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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 11 - 20 de 75

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Gracias al acertado consejo de un buen amigo, recientemente cayó en mis manos el excelente libro Other harmony (beyond tonal and atonal) [Joh14a], escrito por el compositor Tom Johnson. En este libro se examinan, desde un punto divulgativo pero riguroso, varios sistemas de armonía musical, algunos de los cuales tienen principios matemáticos. Entre estos sistemas se encuentran la armonía tonal, la armonía atonal y lo que el autor llama muy provocativamente Otras Armonías. Las mayúsculas son correctas (Other Harmony en el original), en efecto, y nosotros mantendremos esa provocación en este artículo. Por armonía atonal, Johnson se refiere a la armonía que rechaza las jerarquías tonales y la prominencia de un tono particular, pero que todavía usa el concepto de tono; dentro de esta categoría estaría, por ejemplo, el dodecafonismo. Una fuerza vigorosa dentro de la música occidental ha sido siempre la superación del sistema armónico en curso. Nuevas reglas permitieron que lo que antes eran disonancias o progresiones prohibidas ahora se usen con total naturalidad. Ese empuje llevó la armonía tonal a su límite a principios del siglo XX. En ese tiempo la superación de la armonía tonal clásica era en muchos casos una elección estética inevitable. Sin embargo, como ilustra Johnson en su libro, las formas en que los compositores superaron la armonía tonal fueron extraordinariamente variadas. Muchas de ellas son desconocidas, bien porque no tuvieron éxito entre los compositores, o bien porque otras sistemas compositivos les hicieron sombra y cayeron en el olvido. En el libro de Johnson se rescatan algunos de esos sistemas compositivos. La serie de cuatro artículos de los próximos meses será una recensión crítica de Other Harmony. En la figura de abajo, se muestra el índice de contenidos del libro, el cual nos da una idea de cuál es el camino que ha seguido Johnson es su particular andadura por la armonía no convencional, por las Otras Armonías (esta figura y otras que aparecerán en los artículos han sido tomadas de la página web de la editorial  [Joh14b], donde se entiende que son de libre disposición siempre y cuando se cite la fuente). Johnson explora muchos sistemas armónicos que no pertenecen a los reinos clásicos de la tonalidad y la atonalidad, sino a las tierras disconformes y heterodoxas de la Otra Armonía. Algunos de estos últimos sistemas, como veremos, no calaron en la práctica compositiva; unos pocos —el ejemplo más notable es el de Messian — sí tuvieron repercusión musical y se incorporaron a las prácticas compositivas modernas. Figura 1: Índice de contenidos del libro Other Harmony [Joh14b] En este primer artículo explicaremos la armonía tonal para el lector sin una fuerte formación musical. Para este lector recomendamos el libro Armonía [PMA12], de Walter Piston, el cual presenta la armonía de una manera muy gradual y didáctica, con un buen número de ejercicios; otras referencias a tener en cuenta son [KP12, ASC10] Entendemos que para el lector músico o con una fuerte formación musical esta sección no tiene más que un interés divulgativo. Si lo considera necesario, puede saltársela. Dentro de la sección de armonía tonal presentaremos algunos modelos matemáticos que en especial permitirán una visualización geométrica de las relaciones armónicas. Con ello cerraremos el artículo de este mes. 2. Armonía tonal En esta sección seguiremos básicamente la exposición del libro de Piston [PMA12]. Pondremos en negrita aquellos términos que constituyan una definición. La armonía, definida de una manera eminentemente práctica, es el estudio de los acordes —el uso de dos o más notas simultáneamente— , su construcción, el enlace entre ellos y sus progresiones. La armonía de la tradición clásica occidental está basada fundamentalmente en las propiedades acústicas del sonido. Todo empieza con el concepto de intervalo. Un intervalo son dos sonidos. Si suenan a la vez, hablamos de intervalo armónico y si suenan una tras el otro, de intervalo melódico; véase la figura 2. Figura 2: Intervalos melódicos y armónicos Las notas que forman los intervalos se extraen de las escalas. Las escalas son distribuciones de notas. Hay muchos tipos de escalas (véase [Slo47] como ejemplo sobresaliente de recopilación). Las que se usan en la tradición clásica occidental son principalmente escalas diatónicas, formadas por la combinación de tonos y semitonos. Las dos principales escalas son la escala mayor y la escala menor. En la figura de abajo se muestran ejemplos de varias escalas. Las escalas diatónicas están formadas por siete notas y cada una de esas notas recibe el nombre de grado. Los grados tienen nombres especiales: Tónica o nota de la escala. Cuando decimos escala de do mayor indicamos que la nota tónica es do. Supertónica o nota siguiente a la tónica. Mediante o tercer grado de la escala. Subdominante o cuarto grado. Dominante o quinto grado. Submediante o sexto grado. Sensible o séptimo grado. El nombre de sensible se aplica cuando la distancia entre la tónica en la siguiente octava y esta nota es de medio tono. Si es de un tono entero, se habla de séptimo grado. Los grados más importantes en la armonía clásica son la tónica, la dominante y la subdominante. Dado que los acordes están formados por sonidos tocados simultáneamente, necesitamos clasificar los intervalos armónicos. Fijemos una escala mayor cualquiera y comparémosla con la correspondiente escala menor. Los intervalos comunes a ambas escalas son el unísono, la cuarta, la quinta y la octava. Estos intervalos se llaman justos. El resto de los intervalos de la escala mayor son intervalos mayores y son la segunda, la tercera, la sexta y la séptima. En el caso de la escala menor, estos intervalos son menores. Cuando a uno de los intervalos anteriores se le baja medio tono a la nota más grave, o bien se le sube medio tono a la nota más aguda, tenemos un intervalo aumentado. Si ahora se sube medio tono la nota más grave o se baja medio tono la más aguda, tenemos un intervalo disminuido. La figura de abajo contiene una tabla con la clasificación de los intervalos (m= menor, M= mayor, J=justo, A=aumentado, d=disminuido). Figura 3: Clasificación de los intervalos (figura tomada de [Wik15]) Como dijimos más arriba, un acorde se forma por dos o más sonidos que se producen simultáneamente. El acorde más común es la triada o acorde de tres notas. Las triadas se forman encadenando intervalos de tercera sobre la nota base del acorde. Según el tipo de terceras implicadas en la formación de la triada tenemos los siguientes tipos de acordes: Triada mayor, formada por una tercera mayor seguida de una tercera menor; Triada menor, formada por una tercera menor seguida de una tercera mayor; Triada aumentada, formada por dos terceras mayores consecutivas; Triada disminuida, formada por dos terceras menores consecutivas. Véase la figura 2 para ejemplos de estos tipos de triadas. Las notas de los acordes pueden variar en su disposición y entonces hablamos de las inversiones del acorde. Si la primera nota del acorde es la más grave, el acorde está en estado fundamental; si la tercera del acorde es la nota más grave, el acorde está en primera inversión; y, por último, si la quinta del acorde es la nota más grave, entonces el acorde está en segunda inversión. En la figura 4 vemos un acorde y sus inversiones. Figura 4: Un acorde y sus inversiones La armonía clásica occidental se ha basado en el concepto de consonancia y disonancia. Tales conceptos se aplican a la clasificación de los intervalos. Se consideran consonantes los intervalos justos, las terceras y las sextas (sean estas dos últimas mayores o menores). Las segundas, las séptimas, los intervalos disminuidos y aumentados se consideran disonantes. Como excepción, la cuarta justa es disonante si está sola y es consonante si tiene hay una tercera o una quinta justa por debajo de ella. Piston [PMA12], en la página 14, dice que “la cualidad esencial de la disonancia es su sentido del movimiento y no, como a veces se cree erróneamente, su nivel de desagrado al oído”. Las progresiones de acordes que se encuentran en la música tonal occidental son las que aparecen en la lista de abajo (tomadas de nuevo de [PMA12]). Téngase en cuenta que estas progresiones son producto de la observación de la práctica compositiva y no un conjunto de reglas establecidas a priori. Esta lista produce una clasificación de las progresiones en frecuentes, menos frecuentes y poco frecuentes (se sigue del orden de presentación en la lista). Al grado I le sigue el V o el IV; a veces el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado II le sigue el V; a veces el VI o el IV; y con menos frecuencia el I o el III. Al grado III le sigue el VI; a veces el IV; y con menos frecuencia el I, el II o el V. Al grado IV le sigue el V; a veces el I o el II; y con menos frecuencia el III o el VI. Al grado V le sigue el I; a veces el IV o el VI; y con menos frecuencia el II o el III. Al grado VI le sigue el II o el V; a veces el III o el IV; y con menos frecuencia el I. Al grado VII le sigue el I o el III; a veces el VI; y con menos frecuencia el II, el IV o el V. La lista anterior da lugar a un grafo de relaciones entre los acordes tal y como se muestra en la figura 5. Las líneas gruesas muestran las progresiones frecuentes; las líneas discontinuas corresponden a las progresiones menos frecuentes; las progresiones poco frecuentes no se muestran por claridad del dibujo. Figura 5: Grafo de las progresiones de acordes Este grafo nos ilustra el concepto de función tonal. Vemos que el grado V, la dominante, es la manera más frecuente de acabar en la tónica (el grado VII sobre la nota sensible se suele interpretar como una forma de dominante), seguido en menor medida por la subdominante. Estos tres grados son los más importantes y con los que se establece el polo tonal en una pieza musical en el periodo de la práctica común (término habitual para referirse a la música clásica entre 1600 y 1900 aproximadamente). En la definición dada al principio de la sección señalamos que la armonía estudia la forma en que los acordes se enlazan entre ellos. No solo es importante qué acorde va después de otro, sino cómo se pasa de uno a otro. Este proceso se llama conducción de voces. En esta breve introducción a la armonía tonal, por falta de espacio, no entraremos a describirla, pero el lector interesado puede consultar las referencias [PMA12, KP12, ASC10]. Los triadas consonantes se pueden volver disonantes cuando se les añade una nota más. Esa nota es con frecuencia una séptima, pero también se encuentran otras notas como la novena, la once o la trece, especialmente cuando avanzamos en el tiempo en el periodo de la práctica común. Los acordes disonantes tienen que resolverse en acordes consonantes y recuperar con ello el equilibrio entre las tensión —producida por las disonancias— y la relajación —proporcionada por la consonancia—. También es normal en la armonía tonal el cambio de tono. Tal proceso se llama modulación. Por ejemplo, es normal que en una sonata haya modulaciones a otros tonos. Los tonos a los que se modulan habitualmente son los tonos vecinos o los menores relativos. La relación de vecindad de la que hablamos tiene que ver con el número de notas comunes que tienen las escalas de los tonos implicados. Por ejemplo, si estamos en do mayor, la escala de la menor tiene las mismas notas, y por ello encontramos en la práctica común modulaciones al tono menor (aparte de cambios de modo). Si seguimos en do mayor, las tonalidades de sol mayor y fa mayor comparten las mismas notas salvo uno. El cambio entre do mayor y estas tonalidades es más suave que en el caso de otras tal como fa sostenido mayor. La figura 6 muestra el clásico círculo de quintas en que se muestran estas relaciones de vecindad tonal. Figura 6: Círculo de quintas (figura tomada de [Alm14]) Para el lector que quiera profundizar más, recomendamos las referencias  [PMA12, KP12, ASC10] así como el mapa conceptual de [YK15]. 3. Visualización del sistema tonal La idea de representar el sistema tonal de una manera gráfica y concisa ha suscitado interés en músicos y matemáticos desde siempre. Euler, por ejemplo, propuso un modelo en el plano en que las terceras se colocan en el eje y y las quintas en el eje x, tal y como se ve en la figura 7. Figura 7: Modelo bidimensional del sistema tonal de Euler (figura tomada de [Joh14a]) En su libro A geometry of music, Dmitri Tymoczko [Tym11] ofrece una visualización más elaborada que comprende no solo el sistema tonal clásico sino la práctica común extendida (esto es, sistemas armónicos más complejos). Johnson, basándose en las ideas de Tymoczko, ofrece el siguiente diagrama del sistema tonal. Aquí cada tono tiene tres vecinos y las tonalidades (mayores y menores) se disponen en forma hexagonal. Los vecinos son tres: la diagonal derecha, la izquierda y el vecino situado en la vertical. Por ejemplo, si tomamos do mayor, tiene su tono relativo menor en la diagonal derecha, la tonalidad menor en la diagonal izquierda y abajo la tercera menor (mi menor en este caso). Si el vecino en la vertical está arriba, es una tercera menor ascendente y si el vecino está abajo es una tercera menor descendente. Figura 8: Visualización del sistema tonal El libro de Johson también glosa brevemente otros modelos de visualización del sistema tonal, en particular, el de Mazzola [Maz02], que usa un toro. La visualización de la armonía de una pieza de música por vía de programas de ordenador es una realidad desde hace tiempo. Un programa que visualiza muy bien la armonía de una pieza, sobre todo si es tonal, es Mapping Tonal Harmony [?]; véase una captura de pantalla en la figura siguiente. Figura 9: El sistema Mapping Tonal Harmony Otro sistema, más propio para conocedores de la armonía en profundidad, es ChordGeometries, también de Tymoczko [Tym15], donde se muestra la evolución de la armonía de una pieza sobre un círculo. Bibliografía [Alm14] M. Almendralejo. Modulaciones diatónica y cromática. https://aulavirtualmtardio.wordpress.com/2013/11/28/modulaciones-diatonica-y-cromatica/, 2014. [ASC10] E. Aldwell, C. Schachter, and A. Cadwallader. Harmony and Voice Leading. Cengage Learning, 2010. [Joh14a] Tom Johnson. Other harmony. 75 Editions, 2014. [Joh14b] Tom Johnson. Other harmony. http://oh.editions75.com, 2014. [KP12] S. Kostka and D. Payne. Tonal Harmony. McGraw-Hill, 2012. [Maz02] G. Mazzola. The Topos of Music. Birkhäuser Basel, 2002. [PMA12] W. Piston and J. L. Milán Amat. Armonía. Mundimusica, 2012. [Slo47] N. Slonimsky. Thesaurus of scales and melodic patterns. Charles Scribner’s Sons, 1947. [Tym11] D. Tymoczko. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press, 2011. [Tym15] D. Tymoczko. Chordgeometries. http://dmitri.tymoczko.com/ChordGeometries.html, consultada en enero de 2015. [Wik15] Wikipedia. Intervalo musical. http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28m%C3%BAsica%29, consultada en enero de 2015. [YK15] YK. Analyzing harmony. http://www.mindomo.com/mindmap/analyzing-harmony-6c33195ff154442ea3619565cba64afa, consultada en enero de 2015.
