elección del temperamento adecuado" Revista de Musicología, 22 (1999) Entendiendo por adecuado aquel temperamento para el que fue concebida. De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach, resulta imprecisa. Como aclara J. J. Goldáraz buen temperamento no designa una única forma de afinar y continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de afinación de 12 notas por octava o se tratataba de otro temperamento de los que en la época se utilizaban en Alemania. La octava En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Un sonido de frecuencia f1 se dice que es una octava más grave que otro f2 si f2 = 2·f1. Hasta tal punto es intuitiva esta idea, que se usa de forma natural aunque no se tenga formación musical. Piénsese, por ejemplo, cuando cantan juntos un hombre y una mujer. El hombre suele cantar una octava más grave y sin embargo cualquiera reconoce que están interpretando las mismas notas. A partir del concepto de octava, lo que se hace es partir el intervalo de frecuencias audibles por octavas: … [f, 2f], [2f, 4f], [4f, 8f], … e identifican las notas que están a diferente octava. Es decir, hablaremos de un Do sin importarnos la octava en la que se encuentra. Por tanto, es mucho más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [1,2]. Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del intervalo [1, 2] Siete notas Al menos desde el primer milenio antes de Cristo, los caldeos relacionaron muy estrechamente la música con la astrología y las matemáticas. De hecho, el destino de los hombres y la armonía del Universo se explicaba usando especulaciones matemáticas a las que atribuían multitud de propiedades. Parece ser que esto dio lugar a que numerosos fenómenos cósmicos fuesen representados por la comparación entre las longitudes de cuerdas tirantes. De este modo aparecieron cuatro relaciones asociadas con las cuatro estaciones del año que, por su importancia, tomaron nombres propios: 1/1 unísono 3/2 quinta 4/3 cuarta 2/1 octava Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de sucesos destacaban el 4 y el 7. De hecho, probablemente la antigua escala caldea era de siete notas. En occidente, a partir de los caldeos y sobre todo de los pitagóricos (siglo VI. a. C.) se ha considerado que las notas fundamentales eran 7 y que el resto eran alteraciones de estas notas. A las alteraciones se les llama sostenidos ( # ) si aumentan la frecuencia y bemoles ( b ) si la disminuyen. Pero no precisaremos más en la definición de las alteraciones porque, como se verá más adelante, dependiendo del sistema de afinación significarán una cosa u otra. Tonos y semitonos Se trata de intervalos que en la práctica se emplean más que los dados anteriormente. Dadas dos notas f1, f2 se tienen las siguientes relaciones: Tono ( T ): Decimos que f2 es un tono más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo dos quintas y bajando una octava. Semitono cromático ( Sc ): Decimos que f2 es un semitono cromático más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas. Semitono diatónico ( Sd ) Decimos que f2 es un semitono diatónico más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo cinco quintas y bajando dos octavas. Hay sistemas de afinación en los que aparecen varios tipos de quinta, por tanto la distancia de tonos y semitonos dependerá del sistema. Algunas de estas afinaciones verifican: T=Sc+Sd e incluso se da Sc=Sd. Sin embargo, en general, no tienen por qué darse estas condiciones. 4.1. Afinación pitagórica Es muy probable que Pitágoras de Samos (580 –500 a. de C.), tras un largo periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, llevase las teorías de la música y los principios de la afinación a Grecia. Tal y como hacían los caldeos, estableció que el sonido musical producido por una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud, esto es: "cuanto más corta sea la cuerda, más aguda será la nota producida". Además, estableció cuatro intervalos, o relaciones entre las longitudes de las cuerdas que producían las únicas consonancias admitidas: Para producir todos los sonidos afinados (notas musicales) sólo se dispone de estos cuatro intervalos y sus combinaciones. Expresado de forma axiomática, el sistema de afinación pitagórico se obtiene de la forma siguiente: P1. La música se basa en 7 notas. P2. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 3 cualquier número de veces. P3. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 2 cualquier número de veces. En lugar de manejar la longitud de las cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas por éstas. El axioma P2 sube quintas cuando se multiplica por 3 y las baja cuando se divide y el axioma P3 sube o baja octavas cuando se multiplica o divide por 2. El sistema de afinación que se obtiene con los axiomas anteriores es relativo porque dada una cuerda L de cualquier longitud, aplicando P1, P2 y P3 se obtienen notas que suenan afinadas con la producida por L. Para que este sistema de afinación sea absoluto, y por tanto aplicable, necesitamos imponer que una nota, a la que denominaremos nota patrón o diapasón, forme parte de las notas afinadas: Notas afinadas: Consideramos una frecuencia patrón f0. Dado un sonido f diremos que está afinado en el sistema pitagórico si existen n y m números enteros de manera que: 3n 2m f0 = f Ya estamos en condiciones de obtener de forma práctica las notas de la afinación pitagórica. Todas las notas de la afinación pitagórica se obtienen aumentado o disminuyendo quintas, es decir, dada una frecuencia f multiplicamos o dividimos por 3/2 cualquier número de veces. Ahora bien, como hemos dicho que una afinación consiste en elegir puntos de [1,2], debemos dividir o multiplicar por una potencia de 2 adecuada de manera que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2]. Ejemplo Supongamos que el sonido f lo subimos dos quintas. La nota que se obtendría es: Para llevar esta nota a la misma octava que f (hacer que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2] debemos dividir por 2. Es decir que la nueva nota afinada será: Método para obtener las notas 1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir 0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si 2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas: 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 En la primera fila marcamos la nota central (3) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO porque la casilla de partida también se cuenta) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente: Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc. Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que haremos es dividir por 3/2 . Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib? a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una potencia de 2 , en concreto 2 3, es decir: b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por una potencia de 2 , en concreto 2 2, es decir : Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes: Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes:   ¿Cuántas notas deben aparecer dentro de una octava? Con el método que hemos descrito podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una misma octava, por tanto debemos añadir algún criterio que permita detenernos cuando se tiene una cantidad razonable de ellas. Sería lógico pensar que un buen momento para parar es cuando empiecen a repetirse los sonidos. Sin embargo, como se puede demostrar que esto no va a ocurrir nunca, deberemos conformarnos con aceptar como iguales sonidos que sean “muy parecidos”. En la gráfica siguiente hemos representado las 70 primeras notas de la afinación pitagórica. En el eje de abcisas se representa el orden en el que aparecen y en el de ordenadas la fracción con la que se obtiene. Por ejemplo, la primera nota es el punto (0,1). Cuando obtengamos una nota cuya ordenada esté muy próxima al 1 nos detendremos. La primera vez que nos acercamos al sonido inicial es cuando tenemos 12 notas, y ésta es la razón por la que la inmensa mayoría de la música que se escucha en la actualidad está hecha para el Temperamento Igual de 12 notas del que más tarde hablaremos. Si queremos mayor precisión necesitamos 53 notas, y si continuásemos 665 notas, etc., pero sin duda estas cantidades resultarían poco prácticas. Como se ve, el hecho de fijar 7, 12 u otro número de notas por octava no es una cuestión trivial y depende de la precisión que se exija en el parecido con la nota de partida. De hecho, esta elección no siempre se ha hecho con éxito. Por ejemplo, Robert Smith, en Harmonics, or the Philosophy of Musical Sounds (1749), propone 21 divisiones por octava para el temperamento de 5/18 de coma zarliniana y, como se apreciaría más tarde desde el punto de vista práctico, esto no tenía sentido. 4.2. Justa entonación Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar la tercera. La forma de incorporarlo es ajustando algunas notas de la afinación pitagórica, por tanto deben considerarse correcciones a la afinación pitagórica. En la afinación pitagórica, la tercera no se considera un intervalo consonante, sino que aparece subiendo cuatro quintas. Tercera pitagórica Tercera justa Do->Mi Do->Mi Oyéndolas juntas se percibe bien la diferencia: De todos los intentos por incorporar el intervalo de tercera a la afinación pitagórica, el que se utiliza en la práctica es el de Aristóxeno-Zarlino. No obstante, a continuación citamos otras propuestas bastante conocidas. Modificaciones de Arquitas Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) es un discípulo de Pitágoras que dedicó gran parte de su investigación a la afinación. Advirtió que los intervalos pitagóricos 2/1, 3/2 y 4/3 son de la forma Teniendo en cuenta esto, propuso dividir la cuarta en tres intervalos que verifiquen esta relación, para lo cual propuso añadir tres nuevas proporciones: Así aparecen los valores siguientes: entre los que, por primera vez, se tiene el intervalo de tercera 5/4 que había estado prohibido por los primeros pitagóricos. Modificaciones de Tolomeo Claudio Tolomeo (100-170) parte de los conceptos pitagóricos de afinación y en su obra Harmónicos expone una teoría matemática de los sonidos en las que aparecen dos tipos de escala una fija, tética, y una móvil, dinámica. A pesar de que su sistema de afinación es más complejo que los dos anteriores, en él siempre aparece el intervalo de tercera. Como ocurría con los pitagóricos, los sonidos que consideran afinados están relacionados con su modelo del Universo. Modificaciones de Zarlino y Delezenne Gioseffo Zarlino (1517-1590) justificó los acordes con razones matemáticas que resultaron totalmente premonitorias de los armónicos. Estableció que había una afinidad entre los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y comprobó que éstos eran emitidos por cuerdas de longitudes Delezenne (1776-1866) modificó la afinación de Zarlino y de hecho en la actualidad es habitual que en la afinación justa se mezclen notas de Zarlino con las de Delezenne. Ha habido otras muchas más propuestas, como la de Johannes Kepler (1571-1630) que, a pesar de resultar muy ingeniosas, no han supuesto aportaciones considerables a la consolidación de la Justa Entonación. Afinación de Aristóxeno-Zarlino Arsitóxeno de Tarento (360-300 a.C.) es un discípulo de Aristóteles que estudió con profundidad las doctrinas pitagóricas. Rechaza asociar las consonancias naturales de quinta, cuarta y tercera con relaciones numéricas y sostiene que basta con el oído para conseguir la afinación. A pesar de que históricamente no se introdujo como se expondrá a continuación, una forma sencilla de presentar la afinación de Aristóxeno-Zarlino es la siguiente: Consideramos una aproximación de la quinta pitagórica (3/2) dada por A partir de aquí (y en todos los tratados de música), como conviene distinguir entre ambos intervalos, se les da nombres diferentes. La quinta dada por 3/2 se llama quinta natural y la quinta dada por 40/27 se llama quinta sintónica. Una vez fijada esta aproximación, la afinación de Aristógeno-Zarlino es una afinación hecha por quintas naturales (como la de Pitágoras) pero en la que algunas de ellas han sido sustituidas por quintas sintónicas. En la tabla siguiente marcamos sólo las sintónicas y entenderemos que el resto son naturales: Teniendo en cuenta estas correcciones a la afinación pitagórica, las notas más frecuentes se obtendrían con las siguientes fracciones: A pesar de la diferencia entre las fracciones que aparecen en la afinación pitagórica y la de Aristóxeno-Zarlino, podéis comprobar que el resultado es parecido: Escala Pitagórica Escala Justa Entonación En la afinación de Aristóxeno-Zarlino, al aparecer dos tipos de quinta, aparecen dos tipos de tono: Tono grande: 9/8 Ejemplo: Do-Re Tono pequeño: 10/9 Ejemplo: Re-Mi y tres tipos de semitono: Semitono diatónico grande: 27/25 Ejemplo:Do-Reb Semitono diatónico pequeño: 16/15 Ejemplo:Mi-Fa Setinono cromático: 25/24 Ejemplo: Do-Do# Sin duda, esta circunstancia dificulta enormemente el uso de la justa entonación en la música polifónica. Comentario Desde un punto de vista meramente aritmético podemos decir que el sistema pitagórico sólo maneja sonidos que se pueden obtener mediante potencias de 2 y de 3 a partir de una frecuencia dada f0. La justa entonación añade al sistema pitagórico las potencias del 5. Vista esta secuencia lógica, la pregunta es evidente: ¿por qué no seguir con las potencias de 7 y de 9, etc.? Las razones para detenernos en el 5 son de diversa índole. En primer lugar hay razones estéticas: el intervalo de séptima convive con dificultad con los intervalos de la afinación de Zarlino. Por otro lado, cada vez que se añaden nuevas frecuencias se están incrementando los inconvenientes de los sistemas de afinación. Sirva como resumen de estos razonamientos el fragmento de la carta, fechada el de 3 de mayo de 1760, que Leonhard Euler (1077-1783) escribió a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (1745 – 1808), para instruirla sobre temas de música (Euler, 1990): Carta VII: De los doce tonos del clavecín: “Mi intención era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos empleados en la música, casi totalmente desconocido para los músicos; pues no es la Teoría lo que los ha conducido al conocimiento de los tonos, lo deben más bien a la fuerza oculta de la verdadera Armonía, actuando tan eficazmente en sus oídos que, por así decirlo, los forzó a recibir los tonos actualmente en uso, aunque no estén suficientemente decididos sobre su justa determinación. Ahora bien, los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el número 3 produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones, mientras que el F no hace más que una. [...] los músicos lo indican con la letra , [...] es llamado una tercera mayor y produce una consonancia muy agradable, estando contenido en una proporción de números bastante pequeña, 4 y 5. [...] (Así ) tendréis las teclas principales del clavecín que según los antiguos, constituye la escala llamada diatónica que deriva del número 2, del número 3 repetido tres veces y del número 5. No admitiendo más que estos tonos, se está en condiciones de componer muy bellas melodías, cuya belleza se fundamenta únicamente en la simplicidad de los números que producen estos tonos. [...] Si se quisiera también introducir el número 7, el número de tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la armonía a la Música.” 3 de mayo de 1760 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones Ventajas En las afinaciones, como los sonidos afinados se obtienen con números racionales, los intervalos que aparecen son naturales, es decir, que las notas musicales se corresponden con armónicos de la serie natural. Por ejemplo, en el sistema pitagórico están afinados todos los armónicos que son múltiplos de 2 y de 3, mientras que en el sistema de Zarlino, están afinados los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Dicho de otro modo, el primer armónico que no está afinado en el sistema de Pitagóras es el quinto, mientras que en el sistema de Zarlino es el séptimo. Inconvenientes Para determinar el número de notas por octava hemos supuesto que dos notas son iguales cuando en realidad son muy parecidas. Esto hace que al sonar dos o más instrumentos diferentes simultáneamente las afinaciones resulten poco prácticas. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un cantante tiene dificultades para interpretar los tonos graves y prefiere que se suba toda la música una quinta. A esto se le llama transposición. Transposición: Consiste en subir (o bajar) una nota o un conjunto de ellas un intervalo p/q. Para ello basta con multiplicar (o dividir) las frecuencias de las notas por p/q. Si los instrumentos afinaban en el sistema pitagórico con 12 notas: Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# cuando en la partitura aparece un Sol# , al subir una quinta el efecto será Sol#·(3/2) = (38/212)·(3/2) = 39/213 = Re# Sin embargo, esta nota no aparece entre las 12 que hemos seleccionado. La más parecida es Mib = 25 / 33 Así, cuando se interpreta Mib en lugar de Re# el error que se está cometiendo es el que ya habíamos escuchado cuando distinguíamos entre Lab y Sol# : 4.3. Temperamentos cíclicos regulares Los temperamentos cíclicos surgen en la práctica para evitar, entre otros, los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es disminuir las quintas “templar” de manera que se repita la primera nota, pero claro está, de manera que el resultado sea aceptable. A continuación analizaremos los dos temperamentos más utilizados en nuestros días: El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento regular e igual y el temperamento de Holder, que es un temperamento regular mesotónico. Matemáticamente, la forma de obtener los temperementos cíclicos es muy sencilla. Si queremos obtener un temperamento cíclico de n notas dividimos el intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. Para obtener el extremo inferior del 2º subintervalo multiplicamos por x el extremo inferior del 1º, para obtener el del 3º multiplicamos el del 2º, es decir x2 por el 1, y así sucesivamente hasta obtener el último que sería xn por 1, etc. Con este proceso lo que aseguramos es que si multiplicamos el 1 por x n veces debemos obtener el 2, es decir xn x 1 = 2 => x = Por tanto, las notas afinadas en un temperamento cíclico de n notas serán: Temperamento igual de 12 notas Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematizó en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades. A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armónicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema más empleado por sus ventajas teóricas y prácticas. Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme: Temperamento de Holder William Holder (1614-1697) utiliza un procedimiento mediante el cual divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales. En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica: Ventajas y desventajas de los temperamentos El Temperamento de 12 notas Ventajas Como hemos señalado, en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, por tanto, las notas enarmónicas coinciden, así La#=Sib, Mi#=Fa, etc. Obviamente, en este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, lo que le proporciona grandes ventajas: a) Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables. b) El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical. Inconvenientes a) No existen intervalos justos. Al obtener los intervalos mediante números irracionales, éstos no se corresponden exactamente con la serie armónica de ninguna nota. b) Aunque las quintas son bastante buenas, las terceras mayores están muy desviadas. Según J. J. Goldáraz (Goldáraz, 1992) la desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos “que empobrecían la expresividad musical, fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general al menos dos siglos a partir de las primeras formulaciones del siglo XVI”. Sin embargo, en la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado. En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es perferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992). El Temperamento de Holder Desde el trabajo del profesor Robert Dussaut, Explicación de las comas en los distintos sistemas acústicos (Chailley, Challan, 1965), el sistema de Holder se ha considerado como un sistema de afinación idóneo para trabajar con la afinación pitagórica. Ventajas Las ventajas de este sistema de afinación aparecen en los estudios teóricos. Las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas-holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar. Inconvenientes En cuanto a los inconvenientes, posee los de cualquier temperamento: los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Pero sin duda, el mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande. Como muestra de las diferencias entre los sistemas que hemos analizado, podemos observar las frecuencias de las notas más habituales en los cuatro sistemas de afinación: NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz. 5. Bibliografía J. Agulló (Editor), Acústica musical. Ed. Prensa Científica S. A., Barcelona, 1989. P. Bailache, Travaux en histoire de l'acoustique musicale, http://baihache.humana.univ-nantes.fr/thmusique/ A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers. Ed. Cambridge University Press, 1984. M. Bernal Ripoll, El temperamento de Nassarre: Estudio Matemático. Revista de Musicología, 22, pp. 157-174, Madrid, 1999. W. F. Bynum et al., Diccionario de historia de la ciencia. Ed. Herder, Barcelona, 1986. A. Calvo-Manzano Ruiz, Acústica físico-musical. Ed. Real Musical, Madrid, 1993. J. Chailley, H. Challan, Teoría completa de la Música. Ed. Alphonse Leduc, Paris, 1965. L. Euler, Cartas a una princesa de Alemania sobre diversos temas de Física y Filosofía, Ed. Universidad de Zaragoza, Zaragoza, 1990. G. Fernández de la Gándara, M. Lorente, Acústica Musical. Ed. Instituto Complutense de Ciencias Musicales, Madrid, 1998. J. Girbau, Les matemàtiques i les escales musicals. Butlletí de la secció de matemàtiques de la Societat Catalana de Ciències, 18, pp. 3-25, Barcelona, 1985. J. J. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamento en la música occidental. Ed. Alianza Editorial, Madrid, 1992. R. W. Hall, K. Josíc, The Mathematics of Musical Instruments. The American Mathematical Monthly, 108, pp. 347-357, Washintong, 2001. J. Halusca, Equal Temperament and Pythagorean Tuning: a geometrical interpretation in the plane. Fuzzy Sets and Systems, 114, pp. 261-269, Amsterdam, 2000. The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press, 1986. J. Lattard, Gammes et tempéraments musicaux. Ed. Masson, Paris, 1988. V. Liern, Taller de Música y Matemáticas. 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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Pop art En la siguiente figura aparecen 30 patrones dispuestos en cinco columnas. ¿Se trata de una obra de arte abstracto? ¿Quizás dibujos ornamentales hallados en tallas, cerámicas o telas de algún pueblo africano? ¿Serán diseños para la moda de la próxima temporada? ¿Qué decir de estos otros enmarcados en cuadrados, como si fueran baldosas? ¿Tienen el mismo origen que los anteriores? ¿Qué representan, de dónde surgen? Estos motivos son tan conocidos entre muchos científicos que incluso existen versiones comerciales con llamativos colores, como esta del físico Eric Heller: Olas superpuestas En el artículo Análisis Armónico comentábamos  el problema de la cuerda vibrante: Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda. La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Esta oscilación es la que se propagará al aire. Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, podrán aparecer puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia). Si ahora añadimos una dimensión más, pasando de la linealidad de una cuerda a las dos dimensiones de la superficie de una placa, un platillo o una membrana tirante, obtenemos el mismo fenómeno de superposición de ondas transversales. Ahora, sin embargo, los nodos (puntos donde una onda y su reflejo se superponen anulándose) no son puntos aislados sino que forman líneas nodales en donde la placa o membrana no vibra. El sonido puede verse Hacia 1787, el alemán Chladni, considerado uno de los pioneros de la física acústica, estudia por primera vez estas líneas nodales. Ernst Chladni (1756 - 1827) Con estudios de Derecho, músico aficionado y un entusiasta de la ciencia, Chladni encuentra la ley que lleva su nombre, una relación sencilla entre los modos propios de vibración de una placa. Para ello, se valió de placas sujetas por el centro sobre las que espolvoreaba arena fina. Al hacerlas vibrar con un arco de violín, los patrones de las líneas nodales se hacen visibles, pues sobre esas líneas se acumula la arena rebotada de las otras zonas vibrantes. De esta forma, cada frecuencia natural de vibración de la placa corresponde con un patrón determinado. Chladni trasladó cuidadosamente al papel cada uno de los patrones que iba encontrando, lo que permitió popularizarlos, mientras se dedicaba a realizar demostraciones ante el fascinado público europeo. Pulsa sobre la imagen para ver el resto Cuando Chladni repitió este experimento en la Academia de Ciencias de París, en 1808, se oyó una exclamación de asombro: “¡el sonido puede verse!”. Era la voz de Napoleón Bonaparte. La ley de Chladni relaciona la frecuencia aproximada de la vibración de un platillo circular, de centro fijo, con el número de líneas nodales radiales (m) y no radiales (n): f = C (m + 2n)2 donde el valor de la constante C sólo depende, en principio, de las propiedades del platillo. Sin embargo, el exponente puede sufrir variaciones en distintos rangos de frecuencias incluso para el mismo platillo, aunque siempre ronda el valor 2. Una expresión más general, del tipo: f = C (m + bn)c amplía la relación anterior, para distintos valores de b y c, a platillos circulares no planos como los címbalos, las campanas y las campanillas. En el caso de placas y membranas circulares sujetas por su borde (tambores y timbales, por ejemplo), los patrones obtenidos se componen de diámetros y circunferencias concéntricas. En la siguiente imagen vemos algunos. Debajo de cada dibujo aparece la frecuencia relativa con respecto a la frecuencia fundamental. Observemos que, al contrario de lo que pasaba con la cuerda vibrante, las sucesivas frecuencias naturales (los sucesivos parciales) no son múltiplos enteros de la fundamental (no son armónicos). Curiosamente, patrones similares aparecen al representar gráficamente la función de probabilidad de los distintos orbitales de los electrones: La protagonista Pero la ley de Chladni, además de ser una aproximación, sólo recoge la observación del fenómeno, clasificando las figuras obtenidas, pero no las explica. Napoleón había quedado tan profundamente impresionado por las figuras que mostraban las placas que ofreció una fuerte recompensa por una explicación. Naturalmente, para encontrar esta explicación será necesario modelizar matemáticamente el fenómeno físico. En 1809, la matemática francesa Sophie Germain comienza a trabajar en el problema, pero no es hasta 1816 cuando, en su tercer intento, consigue ganar el premio otorgado por la Academia Francesa de las Ciencias. El éxito de Germain se considera mucho más que un premio. Ella había luchado toda su vida por poner su talento por encima de los prejuicios contra su sexo. También es sabido que mantuvo correspondencia y amistad con el príncipe de las matemáticas, Gauss, a quien le protegió, gracias a su influencia con Napoleón, al invadir las fuerzas napoleónicas la ciudad natal de Gauss, Brunswick (cerca de Hannover), por temor a que le ocurriese algo similar a lo que le sucedió a Arquímedes. En la siguiente imagen podemos ver la caricatura de esta valiente matemática, reproducción de la que aparece en la exposición El rostro humano de las Matemáticas. Sophie Germain (1776 - 1831) La aceptación de la Academia de los argumentos de Germain, pese a “su condición de mujer”, es un hito más en la lucha de la mujer a lo largo de la historia por ser aceptada como igual en los diferentes sectores intelectuales “reservados para hombres”. La ecuación anterior pertenece al trabajo de Germain sobre platillos. En la siguiente imagen, siguiendo el estilo pop, hemos coloreado a nuestro antojo la ilustración que aparece en la página dedicada a ella en “El rostro humano de las matemáticas”. Resonancia La placa se puede hacer vibrar por excitación directa, frotándola con un arco o agitándola con algún tipo de sistema mecánico o electromecánico. Pero también podemos conseguir que vibre por resonancia, mediante un emisor de sonidos con suficiente intensidad. Esto suele hacerse colocando un altavoz justo encima o debajo de la placa, como sucede en la siguiente película, en donde la arena ha sido reemplazada por sal. Pulsa sobre la imagen para ver el video Vibraciones líquidas Si, en vez de provocar la vibración de una superficie sólida, usamos una fina película líquida colocada sobre una membrana tirante y la exponemos a una intensa iluminación lateral, el resultado puede ser realmente espectacular, como muestran las siguientes fotografías de Alexander Lauterwasser (cuyo apellido resulta ser de lo más apropiado). Pulsa sobre la imagen para ampliarla Los instrumentos de cuerda Los patrones que hemos visto resultan de gran utilidad para mejorar la calidad en la construcción de violines y otros instrumentos de cuerda al poder comprobar el luthier si se reproducen o no las figuras de Chladni sobre la tapa y la base, corrigiendo cualquier asimetría que pudiera presentarse. En esta fotografía podemos ver el resultado de un experimento sobre el fondo de la caja de un violín. Los siguiente dibujos corresponden a distintos modos naturales de vibración de una guitarra. Laboratorio virtual Con ayuda de los siguientes applets de Paul Fasltad podemos recrearnos en la visualización (en dos o en tres dimensiones) de los distintos modos de vibración de membranas rectangulares y circulares. Aunque las etiquetas y las instrucciones se encuentran en inglés, basta jugar un poco con el ratón y los deslizadores (lo que recomendamos vivamente) para apreciar el funcionamiento. ¡Incluso podemos oír el sonido correspondiente, activando la casilla Sound! Resulta particularmente atractiva la opción “Mouse = Poke membrane” (Display 3D), pues con ella basta hacer un clic en la ventana de la membrana para visualizar tanto la onda transversal inicial como sus sucesivos reflejos. Laboratorio de membranas rectangulares: Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Laboratorio de membranas circulares: Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Figuras de Lissajous Estas curvas fueron descubiertas y estudiadas por el matemático francés J.A. Lissajous al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En el experimento original, Lissajous tomó dos diapasones de distintas frecuencias de vibración y colocó un espejo pequeño sobre cada diapasón. Después colocó el conjunto de forma que un rayo de luz se reflejase, sucesivamente, en ambos espejos antes de proyectarse sobre una pantalla. La imagen que aparece en la pantalla (con apariencia de continuidad, dada la su persistencia en la retina del espectador) es la figura. Estas figuras también se pueden trazar con un armonógrafo simple. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Armonógrafo simple Un armonógrafo simple es un aparato que traza figuras, compuesto de dos péndulos. Un péndulo mueve la punta que dibuja a lo largo de una dirección, adelante y atrás. El otro péndulo empuja, al mismo tiempo, la punta a lo largo de una dirección perpendicular a la anterior. Variando la relación de las frecuencias entre ambos péndulos (y la fase en que se encuentra cada uno), se pueden crear multitud de patrones diferentes: circunferencias, elipses, “ochos” y otras figuras de Lissajous. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella El fonoautógrafo El armonógrafo, las curvas de Lissajous y las figuras de Chladni son los precursores de un instrumento actualmente básico en el análisis de ondas: el osciloscopio. Sin embargo, también pueden considerarse como precursores de uno de los grandes inventos de la humanidad: el grabador-reproductor de sonidos. En 1857, el francés Édouard-Léon Scott de Martinville inventa el primer grabador de sonido: el fonoautógrafo, pretendiendo conseguir una figura gráfica de la voz humana. Para ello, se inspiró en el oído medio: conectó una membrana elástica (un tímpano) a un estilete de forma que la vibración del tímpano se trasladase hasta extremo suelto del estilete que descansaba sobre un cilindro recubierto de papel ahumado. Al girar el cilindro, el estilete iba dejando la huella de las sucesivas vibraciones. El fonoautógrafo Evidentemente el  Fonoautógrafo se  limitó a trazar una gráfica y nunca llegaría a grabar ningún sonido, en el sentido de poder reproducir la grabación, pero quedaban formulados unos principios teóricos que más tarde se retomarían.  Posteriormente, en 1877, Edison inventaría el fonógrafo, el primer grabador-reproductor. El sonido de otro tiempo Sin embargo, la tecnología actual nos permite reinterpretar aquellas señales dejadas en el papel ahumado y  oír algunas de aquellas grabaciones en papel realizadas años antes del invento del fonógrafo. Entre ellas destaca la que se considera la primera huella sonora reconocible -aunque francamente, con bastante imaginación- de una voz humana. La grabación, del año 1860, corresponde a una voz de mujer que canta una canción tradicional francesa, Au Clair de la Lune. Este papel con la gráfica de apenas diez segundos de voz humana (aunque no lo parezca y cause más bien escalofríos) fue descubierta en marzo de este año 2008 por un grupo de historiadores en París y convertido nuevamente en sonidos por un laboratorio especializado de California.
Sábado, 01 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
La tesitura La altura de un sonido es la percepción que tenemos de la frecuencia. Esto nos permite clasificar algunos sonidos como agudos y otros como graves. Cuanto más alta sea la frecuencia de un sonido, más agudo lo percibiremos. Generalmente, las mujeres tienen la voz más aguda que los hombres (esto es, sus cuerdas vocales vibran más rápido). En lenguaje musical se dice que un sonido agudo tiene un tono alto y que uno grave tiene un tono bajo. Las notas musicales se caracterizan por su altura o frecuencia. En un piano, por ejemplo, a cada tecla le corresponde un sonido diferente de frecuencia. Las teclas que se hallan a la izquierda del pianista corresponden a las notas de frecuencia baja (sonidos graves, tonos bajos), y las de la derecha son las notas de frecuencia elevada (sonidos agudos, tonos altos). Los instrumentos y los cantantes de música clásica se clasifican de acuerdo con la frecuencia de las notas que son capaces de reproducir. Al conjunto de frecuencias que un instrumento o una voz puede emitir se le llama tesitura. Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír el rango de frecuencias correspondiente a cada una de las voces. Hay que advertir que sólo son valores medios, pues en cada una de esas voces existen fluctuaciones. Por ejemplo, hay sopranos que pueden cantar con mayor rango de frecuencias o en frecuencias más altas. Además, como veremos, el timbre también es otra cualidad a tener en cuenta. Así, se distinguen entre voces de soprano líricas, ligeras y dramáticas, entre otras. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella El timbre Pero incluso ante dos voces que cantan con la misma frecuencia fundamental, normalmente observamos sin dificultad diferencias, a menudo lo suficientemente grandes para poder identificar cada una sin temor a equivocarnos. En anteriores artículos habíamos visto que cuando introducimos energía en una cuerda al pulsarla, la energía se reparte entre varios modos naturales de oscilación de la cuerda. La cuerda vibrará en una superposición de todos ellos, sin vibrar en una frecuencia pura. Esta combinación de frecuencias (múltiplos de la fundamental) caracteriza el sonido, de forma que dependiendo del instrumento (violín, guitarra, voz humana, etc.) se obtendrán distintos sonidos con la misma frecuencia fundamental. Esta característica se denomina timbre. En el artículo Análisis Armónico, podíamos leer: El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota. En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental. Y en el artículo Geometría Musical (2): Algunos movimientos son mucho más fáciles de reconocer que otros, debido a nuestra abundante experiencia sobre ellos. El caso más evidente lo tenemos en la traslación en la altura, tan familiar que incluso decimos que el sonido es “el mismo” aunque suena más grave o más agudo. Esto se conoce como “transporte”. Cualquier frase dicha (o cantada) por voces con distinta altura es un ejemplo cotidiano de transporte. Al transportar se conservan los intervalos entre dos notas consecutivas mientras permanece inalterada la secuencia de los mismos. No nos cuesta ningún esfuerzo, dada nuestra experiencia cotidiana, reconocer la similitud entre una melodía cualquiera y su transporte a cualquier otra altura. Nosotros mismos, a voluntad, podemos muy fácilmente bajar o subir la altura de nuestra voz sin dejar de entonar la misma canción. De todo ello, concluimos que por timbre entendemos la distribución de diversos sonidos que, por razones inherentes a la naturaleza de la vibración, forman un conjunto. Este conjunto de sonidos elementales caracteriza a una voz humana o a un instrumento, independientemente de la altura del registro sonoro. En cierta forma, podemos “fotografiar” el timbre de un sonido. Para ello, basta obtener el espectrograma que nos muestra el conjunto de intensidades de todas las frecuencias producidas por el objeto vibrante según pasa el tiempo. Ese espectrograma viene a ser como una “radiografía” del timbre. De esta forma, el espectrograma de un instrumento tocando “re” es la traslación, en la altura, del mismo espectrograma tocando en “do”, puesto que la distribución de parciales permanece invariable. Observemos que este es un caso especial de traslación de la altura, así que una línea muy fina separa el timbre de la armonía. Espectrogramas Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír la misma secuencia de cuatro notas producidas por ocho instrumentos diferentes. Al oído no le cuesta trabajo ni identificar la secuencia como “la misma” en todos los casos ni decidir que se trata de distintos instrumentos. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Veamos ahora los espectrogramas de siete de ellos (prueba de observación: ¿cuál falta?) y del diapasón, en la nota do. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Podemos realizar una serie de observaciones. El espectrograma del diapasón muestra el tono fundamental con toda intensidad, y apenas nada más. Bajo él, el espetrograma del órgano añade algunos armónicos, también muy marcados. A la izquierda del órgano, los tres instrumentos de viento muestran líneas de armónicos bastante definidas, al contrario de lo que sucede con los tres instrumentos de cuerda sobre ellos. La onda Otra forma de recoger la información del timbre es mediante la gráfica de la onda sonora, es decir, de la serie de Fourier (ver el artículo Análisis Armónico) correspondiente a la suma baremada, según su intensidad, de todos esos sonidos parciales. Veamos la onda del diapasón: Su sencilla forma senoidal refleja la sencillez de su composición. Se trata de prácticamente un único sonido fundamental, sin parciales apreciables. Comparemos la gráfica anterior con la correspondiente a una trompeta: La presencia de varios armónicos complica la gráfica, provocando crestas e irregularidades. Veamos ahora la gráfica de un clarinete: Podemos apreciar que ahora la distribución de armónicos es todavía más compleja. Esa riqueza de matices muestra al clarinete como más próximo a la voz humana, más “cálido” o “íntimo”, bajo nuestra percepción. Luthiers En el artículo Prehistoria musical, aparece: Dada la enorme cantidad de vibraciones que simultáneamente pueden incidir en nuestro tímpano, haciéndolo vibrar a su vez, hemos desarrollado un complejo sistema discriminatorio, capaz de “separar” la combinación recibida en “partes más simples”. Este sistema se basa en la disposición, en el oído interno, de células especializadas en activarse sólo ante determinadas frecuencias, al estar situadas en medios que sólo entrarán en resonancia en esas frecuencias. Simplifiquemos un poco en aras de mayor claridad. Nuestro oído puede percibir vibraciones con frecuencias comprendidas entre unos 18 Hz y unos 18.000 Hz. Si percibimos un sonido resultado de la combinación de cuatro vibraciones: sonido=, las células especializadas en la recepción de cada tipo de vibración cribarán las componentes del sonido: sólo se activarán las células situadas en zonas que entren en resonancia con las frecuencias 200, 708, 1.524 y 3.967. Al sonido percibido lo podemos llamar “200-708-1.524-3.967”, pero es muy importante para la comprensión de la relación entre música y matemáticas tener en cuenta desde un principio que registramos cada frecuencia por separado. Cuantas menos vibraciones compongan un sonido, menos actividad se registrará en nuestro oído. Nuestra percepción mental es de un sonido “puro”, “claro”, “nítido”. El sonido producido por un diapasón es un buen ejemplo. Su equivalente visual podría ser un cielo despejado. Por el contrario, si son muchas y de diverso tipo las vibraciones que conforman el sonido, percibiremos éste como “oscuro”, “confuso”, “impreciso”. Su equivalente visual podría ser un tupido bosque. Además, aunque en principio la intensidad del sonido es independiente de la frecuencia, no lo es en nuestra recepción del sonido. Nuestro oído es más sensible a las altas frecuencias, de forma que con la misma intensidad de sonido percibimos un volumen mayor en frecuencias altas respecto a las bajas. Las combinaciones de vibraciones componen el timbre de cada instrumento. En la creación de los instrumentos se resaltan aquellos armónicos naturales que le confieren timbre propio. La misión principal de un luthier es justamente dotar al instrumento del timbre que se espera de él. Sirva la mención al luthier como excusa para mencionar a aquellos que “unen canto con humor”, el grupo argentino autor de una de las escasísimas canciones dedicadas expresamente a las matemáticas: el divertimento matemático opus 48, Teorema de Thales, plagio milimétrico de la obra del mismo nombre del casi siempre impresentable compositor Johann Sebastian Mastropiero. Pulsando sobre la siguiente imagen podemos oír una frase musical de esta obra y el sonido de uno de los originales instrumentos creados por Les Luthiers. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Intensidad y frecuencia La presión es una medida objetiva de la intensidad del sonido, pero está lejos de representar con precisión lo que realmente se percibe. Esto se debe a que la sensibilidad del oído depende fuertemente de la frecuencia. En general, hace falta menos intensidad para oír un sonido agudo que uno grave. Mientras que un sonido de 1.000 Hz y 3 dB ya es audible, es necesario llegar a los 50 dB para poder escuchar un tono de 50 Hz, aunque sólo un uno por ciento de las personas pueden oír esta frecuencia tan baja a ese volumen. En la siguiente imagen podemos comprobar gráficamente que el oído no se muestra igual de sensible en el rango de frecuencias. Este tipo de gráficas se conocen como curvas de audibilidad. Recogen el resultado de experimentar con un conjunto de personas su percepción de la intensidad de un sonido a medida que variamos su frecuencia. Observemos que la escala de frecuencias (en hercios) sitúa a igual distancia las sucesivas potencias de diez. A este tipo de escalas se les llama escalas logarítmicas y se utilizan cuando la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo es muy grande, como en este caso. Cada curva de la gráfica parte de la percepción de volumen que tenemos de una intensidad (por ejemplo de 40 dB) cuando la frecuencia es de 1.000 Hz. Después, variamos la frecuencia y registramos en la gráfica las variaciones necesarias de intensidad para mantener constante nuestra percepción de volumen. La línea inferior marca el umbral de audición (por debajo de ella no se oye nada), mientras que la curva superior señala la cota a partir de la cual sentimos dolor. La línea que marca el umbral de audición recoge los datos de los que tienen un oído muy fino. El umbral de audición de la mayoría de las personas sigue la línea azul. La línea que marca el umbral de dolor varía poco, manteniéndose alrededor de los 110 dB, salvo en las proximidades de los 4 kHz, que es la zona en donde el oído humano se muestra más sensible. Originalmente (curvas correspondientes al diagrama anterior, calculadas por Fletcher y Munson) el umbral de audibilidad había sido definido como la mínima presión necesaria para percibir un diapasón de 1 kHz, es decir, el umbral de audibilidad era de 0 dB para 1 kHz. Sin embargo, cálculos posteriores y más precisos de las curvas mostraron que el umbral de audibilidad es de 3 dB para 1 kHz. Esa maravillosa espiral llamada caracol Dentro del oído interno, un tubo espiral llamado caracol (o cóclea) mantiene en su interior tres estanques llenos de líquido, separados por dos membranas (basilar y tectorial). En el que se encuentra entre estas dos membranas reside nuestro receptor de sonidos: el órgano de Corti, una formación de cuatro largas hileras con unas seis mil células ciliadas (o pilosas) cada una conectadas al nervio auditivo. En la siguiente imagen se muestra una fotografía de una de esas 24.000 células ciliadas, nuestros fonorreceptores. Ahora bien, ¿cómo se las arreglan estas células para discriminar las distintas frecuencias que componen el sonido de una única onda sonora compleja? ¿Cómo podemos distinguir varios instrumentos tocando a la vez, así como los distintos armónicos de cada uno? La clave está en la membrana basilar. Esta membrana no tiene un grosor ni rigidez uniforme, de manera que vibran sólo aquellas partes de la membrana correspondientes a la frecuencia capaz de hacerlas resonar. En la figura podemos ver un esquema de la membrana basilar, desenrrollada. Las células ciliadas recogen esta información mecánica y convierten ese movimiento en impulsos eléctricos. De esta forma, las células ciliadas crean series distintas de impulsos, cuya combinación se comporta como un auténtico “espectrograma” de la onda sonora, diferenciando cada frecuencia. Desgraciadamente, las células ciliadas no pueden regenerarse, así que una lesión en esa zona puede provocar la sordera total e irreparable. Por otra parte, la membrana basilar pierde elasticidad con la edad, por ello la sensibilidad o agudeza auditiva también merma al envejecer. Afortunadamente (no todo en el paso del tiempo van a ser inconvenientes) la experiencia de un oído entrenado permite al sujeto captar matices que para un oído inexperto resultan inexistentes. Para hacernos una idea de la alta especialización y eficacia de nuestro sistema fonorreceptor, hagamos una comparación con otra joya de la evolución, sin duda uno de los milímetros cuadrados más valiosos del cuerpo: la fóvea, nuestra área fotorreceptora dentro de la retina. En la fóvea se distribuyen casi cien millones de células fotorreceptoras, entre bastones y conos. Es decir, hay cuatro mil células “encargadas de ver” por cada una “encargada de oír”. Sin embargo, somos capaces de percibir frecuencias sonoras de 16.000 Hz (ciclos/segundo), mientras que un avance a una velocidad de tan solo 24 cuadros por segundo nos hace percibir movimiento donde sólo hay imágenes estáticas (de ahí el éxito del cine). Ilusiones En el artículo Geometría Musical (2), nos divertimos con algunas ilusiones ópticas. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella   Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Veamos ahora alguna ilusión acústica. A pesar de la eficacia y fidelidad de nuestro sistema auditivo, existen algunos fenómenos que consiguen que percibamos de forma indebida algunos sonidos. El efecto muaré y el sonido diferencial Cuando dos patrones visuales similares se superponen se produce una interferencia. Nuestro cerebro tiende a encontrar nuevos patrones en estas interferencias. Esto se conoce como el efecto muaré. A veces podemos observar cómo algunos diseños o líneas supuestamente inmóviles comienzan a "bailar" ante la vista, produciendo "figuras fantasmas" que percibimos aunque realmente no existan. Aparecen frecuentemente en fotografía y en las imágenes televisivas, cuando reproducen una serie de líneas paralelas, o casi paralelas, demasiado juntas (por ejemplo, en una camisa de rayas finas). También aparecen al imprimir o escanear algunas imágenes, debido al tramado usado en la impresión. Las líneas pueden ser rectas o curvas, en cada caso podrán formarse patrones muy diversos. Los que vemos como "arcos o círculos fantasmas" no son más que la forma que tiene nuestra mente de percibir un alto número de intersecciones demasiado próximas. Cada intersección es "un punto notable", es decir, un punto que capta más la atención que los que le rodean (hay mayor longitud de borde o frontera de contraste claro-oscuro en sus proximidades). Si observamos varios "puntos notables" próximos, inmediatamente intentamos captar la configuración de su distribución, en este caso circular. En la siguiente construcción, cuanto más cercanos se encuentren los círculos azules, menor será el ángulo de corte en cada intersección, por lo que parecerá que las rectas, en vez de cortarse en un solo punto, se cortan a lo largo de un segmento. Al marcar los puntos de intersección, el efecto de "círculos, lunas o lúnulas fantasmas" desaparece. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Pues bien, en música existe un fenómeno similar, denominado “sonido diferencial” o “tono de Tartini”. Es muy frecuente que percibamos un sonido que no ha sido emitido sino que es una percepción nuestra causada por la interferencia de dos notas. El sonido que percibimos se produce en nuestro propio oído y corresponde a la diferencia de frecuencias entre las dos notas. Curiosamente, ambos fenómenos tienen aplicaciones prácticas. El efecto muaré sirve para la detección de la fatiga en los materiales, pues al superponer dos patrones que deberían ser iguales cualquier mínima desviación en una de ellas provocará el efecto y alertará de su deterioro. La aparición del sonido diferencial es útil para determinar que dos cuerdas se encuentran perfectamente afinadas una respecto a la otra (generalmente con una octava exacta de diferencia), pues es entonces cuando surge el “tono de Tartini” y nos parece percibir un sonido inexistente de frecuencia más baja. El efecto Shepard Al igual que se puede utilizar la perspectiva óptica para engañar a los ojos (como en la famosa Escalinata de Penrose, que da más y más vueltas sin perder altura, lo que se puede apreciar en el famoso cuadro de Escher, Ascendiendo y Descendiendo), la perspectiva acústica puede engañar a nuestros oídos. Pulsa en la siguiente imagen para escuchar una ilusión sonora denominada efecto Shepard. Nos parece estar oyendo una subida continua en la altura sonora, mientras que la realidad es que al final no nos hemos elevado en absoluto: el último sonido es equivalente al primero. El engaño se produce porque cada nota es en realidad un acorde compuesto por la misma nota en distintas octavas. A pesar de lo maravillosamente que funciona nuestro oído, esto consigue engañarlo. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella La siguiente imagen corresponde al espectrograma del efecto Shepard. Observemos que aunque efectivamente se produce un movimiento creciente en las frecuencias, las más altas van desapareciendo paulatinamente, mientras que surgen nuevos sonidos de baja frecuencia que paulatinamente ganan en intensidad. Al final, obtenemos una combinación de frecuencias similar a la de partida. Si repetimos sucesivamente el efecto, tenemos la impresión de ir siempre “hacia arriba”. Este efecto se ha usado en canciones y videojuegos para provocar en el oyente esa sensación de “caída libre hacia arriba”, de ascenso perpetuo. Bibliografía Introducción a la psicoacústica. Federico Miyara
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Buscando El Modelo Nadie duda hoy en día de la extraordinaria eficacia de las Matemáticas para resolver los más variados, complejos y difíciles problemas. Pero para poder aplicar las sofisticadas y potentes herramientas matemáticas se precisa un modelo de la realidad que se desea analizar, un modelo que conserve las características que determinan la naturaleza del fenómeno o estructura a estudiar. En el caso de la Música, desde Pitágoras, los matemáticos de todas las épocas han buscado la forma de aproximarse a ese modelo. La tecnología necesaria para grabar y reproducir el sonido ha contribuido, indudablemente, al conocimiento profundo de las características sonoras fundamentales. Sin embargo, el análisis de una estructura musical suele ser bastante diferente del análisis de los sonidos que la componen. Nos interesa más la relación entre los distintos sonidos que la naturaleza de los mismos. Actualmente, la búsqueda de modelos matemáticos que reflejen las estructuras musicales sigue siendo una aventura que enciende pasiones y controversias. En la siguiente imagen podemos ver el anuncio del programa de un seminario permanente, MaMuX, cuyo objetivo es precisamente reunir y discutir las nuevas aportaciones que vayan surgiendo en la milenaria relación entre música y matemáticas. Teoría matemática del ritmo En 2002, el matemático Godfried Toussaint desarrolla una investigación de los ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas, matriciales y combinatorias. Esto permite el análisis, visualización y reconocimiento de ritmos. Toussaint continúa trabajando, en la actualidad, en el Centro de Investigación Interdisciplinaria de Medios de Música y Tecnología (Centre for Interdisciplinary Research in Music Media and Technology) de la universidad McGill en Canadá. En el año 2005, en su sección “La Columna de Matemática Computacional” de La Gaceta de la RSME (Vol. 8.2), Tomás Recio recoge un artículo firmado por José-Miguel Díaz-Báñez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaporty y Godfried T. Toussaint, con el título Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión de la matemática computacional. Los resultados de ese artículo fueron obtenidos durante el First Interna­tional Workshop on Computational Music Theory celebrado bajo el auspicio del Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Universitaria de Informática (U.P.M.) en junio de 2003. El artículo es enormemente esclarecedor sobre la metodología seguida para la creación de un modelo matemático de una parte del mundo musical. A continuación reproducimos un resumen del mismo. Introducción Usaremos la palabra ritmo en su sentido general (contrapuesto a los conceptos de altura y timbre), patrón rítmico para su sentido específico (sucesión de tiempos en que se atacan las notas) y compás como sinónimo de metro musical. Muchos estilos musicales se caracterizan por la presencia de ciertos patrones rítmicos que se repiten a lo largo de la pieza y que tienen muchas funciones tales como ser estabilizadores rítmicos, marcar el fraseo, definir el carácter, definir el género, etc. Ejemplos de tales patrones rítmicos, llamados claves en la tradición africana y otras, abundan en estilos musicales tan dispares como el son cubano, el gahu de Ghana o el fandango del flamenco. Muchas preguntas surgen en torno a estos patrones rítmicos que funcionan como elementos estructurantes: ¿qué características tienen esos patrones rítmicos para determinar ciertos estilos musicales?, ¿qué similaridad podemos encontrar entre esos patrones rítmicos? Entonces una pregunta previa: ¿qué medida de similaridad podemos definir entre patrones rítmicos? ¿Puede ser una medida en el sentido matemático? Muchas de estas preguntas han encontrado respuestas en los trabajos de diversos autores, tanto para las claves binarias y ternarias de géneros musicales pertenecientes a las tradiciones africanas, afrocubanas y brasileñas, como para la música flamenca o como para la preferencia rítmica y otros problemas. Nosotros vamos a ocuparnos aquí del caso del flamenco. La idea de este estudio consiste en construir un análisis que refleje ciertas relaciones entre los estilos flamencos. Indudablemente, hay muchos aspectos en que dichas relaciones podían basarse, dada la riqueza estilística del flamenco. Nosotros nos hemos centrado en el ritmo porque, entre los muchos factores musicales que constituyen el flamenco, sin duda, es de los más sobresalientes. Una manera sencilla de llevar a cabo este análisis sería la de desnudar la música flamenca de letra, armonía y melodía y dejar sólo el ritmo (en su sentido general) como único elemento. Esta simplificación no se basa sólo en la sencillez de análisis, sino que también es consecuencia de las dificultades para formalizar la armonía y sobre todo la melodía. Además, es lógico pensar en el ritmo a la hora de simplificar el estilo por el papel de estabilizadores rítmicos que desempeñan los patrones rítmicos en los distintos cantes flamencos. Apoyándonos en esta idea, hemos realizado un estudio de los patrones rítmicos ternarios de palmas del flamenco. Este estudio está inspirado en el análisis filogenético que se usa habitualmente en Biología. Ese análisis requiere la existencia de una distancia, que está definida