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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 11 - 20 de 62

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
He aquí una nueva serie de tres artículos que investigan desde un punto de vista divulgativo la relación entre la similitud melódica y la teoría de cadenas (una rama de la computación). La similitud melódica, bajo ciertas hipótesis que simplifican el complejo fenómeno que es, se puede concebir como un problema de comparación de cadenas, donde las cadenas aquí representan sucesiones de notas. En un artículo titulado Comparison of musical sequences Mongeau y Sankoff [MS90] explotaron esta idea. En esta serie glosaremos su trabajo con detalle. En el artículo de este mes discutimos el concepto de similitud melódica, por la parte musical, el concepto de comparación de cadenas, con especial énfasis en la distancia de edición, y finalmente analizamos los aspectos computacionales de dicha distancia. En el siguiente artículo veremos cómo Mongeau y Sankoff adaptaron la distancia de edición para computar la disimilitud entre dos melodías dadas. En el último artículo de la serie examinaremos los experimentos llevados a cabo por estos autores para comprobar la bondad de su medida. Esos experimentos consisten en medir la similitud melódica de las nueve variaciones sobre el tema Ah, vous dirai-je, Maman, K. 265, de Mozart y analizar los resultados obtenidos. 1. Similitud melódica Los fenómenos musicales son básicamente perceptuales y cognitivos en su naturaleza ([Deu98], página 158). Esta aseveración puede sonar a los oídos de hoy como evidente, pero la tradición racionalista del análisis musical la relegó al olvido durante mucho tiempo. De hecho, la psicología misma empezó a reconocer la música como objeto de estudio serio hace solo unas pocas décadas. Hasta entonces el análisis musical se había basado en las matemáticas (desde la tradición pitagórica al sistema de doce tonos de Schoenberg), la física (empezando con el trabajo de Helmhotz [Hel85]), y la música (análisis schenkeriano, análisis armónico, etc.), y los aspectos cognitivos de la música se habían desatendido por completo. La melodía se encuentra entre los fenómenos musicales más investigados. Los teóricos de la música han examinado miles de melodías con el fin de describir sus características estructurales, mientras que los psicólogos han ceñido su atención a la manera en que el ser humano percibe y responde a la melodía. Un teórico de la música bien puede preguntarse cuáles son los elementos constituyentes de la melodía, y su respuesta, probablemente, vendrá dada en términos de altura y relaciones de duración, tales como dirección melódica, relación interválica, altura más grave y más aguda, entre otras [Ort37]; o incluso en términos de atributos más abstractos, tales como propincuidad, repetición de tonos y finalidad [?]. En contraste con esto, un psicólogo de la música se podría preguntar, por ejemplo, cuáles son los factores psicológicos que transforman una sucesión de notas en una melodía, y esta vez, probablemente, la respuesta se presentaría en términos de leyes de percepción (Bower y Hilgard [BH81]), esquemas melódicos (Dowling and Hardwood [DH86]), o modelos de estructuración jerárquica perceptual (West et al. [WHC85], Sloboda [Slo85], Lerdahl [LJ83]). Hoy en día es inconcebible estudiar el fenómeno melódico sin examinar ambas facetas. Pero cuando se trata de procesar música o de establecer algún esquema cuantitativo o en última instancia computacional, ¿es posible incorporar el conocimiento proveniente de ambos campos? Cuando empezó el estudio computacional de la música, los modelos de entonces no permitían tener esos aspectos en consideración. Aunque hoy los pasos son más seguros en esa dirección, todavía son lentos. En este artículo vamos a estudiar un modelo computacional de similitud melódica. El modelo simplifica en buena medida la complejidad de ese fascinante fenómeno que es la melodía. A cambio obtiene una medida que permite comparar melodías bajo ciertas condiciones. Sigue, qué duda cabe, una evaluación del método para ver cuánto afectó la mencionada simplificación. La similitud melódica es un concepto fundamental, tanto desde el punto de vista teórico como desde el práctico. Es esencial en el proceso musical porque sirve como evaluación de la variación del material, del reconocimiento del estilo y del compositor, de la interpretación, del aprendizaje musical, o en la clasificación musical; véase McAdams and Matzkin [MM01]. Acicateados por el creciente número de aplicaciones de la similitud melódica (sistemas de recomendación, leyes de propiedad intelectual, búsqueda en bases de datos musicales, clasificación de estilos, atribución de obras dudosas), muchos matemáticos e informáticos han diseñado algoritmos para computar la similitud melódica basados en muy diversas técnicas: medidas geométricas, distancias de transporte, medidas de probabilidad, similitud estadística, proximidad geográfica, entre otros; para una lista exhaustiva, véase [HSF98] y las referencias allí listadas. Mongeau y Sankoff, en su artículo del año 90 [MS90], arguyen que los aspectos puramente musicales son bastante difíciles de evaluar y que están sujetos a un alto grado de subjetividad (en realidad, van más lejos y dicen arbitrariedad, que es una palabra con implicaciones más serias). Deciden centrarse en dos variables fundamentales: la altura del sonido y las duraciones (el ritmo). En su trabajo adaptan las distancias de edición clásicas (la distancia de Levenshtein) y la amplía con más operaciones. Ello les permite definir una distancia con más poder de discriminación y aplicar a la comparación de piezas musicales. 2. Distancias entre cadenas de símbolos En Informática el problema de la distancia entre cadenas es un problema que aparece en muchos contextos y que tiene muchas aplicaciones. En su versión más básica se formula como sigue: dadas dos cadenas A,B de símbolos (tomados de un alfabeto común), hallar el mínimo número de operaciones que hay que realizar para transforma A en B. Las operaciones se definen previamente y las tres más elementales son borrado, inserción y sustitución. Ese número mínimo de operaciones se toma como la distancia entre A y B. Como veremos en las aplicaciones prácticas se añaden operaciones más complejas tales como fragmentación y consolidación. Esta distancia fue descubierta por Levenshtein en el año 1965 y publicada en una revista rusa de informática. Se la conoce como distancia de Levenshtein y también como distancia de edición. A partir de ella se han definido otras muchas: distancias de Levenshtein ponderadas, distancia de Damerau-Levenshtein (que permite trasposiciones), distancias de Hamming, entre otras. Antes de definir formalmente la distancia de edición, vamos a poner un ejemplo. Las operaciones usadas serán las que mencionamos arriba: borrado, inserción y sustitución. Asignaremos un coste de 1 a cada operación. Consideremos la cadena A = TENER y B = PERDER. Una posible secuencia de operaciones para transformar A en B es la siguiente: Borrado de T: TENER => ENER. Inserción de P: ENER => PENER. Sustitución de N por R: PENER => PERER. Inserción de D: PERER => PERDER. La transformación se ha hecho en 4 operaciones. No es la mínima ya que las operaciones 1) y 2) se pueden reemplazar por una sustitución directa a coste 1 solo. En ese caso, el número de operaciones sería mínimo y la distancia valdría 3. Para definir formalmente la edición hace falta especificar un conjunto de operaciones y a cada una de ellas asignarles un coste. Una vez hecho eso, la distancia de edición es, como dijimos, el número mínimo de operaciones necesario para transformar una cadena en otra. 2.1. Algoritmo para calcular la distancia de edición En esta sección vamos a estudiar los aspectos computacionales de la distancia de edición. Su definición nos parece clara, pero ¿cómo es posible calcularla? Sean A,B dos cadenas de longitudes n y m, respectivamente, con caracteres pertenecientes a un alfabeto común. Un algoritmo clásico para resolver el problema de la distancia de edición es la programación dinámica. Esta técnica algorítmica se aplica a problemas en que la solución local es parte de la solución global, como ocurre en el caso que nos ocupa. Por comodidad en la descripción del algoritmo, designamos por A[1..i] la subcadena (a1,…,ai) de A, donde 1 ≤ i ≤ n; y análogamente con la subcadena B[1..j] de B, con 1 ≤ j ≤ m. El algoritmo calcula la distancia de A a B usando una matriz como estructura de datos, matriz que tiene dimensiones (n + 1) × (m + 1). Dicha matriz sirve para almacenar las distancias entre todas las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. En un paso genérico el algoritmo calcula la distancia d(A[1..i],B[1..j]) y para ello se apoya en las distancias de subcadenas más pequeñas, en particular, en las distancias entres subcadenas. Si cI,cB,cS son, respectivamente, los coste de la inserción, borrado y sustitución, la distancia d(A[1..i],B[1..j]) se calcula con la fórmula siguiente: Es, como se puede apreciar, una fórmula que usa los valores previos para calcular el valor actual. La solución se construye de manera local, en cada paso, y la solución global es el resultado del procesamiento de todos las subcadenas de A y B. No obstante, dado que en cada paso se usan valores de subcadenas más pequeñas, solo se procesan dos caracteres, ai y bj, en cada paso del algoritmo. Para que la sucesión de operaciones no se reduzca a las sustituciones, en las aplicaciones suele aparecer la condición cS < cI + cB. Como paso de inicialización el algoritmo necesita tener calculados las distancias de d(A[1..i],∅) y d(∅,B[1..j]), donde i = 1,…,n, j = 1,…,m y ∅ es la cadena vacía. El valor de d(A[1..i],∅) es j ⋅cB y el de d(∅,B[1..j]) es i ⋅ cI. A continuación se muestra un pseudocódigo (adaptado de [Wik13]). int LevenshteinDistance(char cad1[1..longCad1], char cad2[1..longCad2]) // d es una matriz con longCad1+1 filas y longCad2+1 columnas declare int d[0..longCad1, 0..longCad2] // i y j se usan como variables para el bucle iterativo declare int i, j, costeBorrado, costeInsercion, costeSustitucion (1) for i from 0 to longCad1 d[i, 0] := i*costeInsercion (2) for j from 0 to longCad2 d[0, j] := j*costeBorrado (3) for i from 1 to longCad1 (4) for j from 1 to longCad2 (5) if cad1[i] = cad2[j] then d[i, j]:=d[i-1, j-1] else d[i, j] := minimo( d[i-1, j] + costeBorrado, // Borrado d[i, j-1] + costeInsercion, // Inserción d[i-1, j-1] + costeSustitucion // Sustitución ) return d[longCad1, longCad2] La prueba de corrección del algoritmo se basa en un invariante que se mantiene a lo largo de todo el algoritmo: el hecho de que el elemento d(i,j) de la matriz contiene la distancia de edición de las subcadenas A[1..i] y B[1..j]. No es inmediatamente evidente que d(i,j) proporciona de hecho el número mínimo de transformaciones entre dichas subcadenas; require una prueba por inducción que no damos aquí. En ciertos contextos, no solo es necesario la distancia entre las cadenas, sino también la sucesión de operaciones que transforma una en la otra. En un ejemplo desarrollado más abajo se muestra cómo conseguir esa sucesión. 2.2. Un ejemplo de la distancia de Levenshtein Tomemos para nuestro ejemplo dos inocentes cadenas, dicho en el sentido estricto de la palabra, A = y B = . En un mundo ideal, volterianamente cándido, la distancia entre ambas cadenas debería ser infinita. En el mundo que nos ocupa, y más en el de las secas cadenas de caracteres, sabemos que esa distancia es finita, dolorosamente finita. Computemos cuán finita. Nos ayudaremos del applet que ha escrito Scott Fescher [Fes13] para ilustrar el funcionamiento de la distancia de edición; las figuras de más abajo han sido generadas con ayuda de ese applet. Como pesos para las operaciones tomaremos cI = cB = cS = 1, esto es, la distancia original de Levenshtein. Obsérvese que se cumple la condición cS < cI + cB. El primer paso, como sabemos, es la inicialización. Esta consiste en calcular las distancias de la cadena vacía a las cadenas A = y B = ; véanse los bucles (1) y (2) del pseudocódigo presentado más arriba. Todas las operaciones se reducen a inserciones (en la fila) y a borrados (en la columna), como se puede apreciar en la matriz de la figura 1. Figura 1: Inicialización del algoritmo de la distancia de edición. A continuación empiezan a procesarse el primer carácter de A y todas las subcadenas B[1..j] de B para j = 1,…,10 (10 es la longitud de la ). En la figura 2 nos hemos parado en el cálculo de la distancia de las subcadenas subcadenas y . En ese momento el algoritmo tiene que rellenar el elemento (2,7) de la matriz. Primero se comprueba que la los caracteres a procesar son distintos. No es el caso aquí, pues ambos se reducen al carácter . La distancia se iguala a la del elemento (1,6), cuyo valor es 5. Figura 2: Detalle del cálculo de la distancia de las subcadenas y . En la figura 3 vemos unos cuantos casos más donde se dan la igualdad entre caracteres de las dos cadenas (aparecen rodeados con un círculo rojo). Véase el if, línea (5), en el pseudocódigo arriba. Figura 3: Casos en que los caracteres a procesar son iguales. En un paso genérico, cuando los caracteres a procesar no son iguales, el algoritmo calcula las distancias a partir de tres distancias inmediatamente anteriores. En el caso de la figura 4 se va a calcular la distancia d(6,5). Las distancias de los anteriores elementos son d(6,4) = 4,d(5,4) = 3 y d(5,5) = 3. El algoritmo especifica que la nueva distancia ha de ser el mínimo entre los números , que es 4. Figura 4: Paso genérico del algoritmo. Si continuamos todo el proceso hasta el final, la matriz que obtenemos es la de la figura 5. La distancia de edición viene dada por el elemento (9,11), el más abajo a la izquierda, rodeado por un círculo rojo. Su valor es 7. Figura 5: Matriz completa de la distancia de edición. El algoritmo se puede ampliar con un sistema de punteros de tal manera que se puede reconstruir la sucesión de operaciones que transforma una cadena en la otra. Dada una distancia d(i,j) a calcular en un paso genérico del algoritmo, si el mínimo se alcanza con la distancia d(i,j - 1) estamos ante una inserción, si se alcanza con d(i - 1,j) estamos ante un borrado y si se alcanza con d(i - 1,j - 1), ante una sustitución. A partir de la distancia final, y disponiendo de esta información, se puede recorrer la matriz desde el elemento (n + 1,m + 1) hasta el (1,1) y listar la sucesión de operaciones. En general, el camino que va del elemento que da la distancia de edición hasta el (1,1) no es único. En la figura 6 se muestra un posible camino. Los números rodeados por un círculo rojo corresponden a los momento en que los caracteres a procesar eran idénticos. Figura 6: Obtención de la sucesión de operaciones. Si I y S representan inserción y borrado, la sucesión de operaciones de la figura anterior es (S,S,S,S,S,I,I) y la sucesión de transformaciones es: 3. Conclusiones Como vemos la distancia entre político y corrupción no es mucha, siete pasos, aunque, como dijimos antes, debería ser infinita o al menos ser finita solo en el mundo de la computación. El mes que viene veremos cómo se puede aplicar la distancia de edición a la comparación de cadenas con significado musical.   Bibliografía [BH81] G. H. Bower and E. R. Hilgard. Theories of learning. Prentice-Hall, Englewwod Cliffs, NJ, 1981. [Deu98] D. Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, 1998. [DH86] W. J. Dowling and D. L. Hardwood. Music cognition. Academic Press, Orlando, FL, 1986. [Fes13] S. Fescher. Edit Distance ILM. http://csilm.usu.edu/lms/nav/activity.jsp?sid=˙˙shared&cid=emready@cs5070˙projects&lid=10, consultado en octubre de 2013. [Hel85] H. Von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music. Dover, New York, 1954 (publicado originalmente en 1885). [HSF98] W. B. Hewlett and E. Selfridge-Field. Melodic Similarity: Concepts, Procedures, and Applications. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1998. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Lun67] R. W. Lundin. An objective psychology of music. Ronald Press (segunda edición), New York, 1967. [MM01] S. McAdams and D. Matzkin. Similarity, invariance and musical variation. Annals of the New York Academy of Sciences, 90:62–76, 2001. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Ort37] O. Ortmann. Interval frequency as a determinant of melodic style. Peabody Bulletin, pages 3–10, 1937. [Slo85] J. A. Sloboda. The musical mind. Clarendon Press, Oxford, 1985. [WHC85] R. West, P. Howell, and I. Cross. Modelling perceived musical structures. In Howell, Cross, and West (Eds.), Musical structure and cognition. Academic Press, Londres, 1985. [Wik13] Wikipedia. The Levenshtein distance. http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein˙distance, consultado en octubre de 2013.