Viernes, 20 de Febrero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El tema de esta serie de dos artículos es la influencia de la educación musical en el aprendizaje de las matemáticas. En el primer artículo [Góm14b] abordamos varias cuestiones previas asociadas a dicho tema. En primer lugar, hicimos una distinción entre educación e instrucción. Tal distinción estriba en que la educación comprende los valores emocionales y morales mientras que la instrucción se define como el mero conjunto de conocimientos que se van a transmitir. Después hicimos una breve revisión de algunos resultados sobre los beneficios de la educación musical. Glosamos los beneficios para el desarrollo cognitivo, emocional y social. Vimos que no siempre se había probado la relación entre aprendizaje musical y matemático, pero también aprendimos que algunos de esos resultados adolecían de defectos en el diseño experimental o conceptual así como la falta de más investigaciones en ciertas áreas del problema. En este segundo artículo nos vamos a centrar en el impacto de la educación musical en el rendimiento académico y matemático. Terminaremos con una discusión y una crítica de los resultados glosados en ambos artículos. 2. El impacto de la educación musical en el rendimiento académico La pregunta de cuál es el impacto de la educación musical en el rendimiento académico es resbaladiza. Hay estudios que parecen responder a esa pregunta de una manera clara y categórica. Por ejemplo, Morrison [Mor94] tomó las notas de 13.327 estudiantes de cuarto de la ESO (grade-10 students) y estudió la influencia de la educación musical sobre el rendimiento medido como el resultado en los exámenes oficiales. Encontró que los estudiantes que poseían formación musical sacaban mejores notas en lengua inglesa, matemáticas, historia y ciencia que los estudiantes que no la poseían. ¿Zanja este estudio la cuestión? No, por supuesto. Observamos un efecto macroscópico en todo caso, una cierta correlación quizás, pero el estudio no nos informa sobre las variables que realmente producen ese efecto ni cómo se lleva este a cabo. Entre otros autores, Cox [Cox01] se ha preguntado si una posible explicación de este efecto no podría ser que los participantes con formación musical previamente tuviesen notas altas antes de matricularse en los cursos de música. Además, ¿cómo se explica que otros estudios obtengan aparentemente resultados contradictorios? Hace falta un análisis más fino que el que ofrece Morrison, que es necesario pero no suficiente. Referencias a más estudios del tipo del de Morrison, de carácter macroscópico, se pueden encontrar en el artículo de Johnson y Memmott [JM06]. Ciertamente, aparte del de Morrison, hay muchos estudios que han aportado pruebas de la relación positiva entre educación musical y rendimiento académico y que varían en alcance y metodología experimental. El lector puede consultar el capítulo 2 de Sound of Learning: The impact of music education [Hod14] donde encontrará abundantes referencias a esos estudios. Como botón de muestra, glosaremos brevemente tres artículos para que el lector se haga una idea del tipo de estudios que aparecen en la bibliografía especializada. Cardarelli escribió su tesis doctoral [Car03] sobre el efecto que tiene aprender a tocar un instrumento en la comprensión lectora y en el rendimiento matemático según se mide en los exámenes oficiales del estado de Florida en alumnos de tercero de primaria. Los alumnos se separaron en dos grupos, uno que sí tomó las clases de música y otro que no lo hizo. Además, se incluyó en el primer grupo a alumnos que no podían permitirse pagar las clases de música. Cox halló diferencias estadísticamente significativas entre las medias de las notas de ambos grupos. Por su parte, Schneider y Klotz [Sch00] estudiaron el efecto de las clases de música y el entrenamiento de atletismo como actividad extraescolar sobre el rendimiento académico. En su estudio usaron tres grupos: el grupo de control, el grupo que tomaba clases de música y el grupo que practicaba atletismo. Como paso previo, anotó las notas de los alumnos en quinto y sexto de primaria y comprobó que eran estadísticamente equivalentes (esta precaución no aparece en muchos estudios, lo cual les resta validez). Se hizo el seguimiento en los tres primeros años de la ESO y los autores detectaron que los alumnos que seguían el programa de música tenían un rendimiento mayor que los que seguían el programa de atletismo pero no que el del grupo de control (que no participaba ni en la música ni en el atletismo). A pesar de esto, el rendimiento del grupo de música era más estable en el tiempo que el de los otros dos. Por último, Trent [Tre96], en su tesis doctoral, estudió el efecto de la educación musical en alumnos que habían tomado clases de música entre primero de la ESO y segundo de bachillerato. Midió el efecto analizando los resultados en los exámenes oficiales. Los resultados probaron que los estudiaron que recibieron instrucción musical claramente tuvieron mejores notas en esos exámenes que el resto. La tesis [Rey11] de María Carmen Reyes constituye uno de los pocos estudios que se pueden encontrar en nuestro país y que estudia el problema que tenemos entre manos; sugerimos al lector interesado su consulta. La autora se plantea el problema de la evaluación del rendimiento tanto en música como en matemáticas y lo analiza en varios contextos: pruebas OCDE, pruebas en el marco de la legislación nacional y en la comunidad autónoma. Esta autora halló correlación positiva entre la práctica musical y el rendimiento académico en matemáticas, lengua y conocimiento del medio en alumnos de varios colegios de todas las provincias de la comunidad valenciana. Como dijimos antes, no todos los estudios prueban esa correlación. Algunos estudios encontraron correlación positiva con el rendimiento en pruebas de lectura pero no de matemáticas; otros, por el contrario, detectaron esa correlación con matemáticas y ciencias pero no con disciplinas artísticas, ni en ciencias sociales ni en escritura. Por último, otros estudios no encontraron correlación alguna entre instrucción musical y rendimiento académico en general. Véase [JM06] y las referencias allí contenidas para una lista pormenorizada de esos estudios. 3. El impacto de la educación musical en el rendimiento matemático Tanto en Estados Unidos como en España, y en general en los países occidentales, el problema de la enseñanza de las matemáticas es grave. Con frecuencia se enseña de manera aislada de los problemas reales, sobre una base excesivamente calculística cuando no abiertamente anti-conceptual, en que se requiere más memoria que razonamiento, una manera muy alejada de la creatividad y la imaginación que las verdaderas matemáticas requieren. La instrucción matemática y ya no digamos la educación matemática están en verdadera crisis. Paul Lockhart en su famoso Lamento de un matemático [Loc08] lo expresa muy elocuentemente (las negritas son mías): Así que aparta los planes de estudio y tus proyectores, tus abominables libros de texto a todo color, tus CD-ROM, y el resto del circo ambulante que es la educación contemporánea, y ¡simplemente haz matemáticas con tus alumnos! Pero en las clases de matemáticas no se hacen matemáticas sino simulacros calculísticos de las mismas. Las matemáticas no se pueden reducir a la aritmética. Los alumnos se aburren en clase con frecuencia y no ponen atención. Todo ello ha conducido, de modo imparable, a una caída de las notas de matemáticas, justo ahora cuando más necesarias son el mundo actual. ¿Avala entonces la investigación la mejora del rendimiento en las matemáticas a través de la práctica musical? En la mayor parte de los estudios la respuesta es sí, junto con unos pocos estudios que afirman que la relación no se encuentra o no existe. Geoghegan y Mitchelmore [GM96] estudiaron la cuestión en alumnos de infantil. Para una definición de lo que significan las matemáticas en esa franja de edad (0-6 años), véase [Góm14a] y las referencias allí contenidas. Estos investigadores encontraron diferencias significativas entre los grupos de música y el grupo de control. Gardiner y sus coautores [GFKJ96], en cambio, investigaron alumnos de primaria. Su estudio duró dos años y se centró en analizar los efectos de la formación musical y en artes visuales sobre el rendimiento matemático. Al principio del estudio los alumnos que iban a asistir a los programas de música y artes visuales tenían peores notas en matemáticas que el grupo de control (que no asistía a ninguno de los dos programas). Al cabo de siete meses la situación se invirtió y los dos primeros grupos obtuvieron mejores notas que el grupo de control. Esta situación se mantuvo hasta el final del primer año. Al finalizar el segundo año la situación seguía sin cambiar. En la muestra hubo alumnos que solo siguieron el programa un año y todavía estos tenían mejores notas en matemáticas que el grupo de control. Por último, Whitehead [Whi01] estudió en su tesis doctoral el efecto de la educación musical en alumnos de la ESO y bachillerato. El tipo de instrucción musical que recibieron los sujetos de su experimento fue el método Orff. Los alumnos fueron puestos de manera aleatoria en tres grupos: el grupo 1 recibiría 5 sesiones de 50 minutos a la semana; el grupo 2 recibiría una sesión de 50 minutos a la semana; y el grupo 3, ninguna sesión. Después de 20 semanas se midió el rendimiento matemático y se constató que el grupo 1 tenía notas superiores a los otros dos grupos. El grupo 2 tuvo a su vez mejores notas que el grupo 3. 4. Conclusiones Una vez examinada toda la bibliografía anterior, volvemos a la pregunta del principio: ¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? Como ya hemos dicho, la cuestión es bastante complicada y ello es porque el aprendizaje es un fenómeno extraordinariamente complejo, multidimensional y rico en sus diversas manifestaciones. En la tesis de María Carmen Reyes [Rey11] se hace referencia a estudios que identifican variables relevantes para el aprendizaje: la capacidad de atención; la motivación escolar; el autocontrol; las habilidades sociales; las expectativas de la familia, docentes y de los alumnos con relación a los logros de aprendizaje; los estilos de aprendizaje; la inteligencia emocional; la amplitud de los programas de estudio; los factores socioeconómicos; los conceptos previos; la capacidad de abstracción. Ante tal situación, la creencia de que se puede aumentar el aprendizaje de las matemáticas por vía de la formación musical de una manera nítida y contundente no es realista y generar expectativas al respecto es erróneo de todo punto. Sin embargo, hemos visto que la mayoría de los estudios muestran correlación entre formación musical y aprendizaje de las matemáticas mientras que otros estudios, la minoría, no. En este punto deberíamos ser críticos con algunos de esos estudios y su metodología experimental. Algunos estudios usaron tiempos de instrucción musical realmente bajos; esto es, no investigaron el tiempo mínimo necesario para detectar algún cambio en el aprendizaje. Por ejemplo, este es el caso de Kemmerer[Kem03], en que la exposición era menor de 18 minutos a la semana. Ese tiempo era demasiado poco para conseguir efecto alguno. Compárese con el estudio de Whitehead [Whi01] (cinco sesiones de 50 minutos a la semana). Otros estudios adolecían de una deficiente evaluación del aprendizaje matemático, siendo este como es tan rico y complejo. En esta categoría caen ciertos estudios que midieron aspectos meramente calculísticos de las matemáticas en lugar de medir otros más conceptuales y abstractos. Otro defecto metodológico que se encuentra en algunos estudios es el bajo tamaño muestral. Para poder concluir algo de manera razonable es necesario que el número de sujetos alcance un número mínimo; de otro modo, variables espurias pueden arruinar la investigación. Hemos detectado asimismo que la elección de los sujetos no siempre es lo rigurosa que debía ser y se encuentra en algunos casos que variables que pueden producir sesgos, como el género, los conocimientos previos o la situación socioeconómica, no son tenidas en cuenta. En los estudios de carácter neurocientífico que han detectado cambios en el cerebro cuando el sujeto ha recibido formación musical, el principal problema es cómo asociar esos cambios con habilidades cognitivas específicas, problema en el que se trabaja frenéticamente en la neurociencia y en la pedagogía. Por último, poner de relieve que ningún estudio demostró que la participación en actividades musicales produzca efectos perjudiciales para el rendimiento académico. Entonces ¿de qué depende que se produzca esa transferencia del aprendizaje musical al aprendizaje matemático? Hay un aspecto que casi todos los estudios han ignorado (con notables excepciones; véase [JM06]) y es el papel del profesor. En el primer artículo de esta serie hacíamos la distinción entre educación e instrucción. Esta última se define como la mera transmisión de conocimientos, mientras que la educación incluye a la instrucción pero añade además las componentes emocionales y morales del aprendizaje. El papel que desempeña el profesor en la definición de educación es esencial. Un profesor que comprenda que los factores emocionales y morales preceden a la comprensión, un profesor que sepa crear relaciones significativas con sus alumnos, que los convenza de que todos son compañeros en la aventura de comprender y adquirir conocimiento, un profesor que busque con ahínco que sus alumnos se conviertan en aprendientes autónomos, un profesor que dé ejemplo moral y que tenga inteligencia emocional, ese profesor —no importa qué materia imparta— producirá cambios en el aprendizaje de sus alumnos y dichos cambios se reflejarán con alta probabilidad en el resto de las asignaturas (un cambio de actitud hacia el aprendizaje es un cambio general). Para más información sobre ese tipo de profesores sugerimos al lector los libros [ABL+10] y [Bai04] y las referencias allí contenidas. La inmensa mayoría de los estudios que hemos reseñado aquí midieron la instrucción musical en lugar de la educación musical. Hasta que esa laguna metodológica no se cubra, la validez de esos estudios será relativa. Estamos convencidos de que un grupo de alumnos que reciba docencia de un mal profesor de música no dará como resultado un mejor rendimiento en matemáticas. Necesitamos estudios que controlen la docencia y que esta sea verdadera educación musical. Solo así tendrá sentido plantearse si existe una transferencia entre el aprendizaje musical y el matemático. Por tanto, para seguir con la pregunta que nos obsesiona, algunas experiencias de aprendizaje musical tienen un impacto positivo en el aprendizaje de las matemáticas bajo ciertas circunstancias.   Bibliografía [ABL+10] S.A. Ambrose, M.W. Bridges, M.C. Lovett, M. DiPietro, and M. K. Norman. How learning works. Seven research-based principles for smart teaching. Jossey-Bass, 2010. [Bai04] Ken Bain. What the best college teachers do. Harvard University Press, 2004. [Car03] D. M. Cardarelli. The effects of music instrumental training on performance on the reading and mathematics portions of the Florida Comprehensive Achievement Test for third-grade students. PhD thesis, University of Central Florida, 2003. Dissertation Abstracts International, 64 (10), 3624A. [Cox01] R. W. Cox. Effects on academic achievement for fifth-grade students in a band pull-out program. Master’s thesis, California State University, Fresno, USA, 2001. Masters Abstracts International, 40 (01), 26. [CWP06] R. Cerncek, S. J. Wilson, and M. Prior. The cognitive and academic benefits of music to children: Facts and fiction. Educational Psychology, 26(4):579–594, 2006. [GFKJ96] M.F. Gardiner, A. Fox, F. Knowles, and D. Jeffrey. Learning improved by arts training. Nature, 381:284, 1996. [GM96] N. Geoghegan and M. Mitchelmore. Possible effects of early childhood music on mathematical achievement. Journal for Australian Research in Early Childhood Education, 1:57–64, 1996. [Góm14a] Gómez, P. Matemáticas y música en niños pequeños. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14201&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. ¿Influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? (I). http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16312&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Hod14] Hodges, D. (Ed). Sounds of Learning: The Impact of Music Education. https://performingarts.uncg.edu/mri/research-areas/_files/solproject_final.pdf, consultado en noviembre de 2014. [JM06] C. M. Johnson and J. E. Memmott. Examination of relationships between participation in school music programs of differing quality and standardized test results. Journal of Research in Music Education, 54(4):293–307, Winter 2006. [Kem03] K. P. Kemmerer. Relationship between the number of hours spent in general music class and reading skills in kindergarten through grade 3. PhD thesis, Leighl University, 2003. [Loc08] Paul Lockhart. El lamento de un matemático. La gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 11(4):737–766, 2008. Documento accesible en http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php?id=824. [Mor94] S. J. Morrison. Music students and academic growth. Music Educators Journal, 81(2):33–36, Winter 1994. [Rey11] M. C. Reyes. El rendimiento académico de los alumnos de primaria que cursan estudios artístico-musicales en la comunidad valenciana. PhD thesis, Universidad de Valencia, 2011. [Sch00] Schneider, T. W. and Klotz, J. The impact of music education and athletic participation on academic achievement. ERIC Document Reproduction Service No. ED448186, 2000. [Tre96] D. E. Trent. The impact of instrumental music education on academic achievement. PhD thesis, East Texas State University, 1996. Dissertation Abstracts International, 57 (07), 2933A. [Whi01] B.J. Whitehead. The effect of music-intensive intervention on mathematics scores of middle and high school students. PhD thesis, Capella University, 2001. Dissertation Abstracts International, 62 (08), 2710A.
Jueves, 01 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor: F. Gómez, E. Gómez, J. Mora y J.M. Díaz-Báñez
1. El grupo COFLA En la anterior entrega [1] dimos a conocer el grupo COFLA [3], un grupo de investigadores que estudian la música flamenca desde un enfoque interdisciplinar. En COFLA podemos encontrar expertos en flamenco, músicos, musicólogos, expertos en literatura, psicólogos, pero también ingenieros, informáticos y matemáticos. Cuando el objeto de estudio presenta tal complejidad como es el caso de la música, el enfoque multidisciplinar es imprescindible y esencial. También describimos en esa entrega la metodología del grupo COFLA y proporcionamos al lector una lista de los problemas de investigación en que trabaja el grupo. Esos problemas provenían del estudio del flamenco y proporcionaban material de investigación a las disciplinas implicadas, desde la musicología a la computación. Estudiaremos el problema de la similitud melódica en el marco de la clasificación de estilos. 2. Similitud melódica en el cante a palo seco del flamenco Uno de los problemas que ha abordado COFLA es el de la clasificación de los cantes a palo seco. Recordamos de nuevo del artículo anterior [1] las características del cante flamenco a fin de que el lector aprecie la dificultad del problema. Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. En nuestro estudio tomamos tres subestilos de un estilo llamado tonás; esos tres subestilos fueron deblas, martinete-1 y martinete-2. Las tonás son cantes que se cantan con ritmo libre. Las escalas y melodías son típicamente modales. Los modos más frecuentes que encontramos en estos estilos son el modo mayor, el menor y el frigio; también es habitual la alternancia de modos dentro de un mismo cante. Las letras de estos cantes varían ampliamente en tema. Estos cantes presentan un alto grado de ornamentación; véase [7] y [6] para más información. En las figuras 1 y 2 se encuentran transcritas dos deblas. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Dado que no había partituras disponibles, el primer paso que dimos fue el de hacer la transcripción automática a partir de los ficheros de audio. El corpus estaba compuesto de 72 tonás, las cuales incluían deblas, martinete-1 y martinete-2. Para tal fin, usamos el sistema propuesto por Gómez y Bonada [2]. El proceso de transcripción melódica se estructura normalmente en tres pasos diferentes que se pueden ver en la figura 3. Se empieza por una extracción de los descriptores de bajo nivel; sigue una segmentación de notas basada en la posición de los ataques de las notas; y, por último, un proceso de etiquetado de las notas. Véase [2] y las referencias allí contenidas para más información sobre la parte técnica de este algoritmo de transcripción. Figura 3: Fases de la transcripción melódica automática. La salida de este algoritmo es un fichero tipo MIDI que contiene la sucesión de notas con sus alturas y duraciones. Esta sucesión representa el contorno melódico. El corpus que se empleó para nuestra investigación se puede encontrar en [4]. En términos geométricos, esa sucesión se puede interpretar como una cadena poligonal. A partir de entonces, muchas técnicas matemáticas se pueden aplicar al problema de determinar la distancia de dos cantes. El problema de determinar cuán similar son dos cantes se ha transformado en el de determinar al distancia entre las cadenas poligonales dadas por los contornos melódicos. Existe una miriada de algoritmos para calcular la distancia entre dos cadenas de ese tipo (distancia de edición, n-grams, correlación de vectores, etc.). Sin embargo, la mayoría de esas medidas carecen de validación perceptual, esto es, no han sido comprobadas con sujetos. En 2004 Müllensiefen y Frieler [8] atacaron este problema, por otro lado, tan básico. El primer paso fue establecer un sistema de evaluación de la similitud bajo ciertas condiciones. Este sistema incluía una selección muy rigurosa de los sujetos. Se eligieron por su capacidad de ser consistentes en sus juicios musicales durante periodos de semanas. El segundo paso fue estudiar 34 medidas de similitud (o distancias de disimilitud) que encontraron en la bibliografía existentes para determinar las medidas más adecuadas en términos de validez perceptual. Dado que la combinación lineal de dos medidas de similitud da una nueva medida de similitud, estos autores calcularon tales combinaciones lineales. La mejor medida de similitud resultó ser la combinación de la distancia de edición en bruto y la medida n-grams. Nosotros seguimos sus resultados a la hora de definir y calcular las medidas de similitud entre los cantes. La matriz de distancias obtenida se usó para alimentar un algoritmo que calcula y construye grafos filogenéticos. Dada una matriz de distancia entre un conjunto de objetos, un grafo filogenético es un grafo cuyos nodos son los objetos del conjunto y tal que la distancia entre los nodos del grafo se corresponde con la distancia en la matriz; véase [5] para las definiciones y detalles técnicos de su construcción. El grafo resultante cuando aplicamos el algoritmo a nuestro conjunto de cantes se puede ver en la figura 4. Figura 4: The phylogenetic graph for the melodic contour distance. A causa del problema de la ornamentación mencionado anteriormente (en la entrega anterior), el grafo filogenético produjo resultados pobres (había varios cantes mal clasificados). En efecto, dos cantes pueden tener las mismas notas principales y las ornamentaciones entre estas ser muy diferentes. Sin embargo, la distancia de edición daría una distancia alta entre ellos. Hacía falta poner más conocimiento y refinamiento en el problema para obtener mejores resultados. Típicamente, los descriptores musicales se clasifican en tres categorías: los descriptores de bajo nivel, que están relacionados principalmente con propiedades tales como la frecuencia, el espectro o la intensidad; los descriptores de medio nivel, asociados con la altura del sonido, la melodía, los acordes, el timbre, la métrica o los patrones rítmicos; y finalmente los descriptores de alto nivel, típicamente relacionados con el significado y la expresividad, como por ejemplo el carácter y las respuestas afectivas y motoras. Para sortear el problema de la ornamentación en los cantes, definimos una distancia basada en descriptores de medio nivel. Los descriptores de medio nivel que usamos para todas las tonás de nuestro estudio fueron los siguientes: Nota inicial de la pieza; Simetría del grado más alto de la escala en el segundo hemistiquio; La frecuencia del grado más alto del segundo hemistiquio.; Presencia del clivis al final del segundo hemistiquio (clivis es un patrón melódico); Nota final en el segundo hemistiquio; Grado más alto en el cante; Duración del cante. Como es obvio, si usásemos características peculiares de un estilo dado, el análisis estaría distorsionado, ya que el poder de discriminación sería muy alto. Nuestra intención fue seleccionar un conjunto pequeño de descriptores que fuesen capaces de discriminar entre los diferentes cantes. Nótese que estos descriptores tienen naturaleza eminentemente musical. El cálculo de los valores de estos descriptores requiere que la ornamentación se tenga en cuenta, razón por la cual se calcularon manualmente por expertos en flamenco. El grupo COFLA está trabajando actualmente en cómo calcularlas automáticamente (y aquí aparecen problemas muy duros, créanos el lector). Definimos una nueva distancia que fue la combinación lineal entre la distancia del contorno melódico y la distancia de los descriptores de medio nivel. Los resultados al usar la nueva distancia mejoraron significativamente. La distancia del contorno melódico detectaba los cambios locales con precisión y la distancia de medio nivel medía adecuadamente los cambios globales. Presentamos el nuevo grafo filogenético a los expertos en flamenco y su evaluación fue positiva (el número de mal clasificados bajó a niveles aceptables). La nueva distancia también permitió el estudio intra-estilo, estudio que no era posible con la distancia del contorno melódico solo. 3. Conclusiones En este artículo hemos querido presentar al lector un ejemplo de investigación interdisciplinar en el marco del grupo COFLA. En ese ejemplo hemos mostrado cómo atacar de modo interdisciplinar el problema de la similitud melódica en los cantes a palo seco. El corpus fue seleccionado por expertos en flamenco; los informáticos e ingenieros del grupo diseñaron los algoritmos para extraer las sucesiones melódicas a partir de los ficheros de audio; los matemáticos estudiaron el problema de la distancia de similitud. Como los resultados no fueron en un primer momento satisfactorios, cuando se uso solo la distancia del contorno melódico, los expertos en flamenco y los musicólogos del grupo diseñaron la distancia de medio nivel; de nuevo, los científicos del grupo la integraron con la distancia previa. Finalmente, los expertos en flamenco evaluaron los resultados. Muchos problemas abiertos quedan por considerar en este ejemplo. Nuestra distancia, aunque da buenos resultados, todavía puede mejorarse. En particular, estamos trabajando en la generalización de la distancia de medio nivel a otros estilos flamencos. Una cuestión interesante es cuál es el mínimo número de variables (descriptores) que es necesario para medir la similitud melódica en el flamenco.   Referencias [1] Gómez F., Gómez E., Mora J., and Díaz-Báñez J.M. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional - I. [2] Emilia Gómez and J Bonada. Towards computer-assisted flamenco transcription: An experimental comparison of automatic transcription algorithms as applied to a cappella singing. Computer Music Journal, 37:73–90, 2013. [3] The COFLA group. The COFLA group. http://mtg.upf.edu/research/projects/cofla. [4] The COFLA group. Corpus tonás. http://mtg.upf.edu/download/datasets/tonas, accessed in January, 2014. [5] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006. [6] Cabrera J.J., Díaz-Bañez J.M., Escobar-Borrego F.J., and J. Gómez E., Mora. Comparative melodic analysis of a cappella flamenco cantes. In Fourth Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM08), Tesalónica, Grecia, 2008. [7] J. Mora, F. Gómez, E. Gómez, F. Escobar Borrego, and Díaz Báñez J.M. Characterization and melodic similarity of a cappella flamenco cantes. In ISMIR (International Symposium on Music Information Retrieval), Utrecht, Netherland, August 2010. [8] D. Müllensiefen and J. Frieler, K. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004.   El grupo COFLA está financiado por el Proyecto de Excelencia de la Junta de Andalucia P12-TIC-1362.