sobre el material genético. Normalmente, la distancia consiste en medir cuán diferentes son dos materiales genéticos dados. La distancia da lugar a su vez a una matriz de distancias. A partir de ésta, y gracias a técnicas de Bioinformática, se reconstruye un árbol que refleja las relaciones evolutivas entre especies. Nosotros sustituiremos el código genético por ritmos y, en primer lugar, definiremos una distancia entre patrones rítmicos. Existen varias distancias que se pueden usar para medir cuán lejos se encuentran dos patrones rítmicos. Nosotros hemos usado dos distancias, la cronotónica y la de permutación dirigida, que captan adecuadamente la idea de lejanía entre patrones rítmicos. Por último, aplicando las herramientas adecuadas obtenemos el árbol filogenético para los patrones rítmicos del flamenco. Algunas nociones sobre los ritmos flamencos Si existe una clara seña de identidad del flamenco con respecto a otras músicas, ésta es la ejecución de los ritmos con palmas, donde el patrón rítmico subyacente se manifiesta a través de palmas acentuadas. El flamenco usa predominantemente compases ternarios de 12/8, esto es, compases de 12 pulsos agrupados en grupos de tres. En principio, se tocan las 12 palmas que marca el compás de 12/8 y el patrón rítmico emerge acentuando unas cuantas. En el fandango, por ejemplo, se da un acento (palmada fuerte) seguido de dos silencios (palmada débil) cuatro veces seguidas. Puede verse aquí, a la luz de las definiciones dadas en la introducción, la íntima relación que hay en la música flamenca entre patrón rítmico (ritmo en su sentido restringido) y compás. De hecho, es habitual en el mundo flamenco hablar de “compás” en lugar de patrón rítmico. Además de este patrón, que podemos llamar periódico, existen otros aperiódicos, llamados de amalgama. Estos patrones rítmicos se pueden pensar como una combinación de un compás de 3/4 (compuesto por dos acentos fuertes con dos acentos débiles intercalados) y un compás de 6/8 (compuesto por tres acentos fuertes con un acento débil intercalado). Claro es entonces que el juego rítmico reside en la distribución de los acentos y buena parte del atractivo del flamenco descansa en esa distribución. Patrones rítmicos de amalgama son los utilizados en las soleares, las bulerías, las alegrías, las seguiriyas o las guajiras. A continuación detallamos los patrones rítmicos ternarios del flamenco y alguna de sus posibles notaciones o representaciones. La notación que habitualmente se usa en la didáctica del flamenco es numérica, resaltando los lugares donde se produce un acento. Fandango: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Soleá: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Bulería: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Seguiriya: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Guajira: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Cada patrón rítmico ha sido etiquetado por un estilo de cante que lo usa. Esto no significa ni mucho menos que cada patrón rítmico sea exclusivo de ese cante. Por ejemplo, el patrón del fandango es el de las sevillanas; el de la soleá se usa también para las bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulerías por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. La representación numérica anterior no resulta útil para contabilizar diferencias ni visualizar ciertas propiedades geométricas en las que estamos interesados. Proponemos aquí dos notaciones más ilustrativas como aparecen en las siguientes figuras. La primera presenta la notación binaria donde los espacios negros-blancos se identifican con unos-ceros. En la representación como polígonos convexos de la siguiente figura, el “0” marca la posición en el tiempo en la cual comienza el patrón rítmico y los vértices indican dónde están los acentos. Medidas de similaridad rítmica Como advertimos en la introducción, para construir árboles filogenéticos es necesario contar con una distancia que mida la similaridad rítmica. La distancia debería comportarse de modo que cuanto mayor sea la distancia entre los patrones rítmicos, menor sea la similaridad rítmica. De hecho, este problema está relacionado con problemas de aproximación de patrones en la teoría de reconocimiento de formas. Nosotros usaremos dos distancias que han demostrado funcionar bien en otros estudios sobre el ritmo: la distancia de cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La idoneidad de una distancia u otra para el estudio de ritmos es un tema actual de investigación. La distancia cronotónica Consideremos el ritmo de la seguiriya, dado por [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]. En esta representación, las duraciones relativas de los intervalos de tiempo no se pueden observar fácilmente. En una visualización de ritmos vía histogramas los sucesos importantes, tales como el comienzo, el final y el ataque de las notas, se dibujan a lo largo del eje Y, lo que da como resultado el espectro de intervalos adyacentes del ritmo. En dicha representación la longitud relativa de los intervalos es claramente visible, pero se pierde la información temporal a lo largo del eje X. Para obtener una representación gráfica que posea las ventajas de ambos métodos, se puede usar el tiempo en ambas dimensiones. El resultado de esa unión se ilustra en la figura siguiente, que muestra los cinco patrones rítmicos del flamenco en notación cronotónica. Cada elemento temporal entre sucesos (intervalos) es ahora una caja y ambos ejes X e Y representan la longitud temporal del intervalo. Las uniones de los cuadrados representadas en la figura anterior se pueden ver como funciones rectilíneas monótonas del tiempo. Dada la representación cronotónica de dos ritmos, hay un gran número de formas de medir la disimilaridad. Aquí lo haremos por el área que queda entre ambas funciones. La matriz de distancias obtenida con esa distancia se muestra en la siguiente tabla. La distancia de permutación Aquí llamaremos permutación al intercambio de dos elementos adyacentes, es decir, al intercambio de un ‘uno’ y un ‘cero’ que son adyacentes en una cadena binaria. La distancia de permutación entre dos patrones rítmicos se define como el mínimo número de permutaciones que se necesitan para convertir un patrón rítmico en otro. Por ejemplo, el patrón X = [101011010101] puede convertirse en el patrón Y = [101101101010] con un mínimo de cuatro permutaciones, a saber, intercambiando la tercera, la quinta, la sexta y la séptima posición con los correspondientes silencios que van detrás de ellos. Desde el punto de vista musical es razonable usar esta distancia. El oído humano considera como próximos dos patrones rítmicos si el número de cambios entre acentos es pequeño y si tales cambios ocurren entre acentos adyacentes. Además, es interesante observar que el compás bulería resulta precisamente de la permutación de un uno y un cero en el compás soleá. Un ejemplo de esta distancia aplicada a patrones rítmicos del flamenco se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación entre la seguiriya y el fandango igual a 4. Ciertos autores sugieren que ésa es la evolución natural entre ambos patrones rítmicos. Computación eficiente de la distancia de permutación Claramente, la distancia de permutación puede obtenerse calculándose todas las permutaciones posibles. Sin embargo, este método básico sería muy costoso para vectores n-dimensionales si n es un valor grande. Un algoritmo mucho más eficiente puede obtenerse si comparamos las distancias de las notas al origen. Lo describimos aquí brevemente. Primero hacemos un barrido de la sucesión binaria y almacenamos un vector con la información del lugar que ocupa cada acento. Por ejemplo, si consideramos: X = [ 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ] Y = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ] entonces almacenamos: U = (u1, u2,..., u7) = (1, 3, 5, 6, 8, 10, 12) para X y V = (v1, v2,..., v7) = (1, 3, 4, 6, 7, 9, 11) para Y, respectivamente. De esta forma, la diferencia entre ui y vi es el número mínimo de permutaciones que tienen que realizarse para alinear ambos acentos. Por tanto, en general, la distancia de permutación entre dos conjuntos de U y V con k notas está dado por: Calcular U y V a partir de X e Y se puede hacer en tiempo lineal con un simple barrido. Por tanto, en tiempo O(n) podemos calcular dP(U, V), lo cual da como consecuencia una gran ganancia sobre el uso del algoritmo básico que considera todas las posibles permutaciones. El lector se debe estar preguntando a qué viene toda esta discusión sobre la reducción de la complejidad de O(n2) a O(n) cuando en el caso de los ritmos flamencos tenemos n = 12 y la cota cuadrática es computacionalmente aceptable. La razón es que la diferencia de la complejidad resulta crucial cuando estas distancias se pretenden usar en aplicaciones de recuperación de la información musical, donde hay que extraer piezas enteras de una base de datos en la que n puede ser muy grande. La distancia de permutación dirigida La distancia de permutación dirigida es una generalización de la distancia de permutación, pensada para tratar la comparación de patrones que no tienen el mismo número de acentos (unos). Por ejemplo, el fandango tiene cuatro acentos en lugar de cinco y, por tanto, esta generalización se hace necesaria. A continuación definimos formalmente esta distancia. Sean X e Y dos sucesiones binarias de longitud n que representan dos patrones. Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que X tiene más unos que Y . La distancia de permutación dirigida es el mínimo número de permutaciones necesarias para convertir X en Y bajo las siguientes condiciones: Cada “1” de X tiene que moverse a una posición “1” de Y. Todas las posiciones “1” de Y tienen que recibir al menos un “1” de X. Ningún “1” puede viajar a través de la frontera entre la posición cero y la n-ésima. Un ejemplo de esta distancia se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación dirigida entre la seguiriya y el fandango igual a 4. La búsqueda de algoritmos eficientes de computación para la distancia de permutación dirigida se encuentra actualmente bajo investigación. En el caso que nos ocupa, se pueden realizar los cálculos a mano obteniendo la siguiente matriz de distancias. Árboles filogenéticos Con objeto de estudiar las posibles relaciones genealógicas entre los distintos patrones rítmicos, utilizaremos una técnica común en análisis filogenético que nos ayudará a analizar y visualizar el conjunto de datos obtenidos en la matriz de distancias. Esta técnica de análisis de datos se basa en la generación de los llamados árboles filogenéticos. Concretamente aquí hablaremos de la técnica llamada SplitsTree. La técnica está basada en un proceso iterativo de división y que da como resultado una inmersión de un grafo plano con la propiedad de que la distancia en el dibujo entre dos nodos refleja, tanto como es posible, la verdadera distancia entre los dos patrones rítmicos correspondientes en la matriz de distancias. Este método tiene además la buena propiedad de que produce un grafo y no un árbol cuando la estructura de proximidad subyacente no es intrínsecamente de tipo árbol. De hecho, si la estructura de árbol no coincide con los datos perfectamente, se introducen nuevos nodos con objeto de obtener un mejor ajuste. Pueden visualizarse estos nodos sin etiquetas en las dos siguientes figuras, que han sido calculados para la matriz de distancias de permutación dirigida y distancia cronotónica respectivamente. La interpretación del grafo obtenido es la siguiente. La suma de las longitudes de las aristas del camino más corto entre un patrón y otro es proporcional a la distancia real entre ellos. Los nuevos nodos incorporados (aparecen sin etiqueta) sugieren la existencia de patrones rítmicos “ancestrales” de donde los actuales podrían haber evolucionado. Las aristas se pueden dividir para formar paralelogramos, como se ve en el centro de la figura anterior. Los tamaños relativos de estos paralelogramos son proporcionales a su índice de aislamiento, que indica cuán significativas son las relaciones de agrupamiento en la matriz de distancias. La herramienta SplitsTree también calcula el índice de descomposición, una medida de la bondad del ajuste del grafo entero. El ajuste se obtiene dividiendo la suma de todas las distancias aproximadas en el grafo por la suma de todas las distancias originales en la matriz de distancias. En este caso obtenemos un sorprendente ajuste del 100%. A continuación, se describen los resultados obtenidos en el grafo SplitsTree para las dos distancias. El SplitsTree con la distancia cronotónica El grafo de la distancia cronotónica sugiere un agrupamiento en tres grupos. Uno está formado por el fandango y la seguiriya; el segundo, por la soleá y bulería; y el tercero, en solitario, la guajira. El compás bulería es el más “alejado” de todos con una suma de distancias igual a 40. En cambio, la guajira es el más similar a los demás con una suma igual a 26. Aparecen cuatro nodos sin etiquetas, esto es, de los que no corresponden a ninguno de los patrones rítmicos dados. El SplitsTree con la distancia de permutación dirigida El agrupamiento en el grafo de la distancia de permutación dirigida es ligeramente distinto al de la cronotónica. Un primer grupo lo componen soleá y bulería, otro central, guajira y fandango, mientras que seguiriya permanece en un tercer y solitario grupo. Los patrones rítmicos más similares a los otros son la guajira y el fandango, que empatan a 21. Es por esto que aparecen en el ‘centro’ del grafo. Aparecen dos nodos sin etiqueta, cerca de la guajira y el fandango. También es de destacar que seguiriya y bulería se encuentran en los extremos del grafo y son los patrones mas ‘alejados’ de los demás, con un total igual a 31 y 29, respectivamente. Propiedades geométricas de preferencia Una cuestión que suscita gran curiosidad entre los músicos es la de saber por qué ciertos tipos de ritmos se prefieren a otros en ciertas tradiciones musicales. Por ejemplo, en la tradición musical africana aparecen con mucha frecuencia patrones rítmicos asimétricos y sincopados (con acentos fuera de los pulsos). En un intento de caracterizar esas propiedades de preferencia desde un punto de vista geométrico se han introducido dos conceptos nuevos: la asimetría rítmica y el índice de contratiempo. En la siguiente tabla aparecen los datos de estas medidas para los patrones rítmicos del flamenco. Patrón rítmico Asimetría rítmica Contratiempo Fandango No 0 Soleá No 3 Bulería Sí 2 Seguiriya No 1 Guajira No 0 Se dice que un patrón rítmico tiene la propiedad de la asimetría rítmica si no contiene dos conjuntos de notas que dividan al patrón (dibujado en un círculo) en dos semicírculos. En la siguiente figura aparecen las diagonales divisorias que existen para los patrones rítmicos flamencos. (No aparece el fandango porque es totalmente simétrico.) Es interesante observar que de los cinco patrones, la bulería es el único que tiene la propiedad de la asimetría rítmica. Un detalle interesante es que, a diferencia del resto de los patrones, la bulería es el único que contiene intervalos de longitud 1, 2, 3 y 4. Los otros patrones sólo tienen intervalos de longitud 2 y 3. El índice de contratiempo de un patrón rítmico se define como el número de notas que posee en las posiciones 1, 5, 7, y 11. Estas posiciones resultan ser las no ocupadas si se consideran las posibles divisiones en espacios iguales del compás de 12/8 usando los divisores de 12 (distintos de 1 y 12). Aparte de la tabla de más arriba, en la figura anterior el índice de contratiempo de cada patrón rítmico se indica en la parte superior derecha de cada círculo. En nuestro caso, se observa que la guajira es el único patrón de 5 acentos con un índice de contratiempo igual a cero. La soleá es, por otra parte, el estilo flamenco con mayor índice de contratiempo. Conclusiones En primer lugar, observamos el hecho de que la guajira aparezca prácticamente en el centro de los patrones rítmicos ternarios indica su cercanía o similitud a los demás estilos. ¿Podría esto interpretarse como la huella de la influencia que han ejercido los otros estilos en dicho patrón rítmico? La guajira, como es sabido, es un estilo flamenco de los llamados de ida y vuelta, esto es, que fueron llevados a Sudamérica y, tras una remodelación según los gustos de los músicos sudamericanos, fueron posteriormente incorporados a la música flamenca. ¿Está probada musicalmente dicha influencia en los aspectos rítmicos que aquí tratamos? ¿Hasta qué punto? Teniendo en cuenta la ‘reciente’ incorporación de la guajira, y fijándonos en el árbol filogenético generado por la distancia de permutación dirigida, cabe pensar que el fandango es el más primitivo, dado que es el otro patrón rítmico que se encuentra en el centro. ¿Hay hechos musicológicos que confirman esta teoría, por otra parte, cada vez más extendida dentro del mundo del flamenco? Por ejemplo, en todas las provincias andaluzas se encuentra una modalidad evolucionada del fandango. Nos estamos refiriendo a los estilos de malagueñas, granaínas o tarantas etc. Un nuevo aspecto que volvería a indicar la importancia genealógica del fandango es la reconstrucción de los patrones rítmicos ancestrales citados en la construcción de los grafos con la herramienta SplitsTree y que allí aparecen sin etiqueta. Haciendo uso de la distancia de permutación dirigida, se puede obtener un hipotético patrón ancestral que se encuentra justo en el centro del árbol. Actualmente, es un problema abierto el diseño de algoritmos eficientes que reconstruyan los nodos ancestrales. En ocasiones, puede hacerse el cálculo a mano. Para el caso de patrones rítmicos flamencos con la distancia de permutación dirigida, la representación rítmica obtenida es [1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0], que de hecho, se usa en el flamenco como terminación o coletilla para los fandangos de Huelva. Por otra parte, si eliminamos la guajira de nuestro estudio, estilo que hemos dicho parece ser posterior a los demás en el flamenco, el fandango y la soleá son los nodos que juegan un papel central en el análisis filogenético (con respecto a la distancia de permutación dirigida). ¿Sugeriría esto que además del fandango aparece la soleá como patrón rítmico primitivo? ¿Se entendería entonces que, de estos patrones primitivos y, tras un proceso evolutivo, fueron apareciendo los demás? Un hecho que respaldaría esta hipótesis puede encontrarse en el reciente uso del patrón rítmico aquí llamado bulería, y que proviene de la soleá sin más que permutar un acento con un silencio. Por su parte, ya existen teorías que indican que la seguiriya es un estilo incorporado al flamenco a finales del siglo XIX y principios del XX. Finalmente, aventuraremos algunas hipótesis sobre las medidas de preferencia en el flamenco. Es conocida la inclinación de los flamencos llamados “puristas” por los estilos que usan el patrón de la soleá. ¿Podría residir la explicación de este hecho en su alto índice de contratiempo? Por otro lado, también es conocida la popularidad que goza la bulería entre el público flamenco en general. ¿Constituye la propiedad de la asimetría rítmica una posible explicación de ese hecho?