Jueves, 14 de Noviembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
8. Introducción En este último artículo vamos a estudiar las propiedades matemáticas de las binarizaciones y ternarizaciones. Avisamos al lector de que el contenido matemático es un poco más alto que el de las dos entregas anteriores. A partir de los fenómenos musicales descritos anteriormente desarrollaremos el estudio de estas transformaciones. El principal resultado que se ve en este artículo es que la aplicación de las reglas de aproximación produce idénticos resultados si se aplican al pie métrico y luego se concatenan los resultados parciales que si se aplican las reglas al patrón rítmico desde el principio. 9. Binarizaciones y ternarizaciones desde un punto de vista matemático 9.1. Preliminares En este artículo asumiremos que los ritmos son isócronos; Pérez Fernández supone lo mismo en sus libros [Pér86] [Pér79]. Esto implica que ambos ritmos tienen tramos temporales de igual duración. Ya que los patrones ternarios tienen menos pulsos (12 frente a 16), se sigue que sus pulsos durarán más que en el caso de los patrones binarios. Primero, probaremos un lema que se usará en los resultados que siguen. Sea K un patrón rítmico compuesto por p grupos de k pulsos cada uno y M otro patrón compuesto por p grupos de m pulsos cada uno. Supongamos que k,m > 1. Consideremos la transformación de K a M. Lema 1 Hay dos pulsos consecutivos en M que son equidistantes a un pulso en K si y solo si k es par y m es impar. Prueba: Para la implicación del si: Ya que 2 divide a k, el punto (k/2)/k = 1/2 es un pulso de K. Como m es impar, se sigue que  . Consideremos los pulsos consecutivos  y de M. Entonces (k/2)/k es equidistante de y . En efecto: Para la implicación del y solo si: Sean i,j dos índices tales que i/m y (i+1)/m son equidistantes de j/k. Se tienen las siguientes igualdades: La última igualdad implica que k tiene que ser par y m, impar. 9.2. Reglas de aproximación aplicadas a la concatenación de pies métricos - binarización Sea T un patrón ternario compuesto de p grupos 3 pulsos cada uno. Sea B el patrón binario formado por p grupos de 4 pulsos cada uno. En el análisis que hemos hecho, p toma bien el valor 2 o bien 4. Consideremos la transformación de T en B bajo las reglas de aproximación (véanse los números de agosto y septiembre de 2013 de esta columna). Los pulsos de T y B (para p ≥ 1) están dados por las siguientes sucesiones: Por la definición de las reglas de aproximación, los pulsos en T de la forma , para i = 0,…,p- 1, se asignan a  en B. Consideremos los pulsos restantes, a saber, aquellos d ela forma y , para i = 0,…,p- 1. Dado un pulso fijo ti de T, cuando T y B se ponen uno encima del otro, se sigue del lema de más arriba que la función distancia de ti a los pulsos de B posee solo un valor mínimo, el cual se alcanza solo por un pulso de B. Nótese que esta afirmación no es cierta si se intercambia T por B. A continuación probamos un par de pequeños resultados concernientes a los vecinos más cercanos: Resultado 1: Los dos vecinos más cercanos de los pulsos en B son y , y el mínimo se alcanza en . Resultado 2: Los dos vecinos más cercanos de los pulsos en B son y , y el mínimo se alcanza en . Para (1), de los tres siguientes cálculos se sigue el resultado: Distancia de a : - = = Distancia de a : - = = Distancia de a : - = = A partir de estos cálculos se deduce que el vecino más cercano en sentido antihorario de es , y su vecino más lejano en sentido horario es . Para (2), cálculos análogos establecen el resultado: Distancia de a : - = = Distancia de a : - = = Distancia de a : - = = El vecino más cercano en sentido horario de es , y su vecino más lejano en sentido antihorario es . 9.3. Concatenación the los pies métricos tras aplicar las reglas de aproximación - binarización Ahora transformaremos patrones ternarios en patrones binarios (de 4 pulsos) por vía de las reglas de aproximación. Esta vez se concatenarán p grupos. Queremos probar que la concatenación de los patrones transformados al nivel del pie métrico producen los mismos resultados que aplicar las reglas de aproximación al patrón entero. Un patrón ternario de 3 pulsos se describe con la sucesión . Un patrón binario de 4 pulsos, con la sucesión . Reproducimos de nuevo la figura que ilustra las reglas de aproximación (la figura está en el segundo artículo de esta serie, en el mes de septiembre) Figura 1: Reglas de aproximación para la binarización de los pies métricos. Resumiendo la información de la figura 1, tenemos: Los vecinos más cercano, más lejano, horario y antihorario de 0 es 0. Los vecinos más cercano y antihorario de son a distancia , y los vecinos más lejano y horario son a distancia . Los vecinos más cercano y horario de son a distancia , y los vecinos más lejano y horario son a distancia . Cuando los patrones ternarios se concatenan, estos tienen que meterse en un tramo temporal común. Para ello, los patrones ternarios tienen que cambiar de escala en un factor de 1/p. Este cambio de escala no afecta a las distancias relativas entre los pulsos y, por tanto, tampoco afecta a los vecinos de un pulso. Por ejemplo, si p = 4, la sucesión se transforma en la sucesión , la cual a su vez se transforma en cuando los cuatro patrones ternarios son concatenados. El vecino más cercano de 1∕12 es ⋅ = . Cuando se efectúa la división por p y los ritmos se concatenan, se obtiene lo siguiente: Los pulsos de la forma , i = 0,…,p - 1 se transforman en bajo todas las reglas de aproximación. Para los pulsos de la forma , para i = 0,…,p - 1, tenemos: < < , donde es el vecino más cercano de . Para los pulsos de la forma , para i = 0,…,p - 1, tenemos: < < , donde es el vecino más cercano de . En consecuencia, encontramos que las reglas de aproximación son las mismas que las dedujimos más arriba. 9.4. Reglas de aproximación aplicadas a la concatenación de pies métricos - ternarización Consideremos la ternarización, esto es, la transformación de B a T. Cálculos similares a los hechos para el caso de la binarización conducen a la siguiente tabla: Elemento de B Primer vecino más cercano Distancia Segundo vecino más cercano Distancia Tercer vecino más cercano Distancia 0 NA NA NA NA , Tabla 1: Tabla de distancias para la ternarización. Leyenda: El primer vecino más cercano se refiere al vecino más cercano del elemento de B con respecto a los elementos de T; la siguiente columna muestra la distancia entre el pulso de B y su vecino más cercano. A continuación está el segundo vecino más cercano seguido de su distancia. Similar definición se aplica para el tercer vecino más cercano y la distancia. NA significa no aplicable, ya que siempre se proyecta en según todas las reglas de aproximación. Nótese que para el pulso de B hay dos pulsos, y , a igual distancia. La función todavía alcanza un mínimo, pero lo hace en dos valores. Esta situación ocurre porque B es un ritmo binario y tiene un pulso en el medio de cada intervalo [0,],…,[,]. Por tanto, en este caso el vecino más cercano no es único, así como tampoco el vecino más lejano. 9.5. Concatenación los pies métricos tras aplicar las reglas de aproximación - ternarización La figura 2 muestra las reglas de aproximación para la ternarización de los pies métricos. La presencia de notas comunes es evidente. Los vecinos más cercano y más lejano no son únicos. Figura 2: Reglas de aproximación para la ternarización de los pies métricos. De nuevo, razonando de manera similar al caso de la binarización se puede probar que la concatenación de los pies métricos dan reglas equivalentes a las de aproximación definidas para el tramo temporal entero. Bibliografía [Pér79] Rolando A. Pérez. Ritmos de cencerro, palmadas y clave en la música cubana. Manuscrito no publicado y presentado al Concurso Premio Musicología, Casa de las Américas, 1979. [Pér86] Rolando A. Pérez. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Havana, 1986.
Miércoles, 09 de Octubre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Tras haber estudiado en la columna anterior las transformaciones rítmicas, nos adentramos en este mes en las binarizaciones y ternarizaciones de ritmos. Las binarizaciones se estudiarán con los ejemplos reales tomados del libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Se analizarán también las ternarizaciones, siguiendo el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07], así como los experimentos que realizaron con distancias rítmicas y centros de familias de patrones rítmicos. 3. La teoría de Rolando Pérez Ilustraremos la binarización de patrones rítmicos principalmente examinando el libro de Rolando Pérez [Pér86]. Este autor ofrece una teoría que explica la presencia de patrones binarios en América Latina como resultado de un proceso de binarización de patrones rítmicos ternarios de los esclavos de origen africano. El libro está organizado en tres grandes capítulos que glosaremos aquí brevemente. El primer capítulo constituye un estudio histórico, sociológico y cultural de la influencia africana en la península ibérica y en la América Latina colonial. Se estudian con gran atención los procesos de enculturación, deculturación y transculturación entre la cultura de los esclavos y la de los colonizadores. Tras la caída de Constantinopla en 1453 el comercio de esclavos desde Oriente Próximo se interrumpe, pues queda en manos de los turcos, y los españoles van al África occidental para nutrirse de esclavos. Después del descubrimiento de América, los esclavos capturados en África eran mandados a los nuevos territorios. Tan solo nueve años después del descubrimiento de América, España aprueba la primera ley para regular el mercado de esclavos. En algunos casos los esclavos renuncian a su cultura y aceptan la de la potencia dominante; en otros casos la cultura de origen se mantiene de como forma de preservar la identidad, incluso a pesar de la represión ejercida por el entorno. El capítulo dos está dedicado al estudio de las similitudes y diferencias en la música española y la africana así como a los procesos de sincretismo entre ambas. La zona de África de donde se tomaba los esclavos gozaba de una cierta unidad musical –Rolando Pérez hace esta afirmación basándose en el trabajo de Nketia [Nke63]–. También recuerda el autor que en la música de la península ibérica en aquellos tiempo los patrones rítmicos ternarios eran bastante frecuentes. En este segundo capítulo se explica con detalle el proceso de binarización y lo analizaremos en profundidad más abajo. En el tercer capítulo Rolando Pérez pone ejemplo musicales detallados de cómo el proceso de binarización tiene lugar. Muestra, por ejemplo, como la clave ternaria [x . x . x . . x . x . .] se transforma en la clave binaria [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Rolando Pérez se apoya en el trabajo del prestigioso musicólogo ghanés Nketia [Nke63, Nke74] para la conceptualización y terminología de su teoría. Nketia relacional la frase música con el tramo temporal, que es de duración fija. El tramo temporal, que se identifica típicamente con un compás de 12/8 a la hora de transcribir, se divide en pulsos reguladores que sirven como referencia a los bailarines (en África la música no se concibe sin la danza). Estos pulsos reguladores dividen en dos partes iguales al tramo temporal. Dividiendo a su vez el tramo temporal en unidades más pequeñas llegamos al pulso básico. El tramo temporal se mide en términos de pulsos básicos. Hasta aquí la teoría de Nketia; en este punto Rolando Pérez introduce el pie métrico entre la categoría de pulso regulador y la de pulso básico. El pie métrico es la clasificación del agrupamiento de dos o más pulsos básicos acorde a su duración o acentuación. Aquí solo tomaremos en cuenta el agrupamiento por duración. Hay dos duraciones básicas, la larga y la corta, y la primera dura el doble que la segunda. En la figura 1 se pueden ver los principales pies métricos que se emplearán en este artículo (L significa largo y C corto; hemos usado notación de caja). Figura 1: Los principales pies métricos Por ejemplo, el patrón [x . x x x . ∣ x x . x . x] está formado por un tramo temporal de 12 pulsos básicos, donde los pulsos reguladores se encuentran en las posiciones 1 y 7. Su descomposición en términos de pies métricos es troqueo+yambo+yambo+troqueo. La línea vertical marca la división del tramo temporal en los dos pulsos reguladores. En este punto Rolando Pérez presenta un conjunto de patrones rítmicos con un tramo temporal formado por 6 pulsos ([Pér86], páginas 82, 83, 91 y 101). Todos ellos son combinaciones de los pies métricos definidos antes. Para cada uno de esos ritmos muestra el proceso de binarización, el cual tiene lugar al nivel del pie métrico. En la figura 2 se recogen esos patrones rítmicos y sus binarizaciones. Los nombres en la columna de la derecha corresponden a uno de los muchos que se pueden encontrar para ese patrón rítmico concreto. Figura 2: Patrones rítmicos de 6 pulsos y sus versiones binarias. En la figura 3 podemos observar la evolución del pie de zamba hasta el patrón [x x . x x . x .] en varios ejemplos ([Pér86], páginas 100 y 101). Primer, tenemos La manta, una canción mejicana con el pie de zamba (véase la voz superior); después se percibe una binarización parcial de la segunda parte del pie de zamba en una canción popular mejicana llamada El adiós a la fiesta; finalmente, vemos la danza cubana de Ignacio Cervantes Pst, donde se ha producido una binarización completa. La manta El adiós Pst Figura 3: Evolución del pie de zamba. En un segundo conjunto de ritmos, Rolando Pérez reúne patrones rítmicos con tramos temporales de 12 pulsos y presenta sus correspondientes binarizaciones ([Pér86], páginas 102 y siguientes); véase la figura 4. El patrón llamado clave son 6/8 se puede encontrar en muchas tradiciones musicales bajo otros nombres, por ejemplo, como clave fume-fume [Tou03b]. El patrón [x . x . x x . x . x . x] es conocido bajo otros nombres, pero hemos elegido el que se usa en la tradición africana: bembé. Chernoff [Che79] fue el primero en estudiar la binarización del bembé. Figura 4: Patrones binarizados con tramos temporales de 12 pulsos. Los nombres de los patrones binarizados en la columna de la derecha servirán como referencia en el resto del artículo. Rolando Pérez presenta un tercer conjunto de patrones rítmicos a los que llama recursos de variación rítmica ([Pér86], páginas 73-74 y 112-122). Estos patrones están formados por variaciones del moloso [x . x . x .], la primera parte de la clave son 6/8. Fueron recogidos para un trabajo previo de Rolando Pérez  [Pér79] en el cual clasificaba los patrones de palmas y cencerros de la música tradicional cubana. Estos patrones también estaban documentados en tradiciones musicales africanas pertenecientes a las áreas donde se produjo esclavitud. En la figura 5 se muestran estas variaciones rítmicas junto con las versiones binarizadas. Nótese que algunas variaciones tienen más de una versión binaria asociada. Descripción Notación del Versión Nombre del del patrón patrón binarizada patrón binarizado Variación 1(c) [x x x . x .] [x . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-1 Variación 1(c) [x x x . x .] [x x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(c)-2 Variación 1(d) [. x x . x .] [. . x x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-1 Variación 1(d) [. x x . x .] [. x . x . . x .] Ver. binarizada var. 1(d)-2 Variación 2(c) [x x x . x x] [x . x x . . x x] Ver. binarizada var. 2(c) Variación 4(c) [x x x x x x] [x x . x . x x x] Ver. binarizada var. 4(c) Variación 4(a) [x . x x x x] [x . . x x x x .] Ver. binarizada var. 4(a) Variación 5(a) [x . x . . .] [x . . x . . . .] Ver. binarizada var. 5(a) Variación 6(c) [x x x . . x] [x x . x . . . x] Ver. binarizada var. 6(c) Figura 5: Binarizaciones de los recursos de variación rítmica. De nuevo, los nombres de los patrones binarizados son mnemónicos para futura referencia en este artículo. 4. Reglas de transformación rítmica Como ya hemos señalado, el proceso de binarización propuesto por Rolando Pérez usa el pie métrico como punto de partida. La binarización de un patrón ternario se descompone en términos de su pie métrico. Después, cada pie es binarizado de acuerdo a un conjunto de reglas de binarización o reglas de transformación rítmica. Finalmente, los pies binarizados se ponen juntos de nuevo para formar el nuevo patrón rítmico. Por ejemplo, consideremos el pie de zamba [x x x x x .]. Está formado por la concatenación de un tribraquio [x x x] y un yambo [x x .]. En este caso, las reglas de transformación son [x x x]-→[x x . x ] y [x x .]-→[x . x . ]. Finalmente, pegamos los subpatrones y obtenemos el patrón ternario [x x . x x . x .]. Las reglas de transformación usadas en el libro de Rolando Pérez se pueden ver en la figura 6 (la explicación de la columna de la derecha se da en la siguiente sección). Pie métrico Patrón binarizado Reglas de aproximación [x x x] [x x . x] Vecino más cercano [x . x x] Vecino horario [x x x .] Vecino antihorario [x . x] [x . . x] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano [x x .] [x x . .] Vecino más cercano [x . x .] Vecino más lejano Figura 6: Las reglas de transformación rítmica usadas por Rolando Pérez y su interpretación geométrica. Gómez y sus coautores [GKK+07] estudiaron desde un punto de vista matemático las reglas de transformación rítmicas definidas por Rolando Pérez en su libro. Definieron una serie de reglas geométricas con las que modelizar la binarización. Aun más, analizaron las reglas inversas, las de ternarización, y llevaron a cabo experimentos con esas reglas. En el resto de este artículo revisaremos su trabajo. 