Jueves, 01 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor: F. Gómez, J.M. Díaz-Báñez, J. Mora y E. Gómez
1. Música, Matemáticas, Computación La música es un fenómeno que siempre ha fascinado a investigadores de un amplio rango de disciplinas. La música es compleja, multidimensional y universal. La música se puede ver como un fenómeno del individuo, la sociedad y la cultura, como se estudia en la antropología [27]; también como un fenómeno físico, y como tal es abordado por físicos e ingenieros [4]; como un fenómeno de la mente, el cual es entonces objeto de estudio de la cognición musical [20, 33, 34]; como un fenómeno puramente musical, y entonces cuestiones tales como la melodía, el ritmo y la organización armónica son relevantes; o como un fenómeno afectivo, y entra en ese caso en el reino de la psicología [30, 7]. Sin embargo, por larga que parezca esta enumeración, la música ha despertado el interés de investigadores de campos aparentemente muy alejados de ella tales como las matemáticas y la computación. El interés de las matemáticas por la música no es en modo alguno nuevo; se remonta a los griegos (por ejemplo, Pitágoras y su teoría de las proporciones para explicar la consonancia musical). Ese interés se ha renovado a lo largo de los siglos según las matemáticas han ido avanzando. Nuevo entendimiento en las matemáticas tarde o temprano ha conducido a nuevas interpretaciones de las estructuras musicales. Esto ha sido incluso más acusado en las últimas décadas. La música está llena de patrones y estructuras y esto inexorablemente ha atraído el interés de los matemáticos. Este interés, no obstante, no se debería entender como un deseo irrefrenable por encontrar patrones y estructuras en la música independientemente del objeto musical mismo. Esto proporcionaría una impresión injusta y equivocada de las matemáticas y sus métodos. En la investigación matemática hay un genuino interés por entender la naturaleza de la música. El lector puede encontrar una discusión razonada del alcance y propósito de las matemáticas y la computación en la música en [36]. Dado que los ordenadores permiten tales formidables formas de procesar los datos musicales, una importante cantidad de investigación matemática ha servido de fundamento teórico a la tecnología musical. Un subcampo importante de la tecnología musical es el MIR (music information retrieval o MIR, en sus siglas inglesas), que consiste en el tratamiento computacional en todas sus formas de la música. El lector puede acudir a las siguientes referencias para ver conexiones entre matemáticas y música: [3] (para un panorama general); [9] and [12] (la geometría en la música); [25] (teoría de categorías); [2] (teoría de números). La lista no es única ni exhaustiva, como es de esperar; las referencias que contienen estas obras permitirá al lector profundizar aun más. Durante los últimos años el uso del ordenador (las herramientas computacionales) en la investigación de la música han crecido espectacularmente, especialmente en MIR. Por ejemplo, Meinard [26] identifica cuatro grandes áreas las técnicas de procesamiento de la señal en MIR se han aplicado intensivamente a la música, a saber, la recuperación de archivos sonoros, la sincronización, el análisis de las estructuras musicales y el análisis de interpretaciones (aunque él mismo reconoce que “la lista apenas escarba bajo la superficie”). Sin embargo, estas técnicas no están pensadas para sustituir a los métodos tradicionales de investigación en música. Aunque es cierto que cuando el MIR se estaba estableciendo como disciplina se puso un énfasis excesivo en la computación per se, después de un tiempo la comunidad MIR entendió que un enfoque interdisciplinar era necesario para analizar la música en toda su complejidad. Hoy las técnicas computaciones se piensan como herramientas para asistir, complementar e incrementar el poder de análisis de las metodologías tradicionales, tanto en términos cuantitativos como cualitativos. El número de aplicaciones de la tecnología musical que se pueden encontrar en la bibliografía es sencillamente espectacular; véanse el número de artículos presentados en ISMIR [11], la principal conferencia del campo para hacerse una idea de la gran variedad de resultados. Sorprendentemente, la mayor parte de esa investigación y sus aplicaciones se han hecho para la música occidental, bien música popular o música clásica de periodo de la práctica común. En 2010 Cornelis y sus coautores [6] estudiaron la situación y encontraron que el problema persiste (ya se había detectado el problema más de una década antes), y a pesar de la cantidad sustancial de investigación desarrollada en los últimos años, la investigación dirigida a entender los procesos de la música étnica (música no occidental y folclórica) es escasa y está dispersa. Los desafíos que supone la investigación en este tipo de música son significativos por las características musicales de las tradiciones en particular, las cuales son marcadamente diferentes de las occidentales. Véase, por ejemplo, el proyecto CompMusic [32], financiado por el European Research Council y coordinado por Xavier Serra (Music Technology Group, Universitat Pompeu Fabra). La investigación en tecnología musical no se ha centrado solamente en la música occidental, sino en la música escrita, y solo recientemente han empezado los investigadores a prestar atención a las tradiciones orales. En este respecto, es un ejemplo ilustrativo de esta situación. La música flamenca es una tradición no occidental, oral y con unas características musicales cuyo análisis requiere ciertamente un enfoque interdisciplinar. Una cuestión tan aparentemente simple como la transcripción no está resuelta en absoluto en la música flamenca, solo por nombrar un problema fundamental en análisis musical. Aun más, otros problemas igual de fundamentales en el flamenco están todavía abiertos o apenas tratados, tales como la similitud melódica y rítmica, la clasificación de estilos, la identificación de cantaores, entre otros. En esta serie de artículos nos proponemos varios objetivos divulgativos. En primer lugar, como siempre en esta columna, mostrar las conexiones entre matemáticas y computación y la música. En segundo lugar, llamar la atención sobre el flamenco como objeto de estudio serio, tanto como lo puede ser la música del Barroco o el jazz. En tercer lugar, queremos dar a conocer los esfuerzos del grupo de investigación COFLA[15], que está formado por investigadores de varias disciplinas —y al cual pertenece el autor de estas líneas— cuyo objeto de estudio es la música. El grupo está financiado por el gobierno de Andalucía. Su objetivo es analizar el flamenco desde varias disciplinas. Para lograr este objetivo COFLA está compuesto por un equipo interdisciplinar que incluye expertos de disciplinas tales como la Musicología, Etnomusicología, la Historia, la Literatura, la Educación, la Sociología, pero también las Matemáticas, la Ingeniería y la Computación. Para obtener más información sobre la filosofía del grupo, véase la comunicación [10]. En la sección daremos una brevísima descripción musical del flamenco. En las secciones siguientes daremos algunos ejemplos del trabajo del grupo COFLA. 2. La música flamenca La música flamenca es eminentemente individual y todavía una forma de música altamente estructurada. En efecto, por una parte existe una alto grado de improvisación y espontaneidad; por el otro, hay un organización extremadamente estable del material musical sin la cual la improvisación no funcionaría. La música flamenca es el resultado de la influencia mutua de varias culturas a lo largo del tiempo, lo cual originó una combinación única de canto, danza y toque de guitarra. Ha recibido influencias de la cultura judía y árabe así como de la de los gitanos andaluces, quienes contribuyeron decisivamente a su forma tal cual la conocemos hoy. El lector puede consultar los libros de Blas Vega y Ríos Ruiz [5], Navarro y Ropero [29] y Gamboa [13] para un estudio extenso de las formas musicales, estilos e historia del flamenco. Según Gamboa [13], la música flamenca se desarrolló principal a partir de la tradición vocal. Por tanto, el papel del cantante es predominante y fundamental en el flamenco. A continuación describimos las principales características del cante flamenco (siguiendo a [28]). Inestabilidad de las alturas. En general, las notas no se atacan claramente. Los portamenti o transiciones continuas entre sonidos son muy comunes. Cambios súbitos de volumen. Estos cambios se usan como recursos expresivos con mucha frecuencia. Ámbito melódico reducido. Esta normalmente reducido a una octava y se caracterizan por la insistencia en una nota y sus contiguas. Inteligibilidad de las voces. Las letras son importantes en el flamenco y, por tanto, la inteligibilidad es deseable. Por esta razón, las voces de tenor y barítono son las tesituras preferidas. Timbre. Las características del timbre varían dependiendo del cantaor. Como aspectos relevantes del timbre, destacamos la voz ronca o rasgada y la ausencia de los formantes de frecuencias altas. El siguiente vídeo, con el genial Paco de Lucía, ilustra las características que acabamos de describir. Como se usarán más tarde con fines ilustrativos, describiremos brevemente los cantes a palo seco (a capella) en el flamenco. Estos cantes constituyen un grupo de estilos muy importante dentro del flamenco. Son cantes sin acompañamiento, o en algunos casos con percusión. Desde un punto de vista musical poseen las siguientes características: Uso de grados conjuntos. El movimiento melódico ocurre casi siempre por grados conjuntos. Escalas. Ciertas modos tales como el modo frigio y jónico son predominantes. En el caso del modo frigio, la subida cromática del tercer y séptimo grados es frecuente. Ornamentación. Existe un alto grado de ornamentación, que es también muy compleja. Los melismas son uno de los recursos expresivos más importantes. Microtonalidad. El uso de intervalos menores que los del sistema temperado de la música clásica occidental es habitual. Escalas enarmónicas. Esto se refiere a las diferencias interválicas microtonales entre las notas enarmónicas. Estas características no son exclusivas de los cantes a palo seco y se pueden encontrar en otros estilos flamencos. En el siguiente vídeo, vemos a Agujetas interpretar un cante a palo seco. 3. El grupo COFLA El grupo COFLA tiene como objetivo principal el estudio interdisciplinar del flamenco. En esta sección presentamos algunos problemas en que trabaja el grupo y la metodología con que los aborda. Distinguiremos varias secciones que corresponden a temas generales e incluimos algunos problemas fundamentales a tratar que se generan de las propias tareas del grupo COFLA. 3.1. El problema de la transcripción Como ocurre con frecuencia en las tradiciones orales, las transcripciones se suelen reducir a los instrumentos, en el caso del flamenco, a la guitarra. La voz normalmente no es transcrita y los cantaores aprenden de memoria los cantes bien de sus maestros, bien de los registros sonoros o de las actuaciones en vivo. Como tradición oral, los intérpretes nunca tuvieron la necesidad de transcribir. Pero la situación es aun más grave. El flamenco ha empezado a estudiarse desde hace relativamente poco (comparado con, por ejemplo, la música clásica u otras tradiciones) de modo que a día de hoy no hay consenso entre los expertos en flamenco acerca de cuál es el mejor método para transcribir el flamenco. Mientras Philippe Donnier [8] aboga por el uso de los neumas gregorianos para anotar el cante flamenco, los hermanos Hurtado and Hurtado [21] y Rafael Hoces [19] argumentan a favor de la notación clásica occidental (con algunas modificaciones). Desde el punto de vista tecnológico, Emilia Gómez (COFLA) y sus colaboradores han desarrollado algoritmos que proporcionan una transcripción automática de los cantes a palo seco a partir de un fichero de audio; véase [14]. La anotación manual de la melodía es una tarea ardua y que conlleva mucho tiempo de dedicación y siempre trabaja con cierto peso específico de subjetividad. Con el fin de minimizar el trabajo de anotación manual, se pueden aplicar técnicas actuales de descripción y anotación automática de señales de audio al caso particular del flamenco. El Grupo de investigación en Tecnología Musical de la Universidad Pompeu Fabra tiene una gran experiencia en este problema. Resulta de gran utilidad los algoritmos de descripción automática de la melodía a partir de un fichero de audio para extraer una curva melódica a partir de una grabación de cante acompañado por guitarra. Citamos las herramientas de estimación de melodía y de melodía en entorno polifónico desarrolladas por Klapuri [24] y Salamon y Gómez [31]. Para material monofónico (cantes a palo seco en flamenco), puede utilizarse el método de Gómez y coautores [17]. Una opción alternativa a la extracción de polifonías de flamenco consiste en la separación de voces y el método de transcripción se realizaría en dos etapas, a saber, una primera de separación de voces, donde se filtra el sonido dejando la voz del cantaor sin guitarra ni percusión y, una segunda, donde es realiza la segmentación monofónica del resultado. La separación de voces es uno de los problemas de mayor actualidad en tecnología musical y puede realizar con técnicas de aprendizaje automático. Los primeros pasos en el caso de la música flamenca se están dando en el marco del grupo COFLA con la colaboración de varios expertos en ingeniería del sonido (véase [16]). Hay que señalar que éstas tecnologías, al igual que cualquier tipo de transcripción manual, ofrecerán una aproximación más o menos fiel a lo que se canta, no se pretende sustituir la transcripción manual sino que constituye una herramienta útil para muchos problemas de investigación sobre grandes colecciones de datos. Algunos problemas relevantes en este marco son los siguientes: Problema 1 (musicología y pedagogía): Establecer unos criterios y una metodología para transcribir el cante flamenco que sea adecuada para el análisis y la enseñanza. Problema 2 (tecnología y música): Diseño de un algoritmo robusto de separación de la voz flamenca. Diseño de un método de estimación de altura y segmentación en notas. Problema 3 (matemáticas y computación): Diseño de un algoritmo de extracción del contorno melódico global. 3.2. Similitud musical Es quizás en este problema donde el flamenco se muestra extraordinariamente difícil de analizar. En otras tradiciones la similitud musical se evalúa a partir de la sucesión de notas y el orden en que aparecen. En el flamenco no es así ni mucho menos. Dos cantes que pertenecen al mismo estilo pueden sonar muy diferentes a un oído desprevenido. Subyacente a cada cante hay un esqueleto melódico. Donnier [8] ha denominado a ese esqueleto melódico “el gen melódico del cante”. El cantaor puede intercalar todo tipo de melismas, ornamentación y otros recursos expresivos entre las notas del esqueleto melódico. Un oyente acostumbrado flamenco reconocería ambos cantes como el mismo a pesar de los rellenos melódicos diferentes. Con el fin de que el lector entienda esta delicada cuestión, en las figuras 1 y 2 mostramos una transcripción de dos versiones del mismo cante escrita en notación clásica. Un oyente habitual de flamenco reconocería ambas versiones porque ciertas notas aparecen en cierto orden. Lo que pase entre medias no importa en términos de clasificación del estilo, pero importa en términos de evaluación de la interpretación. Las notas principales han sido subrayadas para facilitar la lectura. Véase [28] para más información. Figura 1: Interpretación de Mairena de En el barrio de Triana. Figura 2: Interpretación de Lobato de En el barrio de Triana. Tanto músicos como psicólogos han estudiado en profundidad medidas de similitud, debido en parte, a multitud de aplicaciones comerciales tales como sistemas de recomendación, demandas de plagio, organización de bases de datos (audios), clasificación de estilos, etc. Entre las medidas de similitud que se han propuesto destacamos las de carácter geométrico y las distancias de transporte. Un buen trabajo donde se revisan medidas de similitud mélodica es el de W. Hewlett y E. Selfridge-Field [18]. Como es habitual, la investigación existente en similitud musical está centrada fundamentamente en música occidental y en los sistemas actuales de recomendación, es esta música la que se encuentra etiquetada. Sin embargo, existe un creciente interés en el campo para analizar y etiquetar músicas tradicionales y folclóricas. Puesto que no existen en la actualidad modelos computacionales que traten la melodía del flamenco (en realidad, la investigación científica del flamenco está dando los primeros pasos hoy en día), se requiere un estudio profundo del tema para el que se requiere la colaboración con musicólogos y psicólogos expertos en la materia. Los trabajos de Cabrera y otros [22] y de Mora y otros [28] suponen los primeros pasos en este ámbito. Por otra parte, muchos problemas relacionados con la teoría de similitud y tecnología musical son fundamentalmente geométricos por naturaleza, esto es, miden alguna característica que contiene el corpus musical; véase el trabajo de Toussaint [35]. Pongamos un ejemplo: dos melodías pueden ser representadas por poligonales ortogonales (funciones escalón) y una posible medida de similitud es el área comprendida entre las dos curvas (permitiendo traslaciones verticales y horizontales). De esta forma, el problema se traslada al campo de Matemáticas, donde coincide con el problema de emparejamiento de formas poligonales [1] y problemas de aproximación de funciones escalonadas [23]. Señalamos aquí dos problemas inherentes al estudio de similitud musical: Problema 4 (cognición, musicología y matemáticas): Definición de una distancia de similitud melódica adecuada. Problema 5 (tecnología y matemáticas): Diseño de un algoritmo eficiente de cálculo de similitud melódica. 