Domingo, 01 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Mazzola En 1989 el matemático suizo Guerino Mazzola publica "Geometría del Tono" que aplica los grupos de isometría, la teoría de Galois sobre conceptos -en vez de sobre polinomios algebraicos- y el álgebra categórica al análisis musical.     Topos   En 2002, Mazzola publica una profunda y mejorada ampliación de ese trabajo, bajo el título “The Topos of Music”. Este título tiene doble sentido. Por una parte, se puede traducir de forma general como “El lugar de la música”. Pero admite otro sentido mucho más concreto. Los “Topos” son objetos matemáticos (un tipo particular de Categoría) que vienen a reflejar las posibles visiones o perspectivas de un lugar abstracto a partir de las propiedades o relaciones matemáticas necesarias para su coherencia lógica.   Intuitivamente, en la Teoría de Categorías se usan flechas en vez de puntos, es decir, los objetos no son entes estáticos, sino el cúmulo de todas las posibles visiones o perspectivas en un lugar (topos) dado. Dicho de otra forma, se priman “las relaciones entre los objetos individuales” que conserven la estructura, más que los propios objetos en sí.   The Topos of Music   En esta obra de Mazzola se puede observar el gran progreso de las Matemáticas, la Teoría de la Música y el desarrollo de las Nuevas Tecnologías en la última década del siglo XX.     Mazzola crea una base, basada en los fundamentos teóricos de los Topos, que permite establecer relaciones lógicas y geométricas entre los objetos básicos de la Teoría Musical. Esta base incluye el análisis del ritmo, la melodía y la armonía.   A partir de esa base teórica, Mazzola puede establecer topologías y clasificaciones de los objetos musicales, analizando sus relaciones dentro de ese Topos. Un punto clave en esas relaciones, como no podía ser de otro modo, reside en la presencia de la periodicidad como uno de los fundamentos musicales. La aritmética modular tiene un importante papel en muchas de las relaciones rítmicas, melódicas y armónicas.   Dado el amplio abanico de recursos matemáticos necesarios para establecer el Topos que permita el estudio de los objetos musicales, en la propia obra se incorporan anexos sobre las teorías de Conjuntos, Correspondencias, Monoides, Grupos, Anillos, Álgebras, Módulos, Transformaciones lineales y afines, Cálculo, Geometría y Topología algebraica, Categorías, Topos y Lógica.     Igualmente, otro anexo recoge los fundamentos de la naturaleza y análisis del Sonido y nuestra Percepción del mismo, mostrando especial interés por los modelos de consonancia y la disonancia.     Intentar sintetizar aquí esta extensa obra de Mazzola es inviable. La publicación cuenta con más de 1300 páginas cuajadas de densa información, además de un CD con ejemplos del uso de programas informáticos creados específicamente para el análisis musical. Nos limitaremos a describir brevemente algunas de las imágenes que ilustran The Topos of Music, con la esperanza de que tal vez, casi por sí mismas, comuniquen algunas de las líneas de investigación que allí aparecen.   Conjuntos y representaciones   Así, la siguiente imagen representa el primer paso hacia la digitalización, la asignación de coordenadas a los distintos aspectos de una nota musical.     Junto con los conjuntos numéricos, para una correcta trascripción se necesita incorporar uno o más tipos de orden, como el que muestra la siguiente imagen, que representa un orden de tipo lineal.     Además de las notaciones formales, podemos ayudarnos de notaciones más intuitivas, como por ejemplo flechas para indicar transformaciones. Por ejemplo, el aumento o disminución de un semitono (sostenido y bemol) puede ser representado mediante la flecha correspondiente.     Distancias   En la siguiente imagen vemos una proyección de un compás de un Preludio de Chopin sobre el plano y sus dos proyecciones unidimensionales asociadas. El análisis de estas dos proyecciones revela los aspectos métrico-rítmicos de la notación plana.     Las diferencias relativas entre notas son claves en la armonía (notas simultáneas) y la melodía (notas consecutivas). La siguiente imagen muestra las cuatro soluciones para las cuales, a partir de una nota de referencia, la segunda se sitúa a cuatro semitonos de distancia y la tercera a tres de la segunda.     Escalas   La periodicidad de los 12 semitonos permite establecer la relación con Z12.  De esta forma, se pueden parametrizar las distintas transformaciones de Z12 en sí mismo.     Por ejemplo, podemos establecer las diferentes escalas basadas en secuencias de tonos y semitonos. La siguiente imagen recoge algunas de las escalas más comunes, donde la nota base está representada por el punto más alto del ciclo y las demás notas siguen el sentido horario.     Motivos   Las notas, individualmente, son como los puntos en una figura geométrica: no se perciben como tales sino que generan figuras, formas, agrupaciones, que son los objetos reales de estudio y composición. Las agrupaciones más pequeñas forman los motivos. En la siguiente imagen se señalan tres motivos (M1, M2 y M3) y una agrupación que no lo es, M0 (sólo son cuatro notas formando un armónico). La reducción de los parámetros implicados en cada motivo -algo así como quedarse con el baricentro de un triángulo en vez de con todo el triángulo- es una vía para poder comparar diferentes distribuciones de motivos a lo largo de una misma obra o entre obras distintas.     Simetrías   En la parte izquierda de la siguiente imagen vemos la representación de dos inversiones. La primera, sin centro fijo, es decir, entre notas. La segunda, con centro fijo. En la parte derecha vemos la representación de una inversión en el plano como un giro de 180º (una simetría central).     La siguiente representación plana corresponde a tres series dodecafónicas de Webern. Recordemos que en el serialismo la presencia de la simetría es parte de su propio fundamento teórico. Observemos como las diagonales hacen de ejes de simetría.     El lema de Yoneda   Uno de los puntos cruciales en The Topos of Music es el lema de Yoneda. Este importante resultado viene a mostrar cómo podemos ampliar el conocimiento de una Categoría estableciendo una correspondencia entre sus objetos y las relaciones entre ellos.   Tras el lema de Yoneda hay un cambio de filosofía en el entendimiento de los núcleos de información. Ya no son los objetos los centros de atención, sino las diferentes perspectivas que podemos obtener de ellos. La comparación entre las distintas perspectivas de dos objetos nos ofrece, precisamente, la información deseada acerca del parecido o diferencia entre ambos objetos.   Los dos siguientes diagramas muestran un ejemplo intuitivo de este procedimiento. Aunque los motivos M1 y M2 son diferentes, podemos establecer una biyección entre las relaciones que mantienen ambos motivos (flechas) con otras notas fundamentales de la composición. La existencia de esta biyección nos indica que tales motivos pueden cumplir un papel similar en la composición, pero si hacemos solamente esto (sustituir cada motivo por sus relaciones) podemos llegar a la errónea conclusión de que ambos motivos son similares.     Sin embargo, si seguimos estudiando todas las perspectivas, es decir, todos los tipos de relación de ambos motivos entre sí y con los otros objetos, la diferente naturaleza de cada uno queda revelada.     La composición de las proyecciones de M1 sobre la altura de la primera nota (q) y sobre la diagonal (s) da por resultado precisamente M2. Así que, intuitivamente, podemos ver a M2 como una transformación de M1. Pero esta transformación es irreversible. M1 “puede ver” a M2 pero M2 no “puede ver” a M1.   Un buen ejemplo de cómo el cambio de perspectiva ayuda al conocimiento lo tenemos en la pintura. La siguiente imagen muestra el famoso cuadro La escuela de Atenas, de Rafael.     Tomemos los elementos arquitectónicos esenciales, además de 58 figuras humanas, y simulemos en el espacio virtual del ordenador la estructura básica del cuadro:     Ahora rotamos el espacio virtual obteniendo una nueva perspectiva. Su análisis muestra simetrías que no podían encontrarse bajo la perspectiva del cuadro original.     Programación orientada a objetos   Los modernos lenguajes de programación orientada a objetos, como Java, son en esencia un acceso a la programación desde un punto de vista de Categorías. Sus características, como el encapsulado, las herencias, los métodos, clases e instancias, realizan precisamente lo que sugiere el lema de Yoneda: reemplazar las entidades por la respuesta ante determinadas condiciones, es decir, la identificación mediante el comportamiento.     Probablemente el más excitante campo actual de investigación en la música se refiere a su análisis mediante las más avanzadas aplicaciones de software orientado a objetos, como Rubato, OpenMusic o Symbolic Composer (imagen anterior).   Gracias a Mazzola y otros matemáticos hoy podemos disfrutar de estas poderosas herramientas de composición y análisis musical, modernos frutos de importantes teoremas algebraicos.
Martes, 15 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Dejadme que os hable del teorema del hexacordo, que no es incordio. Hexacordo significa seis notas, una tras otra. Lo inventó Guido d'Arezzo, para solfear, con salero y aderezo. Mucho más tarde, cuando el tonalismo arde, Schoenberg estudia los hexacordos. Como sabéis, Schoenberg es furioso practicante del dodecafonismo, sistema que basa la composición musical en la elección de una seria serie de 12 notas distintas, alrededor de la cual gira toda la elaboración formal del material musical. Por ejemplo, la seria, digo serie, de abajo aparece al comienzo de su ópera La escalera de Jacob, tocada en ostinato por los violonchelos. Figura 1: Serie dodecáfonica perteneciente a La escalera de Jacob. Schoengerg dividía la serie en dos hexacordos y se afanaba por encontrar en ellos alguna brillante propiedad, con talante y gravedad. Una que le llamaba la atención, le regañaba, era el contenido interválico. Schoenberg contaba, algunas veces incluso cantaba, todos los intervalos entre las notas de un hexacordo. Estaba calculando su contenido interválico. Se asombraba al comprobar que los contenidos interválicos de los dos hexacordos de una serie coincidían. Estaba, en esencia, en presencia del teorema del hexacordo. Lo usó de manera intuitiva, sin duda fruitiva y quizás algo plausiva (Babbit [Bab87] dixit). Schoenberg se planteaba un erotema (no teman; de eros, nada): "¿Habrá teorema del hexacordo? Acorde a mí, sí (de mi a si, sin acento: una quinta)" -se decía el compositor. Pero no sabía cómo establecerlo. Veamos qué es el teorema del hexacordo con ayuda de la geometría. Una nota de una serie dodecafónica puede representar una nota de cualquier octava; en la figura 1 las notas de la serie se escribieron en el ámbito de una octava. Las notas de la serie son en realidad clases de alturas. Las 12 notas representaremos como puntos en un círculo; las sentaremos equiespaciadas, donde la distancia entre dos puntos es un semitono. La figura 2 muestra el hexacordo de más arriba. Figura 2: Representación geométrica de un conjunto de notas. El contenido interválico, como decimos, lo forman todos los intervalos entre los puntos del hexacordo. El intervalo entre dos notas está dado por el camino más corto en el círculo (distancia geodésica). En la figura vemos la filatura de segmentos urdidos de nota a nota. Denota, anota (perdón por el tuteo): el primer hexacordo, a la izquierda; el segundo, en el centro; a la derecha, el histograma común. Figura 3: Dos hexacordos complementarios y sus contenidos interválicos. Es importante avisar aquí que las notas separadas por un diámetro, el llamado tritono o diabolus in musica, cuentan como 2. Más adelante, en la segunda parte de esta serie, se verá el porqué y la utilidad de esta convención. El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Así, los movimientos rígidos preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A=. Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A)=. Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A)=. Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A))=. Bea se la figura (chica lista). Figura 4: Transformaciones de notas mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de congruencia: dos conjuntos de puntos se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de contenido interválico: dos conjuntos de puntos se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, casi ahogada, gutural, es: ¿existen, por ventura, conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí, yes, oui. Por ejemplo, A= y B=. Véase la figura de Bea (la hizo ella). Figura 5: Dos acordes homométricos pero no congruentes. Ahora es hora de describir, reescribir, circunscribir, lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. La menta hable mente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos1, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido mus y cal. Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado. Figura 6: Transposición de un acorde. Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde. Figura 7: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición. Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor. Figura 8: Cambio del modo de un acorde vía la simetría. O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible: Figura 9: Transposición de un acorde. En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77]. 2. El teorema del hexacordo y su demostración Sin pérdida de tiempo, sin dilación, con apuro y premura, con urgencia y diligencia, con... ¡No te alargues más! ¡Enuncia el teorema ya! Me digo entonces: ¡Basta! (No tengo tiempo ni para las comillas). Helo aquí al vuelo: dos hexacordos complementarios son siempre homométricos. ¿Cómo? ¿Olvidé decir qué son los hexacordos complementarios? Tanta prisa no puede ser buena: son aquellos que no tienen notas comunes y cuya unión dan las 12 notas del círculo. Aunque enunciado aquí para 12 notas, en el contexto musical, el aserto es cierto para cualquier número de puntos. Es el teorema del hexacordo uno de esos resultados que flota en el ambiente de toda una época. Muchos lo intuían y solo unos pocos perseguían su demostración, pero ésta se escurría como pez plateado, como diente de león, como sombra furtiva. La demostración mariposeaba, risueña, burlona, coqueta casi, retando a su cazador. Ocurrió también que en varios campos se conocía el resultado, pero los protagonistas no se cultivaban entre sí ni recogían cosechas ajenas. En Teoría de la Música la primera demostración se debe a Lewin en 1959 [Lew59]. Lewin publicó un artículo que contenía una semilla, un germen, de demostración. Un año más tarde, en un nuevo artículo [Lew60] la germina, la gratina, la refina, la afina, con fino La Ína. Más tarde, en 1974, Regener [Reg74] descubrió una demostración simple que explota propiedades combinatorias de los intervalos. Desde entonces se han publicado otras demostraciones, unas más simples y otras más bien de complejidad enrevesada. Mazzola [Maz03] y Jedrzejewski [Jed06] tienen demostraciones cortas construidas sobre monumentales moles de granito matemático. Amiot [Ami07] publicó una demostración elegante, corta y defatigante, basada en la transformada del cabo fourrier Fourier. Blau [Bla99] en 1999 presentó una demostración muy elemental y perspicaz; estudió una pequeña propiedad, hizo un par de observaciones agudas, de piccolo, y dedujo el teorema sin despeinarse. Los teóricos de la música ignoraban por completo que en Cristalografía el teorema del hexacordo ya era conocido. En Cristalografía aparece el problema de determinar un conjunto de puntos a partir de sus distancias. En un principio, los cristalógrafos pensaron que podían recuperar las posiciones del conjunto de puntos a partir de sus distancias. Su gozo en un pozo; sus esperanzas, vanas; en fin, sollozo y escorrozo. Pronto dieron ejemplos de conjuntos de puntos distintos que tenían el mismo conjunto de distancias. A estos conjuntos los llamaron ciclotómicos. Retomemos la historia del teorema del hexacordo. Curiosa y ambagiosa situación: Patterson, un cristalógrafo, enunció el teorema, anunció una demostración [Pat44] (en 1944), renunció a publicarla. ¿Por qué? No se sabe. Nadie denunció la falta de la prueba. Solo en 1975 Buerger aportó y reportó una demostración sólida y pulida, nada dadá, nada gagá. Su demostración, no obstante ser triunfante por correcta, era pesante por circunspecta: usaba álgebra muy teórica, una demostración poco intuitiva. ¡Pero con Iglesias hemos topado! Sí, porque Iglesias, Juan Iglesias [Igl81], cristalógrafo, en 1981 dio una demostración simple y muy elegante, usando mera inducción; la reproducimos más adelante. Una demostración muy geométrica es la proporcionada por Senechal [Sen08]. Probablemente, Ballinger y sus coautores [BBOG09] han dado la demostración más sencilla y corta hasta el momento, demostración que generaliza el teorema del hexacordo al caso continuo (¿acordes continuos?). Más adelante, damos la demostración. El teorema del hexacordo se ha generalizado en varias direcciones, entre ellas, estudiando ritmos de diferentes cardinalidades; véanse las referencias  [Lew76], [Lew87], [Igl81], [Mor90], [Sod95] y [AG00]. 3. La demostración de Juan Iglesias Iglesias probó el teorema del hexacordo con una demostración sencilla, de blanco elegante, con blanco guante. Iglesias consideró un círculo con N puntos equiespaciados y puso sobre el círculo dos conjuntos, complementarios entre sí, uno con n puntos negros y el otro con b puntos blancos. Se dijo: "Observemos todas las distancias entre los dos conjuntos. Hum... las hay de tres tipos claramente: entre puntos negros, las llamaré distancias n-n; entre puntos blancos, serán las b-b; y entre puntos de distinto color, las n-b". Iglesias ve entonces una relación entre esas distancias. "Fijo una distancia d primero" -musita inspiradamente-; "pongamos que d ocurre ann veces entre puntos negros, abb veces entre puntos negros y anb veces entre puntos de distinto color". Continúa así: "Entonces podría escribir la siguiente relación, bella, ella: Iglesias llevó a cabo un pequeño análisis de casos que le condujo a la demostración de esa relación. "¿Qué pasa si cambio un punto negro por un punto blanco?" -se preguntó, juguetón, creativo, curioso- "¿Cómo cambia la relación anterior? ¿Cómo variarán las cantidades ann, abb y anb?" Así. Cada punto negro tiene solo otros dos puntos, del color que sea, a distancia d exactamente. Con estos puntos tres casos despuntan: Los dos puntos a distancia d son blancos: Figura 10: Caso 1 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 2 y el de distancias negro-blanco disminuye en 2. Los dos puntos a distancia d tienen distinto color: Figura 11: Caso 2 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 1 y el de distancias negras disminuye en 1. Los dos puntos a distancia d son negros: Figura 12: Caso 3 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos negros disminuye en 2 y el de distancias negro-blanco aumenta en 2. "Si la relación es cierta para un conjunto de n puntos negro y su complementario, con b puntos blancos, ¿qué pasa con la relación (1) cuando se cambia un punto negro?" -se preguntó finalmente Iglesias. Nada cambia: Para el caso (1): Para el caso (2): Para el caso (3): ¿Cómo se prueba el teorema del hexacordo a partir de las relaciones que descubrió Juan Iglesias? En un abrir y cerrar de ojos, en un plis plas, en un suspiro. Sea N par el número total de puntos en el círculo. En el caso del teorema del hexacordo los conjuntos tienen N/2 puntos cada uno, es decir, n=b=N/2. Luego: y así ann = abb. Nótese que esta igualdad, cuando se interpreta en la música, señala precisamente que el contenido interválico es idéntico. ¿Qué más decir? Bella y elegante demostración. Iglesias: amén. 4. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. En el análisis de la música atonal, en especial en la dodecafónica, se usa frecuentemente las clases de alturas. Dos notas se dicen equivalentes si están en una misma octava. Esta relación es de equivalencia. Las clases de alturas son las clases de equivalencia dadas por esa relación. El conjunto de las clases de alturas tiene la misma estructura que Z12. Como ejemplo del uso de los hexacordos en Schoenberg, veamos los compases iniciales de La escalera de Jacob (figura 13). Figura 13: Los hexacordos de La escalera de Jacob. La obra comienza con los violonchelos exponiendo el primer hexacordo, [1, 2, 5, 4, 8. 7], en ostinato. Una a una van entrando las notas del hexacordo complementario, [0, 3, 11, 10, 6, 9], en un largo arpegio, hasta que se logra un acorde de 6 notas con un amplio registro. Después de esta exposición los instrumentos entran en un contrapunto (no se muestra ya en la figura) con diferentes órdenes de las notas del primer hexacordo. Desde el punto de vista perceptual, es natural preguntarse si tras la escucha de un hexacordo o un ritmo se puede captar con precisión el contenido interválico y si dicha percepción constituye un factor musical relevante. Varios autores han llevado a cabo experimentos con sujetos para determinar si las estructuras de teoría de conjuntos usadas en la música atonal tienen correlato perceptual. Bruner [Bru84] descubrió en sus experimentos que los juicios de similitud entre acordes, presentados de varias maneras, no se correspondían con las propiedades de los sonidos como conjuntos, sino con otras tales como consonancia, número de notas en común o relaciones armónicas. Gibson realizó varios experimentos para investigar esta cuestión. En [Gib86] Gibson quiso probar las relaciones de similitud expuestas por Forte [For77] en su libro The Structure of Atonal Music. De 39 sujetos, solo 3 calificaron la similitud entre acordes siguiendo las teorías de Forte. En [Gib88] Gibson explora la relevancia perceptual de las clases de alturas y en [Gib93], la de los hexacordos complementarios concretamente. En ambos experimentos el porcentaje de sujetos que juzgaron la similitud entre acordes según las teorías de Forte fue similar al dado por el puro azar. A pesar de lo dicho más arriba sobre la relevancia perceptual de ciertos conceptos matemáticos, las matemáticas constituyen una gran herramienta de análisis, sobre todo de la música contemporánea atonal. Un ejemplo de ello es el libro Foundations of Diatonic Theory, de Johnson [Joh03]. Es un libro para músicos, parte de un proyecto llamado Mathematics Across the Curriculum, que explica muchos conceptos de teoría de la música con conceptos de matemáticas introducidos con total pertinencia. Bibliografía [AG00] T. A. Althuis and F. Göbel. Z-related pairs in microtonal systems. Memorandum 1524, University of Twente, The Netherlands, April 2000. [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [Bab87] Milton Babbitt. Milton Babbitt: Words About Music. The Wisconsin University Press, Madison, WI, 1987. Edited by Joseph Nathan Straus and Stephen Dembski. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [Bla99] Steven K. Blau. The hexachordal theorem: A mathematical look at interval relations in twelve-tone composition. Mathematics Magazine, 72(4):310-313, October 1999. [Bru84] C.L. Bruner. The perception of contemporary pitch structures. Music Perception, 2(1):25-39, 1984. [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Gib86] D.B. Gibson. The aural perception of nontraditional chords in selected theoretical relationships: A computer-generated experiment. Journal of Research in Music Education, 34(1):5-23, 1986. [Gib88] D.B. Gibson. The aural perception of similarity in nontraditional chords related by octave equivalence. Journal of Research in Music Education, 36(1):5-17, 1988. [Gib93] D.B. Gibson. The effects of pitch and pitch-class content on the aural perception of dissimilarity in complementary hexachords. Psychomusicology, 12(1):58-72, 1993. [Igl81] Juan E. Iglesias. On Patterson's cyclotomic sets and how to count them. Zeitschrift für Kristallographie, 156:187-196, 1981. [Jed06] Golan Jedrzejewski. Mathematical Theory of Music. Editions Delatour France, 2006. [JK03] Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003. [Lew59] David Lewin. Intervallic relations betwen two collections of notes. Journal of Music Theory, 3(2):298-301, November 1959. [Lew60] David Lewin. The intervallic content of a collection of notes, intervallic relations between a collection of notes and its complement: An application to schoenberg's hexachordal pieces. Journal of Music Theory, 4(1):98-101, April 1960. [Lew76] David Lewin. On the interval content of invertible hexachords. Journal of Music Theory, 20(2):185-188, Autumn 1976. [Lew87] David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press, 1987. [Maz03] Guerino Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2003. [Mor90] Robert D. Morris. Pitch-class complementation and its generalizations. Journal of Music Theory, 34(2):175-245, Autumn 1990. [Pat44] A. Lindo Patterson. Ambiguities in the x-ray analysis of crystal structures. Physical Review, 64(5-6):195-201, March 1944. [Reg74] Eric Regener. On Allen Forte's theory of chords. Perspectives of New Music, 13(1):191-212, Autumn-Winter 1974. [Sen08] Marjorie Senechal. A point set puzzle revisited. European Journal of Combinatorics, 29(1):1933-1944, 2008. [Sod95] Stephen Soderberg. Z-related sets as dual inversions. Journal of Music Theory, 39(1):77-100, Spring 1995. Notas a pie de página: 1 Una transposición en teoría de grupos es una biyección entre grupos finitos que deja todos los elementos fijos salvo dos.