4.1. Reglas de aproximación Las reglas descritas antes son expresables en términos de reglas de aproximación. Algunas reglas de binarización se pueden interpretar como un problema geométrico en un círculo. Para hacer una exposición más gráfica, consideremos un reloj de tres horas superimpuesto sobre un reloj de cuatro horas, tal y como se muestra en la figura 7. El problema se reduce a encontrar una regla que transforme las notas del reloj ternario en notas del reloj binario. Ya que ambos relojes tienen como hora común las doce del mediodía (el polo norte), esta nota se transforma en sí misma. Para el resto de las notas se definen varias reglas. Una regla que surge naturalmente es asociar la nota con su vecino más cercano en el reloj binario. Esta regla refuerza la idea intuitiva de que las notas se perturban lo menos posible y se debería esperar pues que las estructuras perceptuales de ambos ritmos fuesen similares. Por ejemplo, esta regla toma el tribraquio [x x x] y lo convierte en [x x . x]; esta regla se llama del vecino más cercano (VMC). Otras reglas que se van a usar son las siguientes: la regla del vecino más lejano (VML), donde cada nota se mueve a su vecino más lejano; la regla del vecino horario (VH), donde cada nota se asocia a la nota siguiente en el sentido horario; y la regla del vecino antihorario (VAH), donde cada nota se mueve a la siguiente en sentido antihorario. En la figura 6 de arriba la columna de más a la derecha contiene las reglas utilizadas por Rolando Pérez y su definición en términos de las reglas de aproximación. La regla VML, del vecino más lejano, puede parecer poco intuitiva. Sin embargo, los experimentos demostraron que esta regla funciona bien en muchos casos y que era válido tenerla en cuenta. Figura 7: Las reglas de aproximación. Nótese que la reglas VMC y VML pueden llevar dos notas a una nota común. Tomemos el tribraquio [x x x] y la regla del vecino más lejano; uno obtiene el patrón [x . x .], con una nota menos. Surge entonces el llamado problema de las notas comunes. Volveremos a este problema más tarde. Las reglas de aproximación se han usado previamente en otros contextos; por ejemplo, en la definición de ritmos euclídeos o en similitud rítmica en la música flamenca; véanse [Tou03a] y [DGM+05]. 5. Experimentos con las reglas de aproximación En el artículo de Gómez y sus coautores [GKK+07]estudiaron los procesos de binarización y ternarización. Lamentablemente, no disponían de un conjunto de patrones ternarios como los que había recogido Rolando Pérez para el caso binario. Su estudio consistió en una serie de experimentos con las reglas de aproximación que explicamos a continuación. El primer experimento consistió en binarizar los patrones ternarios contenidos en los libros de Rolando Pérez [Pér86, Pér79] (véanse las figuras 2, 4 y 5) empleando las reglas de aproximación VMC, VML, VH y VAH. Estas reglas no solo se pueden aplicar para binarizar patrones rítmicos, sino que también valen para ternarizar patrones binarios. Las reglas de aproximación en estos experimentos no fueron aplicadas al nivel del pie métrico sino al patrón rítmico entero. El segundo experimento tiene que ver con los centros de familias de patrones rítmicos o patrones que equidistan de todos los demás (ver la correspondiente sección más abajo para los detalles técnicos). Estos fueron usados por primera vez por Toussaint en el análisis de ritmos de clave binarios y ternarios [Tou02, Tou03a]. Resta por resolver el problema de las notas comunes que surge con las reglas VMC y VML. Gómez y sus coautores usaron el concepto de contorno rítmico para resolverlo. Su motivación para ello fue su importancia en cognición musical [Mar91, Han98, Deu98, Sny04]. 5.1. Contorno rítmico El contorno rítmico se ha usado en el análisis de ritmos que no están basados en pulsación regular o métrica, para la descripción de características estilísticas, para el diseño de algoritmos para la clasificación de estilos y también para el estudio de la discriminación perceptual de patrones rítmicos, entre otros. El contorno rítmico se define como el patrón de cambio en la sucesión de duraciones correlativas. Algunos autores representan el contorno rítmico como una sucesión de enteros que refleja estos cambios; otros simplemente describen los cambios de una manera cualitativa, observando si la duración se hacer más larga, más corta o permanece constante. Por ejemplo, consideremos el contorno rítmico de la milonga [x x . x x . x .]. Primero, obtenemos su sucesión de duraciones: 12122. El patrón de duraciones usando números enteros es (se cuenta el cambio entre la primera y la última nota), y si solo nos interesan los cambios, entonces basta con escribir . Usaremos esta última forma de registrar el contorno rítmico en el resto de este artículo. Para resolver el problema de las notas comunes se comparan los contornos rítmicos de los patrones transformados. Dicha comparación se puede hacer con la distancia de Hamming, que cuenta las posiciones donde los contornos rítmicos no coinciden, o dicho de otra manera, cuenta el número de sustituciones que hay que hacer un contorno rítmico para obtener el otro. El inconveniente de esta distancia es que requiere que los contornos tengan la misma longitud, situación que se no produce en cuanto hay notas comunes. Una buena alternativa es la distancia de permutación dirigida (desarrollada más abajo). 5.2. Centros de familias de ritmos El segundo conjunto de experimentos comprende el cálculo de varios tipos de centros. Dada una familia de ritmos con tramo temporal fijo, digamos n pulsos, se define el centro como el patrón que optimiza cierta función distancia, bien sea dentro de la familia de patrones rítmicos, o bien en el espacio de patrones rítmicos entero. Gómez y sus coautores relacionan la idea de centro con la de similitud. Los criterios de optimización que seleccionaron fueron dos: la minimización de la máxima distancia (min-max) y la minimización de la suma (min-sum). Como función distancia tomaron por dos distancias muy frecuentes, la distancia de Hamming y la distancia de permutación dirigida [DBFG+04] (DPD en adelante; esta distancia se definió en la sección 2 más arriba). Así pues, tenemos ocho posibles tipos de centros, dadas las dos posibles distancias, los dos posibles criterios de optimización, los dos posibles conjuntos de patrones rítmicos y si la optimización se lleva a cabo dentro de la familia de patrones o en el espacio entero. 6. Resultados de los experimentos En los experimentos las familias de ritmos se agruparon acorde a la longitud de los tramos temporales. Debido al problema de las notas comunes, las tablas que produjeron Gómez y sus coautores tenían varias páginas de longitud en algunos casos. Los resultados completos de los experimentos se pueden consultar en [GKK+07b] Aquí mostraremos los resultados más relevantes que obtuvieron junto con una breve discusión de los mismos. Comentaremos más en profundidad los centros relativos a la familia de ritmos que los correspondientes al espacio de patrones rítmicos entero. 6.1. Patrones rítmicos obtenidos con las reglas de aproximación En primer lugar, consideraremos la regla VMC aplicada a la binarización. Las figuras 8 y 9muestran los resultados de los experimentos. Los ritmos en negrita son aquellos que coinciden con los patrones binarizados en el libro de Rolando Pérez. Como se puede ver, la regla VMC no da a lugar a casi ninguna correspondencia. Más aun, esas binarizaciones tienen poco interés en cuanto que guardan poco parecido perceptual con las versiones ternarias; véase, por ejemplo, la binarización del bembé producida por esa regla, [x . . x . x . x . x . . x . . x], y compárese con la binarización dada por Rolando Pérez, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x . x . x . x . x . . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . x . . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . x . . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . x . x . x . . x . . x Figura 8: Binarización de los patrones de 12 pulsos con la regla VMC. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado x x x x . x Tribraquio+Troqueo x x . x x . . x x x x x x . Pie de zamba x x . x x x . . x . x x x . Coriambo x x . x x x . . x x x . x . Var. 1(c)-1 x x . x . x . . . x x . x . Var. 1(d)-1 . x . x . x . . x x x . x x Var. 2(c) x x . x . x . x x x x x x x Var. 4(c) x x . x x x . x x x x . . x Var. 6(c) x x . x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x x . x Figura 9: Binarización de los patrones ternarios de 6 pulsos con las reglas VMC. A continuación mostramos la tabla correspondiente a la ternarización de los patrones de 8 pulsos obtenidos aplicando la regla VMC; véase la figura 10. El significado de las abreviaturas en las columnas de la tabla, leídas de izquierda a derecha, es la siguiente: P. binar. es el patrón binario; Nombre es el nombre del patrón; Tern. es el patrón ternarizado; Nombre tern. es el nombre del patrón en el caso de que esté en el catálogo de Rolando Pérez; NNC es el número de notas comunes en la ternarización; Min. Ham. es la lista de patrones con la distancia de Hamming mínima cuando se aplica la regla para resolver las notas comunes o la lista de todos los patrones con notas comunes; Cont. rítm. los contornos rítmicos con las notas comunes y el contorno del patrón original; N. com. es la lista de los patrones generados con notas comunes; Con. rítm. com. son las partes comunes de los contornos rítmicos. En algunos patrones binarios se encuentran correspondencias con los patrones binarios originales. En esta tabla se puede observar el procedimiento para resolver los patrones con notas comunes. Por ejemplo, la variación 6(c) fue ternarizada de manera única ya que no dio lugar a notas comunes. Sin embargo, la variación 1(c)-1 produjo dos patrones con notas comunes, [x x x . x .] y [x x x . . x]. En este último caso comparamos los contornos melódicos para decidir qué patrón dará el resultado final. Los contornos rítmicos son y , respectivamente (nótese que la última nota y la primera se comparan para el contorno rítmico). Para el patrón ternario el contorno rítmico es ; por tanto, el contorno rítmico de [x x x . x .] es más similar, y este es el patrón que se da como resultado. En el caso de la variación 1(d)-1, el contorno rítmico no puede determinar cuál de los dos ritmos es el válido ya que los contornos rítmicos son idénticos. Figura 10: Ternarización de los ritmos de 8 pulsos con la regla VMC. Las figuras 11 y 12 muestran las binarizaciones dadas por la regla VH. Para los patrones de 12 y 6 pulsos se encontraron muchas correspondencias con los patrones dados en el libro de Rolando Pérez. Por ejemplo, el bembé se transformó en su forma binarizada comúnmente aceptada, [x . . x . . x x . . x . x . . x]. Como ya mencionamos antes, esta regla no produce patrones con notas comunes. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x x . x . x . x . Zamba+Moloso x . x x x . x . x . . x . . x . x . x . x . . x . x . . Clave son 6/8 x . . x . . x . . . x . x . . . x . x . x . . x . x . x Clave son 6/8 -var. 1 x . . x . . x . . . x . x . . x x . x . x . . x . x x . Clave son 6/8 -var. 2 x . . x . . x . . . x . x . x . x . x . x x . x . x . x Bembé x . . x . . x x . . x . x . . x Figura 11: Binarización de patrones de 12 pulsos usando la regla VH. Patrón ternario Nombre Patrón binarizado rhythm x x x x . x Tribraquio+Troqueo x . x x x . . x x x x x x . Pie de zamba x . x x x . x . x . x x x . Coriambo x . . x x . x . x x x . x . Var. 1(c)-1 x . x x . . x . . x x . x . Var. 1(d)-1 . . x x . . x . x x x . x x Var. 2(c) x . x x . . . x x x x x x x Var. 4(c) x . x x x . x x x x x . . x Var. 6(c) x . x x . . . x x . x . . . Var. 5(a) x . . x . . . . x . x x x x Var. 4(a) x . . x x . x x Figura 12: Binarización de patrones de 6 pulsos usando la regla VH. La regla VML no produjo correspondencias con los patrones recogidos por Rolando Pérez ni en la binarización ni en la ternarización. Curiosamente, no aparecieron notas comunes en el caso de la binarización y sí muchas en la ternarización, en algunos casos tantas como tres. Más aun, en numerosas ocasiones las notas comunes no se pudieron resolver. En el caso de los patrones de 16 pulsos no se produjo resultado alguno; todas las notas comunes quedaron sin resolver. Para la binarización, los patrones generados con la regla VML eran más bien monótonos, a menudo patrones con muchas corcheas consecutivas que no reflejaban la estructura perceptual de sus equivalentes ternarios. Con respecto a la regla VAH, los resultados fueron mejor que con la regla VH. La ternarización funcionó bien; por ejemplo la ternarización de [x . . x . . x x . . x . x . . x] dio el bembé. No hubo correspondencias con los patrones de Rolando Pérez en la binarización, pero los ritmos que se obtuvieron son interesantes por sí mismos. Las reglas VH y VAH no dan resultados llamativos cuando transforman patrones como [. x x . x .], ya que ambas reglas generan patrones con una nota en la primera posición. Obviamente, esto cambia la esencia del ritmo, puesto que transforma en tiempo débil en una parte en tiempo fuerte. 6.2. Centros de familias de patrones rítmicos En esta última sección discutiremos los centros calculados para las familias de patrones rítmicos. Gómez y sus coautores usaron dos distancias, la de Hamming y la DPD (distancia de permutación dirigida); y dos tipos de criterio de optimización, la min-sum y la min-max. Consideramos en primer lugar los patrones de 8 pulsos. Los resultados están resumidos en la figura 13. Nótese que el ritmo [x x . x . . x .] es el centro para todas las distancias y para todos los criterios de optimización. El centro para la DPD con el criterio min-max contiene cuatro patrones. Por tanto, el patrón [x x . x . . x .] se puede considerar el más similar a los otros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 23 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 Hamming Min-Max 3 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Sum 24 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 DPD Min-Max 4 [x . . x x . x .] Habanera [x . x x . . x .] Bin. var. 1(c)-1 [x x . x . . x .] Bin. var. 1(c)-2 [. x . x . . x .] Bin. var. 1(d)-2 Figura 13: Resultados para los centros con patrones de 8 pulsos. Para la binarización de los patrones de 16 pulsos los autores obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 14. La clave son y su variación [x . . x . . x . . . x . x . x . ] aparecen como centros en todos los casos. Esto no constituye ninguna sorpresa, ya que el conjunto de patrones binarios estudiados por Rolando Pérez son variaciones de la clave son en muchos casos. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 13 [x . . x . . x . . . x . x . . . ] Bin. clave Son [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Hamming Min-Max 6 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Sum 12 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 DPD Min-Max 4 [x . . x . . x . . . x . x . x . ] Bin. clave Son-var. 1 Figura 14: Resultados para los centros con patrones de 16 pulsos. La figura 15muestra los resultados para los patrones ternarios de 6 pulsos. Como en el caso de la binarización, hay un ritmo que aparece en todos los centros, a saber, la variación 1(c)-1 [x x x . x .]. De nuevo, esto indica que es el patrón más similar al resto. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 19 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 Hamming Min-Max 3 [x x x x x .] Pie de zamba [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [x x x . x x] Var. 2(c) DPD Min-Sum 18 [x x x . x .] Var. 1(c)-1 DPD Min-Max 3 [x . x x x .] Coriambo [x x x . x .] Var. 1(c)-1 [. x x . x .] Var. 1(d) Figura 15: Resultados para los centros con patrones de 6 pulsos. En último lugar, examinamos los centros de patrones ternarios de longitud 12 pulsos; véase la figura 16. La situación es muy similar a la de los patrones binarios. La clave son 6/8 y su variación [x . x . x . . x . x x .] determinan el conjunto entero de centros, donde este último patrón aparece en tres de los cuatro centros. Distancia Función Valor Patrón Nombre Hamming Min-Sum 11 [x . x . x . . x . x . .] Clave son 6/8 Hamming Min-Max 6 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Sum 9 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 DPD Min-Max 4 [x . x . x . . x . x x .] Clave son 6/8 var. 2 Figura 16: Resultados para los centros con patrones de 12 pulsos. 