3.3. Detección automática de patrones distintivos El estudio de patrones melódicos distintivos es un tema íntimamente relacionado con la definición de estilo musical, mucho más claro en el caso de músicas de tradición oral. La conservación de los cantes flamencos de generación en generación hace que la melodía juegue un papel crucial en la evolución y clasificación de los distintos estilos del flamenco. Una definición precisa y efectiva de patrón melódico en los palo flamenco constituye uno de los requisitos necesarios para elaborar una clasificación de los cantes, clasificación que tiene sus aplicaciones en la didáctica y estudio del flamenco. De hecho, lo que recuerda el cantaor es un esqueleto melódico sobre el cual puede añadir unas ornamentaciones u otras que dependen de la influencia de otros cantaores (escuelas) o de la propia capacidad vocal del intérprete (aportación personal). Permita el lector que pongamos un ejemplo. Si aceptamos que el precursor del cante de debla fue Tomás Pabón, podemos tomar su interpretación como modelo canónico. Sin embargo, la debla interpretada por Antonio Mairena o Naranjito de Triana, aún manteniendo un alto grado de similitud con el canon, aparece más ornamentada, y con un contorno melódico bastante diferente. Como ocurre en muchos temas de investigación musical del flamenco la caracterización de estilos a través de patrones melódicos ha recibido escasa atención. Podemos destacar dos estrategias o metodologías. Se analiza la música para “descubrir” los patrones distintivos (método inductivo) o bien, se parte de un conjunto de patrones considerados canónicos y se buscan en la colección o corpus correspondiente (método deductivo). Podemos decir que existen varias categorías de patrones, según sea la posición en la pieza (exposición, remate, etc.) o el carácter (preceptivo del cante, ornamental, etc.). En este marco aparecen cuestiones fundamentales que están íntimamente relacionadas entre sí: ¿Cuál es el patrón melódico común a todas las interpretaciones grabadas por maestros consagrados? ¿Qué tipo de ornamentos son carácterísticos en el estilo? ¿Qué ornamentos son preceptivos del estilo y cuáles no? ¿Qué patrones determinan la macro- y la micro-estructura del estilo? A partir de lo dicho en anteriormente, surgen las siguientes temas de investigación: Problema 6 (Musicología): Codificación y clasificación de los ornamentos del flamenco. Ornamentos estéticos o preceptivos del cante. Problema 7 (Musicología): Estudio del melisma flamenco. Carácter y similitudes con otras culturas. Problema 8 (Musicología): Reconstrucción de arquetipos (patrones) ornamentales comunes a otros géneros melismáticos de tradición oral (Musicología comparada). Problema 9 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones o motivos melódicos. 3.4. Patrones melódicos estructurales En el análisis de la estructura melódica de un determinado cante flamenco aparecen varias tipos de patrones según la localización de los mismos. De hecho, son estos micropatrones los que definen las distintas variantes de un determinado palo flamenco. Destacamos los patrones de exposición del cante (muchas veces resultan suficientes para clasificar la variante cantada), los de ligado o intermedios y los de caída o remate. El trabajo de Pikrakis et al. (2012) recoge los primeros avances en el desarrollo de algoritmos para la detección automática de patrones. Los problemas de investigación que surgen inmediatamente al considerar esta cuestión son, entre otros, los siguientes: Problema 10 (Musicología): Codificación y clasificación de patrones melódicos del cante flamenco. Patrones de exposición, de ligado, de remate o caída. Problema 11 (Matemáticas, aprendizaje automático, inteligencia artificial): Diseño de algoritmos para la detección automática de patrones melódicos. 4. Conclusiones En esta primera entrega hemos presentado un ejemplo de investigación interdisciplinar a través del grupo COFLA. En este grupo hay investigadores de varias disciplinas que tratan de resolver problemas abiertos en la música flamenca. Hemos enumerado unos cuantos problemas representativos en que trabaja el grupo con la esperanza de que el lector se haya hecho una idea de cómo trabaja un grupo de estas características. En la próxima entrega pondremos un ejemplo de un problema de similitud melódica y lo resolveremos (y evaluaremos la solución) con métodos interdisciplinares.   Bibliografía [1] Greg Aloupis, Thomas Fevens, Stefan Langerman, Tomomi Matsui, Antonio Mesa, Yurai Nuñez, David Rappaport, and Godfried Toussaint. Computing a geometric measure of the similarity between two melodies. In Proc. 15th Canadian Conf. Computational Geometry, pages 81–84, Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada, August 11-13 2003. [2] S. Beall. Functional melodies: Finding mathematical relationships in music. Key Curriculum Press, 2000. [3] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [4] R. Berg and D.G. Stork. The physics of sound. Addison-Wesley, 2004. [5] J. Blas Vega and M. Ríos Ruiz. 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Viernes, 25 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En la mayor parte de los artículos de esta columna hemos tratado las relaciones entre las matemáticas y la música desde el punto de vista de su contenido como disciplinas. En unas pocas ocasiones hemos examinado las relaciones entre ambas desde el punto de vista pedagógico (véanse las series de artículos Enseñanza de música por vía de las matemáticas [Góm14c], [Góm14d], [Góm14e] y El aprendizaje por indagación [Góm14a], [Góm14b]). En las dos próximas entregas vamos a considerar más a fondo esa fascinante relación. En particular, nos vamos a interrogar por una cuestión que ha sido estudiada en las últimas tres últimas décadas con interés creciente dentro de la comunidad científica. Se sabe que hay pocas actividades cuya práctica implique una transferencia entre diferentes dominios cognitivos. Sin embargo, parece que hay ciertas pruebas de que la actividad musical mejora el rendimiento en otras áreas tales como las matemáticas (de ahí nuestro interés en la cuestión), el lenguaje, o incluso destrezas como la capacidad de concentración o las relaciones sociales. La cuestión tal cual está formulada —¿influye la formación musical en el aprendizaje de las matemáticas? —  es bastante amplia. Necesitamos definir bien los términos de la cuestión para poder dar respuestas útiles y significativas. Por poner un ejemplo de la amplitud de la cuestión, deberíamos definir qué es formación musical y cómo se mide su rendimiento; análogamente, qué se entiende por aprendizaje en matemáticas y cómo se mide este; también qué edades se están considerando; qué intervalos de tiempo de formación musical estamos contemplando; qué tipo de formación en concreto; en qué tipo de estudiantes dicha influencia es mayor, entre otros factores. Examinaremos la bibliografía pertinente para definir correctamente la pregunta y posteriormente dar respuestas razonablemente fundadas y sólidas, siquiera parcialmente, a esa cuestión. Nos gustaría que hubiese más estudios sobre este tema en nuestro país. Lamentablemente, no es así, y una buena parte del material que presentaremos en los dos próximos artículos se refiere a la situación en Estados Unidos y otros países occidentales. Entendemos que, salvando ciertas diferencias, la situación es similar en nuestro país; iremos desgranando cuando sea oportuno dichas diferencias (especialmente en el segundo artículo de la serie). Como primera distinción terminológica nos gustaría diferenciar educación e instrucción, pues ello nos será de utilidad, especialmente en la discusión final de las conclusiones. La misma Real Academia de la Lengua, en su diccionario, define la instrucción como “la comunicación sistemática de ideas y conocimientos” [Rea14a]. Esto, aunque a primera vista parezca lo mismo, es diferente de la educación, que es “desarrollar las facultades intelectuales y morales” [Rea14b]. La diferencia estriba en las componentes emocionales y morales que implica la educación frente a la instrucción, entendida esta como la mera transmisión de conocimientos. El lector quizá se muestre anonadado por el hecho de que la anterior distinción implica un concepto de docencia desnudo de componentes emocionales y morales. ¿Puede haber docencia en un sentido estricto sin que haya implicación emocional y moral, tanto en matemáticas como en música, y para el caso en cualquier disciplina? La respuesta es un rotundo y sonoro no. Pero tal rotundidad y volumen no impide a ese mismo lector anonadado ver, tras un rápido vistazo a su alrededor, que esa práctica docente reducida a una fría y lejana transmisión de conocimientos es frecuente en todos los niveles de la educación, en nuestro país y en general en los países occidentales. Esta distinción terminológica nos permitirá más adelante analizar qué tipo de docencia permite —si finalmente se prueba que es así— que la formación musical ejerza una influencia beneficiosa en el aprendizaje de las matemáticas. 2. Los beneficios de la educación musical Los beneficios de la educación musical han sido ampliamente estudiados por la comunidad científica, especialmente desde la psicología y la pedagogía. Esta avalancha de resultados han llegado al gran público de manera confusa e incompleta en numerosas ocasiones. A veces esos resultados han sido recogidos por los medios de comunicación de una manera superficial o exagerada, en ocasiones deformando los resultados mismos. Como ejemplo anecdótico, valga el famoso efecto Mozart en que el mismísimo Alex Ross, crítico musical de prestigio, en el New York Times llegó a afirmar que escuchar a Mozart te vuelve más listo (ojalá, fuera cierto: Mozart es uno de mis compositores favoritos, pero ya comprueba el lector mi torpeza cada mes). En otras ocasiones, sencillamente los resultados y sus discusiones no llegan al gran público. Dado que el periodismo científico de calidad es raro de encontrar y el peligro de la desinformación del gran público, perniciosa, opino humildemente que los científicos deberían hacer un esfuerzo en comunicar la ciencia a la sociedad de modo más efectivo y sistemático. La verdadera sinergia vendría de periodistas con más formación científica y de científicos que concibiesen la divulgación científica como una obligación profesional y moral. A continuación vamos a glosar brevemente unos cuantos artículos que describen resultados que relacionan el aprendizaje de la música con el de las matemáticas. Están tomados de revistas con procesos rigurosos de revisión y por tanto poco sospechosas de sesgos ideológicos. Varios de los resultados que se presentan están tomados de [VH114] y [Hod14]. 2.1. Los beneficios en el desarrollo cognitivo Los primeros signos de reacción a los estímulos musicales ocurren a partir de los tres últimos meses de gestación. Durante ese período el córtex auditivo y las neuronas del feto se han estabilizado y muestran una gran actividad. Se han llevado a cabo investigaciones sobre la percepción musical en niños de corta edad y, por ejemplo, se sabe que niños de entre 6 y 8 meses de edad ya son capaces de detectar un cambio de una sola nota en una corta melodía de 6 notas, incluso aunque el cambio sea sutil. También se sabe que pronto desarrollan un cierto sentido de la armonía y que muestran preferencia por intervalos consonantes (entendiendo intervalos consonantes como el unísono, las terceras, las cuartas, las quintas, las sextas y las octavas). El ritmo es otro aspecto musical que los niños pequeños desarrollan pronto. Se ha demostrado que son capaces de reconocer un pulso regular y que poseen capacidad de reconocer patrones rítmicos basados en similitud de las figuras rítmicas y en la proximidad temporal de las figuras. Para más información sobre este tema, véase el artículo en esta misma sección [Góm14f] y el capítulo 3 de Sounds of Learning [Hod14] así como las referencias allí contenidas. Cuestiones abiertas en este fascinante campo son determinar la existencia o no de un punto a partir del cual la exposición y la actividad musical ayuda significativamente al desarrollo cerebral y si existe un punto crítico en que la exposición a la música dé como resultado un futuro desarrollo musical destacado en el niño. En un artículo de 2012, Skoe y Kraus [SK12] estudiaron el efecto en adultos de la educación musical recibida de niños desde el punto de vista de los cambios neuronales, esto es, de la neuroplasticidad. Estos autores tomaron medidas electrofisiológicas como respuestas a estímulos musicales. Hallaron que las respuestas fueron más robustas en adultos que habían adquirido una formación musical en su niñez (empezando alrededor de los cinco años) que en aquellos que no la tenían. Sus hallazgos sugieren que esos cambios neuronales permanecen en la edad adulta. Wong y sus coautores [WSR+07] por su parte han encontrado pruebas de que la formación musical mejora el procesamiento de los sonidos del lenguaje. Aunque los propios autores reconocen ciertas limitaciones en su diseño experimental, sobre todo el relativamente pequeño tamaño muestral, concluyeron que los participantes que tenían formación musical demostraron mayor competencia en la percepción y procesamiento del sonido. Pantev y sus coautores [POE+98], de la Universidad de Munster en Alemania, publicaron un artículo en Nature en que describían el aumento del tamaño del cerebro en niños que tomaban lecciones de música. El área donde se producía ese aumento era la especializada en el procesamiento de la altura del sonido. Cuanto antes empezaba la formación musical, mayor era el crecimiento del cerebro. En general, se han encontrado pruebas diversas y con distinto grado de solidez de que la actividad musical produce cambios neuronales, bien especializaciones, bien activación de patrones o bien creaciones de conexiones entre diversas zonas del cerebro. Por ejemplo, se sabe que en general el hemisferio izquierdo es más sensible al procesamiento de la altura del sonido y que el derecho responde más al procesamiento del ritmo, y que por tanto la actividad musical favorece las relaciones entre ambos hemisferios. Para más información y referencias a artículos más especializados, véase el capítulo 3 de [Hod14]. 2.2. Impacto en los indicadores de la inteligencia Tenemos, pues, que la música provoca cambios neuronales, pero esto obviamente no implica que tales cambios estén asociados a la mejora en el rendimiento en otras áreas. Quedaría por probar la existencia de una relación entre la actividad musical y el aumento de la inteligencia (en realidad, el aumento de ciertos indicadores que miden la inteligencia). Se ha probado que la formación musical está asociada positivamente con varias funciones cognitivas. Entre estas funciones se encuentran la capacidad de razonamiento espacio-temporal [Het00], la integración visual y motriz [OM99], la atención selectiva [HWBK75], la memoria del estímulo verbal [JCK03], las destrezas lectoras [But00] y las destrezas matemáticas [Vau00]. Los investigadores de este campo han intentado ir más allá de la mera correlación y han buscado establecer una relación causa-efecto entre la instrucción musical y ciertos indicadores de la inteligencia. Para este fin, varios investigadores optaron por usar un método aleatorio de elección de sujetos de manera que se aseguraran que las variables espúreas (extracción socio-económica, otras actividades extraescolares, género, etc.) no afectaran a los resultados finales. Con este método hubo estudios que no probaron relación entre la destreza lectora y el rendimiento en matemática en alumnos de primero de primaria, pero otros investigadores sí probaron relación con las habilidades espaciales. Todos estos estudios no son completos y requieren todavía más experimentación para extraer conclusiones definitivas (todos los autores reconocen este extremo). De hecho, alguno de esos estudios adolece de un diseño experimental erróneo. Schellenberg y sus coautores [SNHT07] abordaron la cuestión estudiando la relación entre la instrucción musical y un indicador global de la inteligencia. Para estudiar esa relación decidieron incorporar en el estudio la formación teatral y como grupo de control pusieron un grupo de alumnos que no recibió instrucción ni en música ni en teatro. El indicador global de inteligencia fue el indicador de Wescheler [Wec39], que proporciona un coeficiente conjunto basado en la combinación de cuatro índices que miden la comprensión verbal, la organización perceptual, el procesamiento del habla y la capacidad de concentración. El grupo de la instrucción musical mejoró sustancialmente en los cuatro índices y además lo hizo mejor que el grupo que no recibió instrucción alguna y que el grupo que recibió formación teatral. No obstante el trabajo de Schellenberg y sus coautores y sus buenos resultados, todavía hacen falta más estudios que comparen los efectos de la formación musical con otros tipos de formación. 2.3. Influencia en el desarrollo emocional Nadie discute a estas alturas las consecuencias emocionales de la música. Los estudios científicos han investigado tres cuestiones principales: la respuesta emocional en la escucha, la respuesta emocional en el aprendizaje musical y la respuesta emocional durante la ejecución musical. En el primer caso se ha investigado el efecto de la formación musical y en general se ha encontrado que la respuesta emocional es la misma independientemente del nivel de formación musical. Cuando se consideran sujetos con formación musical sí se observa que los juicios musicales son más sólidos y que son capaces de detectar detalles muy sutiles del discurso musical. También se ha observado que tienen un juicio estético superior al de los sujetos sin entrenamiento musical. En cuanto al tercer aspecto, la respuesta emocional durante la ejecución musical, hay estudios que han examinado el papel de la música en adultos que son músicos aficionados. Han encontrado que estos presentan una mayor habilidad para expresar su identidad de forma no verbal y una mayor capacidad de concentración. Véase [Hod14] y las referencias allí contenidas para más información sobre esta cuestión. 2.4. Influencia en el desarrollo social En la cuestión de la influencia musical en el desarrollo social queda mucho por investigar, pues los estudios son pocos y no abarcan poblaciones muy grandes sino con frecuencia pequeños estudios de casos. No obstante, de los estudios disponibles se puede concluir que la música ayuda a iniciar el contacto social, baja los índices de absentismo escolar y fomenta el aprendizaje individual y en grupo; consúltese [Hod14] para más información. 