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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 11 - 20 de 55

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la tercera y última entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas. Hemos usado como fuente de inspiración el libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica). En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). En la segunda entrega, estudiamos a fondo el concepto de distribución de máxima regularidad. En el libro de Johnson se explica a partir de una definición enumerativa y nosotros presentamos una definición basada en el algoritmo de Euclides. En esta última entrega, vamos a aplicar todo lo anterior a la generación de escalas y acordes de máxima regularidad. Aunque recordaremos conceptos y notaciones, en este artículo se dará por sentado que el lector está familiarizado con el contenido de las dos anteriores entregas. 2. Distribuciones regulares de notas en los 12 semitonos de la octava Empezamos fijando la octava y dividiéndola en 12 semitonos. Estudiaremos las distribuciones regulares para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 notas en una octava. 2.1. Distribuciones de 3 notas Estas distribuciones corresponden a las habituales triadas en música. Aunque es obvia la distribución más regular de 3 notas sobre 12 notas, por completitud, aplicaremos el algoritmo de Euclides para hallarla (consúltese la entrega de enero en caso de duda). Como hemos hecho hasta ahora, las notas se designan por unos y los semitonos sin notas por ceros. Figura 1: Distribución regular para triadas. Esta distribución corresponde a la serie [x . . . x . . . x . . ], o escrito en notas a do-mi-sol# (si tomamos do como nota base). Estamos ante una triada aumentada, un acorde con dos terceras mayores encadenadas, que hace que la quinta esté aumentada en medio tono. En principio, este acorde no aparece de manera natural en la escala diatónica. Sin embargo, su uso en la música de la práctica común es corriente, especialmente para crear tensión o suspense musical. Bach, por ejemplo, recurre a la triada aumentada en Ach Gott, vom Himmel sieh darein, BWV 2 (¡Oh, Dios, míranos desde el cielo), así como otros compositores tales como Haydn (en su cuartetos para cuerda), Beethoven (en la novena sinfonía), Brahms, Schubert, Listz o Wagner. Durante el Romanticismo, en que la modulación por terceras se vuelve habitual, este triada se emplea como acorde paso. 2.2. Distribuciones de 4 notas Las distribuciones de 4 notas dan acordes de séptima de dominante. Figura 2: Distribuciones regulares para acordes de cuatro notas. El acorde tiene la forma [x . . x . . x . . x . . ], o traducido a notas, do-mib-fa#-sib. Este acorde recibe el nombre de acorde de séptima disminuida, y está compuesto por 4 terceras menores consecutivas. Durante buena parte del periodo de la práctica común este acorde, debido a su simetría y a la presencia de la quinta disminuida, se consideró disonante e inestable desde el punto de la estabilidad tonal. Posteriormente, este acorde se incorporó al vocabulario de la armonía moderna. Bach lo usa, por ejemplo, en su Tocata y fuga en re menor, en varios momentos, pero es llamativo en la introducción con ese acorde disminuido do#-mi-sol-sib, que escala a lo largo de dos octavas, majestuoso, premonitorio, sobre un pedal de la tónica re, y al que sigue un pasaje en prestissimo que son arpegiaciones de ese mismo acorde (minutos 0:00 a 0:48 en el vídeo de abajo). Vídeo de la Tocata y fuga en re menor BWV 565, de Bach. En la música popular o en el jazz este acorde aparecen en progresiones de acordes; por ejemplo, en la legendaria pieza I got rhythm, de los hermanos Gershwin. 2.3. Distribuciones de 5 notas En este punto abandonamos el mundo de los acordes y nos introducimos en el de las escalas. La mayoría de los acordes se forman con 3 o 4 notas; a partir de 5 notas se considera que la distribución corresponde a una escala. Las distribuciones de 5 notas dan escalas pentatónicas. Figura 3: Distribución regular para las escalas pentatónicas. La escala resultante es [x . . x . x . . x . x . ], o expresado en notas, do-mib-fa-lab-sib. Como vimos en el artículo del mes pasado, la rotación de una distribución regular de notas conserva esta propiedad. De modo que, en realidad, tenemos cinco escalas resultantes; las mostramos en la siguiente tabla: Nombre Notas Sucesión de distancias Pentatónica menor do-mib-fa-sol-sib-do (32232) Pentatónica mayor do-re-mi-sol-la-do (22323) Escala egipcia (u otras) do-re-fa-sol-sib-do (23232) Blues menor do-mib-fa-lab-sib-do (32322) Blues mayor do-re-fa-sol-la-do (23223) Tabla 1: Escalas pentatónicas obtenidas por distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 6 notas La escala de 6 notas dan una única escala, que exhibe una simetría muy aguda, la escala de tonos enteros. Como 6 es divisor de 12, la distribución regular es [x . x . x . x . x . x .],o escrita en notas do-re-mi-fa#-sol#-la#. Esta escala es peculiar porque no tiene nota sensible ni quinta justa, por lo que muchas de sus funciones armónicas han desaparecido. Compositores clásicos y de jazz han usado esta escala puntualmente para dar color orquestal o para transmitir sentimientos oscuros. Los nacionalistas rusos -Borodin y Glinka-, los impresionistas -Debussy- y las vanguardias de principio del siglo XX -Alban Berg- emplearon esta escala en sus obras. John Coltrane en el jazz recurrió a esta escala. 2.2. Distribuciones de 7 notas Una elección de 7 notas sobre los 12 semitonos de una octava da una escala heptatónica, las cuales forman la base de la música de muchas culturas. Figura 4: Distribuciones regulares de 7 notas. La escala obtenida es [x . x x . x . x x . x .]. De nuevo, tenemos que considerar todas las rotaciones de esta escala, que siguen siendo distribuciones regulares. La escala más usada, al menos en Occidente, es la escala mayor. Las rotaciones de esta escala reciben el nombre de modos. Musicalmente, cada modo tiene sus características y su sabor. Consideraremos las rotaciones a partir de la escala mayor, que se llama modo jónico. En la tabla de abajo 2 significa un tono y 1 un semitono. Nombre Notas Sucesión de distancias Modo jónico (escala mayor) do-re-mi-fa-sol-la-si-do (2212221) Modo dórico do-re-mib-fa-sol-la-sib-do (2122212) Modo frigio do-reb-mib-fa-sol-lab-sib-do (1222122) Modo lidio do-re-mi-fa#-sol-la-si-do (2221221) Modo mixolidio do-re-mi-fa-sol-la-sib-do (2212212) Modo eólico (escala menor) do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do (2122122) Modo locrio do-reb-mib-fa-solb-lab-sib-do (1221222) Tabla 2: Escalas heptatónicas obtenidas a partir de distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 8 notas La escala de 8 notas o escala octatónica aparece en la música de la práctica común a partir del Romanticismo. La escala octatónica más común es la que alterna tono y semitono o viceversa. Como una distribución regular se puede obtener como sigue: Figura 5: Distribuciones regulares de 8 notas. Esta escala tiene la expresión [x . x x . x x . x x . x] o escrita en notas do-re-re#-fa-fa#-sol#-la-si-do. Esencialmente, hay dos escalas octatónicas que son regulares: la que acabamos de escribir, que alterna tono-semitono, y esta otra [x x . x x . x x . x x .] o do-reb-mib-mi♮-solb-sol♮-la-sib-d. Esta escala se empezó a usar por la escuela rusa, aunque se encuentran precedentes en otros autores tales como Listz. Rimsky-Korsakov la empleó de modo notable en algunas de sus obras, pero es Stravinsky en su época de los ballets rusos quien explora más a fondo las posibilidades expresivas de esta escala. Tan carismático es el empleo que hace Stravinsky de la escala octatónica que un acorde basado en ella se conoce como el acorde Petrushka: Figura 6: El acorde Petrushka. En la Danza del sacrificio de la elegida de La consagración de la primavera se puede ver cómo utiliza Stravinsky esta escala (minuto 3:36 hasta final en el vídeo de abajo). Vídeo de La consagración de la primavera, de Stravinsky. Danza del sacrificio de la elegida . A partir de Stravinsky la escala se popularizó y la encontramos en autores contemporáneos -desde Bartók y Barber hasta Zappa- y, por supuesto, en el jazz. 3. El teorema de los tonos comunes De entre todos los modos anteriores, el correspondiente a la escala mayor es el más común en Occidente (y en otras culturas también). Una de las razones para esta popularidad es la facilidad de modulación (de cambio de tonalidad) que permite esa escala. Las modulaciones naturales al oído se hacen entre dos tonalidades vecinas, esto es, que comparten el mayor número de tonos entre sí. En su libro Johson observa una propiedad de la escala mayor que explica esa relación de vecindad entre las tonalidades. Tomamos prestada de su libro la figura 1.11 de la página 41, en la que muestra una escala de re mayor sobre el círculo cromático y un recuento de las distancias entre las notas de dicha escala. Figura 7: Distancias en una escala mayor. En la tabla situada al final de la figura vemos el número de veces que ocurre cada distancia c, para c=1,...,6. Llamemos a ese número n(c). Johnson advierte que cuando se cambia de tonalidad en c grados de la escala, el número de tonos en común entre la primera escala y la transpuesta es exactamente n(c). Por tanto, la tonalidad más cercana -entendiendo cercana como el máximo número de tonos en común- será la que esté a cinco grados de distancia, esto es, el quinto grado, la escala de la. En efecto, la escala de re mayor y la mayor tienen seis grados en común. La siguiente escala más cercana es la que está a distancia dos y que corresponde a n(2)=5; esto es el segundo grado, es decir, mi. Este resultado es llamado el teorema de los tonos comunes. Otra propiedad interesante que posee la escala mayor es la de ser una escala de multiplicidad única (deep scale en inglés). Eso significa que cada distancia aparece una única vez, como se puede apreciar en la tabla de la figura 6. 4. Conclusiones El libro de Johnson contiene mucho más material que el glosado tan brevemente en estos tres artículos. Es un ejemplo de cómo se puede incorporar las ciencias, en particular las matemáticas, a la enseñanza de la música. Y no estoy hablando desde una perspectiva forzada, sino desde las verdaderas conexiones que hay entre ambas disciplinas. Sin embargo, esto no será posible mientras no haya un cambio de mentalidad en los profesores de música y mientras no haya un cambio de actitud en los redactores de los planes de estudio actuales. Bibliografía [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003. Wikipedia. The common tone theorem. Accedido en febrero de 2013.
Viernes, 15 de Febrero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la segunda entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas, en la vamos a seguir con el análisis del excelente libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), libro que adopta un enfoque matemático de la enseñanza de la teoría diatónica. En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). 2. La definición de máxima regularidad La definición de distribución de regularidad máxima, aunque intuitiva, no es fácil de formalizar. Johson (página 14) empieza considerando una definición geométrica, bastante intuitiva, no del todo práctica, pero que sirve a su propósito de ilustrar cómo funcionan las distribuciones de regularidad máxima. Se trata del algoritmo del vecino más cercano (véase [Góm12] y [DGM+09]). Esta definición fue analizada en la columna anterior (véase la figura 2 de ese artículo). Al final del capítulo 1 (página 26 y siguientes) Johson presenta una definición más rigurosa si bien algo farragosa. En esta columna vamos a estudiar la definición de Johnson y luego daremos otra, más sencilla, basada en el algoritmo de Euclides. En el libro se empieza por definir dos conceptos básicos, la distancia de semitonos y las distancias de puntos; allí se llaman c distances y d distances, respectivamente. Dada una configuración de puntos sobre un diagrama circular, la distancia de semitonos entre dos puntos mide el número de saltos entre semitonos consecutivos que hay que dar para ir del punto de partida al punto final en sentido horario. La distancia de puntos, análogamente, mide la distancia entre dos puntos como el número de saltos entre puntos consecutivos que hay que recorrer para ir del punto de partida al punto final en sentido horario (las cursivas en estas definiciones no son casuales). La figura 1, extraída del libro, ilustra esta definición; la distancia de semitonos se designa por c y la de puntos por d, y nosotros seguiremos la misma notación. Figura 1: Distancias de semitonos y distancias de puntos. Obsérvese que dados dos puntos en el diagrama su distancia se mide de dos maneras distintas, con la distancia d y la distancia c, las cuales no tienen por qué coincidir. En la figura 1, si partimos de las 12 del mediodía y consideramos los dos primeros puntos tenemos d=1 y c=3. Obviamente, la distancia c entre dos puntos es mayor o igual que la distancia d. La definición de distribución de máxima regularidad de Johnson reza como sigue: Para cada par de puntos en el diagrama circular, calcúlense la distancia c y la distancia d. Considérese para cada valor de la distancia d todos los valores de las distancias c asociadas a ella. Si para toda distancia d, las correspondiente distancias están formadas por un único valor o por dos valores consecutivos, entonces la distribución es de máxima regularidad. En realidad, esta definición supone la comprobación exhaustiva de la propiedad enunciada en el punto 3). Johson construye para ello las llamadas tablas de intervalos. Vamos a ver un ejemplo sencillo para entender cómo aplicar esta definición; véase la figura 2. Hay un diagrama circular con 4 puntos, A, B, C y D. De las distancias d hay 3 posibles, que toman valores 1, 2, y 3. Para cada valor, las distancias c asociadas son, respectivamente, 3, 6 y 9. Como han dado valores únicos, la definición se verifica y esta distribución es de máxima regularidad. Figura 2: Cálculo de tablas de intervalos. Intuitivamente, se veía claramente que esta distribución era de máxima regularidad, más aún si tenemos en cuenta que el número de puntos, 4, es un divisor de 12, el número de subdivisiones del círculo. Veamos una distribución no regular. Por ejemplo, si en el diagrama anterior movemos el punto D una posición hacia arriba, habremos destruido la propiedad de máxima regularidad. Veamos cómo falla la definición. Figura 3: un ejemplo de distribución no regular. Simplemente calculando las distancias asociadas a pares de puntos adyacentes, AB, BC, CD y DA, vemos enseguida que la definición no se cumple, pues las distancias c asociadas son 2, 3, 4, que no están formadas por dos valores consecutivos (aquí hay tres valores consecutivos). La definición falla en realidad con todos los valores de la distancia d. En general, basta con que falle en un caso para que no la distribución no sea de regularidad máxima. Para acabar esta sección, tomemos un ejemplo un poco más complejo con cinco notas, como el de abajo. Figura 4: Máxima regularidad de un diagrama de 5 puntos. 3. Distribuciones euclídeas El contenido de esta sección no aparece en el libro de Johnson. La añadimos para una mejor comprensión de la propiedad de máxima regularidad. La definición que propone Johson es, como hemos visto, larga de comprobar y poco intuitiva. Nosotros vamos a dar una definición equivalente basada en el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor. Vamos a recordar al lector cómo funciona este bello algoritmo. 3.1 El algoritmo de Euclides El máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común que tengan. El máximo común divisor (mcd) siempre existe pues 1 divide a cualquier número. Por ejemplo, el mcd de 12 y 16 es 4. Típicamente, se enseña a calcular el mcd obteniendo los factores primos de los dos números. Así, por ejemplo, si queremos calcular el mcd de 1089 y 924, averiguamos su descomposición en factores primos: 1089=32 •112 y 924=2•3•7•11 A partir de esa descomposición, basta tomar los factores comunes con menor exponente; en el caso de este ejemplo 3 y 11. El mcd(1089, 924) sera, pues, igual a 3•11=33. Sin embargo, obtener el mcd calculando los factores primos es largo y tedioso. La forma elegante y rápida de calcular el máximo común divisor es usando el algoritmo de Euclides. Este matemático griego, que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo, se percató de una propiedad que permite calcular el máximo común divisor con suma rapidez. Supongamos que queremos hallar el máximo común divisor de a y b. Escribimos la ecuación de la división entera: donde q es el cociente y r es el resto. Como es bien sabido, el resto tiene la propiedad de que 0 ≤ r < b. Si d es un divisor de a y b, también lo será de b y r En efecto: Entonces, el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r. El proceso se puede repetir todas las veces que haga falta. En cada paso el resto que obtenemos es menor estrictamente que el anterior, de modo que finalmente encontraremos un resto nulo. El máximo común divisor será el último resto no nulo que encontremos en esta serie de divisiones sucesivas. Aquí tenemos el ejemplo de más arriba ahora calculado con el algoritmo de Euclides. El último resto no nulo es 33, que es el máximo común divisor que habíamos encontrado antes. 3.2 Distribuciones regulares vía el algoritmo de Euclides Para empezar, vamos a introducir una notación que nos permitirá describir distribuciones en la octava de una manera más rápida. El diagrama de la figura 4 se puede escribir como [x . x . . x . x . . x .], donde una x representa un punto en el círculo y un . una posición no ocupada por un punto. Esta notación se llama notación de caja. Empezamos, pues, por fijar un círculo -una octava- dividido en 12 partes iguales o semitonos. Si queremos distribuir 4 puntos en el círculo de la manera más regular posible, entonces basta con usar la división. Tendremos que dividir 12 por 3. y la distribución resultante sería [x . . x . . x . . x . .]. Ahora aparece una nueva propiedad. Cuando efectuamos la división de 12 por 3, obtenemos 4 grupos. Esto ha sido equivalente a asignar un punto a cada grupo de 3 semitonos y exactamente en la misma posición, en este caso, en la primera. ¿Cómo asignamos las notas a los pulsos a través de una división? El procedimiento es el siguiente: primero ponemos las notas (la parte (1)-A de la figura), que ahora y por simplicidad designaremos con unos, tantas como tengamos; segundo, rellenamos con los ceros necesarios hasta completar el número de semitonos (la parte (1)-B de la figura); tercero, efectuamos la agrupación como sabemos (paso (2) de la figura); y cuarto, leemos la distribución resultante (paso (3) de la figura). La distribución resultante se lee por columnas de arriba abajo y de izquierda a derecha. Se ve claramente cómo la división ejecutada como formación de grupos ha dado lugar a una distribución correcta de los puntos en los semitonos de la octava. Si queremos distribuir 6 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por 2: y la distribución resultante sería [x . x . x . x . x . x .] Volviendo a hacer nuestro juego de divisiones y agrupaciones, tenemos: Si queremos distribuir 8 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por... ¿cuánto? Estrictamente hablando no se puede hacer. No hay número entero x tal que  = 8. La solución está en generalizar el concepto de división de tal manera que todavía sirva a nuestros propósitos, tanto matemáticos como musicales. Esta generalización es el principio de regularidad, que es el principio en que se apoya Johnson en su libro. Lo enunciamos como sigue: Ante el enunciado de ese principio, surgen varias preguntas: ¿Qué significa “de la manera más regular posible”? ¿Cómo se obtiene esa distribución de puntos? ¿Es único? Vamos a contestar a estas preguntas con un ejemplo; más tarde daremos las definiciones formales necesarias. ¿Es la distribución [x x x x x x x x . . . . ] de máxima regularidad? Es evidente que no, que tiene todas los puntos apelotonados al principio y ninguno al final. Tendríamos que mover puntos para hacerlo más regular. Pero ¿cómo? Hay dos observaciones que nos van a ayudar y que ya habían aparecido en el libro de Johnson: En una distribución de regularidad máxima solo puede haber dos distancias. Además, esas dos distancias tienen que ser c y c + 1. Llamaremos sucesión de distancias a las distancias entre puntos consecutivos según se obtienen leyendo la distribución de izquierda a derecha; por ejemplo, la sucesión de distancias de la distribución [x . . x x . x . . . ] es (3, 1, 2, 4). Recordemos que estamos tratando con diagramas circulares y que las distribuciones se leen de manera circular. Esto significa que se cuenta la distancia entre la última nota y la primera; de ahí el 4 en la sucesión de distancias anterior. Si la condición (1) no se cumple y hay tres distancias c1,c2 y c3, con c1 < c2 < c3, se pueden cambiar las notas a distancias c1 y c3 para que sean más regular. Por ejemplo, la distribución [x x . . x . ], que tiene como sucesión de distancias consecutivas a (1, 3, 2), se puede convertir en [x . x . x .], con distancias (2, 2, 2), que es una distribución más regular. Si solo hay dos distancias, pero c1 < c2 + 1, por el argumento anterior, se puede conseguir una distribución más regular cambiando un punto. La distribución [x . x . . .], por ejemplo, tiene sucesión de distancias (2, 4), y se puede hacer más regular moviendo el segundo punto para transformarlo en [x . . x . .], con distancias (3, 3). Volviendo a la distribución que nos ocupa, [x x x x x x x x . . . . ] movemos sus puntos para intentar obtener una escala de regularidad máxima. He aquí los frutos de nuestros intentos: [ x x x x x . x . x . x .] Esta distribución cumple las dos propiedades (1) y (2) enunciadas arriba, pero no es de regularidad máxima. Esto significa que las dos propiedades de arriba son condiciones necesarias pero no suficientes para construir una distribución de regularidad máxima. Por ello, en la definición de Johnson se exige que se comprueben todos los valores de las distancias d. Si escribimos las distancias entre puntos consecutivos de esta distribución tenemos la siguiente sucesión: (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2) Es intuitivamente claro que una sucesión de distancias (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2) daría una distribución de mayor regularidad: [x x . x x . x x . x x .]