7. Conclusiones finales De todo lo visto hasta ahora se pueden obtener muchas conclusiones, las cuales resumimos a continuación: Los datos de los experimentos: Sería deseable tener más ejemplos documentados de patrones rítmicos binarizados. Los proporcionados por Rolando Pérez en sus libros son insuficientes. Los patrones de 12 pulsos son más bien limitados ya que en el fondo son variaciones de la clave son 6/8 clave son. La situación es aun peor para la ternarización, donde no se tienen ejemplos, siquiera teóricos, de transformaciones rítmicas de patrones binarios a ternarios. Reglas de transformación: Las reglas VMC y VML parecen no funcionar como se esperaría en un principio. Especialmente sorprendente es el comportamiento de la regla VMC, que no respeta la estructura perceptual de los patrones al menos cuando se aplica al patrón entero. Las reglas basadas en dirección, VH y VAH, funcionan mejor que VMC y VML. Curiosamente, VC funciona mejor para la binarización que para la ternarización, mientras que VAH funciona mejor para la ternarización. Centers: Como consecuencia del tamaño pequeño de los conjuntos de patrones rítmicos de 12 y 16 pulsos, las familias de centros son pobres en general. Los centros calculados para las familias de 6 y 8 pulos son más significativos. Parece que un cierto número crítico de patrones es necesario para que los centros sean relevantes. Los centros obtenidos tienen cierto interés musicológico y se pueden usar como herramientas para generar nuevos ritmos.   Bibliografía [Che79] John Miller Chernoff. 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Jueves, 05 de Septiembre de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el primero de una serie de tres sobre la cuestión de las transformaciones rítmicas. En ella estudiaremos las transformaciones de ritmos binarios a ternarios y viceversa, fenómenos que reciben los nombres de binarización y ternarización, respectivamente. Como ilustración, examinaremos el proceso de binarización de ritmos ternarios descrito por Rolando Pérez en su libro La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [Pér86]. Por supuesto, los aspectos matemáticos y computacionales de las transformaciones rítmicas no faltarán en esta serie. En este primer artículo analizaremos el concepto de transformación rítmica en la música; en el segundo artículo ilustraremos la transformación rítmica a partir de la binarizacion y la ternarización (nos inspiraremos en  [Pér86] y [GKK+07]); en el último artículo estudiaremos los aspectos puramente matemáticos, esto es, la transformación rítmica como transformación matemática. Un estilo musical se caracteriza entre otras por sus peculiaridades rítmicas. Cuando a lo largo del tiempo ese estilo evoluciona sus características rítmicas también lo hacen. ¿Cómo tienen lugar esas transformaciones rítmicas? En algunos casos las transformaciones rítmicas se han podido documentar, principalmente en tradiciones musicales escritas. Por ejemplo, en el estilo musical de finales del siglo XIV conocido como Ars Subtilior [Ran86] los compositores usaban técnicas rítmicas muy elaboradas, que incluían la isorritmia [Fer99, Ran86], para llevar a cabo transformaciones rítmicas. El compositor y teórico Philippe de Vitry (1291–1361) incorporó dos novedades en la práctica musical de la época: por un lado, definió cómo se tenían que dividir la breve y semibreve (las modernas nota cuadrada y redonda) y, por otro, introdujo un sistema de notación que permitía usar el ritmo binario y el ritmo ternario en una misma composición. Estas innovaciones teóricas fueron aceptadas rápidamente por los compositores y trajeron como consecuencia más transformaciones rítmicas, algunas, como hemos dicho, muy elaboradas. A mitad del siglo XIV, el tenor del motete adopta dos elementos estructurales claros: el color, que es una serie fija de alturas, y la talea, o patrón rítmico. Color y talea se pueden combinar de diferentes maneras. Con la partitura de la figura 1  (tomada de [Qui13]) podemos ilustrar cómo funciona el color y la talea; solo se muestra la primera página. En este motete tenemos lo siguiente: La talea o esquema rítmico está formada por 25 compases que se repiten literalmente; la talea está marcada en la partitura como T-1 y T-2. El color o sucesión de alturas está compuesto por las 19 primeras notas de la línea del tenor (la voz más grave, en clave de fa); las notas están numeradas para mayor claridad. La talea a su vez se compone de un segmento de cuatro compases ternarios (de 9/8), seguido de ocho compases binarios (de 6/8), y finalmente seguido de otro de cuatro compases ternarios (de 9/8). El segmento central, el del compás binario, está escrito en rojo para avisar al intérprete del cambio. Un análisis más fino de la talea desvela que los segmentos en rojo tienen estructura de espejo. Si contamos las duraciones en unidades de negra con puntillo, la estructura de esos segmentos se puede describir como sigue: 2 - 2 - 4 - silencio - 4 - 2 - 2 que revela claramente la simetría.   Figura 1: Ejemplo de color y talea en el motete Garrit Gallus - In nova ferit. El motete tiene 150 compases formados por la seis repeticiones de la talea. Sin embargo, el color consta de 19 notas, que al colocarlas en la figuración rítmica de la talea ocupan 40 compases. A pesar de que 40 no divide a 150 de modo exacto, al final del motete, la talea y el color coinciden. Ello es porque el compositor omite algunas notas del color en las partes centrales para evitar que el final de la talea caiga en medio del color. Este tipo de licencias eran normales en la práctica compositiva de la época. Como se ve en este ejemplo, la complejidad rítmica de la música de este periodo es bastante alta. Como la música se conservaba por escrito ha sido posible estudiar la evolución de las transformaciones rítmicas. No siempre es el caso. El musicólogo Rolando Pérez describió en [Pér86, Pér90] una teoría que explicaría el proceso por el cual los ritmos africanos traídos por los esclavos a Cuba se transformaron paulatinamente en ritmos binarios. Así, el ritmo [x . x . x . . x . x . .], ternario y de 12 pulsos, se habría transformado en [x . . x . . x . . . x . x . . .], binario y de 16 pulsos. Obsérvese que en este caso estamos considerando estilos musicales que en buena parte son orales. Su teoría ha recibido críticas por parte de otros musicólogos; véanse los artículos [Rob90], [Loz90] y [Car90]. Gómez y sus coautores estudiaron en [GKK+07] los aspectos matemáticos de las binarizaciones y ternarizaciones y tomaron como datos experimentales los ofrecidos Rolando Pérez en su libro. Se pueden encontrar otros ejemplos de transformaciones rítmicas. Manuel [Man04] describe un proceso de binarización similar, que tuvo lugar en España y Cuba, donde la guajira, ritmo que alterna los compases de 3/4 y 6/8, se transforma en la guajira-son, ritmo claramente binario. Una discusión más general de la evolución de los ritmos cubanos se puede encontrar en  [Aco05]. 2. Transformaciones rítmicas Para hablar de transformaciones rítmicas necesitamos definir el concepto de patrón rítmico, el cual se concebirá como una sucesión de duraciones. Como hemos hecho en otras ocasiones, representaremos un patrón rítmico por su notación de caja o por su sucesión de duraciones. Por ejemplo, el ritmo de la clave son, [x . . x . . x . . . x . x . . .], se puede representar por su notación de caja, o por [33424], su notación por sucesión de duraciones. La primera transformación rítmica que de manera natural aparece es el cambio de tempo o velocidad a la cual se toca el patrón. El cambio de tempo, sobre todo si es extremo, implica un cambio en la percepción del patrón rítmico. Esta transformación no implica un cambio en las duraciones relativas de un patrón rítmico y no es el tipo de transformaciones que consideraremos en esta serie de artículos; nos centraremos en las transformaciones que cambian las duraciones del patrón. Las transformaciones rítmicas más elementales que operan sobre las duraciones son las llamadas consolidación y fragmentación en la terminología introducida por Mongeau y Sankoff [MS90]. La consolidación consiste en la unión de dos duraciones adyacentes en una nueva de suma las dos duraciones. Una fragmentación es una operación que divide una duración dada en dos duraciones cuya suma total da la duración original. Si aplicamos una consolidación a las dos últimas duraciones del ritmo [x . . x . . x . . . x . x . . .] obtenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . . . . .]; si en ese ritmo fragmentamos la última duración, que es 4, en 1+3, tenemos el ritmo [x . . x . . x . . . x . x x . .]. Otros autores independientemente y con otra terminología definieron estas operaciones; véanse Pearsall [Pea97] y Pressing [Pre83]. La consolidación es equivalente a sustituir una nota por un silencio y la fragmentación a sustituir un silencio por una nota. Ambas operaciones tienen la limitación de que solo operan sobre duraciones adyacentes. Otra operación que ofrece más posibilidades es la permutación o intercambio de dos duraciones adyacentes. La idea de la permutación fue presentada por David Lewin [Lew96] en primer lugar para el dominio de las alturas, de la melodía, y luego se empezó a considerar en el dominio del ritmo. En el patrón de la clave son [33424] una permutación de las duraciones 3 y 4 daría el ritmo [34324] o [x . . x . . . x . . x . x . . .]. Toussaint [?] definió una distancia entre patrones rítmicos basada en contar el número mínimo de operaciones para transformar un patrón dado en otro; véase [Góm13b] para una exposición divulgativa. Esa distancia recibe el nombre de distancia de permutación dirigida y es una generalización de la distancia de Hamming. Las operaciones permitidas en esta distancia incluyen intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes con las siguientes restricciones: Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. Originalmente, la distancia de permutación dirigida solo estaba definida para patrones rítmicos con el mismo número de pulsos, pero en [DBFG+04] y [DBFG+05] se generalizó a patrones con distinto número de pulsos. Otra transformación rítmica, que tiene inspiración geométrica, es la rotación de ritmos. Esta transformación no consiste más que en elegir otro pulso diferente al primero donde empezar el patrón rítmico. En el artículo de mayo de 2012 de esta misma columna estudiamos la rotación de ritmos para claves; véase [Góm13a]. Una rotación de tres pulsos transforma el patrón [x . . x . . x . . . x . x . . .] en [x . . x . . . x . x . . . x . .] (o en notación de distancias, transforma [33424] en [34243]). En todo lo expuesto hasta ahora no hemos tenido en cuenta la métrica, sino solamente las duraciones. Cuando se considera un patrón rítmico dentro de una métrica se pueden definir nuevas transformaciones rítmicas. En la música occidental las métricas más comunes implican subdivisiones binarias o ternarias. Un patrón rítmico escrito en un compás ternario se puede transformar en otro escrito en un compás binario (no siempre la correspondencia es obvia). Este proceso se llama binarización; el proceso inverso se denomina ternarización. A lo largo de este artículo analizaremos en detalle cómo se producen estas transformaciones rítmicas. En la música occidental se encuentra una gran variedad de transformaciones rítmicas. He aquí una breve lista: Ornamentación o adornos. Los hay de muchos tipos y dependen incluso del periodo histórico. Los más habituales son trinos, mordentes, grupetos, notas muertas. Aumentación y disminución. La primera consiste en aumentar en una duración constante todas las duraciones del patrón y la segunda, en la operación contraria. Síncopa o acentuación de una nota en parte débil; también se dice de un cambio inesperado de acento. Esta transformación rítmica tiene en cuenta el aspecto acentual del patrón. Modulación métrica. Repetición de una célula rítmica en diferentes posiciones del compás. Esto provoca ambigüedad rítmica en el oyente. En todo lo anterior no hemos tenido en cuenta los aspectos perceptuales de las transformaciones rítmicas. ¿Cuánto cambia la percepción rítmica al aplicar cualquiera de las transformaciones anteriores? Esta pregunta lleva directamente al concepto de similitud rítmica (véase la serie Distancia y similitud melódica, mayo a junio de 2011, en esta misma columna). Como ejemplo de las delicadas cuestiones que pueden surgir al considerar los aspectos perceptuales, fijémonos en los resultados obtenidos por el psicólogo de la música Handel [Han98]. En este trabajo prueba que el agrupamiento tiene preponderancia perceptual sobre la métrica, esto es, que el cambio en el agrupamiento de un patrón rítmico produce un cambio perceptual más agudo que el que produce el cambio métrico. En las transformaciones rítmicas enumeradas más arriba no se consideraron los cambios perceptuales originados por las transformaciones rítmicas. Bibliografía [Aco05] Leonardo Acosta. On generic complexes and other topics in Cuban popular music. Journal of Popular Music Studies, 17(3):227–254, December 2005. [Car90] José Jorge De Carvalho. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Yearbook for Traditional Music, 22:148–151, 1990. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. El compás flamenco: a phylogenetic analysis. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 61–70, Southwestern College, Winfield, Kansas, 30 de julio - 1 de agosto de 2004. [DBFG+05] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. Similaridad y evolución en la ritmica del flamenco: una incursión de la matemática computational. Gaceta de la Real Sociedad de Matematica Española, 8(2):489–509, mayo de 2005. [Fer99] Françoise Ferrand. Guide de la Musique du Moyen Âge. Fayard, Paris, 1999. [GKK+07] F. Gómez, I. Khoury, J. Kienzle, E. McLeish, A. Melvin, R. Pérez-Fernandez, D. Rappaport, and G. Toussaint. Mathematical models for binarization and ternarization of musical rhythms. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 99–108, San Sebastián, España, agosto 2007. [Góm13a] Paco Gómez. Rotaciones de ritmos. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=14103&directory=67, consultado en julio de 2013. [Góm13b] Paco Gómez. Similitud rítmica en el flamenco. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com˙content&view=article&id=12152&directory=67, consultado en julio de 2013. [Han98] Stephen Handel. The interplay between metric and figural rhythmic organization. Human Perception and Performance, 25(5):1546–1561, 1998. [Lew96] David Lewin. Cohn functions. Journal of Music Theory, 40(2):181–216, otoño de 1996. [Loz90] Steven Loza. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Latin American Music Review, 11(2):296–310, otoño-invierno de 1990. [Man04] Peter Manuel. The Guajira between Cuba and Spain: A study in continuity and change. Latin American Music Review, 25(2):137–162, otoño-invierno de 2004. [MS90] M. Mongeau and D. Sankoff. Comparison of musical sequences. Computers and the Humanities, 24:161–175, 1990. [Pea97] Edward Pearsall. Interpreting music durationally: a set-theory approach to rhythm. Perspectives of New Music, 35(1):205–230, invierno de 1997. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38–61, 1983. [Pér86] Rolando A. Pérez. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Habana, 1986. [Pér90] Rolando A. Pérez. La música afromestiza mexicana. Universidad Veracruzana, Veracruz, 1990. [Qui13] María Quintanilla. Análisis de Garrit gallus, de Philippe de Vitry. http://mariaquintanilla.wordpress.com/2012/11/25/analisis-de-garrit-gallus-de-philippe-de-vitry/, consultado en julio de 2013. [Ran86] D. (editor) Randel. The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, Londres, 1986. [Rob90] James Robbins. Review: La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Ethnomusicology, 34(1):137–139, invierno de 1990. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, España, 23-27 de julio de 2003.
Sábado, 31 de Agosto de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
El mes pasado propusimos al lector un paseo de la belleza en que se asociaban fórmulas matemáticas a música tomada de la tradición clásica. Nos quedó la preocupación de que el lector obtuviese la impresión de que asociamos la belleza a la música clásica de manera exclusiva. Este mes presentamos un paseo similar, pero ahora la música está tomada de la lista de patrimonio intangible de la UNESCO. De nuevo, otros paseos son posibles. Nuestro único deseo es que el lector esté en contacto con la belleza, que tanta comprensión del mundo nos proporciona. PINCHAR EN LA IMAGEN PARA ACCEDER A LA PRESENTACIÓN Nota: El fondo de la presentación es una foto sin derechos intelectuales de la NASA. Se trata de la nebulosa Rossette. La información completa sobre la foto se puede encontrar aquí.
Lunes, 17 de Junio de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Este mes hemos explorado el asunto de las características comunes entre las matemáticas y la música. Hemos vuelto al origen: la belleza. En la presentación que hemos confeccionado damos un paseo conjunto por las matemáticas -por vía de sus  fórmulas- y por la música -por vía de ciertas obras-. Esperemos que el lector disfrute. Somos conscientes de que existen otros paseos y proponemos este con total humildad, a modo de ejemplo e inspiración. PINCHAR EN LA IMAGEN PARA ACCEDER A LA PRESENTACIÓN Nota: El fondo de la presentación es una foto sin derechos intelectuales de la NASA. Se trata de la nebulosa Rossette. La información completa sobre la foto se puede encontrar aquí.