3. Conclusiones En este primer artículo hemos presentado la cuestión de si la instrucción musical tiene influencia en el aprendizaje musical. Sabemos que hay confusión al respecto y en muchos exageración o desconocimiento de los resultados obtenidos por los estudiosos de la cuestión. Hemos hecho una breve revisión de los resultados que afectan al desarrollo cognitivo derivado de la instrucción musical. A continuación hemos analizado su impacto en los indicadores de la inteligencia. Por último, hemos examinado el impacto en el desarrollo emocional y social. En el siguiente artículo y último de la serie, trataremos el impacto en el rendimiento académico y acabaremos con una discusión razonada basada en los resultados glosados aquí.   Bibliografía [But00] R. Butzlaff. Can music be used to teach reading? Journal of Aesthetic Education, 34(3/4):167–178, 2000. [Góm14a] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14825&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14b] Gómez, P. El aprendizaje por indagación - II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14957&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14c] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - I. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14600&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14d] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - II. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14672&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14e] Gómez, P. Enseñanza de música por vía de las matemáticas - III. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=14759&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Góm14f] Gómez, P. Matemáticas y música en niños pequeños. http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=14201&directory=67, consultado en noviembre de 2014. [Het00] L. Hetland. Learning to make music enhances spatial reasoning. Journal of Aesthetic Education, 34(3/4):179–238, 2000. [Hod14] Hodges, D. (Ed). 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Lunes, 22 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción ¿Qué es una paradoja? Si algo caracteriza una paradoja es la capacidad de sumirnos en un estado de perplejidad, el cual suele ir seguido de una disposición a resolver la aparente contradicción. El diccionario de la Real Academia de la Lengua [Rea14] trae varias acepciones de la palabra paradoja. En primer lugar habla de “idea extraña u opuesta a la común opinión y al sentir de las personas”. En efecto, una paradoja siempre causa extrañeza porque desafía la lógica en su sentido más habitual, porque nos muestra una situación bajo una luz diferente y cuyos resultados nos son inesperados. Enfrentados a una paradoja siempre tenemos la sospecha de que estamos en presencia de una trampa. La paradoja es más potente cuanta más perplejidad causa en nosotros. En la siguiente acepción, la RAE habla de “una aserción inverosímil o absurda, que se presenta con apariencias de verdadera”. Y he aquí una segunda característica de las paradojas: han de ser aparentemente contradictorias. El diccionario de la RAE quizás se excede en esta definición cuando dice que la aserción es absurda o inverosímil. Hay paradojas —sobre todo en matemáticas—que no fueron absurdas en su momento y que mostraron serias grietas en los fundamentos de las matemáticas; piénsese en las paradojas de Russell, de las que hablaremos más abajo. Las paradojas, empero, no se limitan a las matemáticas. Las hay lógicas, psicológicas, filosóficas, físicas, biológicas, lingüísticas y musicales, entre otras; véase [Wik14] para una lista más larga de ellas. En la columna de este mes vamos a examinar las paradojas matemáticas y las paradojas musicales. 2. Paradojas matemáticas 2.1. Las paradojas de Zenón de Elea Las paradojas de Zenón de Elea (490-430 a.C.) se cuentan entre las más conocidas en matemáticas. Estas paradojas tienen consecuencias matemáticas y filosóficas; véanse  [Sai09] y [Pal08] para más información sobre este filósofo y sus paradojas. Como ejemplo, vamos a presentar en la columna de este mes la paradoja de Aquiles y la tortuga. Aquiles es un famoso guerrero aqueo por la velocidad de su carrera hasta tal punto que es conocido como “el de los pies ligeros”. Entre sus hazañas se cuenta haber matado al príncipe troyano Héctor durante la guerra de Troya. La paradoja propone una carrera entre el rápido Aquiles y una tortuga. Para equilibrar la carrera, la tortuga cuenta con una ventaja inicial. La carrera empieza y Aquiles corre raudo y veloz y en poco tiempo alcanza el punto en que estaba la tortuga al inicio de la carrera. Sin embargo, la tortuga ya no está allí. En el tiempo que ha empleado Aquiles en recorrer esa distancia, la tortuga ha avanzado un cierto trecho. Aquiles corre, otra vez raudo y veloz, hasta ese nuevo punto solo para encontrarse con que la tortuga ya no está, ha seguido avanzando. Cada vez que Aquiles llega a un nuevo punto, la tortuga ya no se encuentra allí. Este proceso se repite todo el tiempo. Llegamos a la conclusión de que Aquiles, por muy raudo que sea, nunca alcanzará a la tortuga. En la figura 1 se ilustra la paradoja. Figura 1: La paradoja de Aquiles y la tortuga (figura tomada de [Rub14]). Como vemos, la paradoja provoca perplejidad, pues nuestra experiencia cotidiana nos dice que no ocurre lo que describe la paradoja. Sabemos que hay algo que no funciona, pero ¿qué es? Hay varias maneras de explicar la paradoja y señalar dónde está el error en la paradoja. Hay una explicación filosófica y es la de advertir que la paradoja de Zenon confunde el espacio real con su modelo matemático. Para fijar ideas, supongamos que Aquiles es diez veces más rápido que la tortuga y que la distancia inicial entre Aquiles y la tortuga era de 10 metros. Después de n pasos Aquiles se encontrará a una distancia de . Cuando n sea muy grande, esa cantidad en el mundo matemático es todavía positiva, pero en el mundo real eso significa que Aquiles ya ha alcanzado a la tortuga. Desde el punto de vista estrictamente matemático la paradoja se puede explicar también usando series numéricas. Teniendo en cuenta la distancia inicial y la velocidad de Aquiles, la distancia que recorre Aquiles viene dada por la siguiente suma: La serie infinita que aparece es la suma de una progresión geométrica de razón menor que uno, la cual es convergente. Tenemos entonces que: que es una cantidad finita. Por tanto, la suma infinita de números puede dar un resultado finito. La paradoja nos estaba haciendo creer que eso era imposible y que, por tanto, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Sin embargo, los cálculos anteriores desenmascaran la paradoja. 2.2. Las paradojas autorreferenciales Las paradojas autorreferenciales son aquellas que se derivan de enunciados que se refieren a sí mismos. La historia de estas paradojas es instructiva e interesante. A finales del siglo XIX hubo una escuela de pensamiento matemático, el formalismo, que concebía las matemáticas únicamente como un sistema formal basado en axiomas y demostraciones. Hoy en día se acepta mayoritariamente que las matemáticas tienen como características la abstracción, las demostraciones y las aplicaciones (véanse [AKL12, Sna79] para más detalles sobre las posibles definiciones de matemáticas). Obviamente, el formalismo enfatizó la segunda característica, las demostraciones. Durante un cierto tiempo los formalistas creyeron que la lógica y la teoría de conjuntos, tal cual estaban definidas entonces, constituirían los fundamentos de las matemáticas. Entonces aparecieron una serie de paradojas que les hicieron replantearse esa idea. Una de ellas fue la paradoja del barbero de Bertrand Russell. La paradoja va como sigue. Hay una ciudad donde hay un único barbero, que resulta ser un hombre. En esa ciudad misteriosa no hay hombres que se dejen barba. Para afeitarse hacen una de las dos cosas siguientes: o bien se afeitan a sí mismos o bien acuden a la barbería para afeitarse. Además el barbero solo afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es quién afeita al barbero. Si el barbero se afeita a sí mismo, caemos en una contradicción, ya que el barbero no afeita a quien se afeita a sí mismo. Si declaramos al barbero como miembro del conjunto de los que no se afeitan a sí mismo, por las condiciones del problema, tendría que ir a la barbería a que le afeitaran. Pero entonces se afeitaría a sí mismo y ya hemos visto que eso es contradictorio. La paradoja del barbero pone de manifiesto que no es posible definir un conjunto cuya definición se refiera a sí mismo. Relacionadas con esta paradoja están las paradojas lógicas consistentes en enunciados cuyo valor de verdad no se puede establecer. Por ejemplo, ”esta frase es falsa”, es un ejemplo clásico (la paradoja del mentiroso). Estos enunciados no son objeto de la lógica de proposiciones, la cual requiere que todo enunciado que participe en un razonamiento sea susceptible de determinarse su valor de verdad. La autorreferencia o circularidad ha aparecido en otros campos como la literatura o las artes plásticas. Escher la usó mucho; abajo tenemos una famosa litografía suya tratando este tema. Figura 2: Drawing hands, de M. Escher. 2.3. Las paradojas relativas a conjuntos infinitos A veces la paradoja no es tal, sino el producto de un sesgo cognitivo. La idea de que el todo es mayor que sus partes nos parece natural e incontestable. En realidad, eso solo ocurre para conjuntos finitos. Con los conjuntos infinitos las cosas siempre son más divertidas. Consideremos el siempre inocente y familiar conjunto de los números naturales ℕ. Ilustraremos sus curiosas propiedades a través de la paradoja del Gran Hotel debida a Hilbert (véase, por ejemplo, [Gar89, Dek14]). El Gran Hotel es un hotel especial; tiene infinitas habitaciones, infinitas del tipo de los números naturales (el lector ya me entiende). Estamos en el fin de semana en que se celebra el aniversario del nacimiento de Martin Gardner, el ya conocido Celebration of Mind, y el hotel se encuentra totalmente lleno. No queda ni una sola habitación libre. Su recepcionista, Adolfo Diligente, es el ser más servicial que quepa imaginar, amén de un amante de las matemáticas. Cerca del mediodía llega Maryam Mirzakhani, la medalla Fields de 2014. Entre tanta entrega y homenaje, olvidó hacer la reserva y ahora no tiene habitación. Preguna, compungida, a Adolfo qué puede hacer él. Este, que la admira profundamente, responde resueltamente a su petición. — No se preocupe, señora Mirzakhani, estamos en el Grand Hotel, un hotel infinito donde los haya, y aquí hay solución para todos los problemas. Mire lo que haré. Pediré a cada huésped que se vaya a la habitación siguiente a la suya. Esto nos dejará la habitación número uno libre para usted. Esta es, señora Mirzakhani, una de las mejores del hotel —y Adolfo sonrió cálidamente al tiempo que dejaba ver sus blancos dientes—. — Gracias, Adolfo. Nunca olvidaré esto —dijo la señora Mirzakhani con una expresión sincera—. Adolfo se sumió en sus quehaceres y aunque fijaba su atención en ellos se sentía secretamente feliz por haber tenido la oportunidad de hablar con una matemática de la talla de la señora Mirzakhani. Al poco entró un grupo de viajeros. Se identificaron como matemáticos que iban a asistir a la Celebration of Mind, pero, igual que la señora Mirzakhani, habían olvidado reservar habitación. El resto de los hoteles de la ciudad eran finitos y todos, que también estaban llenos, les habían mandado al Grand Hotel, el único hotel infinito en la zona. Amablemente preguntaron a Adolfo si algo se podía hacer. Adolfo, mientras hablaba con el portavoz del grupo, los contó disimuladamente. Es un número finito, pensó, y eso se puede arreglar. — Estimados señores, veo que su grupo consta de 25 personas. Dado que este hotel es infinito, les puedo acomodar. Pediré a cada huésped que amablemente se cambia a la habitación que marca su número más 25, salvo la primera habitación. En ella se aloja la señora Mirzakhani y no se la puede molestar, ya me comprenden ustedes —el grupo de viajero asintió con seriedad—. Tienen ustedes las habitaciones de la 2 a la 26. Permítanme su documentación, por favor. Y así fue como Adolfo acomodó a este grupo. Dos horas más tarde, cerca de la hora del aperitivo, cuando los infinitos huéspedes departían relajadamente en el infinito salón del Grand Hotel (hotel infinito para huéspedes infinitos, claro), un nuevo grupo de viajeros llegó. Pero esta vez el grupo era diferente: era un grupo infinito de personas. Este grupo de matemáticos absortos habían tratado de probar un teorema y tal fue la concentración que pensaron que habían reservado el hotel, pero, de hecho, solo fue una intención que nunca se materializó. Adolfo escuchó educadamente la historia de los infinitos matemáticos. Luego hizo la siguiente pregunta: — Señor, el infinito de ustedes, ¿es numerable?, esto es, ¿es el infinito de los números naturales? En otro caso, me temo que nada podría hacer. — Venimos en número infinito numerable, señor; nos podemos poner en biyección con los números naturales, sí, en efecto. Adolfo sonrió e informó que sus habitaciones estarían listas después de comer. De momento, los condujo a la consigna para que dejasen sus maletas allí. Durante la comida pediría a los huéspedes que se mudasen a la habitación cuyo número es el doble de la que ahora tienen. De este modo se quedarían libres un número infinito de habitaciones. Ese infinito es numerable y, por tanto, los nuevos huéspedes cabrían. Sentía tener que mover a la señora Mirzakhani, pero estaba seguro de que era comprensiva. Y hasta aquí nuestra versión de la paradoja del infinito. Como vemos, la paradoja apela a la intuición bastante común de que las partes son más pequeñas que el todo, pero se resuelve en cuanto estudiamos mínimamente las propiedades de los conjuntos infinitos. Se sabe que los números pares tiene el mismo cardinal que el propio conjunto ℕ; en realidad, el conjunto de los múltiplos de cualquier número k ∈ ℕ fijo tiene el mismo cardinal que ℕ. 3. Paradojas musicales Hay varias paradojas en el mundo de la música. Vamos a describir una de las más conocidas, la paradoja del tritono, que fue descubierta por la psicóloga de la música Diana Deutsch [Deu86]. En su página web tiene un artículo excelente, donde explica con mucho detalle la paradoja y sus consecuencias; consúltese [Deu14]. Para un buen artículo de divulgación sobre las paradojas, véase Paradoxes of musical pitch [Deu92] de la la misma autora. La paradoja del tritono presenta dos sonidos producidos uno después del otro y separados por un tritono, esto es, exactamente por la mitad de una octava. Cuando estos sonidos se tocan en sucesión ascendente ocurre que a veces se oyen como descendentes (el primer sonido es más agudo que el segundo) cuando en realidad se han tocado ascendentes (el primer sonido es más grave que el segundo). Esto no pasa en todas las ocasiones ni con todos los sujetos, pero a Deutsch le pareció que merecía la pena investigarlo. Para ello diseñó un experimento en que presentó a los sujetos una sucesión de intervalos de tritono que primero subían y luego bajaban. Cuando un sujeto percibía que el intervalo subía, dibujaba una flecha hacia arriba; en caso contrario, dibujaba una flecha hacia abajo. El experimento se repitió varias veces con los mismos sujetos y los mismos patrones melódicos. En la figura 3 tenemos los resultados de un sujeto en particular. La gráfica muestra el porcentaje de veces que el sujeto oyó el patrón melódico como descendente. Uno esperaría que la gráfica tomase dos valores solo, 0 y 100, pero en lugar de eso vemos que hay una curva que indica que ciertos intervalos ascendentes se oyen como descendentes. Deutsch conjeturó que este fenómeno no se da uniformemente y que depende de los tonos en particular. Figura 3: Experimento asociado a la paradoja del tritono. También conjeturó que esa circunstancia varía de un sujeto a otro y que está relacionada incluso con la procedencia geográfica, la posesión de oído absoluto, la lengua madre o los patrones del habla a que estamos acostumbrados o expuestos. En la figura 4 vemos los resultados de otro sujeto. Son muy diferentes a los del sujeto de más arriba. Ahora la confusión en la dirección melódica ocurre cerca de de otros tonos, en este caso do# y re. Las gráficas de las dos figuras parecen casi complementarias. Figura 4: Experimento asociado a la paradoja del tritono. 4. Conclusiones En este artículo hemos examinado las paradojas en las matemáticas y en la música. La naturaleza de las paradojas en música es de tipo cognitivo. La sorpresa viene de que nuestro sistema cognitivo percibe un estímulo de modo incorrecto, pero nada podemos hacer al respecto (Deutsch incluyó músicos en sus experimentos y eso no cambió los resultados). En el caso de las matemáticas, las paradojas se pueden resolver bien ofreciendo explicaciones más finas (como en el caso de las paradojas de Zenón de Elea o del infinito) o bien fortaleciendo los matemáticas en sí (como en el caso de las paradojas autorreferenciales).   Bibliografía [AKL12] A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrentiev. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning. Dover Publications, 2012. Primera edición en 1956. [Dek14] Jeff Dekofsky. The Infinite Hotel Paradox. http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky/, consultado en octubre de 2014. [Deu86] D. Deutsch. A musical paradox. Music Perception, 3:275–280, 1986. [Deu92] D. Deutsch. Paradoxes of musical pitch. Scientific American, 267:88–95, 1992. [Deu14] D. Deutsch. Tritone paradox. http://deutsch.ucsd.edu/psychology/pages.php?i=206, consultado en octubre de 2014. [Gar89] Martin Gardner. ¡Ajá! inspiración. Editorial Labor, 1989. [Pal08] John Palmer. Zeno of Elea. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Springer, 2008. [Rea14] Real Academia de la Lengua. Diccionario de la RAE. http://lema.rae.es/drae/?val=paradoja, consultado en octubre de 2014. [Rub14] Rosa Rubicondior. Xeno’s Religious Paradox. http://rosarubicondior.blogspot.com.es/2011/11/xenos-religious-paradox.html, consultado en octubre de 2014. [Sai09] R. M. Sainsbury. Paradoxes. Cambridge University Press, 2009. [Sna79] Ernst Snapper. The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism. Mathematics Magazine, 52(4):207–216, 1979. [Wik14] Wikipedia. List of paradoxes. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes, consultado en octubre de 2014.