. Y este es la distribución de regularidad máxima que buscábamos. En este punto se hace evidente que una distribución de regularidad máxima no es única. Podíamos haber tomado una rotación de esta distribución, por ejemplo, [. x x . x x . x x . x x]. Una curiosidad: ¿cuál es el máximo común divisor de 12 y 8? Cuatro, que es el número de veces que se repite el patrón [ . x x] en la escala anterior. Esto, por supuesto, no es un hecho fortuito. Veamos qué hay detrás. Se puede ejecutar el algoritmo de Euclides pensándolo también como la formación de grupos. Haremos divisiones sucesivas moviendo ceros y unos, como hicimos anteriormente. Cojamos como ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 8. Ponemos 8 unos seguidos de 4 ceros, como abajo. En este caso el número de columnas final es el máximo común divisor. De modo que simulando el algoritmo de Euclides con divisiones en formación de grupos, llegaremos a distribuciones regulares. Fijémonos que en los unos están distribuidos regularmente. Y por último, si queremos distribuir 7 puntos, entonces tengo que dividir 12 por... ¿cuánto? Pues tampoco se puede pero volvemos a aplicar el principio de regularidad otra vez, y la distribución resultante (salvo rotaciones) sería [ x . x . x x . x . x . x]. Si hacemos las divisiones (formaciones de grupos), tenemos: La distribución resultante, una vez leídas las columnas, es: que no es la distribución que hemos mostrado antes. La razón es que la rotación de una distribución de regularidad máxima no altera esta condición. Las distribuciones producidas con el principio de regularidad se llaman distribuciones euclídeas. El principio de regularidad se ha revelado como una generalización de la división. 4. Comprobación de la definición de máxima regularidad Llegado a este punto, vamos a comprobar cómo verificar la definición de máxima regularidad vía el algoritmo de Euclides es más corto y elegante que vía el procedimiento de Johnson. En la figura 4 teníamos el diagrama siguiente: Figura 5: Un diagrama con cinco puntos. Este diagrama escrito en notación de caja es [x . x . . x . x . . x .], cuya sucesión de distancias consecutivas es (2 3 2 3 2). Tenemos 12 posiciones (semitonos) para distribuir 5 puntos. Aplicando el algoritmo de Euclides tenemos: El resultado que obtenemos, leyendo por columnas el último bloque, es [x . . x . x . . x . x .], o escrito como sucesión de distancias consecutivas (3 2 3 2 2). Esta sucesión es una rotación de (2 3 2 3 2) y, por tanto, es de máxima regularidad. En la columna del mes que viene relacionaremos todo lo visto hasta aquí con conceptos musicales. Estudiaremos qué intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas aparecen asociados a las distribuciones de máxima regularidad. Esto dará cuenta de la segunda mitad del libro de Timothy Johnson al que estamos dedicando esta serie. Bibliografía [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Góm12] Gómez, F. Enseñanza de música vía las matemáticas - I Columna de la sección Matemáticas y música de la web Divulgamat. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 09 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En el artículo de este mes vamos a tratar el tema de la formación científica de los músicos. Aquí surgen varias preguntas, casi de modo irrefrenable: ¿No debería tener toda persona de artes o letras un mínimo de formación científica? En particular y dada las potenciales conexiones entre ciencia y arte, ¿no deberían disfrutar los músicos de esa formación? ¿No debería impartirse tal formación en los estudios reglados? ¿Por qué negar los aspectos cuantitativos de la música? Estos existen y pueden explicarse a partir de las matemáticas y la física. Después de décadas de investigación matemática sobre la música, ¿por qué no usar ese conocimiento para diseñar nuevos modos de enseñar música? Estos modos supondrían, al menos, una enseñanza más rica en conceptos y recursos. Las matemáticas y la música tienen conexiones en al menos cuatro niveles [Be00]: en el de la física del sonido, en el del lenguaje musical, en el de la estética y el metafórico. Este último nivel ha de entenderse como una conexión basada en el proceso y la analogía, ambos conceptos comunes a las matemáticas y a la música. Entonces, ¿no pueden aprovecharse esas conexiones para diseñar asignaturas que tengan un enfoque interdisciplinar? En un mundo cada día más interdisciplinar, ¿por qué empeñarse en una enseñanza profundamente reduccionista? En ciertas especialidades musicales la formación científica -dados los avances actuales- se hace imprescindible, como por ejemplo en la musicología cuantitativa (a veces incluso llamada musicología computacional) o en teorías compositivas modernas (la música de Xenakis, la música fractal, la música algorítmica, la música electrónica). ¿Por qué en nuestros conservatorios no se imparte una enseñanza que incluya algo de ciencia? ¿Por qué dejar cojos a nuestros futuros músicos, sea cual sea su especialidad, de esta importante formación? A un nivel más abstracto, las matemáticas y la música tienen como característica común un agudo sentido de lo estético. Los grandes matemáticos y los grandes músicos han hablado con arrobo de las experiencias estéticas que les ha proporcionado su actividad. ¿No se pueden intercambiar esas experiencias a través de un plan de estudios con ambiciones? Antes de que el lector proteste por el aparente sesgo de introducir las matemáticas en la música, quiero defender vehementemente la introducción de la música en la enseñanza científica. Creo que en toda carrera científica debe haber asignaturas de letras de tal modo que los alumnos que salgan de nuestras universidades sean verdaderos humanistas. En teoría, las asignaturas de libre elección estaban para eso, a imagen del modelo americano, pero se redujeron a asignaturas complementarias bien por las habituales y no por ello menos patéticas luchas de poder bien para paliar la reducción de horas en los nuevos planes de estudios. En cierto punto de la conversación con Ricardo salieron a colación varios libros que enseñan teoría de la música básica a través de las matemáticas. Dichos libros se usan en conservatorios del extranjero y, hasta lo que alcanza mi conocimiento, no se usan en España. Uno de los libros que se mencionó es Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), de Timothy Johnson [Joh03]. Creo que la virtud de este libro está en la explicación de conceptos musicales a partir de unos presupuestos matemáticos mínimos. En realidad, para comprender el libro lo que único que se requiere es predisposición a razonar y unos rudimentos de aritmética. A partir de ahí, el libro constituye una gozosa travesía por la teoría de escalas. Este artículo inaugura una serie que analizará en detalle el libro de Johnson. Para empezar, déjeme el lector mostrarle el índice del libro (mi traducción): Prefacio Para el instructor Agradecimientos La visión de las matemáticas a través del currículo educativo   Introducción ¿Tenéis preguntas? Matemáticas y música Cómo usar este libro Capítulo 1: relaciones espaciales y estructuras musicales Puzles con relaciones espaciales Estructuras musicales a partir de figuras geométricas Una definición de intervalos Resumen y ampliaciones Capítulo 2: patrones de intervalos y estructuras musicales Patrones de intervalos diatónicos Patrones de intervalos y el círculo de quintas Estructuras de otras colecciones Resumen y ampliaciones Capítulo 3: triadas y acordes de séptima y sus estructuras De la colección al acorde Triadas y acordes de séptima de máxima regularidad Variedad y multiplicidad de acordes diatónicos Resumen y ampliaciones Conclusión ¿Tenemos ahora alguna respuesta? 2. La introducción del libro La introducción del libro describe una anécdota que no me resisto a citar literalmente (mi traducción): ""¿Tenéis preguntas?" preguntó un famoso compositor y director de orquesta a un público formado por estudiantes y profesores de música en una conferencia no hace muchos años. "Sí," -respondió un pianista conocido y de mucho talento- "¿por qué están las teclas blancas y negras del piano dispuestas de esa manera?" El público se paró a pensarlo durante un par de segundos antes de que una risa sorda y nerviosa empezase a romper el tenso silencio. Tanto el compositor como el pianista parecían incapaces de llegar a una respuesta satisfactoria, pero sus caras mostraban que estaban intrigados e interesados en esa pregunta. El libro presenta material que dará respuesta a esta intrigante pregunta a través de razonamientos musicales y matemáticos. En particular, explicará la distribución de la escala diatónica en base al principio de máxima regularidad (o simplemente principio de regularidad). 3. Relaciones espaciales y estructuras musicales Johnson empieza directamente por mostrar unos diagramas consistente en un círculo dividido en 12 partes; véase la figura 1 (todas las figuras de este artículo están tomadas de su libro y modificadas apropiadamente): Figura 1: Colocación de puntos en círculos. La pregunta es sencilla: ¿cómo poner 2 puntos de manera que estén lo más alejado posible entre sí? En el círculo de más a la izquierda se ve una de las posibles soluciones. ¿Cómo se haría para 3, 4 y 5 puntos? Poner 3 o 4 puntos es fácil e intuitivo, quizás porque esos números son divisores enteros de 12, el número de puntos (véanse los círculos centrales de la figura 1). El caso de 5 es harina de otro costal, pues los puntos no se pueden poner equidistantes unos de otros. En todos los casos hay más de una solución. Por ejemplo, en el caso de 2 puntos hay 6 posibles soluciones, todas ellas equivalentes bajo rotaciones. Johnson ofrece al lector la fórmula general que reza donde c es el número de subdivisiones del círculo, d el número de puntos que queremos colocar y mcd es el máximo común divisor de dos números (el mayor divisor común). En nuestro ejemplo, tenemos c=12 y d=2; por tanto, el número de soluciones posibles para 2 puntos es 12/mcd(12, 2)=12/2=6, tal y como habíamos señalado antes. Para 5 puntos hay 12 soluciones puesto que 12 y 5 solo tienen a 1 como divisor común. El caso de 5 puntos es llamativo. En el libro se da una solución elegante, que es de hecho la base de un algoritmo (procedimiento) ya conocido (véase [DGM+09]) y que podíamos llamar el algoritmo del vecino más cercano; véase la figura 2. Figura 2: Colocación de 5 puntos en el círculo. Se parte de una asignación arbitraria de los puntos sobre el círculo (figura 2 (a)); a continuación se muven los puntos hasta que están a igual distancia entre sí (figura 2 (b)). Los puntos no han caído sobre las subdivisiones, como se aprecia en la figura. Esto se arregla moviendo cada punto a la subdivisión más cercana (figura 2 (c)), y con ello quedan colocados los puntos de la manera más regular posible. Tras esta exploración inicial, Johnson se mete en profundidades cuando pregunta al lector cómo colocar 6, 7 y 8 puntos. Todavía 6 es fácil, pues 6 divide a 12, pero no es el caso con 7 ni con 8. El caso de 7 es fascinante. Dejamos al lector que busque la solución por sí mismo. De los diagramas de la figura 3, solo el de la derecha es correcto. El primer diagrama es un intento fallido de obtener la colocación de los 7 puntos a partir de la de 6; los otros dos son también fallidos por distinas razones. Figura 3: Colocación de 7 puntos. Antes de asignar significado musical a estos diagramas, Johnson investiga qué ocurre con los diagramas complementarios. Si, por ejemplo, tomemos el círculo con 6 puntos, no importa por ahora como estén, y ahora consideramos otro círculo con los puntos colocados en el complementario de los puntos del primer círculo, este diagrama es el complementario del primero. En la figura 4 tenemos a la izquierda un círculo con 6 puntos y a la derecha su correspondiente complementario. Figura 4: Diagramas complementarios. La pregunta es entonces: si un diagrama tiene un conjunto de puntos colocados con máxima regularidad, ¿el diagrama complementario tendrá los puntos colocados regularmente también? Por la figura 4, parece que sí, y, de hecho, es cierto siempre. Pruebe el lector con el diagrama de 7 puntos de la figura 3 (d). Ahora las 12 subdivisiones se etiquetan con los nombres de las notas (dado que las figuras están tomadas de su libro, los nombres de las notas aparecen en inglés). En la figura 5 están los diagramas con máxima regularidad para un número de puntos entre 2 y 8. Figura 5: Diagramas con las notas musicales. A partir de aquí, Johnson interpreta los diagramas como sigue: Diagramas de dos puntos: intervalos. Diagramas de tres puntos: triadas. Diagramas de cuatro puntos: acordes de séptima. Diagramas de cinco a ocho puntos: escalas. Un diagrama regular de 2 puntos corresponde a un tritono, pues divide los 12 semitonos del temperamento igual en dos mitades exactamente iguales. Un diagrama regular de 3 puntos equivale a una triada aumentada. Un diagrama regular de 4 puntos corresponde a un acorde de séptima disminuida. Un diagrama regular de 5 puntos es una escala pentatónica (en la figura 5 (d), las teclas negras del piano). Un diagrama regular de 6 puntos es equivalente a una escala de tonos enteros. Un diagrama regular de 7 notas corresponde con la escala diatónica mayor. Por último, un diagrama regular de 8 notas equivale a una escala octotónica que alterna tono y semitono (figura 5 (g)). Al llegar a este punto (página 26 del libro) Johnson da una definición más rigurosa de regularidad máxima. Hasta ahora las situaciones que ha presentado se han resuelto de manera intuitiva. Sin embargo, esto será ya materia de la columna de enero. 4. Para saber más En el espectáculo Materritmo se presentan de un modo divertido varias de las ideas del libro de Johnson. En Materritmo el principio de regularidad se usa como principio de composición y análisis de ciertas piezas de percusión de música de Ghana. Vídeos (en inglés) del espectáculo se pueden ver aquí. Bibliografía [Be00] Scott Beall, Funcional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press. Emeryville, California. 2000. [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 05 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El artículo de este mes tiene carácter indagatorio. Al contrario que otros en esta columna, no muestra una conexión entre algunos fenómenos matemáticos y musicales, o analiza la obra de un compositor a la luz de técnicas matemáticas, sino que explora cómo se puede usar el aprendizaje por indagación en la enseñanza de las matemáticas y la música. En las matemáticas hace años que se emplea bajo múltiples formas: aprendizaje por resolución de problemas, el método Moore, aprendizaje por proyectos, aprendizaje orientado al proceso, entre otros. En la música, a la luz de nuestro más leal conocimiento, parece que apenas está implantado. En el artículo de este mes describiremos en qué consiste el aprendizaje por indagación en las matemáticas y en el artículo del mes que viene trataremos cómo se podría aplicar dicho aprendizaje a la música. El aprendizaje por indagación se basa en la idea de adquirir conocimientos y destrezas a partir del planteamiento de preguntas y problemas. Este método -a la manera socrática- confronta al alumno con su propia ignorancia y le conmina a salir de ella a través de la indagación. Él construye el conocimiento y no se le da construido; se traspasa la responsabilidad de encontrar las fronteras de su conocimiento al alumno así como el compromiso de superarlas. De esta manera, el aprendizaje es más profundo e intenso, pues es el alumno quien participa activamente en su construcción. La materialización del aprendizaje por indagación -como ha demostrado la práctica pedagógica- puede ser numerosa y muy diversa. Como acabamos de decir, bajo este término se incluyen metodologías tales como el aprendizaje por resolución de problemas o el aprendizaje basado en proyectos; véase [BB08] para una taxonomía más amplia. Eick y Reed [ER02] definen el aprendizaje por indagación de la siguiente manera (mi traducción): El aprendizaje por indagación no trata sobre la memorización de hechos —trata sobre la formulación de preguntas y el hallazgo de las soluciones adecuadas a las preguntas y problemas. La indagación puede ser una responsabilidad compleja y, por tanto, requiere un diseño y una fundamentación de la clase muy especializados para facilitar que los alumnos experimenten la emoción de resolver una tarea o un problema por ellos mismos. Un entorno de aprendizaje por indagación respaldado por un diseño de la clase cuidadoso puede ayudar a los alumnos en el proceso de transformar la información y los datos en conocimiento útil. Hace algún tiempo decidí aplicar el aprendizaje por indagación en mis cursos. Había llegado a la conclusión de que mi enseñanza basada en la clase magistral ya no era efectiva en absoluto. Para ser sinceros, había llegado a la conclusión de que era una farsa. Cierto es que con los años había mejorado en dar clases magistrales. Me había aplicado a una reflexión profunda para superar mis dolorosos errores, había estudiado a los mejores oradores, había leído muchos libros de pedagogía y psicología, había aplicado técnicas de actuación a la gestión de la clase, y en la medida de mis posibilidades dentro de mi departamento, había intentado definir un temario razonable y coherente. En suma, había intentado ser profundo, creativo y eficaz al dar la clase magistral. Y, en general y dicho con humildad, creo que lo conseguí. Sacaba buenas evaluaciones en las encuestas de los alumnos, estos agradecían el buen trato (e incluso el rigor) que les dispensaba, y parecían satisfechos con mi labor docente: siempre llevaba las clases preparadas, hacía menciones a la historia de los conceptos explicados, exponía las aplicaciones de las matemáticas. Sin embargo, eso solo era un espejismo. La realidad era muy otra. El perfil de los alumnos había cambiado lenta pero inexorablemente, y no solo no supe darme cuenta, sino que tampoco había sabido adaptarme a ese cambio. No eran ya los aprendientes autónomos que éramos en mis tiempos de estudiante, ni siquiera el aprendiente de hace diez años. El perfil del alumno universitario actual, al menos en mi facultad, es el de una persona que no aprende por mero contacto con el temario expuesto oralmente, que usa la tecnología de manera natural, que, en la mayoría de los casos, carece de constancia en el estudio, y que especula incesantemente con los resultados y el esfuerzo. Los alumnos se enfrentan a la materia empujados por las fechas de entrega y de exámenes parciales que tengan en ciernes. Les podría entretener mis clases magistrales, o incluso gustar, pero casi todos estudiaban la asignatura la semana antes del examen. Se habían convertido en lo que he dado en llamar vomitadores. Muchos alumnos solo querían su aprobado y les daba igual si les enseñaban a pensar, o adquirían habilidades sociales, o cómo estaban maltratando ellos mismos sus hábitos de estudio y aprendizaje. La mayoría solo perseguía aprobar con el mínimo esfuerzo. Y yo seguía en la inopia, a pesar de las altas estadísticas de abandono, de suspensos y de repetidores. Aunque triste y revelador, era aun peor saber que las asignaturas de matemáticas solo representaban un obstáculo para la mayoría de alumnos y que la pura verdad era que ni les enseñaba a pensar nia ser creativos. Esta era la farsa a la que me refería antes. Y un día me desperté y dije ¡basta! No puedo permitirme ser ese tipo de profesor si amo la enseñanza y las matemáticas. No puedo ser ese tipo de persona. Empecé a usar otros métodos para tratar desesperadamente de romper esa inercia. Los primeros años, solo en asignaturas optativas, empleé métodos colaborativos. Aprendí mucho de la psicología de los alumnos y comprendí y corroboré muchos hechos que había leído en libros y revistas académicas. Los métodos colaborativos implican un contacto intenso con los alumnos y eso nunca me importó; es más, siempre lo busqué, pues me pareció fundamental. Al contrario que algunos de mis colegas, yo no pienso que los profesores estemos para transmitir el conocimiento desde una postura totalmente aséptica y lo más alejada posible de las emociones y los valores. Un alumno aprende más por quién es su profesor que por lo que le enseña. No fue fácil, pero en poco tiempo la actitud de los alumnos cambió radicalmente; ahora estaban implicados en su propio aprendizaje y mi pasión por la asignatura -antes percibida como un extravagante exceso- ahora era compartida. Los alumnos además apreciaban el desarrollo de las habilidades sociales y de comunicación inherentes a este tipo de métodos. Más tarde me atreví a usarlo con asignaturas troncales de primer curso, un toro muy distinto de torear a las asignaturas avanzadas de cuarto, con alumnos muy motivados. Desde entonces, he seguido como método principal una versión modificada del método Moore. Las principales modificaciones que introduje fueron dos: (1) hacer el método Moore colaborativo; (2) conceder a la escritura la importancia que posee en las matemáticas. La aplicación del método no ha sido fácil ni obvia. Antes bien, ha estado llena de dificultades: clases muy numerosas, alumnos con poca motivación, niveles muy heterogéneos, programa muy extenso, muchos alumnos ”profesionales” del examen (eufemismo para los vomitadores), entre otros. Sin embargo, los resultados han sido buenos. Los alumnos poco a poco se han comprometido con el aprendizaje, se lo han pasado bien en clase, se han sentidoseguros en el examen, e incluso la mayoría de los alumnos cuyo nivel evidenciaba que no podrían con la asignatura han seguido el curso hasta el último día. En la siguiente sección explicaré el método Moore y la versión modificada que aplico en mis clases. 