Miércoles, 15 de Mayo de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Manuel Tizón Díaz y Paco Gómez Martín
En marzo pasado empezamos la publicación de una serie de artículos en la que nos propusimos investigar el aprendizaje por indagación aplicado tanto a las matemáticas como a la música. En el primer artículo de la serie examinamos cómo es el aprendizaje por indagación en las matemáticas. Ahora es el turno de la música, donde, en apariencia, este método no está tan extendido. Para la segunda parte de la serie, la que se centra en la música, tengo el honor de contar con Manuel Tizón Díaz como coautor, quien es licenciado en Guitarra, Musicología, Composición y Pedagogía; también ha hecho un máster en Creación e Interpretación Musical en la Universidad Rey Juan Carlos. Él, sin duda, a partir de su experiencia, enriquecerá el artículo como se merece el tema. 1. Introducción Al contrario que en el mundo de las matemáticas, donde los métodos de aprendizaje por indagación gozan de cierta popularidad, en el mundo de la música estos parecen no haberse implantado. En la enseñanza de las matemáticas se encuentran relativamente bien documentados: el método Moore se puso en práctica en los años 70 ([Fou]); un buen número de universidades importantes usan diversas formas del aprendizaje por indagación desde hace años (piénsese en la Universidad de Texas o McMaster University, entre otras); conceptualmente, la cantidad de investigación en este momento es ya considerable (véanse [BB08], [BUSP10], [LeFl12] y sus referencias); existen muchas variantes de este tipo de aprendizaje, como el aprendizaje basado en problemas o el aprendizaje basado en proyectos; en los congresos de pedagogía matemática tiene presencia constante en las ponencias; e incluso existe una revista, Journal of Inquiry-Based Learning in Mathematics, donde profesores que siguen este método envían su material, y tras la correspondiente revisión, se publica y se pone a disposición de otros practicantes del método. En el campo de la música, aunque existen algunas notables experiencias, el aprendizaje por indagación no es el método preferido para la enseñanza de la música. En España, hasta lo que alcanza nuestro leal conocimiento, siempre perfectible, no tenemos noticia de experiencias docentes que usen el aprendizaje por indagación en los conservatorios. ¿Es la explicación de este hecho el que el aprendizaje por indagación sea un método propio de las ciencias eminentemente deductivas -por ejemplo, las matemáticas, la física, la química o la computación-? Seguramente, el lector se habrá sonreído -quizás con recelo- ante la falacia implícita en la pregunta anterior (falacia que, por otra parte, está más extendida de lo que se piensa). ¿O acaso no hay deducción en las artes y las ciencias sociales? Por supuesto, la hay. Tienen sus propias formas de razonamiento, en ocasiones distintas de las formas de las ciencias puras, pero igualmente válidas. Por tanto, es perfectamente factible el aprendizaje por indagación en las artes y, en particular, en la música. En este artículo revisaremos la bibliografía más relevante sobre el aprendizaje por indagación en la música y argumentaremos que es viable usar este método en su enseñanza. Para ilustrar las posibilidades reales del método, desarrollaremos una clase de la asignatura de Armonía y para finalizar haremos un análisis crítico del método en la sección de conclusiones. 2. El aprendizaje por indagación en la música En su excelente artículo [Spro13], Rachel Spronken-Schmidt analiza la bibliografía más relevante sobre el aprendizaje por indagación (hasta 2009, fecha de su publicación) y aborda unas cuantas cuestiones teóricas de interés. La primera de ellas es la simple pregunta de qué es el aprendizaje por indagación. Apoyándose en el trabajo de Prince y Felder [PrFe06], esta autora caracteriza primero el aprendizaje inductivo, del cual el aprendizaje por indagación es un caso particular. Esa caracterización del aprendizaje inductivo es la siguiente (página 2): Es un aprendizaje centrado en el alumno, esto es, el método se concentra en el proceso de aprendizaje del alumno y no en la comunicación, más o menos eficaz, de un cuerpo definido de conocimiento. Es un aprendizaje centrado en la acción; el alumno aprende discutiendo cuestiones, resolviendo problemas, emprendiendo proyectos, siempre por algo que lo implique activamente. Es un aprendizaje que requiere del alumno asumir la responsabilidad de su propio aprendizaje. Desde el punto de vista teórico, es un método constructivista (véase [Brun90]), donde los alumnos construyen su propio conocimiento en lugar de que les sea transmitido por vía de un método en que ellos son sujetos pasivos. Tras discutir las definiciones de varios autores, Spronken-Schmidt propone un núcleo común de características que podría definir el aprendizaje por indagación: Es un aprendizaje regido por la indagación, esto es, parte de una cuestión a la que el alumno ha de dar respuesta, y aquí respuesta no significa solución cerrada e inmutable. Es un aprendizaje basado en la comprensión y en la búsqueda de conocimiento. Es un método en el que el profesor actúa de favorecedor del aprendizaje en lugar de ser transmisor de conocimiento. El ritmo de aprendizaje no lo marca el profesor o la longitud del temario, como ocurre en la clase magistral tradicional, sino que es el alumno, en función de cómo se enfrente a los problemas propuestos, quien define ese ritmo. Es un método en el que los alumnos controlan su aprendizaje, con toda la carga de autorreflexión que ello conlleva. Es un método de aprendizaje activo. Otro autor, Jamie Wood, presenta un estudio [Wood10] en el cual analiza las experiencias docentes usando el aprendizaje por indagación en las disciplinas artísticas y de humanidades en la Universidad de Sheffield. Wood hace una relación de cursos impartidos con este método, entre los que se cuentan arqueología, inglés, historia, español, filosofía y música. Muy interesante en esta experiencia es el hecho de que hay una evaluación conjunta de todos los cursos, evaluación que permite comparar cómo funciona el método en distintas disciplinas. Los resultados el método se midieron en términos de los resultados en: (1) destrezas y conocimiento; (2) desarrollo personal y social; (3) e implicación en la asignatura (véase la sección 3.6 de dicho artículo). Los resultados fueron satisfactorios y constituyen una prueba tangible de que es posible utilizar el aprendizaje por indagación en otras disciplinas distintas a las ciencias puras. De hecho, hay una razón poderosa que trasciende el carácter deductivo de una disciplina como condición para usar el aprendizaje por indagación, y esa razón es la indagación en sí misma. La indagación es una actitud, la actitud de enfrentarse a una pregunta relevante y provocadora, que no tiene una respuesta fija y correcta en todos los sentidos, una pregunta que requiere del alumno que ponga sus recursos mentales en funcionamiento, una pregunta que lo desafíe intelectualmente, que despierte su curiosidad por saber. Obviamente, esa pregunta se puede hacer en cualquier disciplina, incluida la música. Solo hace falta un profesor (un favorecedor) que plantee las preguntas correctas y que cree el ambiente adecuado para esa indagación. En el estudio de Wood se da especial importancia al diseño de las preguntas y al aspecto social del método (en esta experiencia todo el trabajo fue colaborativo y era crucial crear buenas dinámicas de grupo eficaces). Por último, atendiendo explícitamente a las experiencias de aprendizaje por indagación en música, tenemos el libro en línea de Catherine Schmidt-Jones, con el sugestivo título Music inquiry [Schm]. Es una verdadera guía para diseñar un curso de música usando aprendizaje por indagación. Schmidt-Jones hace un énfasis tremendo en la elección de las preguntas indagatorias. He aquí sus consejos al respecto: La pregunta indagatoria deber ser provocadora. Si no lo es, el alumno no tendrá ningún aliciente para implicarse. La pregunta debe estar dentro de las posibilidades intelectuales del alumno. Si es demasiado fácil, se aburrirá; si es demasiado difícil, lo frustará. Tiene que tener el grado justo de dificultad, grado que siempre es complejo de evaluar. La pregunta tiene que llevar al alumno a adquirir un mayor entendimiento y aumentar sus conocimientos, es decir, tiene que ser una pregunta de cierta profundidad. Una pregunta superficial solo obtendrá respuesta de igual clase. La pregunta tiene que interesar al alumno; tiene que tener el suficiente número de aristas para que el alumno quiera contestarla. La autora apunta a otro aspecto que nos parece muy relevante en la enseñanza musical: el cultural. La música no se puede entender en su totalidad ni con profundidad sin la dimensión cultural. Entender los aspectos culturales de la música está al alcance de un lego y se puede utilizar este hecho para crear preguntas indagatorias con un fuerte atractivo. En la clase que desarrollaremos más adelante, en la sección 3, este aspecto será fundamental. Como sugerencia de pregunta indagatoria, Schmidt-Jones propone (sección 4.1) la escucha de música de tradiciones musicales con las que el alumno no esté familiarizado. Estas tradiciones pueden ser músicas de otras culturas o música de su propia cultura, pero de una época pasada y que desconozca. De nuevo, nosotros usaremos esta idea en el desarrollo de nuestra clase. Por su naturaleza, la música da lugar a que el alumno participe quizás más que en otras materias. No nos podemos imaginar una clase de música en que no se cante o se toque la música de la que se discute. La prueba más fehaciente, el argumento más contundente, que se puede aportar en el caso de una discusión musical es siempre la música misma. En la sección 4.2 Schmidt-Jones presenta varias sugerencias de preguntas indagatorias en el contexto de la crítica musical (y que, de nuevo, nosotros usaremos en la prometida clase de armonía). Por último, en el apartado de teoría de la música, esta autora propone un módulo de armonía. Como preguntas generales da la siguiente lista: ¿Cómo ayuda la armonía a crear el carácter en esta pieza? ¿Cómo es la armonía que pertenece a un estilo particular de música? ¿Cómo es la armonía que hace que esta pieza suena diferente de esta otra, a pesar de que ambas pertenecen al mismo estilo? ¿Cómo se crean cadencias efectivas? ¿Cómo crea la armonía interés y variedad? ¿Cómo crea la armonía un sentido de familiaridad y predictibilidad? ¿Cómo apoya e interactúa la armonía con la melodía, el ritmo, la forma u otros aspectos de la música? ¿Cómo se crean cambios de tonalidad que no sean bruscos? ¿Es esta música tonal, modal, diatónica, cromática, atonal? A estas alturas parece demostrado que es posible usar el aprendizaje por indagación para impartir un curso de música. Si el arranque del aprendizaje por indagación son las preguntas, creemos haber demostrado que la creación de tales preguntas es factible en la música. Por completitud, vamos a desarrollar en la sección siguiente un tema de un curso de armonía. 3. Una propuesta en la asignatura de Armonía 3.1 Contexto de la asignatura Si el aprendizaje de indagación se basa en la idea de construir el conocimiento a través de la experiencia, en nuestro caso esto significa que la música ha de vivirse a través de la escucha. Es por ello que no entendemos el aprendizaje de la armonía sin la participación activa de la propia música, sonante, orgánica, y compuesta y ejecutada por los alumnos. Sin duda, la contextualización histórico-compositiva nos ayudará a entender y a sentir la música de manera más intensa e informada, pero es ante todo el propio objeto sonoro el que nos servirá de punto de partida. La partitura es una herramienta fundamental para llevar a cabo el aprendizaje de esta materia, pero hay que dejar claro que esa representación no es la música en sí misma. El tipo de aprendizaje que proponemos nos acerca a la idea de un aprendizaje activo; por ello, la música -y por tanto, el oyente- han de ser elementos activos y preponderantes. Rechazamos, pues, la armonía de mesa, la armonía calculada sobre la partitura, a lo sumo cantada en la cabeza, la armonía que observa las reglas sobre el papel. Hemos decidido abordar una asignatura -la armonía- que sinceramente creemos que necesita enfoques pedagógicos más en consonancia con el siglo XXI. La mayor parte del alumnado que estudia y realiza armonía, lo hace en el escritorio, y a pesar de que algunos profesores insisten en la necesidad de tocar los ejercicios, la mayor parte de ellos no hacen una contextualización y conceptualización previas. ¿Para qué va a tocar un alumno sus ejercicios si no tiene un criterio estilístico? ¿Acaso creemos que el alumno va a sentir como mal sonantes unas quintas seguidas? A raíz de esta pregunta surgen las eternas dudas de los desinformados alumnos. ¿Por qué no puedo hacer quintas si suenan genial? ¿Por qué el profesor me dice que no haga octavas si en la obra de Chopin que estoy tocando aparecen octavas en la mano izquierda? -piensa el ofuscado alumno-. Con respecto a la primera cuestión, los alumnos viven en una sociedad cuya música está llena de quintas; basta oír con atención la música pop y rock. Por otro lado, hay que admitir que las quintas y octavas objetivamente suenan agradables al oído por una cuestión puramente acústica. Por consiguiente, es necesario hacer una contextualización a través de la escucha y el análisis. Esta contextualización es necesaria para entender qué es lo que se persigue con estas consabidas prohibiciones. Será necesario escuchar con los alumnos obras del barroco en contraste con obras de periodos musicales anteriores. Claramente, una de las características de esas épocas es la sonoridad de quintas y octavas, que en esta nueva etapa histórica se evita a toda costa. La música medieval trae consigo una sonoridad espléndida, que nos hace viajar a otra época, pero que nada tiene que ver con lo que buscan los profesores de armonía en el plan de estudios de grado medio: la armonía tonal. Con este concepto adquirido a través de la experiencia, la pregunta de por qué Chopin hace octavas se resolvería por sí sola. Contextualizando, el alumno comprenderá el porqué de las normas y, además, sabrá qué impacto van a tener en la escucha. Aquellos profesores que siguen enseñando armonía sin abordarla a través de una escucha consciente la convierten en un artificio formalista, sin una conexión telúrica con el sonido. No pretendemos, pues, seguir fomentando la armonía de mesa, creemos mucho más interesante hacer música, y sobre todo, aprender armonía desde la propia experiencia y el análisis. Es Johann Sebastian Bach quien sirve de ejemplo en las leyes esenciales de la armonía tonal y el contrapunto. El clave bien temperado [Bach] es una obra de referencia, el cual incluye un preludio y una fuga en todas las tonalidades posibles. Su proporción y contrapunto es el paradigma de la síntesis de la musicalidad, la armonía y el contrapunto. Pero sin duda, su colección de corales es un fantástico aliado para encontrar el equilibrio armónico y contrapuntístico que buscamos en la armonía tonal. Contemporáneo de Bach en esta época, prácticamente del mismo año de El clave bien temperado pero alejado de su estilo, encontramos el famoso tratado de armonía de Rameau [Rame]. Un tratado que no sólo examina el funcionamiento del acorde como un fin en sí mismo, sino también como acompañante al canto o como elemento añadido a la composición musical. Podríamos mencionar otros compositores que han acrecentado el conocimiento armónico, pero creemos que sería redundante para nuestro propósito. Con respecto al curso al que daremos la clase, hemos escogido 3º de Grado Medio del plan actual de estudios para llevar a cabo esta propuesta. Nos atrae profundamente la idea de realizar otra propuesta para la asignatura de armonía de grado superior y es probable, por tanto, que en próximas publicaciones abordemos este tema. La clase que hemos escogido para este proyecto estará ubicada ya mediado el curso. Por tanto, el alumno ya estará familiarizado con la sonoridad que buscamos en las tríadas. Recordemos que rechazamos la sonoridad de épocas más antiguas al Barroco, como quintas y octavas seguidas, acordes sin tercera, etc. Nuestro alumno también conocerá los criterios básicos que rigen la tesitura de las voces y la formación de las mismas porque lo habríamos trabajado desde el inicio del curso. Hay que matizar que el alumno seguirá aprendiendo lo referente al movimiento de las voces, ya que las habilidades adquiridas se amplían y revisan permanentemente. 