Miércoles, 05 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La versión continua del teorema del hexacordo Seguimos (en presente) con el teorema del hexacordo, ahora en su versión continua. En el artículo anterior conocimos el interés de Schoenberg por los hexacordos, vimos cómo los saboreó, cómo los deglutió, cómo intuyó sus propiedades; pero, aunque quiso, no pudo dar con el resultado apetecido. Después aprendimos qué es el contenido interválico y qué movimientos lo dejan invariantes. Seguimos (en pasado) con el teorema del hexacordo, enunciándolo con precisión, y continuamos (¿También éste? ¡Qué oficio! Sí, claro, en pasado) la historia de su demostración. Una historia llena de intentos fallidos, desconocimientos mutuos, refinamientos sucesivos y, por fin, demostraciones epigramáticas, certeras como puñales, breves como haikús. Dimos la demostración de Iglesias, por elegante y corta. Consistía, si recordáis, en un juego de recuento entre puntos blancos y negros. Y ahí el mes pasado nos quedamos. El presente mes presentamos una generalización del teorema del hexacordo al caso continuo, demostración incluida. Es corta y profunda, pues une dos mundos, el discreto y el continuo. 1.1. Ritmos y pesos Para generalizar el teorema del hexacordo necesitamos un cambio de enfoque, que provoque choque y que apoque el enroque mental tendencial. Pasaremos de acordes y escalas a ritmos de modo inmisericorde. Pero ¿qué es un ritmo? Tomemos el círculo y pongamos n puntos equiespaciados en él, a los que llamaremos pulsos. En cada pulso elegimos si ponemos una nota o un silencio. Solo se pueden poner notas o silencios en los pulsos, pero no entre dos pulsos consecutivos. Un ritmo es una sucesión de notas y silencios puestos sobre un conjunto de n pulsos. En música los pulsos no suenan, no se tocan; la división del tiempo sencillamente está en la mente del intérprete, como referencia temporal. En la figura 1 tenemos el ritmo [x . . x . . x . . x . .] definido sobre 12 pulsos, donde la x representa un sonido y el punto un silencio. Figura 1: Un ritmo y su representación geométrica. Este ritmo, interpretado como un acorde, sería el acorde disminuido de do (do - mi bemol - fa sostenido - la), que es el acorde que divide la octava en cuatro partes iguales. Este ritmo consiste en la división de una unidad de tiempo, dada por la longitud del círculo, en cuatro partes iguales. Se ve la equivalencia entre el enfoque de acordes y el enfoque rítmico. Seguimos (en presente a partir de aquí): sea R un ritmo; asignamos a cada nota del ritmo un peso y a cada silencio un peso . Formamos el vector de pesos del ritmo R, . Llamaremos a la suma el peso W(R) del ritmo, cuyo valor no es otro que el número de notas de R. El complementario de un ritmo R tiene como pesos . Estamos lanzados: consideremos el histograma HR del ritmo R. Dicho histograma nos informa, educadamente, para cada distancia , del número de veces que ocurre sin más que mirar a la altura de sus cajitas. El histograma HR determina, pues, una función de la distancias; llamemos HR(d) a esa función de d. Enunciamos de nuevo el teorema del hexacordo acorde a la nueva terminología: Teorema 1 Sea R un ritmo sobre un conjunto de n pulsos, donde n es par. Si W(R) = n/2, entonces R y son homométricos, esto es, para todo d, . Antes de seguir daremos un teorema, conocido en teoría de la música como el teorema del tono común [Joh03], y que servirá de base para la generalización en ciernes. Por completitud, incluimos una prueba sencilla del teorema; para una prueba más compleja, basada en teoría de grupos, consúltese [JK03]. Teorema 2 [Teorema del tono común] , donde los índices se interpretan módulo n. Demostración. Si en las posiciones i e i+d hay notas, entonces y se cuenta, en efecto, la ocurrencia de la distancia d. Si en alguna de esas posiciones hay un silencio, el producto es 0. Por tanto, la suma cuenta 1 por cada aparición de la distancia d en el ritmo R. Queda por ver que cada par de puntos a distancia d solo contribuya una vez a la suma, excepto en el caso del diámetro que contribuye dos veces. Si el par (i, i+d) contribuye dos veces a la suma es porque la distancia de i a i+d es la misma que de i a i-d. Entonces, se tiene que: i+d = i-d mod n Al ser distancia geodésica, y, por tanto, 2d. Estamos en el caso del diámetro con toda seguridad. Como ejemplo, cojamos el ritmo sobre 16 pulsos dado por , esto es, hay notas en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12 y silencios en el resto. Su peso es . Para , la función da lugar al histograma de la figura de abajo. Figura 2: La función histograma HR(d). 1.2. La generalización al caso continuo La generalización se produce en dos sentidos. Primero, pasaremos del círculo de n pulsos a un círculo continuo. Se puede tomar, sin pérdida de generalidad, como el círculo unidad. Segundo, los pesos discretos son ahora funciones reales f(x), con . Aquí la variable x indica un punto del círculo medido desde las 12 del mediodía; f(x) indica su peso. El peso de un ritmo R se define como la integral . Las definiciones en el caso continuo son análogas al caso discreto. El complementario tiene peso y HR(d) es una función sobre el intervalo . Como definición de HR(d) tomamos la versión continua del teorema del tono común: Ilustremos con un ejemplo este salto del caso discreto al continuo. Consideremos el ritmo continuo R dado por la función . Su función histograma es donde . La gráfica de f(x) y su histograma se muestran en la figura 3. Figura 3: La función f(x) y la función histograma HR(d). 1.3. La demostración en el caso continuo Teorema 3 Si R es un ritmo integrable y , entonces para toda distancia , se tiene que . Demostración. Empecemos por fijar d. De la definición del histograma tenemos que: Aplicando la definición de ritmo complementario obtenemos: Multiplying out los términos queda: Efectuando el producto dentro de la integral da: La primera integral da 1. Dado que , la segunda integral también vale 1/2. La tercera integral también da 1/2; el área de f(x) y f(x+d) es la misma, ya que f(x) es una función periódica en [0,1]. Finalmente, llegamos a: Esto prueba que para todo d. 1.4. De vuelta al teorema discreto Afirmábamos antes que el teorema continuo del hexacordo recién probado es una generalización del teorema original, discreto, sin duda. Se deduce que este teorema es un caso particular de la versión continua. Así es. Para verlo basta tomar un ritmo discreto y transformarlo en una función integrable f(x) en [0, 1] como sigue: donde es la función característica del intervalo , esto es, la función que vale 1 si y 0 en caso contrario. Se puede probar que la función histograma asociada a f(x) es proporcional a la función histograma asociada al ritmo . En efecto, en la versión continua usamos el círculo unidad mientras que en la versión discreta tenemos n pulsos. Entonces, en la versión discreta la función histograma se transforma en la siguiente función en la versión continua: Esta igualdad prueba que el histograma discreto es proporcional al histograma continuo. De aquí se desprende que si el teorema del hexacordo es cierto en el caso continuo, también lo es en el caso discreto. 2. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. Volvemos ahora a la cuestión de por qué se cuenta el diámetro dos veces en el contenido interválico. En primer lugar, por comodidad. Si no se cuenta el diámetro de esta manera, la fórmula que aparece en el teorema del tono común hay que reescribirla de una manera farragosa. Los resultados no cambian si se cuenta solo una vez el diámetro, pero su descripción es menos concisa. También se puede justificar esta convención estudiando el comportamiento de cuando . La fórmula que aparece en el teorema del tono común, , es, en realidad, una función de autocorrelación discreta. Varias demostraciones del teorema del hexacordo han surgido del campo de la teoría de funciones gracias a la relación que proporciona esa fórmula. Véanse [JK03] y [Ami07] para más información. La generalización que hemos mostrado aquí sirve también para probar otros resultados más generales que el teorema del hexacordo. Por ejemplo, el primer teorema de Patterson, que establece que, si dos ritmos tienen el mismo número de notas y son homométricos, entonces sus complementarios también son homométricos. Véase [BBOG09] para los detalles de esta demostración usando la versión continua del teorema del hexacordo. References [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [JK03] Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003.
Martes, 01 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En este último artículo sobre el teorema del hexacordo veremos una demostración basada en la transformada de Fourier y conoceremos un poco de la historia y personalidad de David Lewin, uno de los primeros autores en usarla en el contexto musical. La demostración será un poco más complicada que la de Juan Iglesias [Igl81] o que la del teorema continuo del hexacordo [BBOG09], pero merece la pena por la conexión con ese hermoso y fecundo objeto matemático que es la transformada de Fourier. Pero empecemos por el hombre. David Lewin (1933-2003) fue un músico y matemático que impulsó el análisis formal de la música por medio de las matemáticas. Neoyorquino de nacimiento, empezó a tocar el piano desde muy niño, aunque su interés por las ciencias, en particular por las matemáticas, le llevó a estudiar matemáticas en la Universidad de Harvard. En 1954 terminaría la licenciatura en Matemáticas. Nunca había abandonado la música y después de terminar la carrera Lewin estudió composición con músicos de la talla de Roger Sessions, Edward Cone o el influyente Milton Babbitt. Tras esta etapa, orientó su carrera hacia la música y empezó a enseñar composición y teoría de la música en varias universidades: Harvard, Berkeley, la universidad estatal de Nueva York en Stony Brook, Yale. Llegó a ser el presidente de la Society for Music Theory norteamericana. Recibió a lo largo de su vida varios doctorados honoris causae. Aunque más conocido por sus teorías sobre el análisis musical, fue también un compositor prolífico y experimentador. Por ejemplo, fue el primer músico en componer una pieza musical totalmente generada por ordenador (véase [Coh01]). Ello ocurrió en los laboratorios Bell en 1961. La obra más influyente de Lewin es su libro Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87], publicada en 1987. En ella Lewin sienta las bases de lo que poco más tarde recibiría el nombre de teoría de transformaciones (transformational theory, en inglés). Lewin concibe la música como la transformación continua del material musical y su idea es modelizar matemáticamente tanto el material musical, el "conjunto S de objetos musicales" (capítulo 7), como las transformaciones musicales en sí, las cuales se ven como funciones matemáticas sobre S. Principalmente, Lewin se sirvió de la teoría de grupos para modelizar dichas funciones. Por ejemplo, la escala cromática de 12 semitonos la concibe como el grupo cíclico . Esta modelización recoge el hecho perceptual de que una misma nota colocada en distintas octavas en ciertos contextos se percibe como una única nota. Sus modelos se aplicaron a diversos parámetros musicales aparte de a la altura del sonido, incluyendo el ritmo, la métrica y el timbre así como a la música tonal y atonal. Aplicadas a la música tonal, las teorías de Lewin se han considerado como parte de un análisis neoschenkeriano [CG06] que ha prolongado las teorías clásicas del análisis musical; aplicadas a la música atonal, se han visto como un nuevo modo de análisis más flexible y versátil, capaz de explicar las nuevas relaciones musicales provenientes de la música contemporánea. El enfoque de Lewin es, sin duda, muy abstracto y frecuentemente se citan sus métodos de análisis en términos de idealismo abstracto. Para una lista completa de las publicaciones, véase la página de Wikipedia sobre David Lewin [Wik10]. En su artículo Re: Intervallic Relations between Two Collections of Notes [Lew59], de 1959, Lewin investiga cómo reconstruir conjuntos de notas a partir de ciertas propiedades. Lewin, demasiado avanzado para su tiempo, piensa que no será entendido demasiado bien y en el mismo artículo declara que: "The mathematical reasoning by which I arrived at this result is not communicable to a reader who does not have considerable mathematical training. For those who have such a training, I append a sketch of the proof." ["El razonamiento matemático por el cual llegué a este resultado no es comunicable a un lector que no posea un considerable instrucción matemática. Para aquellos que la tengan agrego un bosquejo de la prueba."] La prueba apenas está bosquejada, pero claramente menciona la transformada de Fourier y la convolución. En la sección siguiente seguiremos su rastro y completaremos la formalización de Lewin en términos de la transformada de Fourier. Para una exposición profunda del tema, recomendamos al lector el excelente artículo de Amiot [Ami07]. 2. La transformada de Fourier Empezaremos por unas sencillas definiciones a modo de recordatorio. Dado un conjunto cualquiera X, llamaremos 1X a su función característica: Dadas las aplicaciones que nos interesan aquí, las musicales, consideraremos la transformada de Fourier sobre el grupo cíclico . Dado un subconjunto de , la transformada (discreta) de A, designada por , es una función compleja definida por La transformada de Fourier se puede pensar como un operador, esto es, una aplicación que transforma unas funciones en otras. En ese caso, designamos solo por la transformada y escribimos . Como es bien sabido, la transformada es un operador lineal; véase [Kam08] para más información. En el mencionado artículo [Lew59], Lewin introduce la llamada función de intervalo , donde . Su definición es como sigue: donde |·| indica el cardinal de un conjunto. Como ya vimos en el artículo pasado, El teorema del hexacordo - II, el teorema del tono común nos dice que: donde . Esta última fórmula no es sino la convolución de las funciones 1A y 1B. Luego, podemos escribir: Una vez provistos de las definiciones necesarias, examinamos la primera propiedad que nos permitirá probar el teorema del hexacordo. PROPIEDAD 1 (P1): Si , entonces . Cuando , entonces . Demostración: Si , tenemos: El caso en que , cada término del sumatorio es 1 y el resultado se prueba inmediatamente. A continuación usamos la propiedad P1 para ver qué relación existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 2 (P2): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: En el sumatorio podemos separar los términos que viene del conjunto de aquellos que vienen de . De esta igualdad se deduce que , como queríamos. Ahora examinamos la relación que existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 3 (P3): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: De nuevo es un argumento sencillo sobre los términos del sumatorio. Se sigue, pues, que , cuando . Si combinamos esta ecuación con la propiedad P2, , tenemos el resultado buscado, . Para el caso en que , la igualdad es cierta solo cuando . La prueba se deja como divertimento para el lector. A continuación consideramos el módulo de , , que es una función que asocia a cada el número . Usaremos la notación del valor absoluto para indicar el módulo; no debe confundirse con el cardinal de un conjunto. Recordamos, por último, que la transformada de Fourier tiene inversa: 3. El teorema del hexacordo Diremos que dos conjuntos cumplen la relación de Lewin si para todo . La relación de Lewin se conserva bajo la aplicación de movimientos rígidos (giros y simetrías), pero el recíproco no es cierto; véase [Ami07] para una prueba de este hecho. El contenido interválico, definido formalmente, es una función Si calculamos la transformada de Fourier de CI(A), obtenemos: Teorema del hexacordo. Sea con n par y . Entonces . Demostración. He aquí la demostración de dos líneas. Línea 1: . Línea 2: implica que como consecuencia de la aplicación de la inversa de la transformada de Fourier. 4. Para saber más Aparte de sus teorías matemáticas para modelizar la música, Lewin se ocupó del problema del texto y la música. Escribió varios artículos sobre esta cuestión. Véase, por ejemplo, [Lew92], donde analiza los aspectos estructurales de la música que pueden servir como base de la interpretación dramática. En el artículo de Amiot [Ami07] se analizan extensa y profundamente la relación de la transformada de Fourier. Gran parte de ese trabajo está dedicado al fascinante tema de los conjuntos de máxima regularidad (a los que se dedicará una serie en esta sección en un futuro muy próximo). Bibliografía [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, páginas 63-77. Springer, Berlin, 2009. [CG06] Allen Cadwallader and David Gagne. Analysis of Tonal Music: A Schenkerian Approach. Oxford University Press, USA, 2006. [Coh01] Richard Cohn. Lewin, David. Macmillan Publishers, London, 2001. The New Grove Dictionary of Music and Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell. [Igl81] Juan E. Iglesias. On Patterson's cyclotomic sets and how to count them. Zeitschrift für Kristallographie, 156:187-196, 1981. [Kam08] David W. Kammler. A First Course in Fourier Analysis. Cambridge University Press, 2008. [Lew59] David Lewin. Re: Intervallic relations betwen two collections of notes. Journal of Music Theory, 3(2):298-301, noviembre 1959. [Lew87] David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press, 1987. [Lew92] David Lewin. Musical Analysis as Stage Direction. Cambridge University Press, 1992. In Music and Text: Critical Inquiries, editor. S.P. Scher. [Wik10] Wikipedia. David Lewin. http://en.wikipedia.org/wiki/David_Lewin, 2010.