Miércoles, 26 de Noviembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En la columna de octubre cerramos el ciclo sobre la teoría generativa de la música tonal de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff. La expusieron en su libro A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicado en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En los tres primeros artículos ([Góm14a], [Góm14b] y [Góm14c]) hemos glosado la teoría de estos autores en cuanto a sus aspectos descriptivos y formales. Examinamos cómo Lerdahl y Jackendoff describen el agrupamiento y la métrica y presentan las reglas de formación correcta y de preferencia. En este último artículo vamos a entrar en los aspectos analíticos de su libro. En un solo artículo de la extensión habitual de esta columna no podríamos tratarlo en suma profundidad. Daremos una visión de conjunto y remitiremos al lector interesado a los capítulos cinco a diez del libro. 1. Las reducciones en música La música que escuchamos es el resultado de la compleja interacción entre sus elementos, que son múltiples: ritmo, melodía, armonía, conducción de voces, timbre, textura, forman, etc. Una manera muy frecuente de analizar la música es la reducción. Por reducción se entendemos una eliminación de los elementos no esenciales de manera que nos permitan comprender la música en cuestión. Son típicas las reducciones de una partitura orquestal a piano solo o piano a cuatro manos. En esas reducciones se eliminan los instrumentos que doblan una voz y se recoge únicamente aquel material que nos permite reconocer la pieza como tal, con la mayor parte de su personalidad (hay que alcanzar un equilibrio, pues toda reducción implica cercenar en parte el original). Hay una gran tradición de reducciones en la música tonal como instrumento de análisis. Quizás uno de los más conocidos es el análisis schenkeriano; véase [FG82] para más información. En la figura siguiente se ve una reducción de un conocido coral de Bach. Figura 1: Reducción de un coral de Bach (figura tomada de [LJ83]). Como el lector ya se habrá dado cuenta, no hay criterios absolutos a la hora de hacer una reducción; un problema similar aparece en la transcripción musical. Diferentes músicos pueden presentar diferentes reducciones de una misma pieza. En su libro Lerdahl y Jackendoff presentan una serie de criterios para llevar a cabo las reducciones y, por ende, el análisis musical. Esos criterios están en buena parte basados en factores psicológicos. Como primer paso, los autores formula su hipótesis de reducción. Esa hipótesis establece que el oyente siempre intenta organizar los eventos tonales en un todo coherente de manera que estos se oigan de manera jerárquica. Una vez aceptada esta hipótesis, la reducción consistiría en detectar esa estructura y proceder a una simplificación paso a paso de la música. Lerdahl y Jackendoff, no contentos con esta primera hipótesis de reducción, la enriquecen con dos nuevas condiciones: Los eventos tonales se oyen en estricta jerarquía según se describe en la teoría de los autores (véase [Góm14b]). Los eventos que son estructuralmente menos importantes no se oyen como simples elementos aislados, sino en relación específica a eventos de más importancia. Volviendo a la figura 1, esta debería leerse de arriba abajo y “cada paso debería sonar como una simplificación natural del anterior” (página 108, [LJ83]). En este punto los autores advierten de una posible confusión conceptual entre importancia estructural y prominencia musical. Con frecuencia ambas coinciden, pero no siempre. Solo la primera, la importancia estructural, es la base de las reducciones que se proponen en la teoría generativa. Por ejemplo, en la partitura de arriba, de la figura 1, el acorde de sol es prominente por la distribución de las voces, pero no tiene una importancia estructural grande y, de hecho, en la segunda reducción ya no aparece. Lerdahl y Jackendoff no desprecian la importancia musical o analítica de los eventos prominentes; sencillamente, las reducciones están pensadas para extraer la estructura generativa —gramatical, diremos—de la música. 2. Las reducciones de la teoría generativa Lerdahl y Jackendoff rechazan el análisis schenkeriano, basado también en reducciones, por no ser un análisis como tal sino una interpretación hasta cierto punto subjetiva de la música; no obstante, reconocen la importancia del análisis schenkeriano en su momento y los caminos que abrió. Los autores se fijan como objetivo dar un conjunto de criterios para hacer las reducciones y que estos reflejen en la medida de lo posible la experiencia del oyente. Para ello, toman prestado de la lingüística la notación de árbol (si bien avisan que solo es la notación que toman prestada y que hay sustanciales diferencias en significado de estos árboles en ambas disciplinas). Veamos cómo se construyen estos árboles y su uso como herramienta de análisis musical. Dados dos eventos tonales x e y, si y es una elaboración de x, entonces y es una rama derecha en el árbol tal y como se muestra en la figura 2 (a). Aquí se entiende que el evento y es subordinado al evento x. Si la situación contraria se produce, esto es, que x es una elaboración de y, entonces nos encontramos con una rama izquierda, como muestra la figura 2 (b). Por último, cuando no hay relaciones de dominancia clara entre los dos eventos se produce una ramificación central, como la mostrada en la figura 2 (c). Figura 2: Ramificaciones en los árboles de reducciones (figura tomada de [LJ83]). Huelga decir que, de acuerdo a la hipótesis de reducción formulada más arriba, estas ramificaciones tienen que cumplir con las reglas de formación correcta expuestas hasta ahora. Los árboles tienen que cumplir con las restricciones de no solapamiento, adyacencia y recursión que vimos en los tres primeros artículos de esta serie. En la figura 3 (a) a (d), vemos una serie de árboles que violan algunas de las reglas de formación correcta. Por ejemplo, en los árboles de (a) y (b) se ve que el principio de no solapamiento no se respeta puesto que hay cruces entre las ramas de los árboles. En el árbol (c) tenemos que un mismo evento tiene más de una rama, situación que está prohibida también. Finalmente, en (d) vemos un evento aislado que no recibe rama, y eso está prohibido igualmente. Los árboles (e) a (h) son árboles correctos. Figura 3: Ejemplos de árboles de reducción (figura tomada de [LJ83]). En la figura 4 podemos apreciar la reducción del coral de Bach más arriba junto con su correspondiente árbol de reducción. Los niveles de abstracción crecen según se va desde las hojas o nodos finales del árbol hasta su raíz. Figura 4: Un coral de Bach junto con su árbol de reducción (figura tomada de [LJ83]). Lerdahl y Jackendoff pronto se dan cuenta que su método de análisis se quedaría corto si sus métodos de reducción se basasen únicamente en criterios tonales. Indudablemente, hay muchos aspectos musicales de importancia subordinados al ritmo o al menos cuya interacción con el ritmo desempeña un papel esencial. En consecuencia, agrupamiento y métrica se incorporan al modelo de reducciones. En la figura 5 tenemos la primera frase de la sonata número 11 en la mayor KV. 331 de Mozart con el árbol de reducción y la estructura métrica y de agrupamiento en la parte de abajo. Figura 5: Análisis de una frase (figura tomada de [LJ83]). Por último, Lerdahl y Jackendoff sentían que el modelo tal cual estaba especificado hasta aquí tenía todavía serias limitaciones. En particular, notaban que no explicaba la música en un sentido más horizontal. Ciertamente, explicaba con detalle los eventos tonales pero a cierto nivel local, digamos, a nivel de segmento. No explicaba, sin embargo, cómo fluía la música de un segmento a otro. Los autores ampliaron su sistema de reducción introduciendo un nuevo tipo de reducciones, las llamadas reducciones de prolongación. Por falta de espacio, en este artículo no entraremos en la descripción de las reducciones de prolongación (véanse los capítulos 8 y 9 de su libro). 3. Conclusiones En estos cuatro artículos hemos hecho un recorrido sucinto por la A Generative Theory of Tonal Music de Lerdahl y Jackendoff, obra en la que se presenta una formalización de la música tonal y su análisis. En esa formalización hemos encontrado elementos típicamente matemáticos. Ha habido voluntad de abstracción, la cual se ha construido desde un procedimiento inductivo; ha habido afán de rigor; y hemos evidenciado una voluntad de autocrítica constante (en ese sentido el texto muestra muy claramente el camino mental que ha llevado a los autores a la construcción de su teoría). Asimismo, hemos visto en la teoría objetos tan matemáticos como recursión (en la descripción del agrupamiento y la métrica), la especificación de una sintaxis y, en general, de una gramática. Esto es muy similar a, por ejemplo, definir un lenguaje formal en computación o describir la lógica proposicional o de predicados. Incluso aunque la formalización detrás de la teoría generativa no haya sido muy alta, es indudable que hay pensamiento matemático en su construcción. Es un ejemplo más de dónde podemos encontrar matemáticas en la música.   Bibliografía [FG82] A. Forte and S.E. Gilbert. Introduction to Schenkerian Analysis. W. W. Norton and Co., 1982. [Góm14a] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en julio de 2014. [Góm14b] F. Gómez. Teoría generativa de la música - II, consultado en junio de 2014. [Góm14c] F. Gómez. Teoría generativa de la música - III, consultado en septiembre de 2014. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.
Jueves, 23 de Octubre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Tras el descanso de verano, continuamos con la tercera entrega de la serie sobre la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En el primer artículo de la serie [Góm14b] examinamos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos generales junto con su base matemática. En el segundo artículo [Góm14a], estudiamos el agrupamiento y la métrica así como las reglas de formación del agrupamiento y las reglas de preferencia del agrupamiento. En este tercer artículo estudiaremos aquellos fenómenos que, según los autores, permiten al oyente reconocer una estructura métrica en el flujo musical (considerado este como el resultado final de todas los parámetros musicales juntos: melodía, conducción de voces, ritmo, armonía, textura, etc.). Tal y como ocurrió en el artículo anterior, las reglas se dividirán en dos tipos, las reglas de formación correcta de la métrica (RFCM de aquí en adelante) y las reglas de preferencia de la métrica (RPM por abreviar). Las RFCM describen las estructuras métricas que son posibles y las RPM especifican los criterios bajo los cuales un oyente considera más estables las estructuras métricas. Antes de continuar, recordamos al lector que una parte en un cierto nivel que lo es también a un nivel superior se dice que es parte fuerte; en otro caso, se dice que la parte es débil. En la figura siguiente, por ejemplo, las partes 2, 5, 8 y 11 son partes fuertes al nivel de la corchea y las partes 2 y 8 son fuertes al nivel de la negra con puntillo y la blanca con puntillo. En cambio, las partes 3, 4, 6, 7, 9, 10 son partes débiles. No todas las partes fuertes tienen que serlo a todos los niveles. Figura 1: Partes fuertes y débiles (figura tomada de [LJ83]). 1. Reglas de formación de la estructura métrica Las reglas formuladas por Lerdahl y Jackendoff en el capítulo 4 de su libro son fundamentalmente reglas extraídas de la observación empírica, como podremos comprobar enseguida. RFCM 1: Cada punto de ataque debe estar asociado con un tiempo en el nivel más bajo de la estructura métrica. RFCM 2: Cada parte en un nivel métrico dado tiene que ser una parte en los niveles inferiores a él. RFCM 3: En cada nivel métrico, las partes fuertes están a distancia entre sí de o bien dos partes o bien tres partes. RFCM 4: La distancia entre las partes de cada nivel métrico debe ser constante. La primera regla establece que no hay puntos de ataque fuera de la malla proporcionada por la estructura métrica. Como es natural, el problema de los adornos o los valores irregulares no está contemplado en esta regla. Más adelante los autores tratan este problema. La regla RFCM 2 refleja la estructura jerárquica de la métrica de la música tonal. En el ejemplo de la figura 2, parte (b) , se puede apreciar una violación de esta regla en la cuarta nota, que tiene ausencia de un tiempo en un nivel inferior de la métrica. La asignación de los tiempos en la métrica de la figura, parte (a), es correcta según la regla RFCM 2. Figura 2: Ilustración de la regla RFCM 2 (figura tomada de [LJ83]). La regla RFCM 3 establece nada más y nada menos que las subdivisiones de los tiempos solo pueden ser binarias y ternarias. En una gran parte de la música occidental esto es así, al menos en la música clásica del periodo de la práctica común (en la música tonal) y en la música popular moderna. La regla RFCM 4 observa un hecho fundamental de la música tonal aquí analizada: descansa sobre una malla isócrona de pulsos regulares. La métrica se organiza alrededor de estos pulsos con un sistema de acentos recurrentes. Cualquier lector con un mínimo de experiencia musical (bien como oyente atento o como intérprete) caerá en la cuenta de que estas reglas pecan venialmente de estrictas. Por ejemplo, en rigor sabemos que los pulsos no son regulares en todas las ocasiones. Pensemos en el rubato expresivo tan frecuente e importante en la música clásica. Incluso sin ir a algo tan patente como el rubato, basta considerar las microvariaciones rítmicas que se producen en toda interpretación y que caracterizan las interpretaciones musicales (opuesto, por ejemplo, a las interpretaciones de música hechas por ordenador). Los mismos autores son conscientes del exceso de rigor descriptivo de las reglas y ponen el siguiente ejemplo (véase la figura 3) para ilustrar la necesidad de relajar esas reglas y hacerlas más fieles a la realidad musical. La presencia de las semicorcheas, que son meras notas de paso aquí, fuerzan una estructura métrica demasiado extensa, cuando en realidad no es necesario; la figuración rítmica gravita en torno a las corcheas con puntillo, las negras y las corcheas. Figura 3: Niveles métricos del comienzo de la sonata KV 331 de Mozart (figura tomada de [LJ83]). En pasajes como el de la figura 4, comunes en la música tonal, encontramos subdivisiones métricas dentro de la misma frase. La aplicación de las reglas anteriores, tal cual están formuladas, produciría una estructura métrica ciertamente farragosa, que por encima de todo no se correspondería con la escucha del oyente. El oyente no percibiría el pasaje de la figura  con una métrica cuyas partes son el mínimo común múltiplo de sus partes binarias y de sus partes ternarias. Antes al contrario, interpretará, de manera natural, como que tiene una alternancia de estructuras métricas. Figura 4: Música con diferentes subdivisiones (sonata para clarinete de Brahms) (figura tomada de [LJ83]). Lerdahl y Jackendoff resuelven este problema introduciendo el concepto de tactus. El tactus es el nivel métrico más prominente y al cual típicamente se asocia el tempo con que el director conduce o con el que de modo natural seguimos el ritmo (con el cuerpo, dando palmas, etc.). El tactus suele ser situarse en un tempo medio. Si el tempo de la obra es rápido, el tactus tiene una figuración de notas largas; si, en cambio, es lento, la figuración es de notas cortas. Con ayuda del tactus los autores refinan las reglas dadas más arriba. La nueva premisa es que el tactus debe ser constante, pero en función del contexto musical ciertos niveles métricos se pueden descartar, aquellos que están muy lejos del tactus, normalmente más allá de tres niveles métricos por arriba y por abajo. Las nuevas reglas RFCM 1 y RFCM 2, ahora refinadas, son las siguientes: RFCM 1 (refinada): Cada punto de ataque tiene que estar asociado a una tiempo en el nivel métrico más pequeño que haya en ese momento preciso en la pieza. RFCM 2 (refinada): Cada parte de un nivel determinado debe ser parte en todos los niveles inferiores que haya en ese momento preciso de la pieza. Empero, el refinamiento de estas dos reglas no soluciona el problema planteado por la pieza de Brahms más arriba (figura 4). Con el siguiente refinamiento de la regla RFCM 4 Lerdahl y Jackendoff solucionan ese caso. RFCM 4 (refinada): El tactus y los niveles métricos inmediatamente superiores deben estar formados por partes cuya distancia sea constante en una pieza dada. En los niveles inferiores al del tactus, las partes débiles deben tener una distancia constante entre las partes fuertes. 2. Reglas de preferencia de la estructura métrica Asociadas a una misma pieza musical varias estructuras métricas son posibles. Los autores ilustran este punto con un fragmento de la sinfonía número 40 de Mozart (figura 5). Cada una de las posibilidades métricas cumple las reglas de formación correctas de la métrica enunciadas más arriba. Entonces ¿cuál elegir como la más adecuada para describir la escucha de esta pieza por un oyente ideal? He aquí cuando entran en juego las reglas de preferencia de la métrica (RPM). Con estas reglas los autores quieren modelizar cómo escucha la música su oyente ideal. Es interesante hacer notar que Lerdahl y Jackendoff hablan constantemente del oyente ideal. Ese oyente lo tienen ellos en mente y es producto de su experiencia musical, pero tal oyente no ha sido caracterizado de modo empírico, esto es, ellos no llevaron a cabo experimentos para contrastar hasta qué punto su oyente ideal compartía características con el oyente real. Figura 5: Varias posibles estructuras métricas asociadas a una misma pieza (figura tomada de [LJ83]). De las tres posibles estructuras métricas presentadas abajo, Lerdahl y Jackendoff concluyen que es la primera la que mejor se ajusta a la intuición de su oyente ideal. Para formalizar tal decisión enuncian las reglas de preferencia de la métrica, que son las siguientes: RPM 1 (paralelismo): Allá donde dos o más grupos o partes de grupo se puedan construir con paralelismo, recibirán preferiblemente una estructura métrica que refleje ese paralelismo. RPM 2 (parte fuerte pronto): Prefiérase relativamente una estructura métrica en que la parte fuerte de un grupo aparezca pronto en el grupo. RPM 3 (eventos): Prefiérase una estructura métrica en la cual un parte en el nivel Ni que da lugar a un evento tonal sea parte fuerte en Ni. RPM 4 (acento): Prefiérase una estructura métrica en la cual las partes en el nivel Ni que tienen acento son también partes fuertes en el nivel Ni. RPA 5 (duración): Prefiérase la estructura métrica en la que los tiempos relativamente fuertes tengan lugar al comienzo de: (a) o bien un evento tonal relativamente largo, (b) o bien de una duración relativamente larga de una dinámica, (c) o bien de una ligadura relativamente larga, (d) o bien de un patrón de articulación relativamente largo, (e) o bien de una duración relativamente larga de una nota en varios niveles métricos, (f) o bien de una duración relativamente larga de una armonía en varios niveles métricos. La primera regla es bastante intuitiva. Nuestro oído tiende a percibir como similares aquellos grupos que poseen paralelismo entre sí y esto se extiende de manera natural a la estructura métrica. Para la segunda regla los autores dan el siguiente ejemplo (la coda de la obertura Leonora de Beethoven). En él, observamos una secuencia formada por una escala descendente. La escala tiene longitud seis, pero en la realización de la séptima escala —marcada con un asterisco en la figura —encontramos que tiene longitud siete. A pesar de ello, se percibe la primera nota de cada escala como el tiempo fuerte a causa del salto interválico ascendente. Figura 6: Segunda regla de preferencia de la métrica (figura tomada de [LJ83]). Con respecto a la tercera regla, el ejemplo anterior sirve para su análisis. La regla RFCM 3 exige que las partes fuertes estén igualmente espaciadas. Eso no ocurre en muchas ocasiones, en el ejemplo anterior sin ir más lejos. La regla RPM 3 establece que se debe preferir una estructura métrica de modo que se minimice la quiebra de RFCM 3. La regla RFCM 4 establece se debe preferir una métrica en que los acentos fenoménicos (véase [Góm14b]) caigan sobre las partes fuertes y que, si ello no es posible, también se minimicen las excepciones. La regla RFCM 5 propone que la estructura métrica sea tal que los tiempos fuertes caigan sobre aquellos fenómenos musicales de longitud relativamente larga. Lerdahl y Jackendoff hacen un análisis detallado de dichos fenómenos, que van desde los eventos tonales hasta el ritmo armónico (de ahí lo prolijo de esta regla). 3. Conclusiones Las reglas que hemos analizado en este capítulo siguen la misma filosofía que encontramos en su momento en reglas del agrupamiento. Lerdahl y Jackendoff describen primero unas reglas de formación correcta, que intentan formalizar los fenómenos observados en la práctica musical, y más tarde dan reglas de preferencia, que tratan de definir qué estructuras métricas son más naturales en la percepción de la música tonal. De nuevo, la descripción de estas reglas está hecha de manera no matemática, aunque de hecho admitirían una descripción matemática. En el siguiente artículo de la serie, el último, estudiaremos el sistema analítico de Lerdahl y Jackendoff, el cual se basa en las reglas examinadas en estos tres primeros artículos.   Bibliografía [Góm14a] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en julio de 2014. [Góm14b] F. Gómez. Teoría generativa de la música - II, consultado en junio de 2014. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.