3.2 Descripción de la clase La pregunta de indagación con la que abriríamos la clase es la siguiente: Dados los dos acordes siguientes, ¿cómo los enlazarías? ¿Qué conducción de voces usarías para enlazarlos con musicalidad? Describe explícitamente los criterios que has usado. ¿Hay solo una conducción de voces posible? Describe las distintas soluciones posibles en su contexto musical. Como puede ver el lector, en esta sesión (compuesta por un número indeterminado de clases) pretendemos que el alumno aprenda las normas que rigen el movimiento de dos notas del acorde de dominante: la sensible (como repaso y ampliación) y la séptima. Oíremos las soluciones dadas por los alumnos, tocadas por ellos mismos y analizadas también por ellos mismos. En el transcurso de la discusión se irá forjando el entendimiento de la séptima desde un punto de vista conceptual, es decir, los alumnos responderán -con la ayuda del profesor como favorecedor- a la pregunta de cómo se forma una séptima. A partir de aquí, el profesor preguntará qué acordes llevan séptima en ciertos ejemplos y de esta manera, se encaminará el aprendizaje hacia una nueva meta: la séptima en la dominante. En los siguientes ejemplos musicales (figura 1) se muestra el comportamiento más "escolástico" de los enlaces de la dominante con 7ª con el primer grado. Los hemos hecho en una tonalidad cómoda para entender el funcionamiento (do mayor). No obstante, hemos incluido algún ejemplo en la menor por ser una tonalidad menor y afín a do mayor (relativo menor). En este tipo de enlaces no es demasiado importante que el enlace sea al primer grado mayor o a su homónimo menor. En estos enlaces "académicos", tanto la sensible, como la séptima, tienen un comportamiento estándar: la sensible se ve atraída por el semitono ascendente que conduce a la tónica, y la tensión de la séptima se rebaja descendiendo. Hemos incluido un contraejemplo, que aún no siendo erróneo, contrasta con ejemplos anteriores; además, serían posibles otras resoluciones más ortodoxas. Como en estos ejemplos, no hemos visto las resoluciones menos académicas, este contraejemplo es totalmente válido. Figura 1: Ejemplos más comunes En el siguiente punto se abordará lo referente a cómo se comporta la séptima y la sensible (esta última de repaso y ampliación de casos). En los conspicuos tratados de armonía, nos insisten en la obligación que tiene cada nota de resolver en un lugar determinado (sensible que asciende y séptima que desciende), pero también nos advierten de las excepciones que pueden darse en alguna de sus notas (duplicaciones y resolución en otra nota del acorde). La realidad es que el comportamiento de estas dos notas depende de múltiples factores, como la musicalidad, voces intermedias que justifican el movimiento, el fenómeno físico-armónico o giros de armonía o melodía específicos. Por tanto, el alumno va a indagar a través de ejemplos musicales cuál es el comportamiento de estas notas. Será la diferencia entre conocer las normas y saber como funciona la música. Tenemos que ser conscientes de los problemas que nos encontraremos aplicando este método. Uno de los más comunes es la incertidumbre que el alumno encuentra a la hora de enfrentarse a su responsabilidad en el proceso de aprendizaje. Por un lado, este problema emerge del modelo instruccionista en el que está circunscrito el propio alumno, y por otro, por la tendencia fisiológica a la ignorancia del ser humano [Tort08] (página 27) . Con respecto a este segundo punto, cabe decir que el aprendizaje por indagación consume mucha energía, tanto para el aprendiente (alumno) como para el favorecedor (profesor); por esta razón, tendremos que luchar aún más contra esa tendencia al mínimo esfuerzo. Para llevar a cabo este aprendizaje por indagación de la sensible y la séptima del acorde de dominante en el enlace con el primer grado y sexto (V-I ó V-VI) es necesario contrastar con ejemplos tonales reales. Plantearemos a los alumnos el análisis de ejemplos extraídos de los corales de J.S.Bach [Bach-a]. Hay algunos enlaces que son menos comunes o se dan por medio de notas de paso; no obstante, nosotros los hemos expuesto como enlaces viables (nos referimos sobre todo a algunos enlaces V-VI de los ejemplos; véase figura 4). Para otros ejemplos, hemos recurrido a tres tratados de armonía: el de Piston [Pist12], Schonbërg [Scho90] y Zamacois [Zama11]. Para el estudio de los ejemplos se entregará a los alumnos en partitura y en MIDI (piano) ejemplos de encadenamiento dominante-tónica en estado fundamental e inversiones. En la primera parte de esta serie de clases se estudiaran los ejemplos más comunes y "escolásticos", es decir, la tensión de la séptima se relaja descendiendo y la sensible, por proximidad, asciende. Los ejemplos se tocarán en la clase y el alumno deberá tocarlo en casa o escucharlo en MIDI (preferible tocarlo al piano). Al final de estos ejemplos habrá un contraejemplo para que los alumnos puedan contrastar con un enlace erróneo. Estos ejemplos serán dados en la clase para hacer una pequeña explicación y una escucha colectiva de los enlaces. En esta explicación se recordarán experiencias anteriores con la sensible y se les dirá a los alumnos que el quinto grado de una tonalidad puede ser ampliado de tríada a tétrada añadiendo una tercera más, la séptima. Estos ejemplos se los llevarán a casa para examinar los enlaces. Se propondrán a los alumnos un ejercicio de armonización en que, dados un bajo y unas posiciones concretas, han de poner séptimas de dominantes. Se puede ver un ejemplo en la figura 2. Figura 2: Ejercicio de dominantes (I) El siguiente bloque comenzará con la misma pregunta pero otros ejemplos: Dados los dos acordes siguientes, ¿cómo los enlazarías? ¿Qué conducción de voces usarías para enlazarlos con musicalidad? Describe explícitamente los criterios que has usado. ¿Hay solo una conducción de voces posible? Describe las distintas soluciones posibles en su contexto musical. En este punto se abrirá un diálogo entre los alumnos. El profesor empezará a escribir en la pizarra las características que dicen los alumnos ver en esas notas, especialmente en la séptima. La sensible nos servirá de repaso y dependiendo del grado de asimilación que han tenido los alumnos en referencia a esta nota anotaremos las características o no. Después de este diálogo se estudiarán en clase las características que los alumnos han mencionado para ordenarlas u organizarlas. Establecer normas de comportamiento de la séptima y la sensible en estos ejemplos será tarea sencilla porque en estos ejemplos las notas conducen siempre al mismo lugar a excepción del contraejemplo que les servirá para contrastar. Se discutirá con el alumno la posibilidad de que la resolución sea en un acorde incompleto y en qué casos sería esta situación musicalmente aceptable. Los enlaces que mayor problema pueden dar con respecto al concepto que un alumno ha desarrollado en los ejemplos anteriores, es -entre otros- el quinto grado con séptima en estado fundamental y sin suprimir ninguna nota del acorde (sol, si, re, fa, en do mayor) que enlaza con el acorde de tónica completo en estado fundamental y duplicando la tónica. En los siguientes ejemplos se trata esta problemática. En el caso I, la sensible no resuelve directamente en la tónica, pero si lo hace la voz superior, dando un resultado totalmente resolutorio; lo mismo ocurre con el caso II, III y V. En el caso IV, resulta excepcional que la sensible (sol#) no resuelva en la tónica. Sin embago, sí lo hace el poderoso armónico primero del la del bajo, dando una vez más, un resultado satisfactorio. El caso V es realmente excepcional. Zamacois pone este caso como viable para evitar la duplicación del bajo en esta primera inversión de la tónica. Es bastante claro, que entre el tenor y soprano se producen unas quintas seguidas. Por un lado, están justificadas por la musicalidad del movimiento ascendente del soprano, y por otro, estas quintas no están entre voces extremas, atenuando así el efecto de organum de quinta. En este caso, podemos ver como la séptima, excepcionalmente, puede no descender. En este grupo de ilustraciones, también hemos incluido un contraejemplo. Este enlace no se justifica ni por el fenómeno físico-armónico ni por la musicalidad. Con respecto a las cadencias rotas, hemos incluido ejemplos de duplicación de la tercera, ya que es un enlace común y viable -recordemos que la tercera del sexto grado es el primer grado de la tonalidad-. Además de facilitar la unión con el acorde de séptima de dominante, otorga un contrapunto excelente (dos voces ascienden y otras dos descienden y además ambas se conducen por intervalos de tercera o sexta). Hemos incluido ejemplos poco frecuentes pero viables y un contraejemplo, que además de contrastar con los ejemplos anteriores, no cumple ni con la resolución correcta de la séptima ni con la musicalidad. Figura 3: Ejemplos de enlaces excepcionales Figura 4: Ejemplos de enlaces en cadencias rotas Posteriormente, el profesor les dará a los alumnos un bajo dado, para que completen con la armonía que hemos trabajado. Habrá flechas en los puntos donde el alumno tiene que poner una séptima de dominante. Figura 5: Ejercicio de dominantes (II) La siguiente clase comenzará con un breve repaso de las características vistas en la anterior clase. Más tarde se tocarán los ejercicios en el piano. Se harán a dos manos y nunca por el que ha compuesto el ejercicio. Esto último se hace por dos razones: (1) para que el alumno preste atención a la escucha "desde fuera" y, por tanto, centrándose en la escucha; y (2) porque creemos que esto puede ser motivador para el alumno que ha realizado el ejercicio. Hemos contemplado la idea de tocar el ejercicio con los propios instrumentos de los alumnos, pero creemos que esto puede ralentizar el proceso de escucha y podemos encontrarnos con dos instrumentos dispares en volumen, amenazando la búsqueda de equilibrio que buscamos en estos ejercicios. Después de esta escucha se les pedirá consejo y justificación a los compañeros para que critiquen y valoren el ejercicio de armonía. Haríamos las siguientes preguntas: ¿Qué cualidades positivas tiene este ejercicio? ¿Qué encadenamientos no encajan con lo que buscamos? Critica la sonoridad resultante. Se procurará que todos los alumnos contribuyan en la resolución de los ejercicios y que ninguno se quede atrás en este proceso. Si esto comenzara a ocurrir se prestaría especial atención a este alumno para que explique cuáles son las características que discutimos en clase. La segunda fase de esta sesión se centrará en los enlaces excepcionales. Es importante dejar claro que el término excepcional no quiere decir poco frecuente, ya que son muy comunes en los corales de Bach. En este punto el alumno tendrá que echar mano de los conocimientos previos trabajados en clases anteriores, como el fenómeno físico-armónico, sonoridad de los acordes completos e incompletos, duplicaciones, etc.; todo ello, para justificar los ejemplos de enlaces excepcionales. Además, incluiremos los enlaces V-VI, tanto los sujetos a las normas básicas como los otros. Los hemos incluido en esta segunda sesión para dividir la materia de manera equilibrada. En esta segunda fase, habrá otro bajo dado para hacer en casa, ya con cadencias rotas y con la posibilidad por parte del alumnado de realizar enlaces excepcionales. Ahora el alumno tendrá más herramientas para realizar los enlaces correctamente. Las normas de la conducción de voces son muy complejas porque como dijimos anteriormente dependen de múltiples factores, donde el resultado sonoro es nuestra mejor arma. Después de haber llevado los ejemplos a casa y haberlos analizado, las preguntas de la segunda fase de la clase serán las siguientes: ¿cuáles son las excepciones de la sensible y la séptima en los enlaces? ¿podrías justificar estas excepciones? Se volverá a abrir un debate encaminado a cualificar y justificar las excepciones en los enlaces. En esta segunda fase de la clase es interesante observar el empleo de la resolución excepcional de la sensible, que no enlaza con la tónica de manera directa, sino que a veces lo hace indirectamente, es decir, con el primer (y evidente) armónico que produce el bajo, mientras otras lo hace otra voz, con resultados de carácter resolutorio. El método de la clase será el mismo, diálogo entre los alumnos y posteriormente se escribirá una lista de excepciones mencionadas por los alumnos y escritas en el encerado. Posteriormente a esta clase se corregirán los ejercicios con el mismo método, tocando los ejercicios a cuatro manos y analizando qué enlaces se pueden justificar con lo aprendido y cuáles no. La clase terminará con un resumen explicado por los propios alumnos que intentará además sacar una conclusión profunda del comportamiento de estas dos notas. Será la diferencia entre saber las reglas y saber cómo funcionan estas notas. Es necesario apuntar, que el cronograma de estas clases es relativo. Los libros de aprendizaje por indagación nos advierten de que cada clase tiene un ritmo diferente (sobre todo la cantidad y cualidad de los alumnos), por lo que tendremos que adaptarnos a ella. Por tanto, la secuenciación es totalmente orientativa. 3.3 Evaluación Los criterios de evaluación medirán varios factores: la adquisición del conocimiento, la propia construcción del conocimiento por parte del alumno, el desarrollo del sentido crítico, la actitud de colaboración y el hábito de trabajo. En la adquisición de conocimiento se evaluará la capacidad para realizar correctamente el enlace de V-I (o VI) prestando especial atención a la séptima y sensible. La participación en las clases y el entusiasmo mostrado servirá para determinar cómo ha ido el alumno construyendo el conocimiento propuesto en clase. Este es uno de los aspectos más importantes y, a la vez, más difícil de estimar. De igual relieve es la autocrítica y la crítica hacia los compañeros. Uno de los puntos importantes en el aprendizaje por indagación es conseguir el equilibrio entre las críticas de un compañero en el emisor y receptor. Es vital aprender de las críticas y de la misma manera es importante saber hacer las críticas, particularmente por medio de la justificación. Con respecto al emisor, también es primordial reforzar las críticas con estímulo positivo hacia sus compañeros. Como en estas clases emplearemos la colaboración entre los compañeros, este punto es esencial. 4. Conclusiones En la tesis doctoral de Sheila Scott [Scot09] se investiga el aprendizaje por indagación en contexto colaborativo en la enseñanza de la música en el ámbito de la educación primaria. Sus conclusiones son reveladoras y se aplican en su totalidad al caso que nos ocupa a pesar de las diferencias entre el mundo anglosajón, donde tuvo lugar el estudio, y nuestro entorno. El aprendizaje por indagación en la enseñanza de la música es posible, pero está lleno de dificultades de todo tipo -que ya reflejamos en el artículo anterior-: . En primer lugar, está el instruccionismo, término acuñado por Papert [Pape93], y que se define como una visión del conocimiento como una colección de hechos y procedimientos que se imparten a los alumnos de manera controlada, siempre a través de la figura del profesor, y donde la evaluación numérica de los resultados es importante. Muchos profesores en este país abrazan este método de enseñanza y no están dispuestos a cambiar a otro que, en principio, supone más riesgo, más trabajo y menos control. Incomprensión por parte de los colegas. Es realmente difícil cambiar un método de enseñanza si el entorno en su mayoría no lo hace. Los problemas que surgen son de todo tipo. Un cambio de concepto de este calibre exige una acción conjunta. Si solo un profesor de armonía enseña con este método, tendrá que ser consciente de todos los escollos que puedan surgir. Falta de preparación. Este problema es grave. Hay poca información y el profesor que se lanza a esta aventura sabe que tendrá que diseñar material casi desde cero. Pero ¿no consiste en eso el trabajo de un profesor? ¿No es incluso más fascinante crear tu propio material en lugar de apoyarte en el de otro? ¿No es emocionante abrir camino de este modo? Inseguridad emocional. Con este tipo de métodos, donde el trabajo sobre el alumno es muy profundo, hay momentos en que aparece la inseguridad emocional. Hay que estar preparado para controlarla. Para finalizar, tenemos la esperanza de haber abierto una pequeña rendija a la posibilidad de enseñar música con este método. Insistimos, somos conscientes de las dificultades, pero también de que hay profesores de música que tienen la sensibilidad suficiente para intentar ese cambio.   Bibliografía [Bach] Bach, J.S. El Clave bien Temperado (edición original). Wiener Urtext. 2011. [Bach-a] Bach, J. S. ( Albert Riemnschneider, editor). 371 Harmonized Chorales and 69 Chorale Melodies with Figured Bass. G. Schirmer, Inc. 1986. [BB08] H. Banchi and R. Bell. The Many Levels of Inquiry. The Learning Centre of the NSTA, 2008. [Brun90] Bruner, J. Acts of Meaning. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 1990. [BUSP10] Bell, T., Urhahne, D., Schanze, S., and Ploetzner, R. 2010. 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Lunes, 22 de Abril de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la tercera y última entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas. Hemos usado como fuente de inspiración el libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica). En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). En la segunda entrega, estudiamos a fondo el concepto de distribución de máxima regularidad. En el libro de Johnson se explica a partir de una definición enumerativa y nosotros presentamos una definición basada en el algoritmo de Euclides. En esta última entrega, vamos a aplicar todo lo anterior a la generación de escalas y acordes de máxima regularidad. Aunque recordaremos conceptos y notaciones, en este artículo se dará por sentado que el lector está familiarizado con el contenido de las dos anteriores entregas. 2. Distribuciones regulares de notas en los 12 semitonos de la octava Empezamos fijando la octava y dividiéndola en 12 semitonos. Estudiaremos las distribuciones regulares para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 notas en una octava. 