2. El método Moore modificado 2.1. El método Moore original El método Moore recibe su nombre por Robert Lee Moore, un famoso matemático (topólogo), que daba clases en la Universidad de Pensilvania. Originalmente, el método estaba diseñado para alumnos avanzados de matemáticas. Como primer paso, Moore distribuía unas hojas en que aparecían los axiomas que se iban a usar en la asignatura, unos cuantos ejemplos ilustrativos y después un conjunto de resultados que probar. Cada estudiante tenía que probar por sí mismo los resultados. Moore llamaba a la pizarra a los estudiantes y estos probaban los teoremas. Se producían discusiones entre ellos, en las que Moore intervenía ocasionalmente. Su método se basaba en una sana competencia individual. Cuando habían pasado unos cuantos días, Moore ya conocía cuál era el nivel de los estudiantes y los llamaba en orden inverso a su nivel (los de menor nivel salían más frecuentemente). Desde el principio, estuvo prohibido usar cualquier fuente de información externa; solo las hojas distribuidas por Moore y el fruto de las discusiones en clase constituían el único material —tanto teórico como práctico—. Como consecuencia de este método, la comprensión del material era muy profunda, más, obviamente, que en las clases magistrales. La experiencia de aprendizaje -según los testimonios de los alumnos- era más vívida. En los vídeos siguientes aparecen profesores de universidad describiendo el método Moore. En el método Moore es absolutamente fundamental crear una atmósfera de seguridad emocional. Sin ella, el alumno tendrá miedo de salir a la pizarra, y lo que es aun peor, de cometer errores. Un matemático profesional está acostumbrado a cometer errores; es parte de su actividad. Igualmente, está acostumbrado a detectarlos, corregirlos y recuperarse de ellos. Un alumno, en principio, tiene que aprender todo esto. Moore tenía clases relativamente pequeñas, entre 8 y 15 alumnos, y era fácil crear ese buen ambiente de camaradería intelectual. Por otro lado, el método no funciona si los alumnos no respetan las reglas. Si hay alumnos que consultan las demostraciones en libros o las hacen a medias con otros, entonces la clase no funciona como debería. Moore contaba que esta situación raramente ocurría. En algunas universidades donde el método lleva años en práctica, como la Universidad de Texas, a los alumnos que copian les llegan a castigar prohibiéndoles matricularse en ningún curso con metodología Moore. Otra cuestión delicada en el método Moore es la evaluación. Claro es que la evaluación continua es la mejor opción para este método. Hay todo un continuo de posibilidades en este sentido, que abarcan desde la pura evaluación del trabajo en clase hasta la combinación de este con exámenes y proyectos. En todo caso, con el método Moore es posible evaluar el esfuerzo de los alumnos y su progresión. Para más información sobre el método Moore original, se puede consultar la página web de su legado, The legacy of R.L. Moore [Fou13]. 2.2. El método Moore colaborativo Dado la facultad en que enseño, la Escuela Universitaria de Informática (Universidad Politécnica de Madrid), con notas de corte de 5, con muchos alumnos ávidos de títulos y no de conocimiento, con alumnos poco motivados, con alumnos vomitadores profesionales, con clases grandes, sabía que no podía aplicar el método Moore en su formato original. Me di cuenta enseguida de que tenía necesariamente que centrar el aprendizaje en ellos mismos de manera expeditiva. Mis alumnos no eran los que tenía Moore, entusiastas de la materia y con sólidos hábitos de estudio. Y esto implicaba introducir el aprendizaje colaborativo. Eliminé la restricción de trabajar individualmente que Moore impuso originalmente. De hecho, ahora fomento el trabajo en grupo, aunque bajo ciertas condiciones. Las condiciones que he establecido son las siguientes (tomadas de la página de una asignatura que di el año pasado; véase [Góm13a]): En la clase no se usan libros ni otras fuentes de información, sean electrónicas o impresas. El material lo prepara el profesor y lo distribuye a los alumnos. El profesor no explica teoría ni hace problemas. La teoría se enuncia en el material que se distribuye. Los alumnos elaboran por sí mismos la teoría. Los problemas los resuelven los alumnos. Cuando se resuelve un problema un alumno sale a la pizarra a explicarlo, este problema no se da por bueno hasta que la clase entera está de acuerdo. Esto puede llegar hasta una votación formal en la clase. Todos los alumnos salen por estricta rotación. Los alumnos que tienen más dificultades salen más frecuentemente a la pizarra. Se fomenta el trabajo en grupo durante las clases. Es posible que el profesor pida a dos alumnos que trabajen juntos en cierto problema y que uno se lo explique al otro. En este sentido, este método se basa en la creencia de que no hay mejor manera de aprender algo que tener que enseñarlo. Las demostraciones y problemas se tienen que entregar al profesor. Cada alumno escribe sus propias demostraciones y soluciones. Además, como parte de una política de honestidad: Si un alumno ha recibido ayuda de otro en la discusión de un problema ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (con la ayuda de X). Si a un alumno le ha leído el trabajo otro compañero ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (leído por X). Si un alumno ha trabajado con otro ha de ponerlo explícitamente en las entregas: Problema 6 (trabajo conjunto con X). Está prohibido dejar soluciones o demostraciones a otro compañero. Si un alumno tiene problemas con un ejercicio, queda con otro compañero que lo pueda ayudar. No le pide la solución sin más y la copia. Ningún alumno debería ni pedir la solución ni dejar que la copie. El lema esEntiende la explicación y escribe tu propia solución. El trabajo en equipo y colaborativo es esencial en esta metodología. El alumno va a recibir una carga de trabajo superior a la que es capaz de terminar con la única ayuda de su fuerza mental. Esto se hace para animar a los alumnos a que trabajen en equipo y para que acudan al profesor cuantas veces te haga falta (y con la tecnología que haga falta: Skype, correo, Twitter, etc.). De vez en cuando habrá revisión de trabajo por pares. Esto significa que se darán los ejercicios de unos alumnos a otros para que los corrijan. Esto constituye un ejercicio de crítica y responsabilidad que resultará muy interesante e instructivo. Esta metodología no funciona si no se siguen estas reglas al pie de la letra. No respetar las normas del método hace que se arruine por completo. Las copias de los ejercicios o demostraciones son siempre obvias. Uno de los puntos delicados en la implementación del método es convencer a los alumnos de que pueden hacerlo. Sé que en las dos primeras semanas de clase mi trabajo consistirá en emplearme a fondo para ello. Algunos alumnos piensan que no tienen nivel para afrontar este reto, otros sencillamente ignoran las reglas del método y actúan por libre, especialmente lo referente a la colaboración. En el artículo [Góm13a] se recogen más detalles de la aplicación del método, así como ventajas e inconvenientes para alumnos y profesores. 2.3. La escritura en las matemáticas Me preocupaba sobremanera la patente y creciente falta de recursos de comunicación de nuestros alumnos. En el caso de las matemáticas, y en particular en mi entorno académico, había llegado a límites insoportables. Los alumnos se habían acostumbrado a escribir una ristra de símbolos, sin apenas frases en castellano, o bien escritas como un telegrama, como sustituto de una respuesta bien estructurada, concisa y que demuestra la requerida claridad de pensamiento. Me daba cuenta de que ese era un problema que tenía que atacar, ya independientemente del método Moore. Investigué la bibliografía y descubrí que hacía al menos cuatro o cinco décadas ya había profesores que habían enseñado matemáticas basadas en la escritura. Aquí por escritura entiendo toda una plétora de posibilidades: pruebas formales, escritura libre, redacciones autobiográficas, diarios, periódicos, páginas web, resolución de problemas, poesía visual, informes, entre otros. Para el lector interesado recomiendo [Ste90], [MR98] y la compilación de recursos hecha por Michael Kinyon [Kin13]. Mis alumnos han sido extraordinariamente reacios a la idea de la escritura. Hasta entonces les habían dado todos los puntos por escupir código interno en los exámenes, esto es, les daban buenos puntos por una respuesta inconexa, escrita para ellos mismos, pespunteada con retazos de su confuso pensamiento, fruto de la habitual regurgitación del material. ¿Por qué iba a ser diferente a partir de ahora si desde el instituto tal cosa les fue permitida? No obstante, he sido estricto y en las entregas doy cinco puntos por las matemáticas y cinco puntos por la escritura. He escrito un documento en que les explico con detalle cómo redactar correctamente matemáticas, desde el punto de vista formal y desde el punto de vista lingüístico; véase [Góm13b]. He aquí un extracto de ese documento donde se argumenta por qué la escritura puede ser un buen método de enseñanza de las matemáticas. Una buena escritura es un reflejo de un pensamiento claro. Un pensamiento deficiente nunca podrá producir una buena escritura. Demasiado frecuentemente, cometemos el error de confundir familiaridad con conocimiento. Lo que nos escriben nuestros alumnos en los exámenes es en la mayor parte de los casos una muestra de su familiaridad con el tema, probablemente adquirida a toda prisa los días previos al examen. Conocer o entender algo es muy distinto a reconocerlo. La escritura, por la carga de reflexión que lleva, permite ese asentamiento, esa vivencia del conocimiento. He aquí unas cuantas ventajas de la escritura como método de enseñanza: Escribir matemáticas hace las clases más activas. El alumno tiene que escribir en las clases y mostrar su escritura al resto de la clase, quien hará los comentarios pertinentes para mejorarla. Escribir matemáticas enfrenta a los alumnos a su propio conocimiento. Escribir una demostración correctamente implica un alto nivel de revisión que fuerza a que se aprenda el material con más profundidad. Escribir siempre fomenta la creatividad, y ello es cierto también en el caso de la escritura matemática. Escribir matemáticas hará mejores lectores a los alumnos. Tendrán que practicar la lectura comprensiva más a fondo. La entrega de ejercicios escritos al profesor proporciona a este una valiosísima oportunidad de comprobar la comprensión de la materia y reaccionar en consecuencia (bien repitiendo explicaciones, poniendo ejercicios complementarios, dando material adicional a alumnos concretos, etc.). La escritura matemática, sobre todo si se combina con métodos colaborativos, da lugar a discusiones muy fructíferas entre los alumnos. Sin embargo, la principal razón para que los alumnos escriban, y lo hagan con rigor y calidad, reside en los valores de las matemáticas. Los principales valores asociados a las matemáticas son la capacidad para ensanchar y agudizar los mecanismos de aprendizaje, el sentido del conocimiento y el genio del pensamiento profundo. Enseñar matemáticas a los alumnos a través de la escritura está en clara consonancia con esos valores. Estos valores, por supuesto, no son privativos de las matemáticas; están presentes también en otras áreas del saber. A pesar de este documento y mis advertencias, las primeras entregas estaban pésimamente escritas. Cuando han visto que les restaba una buena cantidad de la nota final de las entregas, han empezado a tomarlo más en serio. El nivel de escritura de la clase subió y ello se reflejó en las exposiciones en la pizarra. En ocasiones mandaba hacer una demostración a algún alumno en concreto y le daba una transparencia de acetato. Escribía la demostración sobre el acetato y a continuación la poníamos en el proyector y la clase discutía y criticaba la demostración. En la bibliografía se pueden encontrar libros extraordinarios sobre cómo utilizar la escritura en el aula. Timothy Sipka en [Ste90] (páginas 11 y siguientes) sugiere varios, entre ellos, las redacciones. No parece un recurso de resultados deslumbrantes, pero es solo la apariencia. Periódicamente, les proponía temas a los alumnos, que iban desde su relación con las matemáticas, su opinión sobre el método Moore, la ansiedad matemática o incluso tema libre. La información que recababa de estas redacciones era valiosísima. Me daban una visión de los alumnos más personal, me permitía conocer sus preocupaciones e intereses, o sus relaciones con las matemáticas en el pasado y cómo afectaban a la clase en curso. 2.4. El método completo Como he dicho, el método completo se basa en dos pilares: la versión colaborativa del método Moore y el énfasis en la escritura. Faltaría decir que también uso la idea de las pruebas conceptuales del método; véanse Mazur [Maz97] y [Maz13]. Estas pruebas conceptuales se presentan en la pantalla y los alumnos, individualmente, las piensan, normalmente durante uno o dos minutos. Al cabo de ese tiempo, votan la respuesta correcta con un mando especial (llamado educlick). Si la mayoría de los alumnos aciertan la respuesta correcta, se pasa a la siguiente; si no es así, el profesor invita a los alumnos a que discutan, ahora entre sí, cuál es la respuesta verdadera. Al cabo de unos cinco o diez minutos se vuelve a realizar la votación. Si sale la respuesta correcta por amplia mayoría, se pasa a la siguiente prueba conceptual; si no es así, un alumno desarrolla brevemente el concepto. Este sistema agiliza mucho la clase y permite programar repasos con gran efectividad. Como ejemplo real de la aplicación del método, a continuación tenemos el principio de la hoja 2 de sucesiones; en la hoja 1 se estudia la definición de sucesión. En esta hoja se trata la definición de límite de una sucesión. Esta hoja se reparte al principio de la clase. Se empieza con un trabajo intuitivo sobre el concepto de sucesión. Quiero ver qué saben exactamente sobre el límite de una sucesión, pero dentro de un contexto relajado. Leen la definición 15 y a continuación, en el ejercicio 16 (segundo recuadro), escriben libremente, incluso con dibujos y gráficos, sobre su idea de límite de una sucesión. Este ejercicio de escritura dura unos 10 minutos. Me lo entregan y continuamos la clase con la definición formal. Abajo tenemos un extracto de la hoja 3, que versa sobre convergencia y orden. Como se puede ver, no hay explicaciones entre los teoremas. Se las dan ellos en la pizarra fruto de las discusiones pertinentes. Los resultados no son meros ejercicios de aplicación directa, sino que se les pide que den demostraciones ɛ - n0 como vendrían escritas en cualquier libro de texto. Toda la retórica asociada a una clase magistral se eliminado radicalmente en favor de las discusiones entre los alumnos. He presenciado discusiones realmente fructíferas y en varias ocasiones los alumnos han venido con demostraciones muy creativas, de inesperada profundidad. Tal cosa nunca habría ocurrido con las clases magistrales. 3. Conclusiones El día que dije ¡basta! fue también el día en que me decidí no dar nunca más clase vía una lección magistral. Hay muy buenos profesores que dan clase magistral y, cuando nuestros alumnos eran aprendientes activos, ese era un buen método. Ya no lo es más en la inmensa mayoría de los casos. Nuestros alumnos son otros y, como profesores, hay que enfrentarse a la nueva realidad que tenemos. Me uno al lamento de un matemático de Paul Lockhart [Loc13]: “Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos!” (página 13). De eso se trata, de hacer matemáticas en el aula, como las hago en mi grupo de investigación: discutiendo, trayendo información, equivocándome, volviendo a la carga, estando sobre un problema durante días, poniendo eufórico por una idea feliz, escribiendo (y reescribiendo y reescribiendo, y revisando y revisando), y contándoles a mis colegas mis ideas y yo escuchando las suyas. Por último, quería añadir que desde que usó este tipo de métodos el disfrute es mucho mayor que lo fue antes. Estoy deseando ir a clase; es más, el día que tengo clase estoy contento, en una especie de estado de excitación. ¿Qué pasará hoy?, ¿cómo puedo iluminarlos?, ¿qué me van a enseñar a mí hoy?, ¿habrán asimilado el material bien?, ¿con qué nos vamos a reír? (sí, en este tipo de clases nos reímos; en otro artículo hablaré sobre el papel del humor en la enseñanza). El cambio fue, sin duda, para mejor. Bibliografía [BB08] H. Banchi and R. Bell. The Many Levels of Inquiry. The Learning Centre of the NSTA, 2008. [ER02] C.J. Eick and C.J. Reed. What Makes an Inquiry Oriented Science Teacher? The Influence of Learning Histories on Student Teacher Role Identity and Practice. Science Teacher Education, 86:401–416, 2002. [Fou13] Educational Advancement Foundation. The legacy of R.L. Moore. http://legacyrlmoore.org/index.html, consultado en febrero de 2013. [Góm13a] Paco Gómez. El método Moore o el aprendizaje por indagación. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=369:el-metodo-moore-o-el-aprendizaje-por-indagacion&catid=88:educacion&Itemid=192, consultado en febrero de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Enseñanza de las matemáticas a través de la escritura. http://webpgomez.com/index.php?option=com˙content&view=article&id=418:escritura-matematica&catid=101:analisis-matematico-1213&Itemid=240, consultado en febrero de 2013. [Kin13] Michael K. Kinyon. Mathematics and writing. http://web.cs.du.edu/˜mkinyon/mathwrite.html, consultado en febrero de 2013. [Loc13] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824&zw=175149, consultado en febrero de 2013. [Maz97] E. Mazur. Peer Instruction: A User’s Manual. Series in Educational Innovation. Prentice Hall, 1997. [Maz13] Mazur Group. Mazur group website. http://mazur.harvard.edu/, consultado en febrero de 2013. [MR98] John Meier and Thomas Rishel. Writing in the teaching and learning of mathematics. The Mathematical Association of America, 1998. [Ste90] A. Sterrett(editor). Using writing to teach mathematics. English Studies, 16, 1990.