Viernes, 09 de Julio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:David Rapapport (Queen's University)
Es un gran placer para mí presentar un artículo de David Rapapport (fotografía de la izquierda), geométra interesado en la música y músico interesado en la geometría. Su artículo que presentamos en esta sección, Conjuntos de área máxima y la armonía, es una exploración deliciosa de la armonía a través de conjuntos de área máxima inscritos en un círculo. El autor caracteriza escalas fundamentales en la improvisación en la música del jazz. Francisco Gómez Martín BIOGRAFÍA: David Rapapport es profesor en la School of Computing y Vicedecano en la School of Graduate Studies en Queen's University, en Canadá. Obtuvo un grado en Matemáticas por la Universidad de Concordia y un tesis de maestría y de doctorado por la Universidad de McGill, ambas en Canadá. Su investigación se centra en geometría discreta y computacional con especial énfasis en algoritmos y optimización. También está interesado en las conexiones entre matemáticas y música. ARTÍCULO: 1. Introducción La Geometría y la Música están relacionadas entre sí de varias maneras. La notación musical usa la forma y el espacio para transmitir la información sobre la altura y la duración. Los guitarristas visualizan las estructuras armónicas, así escalas, arpegios y acordes, como formas geométricas en el traste. Los orígenes de nuestro sistema musical de siete notas extraídas de un conjunto de doce alturas se puede describir en términos de cuerdas vibrantes de varias longitudes. Dimitri Tymocko, en un reciente artículo suyo [17], ha usado la geometría para analizar la conducción de voces en música. La Combinatoria es otra rama de las Matemáticas que se utiliza en el análisis de la música. Inevitablemente, la visión combinatoria se apoya en una imagen, esto es, en una representación geométrica. Considérese un círculo con doce puntos equidistantes distribuidos en su circunferencia. Los doce puntos representan las doce alturas del universo cromático dado por el temperamento igual. De estos doce puntos elegimos un subconjunto de al menos cinco puntos, porque musicalmente se llama una escala a un subconjunto de cinco o más alturas. Algunos de estos conjuntos, o escalas, son elementos esenciales de la armonía occidental. En los ejemplos que se muestran en la figura 1 un subconjunto de puntos se conecta en orden para construir un polígono convexo. Consideraremos polígonos distintos salvo rotaciones. Esto equivale a considerar que los distintos modos musicales provenientes de una misma escala no son escalas distintas. Ya que hay 12 puntos equiespaciados sobre la circunferencia, es razonable llamar a estos diagramas diagramas de reloj. La representación de las notas de una escala por un polígono aparece en un artículo publicado en 1937 por E. Krenek [8], de modo que algunas veces estos diagramas se llaman diagramas de Krenek, como por ejemplo en el artículo de McCartin [10]. Sin embargo, en una recensión de Nolan [11], Heinrich Vincent ya usaba esta misma representación en un artículo suyo publicado en 1862 [18]. El uso de los diagramas de reloj es omnipresente en la teoría matemática de la música. Cuando se considera la escala diatónica usual, se observa que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre las doce notas cromáticas. La distancia entre dos notas puede medirse como el número de notas de la escala entre ellas, o bien como el número total de notas cromáticas entre ellas. De este modo, distinguimos entre la distancia de la escala y la distancia cromática de un par de notas. Clough and Douthett [1] definen un conjunto de regularidad máxima cuando la distancia cromática entre un par de notas difiere de su distancia de escala en una unidad como máximo. Los conjuntos de regularidad máxima (conjuntos RM de aquí en adelante) son únicos (salvo rotaciones) como se prueba en [1] y también en [4]. Los conjuntos RM incluyen algunas de las escalas más ampliamente usadas en la música occidental, a saber, la escala diatónica, la escala pentatónica anhemitónica común, la escala de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica (véase la figura 1). Figura 1. Los subconjuntos en a) y b) representan dos modos de la escala diatónica, el jónico y el eólico, también conocidos como modo mayor y modo menor natural, respectivamente. Para nuestros propósitos estas dos escalas se consideran equivalentes. El diagrama de la parte c) representa la escala menor melódica ascendente y ésta es distinta de las de a) y b). Cuando los conjuntos RM se representan por un diagrama de reloj, entonces esos puntos son subconjuntos que maximizan de modo único la suma de las distancias entre puntos [2-4]. Fejes Tóth [14] describe un caso continuo similar al considerado aquí. En ese artículo se prueba que un conjunto finito de N puntos que maximizan la suma de las distancia entre puntos se encuentra en los vértices de un polígono regular convexo de N lados. Dicho de otro modo, los puntos están distribuidos tan regularmente como sea posible sobre la circunferencia del círculo. En su libro sobre armonía el músico Levine [9] describe cuatro escalas fundamentales que son útiles para la improvisación en jazz. Estas cuatro escalas son la escala mayor de siete notas, la escala menor melódica de siete notas, la escala simétrica de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica. En la terminología jazzística el término "menor melódica" se refiere a la escala ascendente melódica menor y aquí seguiremos esa convención. Tres de estas escalas son de máxima regularidad, siendo la excepción la escala menor melódica, que no lo es. Así, dados los pares (12, 8), (12, 6) y (12, 7) podemos preguntarnos si hay una caracterización matemática que describa exactamente las cuatro escalas fundamentales de Levine. En estas notas llegamos a una caracterización llamada los conjuntos complementarios de área máxima. Este artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección entablaremos una discusión matemática sobre una clase de subconjuntos de K elementos tomados entre N posibles. Esta caracterización es a la vez combinatoria y geométrica. Empezaremos por describir los llamados conjuntos de área máxima, de los cuales probaremos algunas propiedades suyas. Los conjuntos de área máxima son interesantes por derecho propio, pero no satisfacen las condiciones mencionadas anteriormente, ya que esta caracterización, como veremos, incluye subconjuntos de (12, 8) y (12, 7) que no son de las cuatro escalas fundamentales. En la sección 3 definiremos y analizaremos entonces los conjuntos complementarios de área máxima y mostraremos que esa caracterización sí satisface las condiciones impuestas antes. El artículo acaba con una sección de conclusiones. 2. Conjuntos de área máxima Un concepto erróneo bastante común es el de pensar que el prefijo di- en la palabra diatónico se refiere al número dos, queriendo significar que la característica es que hay dos tipos de intervalos en el conjunto diatónico habitual. Sin embargo, la verdad es que el prefijo dia- se refiere a la distancia desde la tónica [12]. No obstante, esta definición nos proporciona el trampolín ideal desde el cual lanzar una exploración de las escalas que satisfacen esta propiedad, esto es, colecciones de subconjuntos de siete alturas tomadas de entre las doce del universo cromático de modo que el espacio entre alturas consecutivas es o bien un tono o un semitono. Resultan tres escalas distintas. Usando diagramas de reloj podemos ver las tres escalas en la figura 2 más abajo. En (a) podemos reconocer la escala diatónica estándar; (b) representa la escala menor melódica; y en (c) tenemos la escala simétrica de tonos enteros más una nota, escala que también se llama escala mayor napolitana. No es difícil comprobar que los polígonos que representan cada escala tienen todos la misma área y que esa área se maximiza para cualquier elección de siete puntos sobre doce. Así pues, llamaremos a estas escalas escalas de área máxima, o más generalmente subconjuntos de área máxima (lo abreviaremos como conjuntos AM). Figura 2. Diagramas de reloj de las tres escalas AM. La estructura de los intervalos de esta escala es a) la escala diatónica; b) la escala menor melódica ascendente; c) la escala mayor napolitana. Generalizamos esta noción a cualquier colección de K alturas seleccionadas de entre un universo cromático de N alturas. Será más conveniente definir los subconjuntos en términos de particiones de números enteros. Una partición entera de un número natural N es una forma de escribir N como una suma no ordenada de numeros naturales. En [7] Keith señala la conexión entre las particiones de enteros y las escalas musicales. Definición. Un conjunto de K alturas tomadas de entre un universo cromático de N alturas numeradas de 1,...,N es un conjunto AM si satisface las siguientes dos condiciones: Hay una partición entera de N que usa exactamente K sumandos enteros positivos, esto es, . Los sumandos difieren como máximo en 1, esto es, , para todo i, j. La siguiente proposición proporciona fundamento matemático para construir y analizar los conjuntos AM. Proposición 1. Dados dos enteros N, K con K <N, existen dos únicos enteros u y m tales que N=mu+(K-m)(u+1). Obsérvese que para N, K, u, m, definidos así, tenemos una partición entera con , para i=1,...,m y , para i=m+1,...,K. Aquí se sobreentiende que i=m+1,...,K es el conjunto vacío en el caso en que m=K, esto es, cuando K divide a N. Demostración: Sean los siguientes números: Nótese que si K divide a N, entonces v=u; en otro caso, v=u+1. Para el caso en que v=u, tenemos que N=Ku. Considerando ahora el caso en que v=u+1, tenemos la igualdad (N-Ku)v+(Kv-N)u=N(v-u)=N. Por lo tanto, m=Kv-N=K(u+1)-N. Ya que u determina m, basta mostrar que u es el único valor que satisface las condiciones requeridas. Cuando K divide a N, la unicidad se sigue del algoritmo de la división [6]. Cuando K no divide a N, examinamos los casos en que se usa un número mayor o menor que el valor de u. Sea, pues, w un entero mayor que . Esto implica, sin embargo, que Kw >N, lo cual lleva a una contradicción y w no puede ser mayor que u. Un argumento simétrico similar al anterior muestra que tomar w < lleva a una contradicción. Por tanto, queda demostrado que u es único, y esto completa la demostración. QED. Recuérdese que en los conjuntos MR según fueron definidos por Clough y Douthett [2, 3] cuando la distancia cromática entre dos pares denotas difieren como máximo en una unidad de la distancia de escala. Esto lleva inmediatamente a la proposición siguiente. Proposición 2. Si un conjunto es MR, entonces también es un conjunto AM. Como se ilustró en el ejemplo de la figura 2, aunque para cualquier N, K, hay dos valores únicos de u y m, uno puede obtener más de una escala con intervalos u y u+1 sencillamente reordenando las posiciones de dichos intervalos. Dados los números (N, K, u, m), podemos enumerar las distintas escalas (salvo rotaciones) que son escalas AM. Este valor depende solo de K y m, y es el número de collares (necklaces) binarios de longitud K usando dos tipos de cuentas, m cuentas blancas y K-m cuentas negras. En general, un collar p-ario se define como la clase de equivalencia de cadenas p-arias bajo rotaciones; véase [13]. Los distintos collares se pueden enumerar en tiempo constante por collar usando un algoritmo de Sawada y Ruskey [13]. Volvemos ahora a la cuestión del área de los polígonos que representan a las escalas. Haciendo referencia a la figura 3, es claro que el área del heptágono se obtiene sumando las áreas de los triángulos. Suponiendo que el heptágono que representa estas escalas está circunscrito a un círculo de radio la unidad, una fórmula que da el área del polígono es: . Figura 3. Uno puede obtener el área de un heptágono sumando las áreas de los triángulos en la partición en triángulos que sugiere la figura. El area del triángulo a, b, c está dado por sen . El perímetro del polígono inscrito es también una función de los ángulos centrales. Por ejemplo, la longitud de la arista bc es . En general, el área de los polígonos se puede obtener sumando el área de los triángulos que forman la partición del polígono. Para nuestros propósitos es más conveniente tomar la partición del polígono con triángulos que comparten un vértice común en el centro del círculo que circunscribe y cuyos lados son los radios. De ahora en adelante nos referiremos a esta partición como la partición en triángulos del polígono. La suma de las áreas de cualquier representación poligonal (N, K, u, m) está dada por la fórmula: Nótese que el área es una función que depende solo de los valores de los ángulos de los triángulos del centro del círculo. Llamaremos a estos ángulos ángulos centrales. Afirmamos que todos esos heptágonos maximizan el área. Es fácil verlo en el ejemplo dado. Probaremos el resultado para el caso general en el siguiente lema. Además, probaremos que estos polígonos maximizan también el perímetro. El hecho de que el perímetro se maximice queda claro cuando uno se percata de que el perímetro es también una función de los ángulos centrales. La fórmula para el perímetro de una representación poligonal (N, K , u, m) está dada por la fórmula: Lema 1. Dada (N, K , u, m), la representación poligonal de estos conjuntos AM tiene área máxima y perímetro máximo. Prueba: Considérese un polígono X de K lados que no es una representación de un conjunto AM. Entonces, hay dos triángulos en la partición triangular de X con ángulos centrales y y tales que la diferencia . Supongamos que, por ejemplo, . Si ponemos , tenemos la fórmula (1): Ya que el orden de los triángulos no tiene efecto en el cálculo del área o del perímetro del polígono, podemos reordenarlos de manera que esos dos triángulos estén adyacentes. Podemos escribir la suma del área de esos dos triángulos como . Si tomamos la primera derivada del área con respecto a , esto es, , e igualamos a cero, vemos que el valor es el valor máximo. La derivada es positiva para todos los valores . Sean y . Por la ecuación (1), vemos que . Por tanto, la suma de la nueva área es mayor y X no puede tener área máxima. Para el perímetro usamos un argumento similar. La suma de las aristas del polígono está dada por la ecuación , y su primera derivada es . Vemos de nuevo que la suma se maximiza para , y su derivada es positiva . De nuevo, ponemos y . Por la ecuación 1, vemos que y X no puede tener perímetro máximo. QED. 3. Conjuntos complementarios de área máxima Las cuatro escalas que distingue Levine en su libro [9] en el capítulo Acordes/Escalas en su libro sobre armonía en el jazz son la escala de tonos enteros simétrica, la escala mayor, la escala menor melódica y la escala octotónica. Definimos una clase de escalas, las escalas complementarias de área máxima de manera que las escalas dadas por (12, 6), (12, 7) y (12,8) corresponden idénticamente a las escalas dadas por Levine. Definición: Un conjunto de K alturas tomadas de un universo cromático de N alturas numeradas de 1 a N es un conjunto complementario de área máxima (conjunto CAM) si cumple las siguientes propiedades: El conjunto es AM. Las N-K notas del conjunto complementario forman un conjunto AM también. Probamos en su momento que los conjuntos RM son también AM. Los conjuntos RM son también CAM porque el complemento de un conjunto RM es también un conjunto RM; véase [1]. Así pues, las escalas CAM constituyen una clase estrictamente mayor que la de las escalas RM. Hay una única escala, la escala simétrica de tono enteros (12, 6), que es un conjunto AM, como muestra la figura 4. Claramente esta escala es autocomplementaria y es, por tanto, un conjunto CAM. De los tres conjuntos AM dados por (12, 7), dos tienen complementarios que son conjuntos AM. Estas escalas (12, 5) AM se muestran en la figura 4. Figura 4. Los conjuntos de área máxima de cinco y seis notas. Hay diez conjuntos (12, 8) AM, como se describe en la página 31 de [7]; los reproducimos en la figura 5. Figura 5. Los diez conjuntos de área máxima con ocho notas. Hay solo uno de estos conjuntos cuyo complementario es también un conjunto AM. En la figura 6 mostramos este conjunto y su complementario de cuatro notas. Figura 6. La única escala complementaria de área máxima de ocho notas (una escala disminuida) con su complementario (el acorde de séptima disminuida). Así pues, hemos sido capaces de captura una propiedad matemática que caracteriza las cuatro escalas fundamentales de Levine. 4. Conclusiones Hemos probado que una partición entera particular de N en K partes conduce a los polígonos de área máxima cuando éstos se representan con un diagrama de reloj. Estos conjuntos llamados de área máxima son fáciles de calcular computacionalmente. Sin embargo, una clasificación que parece más interesante usa los conjuntos complementarios de área máxima. Hemos demostrado que los conjuntos complementarios de área máxima para (12, 6), (12, 7) y (12,8) contienen las cuatro escalas fundamentales definidas por Levine en su libro sobre improvisación en jazz. Estas escalas fundamentales no agotan en modo alguno el gran número de escalas que los músicos de jazz usan regularmente. En un capítulo aparte Levine discute las escalas pentatónicas y el papel que desempeñan en la improvisación jazzística. Con mucho la escala pentatónica más importante es la anhemitónica, que ya sabemos que es una escala CAM. Hay una colección más de escalas pentatónicas que son CAM, las cuales se muestran en la figura 4 b). Esta escala se puede llamar escala pentatónica dominante, ya que contiene un acorde de dominante; sin embargo, esta escala parece algo desconocida y Levine no la menciona en absoluto en su libro. Si consideramos el análogo rítmico de los diagramas de reloj, esto es, los puntos seleccionados representan ataques, entonces los conjuntos CAM de cinco elementos representan los patrones rítmicos de palmas que se usan en la soleá, la bulería y el fandango [5]. Bibliografía 1. J. Clough and J. Douthett: Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35, (1991) 93–173. 2. J. Clough and G. Myerson: Musical scales and the generalized circle of fifths. American Mathematical Monthly 93:9 (1985) 695–701. 3. J. Clough and G. Myerson: Variety and multiplicity in diatonic systems. Journal of Music Theory 29 (1985) 249–270. 4. Erik D. Demaine, Francisco Gómez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood: The distance geometry of music. submitted to Computational Geometry: Theory and Applications, (2006). 5. Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint: El compás flamenco: a phylogenetic analysis. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Winfield, Kansas (2004) 61–70. 6. Ralph Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley (1998). 7. Michael Keith: From Polychords to Polya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton (1991). 8. E. Krenek: Über Neue Musik. chapter Musik und mathematik. Verlag der Ringbuchhandlung, Vienna (1937) 71–89. 9. Mark Levine: The Jazz Theory Book. Sher Music Co. (1995). 10. Brian J. McCartin: Prelude to musical geometry. The College Mathematics Journal, 29:5 (1998) 354–370. 11. Catherine Nolan: Combinatorial space in nineteenth- and early twentieth-century music. Music Theory Spectrum, 25:2 (2003) 205–241. 12. D. Randel (editor): The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press (1986). 13. J. Sawada and F. Ruskey: An efficient algorithm for generating necklaces with fixed density SIAM Journal on Computing 29:2 (1999) 671–684. 14. L. Fejes T´oth: On the sum of distances determined by a pointset. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 7:3 (1956) 97–101. 15. Godfried T. Toussaint: A mathematical analysis of African, Brazilian and Cuban clave rhythms. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Towson, Maryland (2002) 157–168. 16. Godfried T. Toussaint: Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Granada, Spain (2003) 25–36. 17. Dmitri Tymoczko: The Geometry of Musical Chords. Science 313 (2006) 72–74. 18. Heinrich Vincent: Die Einheit in der Tonwelt. Verlag von Heinrich Matthes, Leipzig (1862).