Lunes, 22 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Esta es la segunda entrega de la serie sobre la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En el primer artículo de la serie [Góm14] examinamos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos. En este artículo estudiaremos el agrupamiento y la métrica en primer lugar; a continuación, veremos cómo es la interacción entre ambos; seguiremos con la definición de las reglas de formación del agrupamiento y acabaremos con las reglas de preferencia del agrupamiento. Cerraremos con una breve conclusión en que discutiremos las matemáticas que se encuentran en la teoría generativa de Lerdahl y Jackendoff. 1. La estructura rítmica: agrupamiento y métrica En los primeros capítulos Lerdahl y Jackendoff estudian el ritmo en profundidad. Se fijan en dos fenómenos rítmicos en particular: el grupo y la métrica. Según estos autores, el grupo aparece de manera natural cuando un oyente escucha una pieza de música; su oído detecta los motivos, los temas, las frases, los periodos, los grupos temáticos, las secciones y finalmente integra todo en la pieza entera. A la vez, como es el caso de la música tonal analizada en el libro, se encuentra la métrica, que está relacionada con los patrones regulares de acentos fuertes y débiles. Ambos fenómenos son distintos en esencia, pero su interacción constituye una importante fuerza musical. En esta sección examinaremos cada uno por separado y en la siguiente sección la interacción entre ellos. 1.1. La estructura de la agrupación Lerdahl y Jackendoff apelan para la definición de agrupación a la tendencia del ser humano a percibir los objetos en grupos (ambos son perfectos conocedores de la teorías gestaltistas de la percepción, como se demuestra a lo largo de todo el libro). Ellos ven el grupo como un componente básico del entendimiento musical (página 13). La primera hipótesis que formulan acerca de la agrupación en la percepción musical es que esta ocurre de manera jerárquica. Por ejemplo, un motivo es parte de un tema, el cual a su vez es parte de un grupo temático formado por dos o más temas, el cual es parte de una sección, y así sucesivamente. Esta jerarquía clasifica los grupos por su tamaño (un motivo es menor que una sección) e incluye un grupo en otro mayor en base a las relaciones musicales entre ellos. En su lenguaje, si un grupo está incluido en otro se dice que el primero está subordinado al segundo; si un grupo contiene a otro, del primero se dice que domina o está superordinado al segundo. Los autores representan los grupos mediante conjuntos de ligaduras, como en el ejemplo de la figura 1. En dicha figura vemos que dos instancias del grupo p están incluidas en el grupo q. Figura 1: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]). La segunda hipótesis sobre el agrupamiento es el solapamiento. Dada la estructura estrictamente jerárquica de los grupos, el solapamiento no está permitido entre grupos que pertenecen a un mismo grupo dominante. Así, el agrupamiento de la izquierda de la figura 2 constituye un agrupamiento aceptable, mientras que el de la derecha no lo es a causa de los solapamientos. Figura 2: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]). A partir de estas dos hipótesis, Lerdahl y Jackendoff añaden otras dos, que ya no son tan generales y que perfilan y definen el sentido de su teoría generativa. La primera hipótesis es la estructura recursiva de los agrupamientos. Si un grupo dominante contiene un determinado número de subgrupos, esta relación, sin cambios sustanciales, se da en cualquier nivel. El ejemplo que ponen para ilustrar esto es el comienzo del scherzo de la sonata opus 2, número 2, en la mayor, de Beethoven, que vemos reproducido en la figura 3. Figura 3: Estructura recursiva de los grupos (figura tomada de [LJ83]). La segunda hipótesis se refiere a la formación de los grupos y se sigue del principio de no solapamiento enunciado más arriba. Establece que el agrupamiento de grupos no contiguos no está permitido. Los grupos que pueden agruparse en otro más grande han de ser grupos contiguos. De otro modo, se producirían solapamientos prohibidos entre grupos. Así, si tenemos estos dos grupos (a,a,b) y (a,a,b) a un cierto nivel, el agrupamiento permitido es (a,a,b,a,a,b), pero no, por ejemplo, los grupos (a,a) y (b,a,a,b). Este principio aparece reflejado también en el ejemplo de la figura 3, donde todos los agrupamientos se producen entre grupos contiguos. 1.2. La estructura métrica Siendo conscientes de los problemas terminológicos que el concepto de acento posee, Lerdahl y Jackendoff empiezan esta sección (página 17) definiendo este término de manera precisa. Distinguen tres tipos de acentos: el acento fenoménico, el acento estructural y el acento métrico. El acento fenoménico, el más general en su definición, es cualquier evento en la superficie musical que haga énfasis sobre algún elemento musical en un momento dado de la música. En el ejemplo de la figura 4, una reducción para piano de La danza de las jóvenes de La consagración de la primavera, tenemos ejemplos de acentos fenoménicos, que son los acentos que Stravinsky marcó en tiempos inesperados (marcados con el signo > en la partitura). Figura 4: Ejemplo de los distintos tipos de acentos. El acento estructural es el producido por los puntos de gravedad armónicos y melódicos en una frase o sección; está fuertemente relacionado con el ritmo armónico o con el sentido final de la melodía. Por último, el acento métrico es cualquier tiempo que es relativamente fuerte en su contexto métrico. Para hablar de métrica es necesario suponer que existe una red de tiempos y que existe un patrón regular de tiempos fuertes y débiles. En el ejemplo anterior, el compás 2/4 marca que la primera negra es fuerte y la segunda débil; al nivel de la semicorchea ese patrón se hereda y tenemos cuatro corcheas en que las corcheas impares son fuertes y las corcheas pares débiles. Obviamente, los tres tipos de acentos tienen estrechas relaciones en muchas ocasiones. A veces el acento fenoménico coincide con el métrico como pasa en el ejemplo de Stravinsky, donde algunas partes fuertes del compás de 2/4 coinciden con los acentos (pero otras, en cambio, no). El acento fenoménico suele tener bastante relevancia perceptual y puede contradecir o no el acento métrico. Si el acento fenoménico es regular y se alinea con el métrico, se apoyan mútuamente, podríamos decir, entonces la sensación de regularidad es muy alta. Si por el contrario, el acento fenoménico, aun siendo regular, entra en claro conflicto con el métrico, entonces se produce una gran tensión rítmica. Muy interesantes son los comentarios de la página 18 sobre la naturaleza de la métrica que hacen Lerdahl y Jackendoff (nuestra traducción). Before proceeding, we should note that the principles of grouping structure are more universal than those of metrical structure. In fact, though all music groups into units of various kinds, some music does not have metric structure at all, in the specific sense that the listener is unable to extrapolate from the musical signal a hierarchy of beats. (Antes de proseguir, deberíamos hacer notar que los principios de agrupamiento son más universales que los de la estructura métrica. De hecho, aunque todas las músicas agrupan en unidades de diversos tipos, algunas músicas no tienen estructura métrica en absoluto, en el sentido específico de que el oyente es incapaz de extrapolar una jerarquía de tiempos a partir de la señal musical.) Aquí los autores reconocen que la estructura métrica es un constructo mental; en cambio, el agrupamiento es producto de un proceso perceptual. Como dijimos arriba, los elementos básicos de la métrica son los tiempos. Estos tiempos son puntos temporales y como tales no tienen duración. La duración entre los tiempos se llama intervalo temporal y estos sí tienen duración. Una hipótesis que hacen Lerdahl y Jackendoff es que los tiempos están igualmente espaciados. A partir de aquí, y a imagen y semejanza de lo que pasó con el agrupamiento, se dota a la métrica de una estructura jerárquica. Esto es típico de la música tonal objeto del análisis del libro, la música tonal de la práctica común. Un tiempo fuerte a cierto nivel métrico es descompuesto en dos o tres tiempos, dependiendo la división del compás, donde el primer tiempo fuerte sigue siéndolo en el nuevo nivel métrico. Los autores ilustran este punto con la siguiente figura: Figura 5: Jerarquía de la estructura métrica (figura tomada de[LJ83]). Los principios que se establecieron para el agrupamiento —recursión, no solapamiento y adyacencia—se aplican con igual vigencia a la estructura métrica. En la figura 5 (a) tenemos un primer nivel en que todos los tiempos son fuertes (indicado por los puntos); en el siguiente nivel son los impares y, por último, en el siguiente nivel los tiempos fuertes son los múltiplos de cuatro. La figura 5 (b) muestra un esquema similar pero con un compás de 3/4. En una pieza suele haber alrededor de cinco o seis niveles métricos. La métrica indicada por el compás suele ser la del nivel medio. No todos los niveles métricos se oyen con la misma prominencia. De hecho, un oyente puede centrar su atención en diversos niveles métricos a voluntad, pero los más prominentes son aquellos en que los tiempos van a una velocidad moderada. Ledahl y Jackendoff son conscientes de los peligros que implica llevar un análisis métrico a gran escala. Ilustran estos peligros con el análisis del comienzo de la sinfonía número 40 de Mozart. Mientras que el análisis de la estructura métrica a pequeña escala es claro y unívoco, al análisis a gran escala (analizaron solo 9 compases) presenta muchas dificultades formales, hasta el punto que ellos mismos hablan ya de interpretación y no de análisis en sí mismo. Esta es una de las virtudes metodológicas de este libro: en general, delimita muy bien el alcance de sus hipótesis tanto por la discusión desarrollada como por los ejemplos que poner. 2. La interacción entre el agrupamiento y la estructura métrica Para los autores es importante que las propiedades del agrupamiento y la estructura métrica, aunque sean semejantes, se mantengan separadas para el análisis. Ello no obsta para que investiguen sus interacciones, si bien desde definiciones formales diferentes. El siguiente pasaje del minueto de la sinfonía de Haydn número 104, en el que se ven ambos análisis, el de agrupamiento y el métrico, esclarece el porqué de ese empeño. Figura 6: Interacción entre agrupamiento y estructura métrica (figura tomada de [LJ83]). Vemos que el agrupamiento no está alineado con la estructura métrica, que lleva su propia regularidad independiente de esta. Hay tiempos fuertes que caen en diversas partes de los grupos. Sin embargo, lo que oímos es el resultado de ambas interacciones. 3. Reglas de formación del agrupamiento Esta sección es una síntesis del capítulo 3 del libro, capítulo que dedica a estudiar la organización de la superficie musical en grupos (página 36). Desde el primer momento, los autores mantienen que las reglas de formación del agrupamiento son independientes del lenguaje musical concreto. Esto significa que un oyente poco familiarizado con un lenguaje musical puede inferir el agrupamiento de una pieza en ese lenguaje. Aunque el libro fue publicado en el año 83, cuando la cognición musical ya había empezado a desarrollarse con fuerza, se echa de menos en esta parte referencias a la investigación empírica. Esta afirmación de que la formación de grupos es un principio general y que no depende del lenguaje musical requiere referencias a estudios con sujetos procedentes de diversas culturas. Hoy en día sabemos que, aunque es cierto que hay principios perceptuales que operan de modo general, hay muchos mecanismos de agrupación que provienen de la enculturación, sea esta consciente o no. Tras los dos primeros capítulos, donde Lerdahl y Jackendoff describieron el agrupamiento y la métrica e hicieron las pertinentes hipótesis, ahora se centran en detallar la gramática generativa. Para ello dan una serie de reglas de formación correcta del agrupamiento (abreviadamente de aquí en adelante como RFCA). Antes de empezar a enumerar, los autores ponen encima de la mesa una limitación en el alcance de la teoría. Su teoría solo explica la música que es esencialmente homofónica y no la polifónica. Dejan como problema abierto esta cuestión, es decir, generalizar esta teoría de modo que pueda explicar la música contrapuntística y heterofónica. Las reglas de formación especifican en qué condiciones se pueden formar los grupos. Estas reglas rezan como sigue: RFCA 1: Cualquier sucesión contigua de eventos tonales, golpes de tambor o similares pueden constituir un grupo, y solo sucesiones contiguas pueden constituir grupos. RFCA 2: Una pieza constituye un grupo. RFCA 3: Un grupo puede estar constituido por otros grupos. RFCA 4: Si un grupo G1 contiene parte de otro grupo G2, entonces tiene que contener a todo G2 entero. RFCA 5: Si un grupo G1 contiene un grupo más pequeño G2, entonces G1 tiene que descomponerse en grupos más pequeños. Para ilustrar estas reglas, los autores toman los primeros compases de la sinfonía de Mozart número 40, en sol menor. En la figura 7 vemos la formación de grupos a tres niveles, las cuales se han realizado acorde a las RFCA. Figura 7: Reglas de formación correcta del agrupamiento (figura tomada de [LJ83]). La regla RFCA 1 no es más que la consecuencia inmediata de las definiciones de agrupamiento dadas más arriba, en la sección 1.1. Esta regla, por ejemplo, impide que las notas re del pasaje anterior se puedan considerar un grupo, ya que no son contiguas. Aquí se percibe que detrás de esta regla está el principio de contigüidad de la psicología gestaltista. Las reglas RFCA 2 y RFCA 3 son una especie de condición de frontera; la pieza entera ha de percibirse como un todo y no como sucesión aislada de eventos. Las reglas RFCA 4 y RFCA 5 tienen más calado musical. Determinan cómo ha de realizarse la inclusión de unos grupos dentro de otros. La regla RFCA 4 está pensada para que agrupaciones como las de abajo no ocurran: Figura 8: Agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]). Estos agrupamientos tienen solapamiento (el de la izquierda) y también vemos que G1 contiene parcialmente una instancia de G2 (ejemplo de la derecha). La regla RFCA 5 por su parte prohibe estructuras de agrupamiento como la de la figura 9. Figura 9: Otros agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]). En estos agrupamientos vemos descomposiciones en grupos incompletas; la unión de G2 y G3 no da el grupo G1. Esta regla no prohibe, sin embargo, la descomposición de un grupo mientras que otra instancia de ese mismo grupo pueda no estar descompuesta. Véase el agrupamiento en el ejemplo de Mozart de la figura 7, en los tres primeros compases. Lerdahl y Jackendoff son perfectamente conscientes que estas reglas no cubren todos los casos que se pueden encontrar en la práctica musical. En particular, no cubren las solapamientos de grupos y elisiones. La manera de tratar estos dos fenómenos musicales en su teoría no fue la de ampliar las reglas anteriores, sino crear una nueva categoría de reglas, llamadas reglas de transformación, que presentarán más tarde. Estas reglas de transformación tratarán el problema del solapamiento de grupos y las elisiones. 