Martes, 12 de Marzo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Ricardo Sanz y Tur (profesor de Pedagogía y Didáctica de la Música en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid) y Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Este mes el artículo de la sección está escrito al alimón con Ricardo Sanz y Tur, profesor de Pedagogía y Didáctica de la Música del Real Conservatorio Superior de Música de Madrid y el humilde responsable de esta columna. El artículo que ofrecemos al lector es un análisis de dos de las Seis danzas con ritmos búlgaros, de Béla Bartók, pertenecientes a sus conocidos cuadernos para piano Mikrokosmos. Presenta este análisis una feliz simbiosis, desarrollada con naturalidad, de conceptos musicales y matemáticos; así, se habla de compases de amalgama y métricas aksak, pero también de métricas euclídeas. Ilustra con bastante claridad cómo puede usar un músico las matemáticas, sin forzarlas, sin excederse, sino como la herramienta formidable que son, y con la voluntad de servicio debida al usuario. El artículo de este mes nos mueve a la una reflexión no por repetida menos cierta: Si los músicos supieran más ciencia..., si los científicos supieran más música..., ¡todos nos divertiríamos más y seríamos más sabios! 1. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)» Todos los ejemplos de este artículo están tomados de Béla Bartók: Mikrokosmos. 153 Progressive Piano Pieces. Vol. 6. Londres: Boosey & Hawkes, 1987. Figura 1: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Compases 1-4 1.1. Compás de amalgama En primer lugar, estamos ante un compás de amalgama. De acuerdo con Joaquín Zamacois, «se denominan de amalgama los compases que se forman por la reunión, en uno solo, de dos o más compases, cuyos tiempos son de igual unidad, pero distintos en número» (1). Por otro lado, así aparecen conceptuados los compases de amalgama en la Teoría de la música de la Sociedad Didáctico-Musical (S. D. M.) (2): «Compases de amalgama son aquellos que reúnen en uno, dos o más compases binarios, ternarios y cuaternarios, de subdivisión binaria o ternaria» (2). Fuera de nuestro país, hallamos la siguiente definición de «compases de amalgama» en el Diccionario Oxford de la música: «Designación de ciertos compases irregulares de cinco, siete o más tiempos, que son en realidad la unión de varios compases simples (de dos y tres tiempos en el de cinco, de tres y cuatro tiempos en el de siete). [...]» (3). Nótese que hay ciertas discrepancias entre unas definiciones y otras (las definiciones no son verdaderas o falsas, sino útiles o inservibles). Para Scholes los compases de amalgama están formados por compases simples, es decir, de subdivisión binaria: compás binario, ternario y cuaternario de subdivisión binaria. Los ejemplos que aporta refuerzan esta perspectiva. En cambio, para la S. D. M. los compases pueden ser de subdivisión ternaria, esto es, compuestos (compases cuya figura representativa del valor de un tiempo es una figura con puntillo). No obstante, los casos que examina la S. D. M. son los tradicionales de 5/4, 5/8 y 7/4 (ninguno de subdivisión ternaria, y tampoco agrupación de compases simples y compuestos). Zamacois admite la amalgama o bien de compases simples (compás quinario compuesto de un compás binario y otro ternario o de un compás ternario y otro binario), o bien de compases compuestos (por ejemplo: 21/x = 12/x + 9/x o viceversa; 15/x= 6/x + 9/x o viceversa); pero no la mezcla de ambos tipos. Conforme a lo dicho, podemos inferir —con algunas reservas— que ninguna de las tres perspectivas teóricas admitiría como compás de amalgama la típicamente española hemiolia sucesiva (6/8 + 3/4), al tratarse de una yuxtaposición de compases de diferente denominador (en el primer compás la unidad de tiempo es de valor compuesto —negra con puntillo— y en el segundo la unidad de tiempo es de valor simple (negra sin puntillo). Por consiguiente, en aras de la coherencia, la hemiolia sucesiva debe analizarse como otra cosa, o bien, las explicaciones de los compases de amalgama han de ser revisadas. Con todo, la amalgama de Bartók está constituida por compases simples de igual denominador (2/8 y 3/8) y mínimos métricos, por lo que no presenta problemas de adecuación a todas las definiciones anteriores. Como se ha visto, el primero de los atributos de los compases de amalgama es que es una asociación o combinación de compases (en este caso, simples) de la que emerge un compás de amalgama (tal vez, un objeto unitario de superior nivel). Decimos tal vez porque, desde la perspectiva de la teoría sistémica, la amalgama puede analizarse de dos modos distintos: como mero encadenamiento o yuxtaposición de compases simples o como combinación de compases simples de la que emerge «una cosa radicalmente nueva, vale decir caracterizada por propiedades que sus componentes no poseen» (4). Esto tiene su miga, porque si los compases de amalgama se conceptúan como mera asociación de compases simples, la naturaleza de estos no cambia, y la acentuación métrica sería F-D-F-D-F-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado; D = acento métrico débil o ligero). Las barras de compás indican cuándo vuelve a repetirse la particular ordenación métrica, y nada más. La enunciación y nada más quiere decir que la barra de compás no implica necesariamente que el tiempo que la sigue deba ser un pulso métricamente más acentuado que otros de igual rango. Se distinguirían dos calidades acentuales, pues cada compás simple mantiene su acento métrico propio. En general, es lo que se hace cuando se palmean-zapatean los compases del flamenco. Ahora bien, si los compases de amalgama se dilucidan como auténtica combinación, en uno solo, de compases de igual clase, emerge una realidad nueva, pues los compases simples precursores de la totalidad resultan modificados. En la renovada formulación métrica, el acento principal corresponde al ataque del compás. Y compás no hay más que uno: 7/8, por lo que solamente tenemos un acento fuerte: el primero. Los otros serían acentos secundarios (semifuertes) o tiempos débiles. La secuencia métrica quedaría así: F-D-SF-D-SF-D-D (F = acento métrico fuerte o pesado, principal; SF = acento métrico secundario, semifuerte; D = acento métrico débil o ligero). Ahora se distinguen tres calidades acentuales (F, SF y D), y de ahí el novedoso estado de cosas (la ensambladura de los componentes y la organización del compás resultante son distintas. Si antes el acento métricamente fuerte reaparecía cada dos o tres tiempos, ahora el ciclo de retorno de dicho acento se extiende a siete tiempos). Aunque decimos que la realidad queda modificada en virtud de una u otra concepción, deseamos defendernos de la acusación de idealismo. La realidad queda modificada porque la música es un producto artístico-cultural (y, por ende, artificial) resultado de los bioprocesos cerebrales emergentes creativos o recreativos de los compositores e intérpretes operando en contextos sociales; véanse (17) y (18). Y para unos y otros, la teoría guía la composición o la interpretación. La teoría sistémica (5) tiene poder explicativo para esclarecer por qué se componen, interpretan y perciben diferentemente la sucesión de 2 compases de 2/4 (F D | F D) y un 4/4 (F D SF D); el empalme de 2 compases de 3/8 (F D D | F D D) y un 6/8 (F D D SF D D). Se trata de objetos mensurales que manifiestan propiedades distintas. El nuevo compás emergente no es reductible a la mera concatenación de sus precursores. Es discutible si Béla Bartók concibió la amalgama como mera yuxtaposición, agregación o adición de compases o como combinación sistémica de compases. Para saberlo con seguridad, habría que preguntárselo a él directamente. Pero hay muchos indicadores que hacen inclinarse la balanza hacia una u otra opinión. El compositor no expresa el compás como 7/8 utilizando divisorias de puntos para indicar la conformación de la amalgama, sino que lo representa como sucesión de sumandos (2 + 2 + 3). En el inicio de la obra sólo se distinguen dos «pesos» rítmico-armónicos, por así decir (y no tres): la mano izquierda con el intervalo armónico do-sol y la mano derecha con la nota sol (figura 1 arriba). En cuanto a la armonía, en la partitura no hay ninguna diferencia entre la primera célula (binaria), la segunda célula (también binaria) y la tercera célula (ternaria). El análisis de otros fragmentos de la obra parece apuntar en la misma dirección. Por ejemplo, en los compases 37-39 el intervalo de la mano izquierda ya no es armónico (figura 2), sino que se despliega melódicamente, pero bate exactamente las mismas notas en ostinato: la b-do, la b-do, la b-do-do. Figura 2: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)», compases 37-39 De lo escrito no puede desprenderse distinta calidad acentual entre los tres 'las' bemoles de cada compás correspondientes a sendas células rítmicas binarias y ternarias. De hecho, no se observan diferencias de acentuación (ni dinámica, ni tónica, ni agógica...) entre ninguno de los nueve 'las' bemoles que aparecen en el fragmento escogido. Si tales diferencias se establecen en la interpretación (por ejemplo, cada tres 'las' bemoles), es como producto de la actividad constructiva del intérprete-pianista, que tal vez quiera resaltar levemente con ligeros apoyos el inicio de cada ciclo métrico. Algo, ciertamente, opinable. Hay más partes de la obra en las que sucede otro tanto. En cada compás del siguiente fragmento (figura 3), ninguna disimilitud puede extraerse en cuanto a calidad acentual de los acordes compactos de la mano izquierda (todos están signados con subrayados-picados, tienen exactamente la misma duración y se repiten compás a compás con las mismas notas), o de ciertos diseños melódicos de la mano derecha (por ejemplo: do-re b do-re b do-re b-mi b; los tres 'dos' tienen idéntica acentuación dinámica, tónica y agógica). Figura 3: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm. (2)», compases 46-49 Con arreglo a las pruebas y argumentos expuestos, nos inclinamos a pensar que la concepción bartokiana de la amalgama responde a la primera de las posibilidades apuntadas (asociación, yuxtaposición o encadenamiento de compases simples, conservando cada uno de ellos su acentuación métrica original). De este modo, la fórmula métrica que corresponde a dicha amalgama es F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D-F-D-F-D-F-D-D y así sucesivamente. Si la representamos utilizando el Time Unit Box System, TUBS: [x . x . x . .]. Desarrollándolo: [x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . . x . x . x . .], &c. (en el sistema TUB, x = tiempo métricamente acentuado, o «fuerte» y . = tiempo débil). Hay dos razones más por las que estimamos más plausible esta alternativa. La primera es que la composición de Mikrokosmos se extiende en el periodo de 1926 a 1939; la teoría general de sistemas, al menos en la formulación de Ludwig von Bertalanffy (5), es más tardía (data de mediados de siglo). Es bastante distinto estudiar los compases de amalgama como entidades integrales o como encadenamientos modulares de compases simples. Lo primero es propio de la teoría de sistemas; un enfoque que no estaba disponible en los años treinta del siglo XX. Por último, esta clase de rítmicas era muy novedosa en la época en que las escribió Bartók, hasta el punto de que fue el propio Béla Bartók quien presentó la noción de 'ritmo búlgaro' como un nuevo recurso para la composición en una conferencia radiofónica titulada «Lo que denominamos ritmo búlgaro» y pronunciada el 6 de abril de 1938, basándose en el trabajo de musicólogos búlgaros y su propio trabajo de campo, recogiendo ejemplos (6). Aun en la versión «asociacionista», la amalgama resultaba sumamente interesante para el periodo de tiempo al que nos referimos. 1.2. Métrica aksak auténtica Este compás no solo es un compás (irregular) de amalgama, sino que además es una métrica aksak auténtica. Basándose en sus características estructurales y númericas, Simha Arom ha propuesto una tipología del aksak (7). Arom denomina pseudo-aksaks a aquellos aksaks cuya suma de los valores que lo constituyen es par y, por tanto, divisibles por 2 o 4 y a veces también por 3 o 6. Hay un segundo tipo de aksaks que totalizan un número impar de valores fundamentales y que pueden reducirse a pulsaciones equidistantes, pero organizadas únicamente de forma ternaria. Estos son 'quasi-aksaks'. Por último, hay aksaks constituidos sobre números primos (5, 7, 11, 13) que sólo pueden ser divididos por ellos mismos (y por la unidad), que son los que Arom considera aksaks auténticos. El aksak constituido sobre número primo más bajo es el aksak de 5 tiempos, organizado como 3 + 2 [x . . x .] o como 2 + 3 [x . x . .]. Para Arom, el aksak de 5 tiempos es el «aksak matricial», y es el que funda el principio de agrupamiento de células simples binarias y ternarias, si bien —como se ha anotado— este punto es más discutido. No obstante, el ejemplo analizado correspondiente a la «danza búlgara número 2» de Bartók tampoco presenta problemas en este sentido, porque está basada justamente en esos mínimos rítmico-métricos. En resumen, es una métrica aksak auténtica porque 1) se basa en la combinación de células binariasy ternarias exclusivamente (8) y 2) la suma total de pulsos o tiempos constituye número primo: 7. 1.3. Métrica euclídea Por añadidura, el compás elegido por Bartók para la composición de la obra corresponde a una métrica euclídea (9). Las patrones métricos que presentan la propiedad de que sus acentos se hallan distribuidos lo más uniformemente posible y con la máxima regularidad a lo largo del ciclo métrico se denominan secuencias o métricas euclídeas. Este tipo de distribución crea tensión rítmica. Existe una conexión interna o lógica entre el algoritmo de Bjorklund y las métricas euclídeas. La aplicación a la música del algoritmo de Bjorklund genera patrones métricos euclídeos. He aquí el análisis de de por qué estamos ante una métrica euclídea. Las métricas euclídeas se formulan como E(k, n), donde k denota el número de pulsos acentuados y n el número total de pulsos de la secuencia, es decir, la longitud del ciclo métrico. En el caso que analizamos, tenemos 7 pulsos (7 = 2 + 2 + 3) de los cuales 3 acentuados: E(3, 7) Aplicando paso a paso el algoritmo de Bjorklund (1 = tiempo métricamente acentuado; 0 = tiempo métricamente débil), obtenemos lo siguiente: 1.º paso. 7 secuencias de 1 pulso, tres acentuadas y cuatro no: [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. 3 secuencias de 2 tiempos, restando un pulso no acentuado: [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. 1 secuencia de 3 tiempos y un resto de dos secuencias de dos tiempos cada una: [100] [10] [10]. 4.º paso. 1 secuencia de 5 tiempos y un resto de 1 secuencia de 2 tiempos: [10010] [10]. Secuencia final: [1001010] o, lo que es lo mismo, representándola con el TUBS: E(3,7) = [x . . x . x .]. Esta es la distribución de acentos más uniforme posible a lo largo del ciclo métrico. Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . .]. Son dos ejemplos del mismo tipo métrico. Es posible representar este ciclo métrico como un triángulo inscrito en un círculo. El primer tiempo está ubicado en la parte superior del círculo, y se lee en el sentido de las manecillas del reloj: Figura 4: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (2)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók, que es especular de la original. 2. Análisis rítmico-métrico de «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)» Figura 5: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 1-3 Llevaremos a cabo un análisis similar con la «Danza en ritmo búlgaro núm. 5» de Béla Bartók. Como en el caso anterior, observamos un compás de amalgama. Es un compás de amalgama porque es un compás formado por la reunión, en uno solo, de cuatro compases que presentan distinto numerador, pero igual denominador. El ciclo métrico se reinicia cada nueve tiempos de corchea. Por consiguiente, podría afirmarse que el compás unitario es de 9/8. Pero ocurre que el 9/8 es una métrica clásica; es un compás ternario de subdivisión ternaria (= compuesto): F-D-D-SF-D-D-SF-D-D. Indudablemente, ésa no es la fórmula métrica que busca Bartók. Por consiguiente, indica la constitución de la amalgama por medio de compases aditivos simples: 2 + 2 + 2 + 3. Como la amalgama ya se ha expresado descompuesta al principio de la pieza, las líneas divisorias de puntos no son necesarias. Además, suena «umpa-umpa-umpa-úmpara», lo que también hace patente, de forma sonora, la organización rítmico-métrica de la obra; véase la figura 6. El problema de si la amalgama es modular o sistémica admite en esta danza mayor discusión. Hay fragmentos que parecen sugerir mera asociación de compases (= ensambladura modular): Figura 6: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 14-15 En cambio, hay otros compases, como los del principio o el ejemplo que se aporta más abajo en la figura 7 que, en virtud de sus diseños melódico-rítmicos, articulación, &c. insinúan una concepción más unitaria o integral del compás: Figura 7: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Compases 25-26 La métrica examinada no solo es un compás irregular de amalgama (compás aditivo), sino que además es una métrica quasi-aksak. Es quasi-aksak porque cumple la primera condición señalada en el análisis de la danza núm. 2 (se basa en la combinación de células binarias y ternarias exclusivamente), pero no cumple la segunda condición: la suma total de pulsos, aunque es número impar, no constituye número primo. No obstante, sí es una métrica euclídea. Tenemos 9 pulsos de los cuales 4 acentuados y 5 no: E(4, 9) Aplicando el algoritmo de Bjorklund: 1.º paso. 9 secuencias de un pulso, de las cuales 4 métricamente acentuadas y cinco no: [1] [1] [1] [1] [0] [0] [0] [0] [0]. 2.º paso. Trasladando ceros, obtenemos cuatro secuencias de dos tiempos y nos resta un tiempo no acentuado: [10] [10] [10] [10] [0]. 3.º paso. Procediendo de igual modo, estructuramos una secuencia de tres tiempos y tres secuencias de dos tiempos: [100] [10] [10] [10]. 4.º paso. Ahora redistribuimos las secuencias de dos tiempos: [10010] [1010]. Secuencia final: [100101010]. Representada utilizando el sistema TUB: [x . . x . x . x .] Bartók utiliza esa serie euclídea dándole la vuelta, al comenzarla en el cuarto tiempo (el primero de la primera célula binaria): [x . x . x . x . .]. Las dos secuencias son casos del mismo tipo métrico. Figura 8: Béla Bartók: «Six Dances in Bulgarian Rhythm (5)». Representación icónica de la métrica euclídea. A la izquierda la formulación original. A la derecha, la versión rotada empleada por Bartók. Ambas son casos particulares del mismo tipo métrico. El nervio rítmico de la danza radica, en parte, en haber adoptado esta estructuración euclídea. 3. Propiedades comunes a las dos métricas En las dos danzas analizadas las métricas que usa Bartók son E(3, 7) y E(4, 9). El número de acentos fuertes y el el número total de pulsos pueden parecer números tan buenos como otros cualesquiera. Sin embargo, tienen propiedades especiales. En general, si k es el número de acentos fuertes y n el de pulsos y se cumple la relación n=2*k+1, entonces aparece un tipo de patrón muy característico. En el caso de nuestro análisis, esta condición se cumple:7=3*2 +1 y 9=4*2 +1. ¿Cuál es esa relación? Si aplicamos el algoritmo de Bjorklund obtenemos el patrón: Este patrón está formado por el grupo [1 0 0 ] seguido por la repetición k veces del grupo [1 0] (las dos rayas || se han puesto por claridad). Curiosamente, Bartók pone el grupo [1 0 0] al final y obtiene el patrón: Este patrón métrico se puede interpretar desde un enfoque perceptual, en este caso de expectativa acentual, en la línea de la obra de Meyer Emotion and meaning in music (14) (o de autores posteriores que desarrollaron sus teorías, tales como Lerdahl y Jackendoff (15) o Narmour (16)). En efecto, la repetición del grupo [1 0] crea la expectativa de que la métrica entera va a consistir en esa distribución de acentos, pero en el último momento Bartók añade una parte débil más, la cual rompe dicha expectativa. Las distancias que aparecen en esta métrica son 2 y 3 ([1 0] y [1 0 0], respectivamente), y son el mínimo métrico binario y el mínimo métrico ternario. Por otra parte, si el número de pulsos es muy grande, entonces el número de repeticiones del grupo [1 0] es grande también y el efecto se pierde. Bartók elige unos patrones óptimos para el oído humano en términos de memoria musical. Si hubiese elegido E(5, 11) o E(6, 13) el efecto no habría sido tan eficaz.   