Viernes, 10 de Septiembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Recién acabada la carrera de Matemáticas y con ocho años de estudio de piano tuve la gran suerte de conocer a Andrew Melvin, a la sazón miembro del grupo de música contemporánea Secuencia. Andrew Melvin fue mi profesor de piano y composición durante un tiempo. Al poco de conocernos -yo creo que cuando estuvo seguro de mi sensibilidad musical- me mostró la música de Iannis Xenakis. Su música me fascinó desde el primer momento, me cayó como un chorro de luz corpórea y sin darme tiempo a reaccionar me llevo a hermosos mundos de emociones. Muchos días a última hora de la tarde, aún sin tener clase con él, iba a buscarlo con unos bocadillos, nuestra humilde cena, y nos quedábamos escuchando a Xenakis, sin mediar palabra, absortos en nuestro misticismo musical, solo sonriéndonos mutuamente al terminar alguna pieza. Escuchábamos con fruición sus primeras obras (Metastasis, Pithoprakta, Achorripsis), la música estocástica (la serie de los ST), las obras para solista (Mika, Evryali), las obras con percusión (Pleiades, Aïs, los dos Idmen), todo lo que caía en nuestras manos. En aquel tiempo yo no era consciente de la importancia conceptual de Xenakis como habilitador de la formalización matemática en la composición musical. Estaba sencillamente deslumbrado por su estética, tan original y revolucionaria. La música de Xenakis, obviamente, superaba el tonalismo, pero también la música de la segunda escuela de Viena (el atonalismo y el dodecafonismo) y también constituía una reacción reflexiva y genuina contra el indeterminismo de Cage. Su música, al contrario que otras músicas modernas, siempre me emocionaba. Años más tarde leí Formalized Music [Xen01] (figura 1) y adquirí consciencia de la importancia teórica de la obra de Xenakis. La gran cantidad de libros, artículos y conferencias que nos dejó revelan su preocupación por aclarar su pensamiento musical. Figura 1: Portada del libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Music. 2. Breve biografía de Xenakis Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y es la que le introduce en la música desde temprana edad. La madre de Xenakis muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza -"su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano. Mientras, estalla la Segunda Guerra Mundial y las tropas italianas, y más tarde las alemanas, invaden Grecia. Esto fuerza a Xenakis a interrumpir sus estudios de ingeniería que hace poco ha empezado. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel en varias ocasiones. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. A causa de su activismo político tiene que pasar a la clandestinidad. Su padre arregla los papeles para que pueda emigrar y en 1947 llega a París. En aquella época Xenakis siente un profundo desencanto hacia la política y las instituciones sociales en general. Siente que su vida debe cambiar de rumbo. Poco después de su llegada a París entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. En esa etapa Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones. Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero los ejercicios de armonía y contrapunto que le proponen no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. Xenakis adquiere un buen conocimiento de los modos de Messian, no solo en la altura, sino también en la duración, la dinámica y la articulación. El contacto con Messian le hace consciente del poder de la abstracción en la composición. En aquellos convulsos años 50 hay una gran polémica sobre la aceptación o rechazo del serialismo. Xenakis rechaza tanto el serialismo europeo como el indeterminismo americano y, como Messian, toma un camino diferente. A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición a través de una formalización de los parámetros y procesos musicales. En su obra podemos encontrar obras cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas. En 1953 se casa con la periodista y escritora Françoise Xenakis, con quien tiene una hija, Mâkhi. Más tarde, Xenakis entra en contacto con los fundadores de la música concreta, Pierre Schaeffer y Pierre Henry. También colabora con Edgar Varèse. En 1963 publica la primera versión de Formalized Music (en francés), que luego amplía, reescribe en inglés y revisa en sucesivas ediciones (1971, 1990, con posteriores reediciones). Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música. A principios de los años Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad. 3. Matematización de los parámetros musicales Las primeras frases del capítulo de su libro Formalized Music [Xen01] son en sí mismas una declaración de principios: "El arte, y por encima de todo la música, tienen una función fundamental, y ésta es la de catalizar la sublimación que tiene lugar a través de cualquier medio de expresión". Xenakis fue, ante todo, un verdadero artista. En el análisis de su obra se ve que la decisión artística, la voluntad de expresividad a ultranza, está por encima de las consideraciones matemáticas y sus posibles constricciones. Las matemáticas, con proporcionar una nueva manera de concebir la composición, siempre estuvieron para Xenakis al servicio del concepto artístico. Xenakis se sentía ajeno tanto a la estética del serialismo, con su música sobreestructurada, aperiódica, compleja, así como del postserialismo encarnado por Cage, con su música basada en la indeterminación y el azar. De los serialistas rechazaba Xenakis su extraordinaria complejidad y arguía: "La polifonía lineal se destruye a sí misma a causa de su propia complejidad; lo que se oye no es en realidad más que una masa de notas en diversos registros. Su enorme complejidad impide al oyente seguir el entramado de las líneas, y tiene como efecto macroscópico una dispersión irracional y fortuita de sonidos a lo largo de toda la extensión del espectro. Hay, por tanto, una contradicción entre el sistema polifónico lineal y el resultado percibido, que es de una superficie o masa. Esta contradicción inherente a la polifonía desaparece cuando la independencia del sonido es total". Xenakis llama polifonía lineal al contrapunto serialista. Aunque consta de varias voces, todas han de percibirse como un todo, como una única voz; y de ahí, el adjetivo lineal. Aquí aparece uno de los principios más importantes en la música de Xenakis, el cual le permite superar la susodicha contradicción: la independencia total del sonido. Respecto al indeterminismo, Xenakis objeta la falta de un principio causal en la concepción musical. Si las alturas de una pieza se eligen en base a las imperfecciones de un papel (como es el caso de Music for piano, de Cage, por ejemplo), Xenakis duda seriamente de que esa elección transmita algún tipo de significado estético-musical al oyente. Sobre este problema del indeterminismo el crítico Pousseur [Pou66] ya había señalado que "donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente". La respuesta de Xenakis a los problemas estéticos de ambas tendencias proviene de las matemáticas. Por un lado, el sonido ha de tener total independencia y, por otro lado, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. Xenakis identificó estas dos condiciones con el enunciado de la ley de los grandes números de Bernouilli (véase [RS00]). Para otras versiones más generales del teorema así como para su demostración, véase [RS00] y sus referencias. El significado musical resultante está aquí representado por la media μ común a todas las variables independientes. Es el significado global, macroscópico, que surge de las causas independientes. Xenakis emprendería un camino de exploración de esas ideas matemáticas en la composición musical. La primera obra en que puso en práctica estas ideas fue Metastasis (1953-54), donde formalizó ciertos parámetros musicales de modo matemático, sobre todo usando geometría y matemática discreta. Fue aún más lejos en otra obra posterior, Pithoprakta (1955-56), donde, siguiendo con su razonamiento, se inspiró en la mecánica estadística para su composición, en particular, en la teoría cinética de los gases de Boltzmann [MF71]. Esta teoría se basa también en la ley de los grandes números. Boltzmann explica el efecto macroscópico de la presión como el efecto de los choques de las moléculas, choques que son independientes, cada uno de ellos de efecto muy pequeño y que ocurren en número muy alto. Xenakis propone en Pithoprakta una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) de ese fenómeno. 4. Formalización matemática de los parámetros musicales Xenakis, como hemos dicho, usó una amplia gama de técnicas matemáticas para formalizar la música. Las que exponemos en esta sección pertenecen a su llamada música estocástica, que debe su nombre al hecho de que la formalización descansa en la teoría de probabilidades. Para su música estocástica Xenakis formalizó los siguientes parámetros musicales: la duración de las notas, la densidad de la nube de alturas, la velocidad del glissando, las dinámicas y la instrumentación. Duración de las notas. Xenakis usó la distribución exponencial para determinar la longitud de las notas. La función de densidad es: f(x) = δ · e-δx (1) donde δ es la densidad (en lo que sigue usaremos la notación del propio Xenakis). Como se sabe la esperanza o media de esta distribución es E(X) = 1/δ,de modo que la densidad es la inversa de la duración media de la nota. Una densidad alta produce notas cortas y en cambio una densidad baja, notas largas. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función de densidad con los parámetros δ = 1y δ = 2. Figura 2: Función de densidad que rige la duración de las notas. La probabilidad P de que la duración de una nota esté entre dos valores l1, l2 está dado por: Densidad de la nube de notas. Este parámetro está gobernado por otros dos a su vez, la densidad y la altura. La densidad se refiere propiamente al número de notas que suenan en un determinado intervalo de tiempo. La densidad de la nube sigue una distribución de Poisson. Para la composición se establecerá una densidad media de notas μ0 > 0. La función de masa queda como sigue: (2) La distribución de Poisson es la versión discreta de la distribución exponencial como se puede apreciar en la figura 3 (aparecen dos curvas con valores k=2 y k=5). Figura 3: Función de masa que rige la densidad de la nube de notas. En cuanto a las alturas de la nube, se empieza por una altura generada aleatoriamente también y a partir de ella se generan sucesivamente los intervalos aleatorios con la siguiente función de densidad: (3) donde a es el máximo intervalo especificado por el compositor. Para decidir la dirección del intervalo se usa una variable discreta de dos valores (intervalo ascendente o descendente), cada uno con probabilidad 1/2. En la figura 4 tenemos la gráfica de Θ(γ) con los valores γ = 5 y γ = 10. Se observa que los intervalos tienden a ser pequeños, aunque no tanto como los generados por la distribución exponencial. El papel del parámetro a es limitar los intervalos poco habituales o que resulten imposibles de tocar en el instrumento. Figura 4: Función de densidad que rige la altura de las notas. Velocidad del glissando. El glissando es el paso de una nota a otra de manera continua. En la orquesta solo lo pueden ejecutar los instrumentos de cuerda y el trombón de vara. Ya que Xenakis quería recrear ciertos fenómenos físicos de carácter continuo, necesitaba formalizar este parámetro también. Para ello, utilizó la distribución normal de función de densidad: (4) donde b es un parámetro que Xenakis, inspirándose en la teoría cinética de gases, llamó la temperatura resultante (aggregate temperature); véase la figura 5 (las dos gráficas corresponden a los valores b=5 y b=10). Figura 5: Función de densidad que rige la velocidad del glissando. Las dinámicas. Xenakis divide el rango dinámico en cuatro zonas, representadas por ppp, p, f y ff, que corresponden respectivamente a muy suave, suave, fuerte y muy fuerte. Suele usar sucesiones de tamaño 3, de modo que hay 64 posibles (43=64). Sin embargo, descarta algunas por motivos musicales y el número total se reduce a 44. Las dinámicas se obtienen mediante una distribución uniforme discreta de probabilidad (cada sucesión 1/44). La instrumentación. En primer lugar, se separan los instrumentos que poseen un timbre similar. A continuación, según distribución lineal, se determina un porcentaje para cada clase de instrumentos. Este porcentaje marca la proporción de notas totales de la composición que el grupo instrumental tocará. 5. Pithokrapta En Pithokrapta Xenakis explora las relaciones entre la ley de los grandes números (el sentido global) y la teoría cinética de los gases de Boltzmann (la independencia total del sonido). Para esta obra Xenakis imagina un gas ideal a temperatura constante e identifica las moléculas y sus choques con una orquesta de cuerda. Veamos los compases 53 a 60, uno de los pasajes donde son más evidentes las intenciones del compositor. Para las velocidades de las moléculas Xenakis usa la distribución normal similar a la ecuación (4): donde a es aquí la temperatura del gas y v la velocidad de las moléculas. Para este pasaje la velocidad de cada molécula se traduce en un glissando tocado en pizzicato (pulsando la cuerda, sin el arco). La pendiente de cada glissando es proporcional a la velocidad de cada partícula. Estos sucesos sonoros, los glissandi, representan la distribución molecular del gas. Xenakis fija 58 intervalos distintos para las velocidades y usando la distribución normal genera 1.148 velocidades distintas de moléculas de un gas a temperatura constante. Como la orquesta no dispone de un número tan alto de voces, Xenakis redujo el número de voces independientes a 46. Cada una de estas voces toca una media de 25 notas en los 18,5 segundos que dura este pasaje. La manera de trabajar de Xenakis era muy meticulosa, como correspondía a su formación científica. Para esta obra, dibujó en papel milimetrado los glissandi. El eje de abscisas representa el tiempo. Cada marca son 26 MM del metrónomo Mälzel (0,433 segundos por marca). El eje de ordenadas representa la altura del sonido. El intervalo entre dos marcas consecutivas es de medio tono. Xenakis dividió el eje de ordenadas en 15 rangos de una tercer mayor (cuatro semitonos) cada uno. A cada tesitura (rango) se le asignó un cierto número de instrumentistas. En la figura 6 tenemos la gráfica que dibujó Xenakis para este pasaje. Figura 6: Grafo de Pithoprakta (imagen tomada de [Zog10]). En la realidad los choques de las moléculas del gas no son simultáneos. Xenakis refuerza la idea del caos imponiendo divisiones métricas con números de partes que son primos relativos entre sí. Así, por ejemplo, encontramos quintillos, tresillos, negras, pero también subdivisiones de 15 o de 20. La figura 7 muestra la escritura en notación musical convencional del mismo pasaje. Figura 7: Partitura final de Pithoprakta. En la figura 8 se puede apreciar con más detalle los glissandi así como las articulaciones métricas tan peculiares de esta obra. Figura 8: Detalle de Pithoprakta. Resumiendo, en este pasaje tenemos las siguientes características ([Xen01], página 15): Las duraciones de las notas no varían. Las alturas varían de acuerdo a sus distribuciones de probabilidad. La densidad de sonidos se mantiene constante en todo momento. La dinámica es constante e igual a ff (muy fuerte). El timbre es constante; solo hay instrumentos de cuerda. Las velocidades determinan una "temperatura" sujeta a fluctuaciones locales y que sigue una distribución normal. Por último, dejo aquí un vídeo con la música de Pithoprakta. 6. Conclusiones Tal y como había hecho Heisenberg con la mecánica cuántica, Xenakis introduce la probabilidad en el mundo de la composición musical. A pesar de la aparente excesiva formalización del proceso compositivo, Xenakis dota a su obra de expresividad. La influencia que ejerció en los compositores de las generaciones posteriores fue formidable, no solo por el gran salto conceptual que había dado con su música, sino también por su ejemplo incansable de creatividad. 7. Para saber más Edward Childs disecciona la obra Achorripsis en su artículo [Chi02], que también se basa en teoría de las probabilidades. Tako Oda tiene un artículo en que compara las teorías estéticas de Xenakis y Cage. Se llama Iannis Xenakis and John Cage:Two Sides of a Tossed Coin y se puede encontrar en [Oda10]. Para un estudio músico-matemático de las últimas obras de Xenakis, véase la tesis de Ronald Squibbs [Squ96]. Robert Strizich [Str10] en un interesante artículo analiza el papel de la textura en varios compositores de la posguerra, incluyendo Xenakis. La textura fue uno de los aspectos que más investigó y experimentó Xenakis. Sin duda, está considerado como un gran inventor de texturas. Recordemos la incorporación de la percusión africana a la orquesta sinfónica, por poner un ejemplo. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Para profundizar más en la estética de las primeras obras de Xenakis, véase el artículo de Markos Zografos [Zog10]. Referencias [Chi02] Edward Childs. Achorripsis: a Sonification of Probability Distributions. In International Conference on Auditory Display, Kyoto, julio 2002. [MF71] A. Marcelo and E. Finn. Física III. Fundamentos cuánticos y estadísticos. Addison Wesley, 1971. [Oda10] Tako Oda. Iannis xenakis and john cage: Two sides of a tossed coin. http://people.mills.edu/toda/chance/frames.html, accedido en septiembre de 2010. [Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93-111, 1966. [RS00] V. K. Rohatgi and E. Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [Squ96] Ronald Squibbs. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works. Yale University. PhD thesis, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, 1996. [Str10] Robert Strizich. Texture in post-world war ii music. http://www.ex-tempore.org/strizich91/strizich.htm, accedido en septiembre de 2010. [vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/, accedido en septiembre de 2010. [Zog10] Markos Zografos. Iannis xenakis: the aesthetics of his early works. http://www.furious.com/perfect/xenakis.html, accedido en septiembre de 2010.
Martes, 05 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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