4. Reglas de preferencia del agrupamiento De nuevo, con su habitual honestidad intelectual, Lerdahl y Jackendoff reconocen que las reglas que han enumerado hasta ahora pueden dar lugar a agrupamientos que van en contra de la intuición musical más básica. De hecho, ellos mismos ponen los siguientes ejemplos (página 39). Figura 10: Agrupamientos poco intuitivos permitidos por las RFCA (figura tomada de [LJ83]). En efecto, parece que ninguna de estas agrupaciones podría corresponder al agrupamiento “natural” (bien van contra armonía, o contra la agrupación melódica). Los autores no se enfrentan a esta situación aumentando las reglas de formación. En su lugar, proporcionan un nuevo tipo de reglas, las reglas de preferencia de la agrupación (RPA a partir de ahora) . Estas reglas de preferencia se basan fuertemente en los principios gestaltistas de proximidad y similitud (y en el libro emplean un buen número de páginas a explicarlas a partir de ejemplos tomados del campo visual). Las reglas de preferencia están divididas, a su vez, en dos categorías: las reglas de detalle local y las reglas de alto nivel. Dentro de la jerarquía ascendente de agrupamiento, las reglas de detalle local formalizan los grupos a bajo nivel y las reglas de alto nivel, los grupos que comprenden los grupos más grandes. Empezaremos por las reglas de detalle local, que son las siguientes: RPA 1: Evítense los grupos que contengan un único evento. RPA 2 (proximidad): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si: (Ligadura/silencio) el intervalo de tiempo desde el final de n2 hasta el principio de n3 es mayor que el del final de n1 al principio de n2 y que el del final de n3 al principio de n4, o bien si (Punto de ataque) el intervalo de tiempo entre el ataque de n2 y n3 es mayor que el que va de n1 a n2 y el que va de n3 a n4. RPA 3 (cambio): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si: (registro) la transición n2 -n3 implica una distancia interválica mayor que la de n1 -n2 y la de n3 - n4, o si (dinámica) la transición n2-n3 implica un cambio en dinámica y las transiciones n1-n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si (articulación) la transición n2 - n3 implica un cambio de articulación y las transiciones n1 - n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si (longitud) n2 y n3 son de diferente longitud y los dos pares n1,n2 y n3,n4 no difieren en longitud. La primera regla RPA 1 tiene la intención de recoger la idea de que no se tiende a oír notas aisladas como eventos musicales significativos, sino que se tiende a integrarlos en grupos mayores. Solo en casos muy justificados (por otros elementos musicales apoyando fuertemente) podría identificarse una sola nota como un evento musical. La segunda regla de preferencia RPA 2 establece las condiciones en que se forman las fronteras entre grupos consecutivos. La regla trata el caso de cuatro notas, donde la frontera se crea entre las notas segunda y tercera. Esta creación ocurre cuando hay un elemento musical más prominente (distancia interválica, dinámica o articulación) exactamente antes y después. En el ejemplo de abajo vemos la aplicación de esta regla de preferencia. Gracias a ella se puede explicar como las tres primeras notas en (a), (b) y (c) de la figura 11 se oyen como un grupo y el resto de las notas como perteneciente a otro grupo distinto. Figura 11: Reglas de preferencia de proximidad (figura tomada de [LJ83]). La regla RPA 3 tiene bastantes paralelismos con la RPA 2. Los propios autores afirman en su libro que otros elementos musicales se pueden incorporar a esta regla, tales como la textura o el timbre. En la figura 12 tenemos un ejemplo en que se dan los cuatros casos de la regla de preferencia de cambio. Figura 12: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de[LJ83]). Por último, tenemos en la figura 13 el mismo pasaje de la sinfonía número 40 de Mozart donde se pueden apreciar distintas aplicaciones de las reglas de preferencia anteriores. Figura 13: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de [LJ83]). A continuación detallamos las reglas de organización de alto nivel. Son reglas que tratan de explicar y formalizar periodos más grandes de música que el motivo o simplemente que unos pocos compases. Para la regla RPA 7 necesitamos presentar dos nuevos conceptos, la reducción del tramo temporal y reducción de prolongación. La primera se refiere a cómo asignar a las alturas una jerarquía de importancia estructural con respecto a su posición en el agrupamiento y la métrica. La reducción de prolongación asigna a las alturas una jerarquía que expresa la tensión y relajación así como continuidad y progresión en los elementos armónicos y melódicos. En el artículo de septiembre se desarrollarán más a fondo estos dos conceptos. RPA 4 (intensificación): Fórmese una frontera que dé lugar a un grupo mayor allí donde los efectos dados por las reglas RPA 2 y RPA 3 sean más pronunciados. RPA 5 (simetría): Prefiéranse los análisis de agrupamientos que se acerquen más al ideal de subdivisión de un grupo en dos subgrupos de igual longitud. RPA 6 (paralelismo): Allí donde dos o más segmentos de la música se puedan concebir como paralelos, preferiblemente deberán formar partes paralelas de un mismo grupo. RPA 7 (estabilidad del intervalo temporal y de prolongación): Prefiérase una estructura de agrupamiento que dé como resultado un intervalo temporal o una reducción de prolongación más estable. En el ejemplo de la figura 14, la mera aplicación de las reglas RPA 2 (a) y (b) detectaría correctamente las fronteras entre los grupos de tresillos. Sin embargo, no marcaría la agrupación al siguiente nivel, el segundo, ya que esas reglas construyen las fronteras sobre las ligaduras y los ataques. La regla RPA 4 sí permite obtener las agrupaciones posteriores. Figura 14: Agrupaciones asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]). Las reglas RPA 5 y RPA 6 construyen las fronteras de los grupos a base de maximizar la simetría y el paralelismo. En el caso de la simetría, la regla de preferencia aconseja que en lo posible los subgrupos tengan la misma duración. En la figura 15vemos dos conjuntos de tresillos. En la figura 15 (a), dado que son cuatro tresillos, es inmediato que la agrupación natural es la que está desarrollada ahí. En figura 15 (b) tenemos seis grupos de tresillos y ahora estamos en presencia de dos interpretaciones posibles, la (i) y la (ii). Ninguna de las dos satisface a todos los niveles la regla RPA 5. En este caso, hay que acudir a otras consideraciones (ritmo armónico, textura u otros). Figura 15: Diversas agrupaciones posibles asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]). Para el caso del paralelismo, la regla RPA 6, tenemos el siguiente ejemplo. Figura 16: Agrupación basada en el paralelismo (figura tomada de [LJ83]). El grupo de notas de la figura 16 (a) puede agruparse de varias maneras, pero según la regla RPA 6 esto ha de hacerse en grupos de tres notas porque de este modo el paralelismo entre los grupos se hace patente. Lo mismo puede decirse de la figura 16 (b), en este caso siendo la agrupación de cuatro notas. En el próximo artículo se desarrollará y pondrán ejemplos de aplicación de la regla RPA 7. 5. Conclusiones Del estudio de las reglas anteriores se extraen interesantes conclusiones. Lerdahl y Jackendoff optan por una descripción no matemática de su teoría, incluso aunque esta sea claramente matematizable. La formalización del agrupamiento, como hemos visto arriba, lleva implícita el concepto de recursión, concepto matemático donde los haya. Además la formación de los grupos es muy similar a una relación binaria tal como puede ser la inclusión; dicha relación de formación de grupos posee unas reglas para evitar los solapamientos y las elisiones. La formalización para la métrica es muy similar a la del agrupamiento, incluyendo también el concepto de recursión. Los casos que faltan por cubrir en el primer estadio de la formalización se suplen con la definición de las reglas de preferencia, que recogen fenómenos musicales más complejos (creación de grupos en base a articulación, diferencia interválica o de longitud, paralelismo, simetría, etc.). Como vemos, la teoría generativa tiene un sustrato matemático nítido. La razón por la que Lerdahl y Jackendoff no exponen su teoría con un lenguaje abiertamente matemático (con símbolos y una formalización más dura) es porque no tienen interés en probar teoremas a partir de esta formalización (página 53, último párrafo). En su caso, se conforman con la exposición de su teoría en lenguaje natural (lo cual no quita que lo hagan con rigor) y confían en crear un sistema formal que constituya una buena descripción de la música tonal, que cubra cuanta más música posible y, por último, que sea lo más predictivo posible. También rechazan los aspectos cuantitativos de la teoría. No se esfuerzan en ningún momento en asignar funciones que puedan devolver números que expresen, por ejemplo, el grado de reducción de prolongación o la intensidad de la creación de la frontera de un grupo. Reconocen con total honestidad que no están interesados en esa cuantificación. Ellos quieren identificar las variables que son relevantes a la hora de establecer la intuición musical así como esas variables interactúan entre sí (página 54), pero no desde un punto de vista numérico.   Bibliografía [Góm14] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en junio de 2014. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.
Martes, 22 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Inauguramos una serie de artículos en la que estudiaremos la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983. En castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao. En este primer artículo estudiaremos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos. En los siguientes artículos describiremos con cierto detalle las ideas de estos autores. Estos autores proponen una teoría generativa de la música tonal, es decir, una teoría que a partir de la definición de una serie de conceptos y reglas jerárquicas describan la estructura de una pieza de música tonal. Figura 1: Portada del libro original en inglés. 1. La génesis de la obra El director de orquesta Leonard Bernstein, hombre por otro lado profundamente interesado en la teoría, fue un impulsor de la obra de Lerdahl y Jackendoff. En el otoño de 1973, Bernstein se encontraba impartiendo un seminario en la universidad de Harvard. Los trabajos de Noam Chomsky [Cho65] en pos de la construcción de una teoría generativa en el campo de la lingüística habían impresionado a Bernstein y este se preguntaba si esa teoría no se podía transferir al campo musical. ¿Era posible construir una gramática musical que explicase el fenómeno de la escucha musical?, tal era la pregunta que planteaba Bernstein a sus alumnos en aquel seminario. Entre los asistentes se encontraba el músico, compositor y teórico Fred Lerdahl y el lingüista y clarinetista Ray Jackendoff. Bernstein pedía a sus alumnos que expusiesen los resultados de su trabajo ante la clase cada semana y era frecuente que los alumnos se ayudasen entre sí. Jackendoff y Lerdahl se leían mutuamente sus trabajos en busca de la crítica constructiva del otro. Como fruto de esto, se percataron de que tenían preocupaciones intelectuales similares y empezaron a colaborar más seriamente. Con el tiempo fueron dando forma a sus ideas y estas cuales acabaron por cristalizar en A Generative Theory of Tonal Music. En el prefacio del libro (página x), hablan de la división del trabajo en el libro entre los dos autores. Lerdahl, el músico, planteaba problemas en términos musicales y proporcionaba ejemplos, y Jackendoff, el lingüista, construía los sistemas formales que trataban de explicar los fenómenos musicales. Sin embargo, Lerdahl conocía muy bien los sistemas formales en lingüística y Jackendoff era clarinetista con una sólida formación musical. Ambos estaban perfectamente capacitados para contribuir con ideas y críticas en ambos aspectos de la obra y así lo reconocen explícitamente en su obra (Our individual contributions are hopelessly intertwined.) Tras el seminario impartido por Bernstein, Lerdahl y Jackendoff continuaron trabajando asiduamente hasta el año 1979. Se reunían semanalmente para desarrollar su teoría, la cual fueron presentando en diversos seminarios y publicando por partes en varias revistas (Journal of Music Theory, The Music Quaterly y en el libro Music, Mind and the Brain). Con el tiempo se dieron cuenta de que el material que habían producido daba de de sí como para escribir un libro en lugar de presentarlo en artículos sueltos o en conferencias. Después del año 79, la colaboración siguió, aunque no tan intensa, pues Lerdahl se fue a la Universidad de Columbia. En el año 83 publicaron su obra. Para una visión de uno de los autores (Lerdahl) sobre la génesis de este libro, véase [Ler09]. 2. Teoría de la música como objeto de estudio psicológico El capítulo uno de su libro abre con la siguiente declaración de intenciones (las cursivas son suyas; nuestra traducción): We take the goal of a theory of music to be a formal description of the musical intuitions of a listener who is experienced in a musical idiom. (Nos hemos fijado el objetivo de una teoría de la música que sea una descripción formal de las intuiciones musicales de un oyente que tenga experiencia en una tradición musical.) Esta frase marca el tono de la obra y su metodología. Lerdahl y Jackendoff buscan una nueva manera de analizar la música. Para ello, recurren a la psicología para construir esa nueva metodología. Ambos autores tenían un gran conocimiento de la bibliografía relevante y en particular estaban familiarizados con las obras de Meyer y Cooper (especialmente [Mey56] y [CM63]), Narmour, Sloboda, Bregaman y Krumhansl, entre otros. Para justificar este nuevo análisis formulan una crítica de las viejas metodologías de análisis. Está, por un lado, el análisis de piezas individuales, un análisis clásico que se vale del estudio melódico, armónico, rítmico, entre otros, y que persigue resaltar facetas interesantes de la pieza. Para ellos, sin embargo, este tipo de análisis, aunque revela hechos interesantes sobre una pieza, no es riguroso ni sistemático en muchas ocasiones, y no permite generalizaciones o una sistematización útil. Con frecuencia depende de la habilidad y la brillantez del crítico a la hora de analizar la pieza. La opción contraria es crear un sistema altamente riguroso y formalista dentro del cual estudiar todas las piezas de una tradición musical. Los ejemplos históricos que ponen los autores tampoco les convencen: la teoría musical de la Edad Media, basada en la teología; los sistemas de Rameau y Hindemith, basados en los principios físicos de la serie de armónicos; o las teorías matemáticas de la música del siglo XX. Merece la pena detenerse en este último punto, sobre todo por el tema de una columna como esta. Lerdahl y Jackendoff objetan al hecho de que las matemáticas den fundamento a los constructos y relaciones en la teoría de la música porque “las matemáticas son capaces de describir cualquier tipo de organización concebible”. Una teoría satisfactoria no solo debe ser capaz de describir ciertos constructos, sino además determinar porque se usan unos ciertos constructos y no otros. La crítica hacia el uso de las matemáticas que hacen los autores refleja excesos formalistas del pasado. A la vista de la cantidad de investigación que ha habido en música desde un punto de vista matemático desde la publicación de A Generative Theory of Tonal Music, y teniendo en cuenta la calidad y la metodología de dicha investigación, su crítica aparece teñida de cierta ingenuidad. Si la formalización matemática ignora la realidad que analiza y se convierte en un mero juego axiomático-deductivo, ¿qué significado asignará a esa formalización? Ninguno, claro; pero ese es un uso incorrecto de las matemáticas. La formalización correcta parte de los hechos musicales y trata de explicarlos y predecir otros, y en última instancia está siempre sometida al contraste con la propia música. Por último, los autores rechazan el análisis basado puramente en la intuición artística. No desprecian este análisis; simplemente no creen que la música se deba analizar únicamente con dicho método. ¿Qué método, pues, proponen Lerdahl y Jackendoff? Uno basado en la psicología. Por un lado, sostienen que una pieza de música es una entidad construida mentalmente (página 2). Su objetivo es explicar la música como el sonido organizado en nuestra mente. Desde este punto de vista, la música es objeto de estudio psicológico. La teoría de estos autores necesita la introducción de un concepto nuevo: las intuiciones musicales de un oyente experimentado (página 3). Por intuiciones musicales se refieren a procesos inconscientes de escucha musical que vienen determinados por la enculturación del oyente en cierto lenguaje musical. Además, el concepto de oyente experimentado es una idealización del oyente y del grado de conocimiento de un lenguaje musical. Esa asimilación dentro de un lenguaje musical dado viene gobernada por ciertas reglas y con su teoría Lerdahl y Jackendoff persiguen describir esas reglas en términos de una gramática formal de la música. Hay una segunda idealización de este oyente y su escucha y es que en la teoría generativa se explica el estado final del entendimiento musical y no explica la percepción durante la la escucha musical. 3. Teoría de la música y lingüística A pesar de su inspiración en la teoría generativa de Chomsky, Lerdahl y Jackendoff ponen mucho énfasis en distinguir lenguaje y música y en que ambas teorías -si bien se encuentran paralelismos importantes entre ambas- son esencialmente diferentes. En particular, los autores rechazan los peligros de sobreformalización que puede llevar una aplicación excesivamente literal de la teoría generativa de Chomsky a la música. Entre esos peligros los autores apuntan a un afán de validación de la teoría en meros términos computacionales, perder de vista el papel que juega el significado en la música y en el lenguaje -papel que difiere en una y otra-, o pasar inadvertidas las diferencias estructurales entre música y lenguaje. 4. La forma general de la teoría generativa Lerdahl y Jackendoff proponen una estructura jerárquica compuesta por cuatro partes y que forma la base sobre la cual proporcionarán una descripción estructural de una pieza musical. Esas cuatro jerarquías son: Estructura de agrupación. Expresa la segmentación jerárquica de la pieza en términos de motivos, frases y períodos. Estructura métrica. Expresa los fenómenos métricos, esto es, los relacionados con la alternancia de tiempos fuertes y débiles. Reducción interválica-temporal. Asigna una jerarquía a los tonos de una pieza en función de la estructura de agrupación y métrica. Reducción de prolongación. Más abstracta que las anteriores, asigna a los tonos una jerarquía que expresa la dialéctica tensión-relajación en los aspectos armónicos y melódicos. La teoría generativa además proporciona dos tipos de reglas, las de formación correcta y las de preferencia. Su función es determinar qué descripciones estructurales son correctas y sobre estas cuáles tienen más preferencia. Como dicen los mismos autores, el criterio empírico de éxito de la teoría es cuán adecuadamente describe las intuiciones musicales. Estas reglas están concebidas con este objetivo. Cuando empezaron a probar su teoría con ejemplos musicales concretos, vieron que las reglas de formación correcta no eran suficientes e introdujeron las reglas de transformación. La figura de abajo, tomada de su libro, representa un esquema de la teoría generativa de la música. Figura 2: Esquema de la teoría de Jackendoff y Lerdahl. Bibliografía [Cho65] N. Chomsky. Aspects of the theory of syntax. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1965. [CM63] G. Cooper and L.B. Meyer. The Rhythmic Structure of Music. University of Chicago Press, Chicago, 1963. [Ler09] F. Lerdahl. Genesis and architecture of the gttm project. Music Perception, 26:187–194, 2009. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956.
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