Para saber más Notación TUBS La notación TUBS se conoce también como notación de caja. En Occidente fue inventada por Philip Harland, de la Universidad de California en Los Ángeles, en 1962. Sin embargo, en otras tradiciones musicales se conocía desde mucho antes. Por ejemplo, en el siglo XV era de uso común en la notación de la música en Corea; también se pueden encontrar ejemplos en la música árabe. La notación en caja se utiliza con frecuencia por los etnomusicólogos (10) para notar polirritmos africanos y de otras culturas. Los psicólogos de la música la emplean en sus experimentos de percepción del ritmo, donde tienen que dar instrucciones a sujetos que no conocen la notación occidental. Ritmos euclídeos Al principio, fue un problema matemático: dadas n cajas y k objetos, ¿cómo distribuir los objetos en las cajas de la manera más uniforme posible? ¿Qué significa de la manera más uniforme posible? Este problema fue abordado en diversos contextos de manera independiente: en música, con la teoría de escalas (11); en física, con las distribuciones de pulsos en intervalos fijos de tiempo (9-1); en informática gráfica, con el dibujo digital de líneas rectas (12). Para ver más ejemplos de este ubicuo problema, consúltense las referencias (9-2), (9-3) y (9-5). La conexión profunda que se dio con este problema es que el viejo algoritmo de Euclides, ese que se usaba para calcular con rapidez el máximo común divisor de dos números, servía, convenientemente modificado, para resolver el problema de una manera sencilla. En (9-4) se prueba que varios algoritmos existentes en la bibliografía para resolver el problema de distribuir objetos uniformemente son, en realidad, el mismo algoritmo y dan esencialmente las mismas soluciones. En el caso que nos ocupa, las métricas, queremos distribuir acentos fuertes y débiles en un conjunto fijo de pulsos. Las métricas que han salido en el texto son E(3,7) y E(4, 9). En ambos casos el máximo común divisor del número de acentos fuertes y número total de pulsos es 1, con lo cual no salen patrones repetidos dentro de la métrica. He aquí unas cuantas propiedades que tienen las métricas euclídeas E(k, n) en general: Están formadas por solo dos distancias, a saber, la parte entera del cociente n/k, y la parte entera del cociente n/k más 1. Por ejemplo, en el caso de E(3, 7), tenemos que la parte entera de 7/3=2,3333... es 2. Luego las distancias que pueden aparecer en E(3, 7) son 2 y 3. Y así es, E(3,7)=[x . x . . ], o escrito como sucesión de distancias, (2, 3). Dado el ritmo E(k, n), si el máximo común divisor de k y n es d, entonces la métrica euclídea estará compuesta por la repetición d veces de un patrón P. Por ejemplo, la métrica E(8, 12) es [. x x . x x . x x . x x] , y vemos que es la repetición del patrón [. x x] 4 veces, exactamente el máximo común divisor de 12 y 8. El patrón que se repite es también euclídeo. Las métricas euclídeas no cambian bajo rotaciones. Ello es porque la propiedad de regularidad, de máxima distribución uniforme, depende de las distancias entre las partes fuertes, y estas no cambian cuando se rota el ritmo. Para explorar las rotaciones de ritmos, véase (13). La observación anterior trae la fascinante cuestión musicológica de por qué ciertas rotaciones de métricas (o ritmos) euclídeos son más frecuentes que otras. Aquí entra en juego el contexto cultural y el estilo en particular de que se trate.   Notas, referencias y bibliografía (1) Joaquín Zamacois: Teoría de la Música. Dividida en cursos. Libro I. Barcelona: Labor, 1992, p. 126. (2) Sociedad Didáctico-Musical: Teoría de la Música. Parte tercera. Madrid: Villena, 1958, p. 13. (3) Percy A. Scholes: «Compases de amalgama», en Diccionario Oxford de la Música. Tomo I. Barcelona: Edhasa/Hermes/Sudamericana, 1984, p. 87. (4) Mario Bunge: Emergencia y convergencia. Novedad cualitativa y unidad del conocimiento. Barcelona: Gedisa, 2003, p. 28. (5) Ludwig von Bertalanffy: Teoría general de los sistemas. Fundamentos, desarrollo, aplicaciones. Madrid: Fondo de Cultura Económica, 1993. Véase especialmente el apartado «En torno a la historia de la teoría de los sistemas» de la introducción del libro, p. 9 y ss. (6) Jérôme Cler: «Pour une théorie de l'aksak». Revue de Musicologie, vol. 80, núm. 2 (1994), 181-210, p. 182. Traducción nuestra. (7) Simha Arom: « L'aksak. Principes et typologie» (en línea). Cahiers d'ethnomusicologie, núm. 17 (2004). Disponible en Internet: .. (consulta del 24 de octubre de 2012). Traducción nuestra. (8) Aunque se reconoce que la combinación de células binarias y ternarias genera la mayor parte de las métricas aksak, últimamente se ha sugerido que, al menos teóricamente, combinaciones basadas en las razones 4:3 o 5:4 son posibles. Ibíd., pp. 195-196 y summary, al final (p. 210). (9) Para el asunto de la métrica euclídea, pueden consultarse los siguientes artículos: (1) E. Bjorklund: «The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System», SNS ASD Tech Note, SNS-NOTE-CNTRL núm. 99 (2003). (2) Godfried Toussaint: «The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms». Montreal (Canadá): Universidad MCGill, 2005. (3) Perouz Taslakian: Musical Rhythms in the Euclidean Plane (tesis doctoral). Montreal (Canadá): Universidad McGill, 2008. (4) Erik Demaine y otros autores: «The distance geometry of music». Computational Geometry, vol. 42, núm. 5 (2009), 429–454. (5) Paco Gómez: «Si Euclides lo supiese..., se sentiría muy orgulloso. Patrones de regularidad máxima en Música, Geometría, Informática y otras disciplinas». Madrid: Universidad Politécnica. Escuela Universitaria de Informática, 2009. (6) Paco Gómez: «El algoritmo de Euclides como principio musical» (charla). Madrid: Universidad Politécnica. (7) Contrasteatro: Materritmo o el ritmo me mata. Espectáculo cómico-matemático-musical que explora los ritmos euclídeos. (10) Laz E. N. Ekwueme. Concepts in African musical theory. Journal of Black Studies, 5(1):35–64, septiembre de 1974. (11) J. Clough and J. Douthett. Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35:93–173, 1991. (12) Reinhard Klette and Azriel Rosenfeld. Digital straightness - a review. Discrete Applied Mathematics, 139:197–230, 2004. (13) Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. Columna de matemáticas y música de la revista Divulgamat. Junio de 2012. (14) Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. The University of Chicago Press. 1961. (15) Lerdahl, Fred and Jackendoff, Ray. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press. 1983 (16) Narmour, E. The Analysis and Cognition of Melodic Complexity: The Implication-Realization Model. Chicago: University of Chicago Press. 1992. (17) Mario Bunge: El problema mente-cerebro. Un enfoque psicobiológico. Madrid: Tecnos, 2002. (18) Mario Bunge y Rubén Ardila: Filosofía de la Psicología. Barcelona: Ariel, 2002.
Martes, 06 de Noviembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Con frecuencia, cuando un recién conocido se interesa por mi trabajo y le informo de que trabajo con matemáticas y música, la reacción suele ser una divertida mezcla de sorpresa e incredulidad. Tras esos momentos iniciales de desconcierto, las posturas se vuelven tan variadas como los colores. Hay algunos que afirman con aplomo: “Sí, ya se sabe que las matemáticas y la música están muy relacionadas” (pero en ocasiones no estoy seguro de que a se refieren exactamente). Otros, más despistados, mencionan varios físicos conocidos por su gran amor a la música, principalmente Einstein. Otros, más sinceros, confiesan no entender cómo algo tan abstracto como las matemáticas puede tener algo que ver con la música, algo tan artístico y emocional (como si las matemáticas no compartiesen esas características con la música). Actualmente, el estudio de la música por parte de las matemáticas y la computación en el mundo de la investigación está consolidado en buena medida y ya se ve, en general, como algo normal. Sin embargo, esa relación no ha estado, ni probablemente en el futuro lo estará, libre de tensiones respecto a los alcances y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música. El artículo de este mes trata de acercar al gran público la naturaleza de esa relación y esbozar las tensiones epistemológicas que hay entre ellas. En el tercer congreso International Conference on Mathematics and Computation in Music (MCM) celebrado en el IRCAM en 2011 se abordó el problema del alcance y extralimitaciones de los métodos matemáticos y computaciones en la investigación en música. Para tal fin, la organización del congreso invitó a tres panelistas, figuras reconocidas en su campo: Alan Marsden, profesor de música en la Universidad de Lancaster; Guerino Mazzola, matemático, músico, musicólogo y profesor en la Universidad de Minnesota; y Geraint Wiggins, profesor de creatividad computacional en la Universidad de Londres (Queen Mary) y musicólogo computacional. El tema de la sesión fue bridging the gap: computational and mathematical approaches in music research (acortando distancias: métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música). La sesión resultó ser fructífera, con gran participación del público, y por ello los editores de la revista Journal of Mathematics and Music decidieron dedicar un número especial a esta cuestión bajo el título Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise; véase [VH12]. Los panelistas recibieron cuatro preguntas sobre las que elaborar sus intervenciones. Estas fueron: Beneficios: ¿cuáles han sido las contribuciones claves de las matemáticas y la computación a la investigación de la música? Errores: ¿Cuáles son los ejemplos de errores en la aplicación de los métodos matemáticos y computacionales a la investigación de la música en el pasado? ¿Cómo podemos aprender de esos errores? Retos: ¿A qué retos se enfrentan los métodos matemáticos y computacionales en la investigación de la música? ¿Cuáles son las cuestiones por explorar que tienen el potencial de ampliar nuestro entendimiento de la música con la ayuda de las matemáticas y la computación? ¿Qué pasos han de darse para que las matemáticas y la computación desarrollen todo su potencial en la investigación de la música? Discurso interdisciplinar: ¿Cómo se pueden fortalecer las conexiones entre los tres campos? ¿Hay maneras diferentes de entender la música en las tres disciplinas? ¿En qué contextos son las diferencias entre los tres campos útiles para fomentar investigaciones originales y novedosas? ¿Cuándo dichas diferencias suponen un escollo para una verdadera investigación interdisciplinar y qué se necesita hacer para superarlo? El mencionado artículo [VH12] contiene un resumen de las discusiones entre los panelistas. En este artículo expondré las principales aportaciones de los panelistas (en la sección siguiente, en cursiva) y las comentaré para el lector (en tipo de letra normal). 2. Beneficios, errores, retos y discurso interdisciplinar Beneficios: Contribuciones importantes a la tecnología (formato mp3, sistema de recomendación, análisis automático, etc.). Los panelistas nombran estas pocas, pero en realidad hay muchísima computación y matemáticas detrás de ellas. Por ejemplo, los sistemas de recomendación llevan implícitos sistemas de similitud musical –que incluyen similitud melódica, rítmica y tímbrica–, así como complejos procesos de etiquetación, reconocimiento de patrones, búsqueda en bases de datos y otros. Clarificación conceptual de términos musicales. Ciertamente, la formalización matemática de ciertos conceptos musicales ha llevado a una clarificación de estos. Por ejemplo, la teoría de la afinación ha sufrido una gran formalización por parte de matemáticos e informáticos; véase, por ejemplo, el capítulo 5 del libro de Benson [Ben06]. Visión más general de la música. Sin duda, el estudio de la música desde otros puntos de vista, como puede ser el de encontrar sus estructuras básicas o sus reglas de formación, ha contribuido a una comprensión más profunda de ese fenómeno multidimensional y complejo que es la música. Estudio de la evolución musical. Este es un problema fascinante en que varios autores han trabajado: ¿Cómo cambia el fenómeno musical? Para un ejemplo en el campo del ritmo véanse [Tou02] y [Tou03]. Creación de herramientas para la enseñanza musical. En varios conservatorios ya se usa un enfoque mixto en la enseñanza de la música. Por ejemplo, la teoría de escalas o el círculo de quintas se puede enseñar en un contexto músico-matemático. Véase el excelente libro de Scott Beall [Bea00]. Fracasos: Estudio de la música en sí misma sin tener en cuenta sus procesos. Este error es más común de lo deseable entre matemáticos e informáticos que estudian la música. Sin lugar a dudas, la música es un fenómeno y como tal puede estudiarse, pero también es el resultado de un complejo proceso que va desde la onda de sonido a la emoción. A veces ignorar la importante dimensión de proceso de la música invalida una investigación. Estudiar la teoría de la música sin tener en cuenta su dimensión cognitiva. Este es, a mi juicio, uno de los errores más graves que se pueden cometer en el estudio de la música. En última instancia, la música cobra sentido porque hay un oyente que la escucha y procesa. Ignorar la dimensión cognitiva vacía de sentido a la investigación musical. Lamentablemente, muchos investigadores rechazan ponerse al día de la bibliografía de cognición musical. Para una primera toma de contacto, recomendamos el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Ignorar los aspectos físico-acústicos a favor de los aspectos puramente formales. No es posible estudiar la música con profundidad y de manera pertinente si no se estudian varios de sus aspectos más importantes. Formalización excesiva de algunos objetos musicales (escalas, modos, etc.). En ocasiones, el aparato matemático-computacional que se usa para formalizar los objetos y procesos musicales no está justificado. Parece más una querencia del investigador que una necesidad real de tal formalización. Uso excesivo de la abstracción. Alcanzar un punto razonable de abstracción en la investigación matemática de la música no es fácil, y a veces se han cometido excesos al respecto. Desafíos: Los musicólogos desconocen las herramientas que ofrecen las matemáticas y la computación. Este es un hecho triste. Creo que por una parte tiene que ver con el rechazo de una parte de los musicólogos hacia la musicología cuantitativa y, en particular, a la computacional. Y por otro lado, sospecho que tiene que ver con la falta de formación computacional. También culparía a los propios matemáticos e informáticos, cuyo lenguaje e interfaces no son desde luego un ejemplo atrayente para los musicólogos menos expertos en computación. El desafío, pues, consiste en que los musicólogos -sobre todos los históricos y culturales- empiecen a usar estas formidables herramientas. Modelizar el carácter impreciso y multidimensional de la música. Indudablemente, hacen falta modelos flexibles y potentes que sean capaces de reflejar toda la complejidad de la música. Comprobación empírica de los modelos computacionales. Este es otro de los problemas más graves en este tipo de investigación. Con frecuencia, se presenta un modelo que trata de explicar un proceso musical. En el peor caso, se pone encima de la mesa sin ninguna comprobación de ningún tipo; en otros casos, las comprobaciones son sobre búsquedas en base de datos o con experimentos más o menos artificiales. Como dije antes, hace falta la comprobación empírica sobre sujetos, esto es, con seres humanos. En la columna de marzo de 2011 de esta sección se puede leer un ejemplo explicado; es el de la similitud rítmica en el flamenco. Se describen tanto el modelo matemático como su validación perceptual. Aumentar el uso de las técnicas estadísticas. El uso de los métodos estadísticos permite procesar mucha información musical, especialmente en los estudios de grandes corpus de música. Construir una mejor conexión entre racionalismo y empirismo. Este es un desafío que casi podríamos calificar de eterno. La música es susceptible de estudiarse desde ambos puntos de vista y el verdadero carácter interdisciplinar consiste en la sabia combinación de ambos. Construir una metateoría de la música que integre varias disciplinas. De nuevo, esta es una aspiración interdisciplinar que de materializarse haría avanzar sustancialmente la musicología en su conjunto. Modelizar el comportamiento musical y no solo la música en sí. Este desafío reivindica el aspecto conductual de la música; de nuevo, véase el libro de Radocy y Boyle [RB03]. Discurso interdisciplinar: La humildad es esencial para el trabajo interdisciplinar. Si se lleva a cabo un estudio interdisciplinar, esta es la actitud mínima que uno puede pedir al respecto. Sin embargo, hay mucha arrogancia tanto por parte de los estudiosos desde el punto de vista científico como del de las humanidades. Con mucho acierto y buena dosis de valentía, Parncutt denuncia esta situación en un artículo de 2007 [Par07]; recomendamos vivamente su lectura. Hay que ser honesto respecto al alcance de la investigación. No porque se investigue la música desde un campo este ha de ser el más importante. Es fundamental reconocer el papel del resto de las disciplinas que estudian la música. Hay que ser honesto respecto a lo que es importante. Sin honestidad no hay investigación verdadera. Reconocer sinceramente las múltiples facetas de la música. El estudio de la música requiere una verdadera actitud humanista. Contrastar las teorías computacionales con experimentos requiere mucha colaboración interdisciplinar. Este punto recoge la necesidad antes expresada de la validación perceptual de las teorías matemáticas y computacionales. 3. Conclusión Como puede comprobar el lector los retos en estos campos interdisciplinares de la musicología computacional y la tecnología musical son formidables. Una vez más insistimos en que el avance de las disciplinas esta condicionado a la verdadera colaboración interdisciplinar, algo que a mucha gente le encanta nombrar como sello de modernidad, pero que pocos practican con fe. Uno de los grandes escollos para esa colaboración es la formación de los investigadores. La mayoría o bien son científicos o musicólogos, y muy pocos son ambos. Mi opinión es que hace falta ser las dos cosas, siquiera sea por un problema de lenguaje. Lamentablemente, el tipo de carrera mixta que exigiría esa nueva formación no existe en casi ninguna facultad. Bibliografía [Bea00] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Par07] R. Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [Tou02] Godfried T. Toussaint. A mathematical analysis of African, Brazilian, and Cuban clave rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 157–168, Towson University, Towson, Maryland, U.S.A., July 27-29 2002. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003. [VH12] A. Volk and A. Honingh. Mathematical and computational approaches to music: challenges in an interdisciplinary enterprise. Journal of Mathematics and Music, 6(2):73–81, 2012.