2.1. Distribuciones de 3 notas Estas distribuciones corresponden a las habituales triadas en música. Aunque es obvia la distribución más regular de 3 notas sobre 12 notas, por completitud, aplicaremos el algoritmo de Euclides para hallarla (consúltese la entrega de enero en caso de duda). Como hemos hecho hasta ahora, las notas se designan por unos y los semitonos sin notas por ceros. Figura 1: Distribución regular para triadas. Esta distribución corresponde a la serie [x . . . x . . . x . . ], o escrito en notas a do-mi-sol# (si tomamos do como nota base). Estamos ante una triada aumentada, un acorde con dos terceras mayores encadenadas, que hace que la quinta esté aumentada en medio tono. En principio, este acorde no aparece de manera natural en la escala diatónica. Sin embargo, su uso en la música de la práctica común es corriente, especialmente para crear tensión o suspense musical. Bach, por ejemplo, recurre a la triada aumentada en Ach Gott, vom Himmel sieh darein, BWV 2 (¡Oh, Dios, míranos desde el cielo), así como otros compositores tales como Haydn (en su cuartetos para cuerda), Beethoven (en la novena sinfonía), Brahms, Schubert, Listz o Wagner. Durante el Romanticismo, en que la modulación por terceras se vuelve habitual, este triada se emplea como acorde paso. 2.2. Distribuciones de 4 notas Las distribuciones de 4 notas dan acordes de séptima de dominante. Figura 2: Distribuciones regulares para acordes de cuatro notas. El acorde tiene la forma [x . . x . . x . . x . . ], o traducido a notas, do-mib-fa#-sib. Este acorde recibe el nombre de acorde de séptima disminuida, y está compuesto por 4 terceras menores consecutivas. Durante buena parte del periodo de la práctica común este acorde, debido a su simetría y a la presencia de la quinta disminuida, se consideró disonante e inestable desde el punto de la estabilidad tonal. Posteriormente, este acorde se incorporó al vocabulario de la armonía moderna. Bach lo usa, por ejemplo, en su Tocata y fuga en re menor, en varios momentos, pero es llamativo en la introducción con ese acorde disminuido do#-mi-sol-sib, que escala a lo largo de dos octavas, majestuoso, premonitorio, sobre un pedal de la tónica re, y al que sigue un pasaje en prestissimo que son arpegiaciones de ese mismo acorde (minutos 0:00 a 0:48 en el vídeo de abajo). Vídeo de la Tocata y fuga en re menor BWV 565, de Bach. En la música popular o en el jazz este acorde aparecen en progresiones de acordes; por ejemplo, en la legendaria pieza I got rhythm, de los hermanos Gershwin. 2.3. Distribuciones de 5 notas En este punto abandonamos el mundo de los acordes y nos introducimos en el de las escalas. La mayoría de los acordes se forman con 3 o 4 notas; a partir de 5 notas se considera que la distribución corresponde a una escala. Las distribuciones de 5 notas dan escalas pentatónicas. Figura 3: Distribución regular para las escalas pentatónicas. La escala resultante es [x . . x . x . . x . x . ], o expresado en notas, do-mib-fa-lab-sib. Como vimos en el artículo del mes pasado, la rotación de una distribución regular de notas conserva esta propiedad. De modo que, en realidad, tenemos cinco escalas resultantes; las mostramos en la siguiente tabla: Nombre Notas Sucesión de distancias Pentatónica menor do-mib-fa-sol-sib-do (32232) Pentatónica mayor do-re-mi-sol-la-do (22323) Escala egipcia (u otras) do-re-fa-sol-sib-do (23232) Blues menor do-mib-fa-lab-sib-do (32322) Blues mayor do-re-fa-sol-la-do (23223) Tabla 1: Escalas pentatónicas obtenidas por distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 6 notas La escala de 6 notas dan una única escala, que exhibe una simetría muy aguda, la escala de tonos enteros. Como 6 es divisor de 12, la distribución regular es [x . x . x . x . x . x .],o escrita en notas do-re-mi-fa#-sol#-la#. Esta escala es peculiar porque no tiene nota sensible ni quinta justa, por lo que muchas de sus funciones armónicas han desaparecido. Compositores clásicos y de jazz han usado esta escala puntualmente para dar color orquestal o para transmitir sentimientos oscuros. Los nacionalistas rusos -Borodin y Glinka-, los impresionistas -Debussy- y las vanguardias de principio del siglo XX -Alban Berg- emplearon esta escala en sus obras. John Coltrane en el jazz recurrió a esta escala. 2.2. Distribuciones de 7 notas Una elección de 7 notas sobre los 12 semitonos de una octava da una escala heptatónica, las cuales forman la base de la música de muchas culturas. Figura 4: Distribuciones regulares de 7 notas. La escala obtenida es [x . x x . x . x x . x .]. De nuevo, tenemos que considerar todas las rotaciones de esta escala, que siguen siendo distribuciones regulares. La escala más usada, al menos en Occidente, es la escala mayor. Las rotaciones de esta escala reciben el nombre de modos. Musicalmente, cada modo tiene sus características y su sabor. Consideraremos las rotaciones a partir de la escala mayor, que se llama modo jónico. En la tabla de abajo 2 significa un tono y 1 un semitono. Nombre Notas Sucesión de distancias Modo jónico (escala mayor) do-re-mi-fa-sol-la-si-do (2212221) Modo dórico do-re-mib-fa-sol-la-sib-do (2122212) Modo frigio do-reb-mib-fa-sol-lab-sib-do (1222122) Modo lidio do-re-mi-fa#-sol-la-si-do (2221221) Modo mixolidio do-re-mi-fa-sol-la-sib-do (2212212) Modo eólico (escala menor) do-re-mib-fa-sol-lab-sib-do (2122122) Modo locrio do-reb-mib-fa-solb-lab-sib-do (1221222) Tabla 2: Escalas heptatónicas obtenidas a partir de distribuciones regulares. 2.4. Distribuciones de 8 notas La escala de 8 notas o escala octatónica aparece en la música de la práctica común a partir del Romanticismo. La escala octatónica más común es la que alterna tono y semitono o viceversa. Como una distribución regular se puede obtener como sigue: Figura 5: Distribuciones regulares de 8 notas. Esta escala tiene la expresión [x . x x . x x . x x . x] o escrita en notas do-re-re#-fa-fa#-sol#-la-si-do. Esencialmente, hay dos escalas octatónicas que son regulares: la que acabamos de escribir, que alterna tono-semitono, y esta otra [x x . x x . x x . x x .] o do-reb-mib-mi♮-solb-sol♮-la-sib-d. Esta escala se empezó a usar por la escuela rusa, aunque se encuentran precedentes en otros autores tales como Listz. Rimsky-Korsakov la empleó de modo notable en algunas de sus obras, pero es Stravinsky en su época de los ballets rusos quien explora más a fondo las posibilidades expresivas de esta escala. Tan carismático es el empleo que hace Stravinsky de la escala octatónica que un acorde basado en ella se conoce como el acorde Petrushka: Figura 6: El acorde Petrushka. En la Danza del sacrificio de la elegida de La consagración de la primavera se puede ver cómo utiliza Stravinsky esta escala (minuto 3:36 hasta final en el vídeo de abajo). Vídeo de La consagración de la primavera, de Stravinsky. Danza del sacrificio de la elegida . A partir de Stravinsky la escala se popularizó y la encontramos en autores contemporáneos -desde Bartók y Barber hasta Zappa- y, por supuesto, en el jazz. 3. El teorema de los tonos comunes De entre todos los modos anteriores, el correspondiente a la escala mayor es el más común en Occidente (y en otras culturas también). Una de las razones para esta popularidad es la facilidad de modulación (de cambio de tonalidad) que permite esa escala. Las modulaciones naturales al oído se hacen entre dos tonalidades vecinas, esto es, que comparten el mayor número de tonos entre sí. En su libro Johson observa una propiedad de la escala mayor que explica esa relación de vecindad entre las tonalidades. Tomamos prestada de su libro la figura 1.11 de la página 41, en la que muestra una escala de re mayor sobre el círculo cromático y un recuento de las distancias entre las notas de dicha escala. Figura 7: Distancias en una escala mayor. En la tabla situada al final de la figura vemos el número de veces que ocurre cada distancia c, para c=1,...,6. Llamemos a ese número n(c). Johnson advierte que cuando se cambia de tonalidad en c grados de la escala, el número de tonos en común entre la primera escala y la transpuesta es exactamente n(c). Por tanto, la tonalidad más cercana -entendiendo cercana como el máximo número de tonos en común- será la que esté a cinco grados de distancia, esto es, el quinto grado, la escala de la. En efecto, la escala de re mayor y la mayor tienen seis grados en común. La siguiente escala más cercana es la que está a distancia dos y que corresponde a n(2)=5; esto es el segundo grado, es decir, mi. Este resultado es llamado el teorema de los tonos comunes. Otra propiedad interesante que posee la escala mayor es la de ser una escala de multiplicidad única (deep scale en inglés). Eso significa que cada distancia aparece una única vez, como se puede apreciar en la tabla de la figura 6. 4. Conclusiones El libro de Johnson contiene mucho más material que el glosado tan brevemente en estos tres artículos. Es un ejemplo de cómo se puede incorporar las ciencias, en particular las matemáticas, a la enseñanza de la música. Y no estoy hablando desde una perspectiva forzada, sino desde las verdaderas conexiones que hay entre ambas disciplinas. Sin embargo, esto no será posible mientras no haya un cambio de mentalidad en los profesores de música y mientras no haya un cambio de actitud en los redactores de los planes de estudio actuales. Bibliografía [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003. Wikipedia. The common tone theorem. Accedido en febrero de 2013.
Viernes, 15 de Febrero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la segunda entrega de la serie Enseñanza de música vía las matemáticas, en la vamos a seguir con el análisis del excelente libro de Timothy Johnson [Joh03] Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), libro que adopta un enfoque matemático de la enseñanza de la teoría diatónica. En la primera entrega revisamos los siguientes conceptos: los diagramas circulares para representar la octava; la subdivisión de dichos diagramas en 12 partes, una por semitono; el problema de la distribución de máxima regularidad de puntos en círculos; diagramas complementarios; distribuciones de máxima regularidad para 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 puntos; y, finalmente, las correspondencias de esas distribuciones con conceptos musicales (intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas). 2. La definición de máxima regularidad La definición de distribución de regularidad máxima, aunque intuitiva, no es fácil de formalizar. Johson (página 14) empieza considerando una definición geométrica, bastante intuitiva, no del todo práctica, pero que sirve a su propósito de ilustrar cómo funcionan las distribuciones de regularidad máxima. Se trata del algoritmo del vecino más cercano (véase [Góm12] y [DGM+09]). Esta definición fue analizada en la columna anterior (véase la figura 2 de ese artículo). Al final del capítulo 1 (página 26 y siguientes) Johson presenta una definición más rigurosa si bien algo farragosa. En esta columna vamos a estudiar la definición de Johnson y luego daremos otra, más sencilla, basada en el algoritmo de Euclides. En el libro se empieza por definir dos conceptos básicos, la distancia de semitonos y las distancias de puntos; allí se llaman c distances y d distances, respectivamente. Dada una configuración de puntos sobre un diagrama circular, la distancia de semitonos entre dos puntos mide el número de saltos entre semitonos consecutivos que hay que dar para ir del punto de partida al punto final en sentido horario. La distancia de puntos, análogamente, mide la distancia entre dos puntos como el número de saltos entre puntos consecutivos que hay que recorrer para ir del punto de partida al punto final en sentido horario (las cursivas en estas definiciones no son casuales). La figura 1, extraída del libro, ilustra esta definición; la distancia de semitonos se designa por c y la de puntos por d, y nosotros seguiremos la misma notación. Figura 1: Distancias de semitonos y distancias de puntos. Obsérvese que dados dos puntos en el diagrama su distancia se mide de dos maneras distintas, con la distancia d y la distancia c, las cuales no tienen por qué coincidir. En la figura 1, si partimos de las 12 del mediodía y consideramos los dos primeros puntos tenemos d=1 y c=3. Obviamente, la distancia c entre dos puntos es mayor o igual que la distancia d. La definición de distribución de máxima regularidad de Johnson reza como sigue: Para cada par de puntos en el diagrama circular, calcúlense la distancia c y la distancia d. Considérese para cada valor de la distancia d todos los valores de las distancias c asociadas a ella. Si para toda distancia d, las correspondiente distancias están formadas por un único valor o por dos valores consecutivos, entonces la distribución es de máxima regularidad. En realidad, esta definición supone la comprobación exhaustiva de la propiedad enunciada en el punto 3). Johson construye para ello las llamadas tablas de intervalos. Vamos a ver un ejemplo sencillo para entender cómo aplicar esta definición; véase la figura 2. Hay un diagrama circular con 4 puntos, A, B, C y D. De las distancias d hay 3 posibles, que toman valores 1, 2, y 3. Para cada valor, las distancias c asociadas son, respectivamente, 3, 6 y 9. Como han dado valores únicos, la definición se verifica y esta distribución es de máxima regularidad. Figura 2: Cálculo de tablas de intervalos. Intuitivamente, se veía claramente que esta distribución era de máxima regularidad, más aún si tenemos en cuenta que el número de puntos, 4, es un divisor de 12, el número de subdivisiones del círculo. Veamos una distribución no regular. Por ejemplo, si en el diagrama anterior movemos el punto D una posición hacia arriba, habremos destruido la propiedad de máxima regularidad. Veamos cómo falla la definición. Figura 3: un ejemplo de distribución no regular. Simplemente calculando las distancias asociadas a pares de puntos adyacentes, AB, BC, CD y DA, vemos enseguida que la definición no se cumple, pues las distancias c asociadas son 2, 3, 4, que no están formadas por dos valores consecutivos (aquí hay tres valores consecutivos). La definición falla en realidad con todos los valores de la distancia d. En general, basta con que falle en un caso para que no la distribución no sea de regularidad máxima. Para acabar esta sección, tomemos un ejemplo un poco más complejo con cinco notas, como el de abajo. Figura 4: Máxima regularidad de un diagrama de 5 puntos. 3. Distribuciones euclídeas El contenido de esta sección no aparece en el libro de Johnson. La añadimos para una mejor comprensión de la propiedad de máxima regularidad. La definición que propone Johson es, como hemos visto, larga de comprobar y poco intuitiva. Nosotros vamos a dar una definición equivalente basada en el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor. Vamos a recordar al lector cómo funciona este bello algoritmo. 3.1 El algoritmo de Euclides El máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común que tengan. El máximo común divisor (mcd) siempre existe pues 1 divide a cualquier número. Por ejemplo, el mcd de 12 y 16 es 4. Típicamente, se enseña a calcular el mcd obteniendo los factores primos de los dos números. Así, por ejemplo, si queremos calcular el mcd de 1089 y 924, averiguamos su descomposición en factores primos: 1089=32 •112 y 924=2•3•7•11 A partir de esa descomposición, basta tomar los factores comunes con menor exponente; en el caso de este ejemplo 3 y 11. El mcd(1089, 924) sera, pues, igual a 3•11=33. Sin embargo, obtener el mcd calculando los factores primos es largo y tedioso. La forma elegante y rápida de calcular el máximo común divisor es usando el algoritmo de Euclides. Este matemático griego, que vivió alrededor del año 300 antes de Cristo, se percató de una propiedad que permite calcular el máximo común divisor con suma rapidez. Supongamos que queremos hallar el máximo común divisor de a y b. Escribimos la ecuación de la división entera: donde q es el cociente y r es el resto. Como es bien sabido, el resto tiene la propiedad de que 0 ≤ r < b. Si d es un divisor de a y b, también lo será de b y r En efecto: Entonces, el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r. El proceso se puede repetir todas las veces que haga falta. En cada paso el resto que obtenemos es menor estrictamente que el anterior, de modo que finalmente encontraremos un resto nulo. El máximo común divisor será el último resto no nulo que encontremos en esta serie de divisiones sucesivas. Aquí tenemos el ejemplo de más arriba ahora calculado con el algoritmo de Euclides. El último resto no nulo es 33, que es el máximo común divisor que habíamos encontrado antes. 3.2 Distribuciones regulares vía el algoritmo de Euclides Para empezar, vamos a introducir una notación que nos permitirá describir distribuciones en la octava de una manera más rápida. El diagrama de la figura 4 se puede escribir como [x . x . . x . x . . x .], donde una x representa un punto en el círculo y un . una posición no ocupada por un punto. Esta notación se llama notación de caja. Empezamos, pues, por fijar un círculo -una octava- dividido en 12 partes iguales o semitonos. Si queremos distribuir 4 puntos en el círculo de la manera más regular posible, entonces basta con usar la división. Tendremos que dividir 12 por 3. y la distribución resultante sería [x . . x . . x . . x . .]