Miércoles, 24 de Octubre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Música tonal Las escalas son piezas primordiales en la música de todas las culturas. Hay géneros musicales que se caracterizan en buena medida por el tipo de escala que emplean. Una escala es un conjunto de notas normalmente dadas en orden ascendente y que sirven como material principal a una pieza musical. La mayor parte de las escalas sigue el principio de equivalencia de la octava. Dos notas están separadas por una octava si la frecuencia de la nota más aguda es exactamente el doble de la más grave. El principio de la equivalencia de la octava establece que dos notas que están a una distancia de una octava se consideran como la misma nota pero en registros distintos. Una misma escala puede empezar en diferentes notas; la primera nota de la escala suele ser la nota principal de la escala. Por ejemplo, afirmar que una pieza está escrita en la escala de do mayor significa que sus notas principales están tomadas del siguiente conjunto de notas (do-re-mi-fa-sol-la-si): Figura 1: Escala de do mayor. La nota principal de la escala anterior es do y el tipo de escala el mayor. El hecho de que aparezca la nota do en ese conjunto implica que se puede usar cualquier do en cualquier octava. En realidad, una escala especifica una clase de alturas que se usan en una pieza dada. Una pieza musical se puede escribir usando una sola escala, o con alternancia de escalas, o también con desviaciones temporales de la escala principal (normalmente por razones expresivas). Puesto que los ejemplos que vamos a analizar estadísticamente pertenecen a la música clásica occidental, nos centraremos en las escalas tal y como se definen en esa tradición musical. Para definir una escala primero se toma la octava y se divide en 12 semitonos iguales -el temperamento igual-. Después se escogen las notas de la escala entre las notas producidas por la subdivisión en partes iguales. Las escalas más comunes en la música clásica occidental, al menos en el periodo de la práctica común (aproximadamente, entre 1600 y 1900), son la escala mayor y la escala menor. La escala mayor empezando en la nota do está representada en la figura 1; en la figura 2 tenemos la escala menor natural basada en la nota do también. Figura 2: Escala de do menor natural. Si designamos por S la distancia de un semitono y por T la de un tono entero entre dos notas consecutivas, entonces la escala mayor tiene como sucesión de distancias entre notas T - T - S - T - T - T - S, mientras que la escala menor tiene la sucesión T - S - T - T - S - T - T. Las escalas mayor y menor son igualmente importantes y ubicuas en la música popular (pop, rock, música latina, mucha música folklórica, etc.). ¿Por qué son estas dos escalas tan comunes en la música occidental? A partir de 1600 los músicos fueron sintiendo una necesidad creciente de modular, esto es, de cambiar la tonalidad dentro de una misma pieza. Las escalas mayor y menor permitían la modulación más fácilmente que otras. Veamos brevemente por qué es así. Supongamos que estamos en la tonalidad de do mayor y, por tanto, la escala que rige es la dada en la figura 1. Si queremos modular a otra tonalidad, ¿cuál serían las tonalidades a las que podríamos cambiar de modo que el cambio no le resultase brusco al oído? Aquí hay que hacer un inciso y avisar de que el concepto de brusquedad depende de muchísimos factores: el periodo histórico, la teoría de la consonancia predominante, el estilo musical en particular, el contexto cultural, entre otros. Para el desarrollo que vamos a hacer aquí, el concepto de brusquedad equivale a buscar la tonalidad cuya escala mayor comparta el mayor número de notas. En el caso de do mayor esas tonalidades son sol mayor (sol-la-si-do-re-mi-fa♯) y fa mayor (fa-sol-la-si♭-do-re-mi). Con la primera tonalidad la única nota de diferencia es fa♯ y con la segunda, si♭, como se aprecia en la figura 3. Figura 3: Modulación desde do mayor. En la música tonal las notas se clasifican jerárquicamente en función de su relación con la nota principal de la escala (la primera). En este contexto, las notas de la escala reciben el nombre de grados y estos a su vez reciben nombres especiales: Primer grado I Tónica Segundo grado II Supertónica Tercer grado III Mediante Cuarto grado IV Subdominante Quinto grado V Dominante Sexto grado VI Superdominante Séptimo grado VII Sensible/Subtónica Tabla 1: Nombres de los grados de la escala Cuando el séptimo grado está a distancia de medio tono de la tónica se le llama sensible, como en ocurre en la escala mayor. Si está a distancia de un tono, como en la escala menor, se llama subtónica. Los grados que coinciden con las notas en cuyas escalas es más fácil modular son el cuarto y el quinto, la subdominante y la dominante. Pero no solo son estos grados de la escala importantes por su facilidad de modulación. También permiten una fuerte afirmación de la tonalidad de la escala vía la armonía. Veamos cómo. Los acordes se construyen como triadas, como grupos de tres notas que suenan simultáneamente. En la figura siguiente tenemos los acordes que se forman sobre la escala de do mayor; obsérvese que a cada grado de la escala se le ha añadido dos notas a distancias tres y cinco (en términos de grados y contando el grado de que partimos). Así, por ejemplo, el acorde sobre el grado I está formado por I-III-V, sobre el grado por II-IV-VI, y así sucesivamente. Figura 4: Triadas asociadas a la escala de do mayor. Otro hecho a considerar es que en la escala mayor el séptimo grado está a distancia de un semitono. Este grado tiene una gran tendencia a ir hacia la tónica, el primer grado. De entre los dos acordes más próximos al acorde de tónica, el de subdominante y dominante, es este último el que contiene la nota sensible. Por tanto, la secuencia V-I refuerza más a la tónica que la secuencia IV-I. Las secuencias de acordes que crean una sensación de resolución se llaman cadencias. De hecho, la secuencia IV-V-I es llamada cadencia perfecta y es la cadencia más usada para afirmar la tonalidad de una pieza. En el caso de la escala menor, que no tiene sensible, el séptimo grado se modifica, elevándolo medio tono, para que durante la cadencia perfecta aparezca la nota sensible. La siguiente en importancia es la cadencia IV-I, la cadencia plagal. Vemos, pues, que los grados IV, V y I son importantes en la música tonal. Otro grado importante es el III, la mediante. Si estamos en una escala mayor, el III grado está a dos tonos de distancia; si es una escala menor, a un tono y medio. Esta diferencia es importante musicalmente. Obsérvese que entre las escalas mayor y menor (figuras 1 y 2) los grados IV y V no varían (la construcción de sus correspondientes acordes, sí). El resto de los grados tienen ya menos importancia dentro de la música tonal. Se usan, por ejemplo, como parte de secuencia de acordes, como la famosa secuencia de caída de quintas VI-II-V-I. A finales del siglo XIX y principios del XX surgieron otros sistemas musicales en los que no se seguían estas relaciones de jerarquía. Se ampliaron los límites de la disonancia, se inventaron nuevos acordes y nuevas formas de resolver las disonancias, poco a poco se fue borrando la dependencia de un centro tonal, hasta que llegamos a la música dodecafónica en que no existe el concepto de tónica, pues todos los grados aparecen por igual en la pieza. 2. Detección de música tonal Es fácil para un oído mínimamente entrenado saber si una pieza es tonal o no. Aquí planteamos cómo lo haría un ordenador de modo automático. Con un poco de estadística, ello es posible. Si la música es tonal, los grados más importantes, el I, el V y el IV, aparecerán más frecuentemente. Para ilustrar este hecho hemos escogido las siguientes piezas (de nuevo, estos ejemplos están tomados del del libro de Beran [Ber04]): La fuga no 1 de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685- 1750). Sonata KV 545, primer movimiento, de Mozart(1756-1791). Escenas de niños, números 2 y 3, de Schumann(1810-1856). Preludios números 2 y 4 de la opus 51, de Scriabin (1872-1915). Preludios números 6 y 7, de F. Martin (1890-1971). En las figuras 5 y 6 se muestran los primeros compases de la fuga de Bach y del segundo preludio de Scriabin respectivamente. De la observación de las partituras se sigue que Bach es plenamente tonal, mientras que Scriabin y aun más se apartan ya significativamente. Figura 5: Comienzo de la fuga no. 1, de El clave bien temperado, libro I, de Bach (1685-1750). Figura 6: Comienzo del preludio no. 2, opus 51, de Scriabin (1872-1915). Para cada pieza elegida vamos a representar por las notas que aparecen en los tiempos t1,t2,…,tn. Los posibles valores que encontramos en ese conjunto pertenecerán a , por las 12 notas posibles del temperamento igual. Por supuesto, se aplicará el principio de equivalencia de la octava, ya que una nota está asociada a un grado de la escala no importa en qué octava aparezca. Los tiempos ti están tomados en orden creciente, t1 ≤ t2 ≤… ≤ tn. Con el fin de comparar adecuadamente las piezas, se han normalizado las piezas de modo que todas tenga la misma tonalidad. Una vez hecho esto, calculamos las frecuencias relativas de cada nota del siguiente modo. Se fija un número entero k, en nuestro caso de k = 16, y se cuenta el número de veces que aparece cada nota en intervalo de tiempo 2k + 1. Esas frecuencias, para una nota x, están dadas por la fórmula: donde la función I devuelve 1 si x(ti) = x y 0 en otro caso (la función característica). En las figuras 7 y 8 se muestran las correspondientes curvas de frecuencias. Cada curva se ha obtenido uniendo las frecuencias pj(0),pj(1),…,pj(11) consecutivamente para un valor j = 4,…,64. Las curvas se han superpuesto en la misma gráfica. Recordamos que, dado que estamos midiendo en semitonos, en el eje de ordenadas el 0 corresponde a la tónica, el 3 al grado III en la escala menor, el 4 al grado III en la escala mayor, el 5 a la cuarta justa, el 7 a la quinta justa, el 8 a la sexta menor, y el 9 a la sexta mayor. Figura 7: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04]. Figura 8: Frecuencias de las notas 0,1,…,11 en intervalos de longitud 16 notas [Ber04]. En Bach se aprecia claramente que los máximos se encuentran en los grados IV, V y III, seguidos del séptimo grado (a causa de los acordes de séptima de dominante) y de la propia tónica. En Mozart, los máximos están en la tónica y la subdominante; también vemos que los grados II, V y VI son frecuentes. En la escena 2 de Schumann la tónica es la nota más frecuente, seguida de lejos por el III y IV grado. La dominante, en cambio, aparece mucho menos y el sexto grado es más frecuente que el quinto. En la escena 3 de Schumann la música es mucho más tonal, con una predominio claro de los grados tonales I, IV y V. La situación cambia con Scriabin y Martin. En el preludio número 2 el quinto grado apenas se encuentra y son los grados III, IV y VI los que predominan. El preludio número 4 es menos tonal aún. Los grados más frecuentes son el I, el IV y V♭. Este último grado es cromático en la escala y forma una quinta disminuida con la tónica. El sistema tonal se deslíe y las funciones tonales clásicas quedan desdibujadas. No obstante, todavía vemos que ciertos grados son prominentes, aunque no los que esperábamos. En el caso de Martin, las funciones tonales se disuelven aún más, especialmente en el preludio número 6. Los máximos se alcanzan en la tónica, la mediante, pero también en V♯, el quinto grado aumentado (en el octavo semitono), y en el grado VI menor (en el noveno semitono). Sin embargo, por el número de veces que pasan las curvas por esos grados, nos damos cuenta de que hay una influencia del dodecafonismo, corriente que trata todos los grados por igual en términos de funciones tonales. En efecto, la gráfica del preludio número 6 parece una malla más o menos uniforme en contraste con, por ejemplo, la gráfica de la sonata de Mozart. Bibliografía [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004.