. Ahora aparece una nueva propiedad. Cuando efectuamos la división de 12 por 3, obtenemos 4 grupos. Esto ha sido equivalente a asignar un punto a cada grupo de 3 semitonos y exactamente en la misma posición, en este caso, en la primera. ¿Cómo asignamos las notas a los pulsos a través de una división? El procedimiento es el siguiente: primero ponemos las notas (la parte (1)-A de la figura), que ahora y por simplicidad designaremos con unos, tantas como tengamos; segundo, rellenamos con los ceros necesarios hasta completar el número de semitonos (la parte (1)-B de la figura); tercero, efectuamos la agrupación como sabemos (paso (2) de la figura); y cuarto, leemos la distribución resultante (paso (3) de la figura). La distribución resultante se lee por columnas de arriba abajo y de izquierda a derecha. Se ve claramente cómo la división ejecutada como formación de grupos ha dado lugar a una distribución correcta de los puntos en los semitonos de la octava. Si queremos distribuir 6 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por 2: y la distribución resultante sería [x . x . x . x . x . x .] Volviendo a hacer nuestro juego de divisiones y agrupaciones, tenemos: Si queremos distribuir 8 puntos, entonces tenemos que dividir 12 por... ¿cuánto? Estrictamente hablando no se puede hacer. No hay número entero x tal que  = 8. La solución está en generalizar el concepto de división de tal manera que todavía sirva a nuestros propósitos, tanto matemáticos como musicales. Esta generalización es el principio de regularidad, que es el principio en que se apoya Johnson en su libro. Lo enunciamos como sigue: Ante el enunciado de ese principio, surgen varias preguntas: ¿Qué significa “de la manera más regular posible”? ¿Cómo se obtiene esa distribución de puntos? ¿Es único? Vamos a contestar a estas preguntas con un ejemplo; más tarde daremos las definiciones formales necesarias. ¿Es la distribución [x x x x x x x x . . . . ] de máxima regularidad? Es evidente que no, que tiene todas los puntos apelotonados al principio y ninguno al final. Tendríamos que mover puntos para hacerlo más regular. Pero ¿cómo? Hay dos observaciones que nos van a ayudar y que ya habían aparecido en el libro de Johnson: En una distribución de regularidad máxima solo puede haber dos distancias. Además, esas dos distancias tienen que ser c y c + 1. Llamaremos sucesión de distancias a las distancias entre puntos consecutivos según se obtienen leyendo la distribución de izquierda a derecha; por ejemplo, la sucesión de distancias de la distribución [x . . x x . x . . . ] es (3, 1, 2, 4). Recordemos que estamos tratando con diagramas circulares y que las distribuciones se leen de manera circular. Esto significa que se cuenta la distancia entre la última nota y la primera; de ahí el 4 en la sucesión de distancias anterior. Si la condición (1) no se cumple y hay tres distancias c1,c2 y c3, con c1 < c2 < c3, se pueden cambiar las notas a distancias c1 y c3 para que sean más regular. Por ejemplo, la distribución [x x . . x . ], que tiene como sucesión de distancias consecutivas a (1, 3, 2), se puede convertir en [x . x . x .], con distancias (2, 2, 2), que es una distribución más regular. Si solo hay dos distancias, pero c1 < c2 + 1, por el argumento anterior, se puede conseguir una distribución más regular cambiando un punto. La distribución [x . x . . .], por ejemplo, tiene sucesión de distancias (2, 4), y se puede hacer más regular moviendo el segundo punto para transformarlo en [x . . x . .], con distancias (3, 3). Volviendo a la distribución que nos ocupa, [x x x x x x x x . . . . ] movemos sus puntos para intentar obtener una escala de regularidad máxima. He aquí los frutos de nuestros intentos: [ x x x x x . x . x . x .] Esta distribución cumple las dos propiedades (1) y (2) enunciadas arriba, pero no es de regularidad máxima. Esto significa que las dos propiedades de arriba son condiciones necesarias pero no suficientes para construir una distribución de regularidad máxima. Por ello, en la definición de Johnson se exige que se comprueben todos los valores de las distancias d. Si escribimos las distancias entre puntos consecutivos de esta distribución tenemos la siguiente sucesión: (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2) Es intuitivamente claro que una sucesión de distancias (1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2) daría una distribución de mayor regularidad: [x x . x x . x x . x x .]. Y este es la distribución de regularidad máxima que buscábamos. En este punto se hace evidente que una distribución de regularidad máxima no es única. Podíamos haber tomado una rotación de esta distribución, por ejemplo, [. x x . x x . x x . x x]. Una curiosidad: ¿cuál es el máximo común divisor de 12 y 8? Cuatro, que es el número de veces que se repite el patrón [ . x x] en la escala anterior. Esto, por supuesto, no es un hecho fortuito. Veamos qué hay detrás. Se puede ejecutar el algoritmo de Euclides pensándolo también como la formación de grupos. Haremos divisiones sucesivas moviendo ceros y unos, como hicimos anteriormente. Cojamos como ejemplo, el máximo común divisor de 12 y 8. Ponemos 8 unos seguidos de 4 ceros, como abajo. En este caso el número de columnas final es el máximo común divisor. De modo que simulando el algoritmo de Euclides con divisiones en formación de grupos, llegaremos a distribuciones regulares. Fijémonos que en los unos están distribuidos regularmente. Y por último, si queremos distribuir 7 puntos, entonces tengo que dividir 12 por... ¿cuánto? Pues tampoco se puede pero volvemos a aplicar el principio de regularidad otra vez, y la distribución resultante (salvo rotaciones) sería [ x . x . x x . x . x . x]. Si hacemos las divisiones (formaciones de grupos), tenemos: La distribución resultante, una vez leídas las columnas, es: que no es la distribución que hemos mostrado antes. La razón es que la rotación de una distribución de regularidad máxima no altera esta condición. Las distribuciones producidas con el principio de regularidad se llaman distribuciones euclídeas. El principio de regularidad se ha revelado como una generalización de la división. 4. Comprobación de la definición de máxima regularidad Llegado a este punto, vamos a comprobar cómo verificar la definición de máxima regularidad vía el algoritmo de Euclides es más corto y elegante que vía el procedimiento de Johnson. En la figura 4 teníamos el diagrama siguiente: Figura 5: Un diagrama con cinco puntos. Este diagrama escrito en notación de caja es [x . x . . x . x . . x .], cuya sucesión de distancias consecutivas es (2 3 2 3 2). Tenemos 12 posiciones (semitonos) para distribuir 5 puntos. Aplicando el algoritmo de Euclides tenemos: El resultado que obtenemos, leyendo por columnas el último bloque, es [x . . x . x . . x . x .], o escrito como sucesión de distancias consecutivas (3 2 3 2 2). Esta sucesión es una rotación de (2 3 2 3 2) y, por tanto, es de máxima regularidad. En la columna del mes que viene relacionaremos todo lo visto hasta aquí con conceptos musicales. Estudiaremos qué intervalos, triadas, acordes de séptima y escalas aparecen asociados a las distribuciones de máxima regularidad. Esto dará cuenta de la segunda mitad del libro de Timothy Johnson al que estamos dedicando esta serie. Bibliografía [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Góm12] Gómez, F. Enseñanza de música vía las matemáticas - I Columna de la sección Matemáticas y música de la web Divulgamat. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 09 de Enero de 2013 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En el artículo de este mes vamos a tratar el tema de la formación científica de los músicos. Aquí surgen varias preguntas, casi de modo irrefrenable: ¿No debería tener toda persona de artes o letras un mínimo de formación científica? En particular y dada las potenciales conexiones entre ciencia y arte, ¿no deberían disfrutar los músicos de esa formación? ¿No debería impartirse tal formación en los estudios reglados? ¿Por qué negar los aspectos cuantitativos de la música? Estos existen y pueden explicarse a partir de las matemáticas y la física. Después de décadas de investigación matemática sobre la música, ¿por qué no usar ese conocimiento para diseñar nuevos modos de enseñar música? Estos modos supondrían, al menos, una enseñanza más rica en conceptos y recursos. Las matemáticas y la música tienen conexiones en al menos cuatro niveles [Be00]: en el de la física del sonido, en el del lenguaje musical, en el de la estética y el metafórico. Este último nivel ha de entenderse como una conexión basada en el proceso y la analogía, ambos conceptos comunes a las matemáticas y a la música. Entonces, ¿no pueden aprovecharse esas conexiones para diseñar asignaturas que tengan un enfoque interdisciplinar? En un mundo cada día más interdisciplinar, ¿por qué empeñarse en una enseñanza profundamente reduccionista? En ciertas especialidades musicales la formación científica -dados los avances actuales- se hace imprescindible, como por ejemplo en la musicología cuantitativa (a veces incluso llamada musicología computacional) o en teorías compositivas modernas (la música de Xenakis, la música fractal, la música algorítmica, la música electrónica). ¿Por qué en nuestros conservatorios no se imparte una enseñanza que incluya algo de ciencia? ¿Por qué dejar cojos a nuestros futuros músicos, sea cual sea su especialidad, de esta importante formación? A un nivel más abstracto, las matemáticas y la música tienen como característica común un agudo sentido de lo estético. Los grandes matemáticos y los grandes músicos han hablado con arrobo de las experiencias estéticas que les ha proporcionado su actividad. ¿No se pueden intercambiar esas experiencias a través de un plan de estudios con ambiciones? Antes de que el lector proteste por el aparente sesgo de introducir las matemáticas en la música, quiero defender vehementemente la introducción de la música en la enseñanza científica. Creo que en toda carrera científica debe haber asignaturas de letras de tal modo que los alumnos que salgan de nuestras universidades sean verdaderos humanistas. En teoría, las asignaturas de libre elección estaban para eso, a imagen del modelo americano, pero se redujeron a asignaturas complementarias bien por las habituales y no por ello menos patéticas luchas de poder bien para paliar la reducción de horas en los nuevos planes de estudios. En cierto punto de la conversación con Ricardo salieron a colación varios libros que enseñan teoría de la música básica a través de las matemáticas. Dichos libros se usan en conservatorios del extranjero y, hasta lo que alcanza mi conocimiento, no se usan en España. Uno de los libros que se mencionó es Foundations of diatonic theory (Fundamentos de teoría diatónica), de Timothy Johnson [Joh03]. Creo que la virtud de este libro está en la explicación de conceptos musicales a partir de unos presupuestos matemáticos mínimos. En realidad, para comprender el libro lo que único que se requiere es predisposición a razonar y unos rudimentos de aritmética. A partir de ahí, el libro constituye una gozosa travesía por la teoría de escalas. Este artículo inaugura una serie que analizará en detalle el libro de Johnson. Para empezar, déjeme el lector mostrarle el índice del libro (mi traducción): Prefacio Para el instructor Agradecimientos La visión de las matemáticas a través del currículo educativo   Introducción ¿Tenéis preguntas? Matemáticas y música Cómo usar este libro Capítulo 1: relaciones espaciales y estructuras musicales Puzles con relaciones espaciales Estructuras musicales a partir de figuras geométricas Una definición de intervalos Resumen y ampliaciones Capítulo 2: patrones de intervalos y estructuras musicales Patrones de intervalos diatónicos Patrones de intervalos y el círculo de quintas Estructuras de otras colecciones Resumen y ampliaciones Capítulo 3: triadas y acordes de séptima y sus estructuras De la colección al acorde Triadas y acordes de séptima de máxima regularidad Variedad y multiplicidad de acordes diatónicos Resumen y ampliaciones Conclusión ¿Tenemos ahora alguna respuesta? 2. La introducción del libro La introducción del libro describe una anécdota que no me resisto a citar literalmente (mi traducción): ""¿Tenéis preguntas?" preguntó un famoso compositor y director de orquesta a un público formado por estudiantes y profesores de música en una conferencia no hace muchos años. "Sí," -respondió un pianista conocido y de mucho talento- "¿por qué están las teclas blancas y negras del piano dispuestas de esa manera?" El público se paró a pensarlo durante un par de segundos antes de que una risa sorda y nerviosa empezase a romper el tenso silencio. Tanto el compositor como el pianista parecían incapaces de llegar a una respuesta satisfactoria, pero sus caras mostraban que estaban intrigados e interesados en esa pregunta. El libro presenta material que dará respuesta a esta intrigante pregunta a través de razonamientos musicales y matemáticos. En particular, explicará la distribución de la escala diatónica en base al principio de máxima regularidad (o simplemente principio de regularidad). 3. Relaciones espaciales y estructuras musicales Johnson empieza directamente por mostrar unos diagramas consistente en un círculo dividido en 12 partes; véase la figura 1 (todas las figuras de este artículo están tomadas de su libro y modificadas apropiadamente): Figura 1: Colocación de puntos en círculos. La pregunta es sencilla: ¿cómo poner 2 puntos de manera que estén lo más alejado posible entre sí? En el círculo de más a la izquierda se ve una de las posibles soluciones. ¿Cómo se haría para 3, 4 y 5 puntos? Poner 3 o 4 puntos es fácil e intuitivo, quizás porque esos números son divisores enteros de 12, el número de puntos (véanse los círculos centrales de la figura 1). El caso de 5 es harina de otro costal, pues los puntos no se pueden poner equidistantes unos de otros. En todos los casos hay más de una solución. Por ejemplo, en el caso de 2 puntos hay 6 posibles soluciones, todas ellas equivalentes bajo rotaciones. Johnson ofrece al lector la fórmula general que reza donde c es el número de subdivisiones del círculo, d el número de puntos que queremos colocar y mcd es el máximo común divisor de dos números (el mayor divisor común). En nuestro ejemplo, tenemos c=12 y d=2; por tanto, el número de soluciones posibles para 2 puntos es 12/mcd(12, 2)=12/2=6, tal y como habíamos señalado antes. Para 5 puntos hay 12 soluciones puesto que 12 y 5 solo tienen a 1 como divisor común. El caso de 5 puntos es llamativo. En el libro se da una solución elegante, que es de hecho la base de un algoritmo (procedimiento) ya conocido (véase [DGM+09]) y que podíamos llamar el algoritmo del vecino más cercano; véase la figura 2. Figura 2: Colocación de 5 puntos en el círculo. Se parte de una asignación arbitraria de los puntos sobre el círculo (figura 2 (a)); a continuación se muven los puntos hasta que están a igual distancia entre sí (figura 2 (b)). Los puntos no han caído sobre las subdivisiones, como se aprecia en la figura. Esto se arregla moviendo cada punto a la subdivisión más cercana (figura 2 (c)), y con ello quedan colocados los puntos de la manera más regular posible. Tras esta exploración inicial, Johnson se mete en profundidades cuando pregunta al lector cómo colocar 6, 7 y 8 puntos. Todavía 6 es fácil, pues 6 divide a 12, pero no es el caso con 7 ni con 8. El caso de 7 es fascinante. Dejamos al lector que busque la solución por sí mismo. De los diagramas de la figura 3, solo el de la derecha es correcto. El primer diagrama es un intento fallido de obtener la colocación de los 7 puntos a partir de la de 6; los otros dos son también fallidos por distinas razones. Figura 3: Colocación de 7 puntos. Antes de asignar significado musical a estos diagramas, Johnson investiga qué ocurre con los diagramas complementarios. Si, por ejemplo, tomemos el círculo con 6 puntos, no importa por ahora como estén, y ahora consideramos otro círculo con los puntos colocados en el complementario de los puntos del primer círculo, este diagrama es el complementario del primero. En la figura 4 tenemos a la izquierda un círculo con 6 puntos y a la derecha su correspondiente complementario. Figura 4: Diagramas complementarios. La pregunta es entonces: si un diagrama tiene un conjunto de puntos colocados con máxima regularidad, ¿el diagrama complementario tendrá los puntos colocados regularmente también? Por la figura 4, parece que sí, y, de hecho, es cierto siempre. Pruebe el lector con el diagrama de 7 puntos de la figura 3 (d). Ahora las 12 subdivisiones se etiquetan con los nombres de las notas (dado que las figuras están tomadas de su libro, los nombres de las notas aparecen en inglés). En la figura 5 están los diagramas con máxima regularidad para un número de puntos entre 2 y 8. Figura 5: Diagramas con las notas musicales. A partir de aquí, Johnson interpreta los diagramas como sigue: Diagramas de dos puntos: intervalos. Diagramas de tres puntos: triadas. Diagramas de cuatro puntos: acordes de séptima. Diagramas de cinco a ocho puntos: escalas. Un diagrama regular de 2 puntos corresponde a un tritono, pues divide los 12 semitonos del temperamento igual en dos mitades exactamente iguales. Un diagrama regular de 3 puntos equivale a una triada aumentada. Un diagrama regular de 4 puntos corresponde a un acorde de séptima disminuida. Un diagrama regular de 5 puntos es una escala pentatónica (en la figura 5 (d), las teclas negras del piano). Un diagrama regular de 6 puntos es equivalente a una escala de tonos enteros. Un diagrama regular de 7 notas corresponde con la escala diatónica mayor. Por último, un diagrama regular de 8 notas equivale a una escala octotónica que alterna tono y semitono (figura 5 (g)). Al llegar a este punto (página 26 del libro) Johnson da una definición más rigurosa de regularidad máxima. Hasta ahora las situaciones que ha presentado se han resuelto de manera intuitiva. Sin embargo, esto será ya materia de la columna de enero. 4. Para saber más En el espectáculo Materritmo se presentan de un modo divertido varias de las ideas del libro de Johnson. En Materritmo el principio de regularidad se usa como principio de composición y análisis de ciertas piezas de percusión de música de Ghana. Vídeos (en inglés) del espectáculo se pueden ver aquí. Bibliografía [Be00] Scott Beall, Funcional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press. Emeryville, California. 2000. [DGM+09] Demaine, E., Gómez, F., Meijer, H., Rappaport, D., Taslakian, P., Toussaint, G. T., Winograd, T. and Wood, D. R. The Distance Geometry of Music. Computational Geometry: Theory and Application, 42, págs. 429-454, 2009. [Joh03] Timothy A. Johnson. Foundations of diatonic theory. Key College Publishing. Ithaca, New York. 2003.
Miércoles, 05 de Diciembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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