Martes, 11 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo inaugura una serie que se titula Estadística en la musicología. El título de la serie puede parecer una provocación, pero no es así, y ello merece una explicación. La musicología -en su definición más amplia- es el estudio de la música. El musicólogo Richard Parncutt [Par07] da una definición de musicología que se inspira en la entrada correspondiente del prestigioso diccionario The New Grove Dictionary of Music and Musicians [SSE01] (nuestra traducción, sus cursivas): “Sugiere (el diccionario) que la musicología hoy comprende todas las disciplinas que estudian toda la música en todas sus manifestaciones y en todos sus contextos, sean estos, físicos, acústicos, digitales, multimedias, sociales, sociológicos, culturales, históricos, geográficos, etnológicos, psicológicos, médicos, pedagógicos, terapéuticos, o en relación a cualquier otra disciplina o contexto musicalmente relevante”. A pesar de que la edición del diccionario es de 2001 y el artículo de Parncutt de 2004 todavía echo de menos disciplinas que se han ocupado muy activamente de la música como objeto de estudio, como por ejemplo: las neurociencias, los estudios (auto-)etnográficos, los estudios de género, la estética, la semiótica, la antropología, pero también las ciencias de la computación1 y, lo que es pertinente a esta columna, las matemáticas. Por su longitud y amplitud, la lista anterior puede intimidar un poco, pero hay que advertir que ni todos los enfoques ni todos los métodos son válidos en musicología. De hecho, se pueden encontrar casos en que la aplicación de ciertos métodos ha producido extralimitaciones conceptuales. Sin embargo, esta rica mezcla de disciplinas aplicadas al estudio de la música no se formó sino hace relativamente poco tiempo, unas cuatro o cinco décadas aproximadamente. Al principio, la musicología era simplemente el estudio de la música occidental, principalmente con métodos históricos. Como disciplina más o menos independiente se encontraba la musicología comparada, que más tarde devino en la etnomusicología. Poco a poco el fenómeno musical se fue investigando en un sentido más amplio y otras disciplinas se incorporaron a su estudio, si bien esas disciplinas pertenecían fundamentalmente al campo de las humanidades. Se estudiaba la música desde la perspectiva histórica, literaria, filosófica o del análisis musical occidental. Poco a poco se empezó a aceptar que había otras músicas, con sus propias estructuras, estilos e instrumentos. Más tarde se unieron otras disciplinas, pero destacan dos que han dado un fuerte impulso a la investigación y señalado ángulos de estudio necesarios para la consolidación de una musicología moderna: la psicología y las ciencias de la computación. La música tiene una componente cognitiva muy importante que hasta finales de los años sesenta había sido casi ignorada por completa. Con trabajos pioneros como los de Diana Deutch se inauguró una intensa era de investigación de los mecanismos perceptuales y cognitivos de la música; véase [RB03] para una excelente visión del campo. Respecto a las ciencias de la computación, los modelos computacionales se hicieron totalmente necesarios para la comprensión de la música así como para su procesamiento. Por ejemplo, Jackendoff y Lerdahl [LJ83], inspirándose en las teorías de la gramática generativa de Chomsky, desarrollan una teoría generativa de la música que identifica estructuras y propone reglas de transformación. Según su metodología, la musicología se ha clasificado en cualitativa, cuantitativa y etnográfica2. La musicología cualitativa usa métodos cualitativos (entrevistas, observaciones, análisis de documentos, archivística, interpretación de textos, estudio de casos, etc.). Estos métodos provienen principalmente de las humanidades. Los métodos etnográficos consisten en la investigación vía la integración del investigador en el contexto de la investigación; si el investigador mismo es el protagonista se habla entonces de métodos autoetnográficos (por ejemplo, el musicólogo que entra en una formación musical de una cultura dada para investigarla desde dentro y no como observador externo). Dentro de los métodos (auto-)etnográficos se encuentra la redacción de diarios, los cuadernos de campo, las grabaciones en audio y vídeo, así como técnicas específicas de análisis. Por último, está la musicología más reciente, la cuantitativa, que en buena medida es computacional. Esta musicología reconoce que la música tiene aspectos cuantificables y modelizables computacionalmente y busca construir modelos, reconocer estructuras y producir algoritmos que permitan procesar la música para su mejor comprensión y análisis. Un ejemplo sencillo de este tipo de musicología lo tenemos en el procesamiento automático de música. Con los nuevos medios de representación y almacenamiento, podemos disponer de corpus de música de varios cientos de horas. Buscar una característica común -digamos un cierto patrón melódico-, a mano (a oído, más bien), puede llevar al menos tantas horas como el corpus mismo. Un procesamiento adecuado del corpus puede localizar ese patrón en cuestión de minutos, y darnos datos de los que sacar información valiosa. Incluso hoy en día, la musicología cuantitativa no goza de la aceptación incondicional de toda la comunidad de estudiosos de la música. En este artículo, como decía más arriba, vamos a ver unas cuantas aplicaciones de la estadística a la musicología. La serie está pensada más para músicos que para matemáticos y en la entrega de hoy exploraremos las posibilidades de la estadística descriptiva. El resto de este artículo sigue la presentación del excelente libro Statistics in Musicology [Ber04], de Jan Beran, capítulo uno. Recomiendo vivamente la lectura de este libro. 2. Estadística descriptiva El objetivo de la estadística descriptiva es encontrar una serie de medidas que sean representativas de un conjunto de datos numéricos. Normalmente, el conjunto de datos es muy grande y la serie de medidas es pequeña. El conjunto de datos recibe el nombre de muestra. Las medidas se clasifican en tres grandes grupos: Las medidas de centralización, que tratan de encontrar un valor representativo de la muestra de tal manera que, bajo ciertas condiciones, podamos caracterizar la muestra a través de esas medidas. Las medidas de dispersión, que miden cuán dispersos se encuentran los datos respecto a las medidas de centralización. Las medidas de asimetría, que miden cómo se agrupan los datos alrededor de las medidas de centralización. Para dar un ejemplo claro de esta clasificación, proponemos al lector, al músico en especial, la siguiente cuestión: dado un conjunto de n números reales S = , la muestra, ¿cómo elegir un número μ que lo represente en algún sentido? Una primera idea sería tomar las distancias de μ a todos los puntos de S, esto es, la suma de los errores cometidos al sustituir los puntos de S por el valor μ, y dividirlo por el número de puntos. Dividimos por el número de puntos para que este no influya en el error final. Entonces, el error cometido en la sustitución es una función E(μ), que se escribe como: (El símbolo ∑ significa hacer la suma desde i=1 hasta n de la expresión que sigue a continuación; se llama sumatorio). El valor que buscamos y que resume el conjunto S en uno solo es aquel que minimice esta función E(μ), que haga el error lo más pequeño posible. Encontrar el mínimo de esta función vía las derivadas no es factible, ya que el valor absoluto no es derivable (esta es una razón técnica que los músicos pueden saltarse sin ningún complejo de culpabilidad). En su lugar se usa la siguiente función E(μ): Calculemos el valor mínimo de E(μ) con las derivadas: E(μ)′ = 0 => - (x1 - μ) - (x2 - μ) -… - (xn - μ) = 0 => - 2(x1 + x2 + … + xn) + 2n ⋅ μ = 0 => - 2 ∑ni=1x i + 2n ⋅ μ = 0 => 2n ⋅ μ = 2 ∑ni=1x i => μ = ∑ni=1x i Como E′′(μ) = 2n para todo μ, el valor que hemos obtenido es, en efecto, un mínimo para E(μ). Obsérvese que esta función da la suma de los cuadrados de los errores al sustituir los puntos de S por el único valor μ. Este valor recibe el nombre de media muestral y se escribe . El valor del error en μ = = ∑ni=1xi es: y recibe el nombre de varianza; volveremos a ella enseguida. Como medida de centralización, la media muestral tiene el inconveniente de que es muy sensible a datos anómalos. Pensemos en el conjunto ; claramente, su media será μ = 5. Sin embargo, si por error uno de los cincos se transforma en un cero, entonces la nueva media es μ = 25∕6 ≈ 4′1666. Las dos siguientes medidas sirven para representar el conjunto y son más robustas ante datos anómalos: Mediana M. Para calcularla se ordena la muestra de menor a mayor y se divide en dos partes iguales. El valor central será la mediana. Si hay un número par de datos, se toma, por convenio, la semisuma de los dos valores centrales. Nótese que esta medida se basa en el orden relativo de los datos y no en el valor de los mismos. Por ejemplo, si S = , la mediana M es 5; si S = , entonces es M = = 4. Moda es el valor o valores más frecuentes que aparecen en la muestra. Una vez establecidas las medidas de centralización, la pregunta más natural es cuándo son representativas esas medidas. Ciertamente, no siempre son representativas, y de ahí la posibilidad de manipulación de los datos. Las medidas de dispersión proporcionan criterios para determinar cuándo las medidas de centralización son representativas. La primera medida que presentamos es la varianza, vista ya anteriormente. Por razones técnicas (que se pueden encontrar en el capítulo 8 de [RES00]), la varianza que se usa en estadística descriptiva se llama varianza muestral s2 y su definición es: La varianza muestral tiene el inconveniente de que está no está expresada en las unidades de los números x1,x2,…,xn. Por ello, se define la desviación típica s, que es sencillamente +. Si la desviación típica es pequeña, quiere decir que los datos tienen poca dispersión y la media es, entonces, representativa. Veamos con un ejemplo sencillo por qué. Tomemos estos dos conjuntos de datos, S1 = , S2 = . La media en ambos casos es 5 y sus desviaciones típicas respectivas son s1 = 0 y s2 = ≈ 5′7735. Estos números nos dicen que en el caso de S1 la media es representativa, mientras que en el caso de S2 no lo es. Esta es una de las razones por las cuales no nos podemos creer ninguna media que nos den en las noticias. Otras medidas de dispersión son: El rango R, que se define como la diferencia entre el máximo y el mínimo de los datos, o dicho más formalmente, R = xmax-xmin, donde xmax = max y xmin = min. El rango intercuartílico RI, que es una medida asociada al orden de los datos. Primero necesitamos definir los cuartiles Q1,Q2 y Q3. El cuartil Q1 es el punto que, una vez ordenados los datos de menor a mayor, deja el 25% a la izquierda y el 75% a la derecha. Q2 es la mediana. Q3 deja, en cambio, el 75% a la izquierda y el 25% a la izquierda. El rango intercuartílico se define como la diferencia RI = Q3 - Q1. Los valor anómalos se definen como aquellos que están fuera del intervalo Una manera gráfica de ver los valores anómalos es construir el diagrama de caja. Se construye una caja cuyo límite inferior es Q1 y cuyo límite superior es Q3; en el medio de la caja se marca la mediana M. Después se dibujan sendas patas, que van desde la caja hasta el valor no anómalos más alejados, como se indica en la figura 1. Los datos anómalos son los círculos negros fuera de la patas de la caja. Figura 1: Diagrama de caja de un conjunto de datos. Por último, vamos a ver el coeficiente de asimetría, que está definido por la fórmula: y que indica la simetría de los datos respecto a la media. Si m3 > 0, entonces los datos están más concentrados a la derecha de la media muestral; si m3 < 0, lo están a la derecha; y si m3 = 0, son perfectamente simétricos respecto a la medida muestral. Dejamos aquí este breve repaso de estadística descriptiva, repaso que nos servirá para ilustrar unas cuantas aplicaciones en musicología cuantitativa. Para profundizar más en la estadística descriptiva, véase [POD11]. 3. Aplicación a espacios musicales Para ilustrar el uso de la estadística descriptiva, tomaremos la obra Träumerei, de Robert Schumann, una exquisita pieza. Abajo tenemos un vídeo con la interpretación de esta pieza por la pianista Valentina Lisitsa. La partitura de la pieza se puede ver en la figura 2. Figura 2: Träumerei, de Robert Schumann. Vamos a analizar las curvas de tempo de varias interpretaciones de esta pieza. En general, los cambios de tempo suelen locales más que globales y se usan como medio para dotar de expresividad a la interpretación. En la figura 3 se muestran tres interpretaciones del pianista Vladimir Horowitz. Las curvas se parecen bastante entre sí cuando se consideran en su totalidad, pero se aprecian cambios a nivel local, cambios que se pueden estudiar mediante técnicas estadísticas. Las curvas de tempo se han tomado en escala logarítmica. Típicamente el tempo se mide en pulsos por minuto y puede variar desde 20 pulsos por minuto, Larghissimo, hasta 240 pulsos por minuto, Prestissimo con fuoco. Tal rango de valores se representa mejor bajo una escala logarítmica, esto es, tomando el logaritmo del tempo. Las curvas de tempo se han obtenido muestreando las grabaciones a intervalos muy pequeños e interpolando los puntos obtenidos. Figura 3: Curvas de tempo de tres interpretaciones de Horowitch [Ber04]. Podría esperarse que el tempo fuera más o menos constante dentro de una pieza, pero estas curvas muestran que no es así. Todas estas microvariaciones dan expresividad a la interpretación. Vamos a llevar un análisis un poco más complejo. Consideremos las 28 curvas de tempo de la figura 4; corresponden a 28 interpretaciones de Träumerei de los siguientes pianistas: Martha Argerich (antes de 1983), Claudio Arrau (1974), Vladimir Ashkenazy (1987), Alfred Brendel (antes de 1980), Stanislav Bunin (1988), Sylvia Capova (antes de 1987), Alfred Cortot (1935, 1947 y 1953), Cli?ord Curzon (alrededor de 1955), Fanny Davies (1929), Jörg Demus (alrededor de 1960), Christoph Eschenbach (antes de 1966), Reine Gianoli (1974), Vladimir Horowitz (1947, antes de 1963 y 1965), Cyprien Katsaris (1980), Walter Klien (fecha desconocida), André Krust (sobre 1960), Antonin Kubalek (1988), Benno Moisewitsch (sobre 1950), Elly Ney (sobre 1935), Guiomar Novaes (antes de 1954), Cristina Ortiz (antes de 1988), Artur Schnabel (1947), Howard Shelley (antes de 1990), Yakov Zak (sobre 1960). Figura 4: 28 curvas de tempo para 24 interpretaciones de Träumerei [Ber04]. Desde un punto de vista de la forma, Träumerei se puede dividir en cuatro secciones, que, siguiendo la notación de [Ber04], llamaremos A, A′, B y A′′. La sección A expone el material temático, en la sección A′ ese material temático se desarrolla, a continuación viene una sección, la B, que contrasta, y finalmente la pieza acaba con una sección que recapitula con el material de la sección A. Para las 28 interpretaciones, en la figura 5 se ha calculado la media muestral , la media M, las desviaciones típicas y el coeficiente de asimetría m3 para cada sección de la pieza. Además, se ha dibujado un diagrama de caja verticalmente para cada medida. Examinando las medidas se sacan varias conclusiones. El tempo es siempre más lento en la sección A′′ que en el resto; además, la sección A′ se toca ligeramente más lenta que A. Esto se aprecia examinando las dos primeras gráficas de la figura 5, las correspondientes a la media y mediana muestrales. El tempo cambia hacia el final de la pieza en la mayor parte de los casos y mucho menos en la primera mitad de la pieza, como nos informa la tercera gráfica, la de la desviación típica. En la gráfica de más a la izquierda, la que corresponde al coeficiente de asimetría m3, observamos que en general es negativa, sobre todo en la sección B. En esa misma gráfica se observan valores anómalos, los cuales corresponden a ritardandi extremos pero ocasionales por parte de algunos pianistas (Fanny Davies y Jörg Demus). Figura 5: Medidas estadísticas para Träumerei [Ber04]. Se puede realizar un análisis más profundo añadiendo más medidas estadísticas. De nuevo, consúltese el capítulo 2 de [Ber04] para información más detallada.   Notas: 1 Evito aquí el término informática. Se podría interpretar como la programación de aplicaciones cuando, en realidad, me estoy refiriendo a la creación de modelos computacionales de la música. 2 También se encuentra la expresión de estudios performativos de la música, que tiene difícil traducción en castellano. Hemos preferido llamarlos estudios etnográficos.   Bibliografía: [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Par07] Richard Parncutt. Systematic musicology and the history and future of western musical scholarship. Journal of Interdisciplinary Music Studies, 1:1–32, 2007. [POD11] R. Peck, C. Olsen, and J.L. Devore. Introduction to Statistics and Data Analysis. Brooks/Cole, 2011. [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [RES00] V. Rohatgi and A. K. Ehsanes Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [SSE01] John Tyrrell (Editor) Stanley Sadie (Editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, 2001.
Miércoles, 25 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La educación entre los 0 y 3 años En el artículo de este mes querría tratar un tema que es totalmente pertinente a esta columna: Las matemáticas y la música en los niños de 0 a 3 años. El lector desprevenido quizás se sonría escéptico y ello no me extrañaría. Hay muchos errores de concepto y prejuicios alrededor de la educación en la etapa de infantil, en especial, en la que va de 0 a 3 años. Llevo muchos años oyendo a padres decir que tienen que buscar "guardería", ante lo cual les pregunto con suavidad: "¿Quieres decir guardería o escuela infantil?". La respuesta en la mayor parte de los casos es: "¡Ah!, ¿pero hay alguna diferencia?" Sí, sí la hay. En la guardería, salvo excepciones, te cuidan a los niños, te los vigilan más bien, te los entretienen, intentan que den el menor número posible de problemas, pero eso es todo. En cambio, en una escuela infantil el personal tiene una cierta cualificación, hay una programación hecha en base a unos objetivos, se realizan actividades durante el curso para cubrir esos objetivos, se acuerda una metodología, se evalúan los resultados, entre otras muchas diferencias. Algunos padres que han tenido la paciencia de escucharme, se quedan boquiabiertos. No se les había ocurrido pensar que hubiese tal diferencia. Por supuesto, la diferencia radica en el concepto mismo del niño y su educación. Cada vez más estudios demuestran cuán crucial es la estimulación y el aprendizaje en los tres primeros años de vida. Por ejemplo, se sabe que el oído absoluto se forma en esa etapa, por no hablar del lenguaje, las habilidades psicomotrices y otras. Sin embargo, la educación infantil, al menos en España, tiene una bajísima consideración social, tanto fuera como dentro del sistema educativo. He oído a profesores de primaria calificar el trabajo de sus compañeros de educación infantil de "fácil, ya que solo tienen que pintar fichas". Durante varios años actué con un grupo de teatro para niños de esas edades, La farándula musical. Hacíamos teatro en el aula y tras las actuaciones las profesoras departían relajadamente con nosotros en el comedor. Siempre les hacía la misma pregunta que me torturaba: ¿Cómo creían ellas que la sociedad y en particular el mundo de la educación veía su trabajo? La mayoría de las veces recibía una mirada descreída, con un punto de amargor, seguida de una media sonrisa compasiva (por mi ingenua pregunta). Recuerdo una profesora muy joven, con seguridad no tenía 30 años, quien sin molestarse en levantar la cabeza del plato de fruta que estaba comiendo me dijo que "la educación infantil es el culo de la educación". Elocuente. En este artículo vamos a examinar qué matemáticas y qué música pueden absorber, aprender, percibir niños de entre 0 y 3 años de edad. Veremos que incluso hay puntos comunes entre esas dos disciplinas también en este contexto tan especial.   2. Las matemáticas Las investigaciones llevadas a cabo en las dos últimas décadas del siglo XX sobre las matemáticas y su aprendizaje a edades tempranas llevó a muchos países a replantearse los contenidos del primer ciclo de educación infantil (0 a 3 años). En particular, la prestigiosa National Council of Teachers of Matematics (NCTM) americana decidió en 2000 reformar la programación de la etapa de infantil. Tal decisión se tomó en vista de los resultados de los investigadores, los cuales demostraban que había efectivamente aprendizaje de las matemáticas en esas edades, si bien a través de mecanismos distintos a los que usan adultos o niños mayores. El NCTM no solo reformó la programación, sino que hizo una serie de reflexiones y recomendaciones acerca de la metodología para enseñar esas matemáticas. Según la investigadora Rosalind Charlesworth [Ch05], los niños de esta etapa construyen las matemáticas a través de actividades cotidianas de carácter exploratorio, siguiendo su natural curiosidad, en respuesta a las preguntas de otros niños, a través del juego y a partir de experiencas de narración oral. Algunos autores enfatizan el papel del juego [S03] como forma vivencial de las matemáticas. Otros autores, como Diane Tiessen [Tie04], han estudiado el papel de la narración oral en la asimilación de conceptos matemáticos. Dado que el lenguaje se está formando en esta etapa y que es uno de los principales medios por los que el niño recibe información, está asociación matemática-lenguaje necesita poca justificación. Los niños de estas edades no han desarrollado aún una fuerte capacidad de abstracción y, en consecuencia, las matemáticas que practican son fundamentalmente sensoriales; las absorben a través de sus sentidos. Tampoco su memoria y su sentido del tiempo son fuertes; requieren repetición y una fuerte implicación por parte del niño en el descubrimiento matemático. De ahí el carácter exploratorio de su aprendizaje del que habla Charlesworth en su artículo. Los niños adquieren conceptos a través de tres formas de aprendizaje [Ch04]: por aprendizaje espontáneo, en las que el niño toma la iniciativa de aprender algo bajo su control; por aprendizaje informal, como consecuencia de la interacción con sus iguales; y por aprendizaje estructurado, que es el que ocurre cuando el niño está en el aula haciendo una actividad planificada. Cualquiera que sea la forma de aprendizaje, el niño ha de estar inmerso en un ambiente que le dé seguridad emocional. En [SKW04] se estudia la relación entre status social y aprendizaje de las matemáticas a estas edades, relación que se revela estrecha y fundamental. Este estudio sorprende porque llega a predecir con bastante fiabilidad el fracaso en los últimos cursos de primaria y primeros de la educación secundaria en base a la calidad del aprendizaje de las matemáticas en edades tempranas. El libro Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education[CSDD03] contiene un resumen bastante completo de las investigaciones de los últimos años sobre las matemáticas y su aprendizaje en estas edades. Se trata de un libro que recoge artículos de expertos que van desde diseñar la programación (capítulos 2 y 3), pasando por los aspectos cognitivos (capítulos 5 y 6) hasta las técnicas particulares para enseñar las matemáticas. Nos llama la atención, y mucho, el constante énfasis que hacen todo tipo de autores en el uso de las artes para enseñar matemáticas. Es curioso que tal integración curricular se vaya erosionando en etapas superiores de la educación hasta llegar a una total separación en la educación universitaria. Más información sobre el diseño de la programación se puede encontrar en [NCTM], con su definición de puntos clave de la programación. Como libro que desarrolla muchos conceptos matemáticos y da formas efectivas de ponerlas en práctica en el aula, recomendamos el de Richardson, O'Neill y Starr [ROS08]. En la página web de recursos educativos IXL aparecen recogidos contenidos matemáticos que se pueden trabajar entre 0 y 3 años. Un extracto de dicha página web está abajo. Formas: Identificar círculos, cuadrados y triángulos. Identificar rectángulos y cuadrados. Identificar cubos y pirámides. Posiciones: Dentro y fuera. Izquierda y derecha. Izquierda, medio y derecha. Encima y debajo. Abajo y arriba. Contar hasta 3: Contar hasta 3 puntos. Contar hasta 3 formas. Contar hasta 3 objetos. Clasificación: Mismo. Distinto. Mismo y diferente. Clasificación por color. Comparaciones: Comparar grupos en términos de menos y más. Comparar cuántos objetos hay en un gráfico. Comparar en un grupo de objetos mixto. Tamaño: Largo y corto. Alto y bajo. Pesado y ligero. Ancho y estrecho. Contiene más o menos. Tabla 1: Conceptos matemáticos que pueden experimentar niños entre 0 y 3 años. Un matemático profesional probablemente no calificaría alguno de estos contenidos como "matemáticos"; y, sin embargo, lo son. Estas son matemáticas de raigambre sensorial, si se quiere, pero siguen siendo matemáticas tan dignas como el teorema de Bolzano. Y han de enseñarse igualmente.   3. La música Una de las investigadoras que más activas se ha mostrado en el estudio de la percepción y cognición musical en niños entre 0 y 3 años es Beatriz Ilari, de la Universidad de McGill (Canadá). En su artículo de 2002 Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators [Ila02], estudia los factores más importantes en la percepción musical en niños durante su primer año de vida. El artículo es bastante exhaustivo, no solo por el número de variables musicales que tiene en cuenta, sino porque sus hallazgos científicos están basados en estudios psicológicos llevados a cabo de unos 15 años (entre 1984 y 2000 aproximadamente). Vamos, de la mano de Ilari, a revisar qué pueden percibir musicalmente los niños de edad temprana. 3.1. Percepción de la altura Los niños empiezan a reaccionar a los estímulos sonoros a partir del tercer mes de gestación y, de hecho, hay estudios que prueban que niños a los que se les ha sometido a estimulación musical en el útero muestran mejores aptitudes para la música. Centrándonos en los niños una vez fuera de la placenta, la percepción de la altura presenta un curioso comportamiento. Los niños de entre 3 meses de gestación hasta 3 meses después de nacer son capaces de discriminar sonidos graves mejor que los agudos; aún más, muestran preferencia por los sonidos graves. Alrededor de los 6 meses, ese comportamiento se invierte y discriminan mejor los sonidos agudos y además los prefieren a los graves. 3.2 Percepción de melodía y contorno melódico Niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. Además, el contorno melódico parece ser incluso más importante que la propia melodía. El contorno melódico se refiere a los cambios de dirección, ascendente y descendente, en la melodía. Trehub y sus coautores [Tie04] presentaron a niños de entre 8 y 11 meses de edad 5 versiones de una misma melodía de 6 notas. Esas 5 versiones incluían la original, una transposición, una donde se conservaba el contorno melódico con unos pocos cambios en las notas, una con cambios de octava con el mismo contorno y una con cambio de contorno. Los niños no distinguieron entre las versiones original y las que tenían el mismo contorno, pero discriminaron enseguida aquellas en que el contorno se había cambiado. Estos hallazgos son realmente importantes porque la melodía y el contorno melódico son variables que intervienen en la adquisición del lenguaje. 3.3 Enculturación musical La enculturación es el proceso por el cual se transmite la cultura a la nueva generación. Una pregunta a la que los investigadores llevan tiempo intentando dar respuesta es la de qué aptitudes musicales son innatas y cuáles son producto de la enculturación musical. En un interesante estudio [LEOU90] Lynch y sus coautores compararon la habilidad de niños de 6 meses y adultos (músicos y no músicos) para detectar notas ligeramente desafinadas en melodías basadas en la escala mayor, la escala menor y la escala pelog de Java. Una versión temperada de esta última escala sería: do-reb-mib-fa#-sol-lab-sib. Los niños detectaron las notas desafinadas en todas las escalas, mientras que los adultos solo en las occidentales. Este estudio y otros posteriores de los mismo autores prueban que la enculturación musical desempeña un importante papel en la percepción musical. 3.4 Percepción de la armonía La armonía es un fenómeno más complejo pues implica la clasificación de intervalos así como la percepción simultánea de sonidos. Las investigaciones mostraron que los niños tienen preferencia por las consonancias que por las disonancias. Aquí consonancia se refiere a los intervalos unísono, terceras, cuarta, quinta, sextas y octavas. También se constató que los niños perciben con mayor dificultad los intervalos y acordes complejos que los simples. Las melodías simples con acompañamientos repetitivos y claros son, en general, mejor procesadas por los niños de estas edades. 3.5 Percepción del timbre Hay algunos estudios sobre la percepción del timbre musical, pero este es un campo que todavía ha de investigarse con mayor profundidad. Se sabe que los niños de estas edades tienen memoria para el timbres de ciertos instrumentos. El timbre de la voz humana, especialmente el de la madre, sí ha sido estudiado exhaustivamente. 3.6 Forma musical Niños de un año de edad ya pueden reconocer frases musicales. Ello no es de extrañar ya que la habilidad de segmentar el sonido es importante en el habla también. Los estudios han demostrado que los niños detectan los finales de frase, incluyendo las pausas, las desviaciones expresivas de tiempo o las líneas descendentes en la melodía. Aún más, son capaces de reconocer motivos, memorizarlos y, cuando ciertas características rítmicas y melódicas se dejaban intactas, pueden detectar variaciones. 3.7 Percepción de eventos temporales El reconocimiento de eventos temporales (patrones rítmicos, tempo y métrica) ocurre casi desde el principio. Por ejemplo, Winkler y sus coautores [WHLSH09] han demostrado que recién nacidos pueden reconocer un pulso. La capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Esta estrategia, por cierto, es la que usan adultos sin formación musical. También se ha comprobado, hablando de métrica, que hay una preferencia por las métricas binarias ante las métricas ternarias. Respecto a la parte acentual de la métrica, todavía faltan por llevarse a cabo estudios. 3.8 Memoria musical a largo plazo Hay estudios que han investigado la memoria musical a largo plazo (se toca una melodía y se comprueba si se recuerda dos semanas después, por ejemplo). Los niños de menos de un año de edad son capaces de recordar melodías después de dos semanas de haberla oído por primera vez. No obstante, esa memoria está muy relacionada al estímulo. Los niños no la podían recordar si la melodía se tocaba con otros instrumentos o con otro tempo.   4. Conclusiones ¿Qué decir ante todo lo anterior? No cabe duda de que la sociedad no es consciente de todos hechos y de que los redactores de la programación para la etapa de infantil, tampoco. ¿Qué podemos decir de una educación que ignora una etapa tan fundamental en la formación de una persona y que tanto la condicionará en el futuro?   Referencias [CSDD03] Editores: Clements, D.H.; Sarama, J.; DiBiase E.; DiBiase, A.-M. Engaging Young Children in Mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education.Studies in Mathematical Thinking and Learning Series.Routledge. 2003. [Ch04] Charlesworth, Rosalind. Experiences in math for young children. Clifton Park. Delmar Learning. 2004. [Ch05] Charlesworth, Rosalind. Prekindergarten Mathematics: Connecting with National Standards. Early Childhood Education Journal, v. 32, nº 4, 229-236, 2005. [Ila02] Ilari, B. Music and Babies: A Review of Research with Implications for Music Educators. Applications of Research in Music Education. 21: 17-26. 2002. [IXL] Página web IXL Pre-k. Consultada entre los meses de noviembre de 2011 y mayo de 2012. [Korn] Barry Kornhauser. Baby Maybe. Artículo que se encuentra en la bitácora HowlRound. Consultado en marzo de 2012. [LEOU90] Lynch, M. P.; Eilers, R. E.; Oller, D. K.; Urbano, R. C. Innateness, experience and music perception. Psychological Science, 1, 272–276. 1990. [NCTM] Página web del National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade eight. Consultado en diciembre de 2011. [ROS08] Kathy Richardson (autora), Lucinda O'Neill (editora), Linda Starr (ilustradora). Developing Math Concepts in Pre-Kindergarten. Maths Perspectives. 2008. [S03] SEO, K. What children's play tells us about teaching mathematics. Young Children, 58(1), 28-33. 2003. [SKW04] Starkey, P.; Klein, A. y Wakeley, A. Enhancing young children’s mathematical knowledge through a pre-kindergarten mathematics intervention. Early Childhood Research Quarterly. Volumen 19, nº 1, primer trimestre, páginas 99-120. 2004. [Tie04] Thiessen, Diane. Exploring Mathematics Through Literature: Articles and Lessons for Prekindergarten Through Grade 8. National Council of Teachers of Mathematics. 2004. [TBT84] Trehub, S. E;, Bull, D.; Thorpe, L. A. Infants’ perception of melodies: The role of melodic contour. Child Development, 55, 821–830. 1984. [WHLSH09] Winkler, I.; Hádena, G.; Ladinig, O.; Sziller, I.; Honing, H. Newborn infants detect the beat in music. Proceeding of the National Academy of Sciences of USA. 106/(7) 2468-2471. 2009.
Martes, 26 de Junio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Rotaciones matemáticas Las rotaciones son transformaciones que desde siempre han suscitado mucho interés y, por ello, se han estudiado con profundidad y de modo exhaustivo. Una rotación se define como un movimiento rígido alrededor de un punto fijo. Ese movimiento tiene lugar en algún espacio, que puede ser todo lo abstracto que queramos, pero las rotaciones en el plano están entre las más estudiadas. En la figura de abajo tenemos la rotación de un objeto plano alrededor del punto O = (0,0). La rotación es de 180 grados y se muestran varios pasos intermedios. Figura 1: Rotaciones en el plano. Las ecuaciones que transforman el punto (x1,y1) del plano mediante una rotación de ángulo θ [0,2π) alrededor del origen O = (0,0) son las siguientes: (He escrito las ecuaciones porque viene al caso, pero también por su belleza.) Las rotaciones pertenecen a la clase de las isometrías, que son las transformaciones que no cambian la distancias entre los puntos. Esto viene a decir que si la distancia entre dos puntos antes y después de aplicar la rotación es la misma. Una pregunta inmediata es por qué las rotaciones en el plano se han investigado tanto. Ciertamente, nos resultan familiares. Nuestras extremidades pueden rotarse en cierto grado, la cabeza, los ojos; manipulamos muchos objetos con las manos y les aplicamos rotaciones; también las usamos para cambiar el sentido de la marcha. La psicología de la forma o psicología Gestalt puede explicar esa familiaridad. Esta teoría psicológica surgió para explicar los mecanismos de la percepción. La teoría se articula en torno a una serie de leyes o principios que explican los procesos organizativos de la percepción. Entre esos principios se cuentan el de invariancia, que establece que elementos geométricos simples se perciben como iguales o semejantes si son el producto de rotaciones, traslaciones o simetrías. También está el principio de semejanza, que agrupa objetos semejantes si son similares. Estos principios explican la importancia perceptual de las rotaciones. Las matemáticas se encargaron más tarde de formalizar el concepto de rotación. Dado que la percepción es fundamental, la teoría de la forma ha ejercido una gran influencia en el arte. Véanse [WBS92], [DMM10] y [Lem97] para saber más sobre las relaciones de la psicología de la forma y las artes en general. 2. Rotaciones musicales Lo que nos interesa en este artículo es profundizar en el significado de las rotaciones aplicadas a la música, en particular, a los ritmos. De entre los ritmos nos quedaremos con los llamados ritmos de clave. Los ritmos de clave son ritmos que se repiten a lo largo de toda una pieza y cuyas funciones musicales incluyen la estabilización rítmica, la organización del fraseo o la referencia temporal [Uri96], [Ort95]. Esa repetición en el tiempo los hace muy adecuados para estudiar sus rotaciones. Además muchas de esas claves son características de ciertos géneros. Por ejemplo, el son cubano se toca con la clave son, que escrita en notación de caja es [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Se puede tocar esta versión, la llamada 3-2 o la versión [. . x . x . . . x . . x . . x . ], llamada 2-3, pero es esencialmente la misma versión (una es la rotación de la otra en ocho posiciones). Y es raro encontrar el son cubano tocado con otro tipo de clave, sobre todo en el son tradicional. Los ritmos de clave, o sencillamente claves, aparecen en muchísimas tradiciones musicales tales como la afro-cubana, brasileña, africana, asiática, el flamenco, etc. Véanse para más información [Tou02], [DBFG+04]. En el vídeo siguiente tenemos un bembé tocado por el grupo Isla Percusión. Un músico, el de la camiseta amarilla, toca una clave ternaria, conocida como clave bembé o patrón estándar. Su partitura es [x . x . x x . x . x . x]. Obsérvese como el fraseo y las entradas se estructuran alrededor de la clave. Figura 2: Bembé tocado por Isla Percusión. Vamos a estudiar las rotaciones en las claves ternarias, esto es, las que están formadas por 12 o 6 pulsos normalmente agrupados en 4 o 2 partes de tres pulsos cada una. En el siguiente vídeo aparece un percusionista tocando varias claves ternarias. Veámoslo y luego analizamos las más relevantes (en el vídeo se toca un pulso de referencia con una caja china que no se ve). Figura 3: Claves ternarias. En la tabla de abajo están las claves más importantes de las que han aparecido en el vídeo. Algunos patrones rítmicos no se considerarían musicalmente claves, a pesar de que cumplen algunas de sus características. Por ejemplo, el ritmo del Kenkeni [. x x . x x . x x . x x] no es característico ni mucho menos de África. Aparece en muchísimos géneros musicales; algunos musicólogos incluso lo llamarían referente de densidad en lugar de clave (un referente de densidad es un ritmo que marca la velocidad de las figuras más rápidas de una pieza). Normalmente, una clave suele tener un factor de tensión rítmica, bien sea en forma de síncopa, de estructura de pregunta y respuesta, de ambigüedad métrica o acentual, o similares. Se han elegido las claves más importantes, como digo, pero además con el mismo número de notas, siete, hecho que nos permitirá un análisis más ágil en términos de las rotaciones. Figura 4: Partituras de algunas claves africanas para campanas. El lector atento -es decir, cualquier lector de Divulgamat- habrá visto que la tabla anterior está divida en tres partes. Cada parte corresponde a aquellos ritmos que se obtienen unos de otros a partir de una rotación. Si los representamos sobre un círculo, para reforzar más la idea de ciclo y de rotación, se visualiza mejor la situación. En primer lugar, vamos a estudiar los ritmos generados por la clave bembé. En la figura 5 tenemos el círculo dividido en 12 partes y en el centro la clave bembé. Alrededor y en sentido antihorario las rotaciones del bembé que dan lugar a otros ritmos. Las rotaciones de los ritmos se han tomado en sentido horario. Así, tenemos que la bemba es una rotación del bembé de 60 grados; el tambú, de 150; el yoruba, de 210; el ashanti, de 270; y el bembé-2, de 330. Figura 5: Rotaciones de las claves asociadas al bembé. La clave de bembé es un ritmo importantísimo en la música africana, tanto que recibe el nombre de patrón estándar. Se encuentra en muchísimas culturas africanas bajo distintos nombres y tocado de muy diversas maneras. En el análisis musical ha despertado mucho interés y se ha estudiado desde muchos puntos de vista. Toussaint [Tou02] ha aplicado técnicas geométricas y de matemática discreta para analizarlo. Por ejemplo, la clave del bembé es un ritmo euclídeo [DGMM+08]. Un ritmo euclídeo es un ritmo de máxima regularidad en el sentido en que la elección de las notas sobre los pulsos están distribuidos de la manera más regular posible; véase también [GPT09] para más información. Pressing [Pre83] llega a hablar -más como metáfora que como correspondencia estricta- de un isomorfismo cognitivo entre la escala diatónica y la clave estándar. Si consideramos la octava dividida en 12 semitonos, entonces la sucesión de distancias entre las notas de la escala diatónica se escribe como (2212221). Si ahora interpretamos esta sucesión en el dominio temporal, rítmico, obtenemos exactamente la clave del bembé. El autor que ha prestado una atención especial a la clave estándar es el musicólogo Agawu [Aga06]. En su artículo Structural Analysis or Cultural Analysis? Competing Perspectives on the“Standard Pattern” of West African Rhythm analiza aspectos culturales y estructurales de este singular patrón rítmico. Por ejemplo, observa que el patrón admite varias lecturas y todas ellas son rítmicamente interesantes. Se puede pensar con estructura aditivamente, como una sucesión de negras y corcheas, de eventos de duración 2 y 1. Argumenta, no obstante, que la música africana no es, en general, aditiva. También investiga este autor la relación de este patrón con la danza así como una interpretación métrica -sobreponiendo el patrón en una malla de pulsos con ciertos acentos recurrentes-. Por último, Agawu se acerca también al análisis generativo [LJ83] de este patrón. La clave del soli genera a su vez las del asaadua, con una rotación de 60 grados, y la tonada, con una de 180 grados, como vemos en al figura 6. Figura 6: Rotaciones de las claves asociadas al soli. Para hacernos una idea de cómo suena el soli en una grabación en directo, aquí tenemos el siguiente vídeo: Figura 7: Toque de soli. En principio, el soli tiene menos posibilidades rotacionales que el bembé. Su sucesión de distancias es (2222121). Las tres primeras notas, las tres negras, crean una sensación de regularidad que se rompe en la segunda mitad con las corcheas quinta y séptima. En este último vídeo presentamos claves binarias sobre 16 pulsos. No obstante, no las analizaremos en este artículo. Figura 8: Claves binarias. 3. ¿Hasta qué punto son semejantes? Hemos visto que las leyes de la psicología de la forma consideran objetos rotados como similares o equivalentes. ¿Es eso cierto en la música? ¿Dos ritmos que difieren en una rotación se los puede considerar como similares? No, no ocurre como en el mundo visual; el oído funciona de manera diferente. El propio Agawu[Aga06], página 29, dice: La “permutación de elementos” (un procedimiento por el cual los mismos elementos se someten a reordenamientos) tiene tales consecuencias musicales radicales -incluyendo desafíos básicos de percepción- que parece poco probable que sea un auténtico modo de estructuración temporal. En efecto, el mismo Pressing reconoce que la permutación de los elementos produce un “trastorno estructural” más drástico que el que se produce con otras técnicas de transformación. Agawu proporciona una lista de recursos de transformación musical que son propios de la música africana, entre los que se cuenta la estructura de llamada y respuesta, la complementación y la competición y los cambios de alineación de segmentos musicales, pero no incluye las rotaciones. Para poner un ejemplo de esto, tomemos el bembé y el bembé-2. Este último es una rotación de una nota hacia adelante del bembé, una mera rotación de 30 grados en sentido horario (véase la figura 5). Pero perceptual y musicalmente son muy diferentes. Pinchando en las partituras de más abajo se puede escuchar cada uno y apreciar las diferencias entre ambos. [x . x . x x . x . x . x] BEMBÉ [x x . x . x x . x . x .] BEMBÉ-2   Bibliografía [Aga06] K. Agawu. Structural analysis or cultural analysis? competing perspectives on the “standard pattern” of west african rhythm. Journal of the American Musicological Society, 59(1):1–46, 2006. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, July 30 - August 1 2004. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [DMM10] A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel. From Gestalt Theory to Image Analysis: A Probabilistic Approach. Springer, 2010. Reprint of the first 2008 edition. [GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. 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Miércoles, 30 de Mayo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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